View source for तुल्यता संबंध

{{Short description|Mathematical concept for comparing objects}}
{{About|गणितीय अवधारणा|पेटेंट सिद्धांत|समकक्षों का सिद्धांत}}
{{Redirect|समानक||तुल्यता (बहुविकल्पी) तुल्यता}}
{{stack|द्विआधारी संबंध}}
[[File:Set partitions 5; matrices.svg|right|thumb|5-तत्व  समुच्चयपर बेल संख्या तुल्यता संबंधों को इस प्रकार दर्शाया गया है <math>5 \times 5</math> [[ तार्किक मैट्रिक्स ]] (रंगीन फ़ील्ड, जिनमें हल्के भूरे रंग के क्षेत्र सम्मिलित  हैं, एक के लिए खड़े हैं, शून्य के लिए सफेद फ़ील्ड)। गैर-श्वेत कोशिकाओं की पंक्ति और स्तंभ सूचकांक संबंधित तत्व हैं, जबकि विभिन्न रंग, हल्के भूरे रंग के अलावा, तुल्यता संबंधों को इंगित करते हैं (प्रत्येक हल्के भूरे रंग की कोशिका का अपना तुल्यता संबंध होता है)।]]गणित में, तुल्यता संबंध एक [[ द्विआधारी संबंध |द्विआधारी संबंध]] है जो प्रतिक्रियात्मक, [[ सममित संबंध |सममित]] और [[ सकर्मक संबंध |सकर्मक संबंध]] होता है। ज्यामिति में रेखाखंडों के बीच [[ संतुलन (ज्यामिति) | समतुल्य]] संबंध तुल्यता संबंध का एक सामान्य उदाहरण है।

प्रत्येक तुल्यता संबंध अंतर्निहित समुच्चय को असंयुक्त [[तुल्यता वर्गों|तुल्यता संबंधों]] में विभाजन करता है। दिए गए समुच्चय के दो अवयव एक दूसरे के समतुल्य हैं। यदि वे एक ही समतुल्य वर्ग से संबंधित हैं।

== संकेतन ==

साहित्य में दो तत्वों को निर्देशित करने के लिए विभिन्न संकेतन का उपयोग किया जाता है <math>a</math> तथा <math>b</math> तुल्यता संबंध के एक समुच्चय के बराबर हैं <math>R;</math> सबसे सामान्य हैं <math>a \sim b</math> तथा {{math|''a'' ≡ ''b''}}, जिनका उपयोग तब किया जाता है जब R निहित और भिन्न होता है "  a <sub>''R''</sub> ''b,''  "''a'' ≡<sub>''R''</sub> ''b''", या <math>{a\mathop{R}b}</math> , <math>R</math> स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए गैर समकक्ष लिखा जा सकता है {{math|''a'' ≁ ''b''}} या <math>a \not\equiv b</math>.

== परिभाषा ==

समुच्चय <math>X</math>  पर द्विआधारी संबंध  <math>\,\sim\,</math> को तुल्यता संबंध कहा जाता है, अगर यह केवल विचारशील, सममित और संक्रमणीय है। अर्थात सभी के लिए <math>a, b,</math> तथा <math>c</math> में <math>X:</math>
* <math>a \sim a</math> (प्रतिवर्त संबंध)।
* <math>a \sim b</math> अगर और केवल अगर <math>b \sim a</math> (सममित संबंध)।
* यदि <math>a \sim b</math> तथा <math>b \sim c</math> फिर <math>a \sim c</math> (सकर्मक संबंध)।

<math>X</math>  संबंध के साथ <math>\,\sim\,</math> एक [[ सेटॉइड | समुच्चयॉइड]] कहा जाता है। तुल्यता संबंध <math>a</math> नीचे <math>\,\sim,</math> लक्षित <math>[a],</math> को इस तरह परिभाषित किया गया है <math>[a] = \{x \in X : x \sim a\}.</math><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=तुल्यता वर्ग|url=https://mathworld.wolfram.com/EquivalenceClass.html|access-date=2020-08-30|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref name=":0">{{Cite web|date=2017-09-20|title=7.3: तुल्यता वर्ग|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Mathematical_Logic_and_Proof/Book%3A_Mathematical_Reasoning__Writing_and_Proof_(Sundstrom)/7%3A_Equivalence_Relations/7.3%3A_Equivalence_Classes|access-date=2020-08-30|website=Mathematics LibreTexts|language=en}}</ref>

=== [[ संबंधपरक बीजगणित ]] का उपयोग करते हुए वैकल्पिक परिभाषा ===

संबंध परक बीजगणित में, यदि <math>R\subseteq X\times Y</math> तथा <math>S\subseteq Y\times Z</math>  के संबंध हैं, तो [[ संबंधों की संरचना ]] को  <math>SR\subseteq X\times Z</math> से परिभाषित किया गया है ताकि <math>x \, SR \, z</math> अगर और केवल अगर वहाँ एक है <math>y\in Y</math> ऐसा है कि <math>x \, R \, y</math> तथा <math>y \, S \, z</math>.<ref group="note">Sometimes the composition <math>SR\subseteq X\times Z</math> is instead written as <math>R;S</math>, or as <math>RS</math>; in both cases, <math>R</math> is the first relation that is applied. See the article on [[Composition of relations#Notational variations|Composition of relations]] for more information.</ref> यह परिभाषा [[ समारोह संरचना | कार्यात्मक संरचना]] की परिभाषा का एक सामान्यीकरण है। एक तुल्यता संबंध के परिभाषित गुण <math>R</math> एक  समुच्चयपर <math>X</math> फिर निम्नानुसार सुधार किया जा सकता है

* <math>\operatorname{id} \subseteq R</math>. (परावर्तन रिलेशन)। (यहां, आई डी [[पहचान फलन]] को <math>X</math>.से दर्शाता है)
* <math>R=R^{-1}</math> (सममित संबंध)।
* <math>RR\subseteq R</math> (सकर्मक संबंध)।<ref>{{Cite book |last=Halmos |first=Paul Richard |title=भोले सेट सिद्धांत|publisher=Springer |year=1914 |isbn=978-0-387-90104-6 |location=New York |pages=41 |language=English}}</ref>
== उदाहरण ==

=== सरल उदाहरण ===

समुच्चयपर <math>X = \{a, b, c\}</math>, सम्बन्ध <math>R = \{(a, a), (b, b), (c, c), (b, c), (c, b)\}</math> एक तुल्यता संबंध है। निम्नलिखित समुच्चय इस संबंध के तुल्यता संबंध हैं<math display=block>[a] = \{a\}, ~~~~ [b] = [c] = \{b, c\}.</math>


<math>R</math> के लिए सभी तुल्यता संबंधों का समुच्चय <math>\{\{a\}, \{b, c\}\}.</math>है यह समुच्चय <math>R</math> के संबंध में समुच्चय <math>X</math> का एक विभाजन है।

=== तुल्यता संबंध ===

निम्नलिखित संबंध में सभी तुल्यता संबंध हैं
* संख्याओं के समुच्चय के बराबर है। उदाहरण के लिए, <math>\tfrac{1}{2}</math> के बराबर है <math>\tfrac{4}{8}.</math><ref name=":0" />
*सभी लोगों के  समुच्चय पर वही तिथि होती है।
* सभी [[ त्रिभुज (ज्यामिति) | त्रिभुज (ज्यामिति)]]  के  समुच्चय पर [[ समानता (ज्यामिति) | समान]]  है।
* सभी त्रिभुज (ज्यामिति) के  समुच्चय पर [[ सर्वांगसमता (ज्यामिति) | सर्वांगसमता]]  है।
* एक प्राकृतिक संख्या दी गई <math>n</math>, के अनुरूप है, [[ मॉड्यूलर अंकगणित | मॉड्यूलर अंकगणित]]  <math>n</math>[[ पूर्णांकों | पूर्णांकों]]  पर।<ref name=":0" />* एक फलन को देखते हुए <math>f:X \to Y</math>, एक ही [[ छवि (गणित) | छवि (गणित)]]  के अंतर्गत है <math>f</math> के तत्वों के रूप में <math>f</math> किसी [[ फ़ंक्शन का डोमेन | फलन का डोमेन]] <math>X</math>. उदाहरण के लिए, <math>0</math> तथा <math>\pi</math> नीचे एक ही छवि है <math>\sin</math>, <math>0</math>
* वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर समान निरपेक्ष मान होता है
* सभी कोणों के समुच्चय पर समान कोज्या होती है।

=== ऐसे संबंध जो तुल्यता नहीं हैं ===

* वास्तविक संख्याओं के बीच संबंध स्वतुल्य और सकर्मक है, लेकिन सममित नहीं है। उदाहरण के लिए, 7 ≥ 5 लेकिन 5 ≥ 7 नहीं।
* संबंध का एक सार्व गुणनखंड 1 से अधिक है, जिसमें [[ प्राकृतिक संख्या | प्राकृतिक संख्याओं]]  के बीच 1 से अधिक, प्रतिवर्ती और सममित है, लेकिन सकर्मक नहीं है। उदाहरण के लिए, प्राकृत संख्या 2 और 6 का एक सार्व गुणनखंड 1 से बड़ा है, और 6 और 3 का उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 से बड़ा है, लेकिन 2 और 3 का उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 से बड़ा नहीं है।
* एक समुच्चय X पर रिक्त संबंध R इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि एआरबी कभी भी सत्य नहीं है। रिक्त रूप से सत्य सममित और संक्रमणीय है, चूँकि, यह परावर्तक नहीं है जब तक कि एक्स स्वयं खाली न हो।
* वास्तविक संख्याओं के बीच संबंध लगभग बराबर है, लेकिन तुल्यता संबंध को सटीक रूप से परिभाषित नहीं किया है, क्योंकि परावर्तक और सममित होने के बावजूद, यह सकर्मक नहीं है, क्योंकि कई छोटे परिवर्तन बड़ा परिवर्तन बनने के लिए एकत्र हो सकते हैं। चूँकि, यदि सन्निकटन को विषम रूप से परिभाषित किया गया है, जैसा कि उदाहरण के लिए दो फलन f और g किसी बिंदु के पास लगभग बराबर हैं यदि उस बिंदु पर f - g की सीमा 0 है, तो यह एक तुल्यता संबंध को परिभाषित करता है।

==अन्य संबंधों से संबंध==

*एक [[आंशिक क्रम]] एक ऐसा संबंध है जो प्रतिवर्त, [[प्रतिसममित]] और सकर्मक है।
*[[ समानता (गणित) | समानता]]  तुल्यता संबंध और आंशिक क्रम दोनों है। समानता भी समुच्चय पर एकमात्र संबंध है जो परावर्तित, सममित और प्रतिसममित होती है। बीजगणितीय व्यंजकों में समान चरों को एक दूसरे के स्थान पर [[प्रतिस्थापित]] किया जा सकता है, ऐसी अनुकूलता जो तुल्यता संबंधित चरों के लिए उपलब्ध नहीं है। एक तुल्यता संबंध की तुल्यता संबंध एक दूसरे के लिए स्थानापन्न कर सकते हैं लेकिन एक वर्ग के भीतर अलग अलग नहीं।
*एक पूर्णतः  [[आंशिक क्रम]] अपरिवर्तनीय, संक्रमणीय, और [[असममित]] होते है।
*एक [[ आंशिक तुल्यता संबंध ]] सकर्मक और सममित होते है। ऐसा संबंध स्वतुल्य होता है अगर और केवल यह [[ कुल संबंध | सम्पूर्ण संबंध]]  है, अर्थात , अगर सभी के लिए <math>a,</math> कुछ मौजूद है <math>b \text{ इस तरह से} a \sim b.</math><ref group="proof">''If:'' Given <math>a,</math> let <math>a \sim b</math> hold using totality, then <math>b \sim a</math> by symmetry, hence <math>a \sim a</math> by transitivity. &mdash; ''Only if:'' Given <math>a,</math> choose <math>b = a,</math> then <math>a \sim b</math> by reflexivity.</ref> इसलिए एक तुल्यता संबंध को वैकल्पिक रूप से एक सममित, सकर्मक और कुल संबंध के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
* एक [[ त्रिगुट तुल्यता संबंध ]] सामान्य (बाइनरी) तुल्यता संबंध के लिए एक त्रिगुट अनुरूप है।
*रिफ्लेक्सिव और सममित संबंध एक [[निर्भरता संबंध]] है यदि परिमित है और [[सहिष्णुता]] संबंध अनंत होते है
* एक [[ पूर्व आदेश | अग्रिम क्रम]] प्रतिवर्ती और सकर्मक है।
*एक [[ सर्वांगसमता संबंध ]] एक तुल्यता संबंध है जिसका डोमेन <math>X</math> [[ बीजीय संरचना ]] के लिए अंतर्निहित समुच्चय भी है, और जो अतिरिक्त संरचना का सम्मान करता है। सामान्तया, सर्वांगसमता संबंध समरूपता के [[ कर्नेल (बीजगणित) |कर्नेल(बीजगणित)]]  की भूमिका निभाते हैं, और सर्वांगसम संबंध द्वारा संरचना का भागफल बनाया जा सकता है। कई महत्वपूर्ण मामलों में, सर्वांगसमता संबंधों का एक वैकल्पिक प्रतिनिधित्व होता है और संरचना को उपसंरचना के रूप में उसे परिभाषित किया गया है (उदाहरण के लिए, समूहों पर सर्वांगसम संबंध [[ सामान्य उपसमूह | सामान्य उपसमूहों]]  के अनुरूप होते हैं)।
*कोई भी तुल्यता संबंध एक पृथकता संबंध का निषेध है, चूँकि विलोम कथन केवल [[ शास्त्रीय गणित | शास्त्रीय गणित]]([[ रचनात्मक गणित |रचनात्मक गणित)]] के विपरीत होता है, क्योंकि यह बहिष्कृत मध्य नियम के बराबर है।
*प्रत्येक संबंध जो प्रतिवर्त बाएँ या दाएँ दोनों है और [[यूक्लिडियन]] एक तुल्यता संबंध को प्रदर्शित करती है।

==एक तुल्यता संबंध के तहत अच्छी तरह से परिभाषित ==

यदि <math>\,\sim\,</math> पर एक तुल्यता संबंध है <math>X,</math> तथा <math>P(x)</math> के तत्वों की एक सामग्री <math>X,</math>है और यदि ऐसा कि <math>x \sim y,</math> तो <math>P(x)</math> सच है यदि <math>P(y)</math> सत्य है, तो सामग्री <math>P</math> [[ अच्छी तरह से परिभाषित ]] है या {{em|वर्ग अपरिवर्तनीय}} संबंध <math>\,\sim.</math> के तहत एक वर्ग अपरिवर्तनीय होता है

एक नियमित विशेष में वस्तुस्थिति <math>f</math> तब होती है, जब <math>X</math> के दूसरे समुच्चय में <math>Y;</math> फलन होता है, यदि <math>x_1 \sim x_2</math> का तात्पर्य <math>f\left(x_1\right) = f\left(x_2\right)</math> है और <math>f</math> को {{em|आकृति विज्ञान}} कहा जाता है <math>\,\sim,</math> एक वर्ग अपरिवर्तनीय के तहत है<math>\,\sim,</math> या साधारण अपरिवर्तनीय के अंतर्गत है <math>\,\sim.</math> इस प्रकार का उदाहरण परिमित समूहों के चरित्र सिद्धांत में होता है। फलन <math>f</math> के साथ आगामी स्थिति,को क्रम विनिमेय त्रिभुज द्वारा व्यक्त किया जाता है। [[ अपरिवर्तनीय (गणित) | अपरिवर्तनीय (गणित)]] भी देखें। कुछ लेखक संगत का उपयोग करते हैं <math>\,\sim</math>या सिर्फ सम्मान <math>\,\sim</math>अपरिवर्तनीय के जगह है  <math>\,\sim</math>.

सामान्तया, फलनस मकक्ष तर्कों को प्रतिचित्र कर सकता है (एक तुल्यता संबंध के तहत <math>\,\sim_A</math>) समकक्ष मूल्यों के लिए (एक तुल्यता संबंध के तहत <math>\,\sim_B</math>) इस तरह के एक फलन को आकृति विज्ञान के रूप में जाना जाता है <math>\,\sim_A</math> प्रति <math>\,\sim_B.</math>



==तुल्यता संबंध, भागफल समुच्चय, विभाजन==

ये <math>a, b \in X.</math> कुछ परिभाषाएँ:

=== तुल्यता संबंध ===
{{main| तुल्यता व्याख्यान}}
X का एक उपसमुच्चय Y ऐसा है कि <math>a \sim b</math> Y में सभी a और b के लिए धारण करता है, और Y में a के लिए और Y के बाहर b के लिए कभी नहीं, ~ द्वारा X का 'तुल्यता संबंध' कहलाता है। ये<math>[a] := \{x \in X : a \sim x\}</math> उस तुल्यता संबंध को निरूपित करती है जो a संबंधित है, और एक दूसरे के तुल्य X के सभी अवयव भी समान तुल्यता संबंध के अवयव होते हैं।

=== भागफल समुच्चय ===
{{main|भागफल सेट}}

X के सभी तुल्यता संबंधों का समुच्चय ~,से निरूपित है <math>X / \mathord{\sim} := \{[x] : x \in X\},</math> ~ ''X'' का भागफल समुच्चय है। यदि ''X'' एक[[ टोपोलॉजिकल स्पेस |  सांस्थितिक समष्टि]] है, तो बदलने का एक प्राकृतिक तरीका है <math>X / \sim</math> सांस्थितिक समष्टि में विवरण के लिए [[ भागफल स्थान (टोपोलॉजी) | भागफल स्थान (सांस्थितिक )]]  को देखें।

=== प्रक्षेपण ===
{{main|प्रक्षेपण (संबंधपरक बीजगणित)}}

प्रक्षेपण का <math>\,\sim\,</math> फलन है, <math>\pi : X \to X/\mathord{\sim}</math> द्वारा परिभाषित <math>\pi(x) = [x]</math> जो के तत्वों को छायाचित्र करता है <math>X</math> द्वारा संबंधित तुल्यता संबंधों में <math>\,\sim.</math> है

प्रक्षेपण पर प्रमेय,<ref>[[Garrett Birkhoff]] and [[Saunders Mac Lane]], 1999 (1967). ''Algebra'', 3rd ed. p.&nbsp;35, Th. 19. Chelsea.</ref> फलन <math>f : X \to B</math> ऐसा हो कि अगर <math>a \sim b</math> फिर <math>f(a) = f(b).</math> ये एक विशिष्ट फलन है <math>g : X / \sim \to B</math> ऐसा है कि <math>f = g \pi.</math> यदि <math>f</math> एक[[ प्रक्षेपण | प्रक्षेपण]] है और <math>a \sim b \text{ if and only if } f(a) = f(b),</math> फिर <math>g</math> एक आपत्ति है।
=== तुल्यता कर्नेल ===
किसी फलन का तुल्यता कर्नेल <math>f</math> तुल्यता संबंध है ~ परिभाषित <math>x \sim y \text{ if and only if } f(x) = f(y).</math> एक [[इंजेक्शन|अंतःक्षेप]] तुल्यता का कर्नेल [[पहचान|तत्समक]] संबंध है।

=== विभाजन ===
{{main|एक सेट का विभाजन}}
''X'' का विभाजन ''X'' के गैर-रिक्त उपसमुच्चय का एक समुच्चय ''P'' होता है, जैसे कि ''X'' का प्रत्येक अवयव ''P'' के एकल अवयव का एक अवयव है। ''P'' का प्रत्येक अवयव विभाजन की ''कोशिका'' है। इसके अलावा, ''P'' के अवयव युग्‍म की तरह असंबद्ध हैं और उनका संघ समुच्चय सिद्धांत ''X'' है।

==== विभाजनों की गणना ====

मान लीजिए X एक परिमित समुच्चय है जिसमें n तत्व हैं। चूंकि एक्स पर प्रत्येक तुल्यता संबंध एक्स के विभाजन से संधि करता है, और इसके विपरीत, एक्स पर तुल्यता संबंधों की संख्या एक्स के अलग-अलग विभाजनों की संख्या के बराबर होती है, जो कि एनटी बेल नंबर ''B<sub>n</sub>'' है।
:<math display="block">B_n = \frac{1}{e} \sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!} \quad</math> (डोबिंस्की सूत्र)।

== तुल्यता संबंधों की मौलिक प्रमेय ==

एक प्रमुख परिणाम तुल्यता संबंध विभाजनों को जोड़ता है,<ref>Wallace, D. A. R., 1998. ''Groups, Rings and Fields''. p.&nbsp;31, Th. 8. Springer-Verlag.</ref><ref>Dummit, D. S., and Foote, R. M., 2004. ''Abstract Algebra'', 3rd ed. p.&nbsp;3, Prop. 2. John Wiley & Sons.</ref><ref>[[Karel Hrbacek]] & [[Thomas Jech]] (1999) ''Introduction to Set Theory'', 3rd edition, pages 29–32, [[Marcel Dekker]]</ref>
* एक समुच्चय एक्स विभाजन एक्स पर तुल्यता संबंध ~ है।
* इसके विपरीत, X के किसी भी विभाजन के संगत, X पर एक तुल्यता संबंध होती है।
दोनों ही मामलों में, X के विभाजन की कोशिकाएँ X के ~ द्वारा तुल्यता संबंध हैं। चूंकि एक्स का प्रत्येक तत्व एक्स के किसी भी विभाजन के अद्वितीय सेल से संबंधित है, और चूंकि विभाजन के प्रत्येक सेल एक्स के समकक्ष वर्ग ~ ~ के समान है, एक्स का प्रत्येक तत्व एक्स के अद्वितीय समकक्ष वर्ग ~ के अंतर्गत आता है। इस प्रकार X पर सभी तुल्यता संबंधों के समुच्चय और X के सभी विभाजनों के समुच्चय के बीच एक स्वाभाविक विभाजन होता है।

== तुल्यता संबंधों की तुलना ==
{{See also|एक सेट का विभाजन विभाजन का शोधन}}
यदि <math>\sim</math> तथा <math>\approx</math> एक ही समुच्चय पर दो तुल्यता संबंध हैं <math>S</math>, तथा <math>a \sim b</math> का तात्पर्य <math>a \approx b</math> सभी के लिए <math>a, b \in S,</math> फिर <math>\approx</math> की तुलना में घनिष्ठ संबंध कहा जाता है <math>\sim</math>, तथा <math>\sim</math> से बेहतर रिश्ता है <math>\approx</math>. समान रूप से,
* <math>\sim</math> से बेहतर है <math>\approx</math> अगर हर तुल्यता संबंध <math>\sim</math> तुल्यता संबंध का एक उपसमुच्चय है <math>\approx</math>, और इस प्रकार प्रत्येक तुल्यता संबंध <math>\approx</math> तुल्यता संबंधों का एक संघ है <math>\sim</math>.
* <math>\sim</math> से बेहतर है <math>\approx</math> यदि विभाजन द्वारा बनाया गया है <math>\sim</math> बनाए गए विभाजन का परिशोधन है <math>\approx</math>.

समानता तुल्यता संबंध किसी भी समुच्चय पर सबसे अच्छा तुल्यता संबंध है, जबकि विश्वव्यापी संबंध, जो तत्वों के सभी जोड़े से संबंधित है, सबसे स्थूल है।

सम्बन्ध<math>\sim</math> से बेहतर है <math>\approx</math> एक निश्चित समुच्चय पर सभी तुल्यता संबंधों के संग्रह पर ही आंशिक क्रम संबंध है, जो संग्रह को एक [[ ज्यामितीय जाली ]] का बनाता है।<ref>{{citation|title=Lattice Theory|volume=25|series=Colloquium Publications|publisher=American Mathematical Society|first=Garrett|last=Birkhoff|author-link=Garrett Birkhoff|edition=3rd|year=1995|isbn=9780821810255}}. Sect. IV.9, Theorem 12, page 95</ref>


== तुल्यता संबंध उत्पन्न करना ==

* किसी भी समुच्चय को देखते हुए <math>X,</math> समुच्चय पर एक तुल्यता संबंध <math>[X \to X]</math> सभी कार्यों का <math>X \to X</math> निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। दो कार्यों को समतुल्य माना जाता है जब उनके संबंधित बिंदुओं के समुच्चय में समान [[कार्डिनैलिटी]] होती है, जो क्रम[[ परिवर्तन ]] में लंबाई के चक्रों के अनुरूप होती है।
*एक तुल्यता संबंध <math>\,\sim\,</math> पर <math>X</math> इसके आक्षेप प्रक्षेपण का तुल्यता कर्नेल है <math>\pi : X \to X / \sim.</math><ref>[[Garrett Birkhoff]] and [[Saunders Mac Lane]], 1999 (1967). ''Algebra'', 3rd ed. p.&nbsp;33, Th. 18. Chelsea.</ref> इसके विपरीत,  समुच्चय के बीच कोई भी प्रक्षेपण अपने डोमेन पर एक विभाजन को निर्धारित करता है,[[ कोडोमेन ]] में [[ सिंगलटन (गणित) | सिंगलटन]]  के [[ पूर्व छवि ]] का समुच्चय। इस प्रकार तुल्यता संबंध खत्म हो गयी है <math>X,</math> का एक विभाजन <math>X,</math> और एक प्रक्षेपण जिसका डोमेन है <math>X,</math> एक ही चीज़ को निर्दिष्ट करने के तीन समान तरीके हैं।
* X पर तुल्यता संबंधों के किसी भी संग्रह का प्रतिच्छेदन द्विआधारी संबंधों के [[ सबसेट | सब समुच्चय]] के रूप में देखा जाता है <math>X \times X</math> भी एक तुल्यता संबंध है। यह एक तुल्यता संबंध उत्पन्न करने का एक अनुकूल प्रणाली उपलब्ध कराता है। X पर किसी भी द्विआधारी संबंध R को देखते हुए, आर आर द्वारा उत्पन्न सभी तुल्यता संबंधों का प्रतिच्छेदन R है जिसे सबसे छोटा तुल्यता संबंध भी कहा जाता है। जो सामान्तया, R तुल्यता संबंध उत्पन्न करता है
::<math>a \sim b</math> अगर कोई [[ प्राकृतिक संख्या ]] मौजूद है <math>n</math> और तत्व <math>x_0, \ldots, x_n \in X</math> ऐसा है कि <math>a = x_0</math>, <math>b = x_n</math>, तथा <math>x_{i-1} \mathrel{R} x_i</math> या <math>x_i \mathrel{R} x_{i-1}</math>, के लिये <math>i = 1, \ldots, n.</math>
:इस तरह से उत्पन्न तुल्यता संबंध तुच्छ हो सकता है। उदाहरण के लिए, X पर किसी भी [[ कुल आदेश ]] द्वारा उत्पन्न तुल्यता संबंध में ठीक एक तुल्यता संबंध, X ही है।
* तुल्यता संबंध चीजों को एक साथ जोड़कर नए स्थान का निर्माण कर सकते हैं। मान लीजिए X इकाई [[ कार्तीय वर्ग ]] है <math>[0, 1] \times [0, 1],</math> और जाने ~ परिभाषित एक्स पर समकक्ष संबंध बनें <math>(a, 0) \sim (a, 1)</math> सभी के लिए <math>a \in [0, 1]</math> तथा <math>(0, b) \sim (1, b)</math> सभी के लिए <math>b \in [0, 1],</math> फिर भागफल स्थान,<math>X / \sim</math> कागज का एक चौकोर टुकड़ा लें, एक सिलेंडर बनाने के लिए ऊपरी और निचले किनारे को एक साथ मोड़ें और गोंद करें, फिर परिणामी सिलेंडर को मोड़ें ताकि इसके दो खुले सिरे एक साथ चिपक जाएं, जिसके परिणामस्वरूप एक [[टोरस]] हो।

==बीजीय संरचना==

गणित का अधिकांश भाग तुल्यताओं और क्रम संबंधों के अध्ययन पर आधारित है। जालक सिद्धांत क्रम संबंधों की गणितीय संरचना को ग्रहण करता है। भले ही तुल्यता संबंध गणित में उतने ही सर्वव्यापी हैं जितना कि क्रम संबंध, तुल्यताओं की बीजगणितीय संरचना उतनी अच्छी तरह से ज्ञात नहीं है जितनी कि क्रमों की। पूर्व संरचना मुख्य रूप से [[समूह सिद्धांत]] पर और कुछ हद तक [[जाली, श्रेणियों]] और समूह के सिद्धांत पर आधारित है।

=== समूह सिद्धांत ===

जिस प्रकार आदेश संबंध क्रमित समुच्चयों में आधारित होते हैं, समुच्चय जोड़ीदार सर्वोच्च और न्यूनतम के अंतर्गत बंद होते हैं, तुल्यता संबंध विभाजित समुच्चयों में आधारित होते हैं, जो विभाजन संरचना को संरक्षित करने वाले आक्षेपों के अंतर्गत बंद किए गए समुच्चय होते हैं। चूँकि इस तरह के सभी आक्षेप एक तुल्यता संबंध को स्वयं पर अंकित करते हैं, ऐसे आक्षेपों को क्रमचय के रूप में भी जाना जाता है। इसलिए क्रमचय समूह  [[रूपांतरण समूहों]]  के रूप में भी जाना जाता है और कक्षा की संबंधित धारणा तुल्यता संबंधों की गणितीय संरचना पर प्रकाश डालती है

मान लीजिए ~ कुछ गैर-रिक्त समुच्चय A पर एक तुल्यता संबंध को दर्शाता है, जिसे [[ ब्रह्मांड (गणित) ]] या अंतर्निहित समुच्चय कहा जाता है। मान लीजिए G, A के ऊपर विशेषण फलन के समुच्चय को दर्शाता है जो A की विभाजन संरचना को संरक्षित करता है, जिसका अर्थ है कि सभी के लिए <math>x \in A</math> तथा <math>g \in G, g(x) \in [x].</math> फिर निम्नलिखित तीन जुड़े प्रमेय धारण करते हैं:<ref>Rosen (2008), pp.&nbsp;243–45. Less clear is §10.3 of [[Bas van Fraassen]], 1989. ''Laws and Symmetry''. Oxford Univ. Press.</ref>
* ~ विभाजन ए को तुल्यता संबंधों में। (यह है {{em|Fundamental Theorem of Equivalence Relations}}, उपर्युक्त);
* ए के विभाजन को देखते हुए, जी रचना के तहत एक परिवर्तन समूह है, जिसकी कक्षाएँ विभाजन के एक समूह के विभाजन हैं{{#tag:ref|
''Proof''.<ref>Bas van Fraassen, 1989. ''Laws and Symmetry''. Oxford Univ. Press: 246.</ref> Let [[function composition]] interpret group multiplication, and function inverse interpret group inverse. Then ''G'' is a group under composition, meaning that <math>x \in A</math> and <math>g \in G, [g(x)] = [x],</math> because ''G'' satisfies the following four conditions:
* ''G is closed under composition''. The composition of any two elements of ''G'' exists, because the [[Domain of a function|domain]] and [[codomain]] of any element of ''G'' is ''A''. Moreover, the composition of bijections is [[bijective]];<ref>Wallace, D. A. R., 1998. ''Groups, Rings and Fields''. Springer-Verlag: 22, Th. 6.</ref>
* ''Existence of [[identity function]]''. The [[identity function]], ''I''(''x'') = ''x'', is an obvious element of ''G'';
* ''Existence of [[inverse function]]''. Every [[bijective function]] ''g'' has an inverse ''g''<sup>&minus;1</sup>, such that ''gg''<sup>−1</sup> = ''I'';
* ''Composition [[Associativity|associates]]''. ''f''(''gh'') = (''fg'')''h''. This holds for all functions over all domains.<ref>Wallace, D. A. R., 1998. ''Groups, Rings and Fields''.  Springer-Verlag: 24, Th. 7.</ref>
Let ''f'' and ''g'' be any two elements of ''G''. By virtue of the definition of ''G'', [''g''(''f''(''x''))] = [''f''(''x'')] and [''f''(''x'')] = [''x''], so that [''g''(''f''(''x''))] = [''x'']. Hence ''G'' is also a transformation group (and an [[automorphism group]]) because function composition preserves the partitioning of <math>A. \blacksquare</math>}}
* A के ऊपर एक परिवर्तन समूह G को देखते हुए, A के ऊपर एक तुल्यता संबंध मौजूद है, जिसकी तुल्यता संबंध G की कक्षाएँ हैं।<ref>Wallace, D. A. R., 1998. ''Groups, Rings and Fields''. Springer-Verlag: 202, Th. 6.</ref><ref>Dummit, D. S., and Foote, R. M., 2004. ''Abstract Algebra'', 3rd ed. John Wiley & Sons: 114, Prop. 2.</ref>
संक्षेप में, A के ऊपर एक तुल्यता संबंध दिए जाने पर, A के ऊपर एक [[ परिवर्तन समूह ]] G मौजूद होता है, जिसकी कक्षाएँ ~ के अंतर्गत A की तुल्यता संबंध होती हैं।

तुल्यता संबंधों का यह परिवर्तन समूह लक्षण वर्णन मूल रूप से उस तरह से भिन्न होता है जिस तरह से जाली (आदेश) आदेश संबंधों की विशेषता है। जाली सिद्धांत संचालन मीट गणित और जॉइन गणित के तर्क कुछ ब्रह्मांड ए के तत्व हैं। इस बीच परिवर्तन समूह संचालन के तर्क कार्य संरचना और उलटा कार्य, पूर्वाग्रहों के एक  समुच्चय के तत्व हैं, ए → ए।

सामान्य रूप से समूहों की ओर बढ़ते हुए, मान लीजिए कि H किसी [[ समूह (गणित) ]] G का एक [[ उपसमूह ]] है। मान लीजिए ~ G पर एक तुल्यता संबंध है, जैसे कि <math>a \sim b \text{ if and only if } a b^{-1} \in H.</math> तुल्यता संबंध ~ जिन्हें G पर H की समूह क्रिया (गणित) की कक्षाएँ भी कहा जाता है, जी में H के दाएँ '[[ सह समुच्चय ]]' हैं। a और b को परस्पर बदलने से बाएँ को समुच्चय fप्राप्त होते हैं।

संबंधित सोच रोसेन में पाई जा सकती है (2008: अध्याय 10)।

=== श्रेणियां और समूह ===

मान लीजिए कि G एक समुच्चय है और मान लीजिए कि G के ऊपर एक तुल्यता संबंध है। तब हम इस तुल्यता संबंध को निरूपित करने वाला एक वर्गमूल इस प्रकार बना सकते हैं। वस्तुएँ G के तत्व हैं, और G के किन्हीं दो तत्वों x और y के लिए, x से y तक एक अद्वितीय रूपवाद मौजूद है यदि और केवल यदि <math>x \sim y.</math>

एक समूह के विशेष स्थिति के रूप में एक तुल्यता संबंध के लाभ में सम्मिलित हैं: 
* जबकि मुक्त तुल्यता संबंध की धारणा मौजूद नहीं है, एक [[ निर्देशित ग्राफ | निर्देशित ग्राफ]]  पर एक [[ मुक्त वस्तु | मुक्त वस्तु]]  की धारणा है। इस प्रकार एक तुल्यता संबंध की प्रस्तुति के बारे में बात करना सार्थक है, अर्थात, संबंधित समूह की प्रस्तुति है
* समूहों, समूह क्रियाओं, समुच्चयों और तुल्यता संबंधों के बंडलों को वर्गीकृत की धारणा के विशेष मामलों के रूप में जाना जा सकता है, एक ऐसा दृष्टिकोण जो कई उपमाओं का सुझाव देता है
*कई संदर्भों में भागफल, और इसलिए उपयुक्त तुल्यता संबंध जिन्हें अक्सर सर्वांगसमता संबंध कहा जाता है, महत्वपूर्ण हैं, यह एक [[ श्रेणी (गणित) | श्रेणी (गणित)]]  में एक आंतरिक समूह की धारणा की ओर जाता है।<ref>Borceux, F. and Janelidze, G., 2001. ''Galois theories'', Cambridge University Press, {{ISBN|0-521-80309-8}}</ref>


=== जाली ===

किसी भी समुच्चय X पर तुल्यता संबंध, जब समुच्चय समावेशन द्वारा आदेशित किया जाता है, एक पूर्ण जालक बनाता है, जिसे परिपाटी द्वारा 'Con' X कहा जाता है। कैनोनिकल छायाचित्र गणित 'केर' एक्स,एक्स मोनोइड से संबंधित है ''X''^''X'' सभी कार्यों के एक्स 'केर' विशेषण है लेकिन [[ इंजेक्शन | अंतःक्षेप]] नहीं है। औपचारिक रूप से कम, X पर तुल्यता संबंध 'केर', प्रत्येक फलन f: X→X को उसके कर्नेल (बीजगणित) 'केर' f पर ले जाता है। इसी तरह, 'केर' X^X पर एक तुल्यता संबंध है।

==तुल्यता संबंध और गणितीय तर्क ==
तुल्यता संबंध उदाहरणों या प्रति-उदाहरणों का एक तैयार स्रोत है। उदाहरण के लिए, ठीक दो अनंत तुल्यता संबंधों के साथ एक तुल्यता संबंध एक सिद्धांत का एक आसान उदाहरण है जो -मॉर्ले की श्रेणीबद्धता प्रमेय है, लेकिन किसी भी बड़ी कार्डिनल संख्या के लिए श्रेणीबद्ध नहीं है।

[[मॉडल सिद्धांत]] का एक निहितार्थ यह है कि एक संबंध को परिभाषित करने वाले गुणों को एक दूसरे से स्वतंत्र साबित किया जा सकता है और इसलिए परिभाषा के आवश्यक भाग में यदि और केवल अगर, प्रत्येक संपत्ति के लिए, संबंधों के उदाहरण पाए जा सकते हैं जो संतुष्ट करते हुए दी गई संपत्ति को संतुष्ट नहीं करते हैं अन्य सभी गुण। इसलिए तुल्यता संबंधों के तीन परिभाषित गुणों को निम्नलिखित तीन उदाहरणों से परस्पर स्वतंत्र सिद्ध किया जा सकता है
* रिफ्लेक्सिव और सकर्मक संबंध ≤  'एन' पर या कोई पूर्व-आदेश;
* सममित और सकर्मक 'N' पर संबंध R, जिसे aRb ab ≠ 0 के रूप में परिभाषित किया गया है। या कोई आंशिक तुल्यता संबंध से है 
* परावर्तक और सममित 'Z' पर संबंध R, जिसे aRb a - b के रूप में परिभाषित किया गया है, 2 या 3 में से कम से कम एक या किसी निर्भरता संबंध से विभाज्य है।

[[ प्रथम-क्रम तर्क ]] में निश्चित गुण जो एक तुल्यता संबंध में सम्मिलित हो सकते हैं या नहीं भी सम्मिलित हो सकते हैं
*तुल्यता संबंधों की संख्या परिमित या अनंत है।
*तुल्यता संबंधों की संख्या (परिमित) प्राकृतिक संख्या n के बराबर होती है।
*सभी तुल्यता संबंधों में अनंत कार्डिनैलिटी होती है।
*प्रत्येक तुल्यता संबंध में तत्वों की संख्या प्राकृत संख्या n है।

==यह भी देखें==

* {{annotated link|संयुग्मन वर्ग}}
* {{annotated link|संतुलन (ज्यामिति)}}
* {{annotated link|अतिपरिमित तुल्यता संबंध}}
* {{annotated link|एक तुल्यता संबंध द्वारा भागफल}}
* {{annotated link|सांस्थितिक संयुग्मन करना}}
* {{annotated link|अप टू}}


==टिप्पणियाँ==

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{{reflist|30em}}


==संदर्भ==

*Brown, Ronald, 2006. ''[http://arquivo.pt/wayback/20160514115224/http://www.bangor.ac.uk/r.brown/topgpds.html Topology and Groupoids.]'' Booksurge LLC. {{ISBN|1-4196-2722-8}}.
*Castellani, E., 2003, "Symmetry and equivalence" in Brading, Katherine, and E. Castellani, eds., ''Symmetries in Physics: Philosophical Reflections''. Cambridge Univ. Press: 422–433.
*[[Robert Dilworth]] and Crawley, Peter, 1973. ''Algebraic Theory of Lattices''. Prentice Hall. Chpt. 12 discusses how equivalence relations arise in [[lattice (order)|lattice]] theory.
*Higgins, P.J., 1971. ''[http://www.emis.de/journals/TAC/reprints/articles/7/tr7abs.html Categories and groupoids.]'' Van Nostrand. Downloadable since 2005 as a TAC Reprint.
*[[John Lucas (philosopher)|John Randolph Lucas]], 1973. ''A Treatise on Time and Space''. London: Methuen. Section 31.
*Rosen, Joseph (2008) ''Symmetry Rules: How Science and Nature are Founded on Symmetry''. Springer-Verlag. Mostly chapters. 9,10.
*[[Raymond Wilder]] (1965) ''Introduction to the Foundations of Mathematics'' 2nd edition, Chapter 2-8: Axioms defining equivalence, pp 48&ndash;50, [[John Wiley & Sons]].



==इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक लिंक की सूची==

*बेल नंबर
*परावर्तक संबंध
*अंक शास्त्र
*अगर और केवल अगर
*एक  समुच्चयका विभाजन
*फलन  (गणित)
*सामान्य अवयव
*खाली सच
*खाली रिश्ता
*बीजगणतीय अभिव्यक्ति
*अलगाव संबंध
*बहिष्कृत मध्य का कानून
*प्रोजेक्शन ( समुच्चयथ्योरी)
*द्विभाजन
*संघ ( समुच्चयसिद्धांत)
*जोड़ीदार असंबद्ध
*ग्रुपॉयड
*जाली (आदेश)
*आदेश संबंध
*अंतिम
*सबसे कम
*आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय
*कक्षा (समूह सिद्धांत)
*समूह कार्रवाई (गणित)
*एक  समुच्चयके विभाजन
*मिलो (गणित)
*उलटा काम करना
*आपत्तियां
*सम्मिलित  हों (गणित)
*समावेशन  समुच्चयकरें
*नक्शा (गणित)
*पूरी जाली
*बुनियादी संख्या
==बाहरी संबंध==
* {{springer|title=Equivalence relation|id=p/e036030}}
* [[Alexander Bogomolny|Bogomolny, A.]], "[http://www.cut-the-knot.org/blue/equi.shtml Equivalence Relationship]" [[cut-the-knot]]. Accessed 1 September 2009
* [https://web.archive.org/web/20130509233055/http://planetmath.org/equivalencerelation Equivalence relation] at PlanetMath
* {{OEIS el|1=A231428|2=Binary matrices representing equivalence relations}}

{{Mathematical logic}}
{{Set theory}}

{{Authority control}}

{{DEFAULTSORT:Equivalence Relation}}

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