View source for हिरज़ेब्रुच सतह

{{Short description|Ruled surface over the projective line}}

गणित में, हिरज़ेब्रुच सतह प्रक्षेप्य रेखा के ऊपर एक निर्णयिक सतह होती है। इनका अध्ययन {{harvs|txt|first=फ्रेडरिक|last=हिरज़ेब्रुच|year=1951|authorlink=फ्रेडरिक हिरज़ेब्रुच}} द्वारा किया गया था।

==परिभाषा==
हिरज़ेब्रुच सतह <math>\Sigma_n</math> <math>\mathbb{P}^1</math>-बंडल है, जिसे प्रोजेक्टिव बंडल कहा जाता है, जो शीफ़ से जुड़े <math>\mathbb{P}^1</math> से अधिक है<math display="block">\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n).</math>यहां नोटेशन का अर्थ है: <math>\mathcal{O}(n)</math> सेरे ट्विस्ट शीफ की {{mvar|n}}-वें टेंसर शक्ति है <math>\mathcal{O}(1)</math>, संबंधित कार्टियर विभाजक एक बिंदु के साथ उलटा शीफ या लाइन बंडल सतह <math>\Sigma_0</math> {{math|'''P'''<sup>1</sup> × '''P'''<sup>1</sup>}} के लिए समरूपी है, और <math>\Sigma_1</math> एक बिंदु पर उड़ाए गए {{math|'''P'''<sup>2</sup>}} के लिए समरूपी है, इसलिए न्यूनतम नहीं है।

=== [[जीआईटी भागफल]] ===

हिरज़ेब्रुच सतह के निर्माण की एक विधि जीआईटी भागफल का उपयोग करना है<ref name=":0">{{cite arXiv | last=Manetti | first=Marco | date=2005-07-14|title=जटिल मैनिफोल्ड्स की विकृतियों पर व्याख्यान| eprint=math/0507286}}</ref>{{rp|21}}<math display="block">\Sigma_n = (\Complex^2-\{0\})\times (\Complex^2-\{0\})/(\Complex^*\times\Complex^*)                                                
                                                                                                                                                                                  
                                                                                                                                                                                                                            </math>जहां <math>\Complex^*\times\Complex^*</math> की क्रिया दी गई है<math display="block">(\lambda, \mu)\cdot(l_0,l_1,t_0,t_1) = (\lambda l_0, \lambda l_1, \mu t_0,\lambda^{-n}\mu t_1)</math>इस क्रिया की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है कि पहले दो कारकों पर <math>\lambda</math> की क्रिया <math>\mathbb{P}^1</math> को परिभाषित करने वाले <math>\Complex^*</math> पर <math>\Complex^2 - \{0\}</math> की क्रिया से आती है, और दूसरी क्रिया <math>\mathbb{P}^1</math> पर लाइन बंडलों के प्रत्यक्ष योग के निर्माण और उनके प्रक्षेपीकरण का एक संयोजन है। प्रत्यक्ष योग <math>\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)</math> के लिए इसे भागफल विविधता द्वारा दिया जा सकता है<ref name=":0" />{{rp|24}}<math display="block">\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n) = (\Complex^2-\{0\})\times \Complex^2/\Complex^*</math>जहां <math>\Complex^*</math>की क्रिया दी गई है<math display="block">\lambda \cdot (l_0,l_1,t_0,t_1) = (\lambda l_0, \lambda l_1,\lambda^a t_0, \lambda^0 t_1 = t_1)</math>फिर, प्रक्षेपीकरण <math>\mathbb{P}(\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(-n))</math> एक अन्य <math>\Complex^*</math>-एक्शन  द्वारा एक तुल्यता वर्ग <math>[l_0,l_1,t_0,t_1] \in\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(-n)</math> भेजकर दिया जाता है।<ref name=":0" />{{rp|22}}<math display="block">\mu \cdot [l_0,l_1,t_0,t_1] = [l_0,l_1,\mu t_0,\mu t_1]</math>इन दोनों क्रियाओं को मिलाने से मूल भागफल ऊपर आ जाता है।

=== संक्रमण मानचित्र ===
इस <math>\mathbb{P}^1</math>-बंडल को बनाने का एक विधि ट्रांज़िशन फलन का उपयोग करना है। चूँकि एफ़िन सदिश बंडल आवश्यक रूप से सामान्य हैं, <math>U_0,U_1</math> द्वारा परिभाषित <math>\mathbb{P}^1</math> के चार्ट <math>x_i \neq 0 </math> पर बंडल का स्थानीय मॉडल है<math display="block">U_i\times \mathbb{P}^1</math>फिर, संक्रमण मानचित्र, <math>\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)</math> के संक्रमण मानचित्रों से प्रेरित होकर मानचित्र देते हैं<math display="block">U_0\times\mathbb{P}^1|_{U_1} \to U_1\times\mathbb{P}^1|_{U_0}</math>भेजना<math display="block">(X_0, [y_0:y_1]) \mapsto (X_1, [y_0:x_0^n y_1])</math>जहाँ <math>X_i</math> <math>U_i</math> एफ़िन समन्वय फलन प्रारंभ है <ref>{{Cite web | title=बीजगणितीय ज्यामिति|url=https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/alggeom-2002-c10.pdf | last=Gathmann|first=Andreas | date=|website= Fachbereich Mathematik - TU Kaiserslautern |url-status=live|archive-url=|archive-date=|access-date=}}</ref>
== गुण ==

=== प्रक्षेप्य रैंक 2 बंडल P<sup>1</sup> के ऊपर===
ध्यान दें कि ग्रोथेंडिक के प्रमेय के अनुसार, किसी भी सदिश बंडल <math>E</math> के लिए <math>\mathbb P^1</math> पर संख्याएं <math>a,b \in \mathbb Z</math> हैं जैसे कि<math display="block">E \cong \mathcal{O}(a)\oplus \mathcal{O}(b).</math>चूंकि प्रक्षेप्य बंडल को एक लाइन बंडल द्वारा टेंसरिंग के तहत अपरिवर्तनीय है,<ref>{{Cite web|title=Section 27.20 (02NB): Twisting by invertible sheaves and relative Proj—The Stacks project|url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/02NB| website=stacks.math.columbia.edu|access-date=2020-05-23}}</ref> <math>E = \mathcal O(a) \oplus \mathcal O(b)</math> से जुड़ी निर्णयिक सतह हिरज़ेब्रुक सतह <math>\Sigma_{b-a}</math> है क्योंकि इस बंडल को <math>\mathcal{O}(-a)</math> द्वारा टेंसर किया जा सकता है।

==== हिरज़ेब्रुच सतहों की समरूपताएँ ====
विशेष रूप से, उपरोक्त अवलोकन बीच में एक समरूपता देता है <math>\Sigma_n</math> और <math>\Sigma_{-n}</math> चूँकि समरूपता सदिश बंडल है<math display="block">\mathcal{O}(n)\otimes(\mathcal{O} \oplus \mathcal{O}(-n)) \cong \mathcal{O}(n) \oplus \mathcal{O}</math>
===संबंधित सममित बीजगणित का विश्लेषण ===

याद रखें कि प्रोजेक्टिव बंडलों का निर्माण [[ सापेक्ष परियोजना |सापेक्ष परियोजना]] का उपयोग करके किया जा सकता है, जो कि बीजगणित के श्रेणीबद्ध शीफ से बनता है<math display="block">\bigoplus_{i=0}^\infty \operatorname{Sym}^i(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n))</math>पहले कुछ सममित मॉड्यूल विशेष हैं क्योंकि इसमें एक गैर-सामान्य एंटी-सममित <math>\operatorname{Alt}^2</math>-मॉड्यूल <math>\mathcal{O}\otimes \mathcal{O}(-n)</math> है। इन अनेक को तालिका में संक्षेपित किया गया है<math display="block">\begin{align}
\operatorname{Sym}^0(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)) &= \mathcal{O} \\
\operatorname{Sym}^1(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)) &= \mathcal{O} \oplus \mathcal{O}(-n) \\
\operatorname{Sym}^2(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)) &= \mathcal{O} \oplus \mathcal{O}(-2n)
\end{align}</math><math>i > 2</math> के लिए सममित शीव्स दिए गए हैं<math display="block">\begin{align}
\operatorname{Sym}^k(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)) &=
\bigoplus_{i=0}^k \mathcal{O}^{\otimes (n-i)}\otimes \mathcal{O}(-in)
\\
&\cong \mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n) \oplus \cdots \oplus \mathcal{O}(-kn)
\end{align}</math>
=== प्रतिच्छेदन सिद्धांत ===
{{math|''n'' > 0}} के लिए हिरज़ेब्रुक सतहों पर एक विशेष तर्कसंगत वक्र {{math|''C''}} होता है: सतह {{math|''O''(−''n'')}} का प्रक्षेप्य बंडल है और वक्र {{math|''C''}} शून्य खंड है। इस वक्र में स्व-प्रतिच्छेदन संख्या {{math|−''n''}} है, और यह ऋणात्मक स्व-प्रतिच्छेदन संख्या वाला एकमात्र अपरिवर्तनीय वक्र है। शून्य स्व-प्रतिच्छेदन संख्या वाले एकमात्र अघुलनशील वक्र हिरज़ेब्रुक सतह के फाइबर हैं ({{math|'''P'''<sup>1</sup>}} पर फाइबर बंडल के रूप में माना जाता है)। पिकार्ड समूह वक्र सी और फाइबर में से एक द्वारा उत्पन्न होता है, और इन जनरेटर में प्रतिच्छेदन आव्यूह होता है<math display="block">\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & -n \end{bmatrix} , </math>

इसलिए द्विरेखीय रूप दो आयामी एक-मॉड्यूलर है, और यह सम या विषम है, यह इस पर निर्भर करता है कि {{mvar|n}} सम है या विषम हिरज़ेब्रुक सतह {{math|Σ<sub>''n''</sub>}} ({{math|''n'' > 1}})को विशेष वक्र C पर एक बिंदु पर उड़ाया जाता है, यह {{math|Σ<sub>''n''+1</sub>}} के समरूपी है जो विशेष वक्र पर नहीं एक बिंदु पर उड़ाया जाता है।

== यह भी देखें ==

* प्रक्षेप्य बंडल

== संदर्भ ==
<references />

*{{Citation|last1=Barth | first1=Wolf P. | last2=Hulek | first2=Klaus | last3=Peters | first3=Chris A.M. | last4=Van de Ven | first4=Antonius | title= Compact Complex Surfaces | publisher= Springer-Verlag, Berlin | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. | isbn=978-3-540-00832-3 |mr=2030225 | year=2004 | volume=4}}
*{{Citation|last1=Beauville | first1=Arnaud | title=Complex algebraic surfaces | publisher=[[Cambridge University Press]] | edition=2nd | series=London Mathematical Society Student Texts | isbn=978-0-521-49510-3 |id={{MathSciNet | id = 1406314}} | year=1996 | volume=34}}
*{{Citation|last1=Hirzebruch | first1=Friedrich | author1-link=Friedrich Hirzebruch | title=Über eine Klasse von einfachzusammenhängenden komplexen Mannigfaltigkeiten | doi=10.1007/BF01343552 |mr=0045384 | year=1951 | journal=[[Mathematische Annalen]] | issn=0025-5831 | volume=124 | pages=77–86| hdl=21.11116/0000-0004-3A56-B | s2cid=122844063 | hdl-access=free }}
== बाहरी संबंध ==
* [http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Hirzebruch_surfaces Manifold Atlas]
*https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/alggeom-2002-c10.pdf
*https://mathoverflow.net/q/122952

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