View source for लघुगणक

गणित में, '''लघुगणक''' घातांक का व्युत्क्रम फलन है। इसका कारण है कि किसी संख्या {{mvar|x}} का आधार {{mvar|b}} से लघुगणक वह घातांक है जिससे {{mvar|x}} प्राप्त करने के लिए {{mvar|b}} को ऊपर उठाया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, चूंकि 1000 = 10<sup>3</sup> 1000 का लघुगणक आधार 10 3 है, या log<sub>10</sub> (1000) = 3.है। {{mvar|x}} से आधार {{mvar|b}} के लघुगणक को log<sub>''b''</sub> (''{{mvar|x}}''), के रूप में दर्शाया जाता है, या बिना कोष्ठक के,log<sub>''b''</sub> ''{{mvar|x}}'', या यहां तक कि बिना स्पष्ट आधार के भी, log ''{{mvar|x}}'', जब कोई भ्रम संभव नहीं है, या जब आधार कोई मायने नहीं रखता है जैसे कि बड़े O में अंकन.

लघुगणक आधार 10 को दशमलव या सामान्य लघुगणक कहा जाता है और सामान्यतः विज्ञान और इंजीनियरिंग में इसका उपयोग किया जाता है। प्राकृतिक लघुगणक का आधार संख्या e ≈ 2.718 है; इसकी अत्यंत सरल व्युत्पत्ति के कारण इसका उपयोग गणित और भौतिकी में व्यापक है। बाइनरी लघुगणक आधार 2 का उपयोग करता है और अधिकांशतः कंप्यूटर विज्ञान में उपयोग किया जाता है।

गणनाओं को सरल बनाने के साधन के रूप में 1614 में जॉन नेपियर द्वारा लघुगणक की प्रारंभिककी गई थी।<ref>{{citation|url=http://archive.org/details/johnnapierinvent00hobsiala|title=John Napier and the invention of logarithms, 1614; a lecture|last=Hobson|first=Ernest William|date=1914|publisher=Cambridge : University Press|others=University of California Libraries}}</ref> उच्च स्पष्टता वाली गणनाएँ अधिक आसानी से करने के लिए उन्हें नाविकों, वैज्ञानिकों, इंजीनियरों, सर्वेक्षणकर्ताओं और अन्य लोगों द्वारा इन्हें तेजी से अपनाया गया।लघुगणक तालिकाओं का उपयोग करके, कठिन बहु-अंकीय गुणन चरणों को तालिका लुक-अप और सरल जोड़ द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।यह संभव है क्योंकि किसी उत्पाद का लघुगणक (गणित) कारकों के लघुगणक का योग होता है:
:<math> \log_b(xy) = \log_b x + \log_b y,</math>
उसे उपलब्ध कराया {{mvar|b}}, {{mvar|x}} और y सभी धनात्मक हैं और {{math|''b'' ≠ 1}}. लघुगणक पर आधारित स्लाइड नियम, तालिकाओं के बिना त्वरित गणना की अनुमति देता है, किन्तुकम स्पष्टता पर। लघुगणक की वर्तमान अवधारणा लियोनहार्ड यूलर से आती है, जिन्होंने उन्हें 18 वीं शताब्दी में घातीय फलन से जोड़ा था, और जिन्होंने प्राकृतिक लघुगणक के आधार के रूप में {{mvar|e}} पत्र भी प्रस्तुत किया था।<ref>{{citation|title=Theory of complex functions|last=Remmert, Reinhold.|date=1991|publisher=Springer-Verlag|isbn=0387971955|location=New York|oclc=21118309}}</ref>

लॉगरिदमिक स्केल व्यापक मात्रा को छोटे सीमा में कम कर देता है। उदाहरण के लिए, डेसिबल (dB) माप की इकाई है जिसका उपयोग स्तर (लघुगणकीय मात्रा) को व्यक्त करने के लिए किया जाता है, अधिकतर सिग्नल शक्ति और आयाम के लिए (जिनमें से ध्वनि दबाव सामान्य उदाहरण है)। रसायन विज्ञान में, pH जलीय घोल की अम्लता के लिए लघुगणकीय उपाय है। लघुगणक वैज्ञानिक सूत्रों में, और कम्प्यूटेशनल सम्मिश्रता सिद्धांत के मापन में और भग्न नामक ज्यामितीय वस्तुओं में आम हैं। वे अंतराल (संगीत) के आवृत्ति अनुपातों का वर्णन करने में सहायता करते हैं, अभाज्य संख्याओं की गिनती के सूत्रों में दिखाई देते हैं या स्टर्लिंग के सन्निकटन फैक्टोरियल, साइकोफिज़िक्स में कुछ मॉडलों को सूचित करते हैं, और फोरेंसिक लेखांकन में सहायता कर सकते हैं।

घातांक के व्युत्क्रम के रूप में लघुगणक की अवधारणा अन्य गणितीय संरचनाओं पर भी प्रयुक्त होती है। चूँकि, सामान्य सेटिंग्स में, लघुगणक बहु-मूल्यवान फलन होता है। उदाहरण के लिए, सम्मिश्र लघुगणक सम्मिश्र घातीय फलन का बहु-मूल्यवान व्युत्क्रम फलन है। इसी तरह, असतत लघुगणक परिमित समूहों में घातीय फलन का बहु-मूल्यवान व्युत्क्रम है; इसका सार्वजनिक-कुंजी क्रिप्टोग्राफी में उपयोग होता है।

== प्रेरणा ==
[[File: Binary logarithm plot with grid.png|right|thumb|upright=1.35|alt=Graph showing a logarithmic curve, crossing the x-अक्ष x = 1 पर और y-अक्ष के साथ ऋण अनंत तक पहुंच रहा है। लघुगणक आधार 2 के एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ x अक्ष को पार करता है। x-अक्ष पर {{math|''x'' {{=}} 1}} और बिंदुओं से होकर गुजरता है {{nowrap|(2, 1)}}, {{nowrap|(4, 2)}}, और {{nowrap|(8, 3)}}, चित्रण, उदाहरण के लिए, {{math|log<sub>2</sub>(8) {{=}} 3}} और {{math|2<sup>3</sup> {{=}} 8}}. ग्राफ मनमाने ढंग से के करीब हो जाता है {{mvar|y}}-अक्ष, लेकिन स्पर्शोन्मुख।]]जोड़, गुणा और घातांक तीन सबसे मौलिक अंकगणितीय ऑपरेशन हैं। जोड़ का व्युत्क्रम घटाना है, और गुणन का प्रतिलोम भाग (गणित) है।इसी प्रकार, लघुगणक घातांक की व्युत्क्रम संक्रिया है।घातांक तब होता है जब संख्या {{mvar|b}} आधार, को निश्चित घात {{mvar|y}}, घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, जिससे मान {{mvar|x}}; दिया जा सके; यह दर्शाया गया है
: <math>b^y=x.</math>
उदाहरण के लिए, उठाना {{math|2}} की शक्ति के लिए {{math|3}} देता है {{math|8}}: <math>2^3 = 8</math>

आधार का लघुगणक {{mvar|b}} विपरीत ऑपरेशन है, जो इनपुट {{mvar|x}}. से आउटपुट {{mvar|y}} प्रदान करता है वह है, <math>x=b^y</math> के सामान्तर <math>y = \log_b x</math> है (यदि {{mvar|b}} धनात्मक वास्तविक संख्या नहीं है, तो घातांक और लघुगणक दोनों को परिभाषित किया जा सकता है किन्तुइसमें अनेक मान हो सकते हैं, जो परिभाषाओं को और अधिक सम्मिश्र बना देता है।)

लघुगणक को प्रस्तुत करने की मुख्य ऐतिहासिक प्रेरणाओं में से सूत्र है
:<math>\log_b(xy)=\log_b x + \log_b y,</math>
जिसने (कंप्यूटर के आविष्कार से पहले) जोड़, घटाव और लघुगणक तालिका देखने के लिए गुणा और भाग की गणना को कम करने की अनुमति दी।

== परिभाषा ==
एक धनात्मक वास्तविक संख्या {{mvar|b}} को इस प्रकार दिया गया हैं कि ''b'' ≠ 1, आधार b के संबंध में धनात्मक वास्तविक संख्या {{mvar|x}} का लघुगणक वह घातांक हैं जिसके द्वारा {{mvar|x}}. प्राप्त करने के लिए {{mvar|b}} को बढ़ाया जाना चाहिए। {{refn|The restrictions on {{mvar|x}} and {{mvar|b}} are explained in the section [[#Analytic properties|"Analytic properties"]].|group=nb}} दूसरे शब्दों में, {{mvar|x}} से आधार {{mvar|b}} का लघुगणक इस प्रकार अद्वितीय वास्तविक संख्या y है जैसे कि <math>b^y = x</math>.<ref>{{Citation|last1=Kate|first1=S.K.|last2=Bhapkar|first2=H.R.|title=Basics Of Mathematics|location=Pune|publisher=Technical Publications|isbn=978-81-8431-755-8|year=2009|url={{google books |plainurl=y |id=v4R0GSJtEQ4C|page=1}} }}, chapter 1</ref>

लघुगणक को "{{math|log<sub>''b''</sub>&thinsp;''x''}}" निरूपित है (उच्चारण "{{mvar|x}} से आधार {{mvar|b}}का लघुगणक", " {{mvar|x}} का आधार-{{mvar|b}} लघुगणक", या सामान्यतः "{{mvar|x}} का लघुगणक, आधार {{mvar|b}}" के रूप में उच्चारित किया जाता है)।

एक समतुल्य और अधिक संक्षिप्त परिभाषा यह है कि फलन {{math|log<sub>''b''</sub>}} फलन <math>x\mapsto b^x</math> का प्रतिलोम फलन हैं

=== उदाहरण ===
* {{math|1=log<sub>2</sub>&thinsp;16 = 4}}, जबसे {{math|1=2<sup>4</sup> = 2 × 2 × 2 × 2 = 16}}.
* लघुगणक ऋणात्मक भी हो सकते हैं: <math display="inline">\log_2 \! \frac{1}{2} = -1</math> जबसे <math display="inline">2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}.</math> 
* {{math|log<sub>10</sub>&thinsp;150}} लगभग 2.176 है, जो 2 और 3 के मध्य स्थित है, ठीक वैसे ही जैसे 150 {{math|1=10<sup>2</sup> = 100}} और {{math|1=10<sup>3</sup> = 1000}}.मध्य में है '''{{math|1=10<sup>2</sup> = 100}}''' और '''{{math|1=10<sup>3</sup> = 1000}}.'''
* किसी भी आधार {{mvar|b}},के लिए '''{{mvar|b}},''' {{math|1=log<sub>''b''</sub>&thinsp;''b'' = 1}} और {{math|1= log<sub>''b''</sub>&thinsp;1 = 0}}, चूँकि {{math|1=''b''<sup>1</sup> = {{mvar|b}}}} और {{math|1=''b''<sup>0</sup> = 1}}, क्रमश।

== लघुगणकीय पहचान ==
{{Main|लघुगणकीय पहचानों की सूची}}
अनेक महत्वपूर्ण सूत्र, जिन्हें कभी-कभी लघुगणकीय सर्वसमिका या लघुगणकीय नियम कहा जाता है, लघुगणक को दूसरे से संबंधित करते हैं।<ref>All statements in this section can be found in {{Harvard citations|last1=Shirali|first1=Shailesh|year=2002|loc=section 4|nb=yes}}, {{Harvard citations|last1=Downing| first1=Douglas |year=2003|loc=p. 275}}, or {{Harvard citations|last1=Kate|last2=Bhapkar|year=2009|loc=p. 1-1|nb=yes}}, for example.</ref>
=== उत्पाद, भागफल, पॉवर और रूट ===
किसी उत्पाद का लघुगणक गुणा की जाने वाली संख्याओं के लघुगणक का योग है; दो संख्याओं के अनुपात का लघुगणक लघुगणक का अंतर है। किसी संख्या की {{Mvar|p}} घात का लघुगणक, उस संख्या के लघुगणक का {{Mvar|p}} गुना होता है; {{Mvar|p}} मूल का लघुगणक, {{Mvar|p}} से विभाजित संख्या का लघुगणक है। निम्न तालिका इन पहचानों को उदाहरणों के साथ सूचीबद्ध करती है। प्रत्येक पहचान को लघुगणक परिभाषाओं <math>x = b^{\, \log_b x}</math> या <math>y = b^{\, \log_b y}</math> बाएँ पक्ष में के प्रतिस्थापन के बाद प्रत्येक पहचान की प्राप्त की जा सकती है प्राप्त किया जा सकता है

{| class="wikitable" style="margin: 0 auto;"
|-
! !! सूत्र !! उदाहरण
|-
| Product|| <math display="inline">\log_b(x y) = \log_b x + \log_b y</math>
| <math display="inline">\log_3 243 = \log_3 (9 \cdot 27) = \log_3 9 + \log_3 27 = 2 + 3 = 5</math>
|-
| Quotient || <math display="inline">\log_b \!\frac{x}{y} = \log_b x - \log_b y</math>
| <math display="inline">\log_2 16 = \log_2 \!\frac{64}{4} = \log_2 64 - \log_2 4 = 6 - 2 = 4</math>
|-
| Power || <math display="inline">\log_b\left(x^p\right) = p \log_b x</math>
| <math display="inline">\log_2 64 = \log_2 \left(2^6\right) = 6 \log_2 2 = 6</math>
|-
| Root || <math display="inline">\log_b \sqrt[p]{x} = \frac{\log_b x}{p}</math>
| <math display="inline">\log_{10} \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\log_{10} 1000 = \frac{3}{2} = 1.5</math>
|}


===आधार का परिवर्तन===
निम्न सूत्र का उपयोग करके एकइच्छानुसार आधार {{Mvar|k}} के संबंध में {{mvar|x}}और {{mvar|b}} के लघुगणक से लघुगणक {{math|log<sub>''b''</sub>&thinsp;''x''}} की गणना की जा सकती है:[nb 2]

:<math> \log_b x = \frac{\log_k x}{\log_k b}.\, </math>

{{Collapse top|title=मनमाना आधार के लघुगणक के बीच रूपांतरण कारक की व्युत्पत्ति|width=80%}}
परिभाषित पहचान से प्रारंभ

: <math> x = b^{\log_b x} </math>
हम आवेदन कर सकते हैं {{math|log<sub>''k''</sub>}} प्राप्त करने के लिए, इस समीकरण के दोनों पक्षों के लिए

: <math> \log_k x = \log_k \left(b^{\log_b x}\right) = \log_b x \cdot \log_k b</math>.

के लिए हल करना <math>\log_b x</math> उत्पत्ति:

: <math> \log_b x =  \frac{\log_k x}{\log_k b}</math>,

दिए गए से रूपांतरण कारक दिखा रहा है <math>\log_k</math>-मान उनके अनुरूप <math>\log_b </math>-मान होना चाहिए <math>(\log_k b)^{-1}.</math>
{{Collapse bottom}}


विशिष्ट वैज्ञानिक कैलकुलेटर लघुगणक की गणना आधार 10 और {{mvar|[[e (mathematical constant)|e]]}} पर करते हैं।<ref>{{Citation | last1=Bernstein | first1=Stephen | last2=Bernstein | first2=Ruth | title=Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability | publisher=[[McGraw-Hill]] | location=New York | series=Schaum's outline series | isbn=978-0-07-005023-5 | year=1999 | url=https://archive.org/details/schaumsoutlineof00bern }}, p.&nbsp;21</ref>किसी भी आधार {{mvar|b}} के संबंध में लघुगणक को पिछले सूत्र द्वारा इन दो लघुगणक में से किसी का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है:
:<math> \log_b x = \frac{\log_{10} x}{\log_{10} b} = \frac{\log_{e} x}{\log_{e} b}.</math>
किसी अज्ञात आधार {{mvar|b}} पर संख्या {{mvar|x}} और उसका लघुगणक {{math|1=''y'' = log<sub>''b''</sub>&thinsp;''x''}} दिया गया है, आधार इस प्रकार दिया गया है:

:<math> b = x^\frac{1}{y},</math>
जिसे परिभाषित समीकरण <math> x = b^{\,\log_b x} = b^y</math> की शक्ति के लिए <math>\tfrac{1}{y}.</math>लेने से देखा जा सकता है

== विशेष आधार ==
[[File:Log4.svg|thumb|upright=1.2|0.5, 2, और आधारों के लिए लघुगणक के प्लॉट {{mvar|e}}]]आधार के लिए सभी विकल्पों में से तीन विशेष रूप से सामान्य हैं। य़े हैं {{math|1=''b'' = 10}}, {{math|1=''b'' = [[e (mathematical constant)|''e'']]}} (तर्कहीन संख्या गणितीय स्थिरांक ≈ 2.71828), और {{math|1=''b'' = 2}} (द्विआधारी लघुगणक)। गणितीय विश्लेषण में, लघुगणक आधार {{mvar|e}} नीचे बताए गए विश्लेषणात्मक गुणों के कारण व्यापक है। दूसरी ओर,दशमलव संख्या प्रणाली में मैन्युअल गणना के लिए {{nowrap|आधार-10}} लॉगरिदम का उपयोग करना आसान है:<ref>{{Citation|last1=Downing|first1=Douglas|title=Algebra the Easy Way|series=Barron's Educational Series|location=Hauppauge, NY|publisher=Barron's|isbn=978-0-7641-1972-9|date=2003|url=https://archive.org/details/algebraeasyway00down_0}}, chapter 17, p.&nbsp;275</ref>
:<math>\log_{10}(10 x) = \log_{10} 10 + \log_{10} x = 1 + \log_{10} x.\ </math>
इस प्रकार,{{math|log<sub>10</sub>&thinsp;(''x'')}} धनात्मक पूर्णांक {{mvar|x}} के दशमलव अंकों की संख्या से संबंधित है: अंकों की संख्या सबसे छोटा पूर्णांक है जो {{math|1=log<sub>10</sub>&thinsp;(''x'')}} से बिल्कुल बड़ा है <ref>{{Citation|last1=Wegener|first1=Ingo| title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|date=2005}}, p.&nbsp;20</ref> उदाहरण के लिए,{{math|log<sub>10</sub>(1430)}}लगभग 3.15 है। अगला पूर्णांक 4 है, जो 1430 के अंकों की संख्या है। प्राकृतिक लघुगणक और द्विआधारी लघुगणक दोनों का उपयोग सूचना सिद्धांत में किया जाता है, जो क्रमशः सूचना की मूलभूत इकाइयों के रूप में नेट्स या बिट्स के उपयोग के अनुरूप है।<ref>{{citation|title=Information Theory|first=Jan C. A.|last=Van der Lubbe|publisher=Cambridge University Press|date=1997|isbn=978-0-521-46760-5|page=3|url={{google books |plainurl=y |id=tBuI_6MQTcwC|page=3}}}}</ref>

बाइनरी लॉगरिदम का उपयोग कंप्यूटर विज्ञान में भी किया जाता है, जहां बाइनरी अंक प्रणाली सर्वव्यापी है; संगीत सिद्धांत में, जहां दो (ऑक्टेव) का पिच अनुपात सर्वव्यापी है और किन्हीं दो पिचों के मध्य सेंट की संख्या उनके अनुपात का बाइनरी लॉगरिदम, 1200 गुना है (अर्थात, प्रति समान-स्वभाव सेमीटोन 100 सेंट); और फ़ोटोग्राफ़ी में "स्टॉप" में एक्सपोज़र मान, प्रकाश स्तर, एक्सपोज़र समय, एपर्चर और फिल्म की गति को मापने के लिए किया जाता हैं।<ref>{{citation|title=The Manual of Photography|first1=Elizabeth|last1=Allen|first2=Sophie|last2=Triantaphillidou|publisher=Taylor & Francis|date=2011|isbn=978-0-240-52037-7|page=228|url={{google books |plainurl=y |id=IfWivY3mIgAC|page=228}}}}</ref>

निम्न तालिका इन आधारों और उन क्षेत्रों के लघुगणक के लिए सामान्य संकेतन सूचीबद्ध करती है जहां उनका उपयोग किया जाता है। अनेक अनुशासन {{math|log&thinsp;''x''}}के अतिरिक्त {{math|log<sub>''b''</sub>&thinsp;''x''}} लिखते हैं, जब इच्छित आधार संदर्भ से निर्धारित किया जा सकता है। "आईएसओ संकेतन" कॉलम अंतर्राष्ट्रीय मानकीकरण संगठन (आईएसओ 80000-2) द्वारा सुझाए गए पदनामों को सूचीबद्ध करता है।<ref>{{Citation| url=http://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/l.html |author1=Franz Embacher |author2=Petra Oberhuemer |title= Mathematisches Lexikon |publisher=mathe online: für Schule, Fachhochschule, Universität unde Selbststudium |access-date=22 March 2011 |language=de}}</ref> क्योंकि संकेतन {{math|log {{mvar|x}}}} का उपयोग सभी तीन आधारों के लिए किया गया है (या जब आधार अनिश्चित या सारहीन है), तो इच्छित आधार का अनुमान अधिकांशतः संदर्भ या अनुशासन के आधार पर लगाया जाना चाहिए। कंप्यूटर विज्ञान में, {{Math|log}} सामान्यतः {{math|log<sub>2</sub>}} को संदर्भित करता है,<ref>Quantities and units – Part 2: Mathematics (ISO 80000-2:2019); EN ISO 80000-2</ref> और गणित में {{Math|log}} सामान्यतः {{math|log<sub>''e''</sub>}} को संदर्भित करता है। <ref>{{citation|first1=Michael T.|last1=Goodrich|author1-link=Michael T. Goodrich|first2=Roberto|last2=Tamassia|author2-link=Roberto Tamassia|title=Algorithm Design: Foundations, Analysis, and Internet Examples|publisher=John Wiley & Sons|date=2002|page=23|quote=One of the interesting and sometimes even surprising aspects of the analysis of data structures and algorithms is the ubiquitous presence of logarithms&nbsp;... As is the custom in the computing literature, we omit writing the base {{mvar|b}} of the logarithm when {{math|1=''b'' = 2}}.}}</ref> अन्य संदर्भों में, {{Math|log}} का अर्थ अधिकांशतः {{math|log<sub>10</sub>}} होता है।<ref>{{citation |title=Introduction to Applied Mathematics for Environmental Science |edition=illustrated |first1=David F. |last1=Parkhurst |publisher=Springer Science & Business Media |date=2007 |isbn=978-0-387-34228-3 |page=288 |url={{google books |plainurl=y |id=h6yq_lOr8Z4C|page=288 }} }}</ref>

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|-
! scope="col" |आधार {{mvar|b}}
! scope="col" |log<sub>''b''</sub>&thinsp;''x''
के लिए नाम 
! scope="col" |आईएसओ अंकन
! scope="col" |अन्य संकेतन
! scope="col" |में प्रयुक्त होता है
|-
! scope="row" |2
| [[binary logarithm|द्विआधारी लघुगणक]]
| {{math|lb ''x''}}<ref name="gullberg">{{Citation|title = Mathematics: from the birth of numbers.|author = Gullberg, Jan|location = New York|publisher = W. W. Norton & Co|date = 1997|isbn = 978-0-393-04002-9|url-access = registration|url = https://archive.org/details/mathematicsfromb1997gull}}</ref>
| {{math|ld ''x''}}, {{math|log ''x''}}, {{math|lg ''x''}},<ref>See footnote 1 in {{citation|last1=Perl|first1=Yehoshua|last2=Reingold|first2=Edward M.|title=Understanding the complexity of interpolation search|journal=Information Processing Letters|date=December 1977|volume=6|issue=6|pages=219–22|doi=10.1016/0020-0190(77)90072-2}}</ref> {{math|log<sub>2</sub>&thinsp;''x''}}
| कंप्यूटर विज्ञान, सूचना सिद्धांत, जैव सूचना विज्ञान, संगीत सिद्धांत, फोटोग्राफी
|-
! scope="row" |{{mvar|e}}
| [[natural logarithm|प्राकृतिक लघुगणक]]
| {{math|ln ''x''}}{{refn|Some mathematicians disapprove of this notation. In his 1985 autobiography, [[Paul Halmos]] criticized what he considered the "childish ln notation," which he said no mathematician had ever used.<ref>
{{Citation
|title = I Want to Be a Mathematician: An Automathography
|author = Paul Halmos
|publisher =  Springer-Verlag
|location=Berlin, New York
|date =  1985
|isbn=978-0-387-96078-4
}}</ref>
The notation was invented by [[Irving Stringham]], a mathematician.<ref>
{{Citation
|title =  Uniplanar algebra: being part I of a propædeutic to the higher mathematical analysis
|author = Irving Stringham
|publisher =  The Berkeley Press
|date = 1893
|page = xiii
|url = {{google books |plainurl=y |id=hPEKAQAAIAAJ|page=13}}
}}</ref><ref>
{{Citation|title =  Introduction to Financial Technology|author =  Roy S. Freedman|publisher = Academic Press|location=Amsterdam|date =  2006|isbn=978-0-12-370478-8|page = 59|url = {{google books |plainurl=y |id=APJ7QeR_XPkC|page=5}}}}</ref>|name=adaa|group=nb}}
| {{math|log {{mvar|x}}}}<br />(<ref>See Theorem 3.29 in {{citation|last1=Rudin|first1=Walter|title=Principles of mathematical analysis|date=1984|publisher=McGraw-Hill International|location=Auckland|isbn=978-0-07-085613-4|edition=3rd ed., International student|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi}}</ref>  [[programming language|गणित और कई प्रोग्रामिंग भाषाओं में]]{{refn|For example [[C (programming language)|C]], [[Java (programming language)|Java]], [[Haskell (programming language)|Haskell]], and [[BASIC programming language|BASIC]].|group=nb}}), {{math|log<sub>''e''</sub>&thinsp;''x''}}
| गणित, भौतिकी, रसायन विज्ञान,
सांख्यिकी, अर्थशास्त्र, सूचना सिद्धांत और इंजीनियरिंग
|-
! scope="row" |10
| [[common logarithm|सामान्य लघुगणक]]
| {{math|lg ''x''}}
| {{math|log ''x''}}, {{math|log<sub>10</sub>&thinsp;''x''}}<br />(इंजीनियरिंग, जीव विज्ञान, खगोल विज्ञान में)
| [[spectroscopy|विभिन्न इंजीनियरिंग क्षेत्र (डेसीबल देखें और नीचे देखें), लघुगणक तालिकाएँ, हैंडहेल्ड कैलकुलेटर, स्पेक्ट्रोस्कोपी]]
|-
! scope="row" |{{mvar|b}}
| आधार से लघुगणक {{mvar|b}}
| {{math|log<sub>''b''</sub>&thinsp;''x''}}
|
| गणितीय
|}


== इतिहास ==
{{Main|लघुगणक का इतिहास}}

सत्रहवीं सदी के यूरोप में लघुगणक का इतिहास नए प्रकार्य (गणित) की खोज है जिसने विश्लेषण के क्षेत्र को बीजगणितीय विधियों के सीमा से बाहर बढ़ाया। 1614 में जॉन नेपियर द्वारा लघुगणक की विधि सार्वजनिक रूप से प्रतिपादित की गई थी, जिसका शीर्षक मिरिफिसी लॉगरिथमोरम कैननिस डिस्क्रिप्टियो (''लॉगरिदम के अद्भुत नियम का विवरण'') था।<ref>{{citation |first=John |last=Napier |author-link=John Napier |title=Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio |trans-title=The Description of the Wonderful Rule of Logarithms |language=la |location=Edinburgh, Scotland |publisher=Andrew Hart |year=1614 |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN527914568&DMDID=DMDLOG_0001&LOGID=LOG_0001&PHYSID=PHYS_0001 }}</ref><ref>{{Citation|first=Ernest William |last=Hobson|title=John Napier and the invention of logarithms, 1614|year=1914|publisher=The University Press|location=Cambridge|url=https://archive.org/details/johnnapierinvent00hobsiala}}</ref> नेपियर के आविष्कार से पहले, इसी तरह के स्कोप की अन्य विधि थीं, जैसे कि प्रोस्थफेरेसिस या प्रगति की तालिकाओं का उपयोग, 1600 के आसपास जोस्ट बर्गी द्वारा बड़े पैमाने पर विकसित किया गया था।<ref name="folkerts">{{citation | last1 = Folkerts | first1 = Menso | last2 = Launert | first2 = Dieter | last3 = Thom | first3 = Andreas | arxiv = 1510.03180 | doi = 10.1016/j.hm.2016.03.001 | issue = 2 | journal = [[Historia Mathematica]] | mr = 3489006 | pages = 133–147 | title = Jost Bürgi's method for calculating sines | volume = 43 | year = 2016| s2cid = 119326088 }}</ref><ref>{{mactutor|id=Burgi|title=Jost Bürgi (1552 – 1632)}}</ref> नेपियर ने मध्य लैटिन में लघुगणक के लिए शब्द गढ़ा, "लघुगणक," जो ग्रीक से लिया गया, जिसका शाब्दिक अर्थ है, "अनुपात-संख्या," लोगो से "अनुपात, अनुपात, शब्द" + अंकगणित "संख्या" हैं।

किसी संख्या का सामान्य लघुगणक दस की उस शक्ति का सूचकांक है जो संख्या के सामान्तर है।<ref>William Gardner (1742) ''Tables of Logarithms''</ref> इतने सारे अंकों की आवश्यकता के रूप में संख्या की बात करना सामान्य लघुगणक के लिए मोटा संकेत है, और इसे आर्किमिडीज द्वारा "संख्या का क्रम" के रूप में संदर्भित किया गया था।<ref>{{citation | last = Pierce | first = R. C. Jr. | date = January 1977 | doi = 10.2307/3026878 | issue = 1 | journal = [[The Two-Year College Mathematics Journal]] | jstor = 3026878 | pages = 22–26 | title = A brief history of logarithms | volume = 8}}</ref> 

पहले वास्तविक लघुगणक गुणन को जोड़ में बदलने के लिए अनुमानी तरीके थे, इस प्रकार तेजी से संगणना की सुविधा प्रदान करते थे। इनमें से कुछ विधियों में त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं से प्राप्त तालिकाओं का उपयोग किया गया है।<ref>Enrique Gonzales-Velasco (2011) ''Journey through Mathematics – Creative Episodes in its History'', §2.4 Hyperbolic logarithms, p. 117, Springer {{isbn|978-0-387-92153-2}}</ref> ऐसी विधियों को प्रोस्थफेरेसिस कहा जाता है।

फलन (गणित) का आविष्कार जिसे अब प्राकृतिक लघुगणक के रूप में जाना जाता है, प्राग में रहने वाले बेल्जियन जेसुइट ग्रेगोइरे डी सेंट-विंसेंट द्वारा आयताकार हाइपरबोला के चतुर्भुज (गणित) के प्रदर्शन के प्रयास के रूप में प्रारंभिक हुआ। आर्किमिडीज ने तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में पैराबोला का चतुर्भुज लिखा था, किन्तुहाइपरबोला के लिए चतुर्भुज सभी प्रयासों से दूर हो गया जब तक कि सेंट-विंसेंट ने 1647 में अपने परिणाम प्रकाशित नहीं किए। फलन के अपने तर्क में ज्यामितीय प्रगति के मध्य लघुगणक जो संबंध प्रदान करता है और मूल्यों की अंकगणितीय प्रगति, ए. ए. डी सरसा को सेंट-विंसेंट के चतुर्भुज और प्रोस्थेफेरेसिस में लॉगरिदम की परंपरा के संबंध को बनाने के लिए प्रेरित करती है, जिससे "हाइपरबोलिक लॉगरिदम" शब्द प्राकृतिक लघुगणक का पर्याय बन जाता है। जल्द ही क्रिस्टियान ह्यूजेन्स और जेम्स ग्रेगरी (गणितज्ञ) द्वारा नए फलन की सराहना की गई। 1675 में गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज द्वारा संकेतन लॉग वाई को अपनाया गया था,<ref>[[Florian Cajori]] (1913) "History of the exponential and logarithm concepts", [[American Mathematical Monthly]] 20: 5, 35, 75, 107, 148, 173, 205.</ref> और अगले वर्ष उन्होंने इसे समाकलन कलन से जोड़ दिया <math display="inline">\int \frac{dy}{y} .</math>

इससे पहले कि यूलर ने सम्मिश्र प्राकृतिक लघुगणकों की अपनी आधुनिक अवधारणा विकसित की, रोजर कोट्स या गणित के लगभग समकक्ष परिणाम थे जब उन्होंने 1714 में दिखाया कि<ref>{{citation |last1=Stillwell |first1=J. |title=Mathematics and Its History |date=2010 |publisher=Springer |edition=3rd}}</ref>
:<math>\log(\cos \theta + i\sin \theta) = i\theta</math>.

== लघुगणक तालिकाएँ, स्लाइड नियम और ऐतिहासिक अनुप्रयोग==
[[Image:Logarithms Britannica 1797.png|thumb|360px|right|1797 एनसाइक्लोपीडिया ब्रिटानिका लघुगणक की व्याख्या]]कैलकुलेटर और कंप्यूटर उपलब्ध होने से पहले कठिन गणनाओं को सरल बनाकर, लघुगणक ने विज्ञान, विशेष रूप से खगोल विज्ञान की प्रगति में योगदान दिया। वे सर्वेक्षण, आकाशीय नेविगेशन और अन्य डोमेन में प्रगति के लिए महत्वपूर्ण थे। पियरे-साइमन लाप्लास को लघुगणक कहा जाता है

:: ...[a]n प्रशंसनीय युक्ति, जो अनेक महीनों के श्रम को कुछ दिनों तक कम करके, खगोलविद के जीवन को दोगुना कर देती है, और लंबी गणनाओं से अविभाज्य त्रुटियों और घृणा से बचाती है।<ref>{{Citation |last1=Bryant |first1=Walter W. |title=A History of Astronomy |url=https://archive.org/stream/ahistoryastrono01bryagoog#page/n72/mode/2up |publisher=Methuen & Co|location=London |year=1907 }}, p.&nbsp;44</ref>
फलन के रूप में {{math|''f''(''x'') {{=}} {{mvar|b}}<sup>''x''</sup>}} का प्रतिलोम कार्य है {{math|1=log<sub>''b''</sub>&thinsp;''x''}}, इसे एंटीलॉगरिदम कहा गया है।<ref>{{Citation|editor1-last=Abramowitz|editor1-first=Milton|editor1-link=Milton Abramowitz|editor2-last=Stegun|editor2-first=Irene A.|editor2-link=Irene Stegun|title=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables|publisher=[[Dover Publications]]|location=New York|isbn=978-0-486-61272-0|edition=10th|year=1972|title-link=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables}}, section 4.7., p.&nbsp;89</ref> आजकल, इस फलन को अधिक सामान्यतः घातीय फलन कहा जाता है।

=== लॉग टेबल ===
लघुगणक के व्यावहारिक उपयोग को सक्षम करने वाला प्रमुख उपकरण लॉग टेबल था।<ref>{{Citation | last1=Campbell-Kelly | first1=Martin | title=The history of mathematical tables: from Sumer to spreadsheets|title-link= The History of Mathematical Tables | publisher=[[Oxford University Press]] | series=Oxford scholarship online | isbn=978-0-19-850841-0 | year=2003}}, section 2</ref> इस तरह की पहली तालिका हेनरी ब्रिग्स (गणितज्ञ) द्वारा 1617 में संकलित की गई थी, नेपियर के आविष्कार के तुरंत बाद किन्तुआधार के रूप में 10 का उपयोग करने के नवाचार के साथ। ब्रिग्स की पहली तालिका में 14 अंकों की स्पष्टता के साथ 1 से 1000 तक की सीमा में सभी पूर्णांकों के सामान्य लघुगणक सम्मिलित थे। इसके बाद, बढ़ते सीमा वाली तालिकाएँ लिखी गईं। इन तालिकाओं ने निश्चित सीमा में, निश्चित परिशुद्धता पर,किसी भी संख्या {{mvar|x}} के लिए {{math|log<sub>10</sub>&thinsp;''x''}} के मानों को निश्चित स्पष्टता पर सूचीबद्ध किया हैं। आधार-10 लॉगरिदम का उपयोग सार्वभौमिक रूप से गणना के लिए किया गया था, इसलिए इसे नाम सामान्य लघुगणक नाम दिया गया है, क्योंकि संख्याएं जो 10 के कारकों से भिन्न होती हैं, उनके पास लघुगणक होते हैं जो पूर्णांक से भिन्न होते हैं। {{mvar|x}} का सामान्य लघुगणक '''{{mvar|x}}''' को पूर्णांक भाग और भिन्नात्मक भाग में अलग विभाजित किया जा सकता है, जिसे विशेषता और मंटिसा (लघुगणक) के रूप में जाना जाता है| लघुगणक की तालिकाओं में केवल अपूर्णांश सम्मिलित होना चाहिए, क्योंकि दशमलव बिंदु से अंकों की गिनती करके विशेषता आसानी से निर्धारित की जा सकती है।<ref>{{Citation | last1=Spiegel | first1=Murray R. | last2=Moyer | first2=R.E. | title=Schaum's outline of college algebra | publisher=[[McGraw-Hill]] | location=New York | series=Schaum's outline series | isbn=978-0-07-145227-4 | year=2006}}, p.&nbsp;264</ref> {{math|10 · {{mvar|x}}}} की विशेषता प्लस {{mvar|x}} की विशेषता है, और उनके मंटिसा समान हैं। इस प्रकार तीन अंकों की लॉग तालिका का उपयोग करके, 3542 का लघुगणक अनुमानित किया जाता है

:<math>\log_{10}3542 = \log_{10}(1000 \cdot 3.542) = 3 + \log_{10}3.542 \approx 3 + \log_{10}3.54 \, </math>
इंटरपोलेशन द्वारा अधिक स्पष्टता प्राप्त की जा सकती है:

:<math>\log_{10}3542  \approx 3 + \log_{10}3.54 + 0.2 (\log_{10}3.55-\log_{10}3.54)\, </math>
{{math|10<sup>''x''</sup>}}का मान {{math|10<sup>''x''</sup>}} उसी तालिका में रिवर्स लुकअप द्वारा निर्धारित किया जा सकता है, क्योंकि लघुगणक मोनोटोनिक फलन है।

=== संगणना ===
दो धनात्मक संख्याओं का गुणनफल और भागफल {{Mvar|c}} और {{Mvar|d}} उनके लघुगणकों के योग और अंतर के रूप में नियमित रूप से गणना की जाती थी। उत्पाद {{Math|''cd''}} या भागफल {{Math|''c''/''d''}} योग या अंतर के प्रतिलघुगणक को ही तालिका के माध्यम से देखने से आया हैं :

:<math> cd = 10^{\, \log_{10} c} \, 10^{\,\log_{10} d} = 10^{\,\log_{10} c \, + \, \log_{10} d}</math>
और
:<math>\frac c d = c d^{-1} = 10^{\, \log_{10}c \, - \, \log_{10}d}.</math>
मैन्युअल गणनाओं के लिए जो किसी भी प्रशंसनीय स्पष्टता की मांग करते हैं, दो लॉगरिदम के लुकअप का प्रदर्शन करना, उनकी राशि या अंतर की गणना करना, और एंटिलॉगरिदम को देखना प्रोस्थैफेरेसिस जैसे पहले के तरीकों से गुणन करने की तुलना में बहुत तेज है, जो त्रिकोणमितीय पहचान पर निर्भर करता है।

शक्तियों और nवें रूट की गणना को गुणा या भाग और लुकअप द्वारा घटाया जाता है
:<math>c^d = \left(10^{\, \log_{10} c}\right)^d =  10^{\, d \log_{10} c}</math>
और
:<math>\sqrt[d]{c} = c^\frac{1}{d} = 10^{\frac{1}{d} \log_{10} c}.</math>
त्रिकोणमितीय गणनाओं को तालिकाओं द्वारा सुगम बनाया गया था जिसमें त्रिकोणमितीय कार्यों के सामान्य लघुगणक सम्मिलित थे।

=== स्लाइड नियम ===
एक अन्य महत्वपूर्ण अनुप्रयोग स्लाइड नियम था, गणना के लिए उपयोग किए जाने वाले लघुगणकीय रूप से विभाजित तराजू की जोड़ी हैं। नेपियर के आविष्कार के कुछ ही समय बाद नॉन-स्लाइडिंग लॉगरिदमिक स्केल, गंटर के नियम का आविष्कार किया गया था। विलियम ऑट्रेड ने इसे स्लाइड नियम बनाने के लिए बढ़ाया था - दूसरे के संबंध में चलने वाले लॉगरिदमिक स्केल की जोड़ी होती हैं । संख्याओं को उनके लघुगणकों के मध्य के अंतर के अनुपात में दूरी पर स्लाइडिंग स्केल पर रखा जाता है। यांत्रिक रूप से लॉगरिदम जोड़ने के लिए ऊपरी पैमाने को उचित मात्रा में स्लाइड करना हैं, जैसा कि यहां दिखाया गया है:

[[Image:Slide rule example2 with labels.svg|center|thumb|550px|एक स्लाइड नियम का योजनाबद्ध चित्रण। निचले पैमाने पर 2 से प्रारंभिक करते हुए, उत्पाद 6 तक पहुंचने के लिए ऊपरी पैमाने पर 3 की दूरी जोड़ें स्लाइड नियम काम करता है क्योंकि इसे इस तरह चिह्नित किया गया है कि 1 से {{mvar|x}} तक दूरी {{mvar|x}} के लघुगणक के समानुपातिक है |alt=एक स्लाइड नियम: लघुगणकीय रूप से चिह्नित अक्षों के साथ दो आयत, 1 से 2 की दूरी को 1 से 3 की दूरी में जोड़ने की व्यवस्था, गुणनफल 6 को दर्शाता है।]]उदाहरण के लिए, निचले पैमाने पर 1 से 2 की दूरी को ऊपरी पैमाने पर 1 से 3 की दूरी से जोड़ने पर 6 का उत्पाद मिलता है, जिसे निचले हिस्से में पढ़ा जाता है। 1970 के दशक तक इंजीनियरों और वैज्ञानिकों के लिए स्लाइड नियम आवश्यक गणना उपकरण था, क्योंकि यह स्पष्टता की कीमत पर तालिकाओं पर आधारित विधि की तुलना में बहुत तेज संगणना की अनुमति देता है।<ref name="ReferenceA">{{Citation|last1=Maor|first1=Eli|title=E: The Story of a Number|publisher=[[Princeton University Press]]|isbn=978-0-691-14134-3|year=2009|at=sections 1, 13}}</ref>


== विश्लेषणात्मक गुण ==
लघुगणकों के गहन अध्ययन के लिए फलन (गणित) की अवधारणा की आवश्यकता होती है। फलन नियम है, कि जो संख्या दिए जाने पर दूसरी संख्या उत्पन्न करता है।<ref>{{citation | last1=Devlin | first1=Keith | author1-link=Keith Devlin | title=Sets, functions, and logic: an introduction to abstract mathematics | publisher=Chapman & Hall/CRC | location=Boca Raton, Fla | edition=3rd | series=Chapman & Hall/CRC mathematics | isbn=978-1-58488-449-1 | year=2004 | url={{google books |plainurl=y |id=uQHF7bcm4k4C}}}}, or see the references in [[function (mathematics)|function]]</ref> उदाहरण किसी भी वास्तविक संख्या {{mvar|x}} से {{mvar|b}} की {{mvar|x}}-वीं शक्ति का उत्पादनकरने वाला फलन का उत्पादन है, '''{{mvar|x}}'''-वीं शक्ति '''{{mvar|b}}''' किसी भी वास्तविक संख्या से {{mvar|x}}, जहां आधार {{mvar|b}} निश्चित संख्या है। इस फलन {{math|1=''f''(''x'') = {{mvar|b}}<sup>&thinsp;''x''</sup>}} के रूप में लिखा जाता है '''{{math|1=''f''(''x'') = {{mvar|b}}<sup>&thinsp;''x''</sup>}}.''' कब जब {{mvar|b}} धनात्मक है और 1 के सामान्तर नहीं है, हम उसे नीचे दिखाते हैं कि वास्तविक से धनात्मक तक फलन के रूप में विचार करने पर {{Mvar|f}}  उल्टा होता हैं| स्तविक से धनात्मक वास्तविक के फलन के रूप में माने जाने पर विपरीत होता है।

=== अस्तित्व ===
मान लीजिए {{mvar|b}} एक धनात्मक वास्तविक संख्या है जो 1 के सामान्तर नहीं है और ,मान ले {{math|1=''f''(''x'') = {{mvar|b}}<sup>&thinsp;''x''</sup>}} है।

यह वास्तविक विश्लेषण में मानक परिणाम है कि कोई भी निरंतर सख्ती से मोनोटोनिक फलन अपने डोमेन और रेंज के मध्य विशेषण है। यह तथ्य मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय से आता है।<ref name="LangIII.3">{{Citation|last1=Lang|first1=Serge|title=Undergraduate analysis|year=1997|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|edition=2nd|location=Berlin, New York|publisher=[[Springer-Verlag]]|doi=10.1007/978-1-4757-2698-5|isbn=978-0-387-94841-6|mr=1476913|author1-link=Serge Lang}}, section III.3</ref> अभी, {{mvar|f}} सख्ती से बढ़ रहा है मोनोटोनिक फलन है (के लिए {{math|''b'' > 1}}के लिए), या सख्ती से घट रहा है (के लिए {{math|0 < {{mvar|b}} < 1}} के लिए ),<ref name="LangIV.2">{{Harvard citations|last1=Lang|year=1997|nb=yes|loc=section IV.2}}</ref> निरंतर है, इसका डोमेन है <math>\R</math>, और रेंज है <math>\R_{> 0}</math>. इसलिए, {{Mvar|f}} से आपत्ति है <math>\R</math> को <math>\R_{>0}</math>. दूसरे शब्दों में, प्रत्येक धनात्मक वास्तविक संख्या के लिए {{Mvar|y}} के लिए , ऐसी वास्तविक संख्या {{Mvar|x}} होती हैं <math>b^x = y</math>

हम <math>\log_b\colon\R_{>0}\to\R</math> को f का व्युत्क्रम निरूपित करने देते हैं। अर्थात् ,{{math|log<sub>''b''</sub>&thinsp;''y''}} अद्वितीय वास्तविक संख्या {{mvar|x}} है जैसे कि <math>b^x = y</math>। इस फलन को बेस-बी लॉगरिदम फलन या लॉगरिदमिक फलन (या केवल लॉगरिदम) कहा जाता है।

=== उत्पाद सूत्र द्वारा विशेषता ===
कार्यक्रम {{math|log<sub>''b''</sub>&thinsp;''x''}} को अनिवार्य रूप से उत्पाद सूत्र द्वारा भी चित्रित किया जा सकता है
:<math>\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y.</math>
अधिक स्पष्ट रूप से, किसी भी आधार {{math|''b'' > 1}} का लघुगणक धनात्मक वास्तविक से वास्तविक तक संतोषजनक {{math|1=''f''(''b'') = 1}} को बढ़ाने वाला एकमात्र फलन है।<ref>{{citation| title=Foundations of Modern Analysis |volume=1 |last=Dieudonné |first=Jean |page=84 |year=1969 |publisher=Academic Press }} item (4.3.1)</ref>
:<math>f(xy)=f(x)+f(y).</math>
=== लघुगणक फलन का ग्राफ ===
[[File:Logarithm inversefunctiontoexp.svg|right|thumb|लघुगणक फलन का ग्राफ {{math|log<sub>''b''</sub>&thinsp;(''x'')}} (नीला) फलन के ग्राफ परावर्तन (गणित) द्वारा प्राप्त किया जाता है {{math|''b''<sup>''x''</sup>}} (लाल) विकर्ण रेखा पर ({{math|1=''x'' = {{mvar|y}}}}).|alt=दो कार्यों के रेखांकन।]]जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, फलन {{math|log<sub>''b''</sub>}} घातीय फलन <math>x\mapsto b^x</math> का व्युत्क्रम है। इसलिए, उनके ग्राफ़ {{mvar|x}}- और {{mvar|y}}- निर्देशांक का आदान-प्रदान करने पर (या विकर्ण रेखा {{Math|1=''x'' = ''y''}} पर प्रतिबिंब पर) दिखाया गया हैं एक-दूसरे के अनुरूप होते हैं, जैसा कि दाईं ओर दिखाया गया है: ग्राफ़ पर एक बिंदु {{math|1=(''t'', ''u'' = {{mvar|b}}<sup>''t''</sup>)}} ''f'' लघुगणक के ग्राफ़ पर एक बिंदु {{math|1=(''u'', ''t'' = log<sub>''b''</sub>&thinsp;''u'')}} प्राप्त करता है और इसके विपरीत। परिणामस्वरूप, यदि x अनंत तक बढ़ता है, तो {{math|log<sub>''b''</sub>&thinsp;(''x'')}} अनंत की ओर विचलन करता है (किसी भी दी गई संख्या से बड़ा हो जाता है), बशर्ते कि ''b'' एक से बड़ा हो। उस स्थिति में, {{math|log<sub>''b''</sub>&thinsp;(''x'')}} एक बढ़ता हुआ फलन है। {{math|''b'' < 1}}, के लिए,{{math|log<sub>''b''</sub>&thinsp;(''x'')}} इसके बजाय शून्य से अनंत की ओर जाता है। जब x शून्य के समीप पहुंचता है, तो {{math|log<sub>''b''</sub>&thinsp;''x''}} {{math|''b'' > 1}} के लिए माइनस इनफिनिटी (क्रमशः {{math|''b'' < 1}} के लिए प्लस इनफिनिटी) पर चला जाता है।

=== व्युत्पन्न और प्रतिपक्षी ===
[[File:Logarithm derivative.svg|right|thumb|220px|प्राकृतिक लघुगणक (हरा) का ग्राफ और इसकी स्पर्शरेखा पर {{math|''x'' {{=}} 1.5}} (काला)|alt=लघुगणक फलन का ग्राफ और इसे एक बिंदु पर स्पर्श करने वाली रेखा।]]कार्यों के विश्लेषणात्मक गुण उनके व्युत्क्रमों में जाते हैं।<ref name=LangIII.3 /> इस प्रकार, के रूप में {{math|1=''f''(''x'') = {{mvar|b}}<sup>''x''</sup>}} सतत और अलग-अलग कार्य है, इसलिए है {{math|log<sub>''b''</sub>&thinsp;''y''}}. मोटे तौर पर, सतत फलन अवकलनीय होता है यदि इसके ग्राफ में कोई नुकीला कोना न हो। इसके अतिरिक्त, {{math|''f''(''x'')}} के व्युत्पन्न के रूप में {{math|''f''(''x'')}} घातीय कार्य के गुणों से {{math|ln(''b'') ''b''<sup>''x''</sup>}} का मूल्यांकन करता है '''{{math|ln(''b'') ''b''<sup>''x''</sup>}}''' घातीय कार्य के गुणों से, श्रृंखला नियम का तात्पर्य है कि {{math|log<sub>''b''</sub>&thinsp;''x''}} व्युत्पन्न '''{{math|log<sub>''b''</sub>&thinsp;''x''}}''' द्वारा दिया गया है<ref name="LangIV.2"/><ref>{{citation |work=Wolfram Alpha |title=Calculation of ''d/dx(Log(b,x))'' |publisher=[[Wolfram Research]] |access-date=15 March 2011 |url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=d/dx(Log(b,x)) }}</ref>
: <math>\frac{d}{dx} \log_b x = \frac{1}{x\ln b}. </math>
अर्थात्, बिंदु {{math|(''x'', log<sub>''b''</sub>&thinsp;(''x''))}} पर {{math|आधार-''b''}} लघुगणक के ग्राफ को छूने वाली स्पर्शरेखा का ढलान {{math|1/(''x'' ln(''b''))}} के बराबर होता है।

{{Math|ln(''x'')}} का व्युत्पन्न {{Math|1/''x''}} है यह बताता है कि {{Math|ln(''x'')}} {{math|1/''x''}} का अनूठा प्रतिपक्षी है जिसका मान {{math|1=''x'' = 1}} के लिए 0 है . यह बहुत ही सरल सूत्र है जो प्राकृतिक लघुगणक के रूप में अर्हता प्राप्त करने के लिए प्रेरित करता है; यह भी (गणितीय स्थिरांक) | स्थिरांक {{Mvar|e}} के महत्व का मुख्य कारण है.

एक सामान्यीकृत कार्यात्मक तर्क के साथ व्युत्पन्न {{math|''f''(''x'')}} है
:<math>\frac{d}{dx} \ln f(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}.</math>
दाहिने हाथ की ओर के भागफल {{Mvar|f}} को लघुगणकीय व्युत्पन्न कहा जाता है. कम्प्यूटिंग {{math|ln(''f''(''x''))}} {{math|''f<nowiki>'</nowiki>''(''x'')}} के व्युत्पन्न के माध्यम से {{math|''f<nowiki>'</nowiki>''(''x'')}} लघुगणक विभेदीकरण के रूप में जाना जाता है।<ref>{{Citation | last1=Kline | first1=Morris | author1-link=Morris Kline | title=Calculus: an intuitive and physical approach | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | series=Dover books on mathematics | isbn=978-0-486-40453-0 | year=1998}}, p.&nbsp;386</ref> प्राकृतिक लघुगणक का प्रतिपक्षी {{math|ln(''x'')}} है:<ref>{{citation |work=Wolfram Alpha |title=Calculation of ''Integrate(ln(x))'' |publisher=Wolfram Research |access-date=15 March 2011 |url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate(ln(x)) }}</ref>
: <math>\int \ln(x) \,dx = x \ln(x) - x + C.</math>
लॉगरिदमिक कार्यों के इंटीग्रल की सूची, जैसे कि अन्य आधारों के लॉगरिदम के एंटीडेरिवेटिव्स को आधारों के परिवर्तन का उपयोग करके इस समीकरण से प्राप्त किया जा सकता है।<ref>{{Harvard citations|editor1-last=Abramowitz|editor2-last=Stegun|year=1972 |nb=yes|loc=p. 69}}</ref>

=== प्राकृतिक लघुगणक का अभिन्न प्रतिनिधित्व ===
[[File:Natural logarithm integral.svg|right|thumb|का प्राकृतिक लघुगणक{{Mvar|t}} फलन के ग्राफ़ के नीचे छायांकित क्षेत्र है {{math|1=''f''(''x'') = 1/''x''}} (पारस्परिक {{mvar|x}}.|alt=एक अतिपरवलय जिसके नीचे का भाग धूसर रंग में छाया हुआ है।]]''t'' के प्राकृतिक लघुगणक को निश्चित अभिन्न के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

:<math>\ln t = \int_1^t \frac{1}{x} \, dx.</math>
इस परिभाषा का यह लाभ है कि यह चरघातांकी फलन या किसी त्रिकोणमितीय फलन पर निर्भर नहीं करती; परिभाषा सरल व्युत्क्रम के समाकलन के रूप में है। अभिन्न के रूप में, {{math|ln(''t'')}} {{mvar|x}}-अक्ष और फलन का ग्राफ {{math|1/''x''}}, से लेकर {{math|1=''x'' = 1}} को {{math|1=''x'' = ''t''}}. यह कलन की मूलभूत प्रमेय का परिणाम है कि ln(x) का अवकलज 1/x है। उत्पाद और शक्ति लघुगणक सूत्र इस परिभाषा से प्राप्त किए जा सकते हैं।<ref>{{Citation|last1=Courant|first1=Richard|title=Differential and integral calculus. Vol. I|publisher=[[John Wiley & Sons]]|location=New York|series=Wiley Classics Library|isbn=978-0-471-60842-4|mr=1009558|year=1988}}, section III.6</ref> उदाहरण के लिए, उत्पाद सूत्र {{math|1=ln(''tu'') = ln(''t'') + ln(''u'')}} के रूप में निकाला जाता है:

:<math> \ln(tu) = \int_1^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(1)} = \int_1^{t} \frac{1}{x} \, dx + \int_t^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(2)} = \ln(t) + \int_1^u \frac{1}{w} \, dw = \ln(t) + \ln(u).</math>
समानता (1) समाकल को दो भागों में विभाजित करती है, जबकि समानता (2) {{math|1=''w'' = {{mvar|x}}/''t''}} परिवर्तनशील परिवर्तन है . नीचे दिए गए उदाहरण में, विभाजन क्षेत्र को पीले और नीले भागों में विभाजित करने के अनुरूप है। बाएं हाथ के नीले क्षेत्र को कारक द्वारा लंबवत रूप से पुन: स्केल करना{{Mvar|t}} और इसे ही कारक द्वारा क्षैतिज रूप से सिकोड़ने से इसका आकार नहीं बदलता है। इसे उचित रूप से स्थानांतरित करना, क्षेत्र फलन {{math|1=''f''(''x'') = 1/''x''}} के ग्राफ़ को फिट करता है फिर। इसलिए, बाएं हाथ का नीला क्षेत्र, जो का अभिन्न अंग है {{math|''f''(''x'')}} से {{Mvar|t}} को {{Mvar|tu}} 1 से अभिन्न के समान है {{Mvar|u}}. यह अधिक ज्यामितीय प्रमाण के साथ समानता (2) को सही ठहराता है।

[[File:Natural logarithm product formula proven geometrically.svg|thumb|center|500px|प्राकृतिक लघुगणक के उत्पाद सूत्र का दृश्य प्रमाण|alt=दो बार दर्शाया गया अतिपरवलय। नीचे के क्षेत्र को अलग-अलग हिस्सों में बांटा गया है।]]शक्ति सूत्र {{math|1=ln(''t''<sup>''r''</sup>) = ''r'' ln(''t'')}} इसी तरह से प्राप्त किया जा सकता है:

:<math>
\ln(t^r) = \int_1^{t^r} \frac{1}{x}dx = \int_1^t \frac{1}{w^r} \left(rw^{r - 1} \, dw\right) = r \int_1^t \frac{1}{w} \, dw = r \ln(t).
</math>
दूसरी समानता चर के परिवर्तन (प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण) {{math|1=''w'' = {{mvar|x}}<sup>1/''r''</sup>}} का उपयोग करती है, 

प्राकृतिक संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग,
:<math>1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k},</math>
हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) कहा जाता है। यह प्राकृतिक लघुगणक से निकटता से जुड़ा हुआ है: {{Mvar|n}} अनंत की ओर जाता है, अंतर,
:<math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n),</math>
एक अनुक्रम की सीमा (अर्थात इच्छानुसारसे समीप हो जाता है) जिसे यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक {{math|1 = ''γ'' = 0.5772...}} के रूप में जाना जाता है यह संबंध एल्गोरिद्म जैसे क्विकसॉर्ट के प्रदर्शन का विश्लेषण करने में सहायता करता है।<ref>{{Citation|last1=Havil|first1=Julian|title=Gamma: Exploring Euler's Constant|publisher=[[Princeton University Press]]|isbn=978-0-691-09983-5|year=2003}}, sections 11.5 and 13.8</ref>
=== लघुगणक का अतिक्रमण ===
वास्तविक संख्याएँ जो बीजगणितीय संख्या नहीं हैं, उन्हें अनुवांशिक संख्या कहा जाता है;<ref>{{citation|title=Selected papers on number theory and algebraic geometry|volume=172|first1=Katsumi|last1=Nomizu|author-link=Katsumi Nomizu|location=Providence, RI|publisher=AMS Bookstore|year=1996|isbn=978-0-8218-0445-2|page=21|url={{google books |plainurl=y |id=uDDxdu0lrWAC|page=21}}}}</ref> उदाहरण के लिए, {{pi}} और e (गणितीय स्थिरांक) ऐसी संख्याएँ हैं, किन्तु<math>\sqrt{2-\sqrt 3}</math> नहीं है। लगभग सभी वास्तविक संख्याएं पारलौकिक हैं। लघुगणक पारलौकिक कार्य का उदाहरण है। गेलफॉन्ड-श्नाइडर प्रमेय का प्रमाणित है कि लघुगणक सामान्यतः पारलौकिक, अर्थात कठिन मान लेते हैं।<ref>{{Citation|last1=Baker|first1=Alan|author1-link=Alan Baker (mathematician)|title=Transcendental number theory|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-20461-3|year=1975}}, p.&nbsp;10</ref>



== गणना ==
[[File:Logarithm keys.jpg|thumb|लघुगणक कुंजियाँ (आधार 10 के लिए लॉग और आधार के लिए LN{{mvar|e}}) TI-83 श्रृंखला पर|TI-83 प्लस रेखांकन कैलकुलेटर]]कुछ स्थितियों में लघुगणकों की गणना करना आसान होता है, जैसे कि {{math|1=log<sub>10</sub>&thinsp;(1000) = 3}}. सामान्यतः, लघुगणक की गणना शक्ति श्रृंखला या अंकगणितीय-ज्यामितीय माध्य का उपयोग करके की जा सकती है, या पूर्व-परिकलित लघुगणक तालिका से प्राप्त की जा सकती है जो निश्चित स्पष्टता प्रदान करती है।<ref>{{Citation | last1=Muller | first1=Jean-Michel | title=Elementary functions | publisher=Birkhäuser Boston | location=Boston, MA | edition=2nd | isbn=978-0-8176-4372-0 | year=2006}}, sections 4.2.2 (p. 72) and 5.5.2 (p. 95)</ref><ref>{{Citation |last1=Hart |last2=Cheney |last3=Lawson |year=1968|publisher=John Wiley|location=New York|title=Computer Approximations|series=SIAM Series in Applied Mathematics|display-authors=etal}}, section 6.3, pp.&nbsp;105–11</ref> न्यूटन की विधि, लगभग समीकरणों को हल करने के लिए पुनरावृत्त विधि का उपयोग लघुगणक की गणना के लिए भी किया जा सकता है, क्योंकि इसके व्युत्क्रम कार्य, घातीय कार्य, की कुशलता से गणना की जा सकती है।<ref>{{Citation|last1=Zhang |first1=M. |last2=Delgado-Frias |first2=J.G. |last3=Vassiliadis |first3=S. |title=Table driven Newton scheme for high precision logarithm generation |doi=10.1049/ip-cdt:19941268 |journal= IEE Proceedings - Computers and Digital Techniques|issn=1350-2387 |volume=141 |year=1994 |issue=5 |pages=281–92 }}, section 1 for an overview</ref> लुक-अप तालिकाओं का उपयोग करते हुए, कॉर्डिक-जैसी विधियों का उपयोग केवल जोड़ और अंकगणितीय पारी के संचालन का उपयोग करके लघुगणक की गणना के लिए किया जा सकता है।<ref>{{Citation |url= https://semanticscholar.org/paper/b3741168ba25f23b694cf8f9c80fb4f2aabce513|first=J.E.|last=Meggitt|title=Pseudo Division and Pseudo Multiplication Processes|journal= IBM Journal of Research and Development|date=April 1962|doi=10.1147/rd.62.0210|volume=6|issue=2|pages=210–26|s2cid=19387286}}</ref><ref>{{Citation |last=Kahan |first=W. |author-link= William Kahan |title=Pseudo-Division Algorithms for Floating-Point Logarithms and Exponentials |date= 20 May 2001 }}</ref> इसके अतिरिक्त, बाइनरी लघुगणक याएल्गोरिथम संबंध का लाभ उठाते हुए {{mvar|x}} के बार-बार वर्ग के आधार पर पुनरावर्तन रूप से , {{math|lb(''x'')}} की गणना करता है  

<math>\log_2\left(x^2\right) = 2 \log_2 |x|.</math>

=== शक्ति श्रृंखल ===

==== टेलर श्रेणी ====

[[File:Taylor approximation of natural logarithm.gif|right|thumb|टेलर श्रृंखला {{math|ln(''z'')}} पर केंद्रित है {{math|''z'' {{=}} 1}}. एनिमेशन 99वें और 100वें के साथ पहले 10 अनुमान दिखाता है। सन्निकटन केंद्र से 1 की दूरी से आगे अभिसरित नहीं होते हैं।|alt=लघुगणक ग्राफ के तेजी से अच्छे सन्निकटन दिखाने वाला एक एनीमेशन।]]किसी भी वास्तविक संख्या के लिए {{mvar|z}} जो {{math|0 < ''z'' ≤ 2}} संतुष्ट करता है , निम्नलिखित सूत्र धारण करता है:{{refn|The same series holds for the principal value of the complex logarithm for complex numbers {{mvar|z}} satisfying {{math|{{!}}''z'' − 1{{!}} < 1}}.|group=nb}}<ref name=AbramowitzStegunp.68>{{Harvard citations|editor1-last=Abramowitz|editor2-last=Stegun|year=1972 |nb=yes|loc=p. 68}}</ref>
:<math>
\begin{align}\ln (z)  &= \frac{(z-1)^1}{1} - \frac{(z-1)^2}{2} + \frac{(z-1)^3}{3} - \frac{(z-1)^4}{4} + \cdots \\
&= \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\frac{(z-1)^k}{k}
\end{align}
</math>
यह कहने का संक्षिप्त रूप है की {{math|ln(''z'')}} निम्नलिखित अभिव्यक्तियों द्वारा अधिक से अधिक स्पष्ट मान का अनुमान लगाया जा सकता है:
:<math>
\begin{array}{lllll}
(z-1) & & \\
(z-1) & - &  \frac{(z-1)^2}{2} & \\
(z-1) & - &  \frac{(z-1)^2}{2} & + & \frac{(z-1)^3}{3} \\
\vdots &
\end{array}
</math>
उदाहरण के लिए, {{math|''z'' {{=}} 1.5}} साथ तीसरा सन्निकटन 0.4167 देता है, जो {{math|ln(1.5) {{=}} 0.405465}}. से लगभग 0.011 अधिक है यह श्रृंखला मनमानी परिशुद्धता के साथ {{math|ln(''z'')}} (गणित) अनुमानित है इच्छानुसार स्पष्टता के साथ है परंतु राशि की संख्या अधिक बड़ी हो। इसलिए प्रारंभिक गणना में, {{math|ln(''z'')}} इसलिए इस श्रृंखला की सीमा (गणित) है। यह {{math|1=''z'' = 1}} पर प्राकृतिक लघुगणक की टेलर श्रृंखला है . {{math|ln(''z'')}} टेलर श्रृंखला {{mvar|z}} छोटा होने पर {{math|ln(1 + ''z'')}} के लिए विशेष रूप से उपयोगी सन्निकटन प्रदान करता है {{math|{{!}}''z''{{!}} < 1}}, के बाद से
:<math>
\ln (1+z) = z - \frac{z^2}{2}  +\frac{z^3}{3}\cdots \approx z.
</math>
उदाहरण के लिए, {{math|1=''z'' = 0.1}} के साथ प्रथम-क्रम सन्निकटन {{math|ln(1.1) ≈ 0.1}} देता है, जो सही मान 0.0953 से 5% कम है।

चूंकि के लिए अनुक्रम <math>\ln(1+z)</math> के लिए ही मिलती है <math>|z|<1</math>, साफ-सुथरी ट्रिक इसे ठीक कर सकती है।

:<math>\ln(1+z) = -\ln\left(\frac{1}{1+z}\right) = -\ln\left(1-\frac{z}{z+1}\right)</math>
जैसा <math>\left|\frac{z}{z+1}\right|<1</math> सबके लिए <math>|z|\ge0</math>, अनुक्रम समान श्रेणी के लिए अभिसरण करता है {{mvar|z}}.

==== विपरीत अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा ====
एक अन्य श्रृंखला क्षेत्र अतिपरवलयिक स्पर्शज्या या Inverse_hyperbolic_tangent फलन पर आधारित है:
:<math>
\ln (z) = 2\cdot\operatorname{artanh}\,\frac{z-1}{z+1} = 2 \left ( \frac{z-1}{z+1} + \frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3 + \frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5 + \cdots \right ),
</math>
किसी भी वास्तविक संख्या {{math|''z'' > 0}} के लिए | {{refn|The same series holds for the principal value of the complex logarithm for complex numbers {{mvar|z}} with positive real part.|group=nb}}<ref name=AbramowitzStegunp.68 /> सिग्मा संकेतन का प्रयोग करते हुए इसे इस रूप में भी लिखा जाता है
:<math>\ln (z) = 2\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2k+1}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^{2k+1}.</math>
यह श्रृंखला उपरोक्त टेलर श्रृंखला से प्राप्त की जा सकती है। यह टेलर श्रृंखला की तुलना में तेजी से अभिसरण करता है, खासकर यदि {{mvar|z}} 1 के समीप है। उदाहरण के लिए, के लिए {{math|1=''z'' = 1.5}}, दूसरी श्रृंखला के पहले तीन पद लगभग {{val|3|e=-6}} की त्रुटि के साथ {{math|ln(1.5)}} अनुमानित हैं 1 के समीप {{mvar|z}} के लिए त्वरित अभिसरण का लाभ निम्नलिखित तरीके से उठाया जा सकता है: कम स्पष्टता सन्निकटन {{math|''y'' ≈ ln(''z'')}} दिया गया है और डाल रहा हूँ
:<math>A = \frac z{\exp(y)},</math>
का लघुगणक {{mvar|z}} है:
:<math>\ln (z)=y+\ln (A).</math>
उत्तम प्रारंभिक सन्निकटन {{mvar|y}} है, जितना निकट {{mvar|A}} 1 है, इसलिए इसके लघुगणक की कुशलता से गणना की जा सकती है। {{mvar|A}} एक्सपोनेंशियल फलन का उपयोग करके गणना की जा सकती है, जो जल्दी से अभिसरण करता है {{mvar|y}} बहुत बड़ा नहीं है। बड़े {{mvar|z}} के लघुगणक की गणना बड़े {{mvar|z}} के लघुगणक की गणना करके {{math|''z'' {{=}} ''a'' · 10<sup>''b''</sup>}} लिखकर छोटे मानों को कम किया जा सकता है, ताकि {{math|ln(''z'') {{=}} ln(''a'') + {{mvar|b}} · ln(10)}} |  

पूर्णांकों के लघुगणक की गणना करने के लिए निकट संबंधी विधि का उपयोग किया जा सकता है। उपरोक्त श्रृंखला में <math>\textstyle z=\frac{n+1}{n}</math> डालने पर यह निष्कर्ष निकलता है:
:<math>\ln (n+1) = \ln(n) + 2\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2k+1}\left(\frac{1}{2 n+1}\right)^{2k+1}.</math>
यदि बड़े पूर्णांक का {{mvar|n}} लघुगणक जाना जाता है, तो यह श्रृंखला <math display="inline">\left(\frac{1}{2 n+1}\right)^{2}</math> के अभिसरण दर के साथ {{math|log(''n''+1)}} के लिए एक तेजी से अभिसरण श्रृंखला उत्पन्न करती है 

===अंकगणित–ज्यामितीय माध्य सन्निकटन===
अंकगणित-ज्यामितीय माध्य से प्राकृतिक लघुगणक के उच्च परिशुद्ध सन्निकटन प्राप्त होते हैं। सासाकी और कनाड़ा ने 1982 में दिखाया कि यह विशेष रूप से 400 और 1000 दशमलव स्थानों के मध्य स्पष्टता के लिए तेज़ था, जबकि टेलर श्रृंखला के तरीके सामान्यतः तेज़ थे जब कम स्पष्टता की आवश्यकता थी। उनके काम में {{math|ln(''x'')}} को निम्नलिखित सूत्र द्वारा (कार्ल फ्रेडरिक गॉस के कारण) {{math|2<sup>−''p''</sup>}} (या {{Mvar|p}}स्पष्ट बिट्स) की सटीकता के साथ अनुमानित किया गया है::<ref>{{Citation |first1=T. |last1=Sasaki |first2=Y. |last2=Kanada |title=Practically fast multiple-precision evaluation of log(x) |journal=Journal of Information Processing |volume=5|issue=4 |pages=247–50 |year=1982 | url=http://ci.nii.ac.jp/naid/110002673332 | access-date=30 March 2011}}</ref><ref>{{Citation |first1=Timm |title=Stacs 99|last1=Ahrendt|publisher=Springer|location=Berlin, New York|series=Lecture notes in computer science|doi=10.1007/3-540-49116-3_28|volume=1564|year=1999|pages=302–12|isbn=978-3-540-65691-3|chapter=Fast Computations of the Exponential Function}}</ref>
:<math>\ln (x) \approx \frac{\pi}{2\, \mathrm{M}\!\left(1, 2^{2 - m}/x \right)} - m \ln(2).</math>
यहां {{math|M(''x'', ''y'')}} {{mvar|x}} और {{mvar|y}} के अंकगणितीय-ज्यामितीय माध्य को दर्शाता है यह बार-बार {{mvar|x}} और {{mvar|y}} औसत {{Math|(''x'' + ''y'')/2}} (अंकगणितीय माध्य) और <math display="inline">\sqrt{xy}</math> (ज्यामितीय माध्य) की गणना करके प्राप्त किया जाता है उन दो नंबरों को {{mvar|x}} और {{mvar|y}} अगला बनने दें| दो संख्याएँ शीघ्रता से सामान्य सीमा में परिवर्तित हो जाती हैं जो {{math|M(''x'', ''y'')}} का मान है {{mvar|m}} ऐसा चुना जाता है

:<math>x \,2^m > 2^{p/2}.\, </math>
आवश्यक स्पष्टता सुनिश्चित करने के लिए। अपेक्षाकृत व्यापक का एक बड़ा {{mvar|m}} इसे बनाएं {{math|M(''x'', ''y'')}} गणना और कदम उठाती है (प्रारंभिक {{mvar|x}} और {{mvar|y}} दूर हैं इसलिए इसे अभिसरण करने के लिए और कदम उठाने पड़ते हैं) किन्तु अधिक स्पष्टता देता है। स्थिरांक {{math|{{pi}}}} और {{math|ln(2)}} त्वरित रूप से अभिसरण श्रृंखला के साथ गणना की जा सकती है।

=== फेनमैन का एल्गोरिदम ===
मैनहट्टन प्रोजेक्ट पर काम करते हुए लॉस अलामोस नेशनल लेबोरेटरी में, रिचर्ड फेनमैन ने लघुगणक की गणना करने के लिए बिट-प्रोसेसिंग एल्गोरिदम विकसित किया, जो लंबे विभाजन के समान है और बाद में कनेक्शन मशीन में उपयोग किया गया था। एल्गोरिदम इस तथ्य का उपयोग करता है कि प्रत्येक वास्तविक संख्या {{Math|1 < ''x'' < 2}} को {{Math|1 + 2<sup>−''k''</sup>}} प्रपत्र के विशिष्ट कारकों के उत्पाद के रूप में प्रतिनिधित्व योग्य है एल्गोरिथ्म क्रमिक रूप से उस उत्पाद {{Mvar|P}} का निर्माण करता है, जो {{math|''P'' {{=}} 1}} और {{math|''k'' {{=}} 1}}:के साथ प्रारंभिक यदि {{math|''P'' · (1 + 2<sup>−''k''</sup>) < ''x''}}, तो यह {{Mvar|P}} को {{math|''P'' · (1 + 2<sup>−''k''</sup>)}} बदल जाता है फिर यह बिना किसी परवाह के <math>k</math> को एक से बढ़ा देता है। एल्गोरिथ्म तब रुक जाता है जब {{Mvar|k}} वांछित सटीकता देने के लिए पर्याप्त बड़ा हो जाता है। चूँकि {{Math|log(''x'')}} उन {{Mvar|k}} के संगत प्रपत्र {{Math|log(1 + 2<sup>−''k''</sup>)}} के पदों का योग है जिसके लिए कारक {{Math|1 + 2<sup>−''k''</sup>}} को उत्पाद {{Mvar|P}} में शामिल किया गया था| {{Math|log(''x'')}} की तालिका का उपयोग करके, साधारण योग द्वारा गणना की जा सकती है {{Math|log(1 + 2<sup>−''k''</sup>)}} सबके लिए {{Mvar|k}}. लघुगणक तालिका के लिए किसी भी आधार का उपयोग किया जा सकता है।<ref>{{citation |first=Danny |last=Hillis |author-link=Danny Hillis |title=Richard Feynman and The Connection Machine |journal=Physics Today |volume= 42|issue= 2|page= 78|date=15 January 1989 |doi=10.1063/1.881196|bibcode=1989PhT....42b..78H}}</ref>



== अनुप्रयोग ==
[[File:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|thumb|लघुगणकीय सर्पिल प्रदर्शित करने वाला नॉटिलस खोल|alt=नॉटिलस के खोल का एक चित्र।]]लघुगणक के गणित के अंदर और बाहर अनेक अनुप्रयोग हैं। इनमें से कुछ घटनाएँ स्केल इनवेरियन की धारणा से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, नॉटिलस के खोल का प्रत्येक कक्ष अगले की अनुमानित प्रति है, जिसे स्थिर कारक द्वारा बढ़ाया जाता है। यह लघुगणकीय सर्पिल को जन्म देता है।<ref>{{Harvard citations
 |last1=Maor
 |year=2009
 |nb=yes
 |loc=p. 135
 }}</ref> प्रमुख अंकों के वितरण पर बेनफोर्ड के नियम को स्केल इनवेरियन द्वारा भी समझाया जा सकता है।<ref>{{Citation | last1=Frey | first1=Bruce | title=Statistics hacks | publisher=[[O'Reilly Media|O'Reilly]]|location=Sebastopol, CA| series=Hacks Series |url={{google books |plainurl=y |id=HOPyiNb9UqwC|page=275}}| isbn=978-0-596-10164-0 | year=2006}}, chapter 6, section 64</ref> लघुगणक स्व-समानता से भी जुड़े हुए हैं। उदाहरण के लिए, लॉगरिदम एल्गोरिदम के विश्लेषण में दिखाई देते हैं जो समस्या को दो समान छोटी समस्याओं में विभाजित करके और उनके समाधान को पैच करके हल करते हैं।<ref>{{Citation | last1=Ricciardi | first1=Luigi M. | title=Lectures in applied mathematics and informatics | url={{google books |plainurl=y |id=Cw4NAQAAIAAJ}} | publisher=Manchester University Press | location=Manchester | isbn=978-0-7190-2671-3 | year=1990}}, p.&nbsp;21, section 1.3.2</ref> स्व-समान ज्यामितीय आकृतियों के आयाम, अर्थात्, ऐसी आकृतियाँ जिनके भाग समग्र चित्र से मिलते-जुलते हैं, वे भी लघुगणक पर आधारित हैं। लॉगरिदमिक स्केल किसी मान के पूर्ण अंतर के विपरीत सापेक्ष परिवर्तन को मापने के लिए उपयोगी होते हैं। इसके अतिरिक्त, क्योंकि लॉगरिदमिक फलन {{math|log(''x'')}} बड़े {{mvar|x}} के लिए बहुत धीरे-धीरे बढ़ता है बड़े पैमाने के वैज्ञानिक डेटा को संक्षिप्त करने के लिए लघुगणकीय पैमानों का उपयोग किया जाता है। लघुगणक अनेक वैज्ञानिक सूत्रों में भी पाए जाते हैं, जैसे कि त्सोल्कोवस्की रॉकेट समीकरण, फ़ेंस्के समीकरण, या नर्नस्ट समीकरण।

=== लघुगणकीय पैमाना ===
{{Main|लघुगणकीय पैमाने}}
[[File:Germany Hyperinflation.svg|वीमर गणराज्य में मुद्रास्फीति के दौरान जर्मन पेपरमार्क में एक जर्मन सोने के निशान के मूल्य को दर्शाने वाला एक लॉगरिदमिक चार्ट|सही|अंगूठे|alt=समय के साथ एक निशान के मूल्य का एक ग्राफ। लॉगरिदमिक स्केल के साथ भी इसका मान दिखाने वाली रेखा बहुत तेज़ी से बढ़ रही है।]]लॉगरिदमिक पैमाने का उपयोग करके वैज्ञानिक मात्राओं को अधिकांशतः अन्य मात्राओं के लघुगणक के रूप में व्यक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, डेसिबल माप की इकाई है जो लॉगरिदमिक-स्केल स्तर की मात्रा से जुड़ी है। यह अनुपातों के सामान्य लघुगणक पर आधारित है—किसी शक्ति (भौतिकी) अनुपात के सामान्य लघुगणक का 10 गुना या वोल्टेज अनुपात के सामान्य लघुगणक का 20 गुना। इसका उपयोग विद्युत संकेतों को प्रसारित करने में वोल्टेज स्तर के हानि की मात्रा निर्धारित करने के लिए किया जाता है।<ref>{{Citation|last1=Bakshi|first1=U.A.|title=Telecommunication Engineering |publisher=Technical Publications|location=Pune|isbn=978-81-8431-725-1|year=2009|url={{google books |plainurl=y |id=EV4AF0XJO9wC|page=A5}}}}, section 5.2</ref> ध्वनिकी में ध्वनि के शक्ति स्तर का वर्णन करने के लिए,<ref>{{Citation|last1=Maling|first1=George C.|editor1-last=Rossing|editor1-first=Thomas D.|title=Springer handbook of acoustics|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-0-387-30446-5|year=2007|chapter=Noise}}, section 23.0.2</ref> और स्पेक्ट्रोमीटर और प्रकाशिकी के क्षेत्र में प्रकाश का अवशोषण। (सार्थक) सिग्नल (सूचना सिद्धांत) के संबंध में अवांछित ध्वनि (इलेक्ट्रॉनिक) की मात्रा का वर्णन करने वाला सिग्नल-टू-ध्वनि अनुपात भी डेसिबल में मापा जाता है।<ref>{{Citation | last1=Tashev | first1=Ivan Jelev | title=Sound Capture and Processing: Practical Approaches | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | isbn=978-0-470-31983-3 | year=2009|url={{google books |plainurl=y |id=plll9smnbOIC|page=48}}|page=98}}</ref> समान नस में, पीक सिग्नल-टू-ध्वनि अनुपात का उपयोग सामान्यतः लघुगणक का उपयोग करके ध्वनि की गुणवत्ता और छवि संपीड़न विधियों का आकलन करने के लिए किया जाता है।<ref>{{Citation | last1=Chui | first1=C.K. | title=Wavelets: a mathematical tool for signal processing | publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]] | location=Philadelphia | series=SIAM monographs on mathematical modeling and computation | isbn=978-0-89871-384-8 | year=1997|url={{google books |plainurl=y |id=N06Gu433PawC|page=180}}}}</ref>

भूकंप की शक्ति को भूकंप पर उत्सर्जित ऊर्जा के सामान्य लघुगणक को लेकर मापा जाता है। इसका उपयोग क्षण परिमाण पैमाने या रिक्टर परिमाण पैमाने में किया जाता है। उदाहरण के लिए, 5.0 का भूकंप 32 {{math|(10<sup>1.5</sup>)}} और 6.0 4.0 की 1000 गुना {{math|(10<sup>3</sup>)}} ऊर्जा रिलीज़ होता करता है<ref>{{Citation|last1=Crauder|first1=Bruce|last2=Evans|first2=Benny|last3=Noell|first3=Alan|title=Functions and Change: A Modeling Approach to College Algebra|publisher=Cengage Learning|location=Boston|edition=4th|isbn=978-0-547-15669-9|year=2008}}, section 4.4.</ref> स्पष्ट परिमाण तारों की चमक को लघुगणकीय रूप से मापता है।<ref>{{Citation|last1=Bradt|first1=Hale|title=Astronomy methods: a physical approach to astronomical observations|publisher=[[Cambridge University Press]]|series=Cambridge Planetary Science|isbn=978-0-521-53551-9|year=2004}}, section 8.3, p.&nbsp;231</ref> रसायन विज्ञान में दशमलव लघुगणक का ऋणात्मक, दशमलव {{vanchor|cologarithm}}, पत्र P द्वारा दर्शाया गया है।<ref name="Jens">{{cite journal|author=Nørby, Jens|year=2000|title=The origin and the meaning of the little p in pH|journal=Trends in Biochemical Sciences|volume=25|issue=1|pages=36–37|doi=10.1016/S0968-0004(99)01517-0|pmid=10637613}}</ref> उदाहरण के लिए, P<sup>H</sup> हाइड्रोनियम आयनों (हाइड्रोजन आयनों {{chem|H|+|}} पानी के रूप) की गतिविधि (रसायन विज्ञान) का दशमलव कोलोगारिथम है।<ref>{{Citation|author=IUPAC|title=Compendium of Chemical Terminology ("Gold Book")|edition=2nd|editor=A. D. McNaught, A. Wilkinson|publisher=Blackwell Scientific Publications| location=Oxford| year=1997| url=http://goldbook.iupac.org/P04524.html|isbn=978-0-9678550-9-7|doi=10.1351/goldbook|author-link=IUPAC|doi-access=free}}</ref> उदासीन जल में हाइड्रोनियम आयनों की सक्रियता 10<sup>−7</sup> mol·L<sup>−1</sup> होती है मोलर सघनता| , इसलिए P<sup>H</sup> का 7 सिरका का सामान्यतः लगभग 3 का P<sup>H</sup> होता है। 4 का अंतर 10<sup>4</sup> के अनुपात से मेल खाता है की गतिविधि, अर्थात सिरका की हाइड्रोनियम आयन गतिविधि के {{math|10<sup>−3</sup> mol·L<sup>−1</sup>}}. बारे में है .

सेमी-लॉग प्लॉट (लॉग-लीनियर) ग्राफ़ विज़ुअलाइज़ेशन के लिए लॉगरिदमिक स्केल अवधारणा का उपयोग करते हैं: अक्ष, सामान्यतः लंबवत एक, लॉगरिदमिक रूप से स्केल किया जाता है। उदाहरण के लिए, दाईं ओर का चार्ट 1 मिलियन से 1 ट्रिलियन तक की तेज वृद्धि को उसी स्थान (ऊर्ध्वाधर अक्ष पर) में 1 से 1 मिलियन तक की वृद्धि को संकुचित करता है। ऐसे रेखांकन में {{math|1=''f''(''x'') = ''a'' · ''b''{{i sup|''x''}}}}, प्रपत्र के घातीय फलन {{mvar|b}} के लघुगणक के सामान्तर ढलान वाली सीधी रेखाओं के रूप में दिखाई देते हैं | लॉग-लॉग ग्राफ़ दोनों अक्षों को लॉगरिदमिक रूप से स्केल करते हैं,जिसके कारण {{math|1=''f''(''x'') = ''a'' · ''x''{{i sup|''k''}}}} के रूप के कार्यों को घातांक {{mvar|k}} के बराबर ढलान वाली सीधी रेखाओं के रूप में दर्शाया जाता है।. यह बिजली कानूनों की कल्पना और विश्लेषण में प्रयुक्त होता है।<ref>{{Citation|last1=Bird|first1=J.O.|title=Newnes engineering mathematics pocket book  |publisher=Newnes|location=Oxford|edition=3rd|isbn=978-0-7506-4992-6|year=2001}}, section 34</ref>

=== मनोविज्ञान ===
मानव धारणा का वर्णन करने वाले अनेक कानूनों में लघुगणक होते हैं:<ref>{{Citation | last1=Goldstein | first1=E. Bruce | title=Encyclopedia of Perception | url={{google books |plainurl=y |id=Y4TOEN4f5ZMC}} | publisher=Sage | location=Thousand Oaks, CA | series=Encyclopedia of Perception | isbn=978-1-4129-4081-8 | year=2009}}, pp.&nbsp;355–56</ref><ref>{{Citation | last1=Matthews | first1=Gerald | title=Human Performance: Cognition, Stress, and Individual Differences | url={{google books |plainurl=y |id=0XrpulSM1HUC}} | publisher=Psychology Press | location=Hove | isbn=978-0-415-04406-6 | year=2000}}, p.&nbsp;48</ref> हिक का नियम व्यक्तियों को विकल्प चुनने में लगने वाले समय और उनके पास विकल्पों की संख्या के मध्य लघुगणकीय संबंध प्रस्तावित करता है।<ref>{{Citation|last1=Welford|first1=A.T.|title=Fundamentals of skill|publisher=Methuen|location=London|isbn=978-0-416-03000-6 |oclc=219156|year=1968}}, p.&nbsp;61</ref> फिट्स का नियम भविष्यवाणी करता है कि किसी लक्ष्य क्षेत्र में तेजी से जाने के लिए आवश्यक समय दूरी और लक्ष्य के आकार का लघुगणकीय कार्य है।<ref>{{Citation|author=Paul M. Fitts|date=June 1954|title=The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement|journal=Journal of Experimental Psychology|volume=47|issue=6|pages=381–91 | pmid=13174710 | doi =10.1037/h0055392 |s2cid=501599|url=https://semanticscholar.org/paper/3087289229146fc344560478aac366e4977749c0}}, reprinted in {{Citation|journal=Journal of Experimental Psychology: General|volume=121|issue=3|pages=262–69|year=1992 | pmid=1402698 | url=http://sing.stanford.edu/cs303-sp10/papers/1954-Fitts.pdf | access-date=30 March 2011 |title=The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement|author=Paul M. Fitts|doi=10.1037/0096-3445.121.3.262}}</ref> मनोभौतिकी में, वेबर-फेचनर नियमउत्तेजना (मनोविज्ञान) और संवेदना (मनोविज्ञान) के मध्य लघुगणकीय संबंध का प्रस्ताव करता है जैसे वास्तविक बनाम किसी व्यक्ति द्वारा ले जाई जाने वाली वस्तु का कथित वजन।<ref>{{Citation | last1=Banerjee | first1=J.C. | title=Encyclopaedic dictionary of psychological terms | publisher=M.D. Publications | location=New Delhi | isbn=978-81-85880-28-0  | oclc=33860167 | year=1994|url={{google books |plainurl=y |id=Pwl5U2q5hfcC|page=306}} |page=304}}</ref> (यह कानून, चूंकि, हाल के मॉडलों की तुलना में कम यथार्थवादी है, जैसे कि स्टीवंस का शक्ति कानून।<ref>{{Citation|last1=Nadel|first1=Lynn|author1-link=Lynn Nadel|title=Encyclopedia of cognitive science|publisher=[[John Wiley & Sons]]|location=New York|isbn=978-0-470-01619-0|year=2005}}, lemmas ''Psychophysics'' and ''Perception: Overview''</ref>)

मनोवैज्ञानिक अध्ययनों से पता चला है कि कम गणित शिक्षा वाले व्यक्ति मात्राओं का अनुमान लघुगणकीय रूप से लगाते हैं, अर्थात, वे किसी संख्या को उसके लघुगणक के अनुसार अचिह्नित रेखा पर स्थित करते हैं, जिससे 10 को 100 के समीप रखा जा सके क्योंकि 100 से 1000 है। बढ़ती शिक्षा इसे बदल देती है। कुछ परिस्थितियों में रेखीय अनुमान (1000 को 10 गुना दूर स्थिति) के लिए, जबकि लघुगणक का उपयोग तब किया जाता है जब प्लॉट किए जाने वाले नंबरों को रैखिक रूप से प्लॉट करना सम्मिश्र होता है।<ref>
{{Citation|doi=10.1111/1467-9280.02438|last1=Siegler|first1=Robert S.|last2=Opfer|first2=John E.|title=The Development of Numerical Estimation. Evidence for Multiple Representations of Numerical Quantity|volume=14|issue=3|pages=237–43|year=2003|journal=Psychological Science|url=http://www.psy.cmu.edu/~siegler/sieglerbooth-cd04.pdf|pmid=12741747|citeseerx=10.1.1.727.3696|s2cid=9583202|access-date=7 January 2011|archive-url=https://web.archive.org/web/20110517002232/http://www.psy.cmu.edu/~siegler/sieglerbooth-cd04.pdf|archive-date=17 May 2011|url-status=dead}}
</ref><ref>{{Citation|last1=Dehaene| first1=Stanislas|last2=Izard|first2=Véronique |last3=Spelke| first3=Elizabeth|last4=Pica| first4=Pierre| title=Log or Linear? Distinct Intuitions of the Number Scale in Western and Amazonian Indigene Cultures|volume=320|issue=5880|pages=1217–20|doi=10.1126/science.1156540|pmc=2610411|pmid=18511690| year=2008|journal=Science|bibcode=2008Sci...320.1217D| citeseerx=10.1.1.362.2390}}</ref>

=== संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी ===
[[File:PDF-log normal distributions.svg|thumb|right|alt=Three asymmetric PDF curves|लॉग-सामान्य वितरण के साथ यादृच्छिक चर के तीन प्रायिकता घनत्व कार्य (पीडीएफ)। स्थान पैरामीटर{{math|μ}}, जो दिखाए गए तीनों PDF के लिए शून्य है, यादृच्छिक चर के लघुगणक का माध्य है, स्वयं चर का माध्य नहीं है।]]
[[File:Benfords law illustrated by world's countries population.svg|विश्व की जनसंख्या के अनुसार देशों की सूची में प्रथम अंक (%, लाल पट्टियों में) का वितरण। ब्लैक डॉट्स बेनफोर्ड के नियम द्वारा अनुमानित वितरण का संकेत देते हैं।|थंब|राइट|alt=एक बार चार्ट और एक आरोपित दूसरा चार्ट। दोनों थोड़े अलग हैं, लेकिन दोनों समान रूप से घटते हैं।]]संभाव्यता सिद्धांत में लघुगणक उत्पन्न होते हैं: बड़ी संख्या का नियम यह निर्धारित करता है कि, निष्पक्ष सिक्के के लिए, जैसे ही सिक्का-टॉस की संख्या अनंत तक बढ़ जाती है, हेड द्विपद वितरण का मनाया गया अनुपात एक-आधा हो जाता है। इस अनुपात के उतार-चढ़ाव का लगभग आधा हिस्सा पुनरावृत्त लघुगणक के नियम द्वारा वर्णित है।<ref>{{Citation | last1=Breiman | first1=Leo | title=Probability | publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]] | location=Philadelphia | series=Classics in applied mathematics | isbn=978-0-89871-296-4 | year=1992}}, section 12.9</ref>

लॉग-नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन में लॉगरिदम भी होते हैं। जब यादृच्छिक चर के लघुगणक का सामान्य वितरण होता है, तो चर को लॉग-सामान्य वितरण कहा जाता है।<ref>{{Citation|last1=Aitchison|first1=J.|last2=Brown|first2=J.A.C.|title=The lognormal distribution|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-04011-2 |oclc=301100935|year=1969}}</ref> अनेक क्षेत्रों में लॉग-सामान्य वितरण का सामना करना पड़ता है, जहां कहीं भी अनेक स्वतंत्र धनात्मक यादृच्छिक चर के उत्पाद के रूप में चर बनता है, उदाहरण के लिए विक्षोभ के अध्ययन में।<ref>
{{Citation
 | title = An introduction to turbulent flow
 | author = Jean Mathieu and Julian Scott
 | publisher = Cambridge University Press
 | year = 2000
 | isbn = 978-0-521-77538-0
 | page = 50
 | url = {{google books |plainurl=y |id=nVA53NEAx64C|page=50}}
 }}</ref>

पैरामीट्रिक सांख्यिकीय मॉडल के अधिकतम संभावना अनुमान के लिए लघुगणक का उपयोग किया जाता है। ऐसे मॉडल के लिए, संभावना फलन कम से कम पैरामीट्रिक मॉडल पर निर्भर करता है जिसका अनुमान लगाया जाना चाहिए। संभावना का अधिकतम फलन उसी पैरामीटर-मान पर होता है जो संभावना के अधिकतम लघुगणक (लॉग संभावना ) के अधिकतम के रूप में होता है, क्योंकि लघुगणक वर्धमान फलन है। लॉग-संभावना को अधिकतम करना आसान है, विशेष रूप से स्वतंत्रता (संभावना) यादृच्छिक चर के लिए गुणा संभावना के लिए।<ref>{{Citation|last1=Rose|first1=Colin|last2=Smith|first2=Murray D.|title=Mathematical statistics with Mathematica|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|series=Springer texts in statistics|isbn=978-0-387-95234-5|year=2002}}, section 11.3</ref>

बेनफोर्ड का नियम अनेक डेटा समुच्चयों में अंकों की घटना का वर्णन करता है, जैसे इमारतों की ऊँचाई। बेनफोर्ड के नियम के अनुसार, डेटा नमूने में किसी आइटम का पहला दशमलव-अंक {{Mvar|d}} (1 से 9 तक) होने की संभावना है माप की इकाई की परवाह किए बिना {{math|log<sub>10</sub>&thinsp;(''d'' + 1) − log<sub>10</sub>&thinsp;(''d'')}}, ।<ref>{{Citation|last1=Tabachnikov|first1=Serge|author-link1=Sergei Tabachnikov|title=Geometry and Billiards|publisher=[[American Mathematical Society]]|location=Providence, RI|isbn=978-0-8218-3919-5|year=2005|pages=36–40}}, section 2.1</ref> इस प्रकार, लगभग 30% डेटा के पहले अंक के रूप में 1 होने की उम्मीद की जा सकती है, 18% तो 2 से प्रारंभ होती है, लेखा परीक्षक कपटपूर्ण लेखांकन का पता लगाने के लिए बेनफोर्ड के नियमसे विचलन की जांच करते हैं।<ref>{{citation |title=The Effective Use of Benford's Law in Detecting Fraud in Accounting Data |first1=Cindy |last1=Durtschi |first2=William |last2=Hillison |first3=Carl |last3=Pacini |url=http://faculty.usfsp.edu/gkearns/Articles_Fraud/Benford%20Analysis%20Article.pdf |volume=V |pages=17–34 |year=2004 |journal=Journal of Forensic Accounting |archive-url=https://web.archive.org/web/20170829062510/http://faculty.usfsp.edu/gkearns/Articles_Fraud/Benford%20Analysis%20Article.pdf |archive-date=29 August 2017 |access-date=28 May 2018}}</ref> 

लघुगणक परिवर्तन प्रकार का डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी) है जिसका उपयोग अनुभवजन्य वितरण को अनुमानित वितरण के समीप लाने के लिए किया जाता है।

=== कम्प्यूटेशनल सम्मिश्रता ===
एल्गोरिदम का विश्लेषण कंप्यूटर विज्ञान की शाखा है जो एल्गोरिदम की समय सम्मिश्रता (कंप्यूटर प्रोग्राम निश्चित समस्या को हल करने) का अध्ययन करता है।<ref name=Wegener>{{Citation|last1=Wegener|first1=Ingo| title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|year=2005}}, pp. 1–2</ref> लॉगरिदम एल्गोरिदम का वर्णन करने के लिए मूल्यवान हैं जो एल्गोरिदम को छोटे लोगों में विभाजित और जीतते हैं, और उप-समस्याओं के समाधान में सम्मिलित होते हैं।<ref>{{Citation|last1=Harel|first1=David|last2=Feldman|first2=Yishai A.|title=Algorithmics: the spirit of computing|location=New York|publisher=[[Addison-Wesley]]|isbn=978-0-321-11784-7|year=2004}}, p.&nbsp;143</ref>

उदाहरण के लिए, क्रमबद्ध सूची में नंबर खोजने के लिए, बाइनरी सर्च एल्गोरिदम मध्य प्रविष्टि की जांच करता है और मध्य प्रविष्टि से पहले या बाद में आधे के साथ आगे बढ़ता है यदि संख्या अभी भी नहीं मिली है। इस एल्गोरिथम की आवश्यकता है, औसतन, {{math|log<sub>2</sub>&thinsp;(''N'')}} तुलना, जहाँ {{mvar|N}} सूची की लंबाई है।<ref>{{citation  | last = Knuth  | first = Donald  | author-link = Donald Knuth  | title = The Art of Computer Programming  | publisher = Addison-Wesley  |location=Reading, MA | year=  1998| isbn = 978-0-201-89685-5 | title-link = The Art of Computer Programming  }}, section 6.2.1, pp. 409–26</ref> इसी तरह, मर्ज सॉर्ट एल्गोरिथम सूची को आधे में विभाजित करके और परिणामों को मर्ज करने से पहले इन्हें सॉर्ट करके अनसोर्टेड लिस्ट को सॉर्ट करता है। मर्ज सॉर्ट एल्गोरिदम को सामान्यतः बड़े संकेतन की आवश्यकता होती है {{math|''N'' · log(''N'')}}.<ref>{{Harvard citations|last = Knuth  | first = Donald|year=1998|loc=section 5.2.4, pp. 158–68|nb=yes}}</ref> लघुगणक का आधार यहां निर्दिष्ट नहीं है, क्योंकि परिणाम केवल स्थिर कारक द्वारा बदलता है जब दूसरे आधार का उपयोग किया जाता है। मानक समान निवेश मॉडल के अनुसार एल्गोरिदम के विश्लेषण में सामान्यतः स्थिर कारक की उपेक्षा की जाती है।<ref name="Wegener20">{{Citation|last1=Wegener|first1=Ingo| title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|year=2005|page=20}}</ref>

एक फलन {{math|''f''(''x'')}} लघुगणक वृद्धि को कहा जाता है यदि {{math|''f''(''x'')}} {{mvar|x}} (बिल्कुल या लगभग) के लघुगणक के समानुपाती है . (जीव विकास के जैविक विवरण, चूंकि, इस शब्द का उपयोग घातीय कार्य के लिए करते हैं।<ref>{{Citation|last1=Mohr|first1=Hans|last2=Schopfer|first2=Peter|title=Plant physiology|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-58016-4|year=1995|url-access=registration|url=https://archive.org/details/plantphysiology0000mohr}}, chapter 19, p.&nbsp;298</ref>) उदाहरण के लिए, कोई प्राकृतिक संख्या {{mvar|N}} से अधिक में बाइनरी अंक प्रणाली में {{math|log<sub>2</sub>&thinsp;''N'' + 1}} बिट्स प्रदर्शित किया जा सकता है । दूसरे शब्दों में, {{mvar|N}}स्टोर करने के लिए आवश्यक मेमोरी (कंप्यूटिंग) की मात्रा {{mvar|N}} के साथ लघुगणकीय रूप से बढ़ता है .

एक फ़ंक्शन f(x) को लघुगणकीय रूप से बढ़ने के लिए कहा जाता है यदि f(x) x के लघुगणक के समानुपाती (बिल्कुल या लगभग) है। (जीव वृद्धि के जैविक विवरण, हालांकि, इस शब्द का उपयोग एक घातांकीय फ़ंक्शन के लिए करते हैं। [85]) उदाहरण के लिए, किसी भी प्राकृतिक संख्या एन को बाइनरी रूप में लॉग 2 एन + 1 बिट्स से अधिक नहीं दर्शाया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, N को संग्रहीत करने के लिए आवश्यक मेमोरी की मात्रा N के साथ लघुगणकीय रूप से बढ़ती है।

=== एन्ट्रापी और अराजकता ===
[[File:Chaotic Bunimovich stadium.svg|right|thumb|एक अंडाकार बिलियर्ड टेबल पर गतिशील बिलियर्ड्स। केंद्र से प्रारंभिक होने वाले दो कण, डिग्री के अंतर वाले कोण के साथ, पथ लेते हैं जो सीमा पर प्रतिबिंब (भौतिकी) के कारण अराजक रूप से अलग हो जाते हैं।|alt=दो कणों के प्रक्षेपवक्र के साथ एक अंडाकार आकार।]]एन्ट्रापी मोटे तौर पर किसी प्रणाली के विकार का उपाय है। सांख्यिकीय ऊष्मप्रवैगिकी में, कुछ भौतिक प्रणाली की एन्ट्रॉपी एस को इस रूप में परिभाषित किया जाता है
:<math> S = - k \sum_i p_i \ln(p_i).\, </math>
यह योग सिस्टम की सभी संभावित अवस्थाओं {{Mvar|i}} पर निर्भर करता है, जैसे किसी कंटेनर में गैस कणों की स्थिति। इसके अतिरिक्त, {{math|''p''<sub>''i''</sub>}} संभावना है कि अवस्था {{Mvar|i}} प्राप्त होता है और {{mvar|k}} बोल्ट्जमैन स्थिरांक है। इसी प्रकार एन्ट्रॉपी (सूचना सिद्धांत) सूचना की मात्रा को मापता है। यदि कोई संदेश प्राप्तकर्ता इनमें से किसी की अपेक्षा कर सकता है {{mvar|N}} समान संभावना वाले संभावित संदेश, तो ऐसे किसी संदेश द्वारा {{math|log<sub>2</sub>&thinsp;''N''}} बिट्स। की जानकारी की मात्रा निर्धारित की जाती है |<ref>{{Citation|last1=Eco|first1=Umberto|author1-link=Umberto Eco|title=The open work  |publisher=[[Harvard University Press]]|isbn=978-0-674-63976-8|year=1989}}, section III.I</ref>

लायपुनोव के प्रतिपादक गतिशील प्रणाली की अराजकता की डिग्री को मापने के लिए लघुगणक का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, अंडाकार बिलियर्ड टेबल पर गतिमान कण के लिए, प्रारंभिक स्थितियों के छोटे परिवर्तन भी कण के बहुत भिन्न पथों में परिणत होते हैं। इस तरह की प्रणालियाँ नियतात्मक प्रणाली के तरीके से अराजकता सिद्धांत हैं, क्योंकि प्रारंभिक अवस्था की छोटी माप त्रुटियाँ मोटे तौर पर अलग-अलग अंतिम अवस्थाओं की ओर ले जाती हैं।<ref>{{Citation | last1=Sprott | first1=Julien Clinton | title=Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows | journal=Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows. Edited by Sprott Julien Clinton. Published by World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd | url={{google books |plainurl=y |id=buILBDre9S4C}} | publisher=[[World Scientific]] |location=New Jersey|isbn=978-981-283-881-0| year=2010| bibcode=2010ecas.book.....S | doi=10.1142/7183 }}, section 1.9</ref> नियतात्मक रूप से अराजक प्रणाली का कम से कम लाइपुनोव प्रतिपादक धनात्मक है।

===भग्न ===
[[File:Sierpinski dimension.svg|Sierpinski त्रिभुज (दाहिनी ओर) तीन छोटे त्रिभुजों द्वारा समबाहु त्रिभुजों को बार-बार प्रतिस्थापित करके बनाया गया है।]]लघुगणक भग्न के भग्न आयाम की परिभाषाओं में पाए जाते हैं।<ref>{{Citation|last1=Helmberg|first1=Gilbert|title=Getting acquainted with fractals|publisher=Walter de Gruyter|series=De Gruyter Textbook|location=Berlin, New York|isbn=978-3-11-019092-2|year=2007}}</ref> भग्न ज्यामितीय वस्तुएं हैं जो इस अर्थ में स्व-समान हैं कि छोटे हिस्से, कम से कम मोटे तौर पर, संपूर्ण वैश्विक संरचना का पुनरुत्पादन करते हैं। सिएरपिन्स्की त्रिभुज (चित्रित) को स्वयं की तीन प्रतियों द्वारा कवर किया जा सकता है, प्रत्येक की भुजाएँ मूल लंबाई से आधी होती हैं। यह इस संरचना का हॉसडॉर्फ {{math|1=ln(3)/ln(2) ≈ 1.58}}. आयाम बनाता है| प्रश्न में भग्न को कवर करने के लिए आवश्यक बॉक्स-गिनती आयाम द्वारा आयाम की अन्य लघुगणक-आधारित धारणा प्राप्त की जाती है।

=== संगीत ===
{{multiple image
| direction = लंबवत
| width     = 350
| footer    = चार भिन्न-भिन्न सप्तक एक रैखिक माप पर दिखाए गए, फिर लघुगणक माप पर दिखाए गए (जैसे कान उन्हें सुनते हैं).
| image1    = 4Octaves.and.Frequencies.svg
| alt1      = एक रेखीय माप पर चार भिन्न-भिन्न सप्तक दिखाए गए हैं।
| image2    = 4Octaves.and.Frequencies.Ears.svg
| alt2      = लघुगणकीय माप पर चार भिन्न-भिन्न सप्तक दिखाए गए हैं.
}}
लघुगणक संगीत स्वर और अंतराल (संगीत) से संबंधित हैं। समान स्वभाव में, आवृत्ति अनुपात केवल दो स्वरों के मध्य के अंतराल पर निर्भर करता है, व्यक्तिगत स्वरों की विशिष्ट आवृत्ति, या पिच (संगीत) पर नहीं। उदाहरण के लिए, A (म्यूजिकल नोट)| नोट A की आवृत्ति 440 हर्ट्ज और B ♭ (म्यूजिकल नोट)| B -फ्लैट की आवृत्ति 466 हर्ट्ज है। Aऔर B-फ्लैट के मध्य का अंतराल सेमीटोन है, जैसा कि B-फ्लैट और B (म्यूजिकल नोट) (आवृत्ति 493 हर्ट्ज) के मध्य है। तदनुसार, आवृत्ति अनुपात सहमत हैं:
:<math>\frac{466}{440} \approx \frac{493}{466} \approx 1.059 \approx \sqrt[12]2.</math>
इसलिए, अंतरालों का वर्णन करने के लिए लॉगरिदम का उपयोग किया जा सकता है: अंतराल को सेमिटोन में मापा जाता है आवृत्ति अनुपात {{Nowrap|आधार-{{math|2<sup>1/12</sup>}}}} का लघुगणक, जबकि आवृत्ति अनुपात {{Nowrap|आधार-{{math|2<sup>1/1200</sup>}}}} का लघुगणक अंतराल को प्रतिशत (संगीत) में व्यक्त करता है, अर्धस्वर का सौवां भाग। उत्तरार्द्ध का उपयोग महीन कोडिंग के लिए किया जाता है, क्योंकि यह गैर-समान स्वभाव के लिए आवश्यक है।<ref>{{Citation|last1=Wright|first1=David|title=Mathematics and music|location=Providence, RI|publisher=AMS Bookstore|isbn=978-0-8218-4873-9|year=2009}}, chapter 5</ref>

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|-
||'''Interval'''<br />(the two tones are played at the same time)
||[[72 tone equal temperament|1/12 tone]] {{audio|1_step_in_72-et_on_C.mid|play}}
||[[Semitone]] {{audio|help=no|Minor_second_on_C.mid|play}}
||[[Just major third]] {{audio|help=no|Just_major_third_on_C.mid|play}}
||[[Major third]] {{audio|help=no|Major_third_on_C.mid|play}}
||[[Tritone]] {{audio|help=no|Tritone_on_C.mid|play}}
||[[Octave]] {{audio|help=no|Perfect_octave_on_C.mid|play}}
|-
|| '''Frequency ratio''' ''r''
|| <math>2^{\frac 1 {72}} \approx 1.0097</math>
|| <math>2^{\frac 1 {12}} \approx 1.0595</math>
|| <math>\tfrac 5 4 = 1.25</math>
|| <math>\begin{align} 2^{\frac 4 {12}} & = \sqrt[3] 2 \\ & \approx 1.2599 \end{align} </math>
|| <math>\begin{align} 2^{\frac 6 {12}} & = \sqrt 2 \\ & \approx 1.4142 \end{align} </math>
|| <math> 2^{\frac {12} {12}} = 2 </math>
|-
|| '''Corresponding number of semitones'''<br /><math>\log_{\sqrt[12] 2}(r) = 12 \log_2 (r)</math>
|| <math>\tfrac 1 6</math>
|| <math>1</math>
|| <math>\approx 3.8631</math>
|| <math>4</math>
|| <math>6</math>
|| <math>12</math>
|-
|| '''Corresponding number of cents'''<br /><math>\log_{\sqrt[1200] 2}(r) = 1200 \log_2 (r)</math>
|| <math>16 \tfrac 2 3</math>
|| <math>100</math>
|| <math>\approx 386.31</math>
|| <math>400</math>
|| <math>600</math>
|| <math>1200</math>
|}


===संख्या सिद्धांत===
प्राकृतिक लघुगणक प्राइम-काउंटिंग फलन (2, 3, 5, 7, 11, ...) से निकटता से जुड़े हुए हैं, संख्या सिद्धांत में महत्वपूर्ण विषय है। किसी पूर्णांक {{mvar|x}} के लिए {{mvar|x}} से कम या इसके सामान्तर , अभाज्य संख्याओं की मात्रा {{math|[[prime-counting function|{{pi}}(''x'')]]}} निरूपित किया जाता है प्रधान संख्या प्रमेय यह प्रमाणित करता है {{math|{{pi}}(''x'')}} द्वारा लगभग दिया गया है
:<math>\frac{x}{\ln(x)},</math>
इस अर्थ में जब {{mvar|x}} अनंत की ओर जाता है। तो {{math|{{pi}}(''x'')}} और वह अंश अनुपात 1 तक पहुँचता है <ref>{{Citation|last1=Bateman|first1=P.T.|last2=Diamond|first2=Harold G.|title=Analytic number theory: an introductory course|publisher=[[World Scientific]]|location=New Jersey|isbn=978-981-256-080-3 |oclc=492669517|year=2004}}, theorem 4.1</ref> परिणामस्वरूप, संभावना है कि 1 और {{mvar|x}} के मध्य यादृच्छिक रूप से चुनी गई संख्या अभाज्य {{mvar|x}} दशमलव अंकों की संख्या के व्युत्क्रमानुपाती (गणित) है {{math|{{pi}}(''x'')}} का कहीं उत्तम अनुमान है लघुगणक समाकल फलन {{math|Li(''x'')}} द्वारा दिया जाता है , जिसे इसके द्वारा परिभाषित किया गया है |
:<math> \mathrm{Li}(x) = \int_2^x \frac1{\ln(t)} \,dt.  </math>
रीमैन परिकल्पना, सबसे पुराने खुले गणितीय अनुमानों में से एक {{math|{{pi}}(''x'')}} और {{math|Li(''x'')}}. है, जिसे तुलना के संदर्भ में कहा जा सकता है.<ref>{{Harvard citations|last1=Bateman|first1=P. T.|last2=Diamond|year=2004|nb=yes |loc=Theorem 8.15}}</ref> अलग-अलग प्रमुख कारकों की संख्या का वर्णन करने वाले एर्डोस-केएसी प्रमेय में प्राकृतिक लघुगणक भी सम्मिलित है।

''n'' भाज्य का लघुगणक, {{math|1=''n''! = 1 · 2 · ... · ''n''}}, द्वारा दिया गया है
:<math> \ln (n!) = \ln (1) + \ln (2) + \cdots + \ln (n).</math>
इसका उपयोग स्टर्लिंग के सूत्र को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है, जो {{mvar|n}} बड़े के लिए {{math|''n''!}} का एक अनुमान है .<ref>{{Citation|last1=Slomson|first1=Alan B.|title=An introduction to combinatorics|publisher=[[CRC Press]]|location=London|isbn=978-0-412-35370-3|year=1991}}, chapter 4</ref>

== सामान्यीकरण ==

=== सम्मिश्र लघुगणक ===
{{Main|सम्मिश्र लघुगणक}}
[[File:Complex number illustration multiple arguments.svg|thumb|right|का ध्रुवीय रूप {{math|''z {{=}} x + iy''}}. दोनों {{mvar|φ}} और {{mvar|φ'}} के तर्क हैं {{mvar|z}}.|alt=ध्रुवीय रूप का एक उदाहरण: एक बिंदु को एक तीर या समतुल्य रूप से इसकी लंबाई और x-अक्ष के कोण द्वारा वर्णित किया जाता है।]]सभी सम्मिश्र संख्याएँ {{mvar|a}} जो समीकरण को हल करता है

:<math>e^a=z</math>
{{mvar|z}} के सम्मिश्र लघुगणक कहलाते हैं जब {{mvar|z}} सम्मिश्र संख्या है (के रूप में माना जाता है)। सम्मिश्र संख्या को सामान्यतः {{math|''z {{=}} x + iy''}} के रूप में दर्शाया जाता है , जहाँ {{mvar|x}} और {{mvar|y}} वास्तविक संख्याएँ हैं और {{mvar|i}} काल्पनिक इकाई है, जिसका वर्ग -1 है। इस तरह की संख्या को सम्मिश्र विमान में बिंदु द्वारा देखा जा सकता है, जैसा कि दाईं ओर दिखाया गया है। ध्रुवीय रूप गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या {{mvar|z}} को कूटबद्ध करता है| इसके पूर्ण मूल्य से, अर्थात (धनात्मक, वास्तविक) दूरी {{Mvar|r}} मूल (गणित) के लिए, और वास्तविक {{mvar|x}} के मध्य कोण एक्सिसरे तथा मूल दोनों से होकर जाने वाली रेखा तथा {{mvar|z}}. इस कोण को {{mvar|z}} तर्क (सम्मिश्र विश्लेषण) कहा जाता है .

{{mvar|z}} निरपेक्ष मूल्य का {{mvar|r}} द्वारा दिया गया है

:<math>\textstyle r=\sqrt{x^2+y^2}.</math>
साइन और कोसाइन की ज्यामितीय व्याख्या और {{Math|2{{pi}}}} में उनकी आवधिकता का उपयोग करना , कोई सम्मिश्र संख्या {{mvar|z}} के रूप में दर्शाया जा सकता है

:<math>z = x + iy = r (\cos \varphi + i \sin \varphi )= r (\cos (\varphi + 2k\pi) + i \sin (\varphi + 2k\pi)),</math>
किसी भी पूर्णांक संख्या {{mvar|k}} के लिए. प्रकट तौर पर का तर्क विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट नहीं है: दोनों {{mvar|φ}} और {{Math|1=''φ''' = ''φ'' + 2''k''{{pi}}}} दोनों सभी पूर्णांकों के लिए{{mvar|k}} के लिए {{mvar|z}} वैध तर्क हैं , क्योंकि जोड़ना {{Math|2''k''{{pi}}}} रेडियन या k⋅360°{{refn|See [[radian]] for the conversion between 2[[pi|{{pi}}]] and 360 [[degree (angle)|degree]].|group=nb}} को {{mvar|φ}} द्वारा वामावर्त मूल के चारों ओर घुमावदार से मेल खाती है मूल घड़ी की दिशा में {{mvar|k}} घुमावों द्वार है| परिणामी सम्मिश्र संख्या सदैव {{mvar|z}} होती है , जैसा कि {{math|''k'' {{=}} 1}} के लिए दाईं ओर दिखाया गया है . कोई व्यक्ति z के संभावित तर्कों में से किसी एक को तथाकथित प्रमुख तर्क के रूप में चुन सकता है, जिसे बड़े {{math|A}} के साथ {{math|Arg(''z'')}}कहा जाता है, आवश्यकता के अनुसार {{mvar|φ}} एक, सुविधाजनक रूप से चयनित मोड़ से संबंधित है, उदाहरण के लिए {{Math|−{{pi}} < ''φ'' ≤ {{pi}}}}<ref>{{Citation|last1=Ganguly|location=Kolkata|first1=S.|title=Elements of Complex Analysis|publisher=Academic Publishers|isbn=978-81-87504-86-3|year=2005}}, Definition 1.6.3</ref> या {{Math|0 ≤ ''φ'' < 2{{pi}}}}<ref>{{Citation|last1=Nevanlinna|first1=Rolf Herman|author1-link=Rolf Nevanlinna|last2=Paatero|first2=Veikko|title=Introduction to complex analysis|journal=London: Hilger|location=Providence, RI|publisher=AMS Bookstore|isbn=978-0-8218-4399-4|year=2007|bibcode=1974aitc.book.....W}}, section 5.9</ref>. ये क्षेत्र, जहां {{mvar|z}} का तर्क विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है, तर्क फ़ंक्शन की शाखाएं कहलाती हैं।

[[File:Complex log domain.svg|right|thumb|मुख्य शाखा (-{{pi}}, {{pi}}) सम्मिश्र लघुगणक का, {{math|Log(''z'')}}. काला बिंदु पर {{math|''z'' {{=}} 1}} निरपेक्ष मान शून्य से मेल खाता है और चमकीले रंग बड़े निरपेक्ष मूल्यों को संदर्भित करते हैं। रंग का रंग तर्क को कूटबद्ध करता है {{math|Log(''z'')}}|alt=एक घनत्व प्लॉट। बीच में एक काला बिंदु है, नकारात्मक अक्ष पर रंग तेजी से कूदता है और अन्यथा सुचारू रूप से विकसित होता है।]]यूलर का सूत्र त्रिकोणमितीय कार्यों साइन और कोसाइन को सम्मिश्र घातांक से जोड़ता है:
:<math>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi .</math>
इस सूत्र का उपयोग करते हुए, और फिर से आवधिकता, निम्नलिखित सर्वसमिका धारण करती है:<ref>{{Citation|last1=Moore|first1=Theral Orvis|last2=Hadlock|first2=Edwin H.|title=Complex analysis|publisher=[[World Scientific]]|location=Singapore|isbn=978-981-02-0246-0|year=1991}}, section 1.2</ref>
:<math> \begin{array}{lll}z& = & r \left (\cos \varphi + i \sin \varphi\right) \\
& = & r \left (\cos(\varphi + 2k\pi) + i \sin(\varphi + 2k\pi)\right) \\
& = & r e^{i (\varphi + 2k\pi)} \\
& = & e^{\ln(r)} e^{i (\varphi + 2k\pi)}  \\
& = & e^{\ln(r) + i(\varphi + 2k\pi)} = e^{a_k},
\end{array}
</math>
जहाँ {{math|ln(''r'')}} अद्वितीय वास्तविक प्राकृतिक लघुगणक है, {{math|''a''<sub>''k''</sub>}} {{mvar|z}} के सम्मिश्र लघुगणकों को निरूपित करें और {{mvar|k}} इच्छानुसार पूर्णांक है। इसलिए, {{mvar|z}} के सम्मिश्र लघुगणक , जो {{math|''a''<sub>''k''</sub>}} वे सभी सम्मिश्र मूल्य हैं जिसके लिए {{math|''a''<sub>''k''</sub>-th}} किसकी सत्ता {{mvar|e}} सामान्तरी {{mvar|z}}, अपरिमित रूप से अनेक मान हैं

:<math>a_k = \ln (r) + i ( \varphi + 2 k \pi ),\quad</math> मनमानी पूर्णांकों के लिए.

{{mvar|k}} ले रहा {{mvar|k}} ऐसा है कि {{Math|''φ'' + 2''k''{{pi}}}} प्रमुख तर्कों के लिए परिभाषित अंतराल के अंदर है, तब {{math|''a''<sub>''k''</sub>}} लघुगणक का मुख्य मान कहा जाता है, निरूपित {{math|Log(''z'')}}, फिर से पूंजी {{math|L}} के साथ . किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या {{mvar|x}} का मुख्य तर्क 0 है; इसलिए {{math|Log(''x'')}} वास्तविक संख्या है और वास्तविक (प्राकृतिक) लघुगणक के सामान्तर है। चूँकि, उत्पादों और शक्तियों के लघुगणक के लिए उपरोक्त सूत्र घातांक याशक्ति की विफलता और सम्मिश्र लघुगणक के प्रमुख मूल्य के लिए लघुगणक पहचान।<ref>{{Citation | last1=Wilde | first1=Ivan Francis | title=Lecture notes on complex analysis | publisher=Imperial College Press | location=London | isbn=978-1-86094-642-4 | year=2006|url=https://books.google.com/books?id=vrWES2W6vG0C&q=complex+logarithm&pg=PA97}}, theorem 6.1.</ref>

दाईं ओर का चित्रण {{math|Log(''z'')}} को दर्शाता है , जो {{mvar|z}} के तर्कों को अंतराल {{open-closed|−π, π}} तक सीमित करता है| इस तरह सम्मिश्र लघुगणक की संबंधित शाखा में सभी नकारात्मक वास्तविक {{mvar|x}}एक्सिस के साथ विच्छिन्नता है , जिसे वहां के रंग में उछाल में देखा जा सकता है। यह विच्छिन्नता ही शाखा में दूसरी सीमा पर छलांग लगाने से उत्पन्न होती है, जब सीमा पार करते हैं, अर्थात संबंधित में नहीं बदलते {{mvar|k}}लगातार निकटतम शाखा का मूल्य। ऐसे लोकस को ब्रांच कट कहा जाता है। तर्क पर सीमा प्रतिबंधों को छोड़ने से संबंधों {{mvar|z}} का तर्क बन जाता है , और फलस्वरूप {{mvar|z}} का लघुगणक , बहु-मूल्यवान फलन बन जाता है ।

=== अन्य घातीय कार्यों के व्युत्क्रम ===
घातांक गणित के अनेक क्षेत्रों में होता है और इसके व्युत्क्रम कार्य को अधिकांशतः लघुगणक के रूप में संदर्भित किया जाता है। उदाहरण के लिए, आव्युह का लघुगणक आव्युह एक्सपोनेंशियल का (बहु-मूल्यवान) व्युत्क्रम कार्य है।<ref>{{Citation|last1=Higham|first1=Nicholas|author1-link=Nicholas Higham|title=Functions of Matrices. Theory and Computation|location=Philadelphia, PA|publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]]|isbn=978-0-89871-646-7|year=2008}}, chapter 11.</ref> और उदाहरण ''p'' -एडिक लॉगरिदम फलन है। ''p'' -एडिक लॉगरिदम, ''p'' -एडिक एक्सपोनेंशियल फलन का विपरीत फलन। दोनों को वास्तविक स्थितियोंके अनुरूप टेलर श्रृंखला के माध्यम से परिभाषित किया गया है।<ref>{{Neukirch ANT|mode=cs2}}, section II.5.</ref> डिफरेंशियल ज्योमेट्री के संदर्भ में, एक्सपोनेंशियल मानचित्र (रीमैनियन ज्योमेट्री) उस बिंदु के निकटतम (गणित) के लिए अलग-अलग अनेक गुना के बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान को मानचित्र करता है। इसके व्युत्क्रम को लघुगणक (या लॉग) मानचित्र भी कहा जाता है।<ref>{{Citation|last1=Hancock|first1=Edwin R.|last2=Martin|first2=Ralph R.|last3=Sabin|first3=Malcolm A.|title=Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, UK, September 7–9, 2009 Proceedings|url=https://books.google.com/books?id=0cqCy9x7V_QC&pg=PA379|publisher=Springer|year=2009|page=379|isbn=978-3-642-03595-1}}</ref>

लॉगरिदम फलन है। जो ''p'' -एडिक एक्सपोनेंशियल फलन का विपरीत फलन है । दोनों को वास्तविक स्थितियोंके अनुरूप टेलर श्रृंखला के माध्यम से परिभाषित किया गया है।<ref>{{Neukirch ANT|mode=cs2}}, section II.5.</ref> डिफरेंशियल ज्योमेट्री के संदर्भ में, एक्सपोनेंशियल मानचित्र (रीमैनियन ज्योमेट्री) उस बिंदु के निकटतम (गणित) के लिए अलग-अलग अनेक गुना के बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान को मानचित्र करता है। इसके व्युत्क्रम को लघुगणक (या लॉग) मानचित्र भी कहा जाता है।<ref>{{Citation|last1=Hancock|first1=Edwin R.|last2=Martin|first2=Ralph R.|last3=Sabin|first3=Malcolm A.|title=Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, UK, September 7–9, 2009 Proceedings|url=https://books.google.com/books?id=0cqCy9x7V_QC&pg=PA379|publisher=Springer|year=2009|page=379|isbn=978-3-642-03595-1}}</ref>

परिमित समूहों के संदर्भ में समूह तत्व को बार-बार गुणा करके घातांक दिया जाता है{{mvar|b}} खुद के साथ। असतत लघुगणक पूर्णांक है{{mvar|n}}समीकरण को हल करना
:<math>b^n = x,</math>
कहां {{mvar|x}} समूह का अंग है। घातांक को कुशलता से किया जा सकता है, किन्तुकुछ समूहों में असतत लघुगणक की गणना करना बहुत कठिन माना जाता है। सार्वजनिक कुंजी क्रिप्टोग्राफी में इस विषमता के महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं, उदाहरण के लिए डिफी-हेलमैन कुंजी एक्सचेंज में, रूटीन जो असुरक्षित सूचना चैनलों पर क्रिप्टोग्राफी कुंजियों के सुरक्षित आदान-प्रदान की अनुमति देता है।<ref>{{Citation|last1=Stinson|first1=Douglas Robert|title=Cryptography: Theory and Practice|publisher=[[CRC Press]]|location=London|edition=3rd|isbn=978-1-58488-508-5|year=2006}}</ref> ज़ेच का लघुगणक परिमित क्षेत्र के गैर-शून्य तत्वों के गुणात्मक समूह में असतत लघुगणक से संबंधित है।<ref>{{Citation|last1=Lidl|first1=Rudolf|last2=Niederreiter|first2=Harald|author2-link=Harald Niederreiter|title=Finite fields|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-39231-0|year=1997|url-access=registration|url=https://archive.org/details/finitefields0000lidl_a8r3}}</ref>

आगे के लघुगणक-जैसे व्युत्क्रम कार्यों में दोहरा लघुगणक {{math|ln(ln(''x''))}} सम्मिलित है, सुपर-लघुगणक | सुपर- या हाइपर-4-लघुगणक (जिसकी थोड़ी भिन्नता को कंप्यूटर विज्ञान में पुनरावृत्त लघुगणक कहा जाता है), । वे क्रमशः {{math|''f''(''w'') {{=}} ''we<sup>w</sup>''}} डबल एक्सपोनेंशियल फलन, टेट्रेशन, के व्युत्क्रम कार्य हैं ,<ref>{{Citation | last1=Corless | first1=R. | last2=Gonnet | first2=G. | last3=Hare | first3=D. | last4=Jeffrey | first4=D. | last5=Knuth | first5=Donald | author5-link=Donald Knuth | title=On the Lambert ''W'' function | url=http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf | year=1996 | journal=Advances in Computational Mathematics | issn=1019-7168 | volume=5 | pages=329–59 | doi=10.1007/BF02124750 | s2cid=29028411 | access-date=13 February 2011 | archive-url=https://web.archive.org/web/20101214110615/http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf | archive-date=14 December 2010 | url-status=dead}}</ref> ।<ref>{{Citation | last1=Cherkassky | first1=Vladimir | last2=Cherkassky | first2=Vladimir S. | last3=Mulier | first3=Filip | title=Learning from data: concepts, theory, and methods | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | series=Wiley series on adaptive and learning systems for signal processing, communications, and control | isbn=978-0-471-68182-3 | year=2007}}, p.&nbsp;357</ref>


===संबंधित अवधारणाएं===
समूह सिद्धांत के दृष्टिकोण से, पहचान {{math|log(''cd'') {{=}} log(''c'') + log(''d'')}} गुणन के अनुसार धनात्मक वास्तविक संख्या और अतिरिक्त के अनुसार वास्तविक के मध्य समूह समरूपता व्यक्त करता है। लॉगरिदमिक फ़ंक्शंस इन समूहों के मध्य एकमात्र निरंतर समरूपता हैं।<ref>{{Citation|last1=Bourbaki|first1=Nicolas|author1-link=Nicolas Bourbaki|title=General topology. Chapters 5–10|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|series=Elements of Mathematics|isbn=978-3-540-64563-4|mr=1726872|year=1998}}, section V.4.1</ref> उस समरूपता के माध्यम से, हार उपाय (लेबेस्गु माप) {{math|''dx''}} वास्तविक पर हार {{math|''dx''/''x''}} उपाय से मेल खाती है धनात्मक वास्तविकताओं पर।<ref>{{Citation|last1=Ambartzumian|first1=R.V.|author-link=Rouben V. Ambartzumian|title=Factorization calculus and geometric probability|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-34535-4|year=1990|url-access=registration|url=https://archive.org/details/factorizationcal0000amba}}, section 1.4</ref> गैर-ऋणात्मक वास्तविक में न केवल गुणा होता है, किंतु जोड़ भी होता है, और सेमिरिंग बनाता है, जिसे प्रायिकता सेमीरिंग कहा जाता है; यह वास्तव में सेमीफ़ील्ड है। इसके बाद लॉगरिदम गुणन को जोड़ (लॉग गुणन) में ले जाता है, और लॉग जोड़ (LogSumExp) में जोड़ लेता है, प्रायिकता सेमीरिंग और लॉग सेमीरिंग के मध्य सेमीरिंग का समरूपता देता है।

लघुगणकीय रूप | लघुगणकीय एक-रूप {{math|''df''/''f''}} लॉगरिदमिक पोल (सम्मिश्र विश्लेषण) के साथ अंतर रूपों के रूप में सम्मिश्र विश्लेषण और बीजगणितीय ज्यामिति में दिखाई देते हैं।<ref>{{Citation|last1=Esnault|first1=Hélène|last2=Viehweg|first2=Eckart|title=Lectures on vanishing theorems|location=Basel, Boston|publisher=Birkhäuser Verlag|series=DMV Seminar|isbn=978-3-7643-2822-1|mr=1193913|year=1992|volume=20|doi=10.1007/978-3-0348-8600-0|citeseerx=10.1.1.178.3227}}, section 2</ref> 

बहुलघुगणक द्वारा परिभाषित कार्य है
:<math>
\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}.
</math>
यह {{math|1=Li<sub>1</sub>&thinsp;(''z'') = −ln(1 − ''z'')}} द्वारा प्राकृतिक लघुगणक से संबंधित है . इसके अतिरिक्त, {{math|Li<sub>''s''</sub>&thinsp;(1)}} रीमैन ज़ेटा फलन {{math|ζ(''s'')}} के सामान्तर है .<ref>{{dlmf|id= 25.12|first= T.M.|last= Apostol}}</ref>



== यह भी देखें ==
{{Portal|Mathematics|Arithmetic|Chemistry|Geography|Engineering}}
* दशमलव प्रतिपादक (डेक्स)
* घातांक प्रकार्य
* लघुगणक लेखों का सूचकांक

==टिप्पणियाँ==
{{reflist|group=nb|30em}}


==संदर्भ==
{{Reflist}}


==बाहरी कड़ियाँ==
* {{Commons category-inline}}
* {{Wiktionary-inline}}
*{{sister-inline
|project=v
|links=[[v:Speak Math Now!/Week 9: Six rules of Exponents/Logarithms|A lesson on logarithms can be found on Wikiversity]]
|short=yes
}}
* {{MathWorld|Logarithm|Logarithm|mode=cs2}}
* [https://web.archive.org/web/20121218200616/http://www.khanacademy.org/math/algebra/logarithms-tutorial Khan Academy: Logarithms, free online micro lectures]
* {{springer|title=Logarithmic function|id=p/l060600}}
* {{Citation|author=Colin Byfleet|url=http://mediasite.oddl.fsu.edu/mediasite/Viewer/?peid=003298f9a02f468c8351c50488d6c479|title=Educational video on logarithms|access-date=12 October 2010}}
* {{Citation|author=Edward Wright |url=http://www.johnnapier.com/table_of_logarithms_001.htm |title=Translation of Napier's work on logarithms |access-date=12 October 2010 |url-status=unfit |archive-url=https://web.archive.org/web/20021203005508/http://www.johnnapier.com/table_of_logarithms_001.htm |archive-date=3 December 2002 }}
* {{Cite EB1911|wstitle=Logarithm |volume=16 |pages=868–77 |first=James Whitbread Lee |last=Glaisher|mode=cs2}}

{{Hyperoperations}}
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