View source for कैटेनरी

{{short description|Curve that an idealized hanging chain or cable assumes}}

[[File:Kette Kettenkurve Catenary 2008 PD.JPG|thumb|180px|right|बिंदुओं से लटकी हुई श्रृंखला कैटेनरी बनाती है।]]
[[File:PylonsSunset-5982.jpg|thumb|180px|right|फ्री-हैंगिंग [[ ओवरहेड पावर लाइन |ओवरहेड पावर लाइन]] भी कैटेनरी बनाती है (उच्च वोल्टेज लाइनों के साथ सबसे प्रमुख रूप से दिखाई देती है, और [[ तनाव इन्सुलेटर |तनाव इन्सुलेटर]] के पास कुछ अपूर्णता के साथ)।]]
[[File:SpiderCatenary.jpg|thumb|180px|right|एक मकड़ी के जाले पर रेशम अनेक लोचदार विरूपण कैटेनरी बनाते हैं।]]भौतिकी और [[ ज्यामिति |ज्यामिति]] में, '''कैटेनरी''' वह [[ वक्र |वक्र]] है जिसे आदर्शीकृत लटकती श्रृंखला या तार रस्सी अपने स्वयं के [[ वजन |भार]] के अनुसार ग्रहण करती है जब केवल समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में इसके सिरों पर समर्थित होती है।

[[ कैटेनरी आर्क | कैटेनरी आर्क]] में यू-आकार की आकृति होती है, जो सतही रूप से परवलय के समान होता है, किन्तु यह परवलय नहीं है।

वक्र कुछ प्रकार के कैटेनरी मेहराबों के डिजाइन में और [[ कैटेनॉयड |कैटेनॉयड]] के क्रॉस सेक्शन के रूप में दिखाई देता है - दो समानांतर वृत्ताकार रिंगों से घिरी साबुन फिल्म द्वारा ग्रहण की गई आकृति होती है।

कैटेनरी को ऐलिसॉइड, चेनेट भी कहा जाता है।<ref name="MathWorld">[[#MathWorld|MathWorld]]</ref> या, यह विशेष रूप से पदार्थ विज्ञान में, फनिक्युलर<ref>''e.g.'':  {{cite book| last = Shodek| first = Daniel L.| title = Structures| edition = 5th| year = 2004| publisher = Prentice Hall| isbn = 978-0-13-048879-4| oclc = 148137330| page = 22 }}</ref> रोप स्टैटिक्स उत्कृष्ट स्थैतिक समस्या में कैटेनरी का वर्णन करता है जिसमें हैंगिंग रोप सम्मिलित है।<ref>{{cite web|url=https://mae.ufl.edu/~uhk/HANGING-ROPE.pdf |title=लटकती हुई रस्सी का आकार|website=Department of Mechanical & Aerospace Engineering - University of Florida |date=2017-05-02 |access-date=2020-06-04}}</ref>

गणितीय रूप से, कैटेनरी वक्र अतिपरवलयिक कोज्या फलन के फलन का ग्राफ़ है। जो कि कैटेनरी वक्र की [[ क्रांति की सतह |क्रांति की सतह]] , कैटेनॉयड, [[ न्यूनतम सतह |न्यूनतम सतह]] है, जो कि विशेष रूप से [[ क्रांति की न्यूनतम सतह |क्रांति की न्यूनतम सतह]] है जो कि लटकी हुई श्रृंखला कम से कम संभावित ऊर्जा का आकार ग्रहण करेगी जो कैटेनरी है।<ref>{{cite web|url=http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/7010/CM_02_CalculusVariations.html |title=विविधताओं की गणना|date=2015 |access-date=2019-05-03}}</ref> 1638 में [[ गैलिलियो गैलिली |गैलिलियो गैलिली]] ने [[ दो नए विज्ञान |दो नए विज्ञान]] की पुस्तक में कैटेनरी पर विचार किया गया था, यह मानते हुए कि यह परवलय से अलग था। जिससे कैटेनरी वक्र के गणितीय गुणों का अध्ययन [[ रॉबर्ट हुक |रॉबर्ट हुक]] ने 1670 के दशक में किया था, और इसका समीकरण 1691 में [[ लाइबनिट्स |लाइबनिट्स]], [[ क्रिस्टियान ह्यूजेंस |क्रिस्टियान ह्यूजेंस]] और [[ जोहान बर्नौली |जोहान बर्नौली]] द्वारा प्राप्त किया गया था।

वास्तुकला और इंजीनियरिंग में कैटेनरी और संबंधित वक्र का उपयोग किया जाता है (उदाहरण के लिए, पुलों और कैटेनरी आर्क के डिजाइन में जिससे बल झुकने वाले क्षणों में न हों)। जो कि अपतटीय तेल और गैस उद्योग में, कैटेनरी [[ स्टील कैटेनरी रिसर |स्टील कैटेनरी रिसर]] को संदर्भित करता है, उत्पादन प्लेटफॉर्म और सीबेड के मध्य निलंबित पाइपलाइन जो अनुमानित कैटेनरी आकार को अपनाती है। रेल उद्योग में यह [[ अतिरिक्त रेखा |अतिरिक्त रेखा]] को संदर्भित करता है जो ट्रेनों को विद्युत स्थानांतरित करता है। (यह अधिकांशत: हल्के संपर्क तार का समर्थन करता है, जिस स्थिति में यह सच्चे कैटेनरी वक्र का पालन नहीं करता है।)

ऑप्टिक्स और इलेक्ट्रोमैग्नेटिक्स में, हाइपरबोलिक कोसाइन और साइन फलन मैक्सवेल के समीकरणों के मूलभूत समाधान हैं।<ref>{{cite book |last1=Luo |first1=Xiangang |title=कैटेनरी ऑप्टिक्स|date=2019 |publisher=Springer |location=Singapore |isbn=978-981-13-4818-1 |doi=10.1007/978-981-13-4818-1 |s2cid=199492908 }}</ref> जिसमे यह दो अपवर्तक तरंगों से युक्त सममित मोड कैटेनरी आकार का निर्माण करेंगे।<ref>{{Cite journal|last1=Bourke|first1=Levi|last2=Blaikie|first2=Richard J.|date=2017-12-01|title=अल्ट्रा-हाई एनए इंटरफेरेंस लिथोग्राफी के लिए हर्पिन प्रभावी मीडिया रेज़ोनेंट अंडरलेयर और रेजोनेंट ओवरलेयर डिज़ाइन|url=https://www.osapublishing.org/josaa/abstract.cfm?uri=josaa-34-12-2243|journal=JOSA A|language=EN|volume=34|issue=12|pages=2243–2249|doi=10.1364/JOSAA.34.002243|pmid=29240100|bibcode=2017JOSAA..34.2243B|issn=1520-8532}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Pu|first1=Mingbo|last2=Guo|first2=Yinghui|last3=Li|first3=Xiong|last4=Ma|first4=Xiaoliang|last5=Luo|first5=Xiangang|date=2018-07-05|title=असाधारण युवा हस्तक्षेप का पुनरीक्षण: मेटासर्फ्स में कैटेनरी ऑप्टिकल फील्ड्स से स्पिन-ऑर्बिट इंटरेक्शन तक|journal=ACS Photonics|volume=5|issue=8|pages=3198–3204|language=en|doi=10.1021/acsphotonics.8b00437|s2cid=126267453 |issn=2330-4022}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Pu|first1=Mingbo|last2=Ma|first2=XiaoLiang|last3=Guo|first3=Yinghui|last4=Li|first4=Xiong|last5=Luo|first5=Xiangang|date=2018-07-23|title=कैटेनरी ऑप्टिकल क्षेत्र और फैलाव के आधार पर सूक्ष्म मेटा-सतह तरंगों का सिद्धांत|url=https://www.osapublishing.org/oe/abstract.cfm?uri=oe-26-15-19555|journal=Optics Express|language=EN|volume=26|issue=15|pages=19555–19562|doi=10.1364/OE.26.019555|pmid=30114126|bibcode=2018OExpr..2619555P|issn=1094-4087|doi-access=free}}</ref>



==इतिहास==
[[File:GaudiCatenaryModel.jpg|thumb|250px|कासा मिला में एंटोनी गौडी का कैटेनरी मॉडल]]कैटेनरी शब्द लैटिन शब्द कैटना से लिया गया है, जिसका अर्थ है चेन। अंग्रेजी शब्द कैटेनरी समान्य रूप से  [[ थॉमस जेफरसन | थॉमस जेफरसन]] को उत्तरदाई ठहराया जाता है,<ref>{{cite web|url=http://www.pballew.net/arithme8.html#catenary |title=गणित के शब्दों में "कैटेनरी"|publisher=Pballew.net |date=1995-11-21 |access-date=2010-11-17}}</ref><ref>{{cite book| last = Barrow| first = John D.| title = 100 आवश्यक चीजें जो आप नहीं जानते थे आप नहीं जानते थे: गणित आपकी दुनिया की व्याख्या करता है| year = 2010| publisher = W. W. Norton & Company| isbn = 978-0-393-33867-6| page = [https://archive.org/details/100essentialthin0000barr/page/27 27]| url = https://archive.org/details/100essentialthin0000barr/page/27}}</ref>
जिन्होंने पुल के लिए आर्क के निर्माण पर [[ थॉमस पेन |थॉमस पेन]] को पत्र में लिखा था:

{{quote|वर्तमान में मुझे इटली से मेहराब के [[यांत्रिक संतुलन|संतुलन]] पर अब्बे माशेरोनी द्वारा लिखित एक ग्रंथ प्राप्त हुआ है। यह अत्यंत वैज्ञानिक कार्य प्रतीत होता है। मेरे पास अभी तक इसमें सम्मिलित  होने का समय नहीं है; किन्तु मुझे लगता है कि उनके प्रदर्शनों का निष्कर्ष यह है कि कैटेनरी का हर भाग पूर्ण संतुलन में है।<ref>{{उद्धरण पुस्तक| अंतिम = जेफरसन| प्रथम = थॉमस| शीर्षक = थॉमस जेफरसन के संस्मरण, पत्राचार और निजी कागजात| यूआरएल = https://archive.org/details/memoirscorrespon02jeffuoft| वर्ष = 1829| प्रकाशक = हेनरी कोलबुरा और रिचर्ड बर्टले| पेज = [https://archive.org/details/memoirscorrespon02jeffuoft/page/419 419] }}</ref>}}

अधिकांशत: यह कहा जाता है<ref name="Lockwood124"/> कि गैलीलियो गैलीली ने सोचा था कि लटकी हुई श्रृंखला का वक्र परवलयिक था। चूँकि, अपने दो नए विज्ञान (1638) में, गैलीलियो ने लिखा है कि लटकती हुई रस्सी केवल अनुमानित परवलय है, जो कि स्पष्ट रूप से यह देखते हुए कि यह अनुमान स्पष्टता में सुधार करता है क्योंकि वक्रता छोटी हो जाती है और लगभग स्पष्ट होती है जब ऊंचाई 45 डिग्री से कम होती है।<ref>{{cite book| last = Fahie| first = John Joseph| title = गैलीलियो, उनका जीवन और कार्य| url = https://archive.org/details/galileohislifea01fahigoog| year = 1903| publisher = J. Murray| pages = [https://archive.org/details/galileohislifea01fahigoog/page/n411 359]–360 }}</ref> तथ्य यह है कि श्रृंखला के बाद वक्र परवलय नहीं है [[ जोआचिम जुंगियस |जोआचिम जुंगियस]] (1587-1657) द्वारा सिद्ध किया गया था; यह परिणाम मरणोपरांत 1669 में प्रकाशित हुआ था।<ref name="Lockwood124">[[#Lockwood|Lockwood]] p. 124</ref>

आर्क के निर्माण के लिए कैटेनरी के आवेदन का श्रेय रॉबर्ट हुक को दिया जाता है, जिसका वास्तविक गणितीय और यांत्रिक रूप सेंट पॉल कैथेड्रल के पुनर्निर्माण के संदर्भ में कैटेनरी की ओर संकेत करता है।<ref>{{Cite journal|jstor=532102 |title=स्मारक और सूक्ष्मदर्शी: प्रारंभिक रॉयल सोसाइटी में एक बड़े पैमाने पर वैज्ञानिक सोच|journal=Notes and Records of the Royal Society of London |volume=55 |issue=2 |pages=289–308 |first=Lisa |last=Jardine|year=2001 |doi=10.1098/rsnr.2001.0145 |s2cid=144311552 }}</ref> जो कि कुछ बहुत पुराने आर्क अनुमानित कैटेनरी हैं, जिनमें से उदाहरण [[ सीटीसिफॉन |सीटीसिफॉन]] में [[ तकी सीज़र |तकी सीज़र]] का आर्क है।<ref>{{cite book| last = Denny| first = Mark| title = सुपर स्ट्रक्चर्स: द साइंस ऑफ ब्रिजेज, बिल्डिंग्स, डैम्स एंड अदर फीट्स ऑफ इंजीनियरिंग| year = 2010| publisher = JHU Press| isbn = 978-0-8018-9437-4| pages = 112–113 }}</ref>

1671 में, हुक ने [[ रॉयल सोसाइटी |रॉयल सोसाइटी]] को घोषणा की कि उन्होंने आर्च के इष्टतम आकार की समस्या को हल कर दिया है, और 1675 में लैटिन विपर्यय के रूप में एन्क्रिप्टेड समाधान प्रकाशित किया गया था।<ref>[[cf.]] the anagram for [[Hooke's law]], which appeared in the next paragraph.</ref> जिसमे हेलियोस्कोप के उनके विवरण के परिशिष्ट में है ,<ref>{{cite web |url=http://www.lindahall.org/events_exhib/exhibit/exhibits/civil/design.shtml |title=आर्क डिजाइन|publisher=Lindahall.org |date=2002-10-28 |access-date=2010-11-17 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20101113210736/http://www.lindahall.org/events_exhib/exhibit/exhibits/civil/design.shtml |archive-date=2010-11-13 }}</ref> जहां उन्होंने लिखा है कि उन्होंने भवन के लिए सभी प्रकार के मेहराबों का वास्तविक गणितीय और यांत्रिक रूप पाया है। उन्होंने इस विपर्यय का समाधान प्रकाशित नहीं किया गया था<ref>The original anagram was ''abcccddeeeeefggiiiiiiiillmmmmnnnnnooprrsssttttttuuuuuuuux'': the letters of the Latin phrase, alphabetized.</ref> जिसे अपने जीवनकाल में, किन्तु 1705 में उनके निष्पादक ने इसे यूटी पेंडेट कॉन्टिनम फ्लेक्साइल, एसआईसी स्टैबिट कॉन्टिगुम रिगिडम इनवर्सम के रूप में प्रदान किया गया था, जिसका अर्थ है कि जैसे लचीली केबल लटकती है, वैसे ही व्युत्क्रम , आर्च के स्पर्श करने वाले टुकड़े खड़े हो जाते हैं।

1691 में, [[ गॉटफ्राइड लाइबनिज़ो |गॉटफ्राइड लाइबनिज़ो]] , क्रिस्टियान ह्यूजेंस और जोहान बर्नौली ने [[ जैकब बर्नौली |जैकब बर्नौली]] द्वारा चुनौती के उत्तर में [[ समीकरण |समीकरण]] निकाला गया था;<ref name="Lockwood124" /> जिसे उनके समाधान जून 1691 के लिए [[ जर्नल ऑफ स्कॉलर्स |जर्नल ऑफ स्कॉलर्स]] में प्रकाशित किए गए थे।<ref>{{citation|first=C.|last=Truesdell|title=The Rotational Mechanics of Flexible Or Elastic Bodies 1638–1788: Introduction to Leonhardi Euleri Opera Omnia Vol. X et XI Seriei Secundae|location=Zürich|
url=https://books.google.com/books?id=gxrzm6y10EwC&pg=PA66|page=66|publisher=Orell Füssli|date=1960|isbn=9783764314415}}</ref><ref name="calladine">{{citation|first=C. R.|last=Calladine|title=An amateur's contribution to the design of Telford's Menai Suspension Bridge: a commentary on Gilbert (1826) 'On the mathematical theory of suspension bridges'|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society A|date=2015-04-13|volume=373|issue=2039|page=20140346|doi=10.1098/rsta.2014.0346|pmid=25750153|pmc=4360092|bibcode=2015RSPTA.37340346C}}</ref> [[ डेविड ग्रेगरी (गणितज्ञ) |डेविड ग्रेगरी (गणितज्ञ)]] ने 1697 में कैटेनरी पर ग्रंथ लिखा था<ref name="Lockwood124" /><ref>{{citation|first=Davidis|last=Gregorii|title=Catenaria|journal=Philosophical Transactions|volume=19|issue=231|date=August 1697|pages=637–652|doi=10.1098/rstl.1695.0114|doi-access=free}}</ref> जिसमें उन्होंने सही अंतर समीकरण की गलत व्युत्पत्ति प्रदान की गई थी।<ref name="calladine" />

[[ यूलर | यूलर]] ने 1744 में सिद्ध किया गया था कि कैटेनरी वह वक्र है, जिसे घुमाने पर {{mvar|x}}-अक्ष, दिए गए बाउंडिंग सर्कल के लिए न्यूनतम [[ सतह क्षेत्र |सतह क्षेत्र]] (कैटेनॉयड) की सतह देता है।<ref name="MathWorld" />[[ निकोलस फुस | निकोलस फुस]] ने 1796 में किसी भी बल के अनुसार श्रृंखला के संतुलन का वर्णन करने वाले समीकरण दिए है।<ref>[[#Routh|Routh]] Art. 455, footnote</ref>



== विपरीत कैटेनरी आर्क ==
इस प्रकार के भट्ठों के निर्माण में अधिकांशत: [[ कैटेनरी मेहराब |कैटेनरी आर्क]] का उपयोग किया जाता है। जिसमे वांछित वक्र बनाने के लिए, वांछित आयामों की लटकती श्रृंखला के आकार को ऐसे रूप में स्थानांतरित किया जाता है जिसे तब ईंटों या अन्य निर्माण पदार्थ की नियुक्ति के लिए गाइड के रूप में उपयोग किया जाता है।<ref>{{cite book| last1 = Minogue| first1 = Coll| last2 = Sanderson| first2 = Robert| title = लकड़ी से बने सिरेमिक: समकालीन अभ्यास| year = 2000| publisher = University of Pennsylvania| isbn = 978-0-8122-3514-2| page = 42 }}</ref><ref>
{{cite book| last1 = Peterson| first1 = Susan| last2 = Peterson| first2 = Jan| title = The Craft and Art of Clay: A Complete Potter's Handbook| url = https://books.google.com/books?id=PAZR-A9Ra6EC&pg=PA208| year = 2003| publisher = Laurence King| isbn = 978-1-85669-354-7| page = 224 }}</ref>

सेंट लुइस, मिसौरी, संयुक्त राज्य अमेरिका में [[ गेटवे आर्क |गेटवे आर्क]] को कभी-कभी (व्युत्क्रम ) कैटेनरी कहा जाता है, किन्तु यह गलत है।<ref>{{Citation | last1=Osserman | first1=Robert | title=Mathematics of the Gateway Arch | url=https://www.ams.org/notices/201002/index.html | year=2010 | journal=[[Notices of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9920 | volume=57 | issue=2 | pages=220–229}}</ref> यह समीकरण के साथ अधिक सामान्य वक्र के समीप है जिसे चपटा कैटेनरी कहा जाता है समीकरण {{math|1=''y'' = ''A'' cosh(''Bx'')}}, के साथ है जो कैटेनरी है यदि {{math|1=''AB'' = 1}}. है जबकि कैटेनरी निरंतर मोटाई के फ्रीस्टैंडिंग आर्च के लिए आदर्श आकार है, जो कि गेटवे आर्क शीर्ष के पास संकरा है। आर्च के लिए यू.एस. [[ राष्ट्रीय ऐतिहासिक स्थलचिह्न |राष्ट्रीय ऐतिहासिक स्थलचिह्न]] नामांकन के अनुसार, यह इसके अतिरिक्त [[ भारित कैटेनरी |भारित कैटेनरी]] है। इसका आकार उस आकार से मेल खाता है जो भारित श्रृंखला, जिसमें मध्य में हल्के लिंक होते हैं, बनते हैं।<ref>{{cite journal| last = Hicks| first = Clifford B.| title = अतुल्य गेटवे आर्क: अमेरिका का सबसे शक्तिशाली राष्ट्रीय स्मारक| url = https://books.google.com/books?id=BuMDAAAAMBAJ&pg=PA89| volume = 120|date=December 1963| page = 89| issn = 0032-4558| issue = 6| journal = [[Popular Mechanics]] }}</ref><ref name="nrhpinv2">{{citation|url={{NHLS url|id=87001423}}|title=National Register of Historic Places Inventory-Nomination: Jefferson National Expansion Memorial Gateway Arch / Gateway Arch; or "The Arch"|year=1985 |first=Laura Soullière |last=Harrison |publisher=National Park Service }} and {{NHLS url|id=87001423|title=''Accompanying one photo, aerial, from 1975''|photos=y}}&nbsp;{{small|(578&nbsp;KB)}}</ref> जो कि मैकडॉनल्ड्स के लिए लोगो, [[ सुनहेरे कमान |सुनहेरे कमान]] है, जबकि दो जुड़े हुए परवलयों का आशय है, कैटेनरी पर भी आधारित है।

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==कैटेनरी ब्रिज ==
[[File:Soderskar-bridge.jpg|thumb|right|250px|साधारण निलंबन पुल अनिवार्य रूप से मोटे केबल होते हैं, और कैटेनरी वक्र का अनुसरण करते हैं।]]
[[File:Puentedelabarra(below).jpg|thumb|right|250px|उरुग्वे के माल्डोनाडो में [[ लियोनेल वीरा ब्रिज |लियोनेल वीरा ब्रिज]] की तरह [[ तनावग्रस्त रिबन पुल |तनावग्रस्त रिबन पुल]] भी कठोर डेक में एम्बेडेड केबलों के साथ कैटेनरी वक्र का अनुसरण करते हैं।]]फ्री-हैंगिंग चेन में, चेन की लंबाई के संबंध में लगाया गया बल समान होता है, और इसलिए चेन कैटेनरी कर्व का अनुसरण करती है।<ref>{{cite book| first= Owen |last1=Byer|first2=Felix |last2=Lazebnik|first3=Deirdre L. |last3=Smeltzer|author3-link=Deirdre Smeltzer| title = यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए तरीके| url = https://books.google.com/books?id=QkuVb672dWgC&pg=PA210| date = 2010-09-02| publisher = MAA| isbn = 978-0-88385-763-2| page = 210 }}</ref> जिसे साधारण निलंबन पुल या कैटेनरी पुल के बारे में भी यही सच है, जहां सड़क मार्ग केबल का अनुसरण करता है।<ref>{{cite book| first= Leonardo|last= Fernández Troyano| title = ब्रिज इंजीनियरिंग: एक वैश्विक परिप्रेक्ष्य| url = https://books.google.com/books?id=0u5G8E3uPUAC&pg=PA514| year = 2003| publisher = Thomas Telford| isbn = 978-0-7277-3215-6| page = 514 }}</ref><ref>{{cite book| first1= W. |last1=Trinks|first2=M. H. |last2=Mawhinney|first3=R. A. |last3=Shannon|first4=R. J. |last4=Reed|first5=J. R. |last5=Garvey| title = औद्योगिक भट्टियां| url = https://books.google.com/books?id=EqRTAAAAMAAJ&pg=PA132| date = 2003-12-05| publisher = Wiley| isbn = 978-0-471-38706-0| page = 132 }}</ref>
एक तनावग्रस्त रिबन पुल ही कैटेनरी आकार के साथ अधिक परिष्कृत संरचना है।<ref>{{cite book| first= John S. |last=Scott| title = सिविल इंजीनियरिंग का शब्दकोश| date = 1992-10-31| publisher = Springer| isbn = 978-0-412-98421-1| page = 433 }}</ref><ref>{{cite journal|journal=[[Architects' Journal]] |volume=207 |date=1998 |page=51}}</ref>

चूँकि , एक निलंबित सड़क के साथ एक निलंबन पुल में, चेन या केबल पुल के भार का समर्थन करते हैं, और इसलिए स्वतंत्र रूप से नहीं लटकते हैं। जो की अधिकत्तर स्थितियों में सड़क समतल होती है, इसलिए जब केबल का भार समर्थित भार की तुलना में नगण्य होता है, तो लगाया गया बल क्षैतिज दूरी के संबंध में एक समान होता है, और परिणाम एक परवलय होता है, जैसा कि नीचे चर्चा की गई है (चूँकि शब्द " कैटेनरी" अधिकांशत: अनौपचारिक अर्थ में अभी भी प्रयोग किया जाता है)। यदि केबल भारी है तो परिणामी वक्र एक कैटेनरी और एक परवलय के मध्य होता है।<ref name="Lockwood122">[[#Lockwood|Lockwood]] p. 122</ref><ref>
{{cite web
|title=Hanging With Galileo
|date=June 30, 2006
|first=Paul
|last=Kunkel
|publisher=Whistler Alley Mathematics
|url=http://whistleralley.com/hanging/hanging.htm
|access-date=March 27, 2009
}}</ref>
[[File:Comparison catenary parabola.svg|thumb|none|400px|एक कैटेनरी आर्च (ब्लैक डॉटेड कर्व) और परवलयिक आर्क (लाल सॉलिड कर्व) की तुलना ही स्पैन और सैग के साथ। कैटेनरी साधारण सस्पेंशन ब्रिज, या सस्पेंडेड-डेक सस्पेंशन ब्रिज की केबल का प्रतिनिधित्व करता है, जिस पर इसके डेक और हैंगर में केबल की तुलना में नगण्य द्रव्यमान होता है। परवलय निलंबित-डेक निलंबन पुल के केबल के प्रोफाइल का प्रतिनिधित्व करता है जिस पर इसके केबल और हैंगर के डेक की तुलना में नगण्य द्रव्यमान होता है। ही स्पैन और सैग के साथ वास्तविक सस्पेंशन ब्रिज के केबल का प्रोफाइल दो कर्व्स के मध्य स्थित होता है। कैटेनरी और परवलय समीकरण क्रमशः {{math|1=''y'' = cosh(''x'')}} तथा {{math|1=''y'' =''x''<sup>2</sup>}} हैं, ]]

==समुद्री वस्तुओं की एंकरिंग==
[[File:Catenary.PNG|thumb|right|250px|एंकर पर खींचने के कम कोण के साथ भारी एंकर श्रृंखला कैटेनरी बनाती है।]]गुरुत्वाकर्षण द्वारा निर्मित कैटेनरी भारी एंकर की सवारी को लाभ प्रदान करती है। एक एंकर राइड (या एंकर लाइन) में समान्य रूप से चेन या केबल या दोनों होते हैं। एंकर की सवारी का उपयोग जहाजों, तेल रिग, गोदी, तैरती पवन टरबाइन और अन्य समुद्री उपकरणों द्वारा किया जाता है जिन्हें समुद्र तल पर एंकर डालना चाहिए।

जब रस्सी ढीली होती है, तो कैटेनरी वक्र एंकर या मूरिंग उपकरण पर खींचने का कम कोण प्रस्तुत करता है, यदि यह लगभग सीधा होता तो ऐसा होता है । यह एंकर के प्रदर्शन को बढ़ाता है और बल के स्तर को बढ़ाता है जो इसे खींचने से पहले विरोध करेगा। हवा की उपस्थिति में कैटेनरी आकार को बनाए रखने के लिए भारी श्रृंखला की आवश्यकता होती है, जिससे गहरे जल में केवल बड़े जहाज ही इस प्रभाव पर विश्वाश कर सकें। छोटी नावें भी अधिकतम धारण शक्ति बनाए रखने के लिए कैटेनरी पर निर्भर करती हैं।<ref>{{cite web|url=http://www.petersmith.net.nz/boat-anchors/catenary.php |title=चेन, रस्सी और कैटेनरी - छोटी नावों के लिए लंगर प्रणाली|publisher=Petersmith.net.nz |access-date=2010-11-17}}</ref>
==गणितीय विवरण==

=== समीकरण ===
[[Image:catenary-pm.svg|thumb|350px|right|के विभिन्न मूल्यों के लिए कैटेनरी {{mvar|a}}]]कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में कैटेनरी के समीकरण का रूप है<ref name="Lockwood122"/>

<math display=block>y = a \cosh \left(\frac{x}{a}\right) = \frac{a}{2}\left(e^\frac{x}{a} + e^{-\frac{x}{a}}\right)</math>
जहाँ पर {{math|cosh}} अतिपरवलयिक फलन है, और जहाँ {{mvar|x}} निम्नतम बिंदु से मापा जाता है।<ref>{{cite web |url=http://mathworld.wolfram.com/Catenary.html |title=ज़ंजीर का|last=Weisstein |first=Eric W. |author-link=Eric_W._Weisstein |work=MathWorld--A Wolfram Web Resource |access-date=2019-09-21 |quote=कैटेनरी के लिए पैरामीट्रिक समीकरण x(t) = t, y(t) = [...] a cosh(t/a) द्वारा दिए गए हैं, जहां t=0 शीर्ष से मेल खाता है [...] }}< /रेफरी> [[ पैरामीटर ]] बदलने के बाद से सभी कैटेनरी वक्र एक दूसरे से [[ समानता (ज्यामिति) ]] हैं {{mvar|a}} वक्र के एक समान [[ स्केलिंग (ज्यामिति) ]] के बराबर है।

कैटेनरी के लिए [[ व्हीवेल समीकरण ]] है

<math display="block">\tan \varphi = \frac{s}{a}\,.</math>
विभेदक देता है

<math display="block">\frac{d\varphi}{ds} = \frac{\cos^2\varphi}{a}</math>
और नष्ट करना {{mvar|φ}} सिजेरो समीकरण देता है<nowiki><ref></nowiki>[[#MathWorld|MathWorld]], eq. 7</ref>

<math display=block>\kappa=\frac{a}{s^2+a^2}\,.</math>
[[ ओस्कुलेटिंग सर्कल | ओस्कुलेटिंग सर्कल]] तब है

<math display=block>\rho = a \sec^2 \varphi</math>
जो स्पर्शरेखा की लंबाई है या सामान्य रेखा से इसके और के मध्य वक्र तक {{mvar|x}}-अक्ष है ।<ref>[[#Routh|Routh]] Art. 444</ref>


=== अन्य वक्रों से संबंध ===
जब एक परवलय को एक सीधी रेखा के साथ घुमाया जाता है, तो उसके फोकस से बना रूलेट वक्र एक कैटेनरी होता है। परवलय की नियति का आवरण भी एक श्रृंगिका है।<ref name="Yates 13">{{cite book |title=वक्र और उनके गुण|first=Robert C.|last=Yates|publisher=NCTM|year=1952|pages=13}}</ref> इससे व्युत्क्रम है , जो कि एक कैटेनरी पर एक रेखा को घुमाने पर शीर्ष पर प्रारंभ होने वाले बिंदु से पता लगाया गया रूलेट है, जो कि ट्रैक्ट्रिक्स है।<ref>Yates p. 80</ref><ref name="Yates 13"/>

एक अन्य रूले, कैटेनरी पर लाइन को रोल करके बनाई गई है, और जो लाइन है। इसका तात्पर्य यह है कि व्युत्क्रम कैटेनरी वक्र के आकार में धक्कों की श्रृंखला से बनी सड़क पर चौकोर पहिये पूरी तरह से सुचारू रूप से लुढ़क सकते हैं। जो पहिए त्रिभुज को छोड़कर कोई भी [[ नियमित बहुभुज |नियमित बहुभुज]] हो सकते हैं, किन्तु कैटेनरी में पहियों के आकार और आयामों के अनुरूप पैरामीटर होने चाहिए।<ref>{{cite journal 
|last1=Hall|first1=Leon|last2=Wagon|first2=Stan|author2-link=Stan Wagon|year=1992|title=सड़कें और पहिए|journal=Mathematics Magazine|volume=65|issue= 5|pages=283–301 |jstor=2691240|doi=10.2307/2691240}}
</ref>


===ज्यामितीय गुण ===
किसी भी क्षैतिज अंतराल पर, कैटेनरी के नीचे के क्षेत्रफल और उसकी लंबाई का अनुपात {{mvar|a}} समान होता है जो कि चयनित अंतराल से स्वतंत्र होता है। इस संपत्ति के साथ क्षैतिज रेखा के अतिरिक्त कैटेनरी एकमात्र समतल वक्र है। इसके अतिरिक्त , कैटेनरी के विस्तार के अनुसार क्षेत्र का ज्यामितीय केन्द्रक वक्र के केन्द्रक और {{mvar|x}}-अक्ष को जोड़ने वाले लंबवत खंड का मध्यबिंदु है।<ref>{{cite journal|last=Parker |first=Edward |date=2010 |title=कैटेनरी की विशेषता वाली संपत्ति|journal=Mathematics Magazine |volume=83 |pages=63–64|doi=10.4169/002557010X485120 |s2cid=122116662 }}</ref>
=== विज्ञान ===
एक समान विद्युत क्षेत्र में एक गतिमान आवेश एक कैटेनरी के साथ यात्रा करता है (यदि आवेश वेग प्रकाश की गति {{mvar|c}} से बहुत कम है तो यह एक परवलय की ओर प्रवृत्त होता है)।<ref>{{cite book| last = Landau| first = Lev Davidovich| url=https://books.google.com/books?id=X18PF4oKyrUC&pg=PA56|title = क्षेत्र का शास्त्रीय सिद्धांत| year = 1975| publisher = Butterworth-Heinemann| isbn = 978-0-7506-2768-9| page = 56 }}</ref>

दोनों छोर पर निश्चित त्रिज्या के साथ क्रांति की सतह जिसका सतह क्षेत्र न्यूनतम है, {{mvar|x}}-अक्ष के चारों ओर घूमने वाली एक कैटेनरी है।<ref name="Yates 13" />


== विश्लेषण ==

=== चेन और आर्क का मॉडल ===
गणितीय मॉडल में श्रृंखला (या कॉर्ड, केबल, रस्सी, स्ट्रिंग, आदि) को यह मानकर आदर्श बनाया जाता है कि यह इतना पतला है कि इसे वक्र माना जा सकता है और यह इतना लचीला है कि [[ तनाव (भौतिकी) |तनाव (भौतिकी)]] का कोई भी बल लगाया जाता है। जो कि श्रृंखला द्वारा श्रृंखला के समानांतर है।<ref>[[#Routh|Routh]] Art. 442, p. 316</ref> इष्टतम आर्च के लिए वक्र का विश्लेषण समान है अतिरिक्त इसके कि तनाव की शक्ति [[ संपीड़न (भौतिकी) |संपीड़न (भौतिकी)]] की शक्ति बन जाती हैं और सब कुछ विपरीत हो जाता है।<ref>{{cite book| last = Church| first = Irving Porter| title = इंजीनियरिंग के यांत्रिकी| url = https://archive.org/details/mechanicsengine06churgoog| year = 1890| publisher = Wiley| page = [https://archive.org/details/mechanicsengine06churgoog/page/n410 387] }}</ref>

एक अंतर्निहित सिद्धांत यह है कि बार संतुलन प्राप्त करने के बाद श्रृंखला को कठोर निकाय माना जा सकता है।<ref>[[#Whewell|Whewell]] p. 65</ref> प्रत्येक बिंदु पर वक्र के आकार और श्रृंखला के तनाव को परिभाषित करने वाले समीकरण इस तथ्य का उपयोग करके खंड पर कार्य करने वाले विभिन्न बलों के सावधानीपूर्वक निरीक्षण द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं कि यदि श्रृंखला [[ स्थिर संतुलन |स्थिर संतुलन]] में है तो इन बलों को संतुलन में होना चाहिए।

मान लीजिए कि श्रृंखला द्वारा अनुसरण किए गए पथ को {{math|1='''r''' = (''x'', ''y'') = (''x''(''s''), ''y''(''s''))}} द्वारा पैरामीट्रिक रूप से दिया गया है, जहां {{mvar|s}} चाप की लंबाई का प्रतिनिधित्व करता है और {{math|'''r'''}} स्थिति सदिश है। यह प्राकृतिक मानकीकरण है और इसमें वह गुण है<math display="block">\frac{d\mathbf{r}}{ds}=\mathbf{u}</math>
जहाँ पर {{math|'''u'''}} [[ इकाई स्पर्शरेखा वेक्टर |इकाई स्पर्शरेखा]] सदिश है।

[[File:CatenaryForceDiagram.svg|thumb|{{math|'''c'''}} से {{math|'''r'''}} तक कैटेनरी के एक खंड पर कार्य करने वाले बलों का आरेख। बल {{math|'''c'''}} पर तनाव {{math|'''T'''<sub>0</sub>}}, {{math|'''r'''}} पर तनाव {{math|'''T'''}} और श्रृंखला का भार {{math|(0, −''λgs'')}} हैं। चूँकि श्रृंखला विरामावस्था में है इसलिए इन बलों का योग शून्य होना चाहिए।]]



वक्र के लिए [[ अंतर समीकरण |अंतर समीकरण]] निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है।<ref>Following [[#Routh|Routh]] Art. 443 p. 316</ref> होने देना {{math|'''c'''}} श्रृंखला का सबसे निचला बिंदु हो, जिसे कैटेनरी का शीर्ष कहा जाता है।<ref>[[#Routh|Routh]] Art. 443 p. 317</ref> वक्र का ढलान {{math|{{sfrac|''dy''|''dx''}}}}, {{math|'''c'''}} पर शून्य है चूंकि यह न्यूनतम बिंदु है। मान लें कि {{math|'''r'''}}, {{math|'''c'''}} के दाईं ओर है क्योंकि अन्य स्थिति समरूपता द्वारा निहित है। {{math|'''c'''}} से {{math|'''r'''}} तक श्रृंखला के खंड पर कार्य करने वाले बल {{math|'''c'''}} पर श्रृंखला का तनाव, {{math|'''r'''}} पर श्रृंखला का तनाव और श्रृंखला का भार हैं। जो कि {{math|'''c'''}} पर तनाव, {{math|'''c'''}} पर वक्र के स्पर्शरेखा है और इसलिए बिना किसी ऊर्ध्वाधर घटक के क्षैतिज है और यह अनुभाग को बाईं ओर खींचता है इसलिए इसे {{math|(−''T''<sub>0</sub>, 0)}}लिखा जा सकता है जहां {{math|''T''<sub>0</sub>}} बल का परिमाण है। {{math|'''r'''}} पर तनाव आर पर वक्र के समानांतर है और अनुभाग को दाईं ओर खींचता है। {{math|'''r'''}} पर तनाव को दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है, इसलिए इसे {{math|1=''T'''''u''' = (''T'' cos ''φ'', ''T'' sin ''φ'')}} लिखा जा सकता है, जहां T बल का परिमाण है और {{mvar|φ}} {{math|'''r'''}} पर वक्र और x-अक्ष के मध्य का कोण है। (स्पर्शरेखा कोण देखें)। अंत में, श्रृंखला के भार को {{math|(0, −''λgs'')}} द्वारा दर्शाया जाता है, जहां {{mvar|λ}} प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है, {{mvar|g}} गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की शक्ति है और {{mvar|s}}, {{math|'''c'''}} और {{math|'''r'''}} के मध्य श्रृंखला के खंड की लंबाई है।

श्रृंखला संतुलन में है इसलिए तीन बलों का योग है {{math|'''0'''}}, इसलिए

<math display=block>T \cos \varphi = T_0</math>
तथा
<math display=block>T \sin \varphi = \lambda gs\,,</math>
और इन्हें विभाजित करने पर मिलता है

<math display=block>\frac{dy}{dx}=\tan \varphi = \frac{\lambda gs}{T_0}\,.</math>
लिखना सुविधाजनक है

<math display=block>a = \frac{T_0}{\lambda g}</math>
जो श्रृंखला की लंबाई है जिसका भार {{math|'''c'''}} पर तनाव के परिमाण के समान है।<ref>[[#Whewell|Whewell]] p. 67</ref> तब

<math display=block>\frac{dy}{dx}=\frac{s}{a}</math>
वक्र को परिभाषित करने वाला समीकरण है।

तनाव का क्षैतिज घटक, {{math|1=''T'' cos ''φ'' = ''T''<sub>0</sub>}} स्थिर है और तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक है, {{math|1=''T'' sin ''φ'' = ''λgs''}} {{math|'''r'''}} और शीर्ष के मध्य श्रृंखला की लंबाई के लिए आनुपातिक है।<ref name="Routh Art 443 318">[[#Routh|Routh]] Art. 443 p. 318</ref>
=== वक्र के लिए समीकरणों की व्युत्पत्ति ===
ऊपर दिए गए अवकल समीकरण को वक्र के लिए समीकरण बनाने के लिए हल किया जा सकता है।<ref>Following [[#Routh|Routh]] Art. 443 p/ 317</ref>

से

<math display="block">\frac{dy}{dx} = \frac{s}{a}\,,</math>
चाप की लंबाई का सूत्र या एकीकरण करके चाप की लंबाई ज्ञात करना देता है
<math display="block">\frac{ds}{dx} = \sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2} = \frac{\sqrt{a^2+s^2}}{a}\,.</math>
फिर

<math display=block>\frac{dx}{ds} = \frac{1}{\frac{ds}{dx}} = \frac{a}{\sqrt{a^2+s^2}}</math>
तथा

<math display=block>\frac{dy}{ds} = \frac{\frac{dy}{dx}}{\frac{ds}{dx}} = \frac{s}{\sqrt{a^2+s^2}}\,.</math>
इन समीकरणों में से दूसरे को देने के लिए एकीकृत किया जा सकता है

<math display=block>y = \sqrt{a^2+s^2} + \beta</math>
और की स्थिति को स्थानांतरित करके {{mvar|x}}-अक्ष , {{mvar|β}} 0 लिया जा सकता है। तब

<math display=block>y = \sqrt{a^2+s^2}\,,\quad y^2=a^2+s^2\,.</math>

 इस प्रकार चुनी गई x-अक्ष को कैटेनरी की डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है।

इसका तात्पर्य यह है कि एक बिंदु {{math|(''x'', ''y'')}} पर तनाव का परिमाण {{math|1=''T'' = ''λgy''}} है, जो बिंदु और नियता के मध्य की दूरी के समानुपाती होता है।<ref name="Routh Art 443 318" />

इस तनाव को {{math|1=''T'' = ''T''<sub>0</sub> ''y''/''a''}} के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।

{{mvar|{{sfrac|dx|ds}}}} के लिए अभिव्यक्ति का अभिन्न अंग मानक तकनीकों का उपयोग करके पाया जा सकता है, <ref>Use of hyperbolic functions follows Maurer p. 107</ref>

<math display="block">x = a\operatorname{arsinh}\left(\frac{s}{a}\right) + \alpha\,.</math>
और, फिर से, y-अक्ष की स्थिति को स्थानांतरित करके, α को 0 लिया जा सकता है।

<math display="block">x = a\operatorname{arsinh}\left(\frac{s}{a}\right)\,,\quad s=a \sinh\left(\frac{x}{a}\right)\,.</math>इस प्रकार चुनी गई y-अक्ष शीर्ष से होकर गुजरती है और इसे कैटेनरी की धुरी कहा जाता है।

इन परिणामों का उपयोग {{mvar|s}} देने को समाप्त करने के लिए किया जा सकता है

<math display="block">y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right)\,.</math>


=== वैकल्पिक व्युत्पत्ति ===
अंतर समीकरण को अलग दृष्टिकोण का उपयोग करके हल किया जा सकता है।<ref>Following Lamb p. 342</ref>

से

<math display="block">s = a \tan \varphi</math>
यह इस प्रकार है कि

<math display=block>\frac{dx}{d\varphi} = \frac{dx}{ds}\frac{ds}{d\varphi}=\cos \varphi \cdot a \sec^2 \varphi= a \sec \varphi</math>
तथा
<math display=block>\frac{dy}{d\varphi} = \frac{dy}{ds}\frac{ds}{d\varphi}=\sin \varphi \cdot a \sec^2 \varphi= a \tan \varphi \sec \varphi\,.</math>
एकीकरण देता है,

<math display=block>x = a \ln(\sec \varphi + \tan \varphi) + \alpha</math>
तथा
<math display=block>y = a \sec \varphi + \beta\,.</math>
पहले की तरह, x और y-अक्षों को स्थानांतरित किया जा सकता है जिससे α और β को 0 के रूप में लिया जा सकता है ।

<math display=block>\sec \varphi + \tan \varphi = e^\frac{x}{a}\,,</math>
और दोनों पक्षों का पारस्परिक लेना
<math display=block>\sec \varphi - \tan \varphi = e^{-\frac{x}{a}}\,.</math>
अंतिम दो समीकरणों को जोड़ने और घटाने पर हल मिलता है
<math display=block>y = a \sec \varphi = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right)\,,</math>
तथा
<math display=block>s = a \tan \varphi = a \sinh\left(\frac{x}{a}\right)\,.</math>


=== पैरामीटर निर्धारित करना ===
[[Image:Catenary-tension.svg|350px|thumb|क्षैतिज बल {{mvar|T<sub>H</sub>}} के आधार पर, समान दो बिंदुओं के माध्यम से तीन कैटेनरी।]]समान्यत: पैरामीटर {{mvar|a}} अक्ष की स्थिति है। इस स्थिति में समीकरण निम्नानुसार निर्धारित किया जा सकता है:<ref>Following Todhunter Art. 186</ref>

यदि आवश्यक हो तो पुनः लेबल करें जिससे {{math|''P''<sub>1</sub>}} {{math|''P''<sub>2</sub>}} के बाईं ओर हो और {{mvar|H}} को क्षैतिज और {{mvar|v}} को {{math|''P''<sub>1</sub>}} से {{math|''P''<sub>2</sub>}} तक ऊर्ध्वाधर दूरी होने दें। अक्षों का अनुवाद करें जिससे कैटेनरी का शीर्ष {{mvar|y}}-अक्ष पर स्थित हो और इसकी ऊंचाई समायोजित हो जिससे कैटेनरी वक्र के मानक समीकरण को संतुष्ट करे<math display="block">y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right)</math>
और मान लीजिए कि {{math|''P''<sub>1</sub>}} और {{math|''P''<sub>2</sub>}} के निर्देशांक क्रमशः {{math|(''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>)}} और {{math|(''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>)}} हैं। वक्र इन बिंदुओं से होकर निकलता है, इसलिए ऊंचाई का अंतर है

<math display="block">v = a \cosh\left(\frac{x_2}{a}\right) - a \cosh\left(\frac{x_1}{a}\right)\,.</math>
और {{math|''P''<sub>1</sub>}} से {{math|''P''<sub>2</sub>}} तक वक्र की लंबाई है

<math display="block">s = a \sinh\left(\frac{x_2}{a}\right) - a \sinh\left(\frac{x_1}{a}\right)\,.</math>
जब {{math|''s''<sup>2</sup> − ''v''<sup>2</sup>}} को इन अभिव्यक्तियों का उपयोग करके विस्तारित किया जाता है तो परिणाम होता है

<math display="block">s^2-v^2=2a^2\left(\cosh\left(\frac{x_2-x_1}{a}\right)-1\right)=4a^2\sinh^2\left(\frac{H}{2a}\right)\,,</math>
इसलिए
<math display=block>\sqrt{s^2-v^2}=2a\sinh\left(\frac{H}{2a}\right)\,.</math>
यह एक पारलौकिक समीकरण है और इसे संख्यात्मक रूप से हल किया जाना चाहिए। चूंकि   {{math|''x'' > 0}} पर पूरी तरह से मोनोटोनिक है,<ref>See [[#Routh|Routh]] art. 447</ref> {{math|''a'' > 0}} के साथ अधिकतम एक समाधान है और इसलिए संतुलन की अधिकतम एक स्थिति है।

चूँकि , यदि वक्र के दोनों सिरे ({{math|''P''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''P''<sub>2</sub>}}) समान स्तर ({{math|''y''<sub>1</sub> {{=}} ''y''<sub>2</sub>}}) पर हैं, तो यह दिखाया जा सकता है कि <ref>Archived at [https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211205/T-gUVEs51-c Ghostarchive]{{cbignore}} and the [https://web.archive.org/web/20201028222841/https://www.youtube.com/watch?v=T-gUVEs51-c Wayback Machine]{{cbignore}}: {{cite web| url = https://www.youtube.com/watch?v=T-gUVEs51-c| title = Chaînette - partie 3 : longueur | website=[[YouTube]]}}{{cbignore}}</ref>
<math display=block>a = \frac {\frac14 L^2-h^2} {2h}\,</math>
जहां L, {{math|''P''<sub>1</sub>}} और {{math|''P''<sub>2</sub>}} के मध्य वक्र की कुल लंबाई है और h sag ( {{math|''P''<sub>1</sub>}}, {{math|''P''<sub>2</sub>}} और वक्र के शीर्ष के मध्य ऊर्ध्वाधर दूरी) है।

यह भी दिखाया जा सकता है कि
<math display=block>L = 2a \sinh \frac {H} {2a}\,</math>
तथा
<math display=block>H = 2a \operatorname {arcosh} \frac {h+a} {a}\,</math>
जहां H, {{math|''P''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''P''<sub>2</sub>}} के मध्य की क्षैतिज दूरी है जो समान स्तर पर स्थित हैं ({{math|''H'' {{=}} ''x''<sub>2</sub> − ''x''<sub>1</sub>}})।

{{math|''P''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''P''<sub>2</sub>}} पर क्षैतिज कर्षण बल {{math|''T<sub>H</sub>'' {{=}} ''aw''}} है, जहां λ श्रृंखला या केबल की प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।

== परिवर्तनशील सूत्रीकरण ==
लंबाई <math>L</math> की एक श्रृंखला पर विचार करें जो समान ऊंचाई और दूरी <math>D</math> पर दो बिंदुओं से निलंबित है। वक्र को अपनी संभावित ऊर्जा को कम करना होगा
<math display=block> U = \int_0^D g\rho y\sqrt{1+y'^2} dx </math>
और बाधा के अधीन है
 <math display=block> \int_0^D \sqrt{1+y'^2} dx = L\,.</math>
विविधताओं की संशोधित गणना इसलिए है
 <math display=block> \mathcal{L} = (g\rho y - \lambda )\sqrt{1+y'^2}</math>
जहां <math>\lambda </math> निर्धारित किया जाने वाला लैग्रेंज गुणक है। चूंकि स्वतंत्र वेरिएबल <math>x</math> लैग्रेंजियन में प्रकट नहीं होता है, हम बेल्ट्रामी पहचान का उपयोग कर सकते हैं
<math display=block> \mathcal{L}-y' \frac{\partial \mathcal{L} }{\partial y'} = C </math>
जहाँ पर <math>C</math> समाकलन स्थिरांक है, प्रथम समाकलन प्राप्त करने के लिए
<math display=block>\frac{(g\rho y - \lambda )}{\sqrt{1+y'^2}} = -C</math>
यह सामान्य प्रथम कोटि का अवकल समीकरण है जिसे चरों के पृथक्करण की विधि द्वारा हल किया जा सकता है। इसका समाधान सामान्य हाइपरबोलिक कोसाइन है जहां पैरामीटर बाधाओं से प्राप्त होते हैं।

==ऊर्ध्वाधर बल के साथ सामान्यीकरण ==

=== गैर-समान श्रृंखला ===
यदि श्रृंखला का घनत्व परिवर्तनशील है, तो ऊपर दिए गए विश्लेषण को घनत्व दिए गए वक्र के लिए समीकरण बनाने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है, या घनत्व को खोजने के लिए वक्र दिया जा सकता है।<ref>Following [[#Routh|Routh]] Art. 450</ref>

होने देना {{mvar|w}} श्रृंखला की प्रति इकाई लंबाई के भार को निरूपित करें, फिर श्रृंखला के भार में परिमाण होता है

<math display="block">\int_\mathbf{c}^\mathbf{r} w\, ds\,,</math>
जहां एकीकरण की सीमाएं {{math|'''c'''}} तथा {{math|'''r'''}}. हैं। एकसमान श्रृंखला के समान संतुलन बल उत्पन्न होता है

<math display="block">T \cos \varphi = T_0</math>
तथा
<math display=block>T \sin \varphi = \int_\mathbf{c}^\mathbf{r} w\, ds\,,</math>
और इसीलिए
<math display=block>\frac{dy}{dx}=\tan \varphi = \frac{1}{T_0} \int_\mathbf{c}^\mathbf{r} w\, ds\,.</math>
विभेदीकरण तब देता है

<math display=block>w=T_0 \frac{d}{ds}\frac{dy}{dx} = \frac{T_0 \dfrac{d^2y}{dx^2}}{\sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}}\,.</math>
φ और वक्रता त्रिज्या {{mvar|ρ}} के संदर्भ में यह बन जाता है

<math display=block>w= \frac{T_0}{\rho \cos^2 \varphi}\,.</math>


=== निलंबन पुल वक्र ===
[[File:Golden Gate Bridge, SF.jpg|thumb|right|480px|[[ गोल्डन गेट ब्रिज ]]। अधिकांश निलंबन पुल केबल्स परवलयिक का पालन करते हैं, जो न कि कैटेनरी वक्र, क्योंकि सड़क मार्ग केबल से अधिक भारी है।]]एक समान विश्लेषण एक क्षैतिज सड़क के साथ एक निलंबन पुल का समर्थन करने वाले केबल द्वारा पीछा किए गए वक्र को खोजने के लिए किया जा सकता है। <ref>Following [[#Routh|Routh]] Art. 452</ref> यदि प्रति इकाई लंबाई में सड़क का भार {{mvar|w}} है और केबल और पुल का समर्थन करने वाले तार का भार तुलना में नगण्य है, तो केबल पर भार (श्रृंखला और आर्क के कैटेनरी # मॉडल में चित्र देखें) {{math|'''c'''}} से {{math|'''r'''}}, {{mvar|wx}} है जहां {{mvar|x}}, {{math|'''c'''}} और {{math|'''r'''}} के मध्य की क्षैतिज दूरी है। पहले की तरह आगे बढ़ने से अंतर समीकरण मिलता है

<math display=block>\frac{dy}{dx}=\tan \varphi = \frac{w}{T_0}x\,. </math>
इसे प्राप्त करने के लिए सरल एकीकरण द्वारा हल किया जाता है

<math display=block>y=\frac{w}{2T_0}x^2 + \beta</math>
और इसलिए केबल परवलय का अनुसरण करती है। यदि केबल और सहायक तारों का भार नगण्य नहीं है तो विश्लेषण अधिक सम्मिश्र है।<ref>Ira Freeman investigated the case where only the cable and roadway are significant, see the External links section. [[#Routh|Routh]] gives the case where only the supporting wires have significant weight as an exercise.</ref>


=== समान शक्ति का कैटेनरी ===
समान शक्ति की कैटेनरी में, केबल को प्रत्येक बिंदु पर तनाव के परिमाण के अनुसार प्राबल किया जाता है, इसलिए इसके टूटने का प्रतिरोध इसकी लंबाई के साथ स्थिर रहता है। यह मानते हुए कि केबल की शक्ति प्रति इकाई लंबाई के घनत्व के समानुपाती होती है, श्रृंखला की प्रति इकाई लंबाई का भार, {{mvar|w}}, लिखा जा सकता है {{mvar|{{sfrac|T|c}}}}, जहां {{mvar|c}} स्थिर है, और गैर-समान श्रृंखलाओं के लिए विश्लेषण प्रयुक्त किया जा सकता है। <ref>Following [[#Routh|Routh]] Art. 453</ref>

इस स्थिति में तनाव के समीकरण हैं

<math display="block">\begin{align}
T \cos \varphi &= T_0\,,\\
T \sin \varphi &= \frac{1}{c}\int T\, ds\,.
\end{align}</math>
संयोजन देता है

<math display=block>c \tan \varphi = \int \sec \varphi\, ds</math>
और विभेदन द्वारा

<math display=block>c = \rho \cos \varphi</math>
जहाँ पर {{mvar|ρ}} वक्रता त्रिज्या है।

इसका समाधान है

<math display=block>y = c \ln\left(\sec\left(\frac{x}{c}\right)\right)\,.</math>
इस स्थिति में, वक्र में लंबवत अनंतस्पर्शी रेखाएं होती हैं और यह अवधि को {{math|π''c''}} तक सीमित कर देता है। अन्य संबंध हैं

<math display=block>x = c\varphi\,,\quad s = \ln\left(\tan\left(\frac{\pi+2\varphi}{4}\right)\right)\,.</math>
वक्र का अध्ययन 1826 में डेविस गिल्बर्ट द्वारा और वास्तविक रूप पर स्वतंत्र रूप से 1836 में गैसपार्ड-गुस्ताव कोरिओलिस द्वारा किया गया था।

वर्तमान में, यह दिखाया गया था कि इस प्रकार की कैटेनरी विद्युत चुम्बकीय मेटासुरफेस के निर्माण खंड के रूप में कार्य कर सकती है और इसे समान चरण ढाल के कैटेनरी के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite journal 
|last1=Pu|first1=Mingbo|last2=Li|first2=Xiong|last3=Ma|first3=Xiaoliang|last4=Luo|first4=Xiangang|year=2015|title=परफेक्ट ऑप्टिकल एंगुलर मोमेंटम के अक्रोमैटिक जेनरेशन के लिए कैटेनरी ऑप्टिक्स|journal=Science Advances|volume=1|issue= 9|pages=e1500396 |url= |doi=10.1126/sciadv.1500396|pmid=26601283|pmc=4646797|bibcode=2015SciA....1E0396P}}
</ref>


=== लोचदार कैटेनरी ===
एक [[ लोच (भौतिकी) |लोच (भौतिकी)]] कैटेनरी में, श्रृंखला को [[ स्प्रिंग (डिवाइस) |स्प्रिंग (उपकरण )]] उपकरण) से परिवर्तित कर दिया जाता है जो तनाव के उत्तर में फैल सकता है। वसंत को हुक के नियम के अनुसार फैला हुआ माना जाता है। विशेष रूप से, यदि {{math|p}} वसंत के खंड की प्राकृतिक लंबाई है, तो तनाव के साथ वसंत की लंबाई {{mvar|T}} प्रयुक्त लंबाई है

<math display=block>s=\left(1+\frac{T}{E}\right)p\,,</math>
जहां {{mvar|E}}, {{mvar|kp}} के समान एक स्थिरांक है, जहां {{mvar|k}} स्प्रिंग की कठोरता है।<ref>[[#Routh|Routh]] Art. 489</ref> जो कि परिवर्तनशील है, किन्तु अनुपात स्थानीय स्तर पर मान्य रहता है, इसलिए<ref>[[#Routh|Routh]] Art. 494</ref>
<math display=block>\frac{ds}{dp}=1+\frac{T}{E}\,.</math>
एक लोचदार स्प्रिंग के बाद का वक्र अब बेलोचदार स्प्रिंग के समान विधि का पालन करके प्राप्त किया जा सकता है। <ref>Following [[#Routh|Routh]] Art. 500</ref>

वसंत के तनाव के समीकरण हैं

<math display="block">T \cos \varphi = T_0\,,</math>
तथा
<math display=block>T \sin \varphi = \lambda_0 gp\,,</math>
जिससे

<math display=block>\frac{dy}{dx}=\tan \varphi = \frac{\lambda_0 gp}{T_0}\,,\quad T=\sqrt{T_0^2+\lambda_0^2 g^2p^2}\,,</math>जहां {{mvar|p}}, {{math|'''c'''}} से {{math|'''r'''}} तक खंड की प्राकृतिक लंबाई है और {{math|''λ''<sub>0</sub>}} बिना किसी तनाव के स्प्रिंग की प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है और {{mvar|g}} गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की शक्ति है। लिखना<math display="block">a = \frac{T_0}{\lambda_0 g}</math>
इसलिए

<math display=block>\frac{dy}{dx}=\tan \varphi = \frac{p}{a} \quad\text{and}\quad T=\frac{T_0}{a}\sqrt{a^2+p^2}\,.</math>
फिर
 <math display=block>\begin{align}
\frac{dx}{ds} &= \cos \varphi = \frac{T_0}{T} \\[6pt]
\frac{dy}{ds} &= \sin \varphi = \frac{\lambda_0 gp}{T}\,,
\end{align}</math>
जिससे 
<math display=block>\begin{alignat}{3}
\frac{dx}{dp} &= \frac{T_0}{T}\frac{ds}{dp} &&= T_0\left(\frac{1}{T}+\frac{1}{E}\right) &&= \frac{a}{\sqrt{a^2+p^2}}+\frac{T_0}{E} \\[6pt]
\frac{dy}{dp} &= \frac{\lambda_0 gp}{T}\frac{ds}{dp} &&= \frac{T_0p}{a}\left(\frac{1}{T}+\frac{1}{E}\right) &&= \frac{p}{\sqrt{a^2+p^2}}+\frac{T_0p}{Ea}\,.
\end{alignat}</math>
एकीकृत करने से पैरामीट्रिक समीकरण मिलते हैं

<math display=block>\begin{align}
x&=a\operatorname{arsinh}\left(\frac{p}{a}\right)+\frac{T_0}{E}p + \alpha\,, \\[6pt]
y&=\sqrt{a^2+p^2}+\frac{T_0}{2Ea}p^2+\beta\,.
\end{align}</math>
पुनः, x और y-अक्षों को स्थानांतरित किया जा सकता है जिससे α और β को 0 माना जा सकता है 

<math display=block>\begin{align}
x&=a\operatorname{arsinh}\left(\frac{p}{a}\right)+\frac{T_0}{E}p\,, \\[6pt]
y&=\sqrt{a^2+p^2}+\frac{T_0}{2Ea}p^2
\end{align}</math>
वक्र के लिए पैरामीट्रिक समीकरण हैं। जो कि कठोर [[ सीमा (गणित) |सीमा (गणित)]] पर जहाँ {{mvar|E}} बड़ा है, वक्र का आकार गैर-लोचदार श्रृंखला के आकार में कम हो जाता है।

== अन्य सामान्यीकरण ==

=== एक सामान्य बल के अनुसार श्रृंखला ===
श्रृंखला पर कार्य करने वाले बल {{math|'''G'''}} के संबंध में कोई धारणा नहीं बनाए जाने के कारण, निम्नलिखित विश्लेषण किया जा सकता है।<ref>Follows [[#Routh|Routh]] Art. 455</ref>

सबसे पहले, मान लीजिए कि {{mvar|s}} के फलन के रूप में {{math|1='''T''' = '''T'''(''s'')}} तनाव का बल है। श्रृंखला लचीली है इसलिए यह केवल अपने समानांतर बल लगा सकती है। चूँकि तनाव को उस बल के रूप में परिभाषित किया जाता है जो श्रृंखला स्वयं पर लगाती है, जो कि {{math|'''T'''}} को श्रृंखला के समानांतर होना चाहिए। दूसरे शब्दों में,

<math display="block">\mathbf{T} = T \mathbf{u}\,,</math>
जहां T, {{math|'''T'''}} का परिमाण है और {{math|'''u'''}} इकाई स्पर्शरेखा सदिश है।

दूसरा, मान लीजिए कि {{math|1='''G''' = '''G'''(''s'')}} प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बाहरी बल है जो {{mvar|s}} के फलन के रूप में श्रृंखला के एक छोटे खंड पर कार्य करता है। जो {{mvar|s}} तथा {{math|''s'' + Δ''s''}} के मध्य श्रृंखला के खंड पर कार्य करने वाले बल खंड के एक छोर पर तनाव {{math|'''T'''(''s'' + Δ''s'')}} का बल, दूसरे छोर पर लगभग विपरीत बल {{math|−'''T'''(''s'')}} और बाहरी हैं। खंड पर कार्य करने वाला बल लगभग {{math|'''G'''Δ''s''}} है। इन शक्ति को संतुलन बनाना होगा

<math display="block">\mathbf{T}(s+\Delta s)-\mathbf{T}(s)+\mathbf{G}\Delta s \approx \mathbf{0}\,.</math>

प्राप्त करने के लिए Δs से विभाजित करें और सीमा {{math|Δ''s'' → 0}} लें

<math display="block">\frac{d\mathbf{T}}{ds} + \mathbf{G} = \mathbf{0}\,.</math>
इन समीकरणों का उपयोग किसी बाहरी बल के अनुसार कार्य करने वाली लचीली श्रृंखला के विश्लेषण में प्रारंभिक बिंदु के रूप में किया जा सकता है। मानक कैटेनरी के स्थिति में, {{math|1='''G''' = (0, −''λg'')}} जहां श्रृंखला का द्रव्यमान {{mvar|λ}} प्रति इकाई लंबाई है और {{mvar|g}} गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की शक्ति है।

==यह भी देखें==
* कैटेनरी आर्क
* चेन फाउंटेन या सेल्फ-साइफ़ोनिंग बीड्स
* [[ ओवरहेड कैटेनरी | ओवरहेड कैटेनरी]] - रेल या ट्राम वाहनों पर निलंबित विद्युत लाइनें
* रूले (वक्र) - वृत्ताकार/हाइपरबोलिक कैटेनरी
* [[ संशोधित | संशोधित]] - काता हुआ रस्सी का आकार
* भारित कैटेनरी

==टिप्पणियाँ==
{{Reflist}}


==ग्रन्थसूची==
* {{cite book |title=A Book of Curves|first=E.H.|last=Lockwood|publisher=Cambridge|year=1961
|chapter=Chapter 13: The Tractrix and Catenary|chapter-url=https://archive.org/details/bookofcurves006299mbp}}
* {{cite book|last=Salmon|first=George | title=Higher Plane Curves
|url=https://archive.org/details/3edtreatiseonhighesalmuoft|publisher=Hodges, Foster and Figgis|year=1879|pages=[https://archive.org/details/3edtreatiseonhighesalmuoft/page/287 287]–289
}}
* {{cite book| last = Routh| first = Edward John| author-link = Edward Routh| title = A Treatise on Analytical Statics| chapter-url = https://books.google.com/books?id=3N5JAAAAMAAJ&pg=PA315| year = 1891| publisher = University Press| chapter = Chapter X: On Strings }}
* {{cite book| last = Maurer| first = Edward Rose| title = Technical Mechanics| chapter-url = https://books.google.com/books?id=L98uAQAAIAAJ&pg=PA107| year = 1914| publisher = J. Wiley & Sons| chapter = Art. 26 Catenary Cable }}
* {{cite book| last = Lamb| first = Sir Horace| title = An Elementary Course of Infinitesimal Calculus| chapter-url = https://books.google.com/books?id=eDM6AAAAMAAJ&pg=PA342| year = 1897| publisher = University Press| chapter = Art. 134 Transcendental Curves; Catenary, Tractrix }}
* {{cite book| last = Todhunter| first = Isaac| author-link = Isaac Todhunter| title = A Treatise on Analytical Statics| chapter-url = https://books.google.com/books?id=-iEuAAAAYAAJ&pg=PA199| year = 1858| publisher = Macmillan| chapter = XI Flexible Strings. Inextensible, XII Flexible Strings. Extensible }}
* {{cite book| last = Whewell| first = William| author-link = William Whewell| title = Analytical Statics| chapter-url = https://books.google.com/books?id=BF8JAAAAIAAJ&pg=PA65| year = 1833| publisher = J. & J.J. Deighton| page = 65| chapter = Chapter V: The Equilibrium of a Flexible Body }}
* {{mathworld|Catenary|Catenary}}


==अग्रिम पठन==
* {{cite book| last = Swetz| first = Frank| title = Learn from the Masters| url = https://books.google.com/books?id=gqGLoh-WYrEC&pg=PA128| year = 1995| publisher = MAA| isbn = 978-0-88385-703-8| pages = 128–9 }}
* {{cite book| last = Venturoli| first = Giuseppe| others = Trans. Daniel Cresswell| title = Elements of the Theory of Mechanics| chapter-url = https://books.google.com/books?id=kHhBAAAAYAAJ&pg=PA67| year = 1822| publisher = J. Nicholson & Son| chapter = Chapter XXIII: On the Catenary }}





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==बाहरी संबंध==
* {{MacTutor|class=Curves|id=Catenary|title=Catenary}}
* {{PlanetMath|urlname=Catenary|title=Catenary}}
* [http://www.fxsolver.com/browse/formulas/Catenary+curve Catenary curve calculator]
* [http://www.geom.uiuc.edu/zoo/diffgeom/surfspace/catenoid/catenary.html Catenary] at [[The Geometry Center]]
* [http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Catenary_dir/catenary.html "Catenary" at Visual Dictionary of Special Plane Curves]
* [http://www.maththoughts.com/blog/2013/catenary The Catenary - Chains, Arches, and Soap Films.]
* [http://www.spaceagecontrol.com/calccabl.htm Cable Sag Error Calculator] – Calculates the deviation from a straight line of a catenary curve and provides derivation of the calculator and references.
* [http://www.subhrajit.net/files/Projects-Work/OilBoom_Catenary_2010/catenary.pdf Dynamic as well as static cetenary curve equations derived] – The equations governing the shape (static case) as well as dynamics (dynamic case) of a centenary is derived. Solution to the equations discussed.
* [https://arxiv.org/abs/1401.2660 The straight line, the catenary, the brachistochrone, the circle, and Fermat] Unified approach to some geodesics.
* [https://www.ams.org/journals/bull/1925-31-08/S0002-9904-1925-04083-5/S0002-9904-1925-04083-5.pdf Ira Freeman "A General Form of the Suspension Bridge Catenary" ''Bulletin of the AMS'']
[[Category: रूले (वक्र)]]
[[Category: विभेदक समीकरण]]
[[Category: घातांक]]
[[Category: विश्लेषणात्मक ज्यामिति]]


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