View source for के-वितरण

{{Short description|Three-parameter family of continuous probability distributions}}

{{Probability distribution
  | name       = K-distribution
  | type       = density
  | pdf_image  = 
  | cdf_image  = 
  | notation   = 
  | parameters = <math>\mu \in (0, +\infty)</math>, <math>\alpha \in [0, +\infty)</math>, <math>\beta \in [0, +\infty)</math>
  | support    = <math>x \in [0, +\infty)\;</math> 
  | pdf        = <math>\frac{2}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \, \left( \frac{\alpha \beta}{\mu} \right)^{\frac{\alpha + \beta}{2}}  \, x^{ \frac{\alpha + \beta}{2} - 1} K_{\alpha - \beta} \left( 2 \sqrt{\frac{\alpha \beta x}{\mu}} \right), </math>

  | cdf        = 
  | mean       = <math>\mu</math>
  | median     = 
  | mode       = 
  | variance   = <math>\mu^2 \frac{\alpha+\beta+1}{\alpha \beta}</math>
  | skewness   = 
  | kurtosis   = 
  | entropy    = 
  | mgf        = <math>\left(\frac{\xi}{s}\right)^{\beta/2} \exp \left( \frac{\xi}{2s} \right) W_{-\delta/2,\gamma/2} \left(\frac{\xi}{s}\right)</math>
  | char       = 
}}

प्रायिकता और सांख्यिकी में, '''सामान्यीकृत के-वितरण''' निरंतर प्रायिकता वितरण का तीन-पैरामीटर वर्ग है। इस प्रकार से वितरण दो [[गामा वितरण|गामा वितरणों]] को संयोजित करके उत्पन्न होता है। प्रत्येक स्थिति में, गामा वितरण के वर्ग के सामान्य रूप का पुन: प्राचलीकरण उपयोग किया जाता है, जैसे कि पैरामीटर हैं:
* वितरण का माध्य,
* सामान्य आकार पैरामीटर।

के-वितरण [[विचरण-गामा वितरण|'''विचरण-गामा वितरण''']] का विशेष स्थिति है, जो इसके स्थान पर सामान्यीकृत अतिपरवलयिक वितरण का विशेष स्थिति है। अतः सामान्यीकृत के-वितरण के सरल विशेष स्थिति को प्रायः ''द'' के-वितरण के रूप में जाना जाता है।

==घनत्व==
इस प्रकार से मान लीजिए कि यादृच्छिक चर <math>X</math> में माध्य <math>\sigma</math> और आकार पैरामीटर <math>\alpha</math> के साथ गामा वितरण होता है, <math>\sigma</math> को एक अन्य गामा वितरण वाले यादृच्छिक चर के रूप में माना जाता है, इस बार माध्य <math>\mu</math> और आकार पैरामीटर <math>\beta</math> के साथ। अतः परिणाम यह है कि <math>X</math> में <math>x>0</math> के लिए निम्नलिखित प्रायिकता घनत्व फलन (पीडीएफ) का उपयोग किया जाता है:{{sfn|Redding|1999}}

:<math>f_X(x; \mu, \alpha, \beta)= \frac{2}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \, \left( \frac{\alpha \beta}{\mu} \right)^{\frac{\alpha + \beta}{2}}  \, x^{ \frac{\alpha + \beta}{2} - 1} K_{\alpha - \beta} \left( 2 \sqrt{\frac{\alpha \beta x}{\mu}} \right), </math>
जहाँ <math>K</math> दूसरे प्रकार का [[संशोधित बेसेल फ़ंक्शन|'''संशोधित बेसेल फलन''']] है। ध्यान दें कि दूसरे प्रकार के संशोधित बेसेल फलन के लिए, हमारे निकट <math>K_{\nu} = K_{-\nu}</math> है। इस व्युत्पत्ति में, K-वितरण मिश्रित प्रायिकता वितरण है। अतः यह [[उत्पाद वितरण|'''गुणनफल वितरण''']] भी है:{{sfn|Redding|1999}} यह दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर के गुणनफल का वितरण है, एक में माध्य 1 और आकार पैरामीटर <math>\alpha</math> के साथ गामा वितरण होता है, दूसरे में माध्य <math>\mu</math> और आकार पैरामीटर <math>\beta</math> के साथ गामा वितरण होता है।

इस प्रकार से के-वितरण का एक सरल दो पैरामीटर औपचारिकीकरण <math>\beta = 1</math> समूहित करके प्राप्त किया जा सकता है।

:<math>f_X(x; b, v)= \frac{2b}{\Gamma(v)} \left( \sqrt{bx} \right)^{v-1} K_{v-1} (2 \sqrt{bx} ), </math>
जहाँ <math>v = \alpha</math> आकार कारक है, <math>b = \alpha/\mu</math> अदिश कारक है, और <math>K</math> दूसरे प्रकार का संशोधित बेसेल फलन है। इस प्रकार से उपरोक्त दो पैरामीटर औपचारिकता को <math>\alpha = 1</math>, <math>v = \beta</math>, और <math>b = \beta/\mu</math> समूहित करके भी प्राप्त किया जा सकता है, यद्यपि <math>b</math> और <math>v</math> पैरामीटर की अलग-अलग भौतिक व्याख्या के साथ इसका उपयोग किया जाता है। इस दो पैरामीटर औपचारिकता को प्रायः के-वितरण के रूप में जाना जाता है, जबकि तीन पैरामीटर औपचारिकता को सामान्यीकृत के-वितरण के रूप में पूर्ण रूप से जाना जाता है।

इस प्रकार से यह वितरण [[एरिक जेकमैन|'''एरिक जेकमैन''']] और [[पीटर पुसी|'''पीटर पुसी''']] (1978) के लेख से लिया गया है, जिन्होंने इसका उपयोग सूक्ष्म तरंगों समुद्री प्रतिध्वनि को मॉडल करने के लिए किया था।{{sfn|Jakeman|Pusey|1978}} अतः जेकमैन एंड टफ (1987) ने वितरण को पक्षपाती रैंडम वॉक मॉडल से प्राप्त किया।{{sfn|Jakeman|Tough|1987}} वार्ड (1981) ने दो यादृच्छिक चर, '''z = a y''' के लिए गुणनफल से वितरण प्राप्त किया, जहां a में चि वितरण है और y में जटिल गॉसियन वितरण है। '''z, |z|''' के मापांक में K-वितरण होता है।{{sfn|Ward|1981}}

==[[क्षण (गणित)]]==
इस प्रकार से क्षण उत्पन्न करने वाला फलन{{sfn|Bithas|Sagias|Mathiopoulos|Karagiannidis|2006}}
:<math> M_X(s) = \left(\frac{\xi}{s}\right)^{\beta/2} \exp \left( \frac{\xi}{2s} \right) W_{-\delta/2,\gamma/2} \left(\frac{\xi}{s}\right), </math>
द्वारा दिया जाता है, जहां <math>\gamma = \beta - \alpha,</math> <math>\delta = \alpha + \beta - 1,</math> <math>\xi = \alpha \beta/\mu,</math> और <math>W_{-\delta/2,\gamma/2}(\cdot)</math> [[व्हिटेकर फ़ंक्शन|'''व्हिटेकर फलन''']] है।

अतः K-वितरण का n-वाँ क्षण

<math> \mu_n = \xi^{-n} \frac{\Gamma(\alpha+n)\Gamma(\beta+n)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} </math> द्वारा दिया गया है।

तो माध्य और विचरण
:<math> \operatorname{E}(X)= \mu  </math>
:<math> \operatorname{var}(X)= \mu^2 \frac{\alpha+\beta+1}{\alpha \beta}  </math> द्वारा दिए गए हैं।
==अन्य गुण==
अतः इस प्रकार से वितरण के सभी गुण <math>\alpha</math> और <math>\beta</math> में पूर्ण रूप से सममित हैं।

==अनुप्रयोग==
के-वितरण [[कृत्रिम झिरीदार रडार|'''कृत्रिम द्वारक रडार''']] (एसएआर) प्रतिबिंब में प्रयुक्त सांख्यिकीय या प्रायिकता मॉडल के परिणाम के रूप में उत्पन्न होता है। इस प्रकार से के-वितरण यौगिक प्रायिकता वितरण द्वारा दो अलग-अलग प्रायिकता वितरणों से बनता है, जो इसके [[रडार क्रॉस-सेक्शन|'''रडार अनुप्रस्थ-काठ''']] का प्रतिनिधित्व करता है, और दूसरा बिंदुकित का प्रतिनिधित्व पूर्ण रूप से करता है जो सुसंगत प्रतिबिंबन की विशेषता है। अतः इसका उपयोग तार-रहित संचार में समग्र तीव्र लुप्त होती और छायाकारी प्रभाव को मॉडल करने के लिए भी किया जाता है।

==टिप्पणियाँ==
{{Reflist}}

==स्रोत==
* {{Citation | last=Redding | first=Nicholas J. | title=Estimating the Parameters of the K Distribution in the Intensity Domain |  publisher=DSTO Electronics and Surveillance Laboratory | location=South Australia | id=DSTO-TR-0839 | date=1999 | pages=60 |  url=https://apps.dtic.mil/sti/pdfs/ADA368069.pdf}}
* {{Citation | last=Bocquet | first=Stephen | title=Calculation of Radar Probability of Detection in K-Distributed Sea Clutter and Noise |  publisher=Joint Operations Division, DSTO Defence Science and Technology Organisation | location=Canberra, Australia | id=DSTO-TR-0839 | date=2011 | pages=35 |  url=https://apps.dtic.mil/sti/pdfs/ADA543178.pdf}}
* {{cite journal | last1=Jakeman | first1=E. | last2=Pusey | first2=P. N. | title=प्रकीर्णन प्रयोगों में K-वितरण का महत्व| journal=Physical Review Letters | publisher=American Physical Society (APS) | volume=40 | issue=9 | date=1978-02-27 | issn=0031-9007 | doi=10.1103/physrevlett.40.546 | pages=546–550}}
* {{cite journal | last1=Jakeman | first1=E. | last2=Tough | first2=R. J. A. | title=सामान्यीकृत K वितरण: कमजोर प्रकीर्णन के लिए एक सांख्यिकीय मॉडल| journal=Journal of the Optical Society of America A | publisher=The Optical Society | volume=4 | issue=9 | date=1987-09-01 | issn=1084-7529 | doi=10.1364/josaa.4.001764 | page=1764-1772}}
* {{cite journal | last=Ward | first=K.D. | title=उच्च विभेदन समुद्री अव्यवस्था का मिश्रित प्रतिनिधित्व| journal=Electronics Letters | publisher=Institution of Engineering and Technology (IET) | volume=17 | issue=16 | year=1981 | issn=0013-5194 | doi=10.1049/el:19810394 | page=561-565}}
* {{cite journal | last1=Bithas | first1=P.S. | last2=Sagias | first2=N.C. | last3=Mathiopoulos | first3=P.T. | last4=Karagiannidis | first4=G.K. | last5=Rontogiannis | first5=A.A. | title=सामान्यीकृत-के लुप्त होते चैनलों पर डिजिटल संचार के प्रदर्शन विश्लेषण पर| journal=IEEE Communications Letters | publisher=Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE) | volume=10 | issue=5 | year=2006 | issn=1089-7798 | doi=10.1109/lcomm.2006.1633320 | pages=353–355| s2cid=4044765 }}
* {{cite book | last=Long | first=M.W. | title=भूमि और समुद्र की रडार परावर्तनशीलता| edition=3rd | publisher=Artech House | location=Norwood, MA | year=2001 | page=560 }}

==अग्रिम पठन==
* {{cite journal | last=Jakeman | first=E | title=On the statistics of K-distributed noise | journal=Journal of Physics A: Mathematical and General | publisher=IOP Publishing | volume=13 | issue=1 | date=1980-01-01 | issn=0305-4470 | doi=10.1088/0305-4470/13/1/006 | pages=31–48}}
* Ward, K. D.; Tough, Robert J. A; Watts, Simon (2006) ''Sea Clutter: Scattering, the K Distribution and Radar Performance'', Institution of Engineering and Technology. {{ISBN|0-86341-503-2}}.

{{ProbDistributions|continuous-semi-infinite}}
{{DEFAULTSORT:K-Distribution}}

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