गॉस का नियम

This article is about विद्युत क्षेत्र से संबंधित गॉस का नियम. For विभिन्न क्षेत्रों से संबंधित समान नियम, see चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम. For और, see गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस का नियम. For ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस नियम, इन सभी कानूनों के लिए प्रासंगिक गणितीय नियम, see विचलन नियम.

Not to be confused with गॉस का नियम.

गॉस का नियम अपने अभिन्न रूप में सबसे अधिक उपयोगी होता है, जब सममिति कारणों से, एक बंद सतह (जीएस) पाया जा सकता है जिसके साथ विद्युत क्षेत्र एकसमान होता है। विद्युत प्रवाह तब सतह क्षेत्र और विद्युत क्षेत्र की ताकत का एक साधारण उत्पाद है, और सतह से घिरे कुल अभियुक्ति के समानुपाती होता है। यहां, अभियुक्तिित गोले के बाहर (आर > आर) और अंदर (आर <आर) विद्युत क्षेत्र की गणना की जा रही है (विकिवर्सिटी देखें: MyOpenMath/Solutions/Maxwell's इंटीग्रल इक्वेशन)।

भौतिकी और विद्युत चुंबकत्व में, गॉस के नियम को गॉस के फ्लक्स नियम के रूप में भी जाना जाता है, परिणामी विद्युत क्षेत्र में विद्युत अभियुक्ति के वितरण से संबंधित नियम होते है। अपने अभिन्न रूप में, यह बताता है कि एक बंद सतह से विद्युत क्षेत्र का प्रवाह सतह से घिरे विद्युत अभियुक्ति के समानुपाती होती है। यदि नियम किसी भी अभियुक्ति वितरण को घेरने वाली सतह पर विद्युत के क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए अपर्याप्त होते है, यह उन स्थितियों में संभव हो सकता है जहां समरूपता क्षेत्र की एकरूपता को अनिवार्य करती है। जहाँ ऐसी कोई समरूपता उपस्थित नही होती है, गॉस के नियम का उपयोग इसके विभेदक रूप में किया जा सकता है, जो बताता है कि विद्युत क्षेत्र का विचलन अभियुक्ति के स्थानीय घनत्व के समानुपाती होते है।

पहले 1773 में जोसेफ-लुई लाग्रेंज द्वारा तैयार किया गया था, फिर 1835 में कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा तैयार किया गया था। यह मैक्सवेल के समीकरणों में से एक है, जो मौलिक इलेक्ट्रोडायनामिक्स का आधार बनाता है। गॉस के नियम का उपयोग कूलम्ब के नियम को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।

गुणात्मक वर्णन

शब्दों में, गॉस का नियम कहता है:

किसी भी काल्पनिक बंद सतह के माध्यम से शुद्ध विद्युत प्रवाह बराबर होता है 1/ε₀ उस बंद सतह के भीतर संलग्न शुद्ध विद्युत अभियुक्ति के दोगुना होता है। बंद सतह को गॉसियन सतह भी कहा जाता है।

गॉस के नियम में भौतिकी के अन्य क्षेत्रों में कई नियमों के साथ एक करीबी गणितीय समानता होती है। वास्तव में, किसी भी व्युत्क्रम-वर्ग नियम को गॉस के नियम के समान विधियों से तैयार किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, गॉस का नियम अनिवार्य रूप से कूलम्ब के नियम के बराबर होता है, और गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस का नियम अनिवार्य रूप से न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के बराबर होता है, दोनों व्युत्क्रम-वर्ग नियम होते है।

समाकलन गणित और अंतर कलन में वेक्टर का उपयोग करके नियम को गणितीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है, दोनों समतुल्य होते है क्योंकि वे विचलन नियम द्वारा संबंधित होते है, जिसे गॉस नियम भी कहा जाता है। इन रूपों में से प्रत्येक को बदले में दो विधियों से भी व्यक्त किया जा सकता है: विद्युत क्षेत्र के बीच संबंध के संदर्भ में E और कुल विद्युत अभियुक्ति, या विद्युत विस्थापन क्षेत्र के संदर्भ में D मुक्त होता है।

सम्मलित समीकरण E छेत्र

गॉस के नियम को या तो विद्युत क्षेत्र का उपयोग करके बताया जा सकता है E या विद्युत विस्थापन क्षेत्र D. यह खंड कुछ रूपों को दिखाता है E, इसके साथ प्रपत्र D नीचे है, जैसा कि अन्य रूपों में है E.

अभिन्न रूप

एक मनमाना सतह के माध्यम से विद्युत प्रवाह सतह से घिरे कुल अभियुक्ति के समानुपाती होता है।

कोई भी अभियुक्ति गोले से घिरा नहीं होता है। इसकी सतह के माध्यम से विद्युत प्रवाह शून्य है।

गॉस के नियम को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$$\Phi _{E}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}$$

जहाँ Φ_E एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत प्रवाह है S किसी भी मात्रा को संलग्न करता है V, Q भीतर संलग्न कुल विद्युत अभियुक्ति है V, और ε₀ विद्युत स्थिरांक है। विद्युत प्रवाह Φ_E को विद्युत क्षेत्र के सतह के रूप में परिभाषित किया गया है:

$\Phi _{E}=$ $\scriptstyle _{S}$ $\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$

जहाँ E विद्युत क्षेत्र है, dA एक वेक्टर है जो सतह के क्षेत्र के एक अति सूक्ष्म तत्व का प्रतिनिधित्व करता है, और दो वैक्टरों के डॉट उत्पाद का प्रतिनिधित्व करता है।

एक बंद सतह के माध्यम से एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के प्रवाह को व्यक्त किया जाता है

$\Phi _{E}=c$ $\scriptstyle _{S}$ $F^{\kappa 0}{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} S_{\kappa }$

जहाँ $c$ प्रकाश की गति है, $F^{\kappa 0}$ विद्युत चुम्बकीय टेंसर के समय घटकों को दर्शाता है, $g$ मीट्रिक टेंसर का निर्धारक है, $\mathrm {d} S_{\kappa }=\mathrm {d} S^{ij}=\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}$ अभियुक्ति के आस-पास द्वि-आयामी सतह का एक असामान्य तत्व है $Q$, सूचकांक $i,j,\kappa =1,2,3$ और एक दूसरे से मेल नहीं खाते है।

चूंकि प्रवाह को विद्युत क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया गया है, गॉस के नियम की इस अभिव्यक्ति को अभिन्न रूप कहा जाता है।

लाप्लास के समीकरण को हल करके विद्युत क्षमता और विद्युत क्षेत्र की गणना करने के बाद एक छोटे गॉस बॉक्स, जिसके किनारे सुचालक की सतह के लंबवत होते है, का उपयोग स्थानीय सतह के अभियुक्ति को खोजने के लिए किया जाता है। विद्युत क्षेत्र सुचालक की समविभव सतह के लंबवत, स्थानीय रूप से, और अंदर शून्य है, इसका प्रवाह πa²·E, गॉस के नियम के अनुसार πa के बराबर है²·s/e₀. इस प्रकार, σ = ε₀E.

ज्ञात क्षमता पर स्थापित सूचालकों से जुड़ी समस्याओं में, लाप्लास के समीकरण को या तो विश्लेषणात्मक या संख्यात्मक रूप से हल करके उनकी क्षमता प्राप्त की जाती है। विद्युत क्षेत्र की गणना क्षमता के नकारात्मक ढाल के रूप में की जाती है। गॉस का नियम विद्युत अभियुक्ति के वितरण को ढूँढने में संभव बनती है: सुचालक के किसी भी क्षेत्र में अभियुक्ति को विद्युत क्षेत्र को एकीकृत करके फ्लक्स का पता लगाने के लिए घटाया जा सकता है, जिसकी भुजाएँ सुचालक की सतह के लंबवत होती है, और सुचालक शून्य होता है।

विपरीत समस्या, जब विद्युत अभियुक्ति वितरण ज्ञात होता है और विद्युत क्षेत्र की गणना की जाती है, तो यह बहुत अधिक कठिन होता है। किसी दिए गए सतह के माध्यम से कुल प्रवाह विद्युत क्षेत्र के बारे में बहुत कम जानकारी देता है।

एक अपवाद तब होता है जब समस्या में कुछ समरूपता होती है, जो अनिवार्य करती है कि विद्युत क्षेत्र एक समान विधियों से सतह के माध्यम से निकलता है। तब, यदि कुल फ्लक्स ज्ञात होता है, तो प्रत्येक बिंदु पर क्षेत्र का अनुमान लगाया जा सकता है। समरूपता के सामान्य उदाहरण जो खुद को गॉस के नियम के लिए उनमें सम्मलित होते है: बेलनाकार समरूपता, तलीय समरूपता और गोलाकार समरूपता सम्मलित होते है। उदाहरण के लिए गौसियन सतह लेख देखें जहां विद्युत क्षेत्रों की गणना करने के लिए इन समरूपताओं का शोषण किया जाता है।

विभेदक रूप

विचलन नियम द्वारा, गॉस के नियम को वैकल्पिक रूप से विभेदक रूप में लिखा जा सकता है:

$$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}$$

जहाँ ∇ · E विद्युत क्षेत्र का विचलन है, ε₀ निर्वात पारगम्यता है, $\varepsilon _{r}$ सापेक्ष पारगम्यता है, और ρ आयतन अभियुक्ति घनत्व (अभियुक्ति प्रति यूनिट आयतन) है।

अभिन्न और विभेदक रूपों की समानता

Main article: विचलन नियम

विचलन नियम द्वारा अभिन्न और अंतर रूप गणितीय रूप से समकक्ष होता है। यहाँ तर्क अधिक विशेष रूप से होता है।

Outline of proof

The integral form of Gauss' law is:

${\scriptstyle _{S}}$ $\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$$={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}$

for any closed surface S containing charge Q. By the divergence theorem, this equation is equivalent to:

$$\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d} V={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}$$

for any volume V containing charge Q. By the relation between charge and charge density, this equation is equivalent to:

$$\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d} V=\iiint _{V}{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\,\mathrm {d} V$$

for any volume V. In order for this equation to be simultaneously true for every possible volume V, it is necessary (and sufficient) for the integrands to be equal everywhere. Therefore, this equation is equivalent to:

$$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.$$

Thus the integral and differential forms are equivalent.

सम्मलित समीकरण D छेत्र

See also: मैक्सवेल के समीकरण

मुक्त, बाध्य और कुल शुल्क

Main article: विद्युत ध्रुवीकरण

सरल पाठ्यपुस्तक स्थितियों में उत्पन्न होने वाले विद्युत अभियुक्ति को मुक्त अभियुक्ति के रूप में वर्गीकृत किया जाता है - उदाहरण के लिए, स्थिर विद्युत में स्थानांतरित होने वाला अभियुक्ति, या संधारित्र स्थान पर अभियुक्ति। इसके विपरीत, अभियुक्ति केवल परावैद्युत (ध्रुवीय) सामग्री के संदर्भ में उत्पन्न होता है। (सभी सामग्री कुछ हद तक ध्रुवीकरण योग्य होते है।) जब ऐसी सामग्री को बाहरी विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है, तो इलेक्ट्रॉन अपने संबंधित परमाणुओं से बंधे रहते है, लेकिन क्षेत्र की प्रतिक्रिया में एक सूक्ष्म होती है, जिससे कि वे एक तरफ अधिक होते है। ये सभी सूक्ष्म विस्थापन एक स्थूल शुद्ध अभियुक्ति वितरण देने के लिए जुड़े होते है, और यह बाध्य अभियुक्ति का गठन करते है।

यद्यपि सूक्ष्मदर्शी रूप से सभी अभियुक्ति मौलिक रूप से समान होते है, फिर भी अभियुक्ति को मुक्त अभियुक्ति से अलग मानने के लिए अधिकांशतः व्यावहारिक कारण होते है। परिणाम यह है कि अधिक मौलिक गॉस के नियम, के संदर्भ में E, कभी-कभी नीचे समतुल्य रूप में रखा जाता है, जो कि संदर्भ होता है D केवल मुक्त होता है।

अभिन्न रूप

गॉस के नियम का यह सूत्रीकरण कुल अभियुक्ति रूप बताता है:

$$\Phi _{D}=Q_{\mathrm {free} }$$

जहाँ Φ_D विद्युत विस्थापन क्षेत्र है |D-क्षेत्र विद्युत प्रवाह एक सतह के माध्यम होता है S जो आयतन संलग्न करता है V, और Q_free मुक्त होता है जिसमें निहित है V प्रवाह Φ_D फ्लक्स के अनुरूप परिभाषित किया गया है Φ_E विद्युत क्षेत्र E द्वारा है S:

$\Phi _{D}=$ ${\scriptstyle _{S}}$ $\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$

विभेदक रूप

गॉस के नियम का विभेदक रूप कहता है:

$$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\mathrm {free} }$$

जहाँ ∇ · D विद्युत विस्थापन क्षेत्र का विचलन है, और ρ_free मुक्त विद्युत अभियुक्ति घनत्व है।

कुल और मुक्त अभियुक्ति वितरण की समानता

Proof that the formulations of Gauss's law in terms of free charge are equivalent to the formulations involving total charge.

In this proof, we will show that the equation

$$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\dfrac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$$

is equivalent to the equation

$$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\mathrm {free} }$$

Note that we are only dealing with the differential forms, not the integral forms, but that is sufficient since the differential and integral forms are equivalent in each case, by the divergence theorem.

We introduce the polarization density P, which has the following relation to E and D:

$$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P}$$

and the following relation to the bound charge:

$$\rho _{\mathrm {bound} }=-\nabla \cdot \mathbf {P}$$

Now, consider the three equations:

$${\begin{aligned}\rho _{\mathrm {bound} }&=\nabla \cdot (-\mathbf {P} )\\\rho _{\mathrm {free} }&=\nabla \cdot \mathbf {D} \\\rho &=\nabla \cdot (\varepsilon _{0}\mathbf {E} )\end{aligned}}$$

The key insight is that the sum of the first two equations is the third equation. This completes the proof: The first equation is true by definition, and therefore the second equation is true if and only if the third equation is true. So the second and third equations are equivalent, which is what we wanted to prove.

रैखिक सामग्री के लिए समीकरण

सजातीय, समदैशिक, रैखिक सामग्री के बीच एक सरल संबंध है E और D:

$$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E}$$

जहाँ ε सामग्री की पारगम्यता है। मुक्त स्थान के स्थिति में, ε = ε₀ इन परिस्थितियों में गॉस का नियम परिवर्तित हो जाते है

$$\Phi _{E}={\frac {Q_{\mathrm {free} }}{\varepsilon }}$$

अभिन्न रूप के लिए है, और

$$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{\mathrm {free} }}{\varepsilon }}$$

विभेदक रूप के लिए है।

व्याख्याएं

बल के क्षेत्रों के संदर्भ में

गॉस के नियम की व्याख्या क्षेत्र की बल रेखाओं के संदर्भ में निम्नानुसार की जा सकती है:

एक बंद सतह के माध्यम से प्रवाह सतह को भेदने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं के परिमाण और दिशा दोनों पर निर्भर करता है। सामान्यतः एक सकारात्मक प्रवाह को इन रेखाओं द्वारा परिभाषित किया जाता है। इसके परिणामस्वरूप धनात्मक अभियुक्ति उत्पन्न होती है जिससे धनात्मक प्रवाह होता है। ये विद्युत क्षेत्र रेखाएँ अभियुक्ति के स्रोत से दूरी के ऊर्जा में घटते हुए अंत तक विस्तारित होती है। किसी अभियुक्ति से निकलने वाली क्षेत्र रेखाओं की संख्या जितनी अधिक होती है, अभियुक्ति का परिमाण उतना ही अधिक होता है, और क्षेत्र रेखाएँ जितनी निकट होती है, विद्युत क्षेत्र का परिमाण उतना ही अधिक होता है। यह विद्युत क्षेत्र के कमजोर होने का स्वाभाविक परिणाम है कि एक अभियुक्तिित कण से दूर चला जाता है, लेकिन सतह क्षेत्र भी बढ़ जाता है जिससे इस कण से निकलने वाला शुद्ध विद्युत क्षेत्र समान रहता है। दूसरे शब्दों में, विद्युत क्षेत्र का बंद अभिन्न अंग और क्षेत्र के व्युत्पन्न का डॉट उत्पाद मुक्त स्थान की पारगम्यता से विभाजित शुद्ध अभियुक्ति के बराबर होता है।

कूलम्ब के नियम से संबंध

कूलम्ब के नियम से गॉस के नियम की व्युत्पत्ति

गॉस का नियम केवल कूलम्ब के नियम से नहीं लिया जा सकता है, क्योंकि कूलम्ब का नियम केवल विद्युत क्षेत्र के लिए होता है। चूँकि, गॉस के नियम को कूलम्ब के नियम से सिद्ध किया जा सकता है यदि यह मान लिया जाए, इसके अतिरिक्त, विद्युत क्षेत्र सुपरपोज़िशन सिद्धांत का पालन करता है। सुपरपोज़िशन सिद्धांत बताता है कि परिणामी क्षेत्र प्रत्येक कण (यदि स्थान में अभियुक्तिों को सुचारू रूप से वितरित किया जाता है) द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का सदिश योग होता है।

Outline of proof

Coulomb's law states that the electric field due to a stationary point charge is:

$$\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {e} _{r}}{r^{2}}}$$

where

• e_r is the radial unit vector,
• r is the radius, |r|,
• ε₀ is the electric constant,
• q is the charge of the particle, which is assumed to be located at the origin.

Using the expression from Coulomb's law, we get the total field at r by using an integral to sum the field at r due to the infinitesimal charge at each other point s in space, to give

$$\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {s} )(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {s}$$

where ρ is the charge density. If we take the divergence of both sides of this equation with respect to r, and use the known theorem

$$\nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)=4\pi \delta (\mathbf {r} )$$

where δ(r) is the Dirac delta function, the result is

$$\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int \rho (\mathbf {s} )\,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {s}$$

Using the "sifting property" of the Dirac delta function, we arrive at

$$\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\varepsilon _{0}}},$$

which is the differential form of Gauss' law, as desired.

चूँकि कूलम्ब का नियम केवल स्थिर अभियुक्तिों पर लागू होता है, इसलिए यह अपेक्षा करने का कोई कारण नहीं है कि गॉस का नियम केवल इस व्युत्पत्ति के आधार पर गतिमान अभियुक्तिों के लिए मान्य होता है। वास्तव में, गॉस का नियम गतिमान अभियुक्तिों के लिए मान्य होता है, और इस संबंध में गॉस का नियम कूलम्ब के नियम से अधिक सामान्य होता है।

Proof (without Dirac Delta)

Let $\Omega \subseteq R^{3}$ be a bounded open set, and

$$\mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }\rho (\mathbf {r} '){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\left\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right\|^{3}}}\mathrm {d} \mathbf {r} '\equiv {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}$$

be the electric field, with $\rho (\mathbf {r} ')$ a continuous function (density of charge).

It is true for all $\mathbf {r} \neq \mathbf {r'}$ that $\nabla _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {e} (\mathbf {r,r'} )=0$.

Consider now a compact set $V\subseteq R^{3}$ having a piecewise smooth boundary $\partial V$ such that $\Omega \cap V=\emptyset$. It follows that $e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )$ and so, for the divergence theorem:

$$\oint _{\partial V}\mathbf {E} _{0}\cdot d\mathbf {S} =\int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}\,dV$$

But because $e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )$,

$$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }\nabla _{\mathbf {r} }\cdot e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}=0$$

for the argument above ($\Omega \cap V=\emptyset \implies \forall \mathbf {r} \in V\ \ \forall \mathbf {r'} \in \Omega \ \ \ \mathbf {r} \neq \mathbf {r'}$ and then $\nabla _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {e} (\mathbf {r,r'} )=0$)

Therefore the flux through a closed surface generated by some charge density outside (the surface) is null.

Now consider $\mathbf {r} _{0}\in \Omega$, and $B_{R}(\mathbf {r} _{0})\subseteq \Omega$ as the sphere centered in $\mathbf {r} _{0}$ having $R$ as radius (it exists because $\Omega$ is an open set).

Let $\mathbf {E} _{B_{R}}$ and $\mathbf {E} _{C}$ be the electric field created inside and outside the sphere respectively. Then,

$\mathbf {E} _{B_{R}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{B_{R}(\mathbf {r} _{0})}e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}$, $\mathbf {E} _{C}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0})}e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}$ and $\mathbf {E} _{B_{R}}+\mathbf {E} _{C}=\mathbf {E} _{0}$

$$\Phi (R)=\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{0}\cdot d\mathbf {S} =\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{B_{R}}\cdot d\mathbf {S} +\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{C}\cdot d\mathbf {S} =\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{B_{R}}\cdot d\mathbf {S}$$

The last equality follows by observing that $(\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0}))\cap B_{R}(\mathbf {r} _{0})=\emptyset$, and the argument above.

The RHS is the electric flux generated by a charged sphere, and so:

$$\Phi (R)={\frac {Q(R)}{\varepsilon _{0}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\rho (\mathbf {r} '){\mathrm {d} \mathbf {r} '}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} '_{c})|B_{R}(\mathbf {r} _{0})|$$

with $r'_{c}\in \ B_{R}(\mathbf {r} _{0})$

Where the last equality follows by the mean value theorem for integrals. Using the squeeze theorem and the continuity of $\rho$, one arrives at:

$$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} _{0})=\lim _{R\to 0}{\frac {1}{|B_{R}(\mathbf {r} _{0})|}}\Phi (R)={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} _{0})$$

गॉस के नियम से कूलम्ब के नियम की व्युत्पत्ति

कूलम्ब का नियम केवल गॉस के नियम से प्राप्त नहीं किया जा सकता है, क्योंकि गॉस का नियम कर्ल (गणित) के बारे में कोई जानकारी नहीं देता है, E (देखें हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन और फैराडे का नियम)। चूँकि, कूलम्ब का नियम गॉस के नियम से सिद्ध किया जा सकता है, यदि यह मान लिया जाए, इसके अतिरिक्त, एक बिंदु अभियुक्ति से विद्युत क्षेत्र गोलाकार रूप से सममित होती है।

Outline of proof

Taking S in the integral form of Gauss' law to be a spherical surface of radius r, centered at the point charge Q, we have

$$\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}$$

By the assumption of spherical symmetry, the integrand is a constant which can be taken out of the integral. The result is

$$4\pi r^{2}{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}$$

where r̂ is a unit vector pointing radially away from the charge. Again by spherical symmetry, E points in the radial direction, and so we get

$$\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}$$

which is essentially equivalent to Coulomb's law. Thus the inverse-square law dependence of the electric field in Coulomb's law follows from Gauss' law.

यह भी देखें

• इमेज अभियुक्ति करने की विधि
• प्वासों के समीकरण के लिए अद्वितीयता नियम
• स्टिग्लर के नियम के उदाहरणों की सूची

संदर्भ

• Gauss, Carl Friedrich (1867). Werke Band 5. Digital version
• Jackson, John David (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). New York: Wiley. ISBN 0-471-30932-X. David J. Griffiths (6th ed.)

बाहरी संबंध

• Media related to गॉस का नियम at Wikimedia Commons
• MIT Video Lecture Series (30 x 50 minute lectures)- Electricity and Magnetism Taught by Professor Walter Lewin.
• section on Gauss's law in an online textbook
• MISN-0-132 Gauss's Law for Spherical Symmetry (PDF file) by Peter Signell for Project PHYSNET.
• MISN-0-133 Gauss's Law Applied to Cylindrical and Planar Charge Distributions (PDF file) by Peter Signell for Project PHYSNET.