के-वितरण

K-distribution

Parameters	$\mu \in (0,+\infty )$, $\alpha \in [0,+\infty )$, $\beta \in [0,+\infty )$
Support	$x\in [0,+\infty )\;$
PDF	${\frac {2}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,\left({\frac {\alpha \beta }{\mu }}\right)^{\frac {\alpha +\beta }{2}}\,x^{{\frac {\alpha +\beta }{2}}-1}K_{\alpha -\beta }\left(2{\sqrt {\frac {\alpha \beta x}{\mu }}}\right),$
Mean	$\mu$
Variance	$\mu ^{2}{\frac {\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}$
MGF	$\left({\frac {\xi }{s}}\right)^{\beta /2}\exp \left({\frac {\xi }{2s}}\right)W_{-\delta /2,\gamma /2}\left({\frac {\xi }{s}}\right)$

प्रायिकता और सांख्यिकी में, सामान्यीकृत के-वितरण निरंतर प्रायिकता वितरण का तीन-पैरामीटर वर्ग है। इस प्रकार से वितरण दो गामा वितरणों को संयोजित करके उत्पन्न होता है। प्रत्येक स्थिति में, गामा वितरण के वर्ग के सामान्य रूप का पुन: प्राचलीकरण उपयोग किया जाता है, जैसे कि पैरामीटर हैं:

• वितरण का माध्य,
• सामान्य आकार पैरामीटर।

के-वितरण विचरण-गामा वितरण का विशेष स्थिति है, जो इसके स्थान पर सामान्यीकृत अतिपरवलयिक वितरण का विशेष स्थिति है। अतः सामान्यीकृत के-वितरण के सरल विशेष स्थिति को प्रायः द के-वितरण के रूप में जाना जाता है।

घनत्व

इस प्रकार से मान लीजिए कि यादृच्छिक चर $X$ में माध्य $\sigma$ और आकार पैरामीटर $\alpha$ के साथ गामा वितरण होता है, $\sigma$ को एक अन्य गामा वितरण वाले यादृच्छिक चर के रूप में माना जाता है, इस बार माध्य $\mu$ और आकार पैरामीटर $\beta$ के साथ। अतः परिणाम यह है कि $X$ में $x>0$ के लिए निम्नलिखित प्रायिकता घनत्व फलन (पीडीएफ) का उपयोग किया जाता है:

$f_{X}(x;\mu ,\alpha ,\beta )={\frac {2}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,\left({\frac {\alpha \beta }{\mu }}\right)^{\frac {\alpha +\beta }{2}}\,x^{{\frac {\alpha +\beta }{2}}-1}K_{\alpha -\beta }\left(2{\sqrt {\frac {\alpha \beta x}{\mu }}}\right),$

जहाँ $K$ दूसरे प्रकार का संशोधित बेसेल फलन है। ध्यान दें कि दूसरे प्रकार के संशोधित बेसेल फलन के लिए, हमारे निकट $K_{\nu }=K_{-\nu }$ है। इस व्युत्पत्ति में, K-वितरण मिश्रित प्रायिकता वितरण है। अतः यह गुणनफल वितरण भी है: यह दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर के गुणनफल का वितरण है, एक में माध्य 1 और आकार पैरामीटर $\alpha$ के साथ गामा वितरण होता है, दूसरे में माध्य $\mu$ और आकार पैरामीटर $\beta$ के साथ गामा वितरण होता है।

इस प्रकार से के-वितरण का एक सरल दो पैरामीटर औपचारिकीकरण $\beta =1$ समूहित करके प्राप्त किया जा सकता है।

$f_{X}(x;b,v)={\frac {2b}{\Gamma (v)}}\left({\sqrt {bx}}\right)^{v-1}K_{v-1}(2{\sqrt {bx}}),$

जहाँ $v=\alpha$ आकार कारक है, $b=\alpha /\mu$ अदिश कारक है, और $K$ दूसरे प्रकार का संशोधित बेसेल फलन है। इस प्रकार से उपरोक्त दो पैरामीटर औपचारिकता को $\alpha =1$, $v=\beta$, और $b=\beta /\mu$ समूहित करके भी प्राप्त किया जा सकता है, यद्यपि $b$ और $v$ पैरामीटर की अलग-अलग भौतिक व्याख्या के साथ इसका उपयोग किया जाता है। इस दो पैरामीटर औपचारिकता को प्रायः के-वितरण के रूप में जाना जाता है, जबकि तीन पैरामीटर औपचारिकता को सामान्यीकृत के-वितरण के रूप में पूर्ण रूप से जाना जाता है।

इस प्रकार से यह वितरण एरिक जेकमैन और पीटर पुसी (1978) के लेख से लिया गया है, जिन्होंने इसका उपयोग सूक्ष्म तरंगों समुद्री प्रतिध्वनि को मॉडल करने के लिए किया था। अतः जेकमैन एंड टफ (1987) ने वितरण को पक्षपाती रैंडम वॉक मॉडल से प्राप्त किया। वार्ड (1981) ने दो यादृच्छिक चर, z = a y के लिए गुणनफल से वितरण प्राप्त किया, जहां a में चि वितरण है और y में जटिल गॉसियन वितरण है। z, |z| के मापांक में K-वितरण होता है।

क्षण (गणित)

इस प्रकार से क्षण उत्पन्न करने वाला फलन

$M_{X}(s)=\left({\frac {\xi }{s}}\right)^{\beta /2}\exp \left({\frac {\xi }{2s}}\right)W_{-\delta /2,\gamma /2}\left({\frac {\xi }{s}}\right),$

द्वारा दिया जाता है, जहां $\gamma =\beta -\alpha ,$ $\delta =\alpha +\beta -1,$ $\xi =\alpha \beta /\mu ,$ और $W_{-\delta /2,\gamma /2}(\cdot )$ व्हिटेकर फलन है।

अतः K-वितरण का n-वाँ क्षण

$\mu _{n}=\xi ^{-n}{\frac {\Gamma (\alpha +n)\Gamma (\beta +n)}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}$ द्वारा दिया गया है।

तो माध्य और विचरण

$\operatorname {E} (X)=\mu$

$\operatorname {var} (X)=\mu ^{2}{\frac {\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}$ द्वारा दिए गए हैं।

अन्य गुण

अतः इस प्रकार से वितरण के सभी गुण $\alpha$ और $\beta$ में पूर्ण रूप से सममित हैं।

अनुप्रयोग

के-वितरण कृत्रिम द्वारक रडार (एसएआर) प्रतिबिंब में प्रयुक्त सांख्यिकीय या प्रायिकता मॉडल के परिणाम के रूप में उत्पन्न होता है। इस प्रकार से के-वितरण यौगिक प्रायिकता वितरण द्वारा दो अलग-अलग प्रायिकता वितरणों से बनता है, जो इसके रडार अनुप्रस्थ-काठ का प्रतिनिधित्व करता है, और दूसरा बिंदुकित का प्रतिनिधित्व पूर्ण रूप से करता है जो सुसंगत प्रतिबिंबन की विशेषता है। अतः इसका उपयोग तार-रहित संचार में समग्र तीव्र लुप्त होती और छायाकारी प्रभाव को मॉडल करने के लिए भी किया जाता है।

स्रोत

• Redding, Nicholas J. (1999), Estimating the Parameters of the K Distribution in the Intensity Domain (PDF), South Australia: DSTO Electronics and Surveillance Laboratory, p. 60, DSTO-TR-0839
• Bocquet, Stephen (2011), Calculation of Radar Probability of Detection in K-Distributed Sea Clutter and Noise (PDF), Canberra, Australia: Joint Operations Division, DSTO Defence Science and Technology Organisation, p. 35, DSTO-TR-0839
• Jakeman, E.; Pusey, P. N. (1978-02-27). "प्रकीर्णन प्रयोगों में K-वितरण का महत्व". Physical Review Letters. American Physical Society (APS). 40 (9): 546–550. doi:10.1103/physrevlett.40.546. ISSN 0031-9007.
• Jakeman, E.; Tough, R. J. A. (1987-09-01). "सामान्यीकृत K वितरण: कमजोर प्रकीर्णन के लिए एक सांख्यिकीय मॉडल". Journal of the Optical Society of America A. The Optical Society. 4 (9): 1764-1772. doi:10.1364/josaa.4.001764. ISSN 1084-7529.
• Ward, K.D. (1981). "उच्च विभेदन समुद्री अव्यवस्था का मिश्रित प्रतिनिधित्व". Electronics Letters. Institution of Engineering and Technology (IET). 17 (16): 561-565. doi:10.1049/el:19810394. ISSN 0013-5194.
• Bithas, P.S.; Sagias, N.C.; Mathiopoulos, P.T.; Karagiannidis, G.K.; Rontogiannis, A.A. (2006). "सामान्यीकृत-के लुप्त होते चैनलों पर डिजिटल संचार के प्रदर्शन विश्लेषण पर". IEEE Communications Letters. Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE). 10 (5): 353–355. doi:10.1109/lcomm.2006.1633320. ISSN 1089-7798. S2CID 4044765.
• Long, M.W. (2001). भूमि और समुद्र की रडार परावर्तनशीलता (3rd ed.). Norwood, MA: Artech House. p. 560.

अग्रिम पठन

• Jakeman, E (1980-01-01). "On the statistics of K-distributed noise". Journal of Physics A: Mathematical and General. IOP Publishing. 13 (1): 31–48. doi:10.1088/0305-4470/13/1/006. ISSN 0305-4470.
• Ward, K. D.; Tough, Robert J. A; Watts, Simon (2006) Sea Clutter: Scattering, the K Distribution and Radar Performance, Institution of Engineering and Technology. ISBN 0-86341-503-2.