हिरज़ेब्रुच सतह

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गणित में, हिरज़ेब्रुच सतह प्रक्षेप्य रेखा के ऊपर एक निर्णयिक सतह होती है। इनका अध्ययन फ्रेडरिक हिरज़ेब्रुच (1951) द्वारा किया गया था।

परिभाषा

हिरज़ेब्रुच सतह -बंडल है, जिसे प्रोजेक्टिव बंडल कहा जाता है, जो शीफ़ से जुड़े से अधिक है

यहां नोटेशन का अर्थ है: सेरे ट्विस्ट शीफ की n-वें टेंसर शक्ति है , संबंधित कार्टियर विभाजक एक बिंदु के साथ उलटा शीफ या लाइन बंडल सतह P1 × P1 के लिए समरूपी है, और एक बिंदु पर उड़ाए गए P2 के लिए समरूपी है, इसलिए न्यूनतम नहीं है।

जीआईटी भागफल

हिरज़ेब्रुच सतह के निर्माण की एक विधि जीआईटी भागफल का उपयोग करना है[1]: 21 

जहां की क्रिया दी गई है
इस क्रिया की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है कि पहले दो कारकों पर की क्रिया को परिभाषित करने वाले पर की क्रिया से आती है, और दूसरी क्रिया पर लाइन बंडलों के प्रत्यक्ष योग के निर्माण और उनके प्रक्षेपीकरण का एक संयोजन है। प्रत्यक्ष योग के लिए इसे भागफल विविधता द्वारा दिया जा सकता है[1]: 24 
जहां की क्रिया दी गई है
फिर, प्रक्षेपीकरण एक अन्य -एक्शन  द्वारा एक तुल्यता वर्ग भेजकर दिया जाता है।[1]: 22 
इन दोनों क्रियाओं को मिलाने से मूल भागफल ऊपर आ जाता है।

संक्रमण मानचित्र

इस -बंडल को बनाने का एक विधि ट्रांज़िशन फलन का उपयोग करना है। चूँकि एफ़िन सदिश बंडल आवश्यक रूप से सामान्य हैं, द्वारा परिभाषित के चार्ट पर बंडल का स्थानीय मॉडल है

फिर, संक्रमण मानचित्र, के संक्रमण मानचित्रों से प्रेरित होकर मानचित्र देते हैं
भेजना
जहाँ एफ़िन समन्वय फलन प्रारंभ है [2]

गुण

प्रक्षेप्य रैंक 2 बंडल P1 के ऊपर

ध्यान दें कि ग्रोथेंडिक के प्रमेय के अनुसार, किसी भी सदिश बंडल के लिए पर संख्याएं हैं जैसे कि

चूंकि प्रक्षेप्य बंडल को एक लाइन बंडल द्वारा टेंसरिंग के तहत अपरिवर्तनीय है,[3] से जुड़ी निर्णयिक सतह हिरज़ेब्रुक सतह है क्योंकि इस बंडल को द्वारा टेंसर किया जा सकता है।

हिरज़ेब्रुच सतहों की समरूपताएँ

विशेष रूप से, उपरोक्त अवलोकन बीच में एक समरूपता देता है और चूँकि समरूपता सदिश बंडल है

संबंधित सममित बीजगणित का विश्लेषण

याद रखें कि प्रोजेक्टिव बंडलों का निर्माण सापेक्ष परियोजना का उपयोग करके किया जा सकता है, जो कि बीजगणित के श्रेणीबद्ध शीफ से बनता है

पहले कुछ सममित मॉड्यूल विशेष हैं क्योंकि इसमें एक गैर-सामान्य एंटी-सममित -मॉड्यूल है। इन अनेक को तालिका में संक्षेपित किया गया है
के लिए सममित शीव्स दिए गए हैं

प्रतिच्छेदन सिद्धांत

n > 0 के लिए हिरज़ेब्रुक सतहों पर एक विशेष तर्कसंगत वक्र C होता है: सतह O(−n) का प्रक्षेप्य बंडल है और वक्र C शून्य खंड है। इस वक्र में स्व-प्रतिच्छेदन संख्या n है, और यह ऋणात्मक स्व-प्रतिच्छेदन संख्या वाला एकमात्र अपरिवर्तनीय वक्र है। शून्य स्व-प्रतिच्छेदन संख्या वाले एकमात्र अघुलनशील वक्र हिरज़ेब्रुक सतह के फाइबर हैं (P1 पर फाइबर बंडल के रूप में माना जाता है)। पिकार्ड समूह वक्र सी और फाइबर में से एक द्वारा उत्पन्न होता है, और इन जनरेटर में प्रतिच्छेदन आव्यूह होता है

इसलिए द्विरेखीय रूप दो आयामी एक-मॉड्यूलर है, और यह सम या विषम है, यह इस पर निर्भर करता है कि n सम है या विषम हिरज़ेब्रुक सतह Σn (n > 1)को विशेष वक्र C पर एक बिंदु पर उड़ाया जाता है, यह Σn+1 के समरूपी है जो विशेष वक्र पर नहीं एक बिंदु पर उड़ाया जाता है।

यह भी देखें

  • प्रक्षेप्य बंडल

संदर्भ

  1. 1.0 1.1 1.2 Manetti, Marco (2005-07-14). "जटिल मैनिफोल्ड्स की विकृतियों पर व्याख्यान". arXiv:math/0507286.
  2. Gathmann, Andreas. "बीजगणितीय ज्यामिति" (PDF). Fachbereich Mathematik - TU Kaiserslautern.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
  3. "Section 27.20 (02NB): Twisting by invertible sheaves and relative Proj—The Stacks project". stacks.math.columbia.edu. Retrieved 2020-05-23.

बाहरी संबंध