संयुग्मन वर्ग

रंग द्वारा प्रतिष्ठित संयुग्मन वर्गों के साथ डायहेड्रल_ग्रुप के दो केली_ग्राफ।

गणित में, विशेष रूप से समूह सिद्धांत में, समूह के दो तत्व $a$ तथा $b$ संयुग्मित होते हैं यदि समूह में कोई तत्व $g$ ऐसा है कि $b=gag^{-1}.$यह एक तुल्यता संबंध है जिसके तुल्यता वर्ग संयुग्मन वर्ग कहलाते हैं। दूसरे शब्दों में, समूह में सभी तत्वों $g$ के लिए $b=gag^{-1}.$ के अंतर्गत प्रत्येक संयुग्मन वर्ग बंद है।।

एक ही संयुग्मन वर्ग के सदस्यों को केवल समूह संरचना का उपयोग करके भिन्न नहीं किया जा सकता है, और इसलिए कई गुण बाँट लेते हैं। गैर-आबेली समूहों के संयुग्मन वर्गों का अध्ययन उनकी संरचना के अध्ययन के लिए प्राथमिक है। एबेलियन समूह के लिए, प्रत्येक संयुग्मन वर्ग एक तत्व एकाकी वस्तु वाला एक समुच्चय है।

एक ही संयुग्मन वर्ग के सदस्यों के लिए स्थिर होने वाले कार्यों को वर्ग कार्य कहा जाता है।

परिभाषा

मान लीजिए कि $G$ एक समूह है। दो तत्व $a,b\in G$ संयुग्मित हैं यदि कोई तत्व सम्मलित $g\in G$ ऐसा है कि $gag^{-1}=b,$ जिस स्थिति में $b$ को $a$ संयुग्म कहा जाता है और $a$ को एक संयुग्मी कहा जाता है I उल्टा मैट्रिक्स के सामान्य रैखिक समूह $\operatorname {GL} (n)$ की स्थिति में संयुग्मन संबंध को मैट्रिक्स समानता $b.$ कहा जाता है

यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि संयुग्मन एक तुल्यता संबंध है और इसलिए $G$ तुल्यता वर्गों में विभाजन करता है। (इसका अर्थ है कि समूह का प्रत्येक तत्व ठीक एक संयुग्मन वर्ग से संबंधित है, और वर्ग $\operatorname {Cl} (a)$ तथा $\operatorname {Cl} (b)$ बराबर हैं और केवल $a$ तथा $b$ संयुग्मन हैं, अन्यथा भिन्न हो जाते है I तुल्यता वर्ग जिसमें $a\in G$ तत्व सम्मलित है,

$$\operatorname {Cl} (a)=\left\{gag^{-1}:g\in G\right\}$$

और $a.$ संयुग्मन वर्ग कहलाता है $G$ का वर्ग संख्या विशिष्ट (गैर-समतुल्य) संयुग्मन वर्गों की संख्या है। एक ही संयुग्मन वर्ग से संबंधित सभी तत्वों का एक ही क्रम होता है।

संयुग्मन वर्गों को उनका वर्णन करके, या अधिक संक्षेप में 6A जैसे संक्षिप्त रूप से संदर्भित किया जा सकता है, जिसका अर्थ है क्रम 6 के तत्वों के साथ एक निश्चित संयुग्मन वर्ग, और 6B क्रम 6 के तत्वों के साथ एक भिन्न संयुग्मन वर्ग होगा; संयुग्मन वर्ग 1A पहचान का संयुग्मन वर्ग है जिसका क्रम 1 है। कुछ स्थिति में, संयुग्मन वर्गों को एक समान उपाय से वर्णित किया जा सकता है; उदाहरण के लिए, सममित समूह में उन्हें चक्र प्रकार से वर्णित किया जा सकता है।

उदाहरण

सममित समूह $S_{3},$ जिसमें तीन तत्वों के 6 क्रम परिवर्तन से मिलकर, तीन संयुग्मन वर्ग हैं:

1. कोई परिवर्तन नहीं होता है $(abc\to abc)$. एकल सदस्य का क्रम 1 है।
2. दो $(abc\to acb,abc\to bac,abc\to cba)$ स्थानान्तरण करना 3 सदस्यों के पास क्रम 2 है।
3. तीनों का एक चक्रीय क्रमपरिवर्तन $(abc\to bca,abc\to cab)$. 2 सदस्यों दोनों के पास क्रम 3 है।

ये तीन वर्ग एक समबाहु त्रिभुज के आइसोमेट्री समूह के वर्गीकरण के अनुरूप भी हैं।

सममित समूह $S_{4},$ जिसमें चार तत्वों के 24 क्रमपरिवर्तन सम्मलित हैं, उनके विवरण, चक्र प्रकार, सदस्य क्रम और सदस्यों के साथ सूचीबद्ध पांच संयुग्मन वर्ग हैं:

1. कोई परिवर्तन नहीं होता है। चक्र प्रकार = [1⁴]। क्रम = 1. सदस्य = {(1, 2, 3, 4)}। इस संयुग्मन वर्ग वाली एकल पंक्ति को आसन्न तालिका में काले घेरे की एक पंक्ति के रूप में दिखाया गया है।
2. अंतर्विनिमय दो (अन्य दो अपरिवर्तित रहते हैं)। चक्र प्रकार = [1²2¹] क्रम = 2. सदस्य = { (1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4)})। इस संयुग्मन वर्ग वाली 6 पंक्तियों को आसन्न तालिका में हरे रंग में प्रमुखता से दिखाया गया हैI
3. तीन का एक चक्रीय क्रमचय (अन्य एक अपरिवर्तित रहता है)। चक्र प्रकार = [1¹3¹] क्रम = 3. सदस्य = { (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4)})। इस संयुग्मन वर्ग वाली 8 पंक्तियों को आसन्न तालिका में सामान्य प्रिंट (कोई बोल्ड अक्षरों या रंग प्रमुखता) के साथ दिखाया गया है।
4. चारों का एक चक्रीय क्रमपरिवर्तन। चक्र प्रकार = [4¹] क्रम = 4. सदस्य = { (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2, 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2)})। इस संयुग्मन वर्ग वाली 6 पंक्तियों को आसन्न तालिका में नारंगी रंग में प्रमुखता से दिखाया गया हैI
5. दो की आदान-प्रदान, और अन्य दो की भी। चक्र प्रकार = [2²] । क्रम = 2. सदस्य = {(2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2)})। इस संयुग्मन वर्ग वाली 3 पंक्तियों को आसन्न तालिका में बोल्ड अक्षरों प्रविष्टियों के साथ दिखाया गया है।

घन के उचित घुमाव, जिन्हें शरीर के विकर्णों के क्रमपरिवर्तन द्वारा वर्णित किया जा सकता है, को संयुग्मन द्वारा $S_{4}.$ में भी वर्णित किया गया है। सामान्य तौर पर, सममित समूह में संयुग्मन वर्गों की संख्या $S_{n}$के पूर्णांक विभाजनों की संख्या $n.$ के बराबर है I ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक संयुग्मन वर्ग ठीक एक विभाजन $\{1,2,\ldots ,n\}$ से मेल खाता है I साइकिल अंकन में, $\{1,2,\ldots ,n\}.$ के तत्वों के क्रमचय तक सामान्यतः, यूक्लिडियन अंतरिक्ष में आइसोमेट्री के संयुग्मन द्वारा यूक्लिडियन समूह का अध्ययन किया जा सकता है।

गुण

• पहचान तत्व हमेशा अपनी कक्षा में एकमात्र तत्व होता है, अर्थात $\operatorname {Cl} (e)=\{e\}.$
• यदि $G$ तब एबेलियन समूह है $gag^{-1}=a$ सभी के लिए $a,g\in G$, अर्थात। $\mathrm{Cl}<!--\; \; -->$