वेइल सह-समरूपता सिद्धांत
बीजगणितीय ज्यामिति में, वेइल सह-समरूपता या वेइल सह-समरूपता सिद्धांत एक सह-समरूपता है जो बीजगणितीय चक्रों और सह-समरूपता समूहों के परस्पर क्रिया से संबंधित कुछ स्वयंसिद्ध सिद्धांतों को संतुष्ट करता है। यह नाम एन्ड्रे वेइल के सम्मान में है। कोई भी वेइल सह-समरूपता सिद्धांत चाउ उद्देश्यों की श्रेणी के माध्यम से विशिष्ट रूप से कारक बनता है, लेकिन चाउ उद्देश्यों की श्रेणी स्वयं वेइल सह-समरूपता सिद्धांत नहीं है, क्योंकि यह एक एबेलियन श्रेणी नहीं है।
परिभाषा
मनमाना विशेषता का एक आधार फ़ील्ड k और विशेषता शून्य का एक "गुणांक फ़ील्ड" K ठीक करें। एक वेइल सह-समरूपता सिद्धांत एक विरोधाभासी फ़ैनक्टर है।
नीचे दिए गए सिद्धांतों को संतुष्ट करते हुए। प्रत्येक चिकनी प्रक्षेप्य बीजगणितीय विविधता X के आयाम n से अधिक k के लिए, फिर वर्गीकृत K-बीजगणित
निम्नलिखित को संतुष्ट करना आवश्यक है:
- प्रत्येक पूर्णांक i के लिए एक सीमित-आयामी K-सदिश स्थान है।
- प्रत्येक i < 0 या i > 2n के लिए।
- K (तथाकथित अभिविन्यास मानचित्र) के समरूपी है।
- पोंकारे द्वंद्व: एक आदर्श युग्मन है
- एक विहित कुनेथ समरूपतावाद है
- प्रत्येक पूर्णांक r के लिए, X पर कोडिमेंशन r के बीजगणितीय चक्रों के समूह पर एक चक्र मानचित्र परिभाषित है,
- H और कुनेथ समाकृतिकता की कार्यक्षमता के संबंध में कुछ अनुकूलता शर्तों को पूरा करना। यदि X एक बिंदु है, तो साइकिल मानचित्र में Z ⊂ K का समावेश आवश्यक है।
- दुर्बल लेफ्शेट्ज़ सिद्धांत: किसी भी पूर्ण हाइपरप्लेन अनुभाग के लिए j: W ⊂ X (यानी W = X ∩ H, H परिवेश प्रक्षेप्य स्पेस में कुछ हाइपरप्लेन), मानचित्र
- के लिए समरूपताएं हैं तथा के लिए अन्तःक्षेपण हैं।
- हार्ड लेफ्शेट्ज़ स्वयंसिद्ध: मान लीजिए कि W एक हाइपरप्लेन अनुभाग है और (चक्र वर्ग मानचित्र के नीचे इसकी छवि। लेफ्शेट्ज़ संकारक को इस प्रकार परिभाषित किया गया ह
- जहां बिंदु बीजगणित में उत्पाद को दर्शाता है तब
- i = 1, ..., n. के लिए एक समरूपता है।
उदाहरण
चार तथाकथित चिरसम्मत वेइल कोहोलॉजी सिद्धांत हैं:
- विलक्षण (= बेट्टी) सह-समरूपता, उनके विश्लेषणात्मक टोपोलॉजी (जीएजीए देखें) का उपयोग करके टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के रूप में C से अधिक वर्गों के बारे में,
- विशेषता (बीजगणित) शून्य के आधार क्षेत्र पर डॉ कहलमज गर्भाशय: C से अधिक अंतर रूपों द्वारा परिभाषित और सामान्य तौर पर काहलर अंतर के परिसर के माध्यम से (बीजगणितीय डी राम सह-समरूपता देखें),
- ℓ से भिन्न विशेषता के क्षेत्रों में किस्मों के लिए ℓ-एडिक सह-समरूपता,
- क्रिस्टलीय सहसंरचना.
बेट्टी सह-समरूपता और डी राम सह-समरूपता के लिए स्वयंसिद्धों के प्रमाण तुलनात्मक रूप से आसान और चिरसम्मत हैं। उदाहरण के लिए, ℓ-एडिक सह-समरूपता के लिए, उपरोक्त अधिकांश गुण गहरे प्रमेय हैं।
दोगुने से अधिक आयाम वाले बेट्टी सह-समरूपता समूहों का लुप्त होना इस तथ्य से स्पष्ट है कि जटिल आयाम n के एक (जटिल) मैनिफोल्ड का वास्तविक आयाम 2n है, इसलिए ये उच्च सह-समरूपता समूह गायब हो जाते हैं (उदाहरण के लिए उन्हें सरल (सह) होमोलॉजी से तुलना करके)।
डी राम चक्र मानचित्र में एक व्यावहारिक व्याख्या भी है: जटिल आयाम n की पूर्ण विविधता X में जटिल कोड आयाम r की एक उप-विविधता Y को देखते हुए, Y का वास्तविक आयाम 2n−2r है, इसलिए कोई भी किसी भी अंतर को एकीकृत कर सकता है ( 2n−2r)-एक जटिल संख्या उत्पन्न करने के लिए Y के अनुदिश रूप बनाएं। यह एक रैखिक कार्यात्मकता को प्रेरित करता है वह अवयव चक्र मानचित्र के अंतर्गत Y की छवि है।
संदर्भ
- Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: Wiley, doi:10.1002/9781118032527, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523 (contains proofs of all of the axioms for Betti and de-Rham cohomology)
- Milne, James S. (1980), Étale cohomology, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7 (idem for l-adic cohomology)
- Kleiman, S. L. (1968), "Algebraic cycles and the Weil conjectures", Dix exposés sur la cohomologie des schémas, Amsterdam: North-Holland, pp. 359–386, MR 0292838