परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण

गणित में, परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण समूह सिद्धांत का एक परिणाम है जिसमें कहा गया है कि प्रत्येक परिमित सरल समूह या तो चक्रीय है, या वैकल्पिक है, या यह एक विस्तृत अनंत वर्ग से संबंधित है जिसे झूठ प्रकार के समूह कहा जाता है, या फिर यह इनमें से एक है छब्बीस या सत्ताईस अपवाद, छिटपुट कहलाते हैं। प्रमाण में लगभग 100 लेखकों द्वारा लिखे गए कई सौ जर्नल लेखों में हजारों पृष्ठ हैं, जो अधिकत्तर 1955 और 2004 के बीच प्रकाशित हुए हैं।

सरल समूहों को सभी परिमित समूह के मूलभूत निर्माण खंडों के रूप में देखा जा सकता है जिस तरह से अभाज्य संख्याएँ प्राकृतिक संख्याओं के मूल निर्माण खंड हैं। जॉर्डन-होल्डर प्रमेय परिमित समूहों के बारे में इस तथ्य को बताने का एक अधिक स्पष्ट विधि है। चूँकि पूर्णांक गुणनखंड से एक महत्वपूर्ण अंतर यह है कि ऐसे बिल्डिंग ब्लॉक्स एक अद्वितीय समूह को आवश्यक रूप से निर्धारित नहीं करते हैं क्योंकि एक ही रचना श्रृंखला के साथ कई गैर-समरूपी समूह हो सकते हैं या दूसरे तरीके से कहें तो समूह विस्तार या विस्तार समस्या नहीं है एक अनूठा समाधान है।

डेनियल गोरेंस्टीन (d.1992) रिचर्ड ल्योंस (गणितज्ञ) और रोनाल्ड सोलोमन धीरे-धीरे प्रमाण का एक सरलीकृत और संशोधित संस्करण प्रकाशित कर रहे हैं।

वर्गीकरण प्रमेय का कथन

Main article: परिमित सरल समूहों की सूची

Theorem — Every finite simple group is isomorphic to one of the following groups:

• a member of one of three infinite classes of such, namely:
  • the cyclic groups of prime order,
  • the alternating groups of degree at least 5,
  • the groups of Lie type
• one of 26 groups called the "sporadic groups"
• the Tits group (which is sometimes considered a 27th sporadic group).

परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण

वर्गीकरण प्रमेय में गणित की कई शाखाओं में अनुप्रयोग हैं क्योंकि परिमित समूहों की संरचना (और अन्य गणितीय वस्तुओं पर उनकी क्रिया) के बारे में प्रश्नों को कभी-कभी परिमित सरल समूहों के प्रश्नों के रूप में कम किया जा सकता है। वर्गीकरण प्रमेय के लिए धन्यवाद, कभी-कभी साधारण समूहों के प्रत्येक वर्ग और प्रत्येक छिटपुट समूह की जाँच करके ऐसे प्रश्नों का उत्तर दिया जा सकता है।

डैनियल गोरेंस्टीन ने 1983 में घोषणा की कि परिमित सरल समूहों को सभी वर्गीकृत किया गया था चूँकि यह समय से पहले था क्योंकि उन्हें क्वासिथिन समूह के वर्गीकरण के प्रमाण के बारे में गलत जानकारी दी गई थी। वर्गीकरण का पूर्ण प्रमाण किसके द्वारा घोषित किया गया था एशबैकर (2004) एशबैकर और स्मिथ द्वारा लापता क्वासिथिन स्थिति के लिए 1221-पृष्ठ का प्रमाण प्रकाशित करने के बाद है ।

वर्गीकरण प्रमेय के प्रमाण का अवलोकन

गोरेंस्टीन (1982, 1983) ने प्रमाण के निम्न पद और विचित्र विशेषता भाग को रेखांकित करते हुए दो खंड लिखे, और माइकल एशबैकर, रिचर्ड लियोन्स, and स्टीफन डी. स्मिथ et al. (2011) शेष विशेषता 2 स्थिति को कवर करते हुए एक तीसरा खंड लिखा। प्रमाण को कई प्रमुख टुकड़ों में विभाजित किया जा सकता है:

छोटे 2-पद के समूह

एक समूह के निम्न पद के सरल समूह या सामान्यीकरण और संबंधित धारणाएं 2-पद अधिकत्तर विचित्र विशेषता के क्षेत्रों पर झूठ प्रकार के छोटे पद के समूह होते हैं साथ में पांच वैकल्पिक और सात विशेषता 2 प्रकार और नौ छिटपुट समूह होते हैं।

छोटे 2-पद के साधारण समूहों में सम्मिलित हैं:

• 2-पद 0 के समूह दूसरे शब्दों में विषम क्रम के समूह जो सभी फीट-थॉम्पसन प्रमेय द्वारा हल करने योग्य समूह हैं।
• 2-पद 1 के समूह साइलो 2-उपसमूह या तो चक्रीय होते हैं जिन्हें स्थानांतरण मानचित्र का उपयोग करके संभालना आसान होता है, या सामान्यीकृत चतुष्कोण जिन्हें ब्राउर-सुजुकी प्रमेय के साथ नियंत्रित किया जाता है: विशेष रूप से 2 के कोई सरल समूह नहीं हैं क्रम दो के चक्रीय समूह को छोड़कर -पद 1 है
• 2-पद 2 के समूह एल्पेरिन ने दिखाया कि सिलो उपसमूह को डायहेड्रल क्वासिडहेड्रल, पुष्पांजलि, या U₃(4).का एक सिलो 2-उपसमूह होना चाहिए। पहला स्थिति गोरेंस्टीन-वाल्टर प्रमेय द्वारा किया गया था जिसमें दिखाया गया था कि केवल सरल समूह L₂(q) के लिए आइसोमोर्फिक हैं q विषम या A₇ के लिए दूसरा और तीसरा स्थिति एल्परिन-ब्रुएर-गोरेंस्टीन प्रमेय द्वारा किया गया था, जिसका अर्थ है कि केवल सरल समूह L₃(q) या U₃(q) q के लिए आइसोमोर्फिक हैं विषम या M₁₁ के लिए और आखिरी स्थिति ल्योंस द्वारा किया गया था जिसने दिखाया कि U₃(4) एकमात्र सरल संभावना है।
• अधिकतम 4 पर अनुभागीय 2-पद के समूह, गोरेंस्टीन-हरदा प्रमेय द्वारा वर्गीकृत।

छोटे 2-पद के समूहों का वर्गीकरण, विशेष रूप से अधिकतम 2 पद साधारण और मॉड्यूलर चरित्र सिद्धांत का भारी उपयोग करता है जो वर्गीकरण में कहीं और सीधे उपयोग नहीं किया जाता है।

छोटे 2 पद के नहीं सभी समूहों को दो प्रमुख वर्गों में विभाजित किया जा सकता है: घटक प्रकार के समूह और विशेषता 2 प्रकार के समूह इसका कारण यह है कि यदि किसी समूह में अनुभागीय 2-पद कम से कम 5 है तो मैकविलियम्स ने दिखाया है कि इसके साइलो 2-उपसमूह जुड़े हुए हैं और संतुलन प्रमेय का अर्थ है कि जुड़ा हुआ सिलो 2-उपसमूह वाला कोई भी सरल समूह या तो घटक प्रकार या विशेषता 2 प्रकार का है . (निम्न 2-पद के समूहों के लिए इसका प्रमाण टूट जाता है क्योंकि प्रमेय जैसे संकेतक कारक प्रमेय केवल उन समूहों के लिए काम करते हैं जिनके पद के प्राथमिक एबेलियन उपसमूह कम से कम 3 हैं।)

घटक प्रकार के समूह

एक समूह को घटक प्रकार का कहा जाता है यदि किसी अंतर्वलन के कुछ केंद्रक C के लिए, C/O(C) में एक घटक होता है (जहाँ O(C) C का मूल है विषम क्रम का अधिकतम सामान्य उपसमूह)। ये कमोबेश कुछ छिटपुट समूहों के साथ बड़े पद की विचित्र विशेषता के झूठ प्रकार के समूह और वैकल्पिक समूह हैं। इस स्थिति में एक प्रमुख कदम एक समावेशन के मूल की बाधा को खत्म करना है। यह बी-प्रमेय द्वारा पूरा किया गया है, जिसमें कहा गया है कि C/O(C) का प्रत्येक घटक C के एक घटक की छवि है।

विचार यह है कि इन समूहों के पास एक घटक के साथ एक समावेशन का केंद्रीकरण होता है जो कि एक छोटा अर्ध-सरल समूह होता है, जिसे पहले से ही प्रेरण द्वारा जाना जा सकता है। तो इन समूहों को वर्गीकृत करने के लिए प्रत्येक ज्ञात परिमित सरल समूह के प्रत्येक केंद्रीय विस्तार को लेता है, और सभी सरल समूहों को एक घटक के रूप में सम्मिलित करने के केंद्रीकरण के साथ पाता है। यह जांच करने के लिए अलग-अलग स्थिति की एक बड़ी संख्या देता है: न केवल 26 छिटपुट समूह और झूठ प्रकार के समूहों के 16 वर्ग और वैकल्पिक समूह हैं चूँकि छोटे पद या छोटे क्षेत्रों के कई समूह सामान्य से अलग व्यवहार करते हैं स्थिति और अलग से व्यवहार किया जाना है और सम और विषम विशेषताओं के झूठ प्रकार के समूह भी अधिक भिन्न हैं।

विशेषता 2 प्रकार के समूह

प्रत्येक 2-स्थानीय उपसमूह Y का सामान्यीकृत फिटिंग उपसमूह F*(Y) एक 2-समूह है तो एक समूह विशेषता 2 प्रकार का है। जैसा कि नाम से पता चलता है कि ये सामान्यतः विशेषता 2 के क्षेत्रों में झूठ प्रकार के समूह हैं साथ ही कुछ मुट्ठी भर अन्य जो वैकल्पिक या छिटपुट या विषम विशेषता वाले हैं। उनके वर्गीकरण को छोटे और बड़े पद के स्थिति में विभाजित किया गया है, जहां पद विषम एबेलियन उपसमूह का सबसे बड़ा पद है जो एक गैर-तुच्छ 2-उपसमूह को सामान्य करता है जो अक्सर (चूँकि सदैव नहीं) कार्टन सबलजेब्रा के पद के समान होता है जब समूह लाई प्रकार का एक समूह है जिसकी विशेषता 2 है।

पद 1 समूह पतले समूह हैं जिन्हें एशबैकर द्वारा वर्गीकृत किया गया है और पद 2 वाले कुख्यात क्वासिथिन समूह हैं जिन्हें एशबैकर और स्मिथ द्वारा वर्गीकृत किया गया है। ये सामान्यतः लाई प्रकार के पद 1 या 2 के समूह के अनुरूप होते हैं जो विशेषता 2 के क्षेत्रों में होते हैं।

पद के कम से कम 3 के समूह को ट्राइकोटॉमी प्रमेय द्वारा 3 वर्गों में विभाजित किया गया है, पद 3 के लिए एशबैकर द्वारा और कम से कम 4 पद के लिए गोरेनस्टीन और लियोन द्वारा सिद्ध किया गया है।

तीन वर्ग जीएफ (2) प्रकार के समूह हैं (मुख्य रूप से टिम्सफेल्ड द्वारा वर्गीकृत) कुछ विषम प्राइम के लिए मानक प्रकार के समूह (गिलमैन-ग्रिस प्रमेय द्वारा वर्गीकृत और कई अन्य लोगों द्वारा काम) और विशिष्टता प्रकार के समूह जहां एक परिणाम एशबैकर का तात्पर्य है कि कोई सरल समूह नहीं हैं।

सामान्य उच्च पद के स्थिति में कम से कम 3 या 4 पद के विशेषता 2 के क्षेत्रों में अधिकत्तर झूठ प्रकार के समूह होते हैं।

सरल समूहों का अस्तित्व और विशिष्टता

वर्गीकरण का मुख्य भाग प्रत्येक सरल समूह का लक्षण वर्णन करता है। इसके बाद यह जांचना आवश्यक है कि प्रत्येक लक्षण वर्णन के लिए एक सरल समूह उपस्थित है और यह अद्वितीय है। यह बड़ी संख्या में अलग-अलग समस्याएं देता है उदाहरण के लिए राक्षस समूह के अस्तित्व और विशिष्टता के मूल प्रमाण कुल मिलाकर लगभग 200 पृष्ठ थे और थॉम्पसन और बॉम्बिएरी द्वारा री समूहों की पहचान वर्गीकरण के सबसे कठिन भागों में से एक था। कई अस्तित्व प्रमाण और छिटपुट समूहों के लिए कुछ विशिष्ट प्रमाण मूल रूप से कंप्यूटर गणनाओं का उपयोग करते थे जिनमें से अधिकांश को छोटे हस्त प्रमाणों द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है।

प्रमाण का इतिहास

गोरेंस्टीन का कार्यक्रम

1972 में गोरेंस्टीन (1979, अनुबंध) ने निम्नलिखित 16 चरणों वाले परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण को पूरा करने के लिए एक कार्यक्रम की घोषणा की:

1. निम्न 2-पद के समूह यह अनिवार्य रूप से गोरेंस्टीन और हराडा द्वारा किया गया था जिन्होंने समूहों को अनुभागीय 2-पद के साथ अधिकतम 4 में वर्गीकृत किया था। गोरेनस्टीन ने अपने कार्यक्रम की घोषणा के समय तक 2-पद के अधिकांश स्थिति 2 किए गए थे।
2. 2-परतों की अर्धसरलता समस्या यह सिद्ध करने के लिए है कि एक साधारण समूह में सम्मिलित होने के केंद्रक की 2-परत अर्धसरल है।
3. विषम विशेषता में मानक रूप यदि किसी समूह में 2-घटक के साथ एक अंतर्वलन है जो कि झूठ प्रकार की विषम विशेषता का एक समूह है तो लक्ष्य यह दिखाना है कि इसमें मानक रूप में सम्मिलित होने का एक केंद्रक है जिसका अर्थ है कि समावेशन के एक केंद्रक में एक घटक है जो झूठ का है विषम विशेषता में टाइप करें और 2-पद 1 का केंद्रक भी है।
4. विषम प्रकार के समूहों का वर्गीकरण समस्या यह दिखाने के लिए है कि यदि किसी समूह में मानक रूप में सम्मिलित होने का एक केंद्रक है तो यह लाई प्रकार की विषम विशेषता का समूह है। यह एशबैकर के मौलिक समावेशन प्रमेय द्वारा हल किया गया था।
5. अर्ध-मानक रूप
6. केंद्रीय निवेश
7. वैकल्पिक समूहों का वर्गीकरण।
8. कुछ छिटपुट समूह
9. पतले समूह। साधारण पतले परिमित समूह जिनके पास विषम अभाज्य p के लिए अधिकतम 1 पर 2-स्थानीय p-पद है, को 1978 में एशबैकरद्वारा वर्गीकृत किया गया था।
10. पी विषम के लिए एक शक्तिशाली पी-एम्बेडेड उपसमूह के साथ समूह
11. विषम अभाज्य संख्याओं के लिए सिग्नलाइज़र कारक विधि मुख्य समस्या गैर-सॉल्वेबल सिग्नललाइज़र कारको के लिए सिग्नलाइज़र कारक प्रमेय सिद्ध करना है। इसे 1982 में मैकब्राइड द्वारा हल किया गया था।
12. विशेषता पी प्रकार के समूह यह उन समूहों की समस्या है जिनमें p-एम्बेडेड 2-स्थानीय उपसमूह p विषम के साथ है जिसे एशबैकरद्वारा नियंत्रित किया गया था।
13. क्वासिथिन समूह एक क्वासिथिन समूह वह है जिसके 2-स्थानीय उपसमूहों में सभी विषम अभाज्य p के लिए अधिकतम 2 p-पद है और समस्या 2 प्रकार की विशेषता वाले सरल लोगों को वर्गीकृत करना है। यह 2004 में एशबैकर और स्मिथ द्वारा पूरा किया गया था।
14. निम्न 2-स्थानीय 3-पद के समूह। यह e(G)=3. वाले समूहों के लिए एशबैकर के ट्राइकोटॉमी प्रमेय द्वारा अनिवार्य रूप से हल किया गया था। मुख्य परिवर्तन यह है कि 2-लोकल 3-पद को ऑड प्राइम्स के लिए 2-लोकल पी-पद से बदल दिया गया है।
15. मानक रूप में 3-तत्वों के केंद्र यह अनिवार्य रूप से ट्राइकोटॉमी प्रमेय द्वारा किया गया था।
16. विशेषता 2 प्रकार के सरल समूहों का वर्गीकरण यह गिल्मन-ग्रिस प्रमेय द्वारा नियंत्रित किया गया था जिसमें 3-तत्वों को विषम प्राइम्स के लिए पी-तत्वों द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था।

प्रमाण की समयरेखा

नीचे दी गई सूची में से कई मदों से लिया जाता है सोलोमन (2001). दी गई तिथि सामान्यतः एक परिणाम के पूर्ण प्रमाण की प्रकाशन तिथि होती है जो कभी-कभी प्रमाण या परिणाम की पहली घोषणा के कई साल बाद होती है इसलिए कुछ आइटम गलत क्रम में दिखाई देते हैं।

Date of publication
1832	गाल्वा सामान्य उपसमूहों का परिचय देता है और साधारण समूहों An (n ≥ 5) और PSL2(Fp) (p ≥ 5) का पता लगाता है।
1854	केली अमूर्त समूहों को परिभाषित करता है
1861	मैथ्यू पहले दो मैथ्यू समूहों M11, M12, पहले छिटपुट सरल समूहों का वर्णन करता है, और M24के अस्तित्व की घोषणा करता है।
1870	जॉर्डन कुछ सरल समूहों को सूचीबद्ध करता है: वैकल्पिक और प्रक्षेपी विशेष रैखिक वाले, और सरल समूहों के महत्व पर जोर देते हैं।
1872	साइलो साइलो प्रमेयों को सिद्ध करता है
1873	मैथ्यू ने तीन और मैथ्यू समूह M22, M23, M24. का परिचय दिया।
1892	होल्डर सिद्ध करते हैं कि किसी भी गैर एबेलियन परिमित सरल समूह का क्रम कम से कम चार (जरूरी नहीं कि अलग-अलग) अभाज्य संख्याओं का उत्पाद होना चाहिए और परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण के लिए कहता है।
1893	कोल 660 तक के क्रम के सरल समूहों को वर्गीकृत करता है
1896	फ्रोबेनियस और बर्नसाइड परिमित समूहों के चरित्र सिद्धांत का अध्ययन प्रारंभ करते हैं।
1899	बर्नसाइड सरल समूहों को वर्गीकृत करता है जैसे कि प्रत्येक समावेशन का केंद्रक एक गैर-तुच्छ प्राथमिक एबेलियन 2-समूह है।
1901	फ्रोबेनियस सिद्ध करता है कि एक फ्रोबेनियस समूह में फ्रोबेनियस कर्नेल है, इसलिए विशेष रूप से सरल नहीं है।
1901	डिक्सन इच्छानुसार परिमित क्षेत्रों पर मौलिक समूहों को परिभाषित करता है और विषम विशेषता वाले क्षेत्रों पर G2 प्रकार के असाधारण समूहों को परिभाषित करता है।
1901	डिक्सन E6 प्रकार के असाधारण परिमित सरल समूहों का परिचय देता है।
1904	बर्नसाइड बर्नसाइड के प्रमेय को सिद्ध करने के लिए चरित्र सिद्धांत का उपयोग करता है कि किसी भी गैर-अबेलियन परिमित सरल समूह का क्रम कम से कम 3 अलग-अलग प्राइम्स से विभाज्य होना चाहिए।
1905	डिक्सन समान विशेषता वाले क्षेत्रों में G2 प्रकार के सरल समूहों का परिचय देता है
1911	बर्नसाइड का अनुमान है कि प्रत्येक गैर-अबेलियन परिमित सरल समूह में भी क्रम होता है
1928	हॉल हल करने योग्य समूहों के हॉल उपसमूहों के अस्तित्व को सिद्ध करता है
1933	हॉल पी-समूहों का अपना अध्ययन प्रारंभ करता है
1935	ब्राउर मॉड्यूलर वर्णों का अध्ययन प्रारंभ करता है।
1936	ज़ैसेनहॉस परिमित तीव्र 3-सकर्मक क्रमपरिवर्तन समूहों को वर्गीकृत करता है
1938	फिटिंग फिटिंग उपसमूह का परिचय देती है और फिटिंग के प्रमेय को सिद्ध करती है कि सॉल्व करने योग्य समूहों के लिए फिटिंग उपसमूह में इसका केंद्रक होता है।
1942	ब्राउर एक समूह के मॉड्यूलर वर्णों का वर्णन करता है जो एक प्रधान से पहली शक्ति तक विभाज्य है।
1954	ब्राउर GL2(Fq) के साथ सरल समूहों को एक अंतर्वलन के केंद्रक के रूप में वर्गीकृत करता है।
1955	ब्राउर-फाउलर प्रमेय का अर्थ है कि सम्मिलित होने के केंद्रीकृत के साथ परिमित सरल समूहों की संख्या परिमित है जो वर्गीकरण के केंद्रीयकरणों का उपयोग करके वर्गीकरण पर हमले का सुझाव दे रहा है।
1955	शेवाली परिचय शेवाली समूहों का देता है विशेष रूप से F4, E7, और E8. प्रकार के असाधारण सरल समूहों को प्रस्तुत करता है।
1956	हॉल-हिगमैन प्रमेय पी-सॉल्वेबल ग्रुप के प्रतिनिधित्व के लिए प्रधान शक्ति क्रम के तत्व के न्यूनतम बहुपद के लिए संभावनाओं का वर्णन करता है।
1957	सुज़ुकी दिखाता है कि विषम क्रम के सभी परिमित सरल सीए समूह चक्रीय हैं।
1958	ब्राउर-सुजुकी-वॉल प्रमेय पद 1 के प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूहों की विशेषता है और सरल सीए समूहों को वर्गीकृत करता है।
1959	स्टाइनबर्ग ने स्टाइनबर्ग समूहों का परिचय दिया, कुछ नए परिमित सरल समूह दिए, प्रकार 3D4 और 2E6 (बाद वाले स्वतंत्र रूप से लगभग एक ही समय में स्तन द्वारा पाए गए थे)।
1959	सामान्य चतुर्भुज साइलो 2-उपसमूह वाले समूहों के बारे में ब्राउर-सुजुकी प्रमेय विशेष रूप से दर्शाता है कि उनमें से कोई भी सरल नहीं है।
1960	थॉम्पसन सिद्ध करता है कि प्राइम ऑर्डर के फिक्स्ड-पॉइंट-फ्री ऑटोमोर्फिज्म वाला एक समूह शून्य है।
1960	फिट, मार्शल हॉल और थॉम्पसन दिखाते हैं कि विषम क्रम के सभी परिमित सरल सीएन समूह चक्रीय हैं।
1960	सुज़ुकी ने सुज़ुकी समूहों को टाइप 2B2 के साथ प्रस्तुत किया।
1961	री री समूह का परिचय देता है, प्रकार 2F4 और 2G2 के साथ।
1963	फीट और थॉम्पसन विषम क्रम प्रमेय सिद्ध करते हैं।
1964	स्तन झूठ प्रकार के समूहों के लिए बीएन जोड़े प्रस्तुत करता है और स्तन समूह पाता है
1965	गोरेंस्टीन-वाल्टर प्रमेय एक डायहेड्रल साइलो 2-उपसमूह वाले समूहों को वर्गीकृत करता है।
1966	ग्लौबरमैन Z* प्रमेय को सिद्ध करता है
1966	जांको जानको समूह J1 का परिचय देता है, जो लगभग एक सदी के लिए पहला नया छिटपुट समूह है।
1968	ग्लौबरमैन ZJ प्रमेय को सिद्ध करता है
1968	हिगमैन और सिम्स ने हिगमैन-सिम्स समूह का परिचय दिया
1968	कॉनवे कॉनवे समूहों का परिचय देता है
1969	वाल्टर का प्रमेय एबेलियन सिलो 2-उपसमूहों के साथ समूहों को वर्गीकृत करता है
1969	सुज़ुकी छिटपुट समूह, जानको समूह J2, जानको समूह J3, मैकलॉफ़लिन समूह और हेल्ड समूह का परिचय।
1969	गोरेंस्टीन ने थॉम्पसन के विचारों के आधार पर सिगनलाइज़र कारकों का परिचय दिया।
1970	मैकविलियम्स दिखाते हैं कि पद 3 के सामान्य एबेलियन उपसमूह वाले 2-समूहों में अनुभागीय 2-पद अधिक से अधिक 4 है।
1970	बेंडर ने सामान्यीकृत फिटिंग उपसमूह पेश किया
1970	अल्पेरिन-ब्रेउर-गोरेनस्टीन प्रमेय अर्ध-डायहेड्रल या पुष्पित साइलो 2-उपसमूहों के साथ समूहों को वर्गीकृत करता है, अधिकतम 2-पद के साधारण समूहों के वर्गीकरण को पूरा करता है।
1971	फिशर तीन फिशर समूहों का परिचय देता है
1971	थॉम्पसन द्विघात जोड़े को वर्गीकृत करता है
1971	बेंडर समूह को दृढ़ता से एम्बेडेड उपसमूह के साथ वर्गीकृत करता है
1972	गोरेंस्टीन परिमित सरल समूहों को वर्गीकृत करने के लिए एक 16-चरणीय कार्यक्रम प्रस्तावित करता है; अंतिम वर्गीकरण उसकी रूपरेखा का अधिक निकट से अनुसरण करता है।
1972	ल्योंस ल्योंस समूह का परिचय देता है
1973	रुडवालिस ने रुडवालिस समूह का परिचय दिया
1973	फिशर बेबी मॉन्स्टर समूह (अप्रकाशित) की खोज करता है, जिसका उपयोग फिशर और ग्रिएस मॉन्स्टर समूह की खोज के लिए करते हैं, जो बदले में थॉम्पसन को थॉम्पसन छिटपुट समूह और नॉर्टन को हराडा-नॉर्टन समूह (हरदा द्वारा एक अलग विधि से पाया गया) की ओर ले जाता है।
1974	थॉम्पसन एन-समूहों को वर्गीकृत करता है जिनके सभी स्थानीय उपसमूह हल करने योग्य हैं।
1974	गोरेंस्टीन-हरदा प्रमेय अनुभागीय 2-पद के सरल समूहों को अधिकतम 4 में वर्गीकृत करता है, शेष परिमित सरल समूहों को घटक प्रकार और विशेषता 2 प्रकार के लोगों में विभाजित करता है।
1974	टिट्स से पता चलता है कि कम से कम 3 पद वाले बीएन जोड़े वाले समूह झूठ प्रकार के समूह हैं
1974	एशबैकर समूहों को एक उचित 2-जनित कोर के साथ वर्गीकृत करता है
1975	गोरेंस्टीन और वाल्टर एल-बैलेंस प्रमेय सिद्ध करते हैं
1976	ग्लौबरमैन सॉल्वेबल सिगनलाइज़र कारक प्रमेय को सिद्ध करता है
1976	एशबैकर घटक प्रमेय को सिद्ध करता है, सामान्यतः दिखा रहा है कि विषम प्रकार के समूह कुछ स्थितियों को संतुष्ट करते हैं, मानक रूप में एक घटक होता है। मानक रूप के एक घटक वाले समूहों को कई लेखकों द्वारा कागजात के एक बड़े संग्रह में वर्गीकृत किया गया था।
1976	ओ'नान ने ओ'नान समूह का परिचय दिया
1976	जांको जानको समूह J4 का परिचय देता है जो खोजा जाने वाला अंतिम छिटपुट समूह है
1977	एशबैकर अपने क्लासिकल इन्वोल्यूशन प्रमेय में लाई प्रकार के विषम लक्षणों के समूहों की विशेषता बताता है। इस प्रमेय के बाद, जो कुछ अर्थों में सरल समूहों के "अधिकांश" से संबंधित है, यह सामान्यतः अनुभव किया गया था कि वर्गीकरण का अंत निकट था।
1978	टिम्सफेल्ड ने O2 अतिरिक्त विशेष प्रमेय को सिद्ध किया, GF(2)-प्रकार के समूहों के वर्गीकरण को कई छोटी समस्याओं में तोड़ दिया।
1978	एशबैकर पतले परिमित समूहों को वर्गीकृत करता है, जो कि अधिकतर विशेषता वाले क्षेत्रों पर झूठ प्रकार के रैंक 1 समूह हैं।
1981	बॉम्बिएरी वर्गीकरण के सबसे कठिन चरणों में से एक, री समूहों के लक्षण वर्णन पर थॉम्पसन के काम को पूरा करने के लिए उन्मूलन सिद्धांत का उपयोग करता है।
1982	मैकब्राइड सभी परिमित समूहों के लिए संकेतक कारक प्रमेय सिद्ध करता है।
1982	ग्राइस हाथ से राक्षस समूह का निर्माण करता है
1983	गिल्मन-ग्रिस प्रमेय विशेषता 2 प्रकार के समूहों को वर्गीकृत करता है और मानक घटकों के साथ कम से कम 4 रैंक करता है, ट्राइकोटॉमी प्रमेय के तीन स्थितियों में से एक है।
1983	एशबैकर सिद्ध करता है कि कोई भी परिमित समूह अद्वितीयता स्थिति की परिकल्पना को संतुष्ट नहीं करता है, ट्राइकोटॉमी प्रमेय द्वारा विशेषता 2 प्रकार के समूहों के लिए दिए गए तीन स्थितियों में से एक।
1983	गोरेंस्टीन और लियोन विशेषता 2 प्रकार के समूहों और कम से कम 4 रैंक के लिए ट्राइकोटॉमी प्रमेय सिद्ध करते हैं, जबकि एशबैकर रैंक 3 के स्थिति में करता है। यह इन समूहों को 3 उपकेस में विभाजित करता है: विशिष्टता स्थिति , GF(2) प्रकार के समूह, और समूह एक मानक घटक।
1983	गोरेंस्टीन ने घोषणा की कि वर्गीकरण का प्रमाण पूरा हो गया है, कुछ सीमा तक समय से पहले क्वैसिथिन स्थिति का प्रमाण अधूरा था।
1994	गोरेंस्टीन, ल्योंस और सोलोमन ने संशोधित वर्गीकरण का प्रकाशन प्रारंभ किया
2004	एशबैकरैंड स्मिथ ने क्वैसिथिन समूहों पर अपना काम प्रकाशित किया (जो अधिकत्तर लाई प्रकार के रैंक के समूह हैं जो कि विशेषता के अधिकतम 2 से अधिक क्षेत्रों में हैं), उस समय ज्ञात वर्गीकरण में अंतिम अंतर को भरते हैं।
2008	हरदा और सोलोमन एक मानक घटक के साथ समूहों का वर्णन करके वर्गीकरण में एक सामान्य अंतर को भरते हैं जो कि मैथ्यू समूह M22 का एक आवरण है, एक ऐसा स्थिति शूर गुणक की गणना M22 में त्रुटि के कारण गलती से वर्गीकरण के प्रमाण से छूट गया था।
2012	गोन्थियर और सहयोगी Coq प्रमाण सहायक का उपयोग करके फीट-थॉम्पसन प्रमेय के कंप्यूटर-जाँच किए गए संस्करण की घोषणा करते हैं।

दूसरी पीढ़ी का वर्गीकरण

प्रमेय का प्रमाण जैसा कि यह 1985 या उसके आसपास था को पहली पीढ़ी कहा जा सकता है। पहली पीढ़ी के प्रमाण की अत्यधिक लंबाई के कारण एक सरल प्रमाण खोजने के लिए अधिक प्रयास किया गया है जिसे 'दूसरी पीढ़ी का वर्गीकरण प्रमाण' कहा जाता है। यह प्रयास जिसे संशोधनवाद कहा जाता है मूल रूप से डैनियल गोरेंस्टीन के नेतृत्व में था।

As of 2021, दूसरी पीढ़ी के प्रमाण के नौ खंड प्रकाशित किए गए हैं (गोरेंस्टीन, लियोन और सोलोमन 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b, 2021)। 2012 में सोलोमन ने अनुमान लगाया था कि परियोजना को और 5 संस्करणों की आवश्यकता होगी चूँकि कहा कि उन पर प्रगति धीमी थी। ऐसा अनुमान है कि नया प्रमाण अंततः लगभग 5,000 पृष्ठों को भरेगा। (यह लंबाई आंशिक रूप से दूसरी पीढ़ी के प्रमाण से अधिक आराम की शैली में लिखी जा रही है।) चूँकि जीएलएस श्रृंखला के खंड 9 के प्रकाशन के साथ, और एशबैकर-स्मिथ योगदान सहित यह अनुमान पहले से ही कई और के साथ पहुंच गया था वॉल्यूम अभी भी तैयारी में हैं (शेष जो मूल रूप से वॉल्यूम 9 के लिए अभिप्रेत था साथ ही अनुमानित वॉल्यूम 10 और 11)। एशबैकर और स्मिथ ने अपने दो खंड क्वासिथिन केस को समर्पित इस तरह से लिखे कि वे खंड दूसरी पीढ़ी के प्रमाण का भाग हो सकते हैं।

गोरेंस्टीन और उनके सहयोगियों ने कई कारण बताए हैं कि एक सरल उपपत्ति क्यों संभव है।

• सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि अब प्रमेय का सही अंतिम कथन ज्ञात हो गया है। सरल विधि प्रयुक्त की जा सकती हैं जो उन समूहों के लिए पर्याप्त मानी जाती हैं जिन्हें हम जानते हैं कि वे परिमित सरल हैं। इसके विपरीत पहली पीढ़ी के प्रमाण पर काम करने वालों को यह नहीं पता था कि कितने छिटपुट समूह थे और वास्तव में वर्गीकरण प्रमेय के अन्य स्थिति को सिद्ध करते हुए कुछ छिटपुट समूहों (जैसे, जांको समूह) की खोज की गई थी। परिणाम स्वरुप प्रमेय के कई टुकड़े उन विधियों का उपयोग करके सिद्ध हुए जो अत्यधिक सामान्य थे।
• चूंकि निष्कर्ष अज्ञात था पहली पीढ़ी के प्रमाण में कई स्टैंड-अलोन प्रमेय सम्मिलित हैं जो महत्वपूर्ण विशेष स्थिति से निपटते हैं। इन प्रमेयों को सिद्ध करने का अधिकांश कार्य अनेक विशेष स्थिति के विश्लेषण के लिए समर्पित था। एक बड़े ऑर्केस्ट्रेटेड प्रमाण को देखते हुए इनमें से कई विशेष स्थिति से निपटना तब तक के लिए स्थगित किया जा सकता है जब तक कि सबसे शक्तिशाली मान्यताओं को प्रयुक्त नहीं किया जा सकता इस संशोधित रणनीति के तहत भुगतान की गई कीमत यह है कि इन पहली पीढ़ी के प्रमेयों के पास तुलनात्मक रूप से कम प्रमाण नहीं हैं चूँकि पूर्ण वर्गीकरण पर निर्भर हैं।
• कई पहली पीढ़ी के प्रमेय ओवरलैप करते हैं और इसलिए संभावित स्थिति को अकुशल विधियों से विभाजित करते हैं। परिणामस्वरूप परिमित सरल समूहों के वर्गों और उप-वर्गों की कई बार पहचान की गई। संशोधित प्रमाण स्थिति के एक अलग उपखंड पर विश्वास करके इन अतिरेक को समाप्त करता है।
• परिमित समूह सिद्धांतकारों के पास इस प्रकार के व्यायाम का अधिक अनुभव है और उनके निपटान में नई विधि हैं।

एशबैकर (2004) ने अलरिच मीयरफैंकेंफेल्ड, बर्न्ड स्टेलमाकर, गर्नोट स्ट्रॉथ और कुछ अन्य लोगों द्वारा वर्गीकरण समस्या पर काम को तीसरी पीढ़ी का कार्यक्रम कहा है। इसका एक लक्ष्य अमलगम विधि का उपयोग करके सभी समूहों को विशेषता 2 में समान रूप से व्यवहार करना है।

प्रमाण की लंबाई

गोरेंस्टीन ने कुछ कारणों पर चर्चा की है कि कॉम्पैक्ट लाई समूहों के वर्गीकरण के समान वर्गीकरण का संक्षिप्त प्रमाण क्यों नहीं हो सकता है।

• सबसे स्पष्ट कारण यह है कि सरल समूहों की सूची अधिक जटिल है: 26 छिटपुट समूहों के साथ कई विशेष स्थिति होने की संभावना है जिन्हें किसी प्रमाण में माना जाना है। अभी तक किसी को भी डायनकिन आरेख द्वारा कॉम्पैक्ट लाई समूहों के पैरामीटरकरण के समान परिमित सरल समूहों का एक स्वच्छ वर्दी विवरण नहीं मिला है।
• अतियाह और अन्य लोगों ने सुझाव दिया है कि कुछ ज्यामितीय वस्तु का निर्माण करके वर्गीकरण को सरल बनाया जाना चाहिए जिस पर समूह कार्य करते हैं और फिर इन ज्यामितीय संरचनाओं को वर्गीकृत करते हैं। समस्या यह है कि कोई भी एक साधारण समूह से जुड़ी ऐसी ज्यामितीय संरचना को खोजने का आसान विधि सुझाने में सक्षम नहीं है। कुछ अर्थों में वर्गीकरण बीएन-जोड़े जैसे ज्यामितीय संरचनाओं को खोजने के द्वारा काम करता है चूँकि यह केवल एक परिमित सरल समूह की संरचना के बहुत लंबे और कठिन विश्लेषण के अंत में आता है।
• उपपत्ति को सरल बनाने के लिए एक अन्य सुझाव प्रतिनिधित्व सिद्धांत का अधिक से अधिक उपयोग करना है। यहाँ समस्या यह है कि प्रतिनिधित्व सिद्धांत को अच्छी तरह से काम करने के लिए एक समूह के उपसमूहों पर बहुत सख्त नियंत्रण की आवश्यकता होती है। छोटे पद के समूहों के लिए, इस तरह का नियंत्रण और प्रतिनिधित्व सिद्धांत बहुत अच्छी तरह से काम करता है चूँकि बड़े पद के समूहों के लिए वर्गीकरण को सरल बनाने के लिए कोई भी इसका उपयोग करने में सफल नहीं हुआ है। वर्गीकरण के प्रारंभिक दिनों में प्रतिनिधित्व सिद्धांत का उपयोग करने के लिए अधिक प्रयास किए गए थे चूँकि इससे उच्च पद के स्थिति में ज्यादा सफलता नहीं मिली है।

वर्गीकरण के परिणाम

यह खंड कुछ परिणामों को सूचीबद्ध करता है जिन्हें परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण का उपयोग करके सिद्ध किया गया है।

• श्रेयर अनुमान
• संकेतक समारोह सिद्धांत
• बी अनुमान
• सभी समूहों के लिए शूर-ज़सेनहॉस प्रमेय (चूँकि यह केवल फीट-थॉम्पसन प्रमेय का उपयोग करता है)।
• 1 से अधिक तत्व वाले परिमित सेट पर एक सकर्मक क्रमचय समूह में प्राइम पावर ऑर्डर का एक निश्चित-बिंदु-मुक्त तत्व होता है।
• बहु संक्रामकता का वर्गीकरण 2-सकर्मक क्रमचय समूह।
• पद 3 क्रमचय समूह का वर्गीकरण।
• सिम्स अनुमान
• xⁿ = 1 के समाधान की संख्या पर फ्रोबेनियस का अनुमान।

यह भी देखें

• ओ'नान-स्कॉट प्रमेय

संदर्भ

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बाहरी संबंध

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• In what sense is the classification of all finite groups “impossible”?
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• "Where are the second- (and third-)generation proofs of the classification of finite simple groups up to?". MathOverflow (in English). (Last updated on March 2023)