View source for वेइल सह-समरूपता सिद्धांत

[[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, '''वेइल [[ सह-समरूपता |सह-समरूपता]]''' या '''वेइल सह-समरूपता सिद्धांत''' एक सह-समरूपता है जो बीजगणितीय चक्रों और सह-समरूपता समूहों के परस्पर क्रिया से संबंधित कुछ स्वयंसिद्ध सिद्धांतों को संतुष्ट करता है। यह नाम एन्ड्रे वेइल के सम्मान में है। कोई भी वेइल सह-समरूपता सिद्धांत चाउ उद्देश्यों की श्रेणी के माध्यम से विशिष्ट रूप से कारक बनता है, लेकिन चाउ उद्देश्यों की श्रेणी स्वयं वेइल सह-समरूपता सिद्धांत नहीं है, क्योंकि यह एक [[एबेलियन श्रेणी]] नहीं है।

==परिभाषा==
मनमाना विशेषता का एक आधार फ़ील्ड ''k'' और विशेषता शून्य का एक "गुणांक फ़ील्ड" ''K'' ठीक करें। एक वेइल सह-समरूपता सिद्धांत एक विरोधाभासी फ़ैनक्टर है।

:<math>H^*: \{\text{smooth projective varieties over } k \} \longrightarrow \{\text{graded } K\text{-algebras}\}</math>
नीचे दिए गए सिद्धांतों को संतुष्ट करते हुए। प्रत्येक चिकनी प्रक्षेप्य बीजगणितीय विविधता ''X'' के आयाम ''n'' से अधिक ''k'' के लिए, फिर वर्गीकृत ''K''-बीजगणित

:<math>H^*(X) = \bigoplus\nolimits_i H^i(X)</math>
निम्नलिखित को संतुष्ट करना आवश्यक है:

* <math>H^i(X)</math> प्रत्येक पूर्णांक ''i'' के लिए एक सीमित-आयामी ''K''-सदिश स्थान है।

* <math>H^i(X) = 0</math> प्रत्येक i < 0 या i > 2n के लिए।

* <math>H^{2n}(X)</math> K (तथाकथित अभिविन्यास मानचित्र) के समरूपी है।

* पोंकारे द्वंद्व: एक आदर्श युग्मन है
::<math>H^i(X) \times H^{2n-i}(X) \to H^{2n}(X) \cong K.</math>
* एक विहित कुनेथ समरूपतावाद है
::<math>H^*(X) \otimes H^*(Y) \to H^*(X\times Y).</math>
* प्रत्येक पूर्णांक ''r'' के लिए, X पर कोडिमेंशन ''r'' के बीजगणितीय चक्रों के समूह <math>Z^r(X)</math> पर एक चक्र मानचित्र परिभाषित है,
::<math>\gamma_X : Z^r(X) \to H^{2r}(X),</math>
:H और कुनेथ समाकृतिकता की कार्यक्षमता के संबंध में कुछ अनुकूलता शर्तों को पूरा करना। यदि ''X'' एक बिंदु है, तो साइकिल मानचित्र में ''Z ⊂ K'' का समावेश आवश्यक है।

* दुर्बल लेफ्शेट्ज़ सिद्धांत: किसी भी पूर्ण हाइपरप्लेन अनुभाग के लिए ''j'': ''W'' ⊂ ''X'' (यानी  ''W'' = ''X'' ∩ ''H'', ''H'' परिवेश प्रक्षेप्य स्पेस में कुछ हाइपरप्लेन), मानचित्र
::<math>j^*: H^i(X) \to H^i(W)</math>
:<math>i \leqslant n-2</math> के लिए समरूपताएं हैं तथा <math>i \leqslant n-1.</math> के लिए अन्तःक्षेपण हैं।
* हार्ड लेफ्शेट्ज़ स्वयंसिद्ध: मान लीजिए कि ''W'' एक हाइपरप्लेन अनुभाग है और <math>w =\gamma_X(W) \in H^2(X)</math> (चक्र वर्ग मानचित्र के नीचे इसकी छवि। लेफ्शेट्ज़ संकारक को इस प्रकार परिभाषित किया गया ह
::<math>\begin{cases} L: H^i(X) \to H^{i+2}(X) \\ x \mapsto x \cdot w, \end{cases}</math>
:जहां बिंदु बीजगणित में उत्पाद को दर्शाता है <math>H^*(X).</math> तब
::<math>L^i : H^{n-i}(X) \to H^{n+i}(X)</math>
:''i'' = 1, ..., ''n''. के लिए एक समरूपता है।
:

==उदाहरण==

चार तथाकथित चिरसम्मत वेइल कोहोलॉजी सिद्धांत हैं:

*विलक्षण (= बेट्टी) सह-समरूपता, उनके विश्लेषणात्मक टोपोलॉजी (जीएजीए देखें) का उपयोग करके टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के रूप में '''C''' से अधिक वर्गों के बारे में,
*[[विशेषता (बीजगणित)]] शून्य के आधार क्षेत्र पर [[डॉ कहलमज गर्भाशय]]: '''C''' से अधिक अंतर रूपों द्वारा परिभाषित और सामान्य तौर पर काहलर अंतर के परिसर के माध्यम से (बीजगणितीय डी राम सह-समरूपता देखें),

*ℓ से भिन्न विशेषता के क्षेत्रों में किस्मों के लिए  ℓ-एडिक सह-समरूपता,
*[[क्रिस्टलीय सहसंरचना]].

बेट्टी सह-समरूपता और डी राम सह-समरूपता के लिए स्वयंसिद्धों के प्रमाण तुलनात्मक रूप से आसान और चिरसम्मत हैं। उदाहरण के लिए, ℓ-एडिक सह-समरूपता के लिए, उपरोक्त अधिकांश गुण गहरे प्रमेय हैं।

दोगुने से अधिक आयाम वाले बेट्टी सह-समरूपता समूहों का लुप्त होना इस तथ्य से स्पष्ट है कि जटिल आयाम ''n'' के एक (जटिल) मैनिफोल्ड का वास्तविक आयाम 2n है, इसलिए ये उच्च सह-समरूपता समूह गायब हो जाते हैं (उदाहरण के लिए उन्हें सरल (सह) होमोलॉजी से तुलना करके)।

डी राम चक्र मानचित्र में एक व्यावहारिक व्याख्या भी है: जटिल आयाम ''n'' की पूर्ण विविधता ''X'' में जटिल कोड आयाम ''r'' की एक उप-विविधता ''Y'' को देखते हुए, Y का वास्तविक आयाम 2n−2r है, इसलिए कोई भी किसी भी अंतर को एकीकृत कर सकता है ( 2n−2r)-एक जटिल संख्या उत्पन्न करने के लिए Y के अनुदिश रूप बनाएं। यह एक रैखिक कार्यात्मकता को प्रेरित करता है <math>\textstyle\int_Y \colon \; H^{2n-2r}_{\text{dR}}(X) \to \mathbf{C}</math>  वह अवयव <math>H^{2r}_{\text{dR}}(X)</math> चक्र मानचित्र के अंतर्गत Y की छवि है।

==संदर्भ==
*{{Citation| last1=Griffiths | first1=Phillip | last2=Harris | first2=Joseph | title=Principles of algebraic geometry | publisher= Wiley | location=New York | series=Wiley Classics Library | isbn=978-0-471-05059-9 |mr=1288523 | year=1994 | doi= 10.1002/9781118032527| doi-access=free }} (contains proofs of all of the axioms for Betti and de-Rham cohomology)
*{{Citation | last1=Milne | first1=James S. | title=Étale cohomology | publisher=[[Princeton University Press]] | location=Princeton, NJ | isbn=978-0-691-08238-7 | year=1980 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/etalecohomology00miln }} (idem for ''l''-adic cohomology)
*{{Citation| last1=Kleiman | first1=S. L. | title=Dix exposés sur la cohomologie des schémas | publisher=North-Holland | location= Amsterdam |mr=0292838 | year=1968 | chapter=Algebraic cycles and the Weil conjectures | pages=359–386}}

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