View source for गॉस का नियम

{{about|विद्युत क्षेत्र से संबंधित गॉस का नियम|विभिन्न क्षेत्रों से संबंधित समान नियम|चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम|और|गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस का नियम|ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस नियम, इन सभी कानूनों के लिए प्रासंगिक गणितीय नियम|विचलन नियम}}
{{confuse|गॉस का नियम}}
[[File:Maxwell integral Gauss sphere.svg|thumb|upright=1.2|गॉस का नियम अपने अभिन्न रूप में सबसे अधिक उपयोगी होता है, जब सममिति कारणों से, एक बंद सतह (जीएस) पाया जा सकता है जिसके साथ विद्युत क्षेत्र एकसमान होता है। विद्युत प्रवाह तब सतह क्षेत्र और विद्युत क्षेत्र की ताकत का एक साधारण उत्पाद है, और सतह से घिरे कुल अभियुक्ति के समानुपाती होता है। यहां, अभियुक्तिित गोले के बाहर (आर > आर) और अंदर (आर <आर) विद्युत क्षेत्र की गणना की जा रही है (विकिवर्सिटी देखें: MyOpenMath/Solutions/Maxwell's इंटीग्रल इक्वेशन)।]]भौतिकी और [[विद्युत]] चुंबकत्व में, '''गॉस के नियम''' को गॉस के [[फ्लक्स]] नियम के रूप में भी जाना जाता है, परिणामी [[विद्युत क्षेत्र]] में विद्युत अभियुक्ति के वितरण से संबंधित नियम होते है। अपने अभिन्न रूप में, यह बताता है कि एक [[बंद सतह]] से विद्युत क्षेत्र का प्रवाह सतह से घिरे विद्युत अभियुक्ति के समानुपाती होती है। यदि नियम किसी भी अभियुक्ति वितरण को घेरने वाली सतह पर विद्युत के क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए अपर्याप्त होते है, यह उन स्थितियों में संभव हो सकता है जहां समरूपता क्षेत्र की एकरूपता को अनिवार्य करती है। जहाँ ऐसी कोई समरूपता उपस्थित नही होती है, गॉस के नियम का उपयोग इसके विभेदक रूप में किया जा सकता है, जो बताता है कि विद्युत क्षेत्र का विचलन अभियुक्ति के स्थानीय घनत्व के समानुपाती होते है। 

पहले<ref name=":0">{{cite book|author-link=Pierre Duhem|first=Pierre|last=Duhem|url=https://archive.org/stream/leonssurllec01duheuoft#page/22/mode/2up|title=Leçons sur l'électricité et le magnétisme|year=1891|publisher=Paris Gauthier-Villars |at=vol. 1, ch. 4, p. 22–23|language=fr}} shows that Lagrange has priority over Gauss. Others after Gauss discovered "Gauss' Law", too.</ref> 1773 में [[जोसेफ-लुई लाग्रेंज]] द्वारा तैयार किया गया था,<ref name=":1">{{cite journal|author-link=Joseph-Louis Lagrange| first=Joseph-Louis|last=Lagrange|url=https://books.google.com/books?id=4XkAAAAAMAAJ&pg=PA619|title=Sur l'attraction des sphéroïdes elliptiques|language=fr|journal=Mémoires de l'Académie de Berlin|page=125|date=1773}}</ref> फिर 1835 में [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] द्वारा तैयार किया गया था।<ref name=":2">{{cite book|author-link=Carl Friedrich Gauss|last=Gauss|first=Carl Friedrich| url=https://books.google.com/books?id=0TxeAAAAcAAJ&pg=PA3|title=एक नई विधि द्वारा उपचारित सजातीय गोलाकार अण्डाकार पिंडों के आकर्षण का सिद्धांत|year=1877|language=la}} (Gauss, ''Werke'', vol. V, p. 1). Gauss mentions [[Isaac Newton|Newton]]'s ''[[Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica|Principia]]'' [https://archive.org/stream/newtonspmathema00newtrich#page/n243/mode/2up proposition XCI] regarding finding the force exerted by a sphere on a point anywhere along an axis passing through the sphere.</ref> यह मैक्सवेल के समीकरणों में से एक है, जो [[ शास्त्रीय इलेक्ट्रोडायनामिक्स |मौलिक इलेक्ट्रोडायनामिक्स]] का आधार बनाता है।<ref name=":0" group="note">The other three of [[Maxwell's equations]] are: [[Gauss's law for magnetism]], [[Faraday's law of induction]], and [[Ampère's circuital law|Ampère's law with Maxwell's correction]]</ref> गॉस के नियम का उपयोग कूलम्ब के नियम को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।<ref name=":3">{{cite book |last1=Halliday|first1=David|last2=Resnick|first2=Robert|title=भौतिकी के मूल तत्व|publisher=John Wiley & Sons|year=1970 |pages=452–453}}</ref>

{{Electromagnetism|cTopic=इलेक्ट्रोस्टाटिक्स}}

==गुणात्मक वर्णन==

शब्दों में, गॉस का नियम कहता है:
:किसी भी काल्पनिक बंद सतह के माध्यम से शुद्ध विद्युत प्रवाह बराबर होता है {{math|1/''ε''<sub>0</sub>}} उस बंद सतह के भीतर संलग्न शुद्ध विद्युत अभियुक्ति के दोगुना होता है। बंद सतह को गॉसियन सतह भी कहा जाता है।<ref>{{cite book | last=Serway |first=Raymond A. | title=आधुनिक भौतिकी के साथ वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए भौतिकी|edition=4th | year=1996 | page=687}}</ref>
गॉस के नियम में भौतिकी के अन्य क्षेत्रों में कई नियमों के साथ एक करीबी गणितीय समानता होती है। वास्तव में, किसी भी व्युत्क्रम-वर्ग नियम को गॉस के नियम के समान विधियों से तैयार किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, गॉस का नियम अनिवार्य रूप से कूलम्ब के नियम के बराबर होता है, और गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस का नियम अनिवार्य रूप से न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के बराबर होता है, दोनों व्युत्क्रम-वर्ग नियम होते है।

[[ समाकलन गणित |समाकलन गणित]] और [[ अंतर कलन |अंतर कलन]] में [[ वेक्टर पथरी |वेक्टर]] का उपयोग करके नियम को गणितीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है, दोनों समतुल्य होते है क्योंकि वे [[विचलन प्रमेय|विचलन नियम]] द्वारा संबंधित होते है, जिसे गॉस नियम भी कहा जाता है। इन रूपों में से प्रत्येक को बदले में दो विधियों से भी व्यक्त किया जा सकता है: विद्युत क्षेत्र के बीच संबंध के संदर्भ में {{math|'''E'''}} और कुल विद्युत अभियुक्ति, या [[विद्युत विस्थापन क्षेत्र]] के संदर्भ में {{math|'''D'''}} मुक्त होता है।<ref name="GrantPhillips">{{cite book|first1=I. S.|last1=Grant|first2=W. R.| last2=Phillips| title=विद्युत चुंबकत्व|edition=2nd|series=Manchester Physics|publisher=John Wiley & Sons|year=2008| isbn=978-0-471-92712-9}}</ref>
== सम्मलित समीकरण {{math|E}} छेत्र ==

गॉस के नियम को या तो विद्युत क्षेत्र का उपयोग करके बताया जा सकता है {{math|'''E'''}} या विद्युत विस्थापन क्षेत्र {{math|'''D'''}}. यह खंड कुछ रूपों को दिखाता है {{math|'''E'''}}, इसके साथ प्रपत्र {{math|'''D'''}} नीचे है, जैसा कि अन्य रूपों में है {{math|'''E'''}}.

=== अभिन्न रूप ===
[[File:Electric-flux-surface-example.svg|thumb|एक मनमाना सतह के माध्यम से विद्युत प्रवाह सतह से घिरे कुल अभियुक्ति के समानुपाती होता है।]]
[[File:Electric-flux-no-charge-inside.svg|thumb|कोई भी अभियुक्ति गोले से घिरा नहीं होता है। इसकी सतह के माध्यम से विद्युत प्रवाह शून्य है।]]गॉस के नियम को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:<ref name="GrantPhillips"/><math display="block">\Phi_E = \frac{Q}{\varepsilon_0}</math>जहाँ {{math|Φ<sub>''E''</sub>}} एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत प्रवाह है {{mvar|S}} किसी भी मात्रा को संलग्न करता है {{mvar|V}}, {{mvar|Q}} भीतर संलग्न कुल विद्युत अभियुक्ति है {{mvar|V}}, और {{math|''ε''<sub>0</sub>}} [[विद्युत स्थिरांक]] है। विद्युत प्रवाह {{math|Φ<sub>''E''</sub>}} को विद्युत क्षेत्र के [[सतह अभिन्न|सतह]] के रूप में परिभाषित किया गया है:

:{{oiint|preintegral=<math>\Phi_E = </math>|intsubscpt=<math>\scriptstyle _S</math>|integrand=<math>\mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A}</math>}}

जहाँ {{math|'''E'''}} विद्युत क्षेत्र है, {{math|d'''A'''}} एक वेक्टर है जो सतह के [[क्षेत्र]] के एक अति सूक्ष्म तत्व का प्रतिनिधित्व करता है,{{refn|More specifically, the infinitesimal area is thought of as [[Plane (mathematics)|planar]] and with area {{math|d''N''}}. The vector {{math|d'''R'''}} is [[Normal (geometry)|normal]] to this area element and has [[magnitude (vector)|magnitude]] {{math|d''A''}}.<ref>{{cite book|last=Matthews|first=Paul|title=Vector Calculus|publisher=Springer|year=1998|isbn=3-540-76180-2}}</ref>|group=note}} और दो वैक्टरों के [[डॉट उत्पाद]] का प्रतिनिधित्व करता है।

एक बंद सतह के माध्यम से एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के प्रवाह को व्यक्त किया जाता है

:{{oiint|preintegral=<math>\Phi_E = c </math> |intsubscpt=<math> \scriptstyle _S</math>|integrand=<math> F^{\kappa 0} \sqrt {-g} \, \mathrm{d} S_\kappa </math>}}

जहाँ <math>c</math> [[प्रकाश की गति]] है, <math>F^{\kappa 0}</math> [[विद्युत चुम्बकीय टेंसर]] के समय घटकों को दर्शाता है, <math>g</math> [[मीट्रिक टेंसर]] का निर्धारक है, <math> \mathrm{d} S_\kappa = \mathrm{d} S^{ij} = \mathrm{d}x^i \mathrm{d}x^j </math> अभियुक्ति के आस-पास द्वि-आयामी सतह का एक असामान्य तत्व है <math>Q</math>, सूचकांक <math> i,j,\kappa = 1,2,3</math> और एक दूसरे से मेल नहीं खाते है।<ref>{{cite journal | last1 = Fedosin | first1 = Sergey G. | title = विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के समाकल समीकरणों के सहपरिवर्ती निरूपण पर| journal = Progress in Electromagnetics Research C | volume = 96 | pages = 109–122| year = 2019 | url = https://rdcu.be/ccV9o| doi = 10.2528/PIERC19062902| arxiv = 1911.11138 | bibcode=2019arXiv191111138F| s2cid = 208095922 }}</ref>

चूंकि प्रवाह को विद्युत क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया गया है, गॉस के नियम की इस अभिव्यक्ति को अभिन्न रूप कहा जाता है।
[[File:Gauss's law - surface charge - boundary condition on D.svg|thumb|लाप्लास के समीकरण को हल करके विद्युत क्षमता और विद्युत क्षेत्र की गणना करने के बाद एक छोटे गॉस बॉक्स, जिसके किनारे सुचालक की सतह के लंबवत होते है, का उपयोग स्थानीय सतह के अभियुक्ति को खोजने के लिए किया जाता है। विद्युत क्षेत्र सुचालक की समविभव सतह के लंबवत, स्थानीय रूप से, और अंदर शून्य है, इसका प्रवाह πa<sup>2</sup>·E, गॉस के नियम के अनुसार πa के बराबर है<sup>2</sup>·s/e<sub>0</sub>. इस प्रकार, {{nowrap|1=''σ'' = ''ε''<sub>0</sub>''E''}}.]]ज्ञात क्षमता पर स्थापित सूचालकों से जुड़ी समस्याओं में, लाप्लास के समीकरण को या तो विश्लेषणात्मक या संख्यात्मक रूप से हल करके उनकी क्षमता प्राप्त की जाती है। विद्युत क्षेत्र की गणना क्षमता के नकारात्मक ढाल के रूप में की जाती है। गॉस का नियम विद्युत अभियुक्ति के वितरण को ढूँढने में संभव बनती है: सुचालक के किसी भी क्षेत्र में अभियुक्ति को विद्युत क्षेत्र को एकीकृत करके फ्लक्स का पता लगाने के लिए घटाया जा सकता है, जिसकी भुजाएँ सुचालक की सतह के लंबवत होती है, और सुचालक शून्य होता है।

विपरीत समस्या, जब विद्युत अभियुक्ति वितरण ज्ञात होता है और विद्युत क्षेत्र की गणना की जाती है, तो यह बहुत अधिक कठिन होता है। किसी दिए गए सतह के माध्यम से कुल प्रवाह विद्युत क्षेत्र के बारे में बहुत कम जानकारी देता है।

एक अपवाद तब होता है जब समस्या में कुछ [[समरूपता]] होती है, जो अनिवार्य करती है कि विद्युत क्षेत्र एक समान विधियों से सतह के माध्यम से निकलता है। तब, यदि कुल फ्लक्स ज्ञात होता है, तो प्रत्येक बिंदु पर क्षेत्र का अनुमान लगाया जा सकता है। समरूपता के सामान्य उदाहरण जो खुद को गॉस के नियम के लिए उनमें सम्मलित होते है: बेलनाकार समरूपता, तलीय समरूपता और गोलाकार समरूपता सम्मलित होते है। उदाहरण के लिए गौसियन सतह लेख देखें जहां विद्युत क्षेत्रों की गणना करने के लिए इन समरूपताओं का शोषण किया जाता है।

=== विभेदक रूप ===

विचलन नियम द्वारा, गॉस के नियम को वैकल्पिक रूप से विभेदक रूप में लिखा जा सकता है:
<math display="block">\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0 \varepsilon_r}</math>
जहाँ {{math|∇ · '''E'''}} विद्युत क्षेत्र का [[विचलन]] है, {{math|''ε''<sub>0</sub>}} निर्वात पारगम्यता है, <math>\varepsilon_r</math> [[सापेक्ष पारगम्यता]] है, और {{mvar|ρ}} आयतन अभियुक्ति घनत्व (अभियुक्ति प्रति यूनिट आयतन) है।

=== अभिन्न और विभेदक रूपों की समानता ===
{{Main article|विचलन नियम}}

विचलन नियम द्वारा अभिन्न और अंतर रूप गणितीय रूप से समकक्ष होता है। यहाँ तर्क अधिक विशेष रूप से होता है।

{{math proof|title=Outline of proof 
|proof=The integral form of Gauss' law is:
:{{oiint|intsubscpt=<math>{\scriptstyle _S}</math>|integrand=<math>\mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A}</math>}}<math> = \frac{Q}{\varepsilon_0}</math>
for any closed surface {{mvar|S}} containing charge {{mvar|Q}}. By the divergence theorem, this equation is equivalent to:

<math display="block">\iiint_V \nabla \cdot \mathbf{E} \, \mathrm{d}V = \frac{Q}{\varepsilon_0}</math>

for any volume {{mvar|V}} containing charge {{mvar|Q}}. By the relation between charge and charge density, this equation is equivalent to:
<math display="block">\iiint_V \nabla \cdot \mathbf{E} \, \mathrm{d}V = \iiint_V \frac{\rho}{\varepsilon_0} \, \mathrm{d}V</math>
for any volume {{mvar|V}}. In order for this equation to be ''simultaneously true'' for ''every'' possible volume {{mvar|V}}, it is necessary (and sufficient) for the integrands to be equal everywhere. Therefore, this equation is equivalent to:

<math display="block">\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}.</math>
Thus the integral and differential forms are equivalent.
}}

== सम्मलित समीकरण {{math|D}} छेत्र ==
{{see also|मैक्सवेल के समीकरण}}

=== मुक्त, बाध्य और कुल शुल्क ===
{{Main article|विद्युत ध्रुवीकरण}}

सरल पाठ्यपुस्तक स्थितियों में उत्पन्न होने वाले विद्युत अभियुक्ति को मुक्त अभियुक्ति के रूप में वर्गीकृत किया जाता है - उदाहरण के लिए, स्थिर विद्युत में स्थानांतरित होने वाला अभियुक्ति, या [[संधारित्र]] स्थान पर अभियुक्ति। इसके विपरीत, अभियुक्ति केवल परावैद्युत (ध्रुवीय) सामग्री के संदर्भ में उत्पन्न होता है। (सभी सामग्री कुछ हद तक ध्रुवीकरण योग्य होते है।) जब ऐसी सामग्री को बाहरी विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है, तो इलेक्ट्रॉन अपने संबंधित परमाणुओं से बंधे रहते है, लेकिन क्षेत्र की प्रतिक्रिया में एक सूक्ष्म होती है, जिससे कि वे एक तरफ अधिक होते है। ये सभी सूक्ष्म विस्थापन एक स्थूल शुद्ध अभियुक्ति वितरण देने के लिए जुड़े होते है, और यह बाध्य अभियुक्ति का गठन करते है।

यद्यपि सूक्ष्मदर्शी रूप से सभी अभियुक्ति मौलिक रूप से समान होते है, फिर भी अभियुक्ति को मुक्त अभियुक्ति से अलग मानने के लिए अधिकांशतः व्यावहारिक कारण होते है। परिणाम यह है कि अधिक मौलिक गॉस के नियम, के संदर्भ में {{math|'''E'''}}, कभी-कभी नीचे समतुल्य रूप में रखा जाता है, जो कि संदर्भ होता है {{math|'''D'''}} केवल मुक्त होता है।

=== अभिन्न रूप ===

गॉस के नियम का यह सूत्रीकरण कुल अभियुक्ति रूप बताता है:

<math display="block">\Phi_D = Q_\mathrm{free}</math>
जहाँ {{math|Φ<sub>''D''</sub>}} विद्युत विस्थापन क्षेत्र है |{{math|'''D'''}}-क्षेत्र विद्युत प्रवाह एक सतह के माध्यम होता है {{mvar|S}} जो आयतन संलग्न करता है {{mvar|V}}, और {{math|''Q''<sub>free</sub>}} मुक्त होता है जिसमें निहित है {{mvar|V}} प्रवाह {{math|Φ<sub>''D''</sub>}} फ्लक्स के अनुरूप परिभाषित किया गया है {{math|Φ<sub>''E''</sub>}} विद्युत क्षेत्र {{math|'''E'''}} द्वारा है {{mvar|S}}:

:{{oiint|preintegral=<math>\Phi_D = </math>|intsubscpt=<math>{\scriptstyle _S}</math>|integrand=<math>\mathbf{D} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} </math>}}

=== विभेदक रूप ===

गॉस के नियम का विभेदक रूप कहता है:
<math display="block">\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_\mathrm{free}</math>
जहाँ {{math|∇ · '''D'''}} विद्युत विस्थापन क्षेत्र का विचलन है, और {{math|''ρ''<sub>free</sub>}} मुक्त विद्युत अभियुक्ति घनत्व है।

== कुल और मुक्त अभियुक्ति वितरण की समानता ==

{{math proof|title=Proof that the formulations of Gauss's law in terms of free charge are equivalent to the formulations involving total charge.
|proof=
In this proof, we will show that the equation
<math display="block">\nabla\cdot \mathbf{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}</math>
is equivalent to the equation
<math display="block">\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_\mathrm{free}</math>
Note that we are only dealing with the differential forms, not the integral forms, but that is sufficient since the differential and integral forms are equivalent in each case, by the divergence theorem.

We introduce the [[polarization density]] {{math|'''P'''}}, which has the following relation to {{math|'''E'''}} and {{math|'''D'''}}:
<math display="block">\mathbf{D}=\varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}</math>
and the following relation to the bound charge:
<math display="block">\rho_\mathrm{bound} = -\nabla\cdot \mathbf{P}</math>
Now, consider the three equations:
<math display="block">\begin{align}
\rho_\mathrm{bound} &= \nabla\cdot (-\mathbf{P}) \\
\rho_\mathrm{free} &= \nabla\cdot \mathbf{D} \\
\rho &= \nabla \cdot(\varepsilon_0\mathbf{E})
\end{align}</math>
The key insight is that the sum of the first two equations is the third equation. This completes the proof: The first equation is true by definition, and therefore the second equation is true [[if and only if]] the third equation is true. So the second and third equations are equivalent, which is what we wanted to prove.
}}

== रैखिक सामग्री के लिए समीकरण ==

[[सजातीय]], [[ समदैशिक |समदैशिक]], रैखिक सामग्री के बीच एक सरल संबंध है {{math|'''E'''}} और {{math|'''D'''}}:

<math display="block">\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E} </math>
जहाँ {{mvar|ε}} सामग्री की पारगम्यता है। [[ मुक्त स्थान |मुक्त स्थान]] के स्थिति में, {{math|1=''ε'' = ''ε''<sub>0</sub>}} इन परिस्थितियों में गॉस का नियम परिवर्तित हो जाते है

<math display="block">\Phi_E = \frac{Q_\mathrm{free}}{\varepsilon}</math>
अभिन्न रूप के लिए है, और

<math display="block">\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho_\mathrm{free}}{\varepsilon}</math>
विभेदक रूप के लिए है।

== व्याख्याएं ==
=== बल के क्षेत्रों के संदर्भ में ===
गॉस के नियम की व्याख्या क्षेत्र की बल रेखाओं के संदर्भ में निम्नानुसार की जा सकती है:

एक बंद सतह के माध्यम से प्रवाह सतह को भेदने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं के परिमाण और दिशा दोनों पर निर्भर करता है। सामान्यतः एक सकारात्मक प्रवाह को इन रेखाओं द्वारा परिभाषित किया जाता है। इसके परिणामस्वरूप धनात्मक अभियुक्ति उत्पन्न होती है जिससे धनात्मक प्रवाह होता है। ये विद्युत क्षेत्र रेखाएँ अभियुक्ति के स्रोत से दूरी के ऊर्जा में घटते हुए अंत तक विस्तारित होती है। किसी अभियुक्ति से निकलने वाली क्षेत्र रेखाओं की संख्या जितनी अधिक होती है, अभियुक्ति का परिमाण उतना ही अधिक होता है, और क्षेत्र रेखाएँ जितनी निकट होती है, विद्युत क्षेत्र का परिमाण उतना ही अधिक होता है। यह विद्युत क्षेत्र के कमजोर होने का स्वाभाविक परिणाम है कि एक अभियुक्तिित कण से दूर चला जाता है, लेकिन सतह क्षेत्र भी बढ़ जाता है जिससे इस कण से निकलने वाला शुद्ध विद्युत क्षेत्र समान रहता है। दूसरे शब्दों में, विद्युत क्षेत्र का बंद अभिन्न अंग और क्षेत्र के व्युत्पन्न का डॉट उत्पाद मुक्त स्थान की पारगम्यता से विभाजित शुद्ध अभियुक्ति के बराबर होता है।

== कूलम्ब के नियम से संबंध ==

=== कूलम्ब के नियम से गॉस के नियम की व्युत्पत्ति ===

गॉस का नियम केवल कूलम्ब के नियम से नहीं लिया जा सकता है, क्योंकि कूलम्ब का नियम केवल विद्युत क्षेत्र के लिए होता है। चूँकि, गॉस के नियम को कूलम्ब के नियम से सिद्ध किया जा सकता है यदि यह मान लिया जाए, इसके अतिरिक्त, विद्युत क्षेत्र सुपरपोज़िशन सिद्धांत का पालन करता है। सुपरपोज़िशन सिद्धांत बताता है कि परिणामी क्षेत्र प्रत्येक कण (यदि स्थान में अभियुक्तिों को सुचारू रूप से वितरित किया जाता है) द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का सदिश योग होता है।

{{math proof|title=Outline of proof
|proof=
[[Coulomb's law]] states that the electric field due to a stationary [[point charge]] is:
<math display="block">\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\mathbf{e}_r}{r^2}</math>
where
*{{math|'''e'''<sub>''r''</sub>}} is the radial [[unit vector]],
*{{mvar|r}} is the radius, {{math|{{abs|'''r'''}}}},
*{{math|''ε''<sub>0</sub>}} is the [[electric constant]],
*{{mvar|q}} is the charge of the particle, which is assumed to be located at the [[origin (mathematics)|origin]].

Using the expression from Coulomb's law, we get the total field at {{math|'''r'''}} by using an integral to sum the field at {{math|'''r'''}} due to the infinitesimal charge at each other point {{math|'''s'''}} in space, to give
<math display="block">\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{s})(\mathbf{r}-\mathbf{s})}{|\mathbf{r}-\mathbf{s}|^3} \, \mathrm{d}^3 \mathbf{s}</math>
where {{mvar|ρ}} is the charge density. If we take the divergence of both sides of this equation with respect to '''r''', and use the known theorem<ref>See, for example, {{cite book | last=Griffiths | first=David J. | title=Introduction to Electrodynamics | edition=4th | publisher=Prentice Hall | year=2013 | page=50 }}</ref>

<math display="block">\nabla \cdot \left(\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}\right) = 4\pi \delta(\mathbf{r})</math>
where {{math|''δ''('''r''')}} is the [[Dirac delta function]], the result is
<math display="block">\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\varepsilon_0} \int \rho(\mathbf{s})\, \delta(\mathbf{r}-\mathbf{s})\, \mathrm{d}^3 \mathbf{s}</math>

Using the "[[Dirac delta function#Translation|sifting property]]" of the Dirac delta function, we arrive at
<math display="block">\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{\rho(\mathbf{r})}{\varepsilon_0},</math>
which is the differential form of Gauss' law, as desired.
}}

चूँकि कूलम्ब का नियम केवल स्थिर अभियुक्तिों पर लागू होता है, इसलिए यह अपेक्षा करने का कोई कारण नहीं है कि गॉस का नियम केवल इस व्युत्पत्ति के आधार पर गतिमान अभियुक्तिों के लिए मान्य होता है। वास्तव में, गॉस का नियम गतिमान अभियुक्तिों के लिए मान्य होता है, और इस संबंध में गॉस का नियम कूलम्ब के नियम से अधिक सामान्य होता है।

{{math proof|title=Proof (without Dirac Delta)
|proof=
Let <math>\Omega \subseteq R^3 </math> be a bounded open set, and  <math display="block">\mathbf E_0(\mathbf r) = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{\Omega} \rho(\mathbf r')\frac {\mathbf r - \mathbf r'} {\left \| \mathbf r - \mathbf r' \right \|^3} \mathrm{d}\mathbf{r}'
\equiv \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{\Omega} e(\mathbf{r, \mathbf{r}'}){\mathrm{d}\mathbf{r}'}</math> be the electric field, with <math>\rho(\mathbf r')</math> a continuous function (density of charge).

It is true for all <math>\mathbf{r} \neq \mathbf{r'}</math> that <math>\nabla_\mathbf{r}  \cdot \mathbf{e}(\mathbf{r, r'}) = 0</math>.

Consider now a compact set <math>V \subseteq R^3</math> having a [[piecewise]] [[Smooth surface|smooth boundary]] <math>\partial V</math> such that <math>\Omega  \cap V = \emptyset</math>. It follows that <math>e(\mathbf{r, \mathbf{r}'}) \in C^1(V \times \Omega)</math> and so, for the divergence theorem:

<math display="block">\oint_{\partial V} \mathbf{E}_0 \cdot d\mathbf{S} = \int_V \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E}_0 \, dV</math>

But because <math>e(\mathbf{r, \mathbf{r}'}) \in C^1(V \times \Omega)</math>,

<math display="block">\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E}_0(\mathbf{r}) = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{\Omega} \nabla_\mathbf{r} \cdot e(\mathbf{r, \mathbf{r}'}){\mathrm{d}\mathbf{r}'} = 0 </math>  for the argument above (<math>\Omega  \cap V = \emptyset \implies \forall \mathbf{r} \in V \ \  \forall \mathbf{r'} \in \Omega \ \ \  \mathbf{r} \neq \mathbf{r'}  </math> and then <math>\nabla_\mathbf{r}  \cdot \mathbf{e}(\mathbf{r, r'}) = 0</math>)

Therefore the flux through a closed surface generated by some charge density outside (the surface) is null.

Now consider <math>\mathbf{r}_0 \in \Omega</math>, and <math>B_R(\mathbf{r}_0)\subseteq \Omega</math>  as the sphere centered in <math>\mathbf{r}_0</math> having <math>R</math> as radius (it exists because <math>\Omega</math> is an open set).

Let <math>\mathbf{E}_{B_R}</math> and <math>\mathbf{E}_C</math> be the electric field created inside and outside the sphere respectively. Then,

:<math>\mathbf{E}_{B_R} = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{B_R(\mathbf{r}_0)} e(\mathbf{r, \mathbf{r}'}){\mathrm{d}\mathbf{r}'}</math>,    <math>\mathbf{E}_C = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{\Omega \setminus B_R(\mathbf{r}_0)} e(\mathbf{r, \mathbf{r}'}){\mathrm{d}\mathbf{r}'}</math> and <math>\mathbf{E}_{B_R} + \mathbf{E}_C = \mathbf{E}_0 </math>

<math display="block">\Phi(R) =
\oint_{\partial B_R(\mathbf{r}_0)} \mathbf{E}_0 \cdot d\mathbf{S} =
\oint_{\partial B_R(\mathbf{r}_0)} \mathbf{E}_{B_R} \cdot d\mathbf{S} +
\oint_{\partial B_R(\mathbf{r}_0)} \mathbf{E}_C \cdot d\mathbf{S} =
\oint_{\partial B_R(\mathbf{r}_0)} \mathbf{E}_{B_R} \cdot d\mathbf{S} </math>

The last equality follows by observing that <math>(\Omega \setminus B_R(\mathbf{r}_0)) \cap B_R(\mathbf{r}_0) = \emptyset</math>, and the argument above.

The RHS is the electric flux generated by a charged sphere, and so:

<math display="block">\Phi(R) =\frac {Q(R)}{\varepsilon_0}  = \frac {1}{\varepsilon_0} \int_{B_R(\mathbf{r}_0)} \rho(\mathbf r'){\mathrm{d}\mathbf{r}'} =
\frac {1}{\varepsilon_0} \rho(\mathbf r'_c)|B_R(\mathbf{r}_0)| </math> with <math> r'_c \in \ B_R(\mathbf{r}_0)</math>

Where the last equality follows by the mean value theorem for integrals. Using the [[squeeze theorem]] and the continuity of <math> \rho  </math>, one arrives at:

<math display="block">\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E}_0(\mathbf{r}_0) =
\lim_{R \to 0} \frac{1}{|B_R(\mathbf{r}_0)|}\Phi(R) = 
\frac {1}{\varepsilon_0} \rho(\mathbf r_0)  </math>
}}

=== गॉस के नियम से कूलम्ब के नियम की व्युत्पत्ति ===

कूलम्ब का नियम केवल गॉस के नियम से प्राप्त नहीं किया जा सकता है, क्योंकि गॉस का नियम [[कर्ल (गणित)]] के बारे में कोई जानकारी नहीं देता है, {{math|'''E'''}} (देखें [[हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन]] और फैराडे का नियम)। चूँकि, कूलम्ब का नियम गॉस के नियम से सिद्ध किया जा सकता है, यदि यह मान लिया जाए, इसके अतिरिक्त, एक बिंदु अभियुक्ति से विद्युत क्षेत्र गोलाकार रूप से सममित होती है।

{{math proof|title=Outline of proof
|proof=
Taking {{mvar|S}} in the integral form of Gauss' law to be a spherical surface of radius {{mvar|r}}, centered at the point charge {{mvar|Q}}, we have

<math display="block">\oint_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0} </math>

By the assumption of spherical symmetry, the integrand is a constant which can be taken out of the integral. The result is
<math display="block">4\pi r^2\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{Q}{\varepsilon_0}</math>
where {{math|'''r̂'''}} is a [[unit vector]] pointing radially away from the charge. Again by spherical symmetry, {{math|'''E'''}} points in the radial direction, and so we get
<math display="block">\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}</math>
which is essentially equivalent to Coulomb's law. Thus the [[inverse-square law]] dependence of the electric field in Coulomb's law follows from Gauss' law.
}}

== यह भी देखें ==
* इमेज अभियुक्ति करने की विधि
* प्वासों के समीकरण के लिए अद्वितीयता नियम
* स्टिग्लर के नियम के उदाहरणों की सूची
==टिप्पणियाँ==
{{Reflist|group=note}}


==उद्धरण==
{{Reflist|30em}}


==संदर्भ==
*{{cite book|last=Gauss|first=Carl Friedrich|date=1867|title=Werke Band 5}} [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN236006339 Digital version]
*{{cite book|last=Jackson|first=John David|date=1998|title=Classical Electrodynamics|edition=3rd|location=New York|publisher=Wiley|isbn=0-471-30932-X}} David J. Griffiths (6th ed.)


==बाहरी संबंध==
*{{Commons category inline}}
* [https://web.archive.org/web/20080628181946/http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Physics/8-02Electricity-and-MagnetismSpring2002/VideoAndCaptions/ MIT Video Lecture Series (30 x 50 minute lectures)- Electricity and Magnetism] Taught by Professor [[Walter Lewin]].
*[http://www.lightandmatter.com/html_books/0sn/ch10/ch10.html#Section10.6 section on Gauss's law in an online textbook]
*[http://www.physnet.org/modules/pdf_modules/m132.pdf <small>MISN-0-132</small> ''Gauss's Law for Spherical Symmetry''] ([[Portable Document Format|PDF file]]) by Peter Signell for [http://www.physnet.org Project PHYSNET].
*[http://www.physnet.org/modules/pdf_modules/m133.pdf <small>MISN-0-133</small> ''Gauss's Law Applied to Cylindrical and Planar Charge Distributions''] (PDF file) by Peter Signell for [http://www.physnet.org Project PHYSNET].

{{Carl Friedrich Gauss}}

[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
[[Category:CS1 Latina-language sources (la)]]
[[Category:CS1 français-language sources (fr)]]
[[Category:Collapse templates]]
[[Category:Created On 26/05/2023]]
[[Category:Machine Translated Page]]
[[Category:Navigational boxes| ]]
[[Category:Navigational boxes without horizontal lists]]
[[Category:Pages with script errors]]
[[Category:Sidebars with styles needing conversion]]
[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
[[Category:Templates Translated in Hindi]]
[[Category:Templates Vigyan Ready]]
[[Category:Templates generating microformats]]
[[Category:Templates that are not mobile friendly]]
[[Category:Templates using TemplateData]]
[[Category:Wikipedia metatemplates]]
[[Category:इलेक्ट्रोस्टाटिक्स]]
[[Category:कार्ल फ्रेडरिक गॉस|कानून]]
[[Category:मैक्सवेल के समीकरण]]
[[Category:विद्युत चुंबकत्व]]
[[Category:वेक्टर पथरी]]