सरल लाय समूह: Difference between revisions

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{{About|the Killing-Cartan classification|a smaller list of groups that commonly occur in [[theoretical physics]]|Table of Lie groups|groups of dimension at most 3|Bianchi classification}}
''यह लेख किलिंग-कार्टन वर्गीकरण के बारे में है। सामान्य रूप से सैद्धांतिक भौतिकी में पाए जाने वाले समूहों की एक छोटी सूची के लिए, लाइ समूहों की तालिका देखें। अधिक से अधिक 3 आयामों के समूहों के लिए, बियांची वर्गीकरण देखें।''{{Lie groups|Simple}}
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{{Lie groups|Simple}}
गणित में, एक साधारण लाइ समूह एक [[ जुड़ा हुआ स्थान ]] [[गैर-अबेलियन समूह]]|नॉन-एबेलियन [[झूठ समूह]] ''जी'' है, जिसमें गैर-तुच्छ जुड़े [[सामान्य उपसमूह]] नहीं होते हैं। सरल लाई समूहों की सूची का उपयोग सरल लाई बीजगणित और रिमेंनियन सममित रिक्त स्थान की सूची को पढ़ने के लिए किया जा सकता है।


वास्तविक संख्याओं के क्रमविनिमेय लाई समूह के साथ, <math>\mathbb{R}</math>, और वह इकाई-परिमाण जटिल संख्या, सर्कल समूह | यू (1) (यूनिट सर्कल), सरल झूठ समूह परमाणु ब्लॉक देते हैं जो [[समूह विस्तार]] के संचालन के माध्यम से सभी (परिमित-आयामी) जुड़े हुए समूहों को बनाते हैं। कई आम तौर पर सामना किए जाने वाले झूठ समूह या तो सरल होते हैं या सरल होने के लिए 'करीब' होते हैं: उदाहरण के लिए, 1 के बराबर निर्धारक के साथ n मैट्रिक्स का तथाकथित [[विशेष रैखिक समूह]] SL(n) सभी n > 1 के लिए सरल है।


सरल झूठ समूहों का पहला वर्गीकरण [[ विल्हेम हत्या ]] द्वारा किया गया था, और यह कार्य बाद में एली कार्टन द्वारा सिद्ध किया गया था। अंतिम वर्गीकरण को अक्सर किलिंग-कार्टन वर्गीकरण के रूप में संदर्भित किया जाता है।
गणित में, '''साधारण लाइ समूह''' जुड़ा हुआ गैर-एबेलियन लाइ समूह G है, जिसमें गैर-साधारण जुड़े सामान्य उपसमूह नहीं होते हैं। सामान्य लाई समूहों की सूची का उपयोग सामान्य लाई बीजगणित और रिमेंनियन सममित समष्टि की सूची को पढ़ने के लिए किया जा सकता है।
 
वास्तविक संख्याओं के क्रमविनिमेय लाई समूह के साथ, <math>\mathbb{R}</math>, और इकाई-परिमाण जटिल संख्याओं का, U(1) (इकाई वृत्त), सामान्य लाइ समूह परमाणु ब्लॉक देते हैं जो [[समूह विस्तार]] के संक्रिया के माध्यम से सभी (परिमित-आयामी) जुड़े हुए समूहों को बनाते हैं। कई सामान्य रूप से सामना किए जाने वाले लाइ समूह या तो सामान्य होते हैं या सामान्य होने के लिए 'संवृत' होते हैं: उदाहरण के लिए, 1 के बराबर निर्धारक के साथ n मैट्रिक्स (आव्यूह) का तथाकथित [[विशेष रैखिक समूह]] SL(n) सभी n > 1 के लिए सामान्य है।
 
सामान्य लाइ समूहों का पहला वर्गीकरण [[ विल्हेम हत्या |विल्हेम किलिंग]] द्वारा किया गया था, और यह कार्य बाद में एली कार्टन द्वारा सिद्ध किया गया था। अंतिम वर्गीकरण को प्रायः किलिंग-कार्टन वर्गीकरण के रूप में संदर्भित किया जाता है।


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==
दुर्भाग्य से, एक साधारण झूठ समूह की सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत परिभाषा नहीं है। विशेष रूप से, इसे हमेशा झूठ समूह के रूप में परिभाषित नहीं किया जाता है जो कि सार समूह के रूप में सरल समूह है। लेखक इस बात पर भिन्न हैं कि क्या एक साधारण झूठ समूह को जोड़ा जाना है, या क्या इसे एक गैर-तुच्छ केंद्र की अनुमति है, या क्या <math>\mathbb{R}</math> एक साधारण झूठ समूह है।
दुर्भाग्य से, साधारण लाइ समूह की सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत परिभाषा नहीं है। विशेष रूप से, इसे सदैव लाइ समूह के रूप में परिभाषित नहीं किया जाता है जो कि अमूर्त समूह के रूप में सामान्य समूह है। लेखक इस बात पर भिन्न हैं कि क्या एक साधारण लाइ समूह को जोड़ा जाना है, या क्या इसे एक गैर-साधारण केंद्र की स्वीकृति है, या क्या <math>\mathbb{R}</math> एक साधारण लाइ समूह है।


सबसे आम परिभाषा यह है कि एक झूठ समूह सरल है अगर यह जुड़ा हुआ है, गैर-अबेलियन है, और प्रत्येक बंद जुड़ा हुआ सामान्य उपसमूह या तो पहचान या संपूर्ण समूह है। विशेष रूप से, साधारण समूहों को गैर-तुच्छ केंद्र रखने की अनुमति है, लेकिन <math>\mathbb{R}</math> सरल नहीं है।
सबसे सामान्य परिभाषा यह है कि एक लाइ समूह सामान्य है यदि यह जुड़ा हुआ है, गैर-एबेलियन है, और प्रत्येक संवृत जुड़ा हुआ सामान्य उपसमूह या तो पहचान या संपूर्ण समूह है। विशेष रूप से, साधारण समूहों को गैर-साधारण केंद्र रखने की स्वीकृति है, लेकिन <math>\mathbb{R}</math> सामान्य नहीं है।


इस आलेख में तुच्छ केंद्र के साथ जुड़े सरल झूठ समूह सूचीबद्ध हैं। एक बार जब ये ज्ञात हो जाते हैं, तो गैर-तुच्छ केंद्र वाले लोगों को निम्नानुसार सूचीबद्ध करना आसान हो जाता है। तुच्छ केंद्र के साथ किसी भी सरल झूठ समूह में एक कवरिंग स्पेस # यूनिवर्सल कवर होता है, जिसका केंद्र सरल झूठ समूह का [[मौलिक समूह]] होता है। केंद्र के एक उपसमूह द्वारा इस सार्वभौमिक आवरण के भागफल के रूप में गैर-तुच्छ केंद्र वाले संबंधित सरल झूठ समूहों को प्राप्त किया जा सकता है।
इस आलेख में साधारण केंद्र के साथ जुड़े सामान्य लाइ समूह सूचीबद्ध हैं। एक बार जब ये ज्ञात हो जाते हैं, तो गैर-साधारण केंद्र वाले लोगों को निम्नानुसार सूचीबद्ध करना आसान हो जाता है। साधारण केंद्र के साथ किसी भी सामान्य लाइ समूह में एक सार्वभौमिक अंतर्गत होता है, जिसका केंद्र सामान्य लाइ समूह का [[मौलिक समूह]] होता है। केंद्र के एक उपसमूह द्वारा इस सार्वभौमिक अंतर्गत के भागफल के रूप में गैर-साधारण केंद्र वाले संबंधित सामान्य लाइ समूहों को प्राप्त किया जा सकता है।


=== विकल्प ===
=== विकल्प ===
एक साधारण लाई समूह की समतुल्य परिभाषा लाई पत्राचार से होती है: एक जुड़ा हुआ लाई समूह सरल है यदि इसका लाई बीजगणित सरल लाई बीजगणित है। एक महत्वपूर्ण तकनीकी बिंदु यह है कि एक साधारण झूठ समूह में असतत सामान्य उपसमूह हो सकते हैं। इस कारण से, एक साधारण लाई समूह की परिभाषा एक लाई समूह की परिभाषा के बराबर नहीं है जो कि साधारण समूह है।
साधारण लाई समूह की समतुल्य परिभाषा लाई समानता से होती है: जुड़ा हुआ लाई समूह सामान्य है यदि इसका लाई बीजगणित सामान्य लाई बीजगणित है। एक महत्वपूर्ण तकनीकी बिंदु यह है कि एक साधारण लाइ समूह में असतत सामान्य उपसमूह हो सकते हैं। इस कारण से, साधारण लाई समूह की परिभाषा एक लाई समूह की परिभाषा के बराबर नहीं है जो कि साधारण समूह है।
 
सामान्य लाइ समूहों में कई [[शास्त्रीय झूठ समूह|शास्त्रीय लाइ समूह]] सम्मिलित हैं, जो [[फेलिक्स क्लेन]] के [[एर्लांगेन कार्यक्रम]] के अर्थ में [[गोलाकार ज्यामिति]], [[प्रक्षेपी ज्यामिति]] और संबंधित ज्यामिति के लिए एक समूह-सैद्धांतिक आधार प्रदान करते हैं। साधारण लाई समूहों के वर्गीकरण के समय यह सामने आया कि वहाँ भी कई असाधारण संभावनाएँ सम्मिलित हैं जो किसी भी परिचित ज्यामिति के अनुरूप नहीं हैं जो किसी भी परिचित ज्यामिति से संबंधित नहीं हैं। ये असाधारण समूह गणित की अन्य उपखंडों के साथ-साथ समकालीन [[सैद्धांतिक भौतिकी]] में कई विशेष उदाहरणों और विन्यासों के लिए अधीन हैं।


सरल झूठ समूहों में कई [[शास्त्रीय झूठ समूह]] शामिल हैं, जो [[फेलिक्स क्लेन]] के [[एर्लांगेन कार्यक्रम]] के अर्थ में [[गोलाकार ज्यामिति]], [[प्रक्षेपी ज्यामिति]] और संबंधित ज्यामिति के लिए एक समूह-सैद्धांतिक आधार प्रदान करते हैं। यह सरल झूठ समूहों के सरल झूठ समूहों की सूची के दौरान उभरा है कि वहां कई [[असाधारण वस्तु]] संभावनाएं भी मौजूद हैं जो किसी भी परिचित ज्यामिति से संबंधित नहीं हैं। ये असाधारण समूह गणित की अन्य शाखाओं के साथ-साथ समकालीन [[सैद्धांतिक भौतिकी]] में कई विशेष उदाहरणों और विन्यासों के लिए जिम्मेदार हैं।
प्रति उदाहरण के रूप में, सामान्य रेखीय समूह न तो सामान्य है, न ही [[अर्ध-सरल झूठ समूह|अर्ध-सामान्य लाइ समूह]] हो। ऐसा इसलिए है क्योंकि पहचान के गुणक एक गैर-साधारण सामान्य उपसमूह बनाते हैं, इस प्रकार परिभाषा से बचते हैं। समतुल्य रूप से, संबंधित लाइ बीजगणित में एक किलिंग स्वरूप का रूप है, क्योंकि बीजगणित के शून्य तत्व के लिए पहचान मानचित्र के गुणक। इस प्रकार, संबंधित लाई बीजगणित भी न तो सामान्य है और न ही अर्धसरल है। एक अन्य प्रति-उदाहरण सम आयाम में [[विशेष ऑर्थोगोनल समूह|विशेष लंबकोणीय समूह]] हैं। इनमें मैट्रिक्स <math>-I</math> केंद्र में (समूह सिद्धांत) है, और यह तत्व पहचान तत्व से जुड़ा हुआ है, और इसलिए ये समूह परिभाषा से बचते हैं। ये दोनों [[रिडक्टिव ग्रुप|लघुकारक समूह]] हैं।
<!-- ==Simple complex Lie groups==
All (locally compact, connected) Lie groups are smooth [[manifolds]]. Mathematicians often study [[complex Lie group]]s, which are Lie groups with a [[Complex manifold|complex structure]] on the underlying manifold, which is required to be compatible with the group operations. A [[complex Lie group]] is called simple if it is connected as a topological space and its Lie algebra is simple as a [[complex Lie algebra]]. Note that the underlying Lie group may not be simple, although it will still be semisimple (see below). -->
एक प्रति उदाहरण के रूप में, सामान्य रेखीय समूह न तो सरल है, न ही [[अर्ध-सरल झूठ समूह]]। ऐसा इसलिए है क्योंकि पहचान के गुणक एक गैर-तुच्छ सामान्य उपसमूह बनाते हैं, इस प्रकार परिभाषा से बचते हैं। समतुल्य रूप से, संबंधित झूठ बीजगणित में एक पतित हत्या का रूप है, क्योंकि बीजगणित के शून्य तत्व के लिए पहचान मानचित्र के गुणक। इस प्रकार, संबंधित लाई बीजगणित भी न तो सरल है और न ही अर्धसरल। एक अन्य प्रति-उदाहरण सम आयाम में [[विशेष ऑर्थोगोनल समूह]] हैं। इनमें मैट्रिक्स है <math>-I</math> केंद्र में (समूह सिद्धांत), और यह तत्व पहचान तत्व से जुड़ा हुआ है, और इसलिए ये समूह परिभाषा से बचते हैं। ये दोनों [[रिडक्टिव ग्रुप]] हैं।


== संबंधित विचार ==
== संबंधित विचार ==


=== सरल झूठ बीजगणित ===
=== सामान्य लाइ बीजगणित ===
{{main|simple Lie algebra}}
{{main|सामान्य लाइ बीजगणित}}
लाई ग्रुप-लाई बीजगणित पत्राचार एक साधारण लाई बीजगणित है। यह ट्रिवियलिटी (गणित) केंद्र और 1 से अधिक आयाम के सरल झूठ बीजगणित के साथ जुड़े सरल झूठ समूहों के बीच एक-से-एक पत्राचार है।


सम्मिश्र संख्याओं पर अर्धसरल लाई बीजगणित को उनके [[डायनकिन आरेख]]ों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जो ABCDEFG प्रकार के होते हैं। यदि L एक वास्तविक सरल लाई बीजगणित है, तो इसकी जटिलता एक सरल जटिल लाई बीजगणित है, जब तक कि L पहले से ही एक लाई बीजगणित का जटिलीकरण न हो, जिस स्थिति में L का जटिलीकरण L की दो प्रतियों का एक उत्पाद है। यह समस्या को कम करता है वास्तविक सरल लाई बीजगणित को प्रत्येक जटिल सरल लाई बीजगणित के सभी [[वास्तविक रूप]]ों को खोजने के लिए वर्गीकृत करना (यानी, वास्तविक लाई बीजगणित जिसका जटिल जटिल लाई बीजगणित है)। हमेशा कम से कम 2 ऐसे रूप होते हैं: एक विभाजित रूप और एक कॉम्पैक्ट रूप, और आमतौर पर कुछ अन्य होते हैं। विभिन्न वास्तविक रूप जटिल लाई बीजगणित के अधिकतम 2 क्रम के ऑटोमोर्फिज़्म के वर्गों के अनुरूप हैं।
साधारण लाइ समूह का लाइ बीजगणित एक साधारण लाइ बीजगणित है। यह सामान्य केंद्र और 1 से अधिक आयाम के सरल लाइ बीजगणित के साथ जुड़े सरल लाई समूहों के बीच एक-से-एक समानता है।\\


=== सममित रिक्त स्थान ===
सम्मिश्र संख्याओं पर अर्धसरल लाई बीजगणित को उनके [[डायनकिन आरेख|डायनकिन आरेखो]] द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जो ABCDEFG प्रकार के होते हैं। यदि L एक वास्तविक सामान्य लाई बीजगणित है, तो इसकी जटिलता एक सामान्य सम्मिश्र लाई बीजगणित है, जब तक कि L पहले से ही एक लाई बीजगणित का जटिलीकरण न हो, जिस स्थिति में L का जटिलीकरण L की दो प्रतियों का एक उत्पाद है। यह समस्या को कम करता है वास्तविक सामान्य लाई बीजगणित को प्रत्येक सम्मिश्र सामान्य लाई बीजगणित के सभी [[वास्तविक रूप|वास्तविक रूपो]] को जांच करने के लिए वर्गीकृत करना (अर्थात, वास्तविक लाई बीजगणित जिसका सम्मिश्र सम्मिश्र लाई बीजगणित है)। सदैव कम से कम 2 ऐसे रूप होते हैं: विभाजित रूप और एक सुसंहत रूप, और सामान्य रूप से कुछ अन्य होते हैं। विभिन्न वास्तविक रूप सम्मिश्र लाई बीजगणित के अधिकतम 2 क्रम के स्वाकारिकता के वर्गों के अनुरूप हैं।
{{Main|Symmetric space#Classification of Riemannian symmetric spaces}}
सममित रिक्त स्थान निम्नानुसार वर्गीकृत किए गए हैं।


सबसे पहले, एक सममित स्थान का सार्वभौमिक आवरण अभी भी सममित है, इसलिए हम केवल जुड़े सममित स्थानों के मामले में कम कर सकते हैं। (उदाहरण के लिए, वास्तविक प्रक्षेपी तल का सार्वभौमिक आवरण एक गोला है।)
=== सममित समष्टि ===
{{Main|सममित समष्टि § रिमानियन सममित समष्टि का वर्गीकरण}}


दूसरा, सममित रिक्त स्थान का उत्पाद सममित है, इसलिए हम केवल अलघुकरणीय को आसानी से जुड़े लोगों को वर्गीकृत कर सकते हैं (जहाँ अलघुकरणीय का अर्थ है कि उन्हें छोटे सममित स्थानों के उत्पाद के रूप में नहीं लिखा जा सकता है)।
सममित समष्टि निम्नानुसार वर्गीकृत किए गए हैं।


अलघुकरणीय सरल रूप से जुड़े सममित स्थान वास्तविक रेखा हैं, और प्रत्येक गैर-कॉम्पैक्ट सरल लाई समूह जी के अनुरूप दो सममित स्थान हैं,
सबसे पहले, एक सममित समष्टि का सार्वभौमिक मे अंतर्गत अभी भी सममित है, इसलिए हम केवल जुड़े सममित स्थानों के स्थिति में कम कर सकते हैं। (उदाहरण के लिए, वास्तविक प्रक्षेपी तल का सार्वभौमिक मे अंतर्गत एक वृत्त है।)
एक कॉम्पैक्ट और एक नॉन-कॉम्पैक्ट। गैर-कॉम्पैक्ट एक अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह एच द्वारा जी के भागफल का एक आवरण है, और कॉम्पैक्ट एक भागफल का एक आवरण है
एक ही उपसमूह एच द्वारा जी का कॉम्पैक्ट रूप। कॉम्पैक्ट और गैर-कॉम्पैक्ट सममित रिक्त स्थान के बीच यह द्वंद्व गोलाकार और अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के बीच प्रसिद्ध द्वंद्व का एक सामान्यीकरण है।


=== हर्मिटियन सममित स्थान ===
दूसरा, सममित समष्टि का उत्पाद सममित है, इसलिए हम केवल अलघुकरणीय को आसानी से जुड़े पदों को वर्गीकृत कर सकते हैं (जहाँ अलघुकरणीय का अर्थ है कि उन्हें छोटे सममित स्थानों के उत्पाद के रूप में नहीं लिखा जा सकता है)।


संगत जटिल संरचना वाले सममित स्थान को हर्मिटियन कहा जाता है। कॉम्पैक्ट बस जुड़ा इरेड्यूसिबल हर्मिटियन सममित स्थान 4 अनंत परिवारों में आते हैं जिनमें 2 असाधारण परिवार बचे हैं, और प्रत्येक में एक गैर-कॉम्पैक्ट दोहरी है। इसके अलावा जटिल तल भी एक हर्मिटियन सममित स्थान है; यह अलघुकरणीय हर्मिटियन सममित स्थानों की पूरी सूची देता है।
अलघुकरणीय सामान्य रूप से जुड़े सममित समष्टि वास्तविक रेखा हैं, और प्रत्येक गैर-सुसंहत सामान्य लाई समूह जी के अनुरूप दो सममित समष्टि हैं, एक सुसंहत और एक नॉन-सुसंहत है। गैर-सुसंहत एक अधिकतम सुसंहत उपसमूह H द्वारा G के भागफल मे अंतर्गत है, और सुसंहत एक भागफल मे अंतर्गत है सुसंहत और गैर-सुसंहत के बीच यह द्वंद्व सममित समष्टि वृत्ताकार और अतिपरिवलयिक ज्यामिति के बीच प्रसिद्ध द्वैत का एक सामान्यीकरण है।


चार परिवार A III, B I और D I के प्रकार हैं {{nowrap|1=''p'' = 2}}, D III, और C I, और दो असाधारण जटिल आयाम 16 और 27 के प्रकार E III और E VII हैं।
=== हर्मिटियन सममित समष्टि ===
 
संगत सम्मिश्र संरचना वाले सममित समष्टि को हर्मिटियन कहा जाता है। सुसंहत से जुड़ा अलघुकरणीय हर्मिटियन सममित समष्टि 4 अनंत श्रेणी में आते हैं जिनमें 2 असाधारण वर्ग बचे हैं, और प्रत्येक में एक गैर-सुसंहत द्विक है। इसके अतिरिक्त सम्मिश्र तल भी एक हर्मिटियन सममित समष्टि है; यह अलघुकरणीय हर्मिटियन सममित समष्टि की पूरी सूची देता है।
 
चार वर्ग p = 2, D III और C I के लिए A III, B I और D I प्रकार हैं, और दो असाधारण प्रकार 16 और 27 के जटिल आयामों के प्रकार E III और E VII हैं।


=== अंकन ===
=== अंकन ===
<math> \mathbb {R, C, H, O} </math>वास्तविक संख्या, सम्मिश्र संख्या, चतुष्कोण और अष्टक के लिए खड़ा है।
<math> \mathbb {R, C, H, O} </math> वास्तविक संख्या, सम्मिश्र संख्या, चतुष्कोण, और अष्टक के लिए है।


ई जैसे प्रतीकों में<sub>6</sub><sup>-26</sup> असाधारण समूहों के लिए, एक्सपोनेंट -26 एक अपरिवर्तनीय सममित द्विरेखीय रूप का हस्ताक्षर है जो अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह पर नकारात्मक निश्चित है। यह अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह के आयाम से दो गुना कम समूह के आयाम के बराबर है।
असाधारण समूहों के लिए ''E''<sub>6</sub><sup>−26</sup> जैसे प्रतीकों में, घातांक -26 एक अपरिवर्तनीय सममित द्विरेखीय रूप का हस्ताक्षर है जो अधिकतम सुसंहत उपसमूह पर ऋणात्मक चर है। यह अधिकतम सुसंहत उपसमूह के आयाम से दो गुना कम समूह के आयाम के बराबर है।


नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध मौलिक समूह तुच्छ केंद्र के साथ साधारण समूह का मूलभूत समूह है।
नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध मौलिक समूह साधारण केंद्र के साथ साधारण समूह का मूलभूत समूह है। समान लाइ बीजगणित वाले अन्य सामान्य समूह इस मौलिक समूह के उपसमूहों के अनुरूप हैं (मापांक बाहरी स्वाकारिकता समूह की संक्रिया)।
समान झूठ बीजगणित वाले अन्य सरल समूह इस मौलिक समूह के उपसमूहों के अनुरूप हैं (मॉड्यूलो बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह की क्रिया)।


== पूर्ण वर्गीकरण ==
== पूर्ण वर्गीकरण ==
सरल झूठ समूह पूरी तरह से वर्गीकृत हैं। वर्गीकरण आमतौर पर कई चरणों में कहा जाता है, अर्थात्:
सामान्य लाइ समूह पूरी तरह से वर्गीकृत हैं। वर्गीकरण सामान्य रूप से कई चरणों में कहा जाता है, अर्थात्:
* सेमिसिंपल लाई बीजगणित#वर्गीकरण [[डायनकिन आरेख]]ों द्वारा जटिल संख्याओं पर सरल लाई बीजगणित का वर्गीकरण।
 
* सटेक आरेख प्रत्येक सरल जटिल लाई बीजगणित में कई [[वास्तविक रूप (झूठ सिद्धांत)]] होते हैं, जिन्हें इसके डायनकिन आरेख की अतिरिक्त सजावट द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जिसे इचिरो साटेक के बाद सटेक आरेख कहा जाता है।
* सरल जटिल लाई बीजगणित का वर्गीकरण डायनकिन आरेखों द्वारा जटिल संख्याओं पर सरल लाई बीजगणित का वर्गीकरण।
* प्रत्येक (वास्तविक या जटिल) सरल झूठ बीजगणित के लिए केंद्र रहित सरल झूठ समूहों का वर्गीकरण <math>\mathfrak{g}</math>, एक अनूठा केंद्रविहीन सरल झूठ समूह है <math>G</math> जिसका झूठ बीजगणित है <math>\mathfrak{g}</math> और जिसका तुच्छ केंद्र (समूह सिद्धांत) है।
 
* सरल झूठ बोलने वाले समूहों की सूची
* सरल वास्तविक लाई बीजगणित का वर्गीकरण प्रत्येक सरल जटिल लाई बीजगणित के कई वास्तविक रूप होते हैं, जिन्हें इसके डायनकिन आरेख की अतिरिक्त पद द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जिसे इचिरो सैटेक के बाद सैटेक रेखाकृति कहा जाता है।
कोई दिखा सकता है कि किसी भी झूठ समूह का मौलिक समूह असतत [[एबेलियन समूह]] है। एक (गैर-तुच्छ) उपसमूह दिया गया <math>K\subset \pi_1(G)</math> कुछ झूठ समूह के मौलिक समूह की <math>G</math>, कोई नया समूह बनाने के लिए रिक्त स्थान को कवर करने के सिद्धांत का उपयोग कर सकता है <math>\tilde{G}^K</math> साथ <math>K</math> इसके केंद्र में। अब कोई भी (वास्तविक या जटिल) झूठ समूह इस निर्माण को केंद्र रहित झूठ समूहों पर लागू करके प्राप्त किया जा सकता है। ध्यान दें कि इस तरह से प्राप्त वास्तविक झूठ समूह किसी भी जटिल समूह के वास्तविक रूप नहीं हो सकते हैं। इस तरह के वास्तविक समूह का एक बहुत ही महत्वपूर्ण उदाहरण [[मेटाप्लेक्टिक समूह]] है, जो अनंत-आयामी प्रतिनिधित्व सिद्धांत और भौतिकी में प्रकट होता है। जब कोई लेता है <math>K\subset \pi_1(G)</math> पूर्ण मौलिक समूह, परिणामी झूठ समूह <math>\tilde{G}^{K = \pi_1(G)}</math> केंद्रविहीन झूठ समूह का सार्वभौमिक आवरण है <math>G</math>, और बस जुड़ा हुआ है। विशेष रूप से, प्रत्येक (वास्तविक या जटिल) झूठ बीजगणित भी एक अद्वितीय जुड़ा हुआ और सरल रूप से जुड़ा हुआ अंतरिक्ष झूठ समूह से मेल खाता है <math>\tilde{G}</math> उस लाई बीजगणित के साथ, जिसे सरलता से जुड़ा लाई समूह कहा जाता है <math>\mathfrak{g}.</math>
 
* प्रत्येक (वास्तविक या सम्मिश्र) सामान्य लाइ बीजगणित के लिए केंद्र रहित सामान्य लाइ समूहों का वर्गीकरण <math>\mathfrak{g}</math>, एक अद्वितीय केंद्रविहीन सामान्य लाइ समूह <math>G</math> है जिसका लाइ बीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> है और जिसका साधारण केंद्र (समूह सिद्धांत) है।
* सामान्य लाइ समूहों की सूची
कोई दिखा सकता है कि किसी भी लाइ समूह का मौलिक समूह असतत [[एबेलियन समूह]] है। एक (गैर-साधारण) उपसमूह <math>K\subset \pi_1(G)</math> दिया गया, कुछ लाइ समूह के मौलिक समूह <math>G</math> की कोई नया समूह बनाने के लिए समष्टि को अंतर्निहित करने के सिद्धांत का उपयोग कर सकता है और <math>\tilde{G}^K</math> जिसके केंद्र मे <math>K</math> है। अब कोई भी (वास्तविक या सम्मिश्र) लाइ समूह इस निर्माण को केंद्र रहित लाइ समूहों पर प्रयुक्त करके प्राप्त किया जा सकता है। ध्यान दें कि इस तरह से प्राप्त वास्तविक लाइ समूह किसी भी सम्मिश्र समूह के वास्तविक रूप नहीं हो सकते हैं। इस तरह के वास्तविक समूह का एक बहुत ही महत्वपूर्ण उदाहरण [[मेटाप्लेक्टिक समूह]] है, जो अनंत-आयामी प्रतिनिधित्व सिद्धांत और भौतिकी में प्रकट होता है। जब कोई <math>K\subset \pi_1(G)</math> देता है, पूर्ण मौलिक समूह, <math>\tilde{G}^{K = \pi_1(G)}</math> परिणामी लाइ समूह केंद्रविहीन लाइ समूह का सार्वभौमिक के अंतर्गत <math>G</math> है और सिर्फ जुड़ा हुआ है। विशेष रूप से, प्रत्येक (वास्तविक या सम्मिश्र) लाइ बीजगणित भी एक अद्वितीय जुड़ा हुआ और सामान्य रूप से जुड़ा हुआ अंतरिक्ष लाइ समूह से अनुरूप <math>\tilde{G}</math> है, उस लाई बीजगणित के साथ, जिसे सरलता से जुड़ा लाई समूह <math>\mathfrak{g}</math> कहा जाता है।
 
 


=== सुसंहत लाइ समूह ===
{{Main|मूल प्रणाली}}


=== कॉम्पैक्ट झूठ समूह ===
प्रत्येक साधारण सम्मिश्र लाई बीजगणित का एक अद्वितीय वास्तविक रूप होता है जिसका संबंधित केंद्र रहित लाई समूह [[ कॉम्पैक्ट जगह |सुसंहत समष्टि]] होता है। यह पता चला है कि इन स्थितियों में सिर्फ जुड़ा हुआ समूह भी सुसंहत है। पीटर-वेइल प्रमेय के कारण सुसंहत लाइ समूहों के पास विशेष रूप से सुविधाजनक प्रतिनिधित्व सिद्धांत है। साधारण सम्मिश्र लाई बीजगणित की तरह, केंद्र रहित सुसंहत लाई समूहों को डायनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है (पहली बार विल्हेम किलिंग और एली कार्टन द्वारा वर्गीकृत)।
{{Main|root system}}
प्रत्येक साधारण जटिल लाई बीजगणित का एक अनूठा वास्तविक रूप होता है जिसका संबंधित केंद्र रहित लाई समूह [[ कॉम्पैक्ट जगह ]] होता है। यह पता चला है कि इन मामलों में बस जुड़ा हुआ समूह भी कॉम्पैक्ट है। पीटर-वेइल प्रमेय के कारण कॉम्पैक्ट लाइ समूहों के पास विशेष रूप से ट्रैक्टेबल प्रतिनिधित्व सिद्धांत है। साधारण जटिल लाई बीजगणित की तरह, केंद्र रहित कॉम्पैक्ट लाई समूहों को डायनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है (पहली बार विल्हेम किलिंग और एली कार्टन द्वारा वर्गीकृत)।


[[File:Finite_Dynkin_diagrams.svg|डायनकिन डायग्राम|480px]]डाइनकिन आरेखों की अनंत (ए, बी, सी, डी) श्रृंखला के लिए, प्रत्येक डायकिन आरेख से जुड़े एक कनेक्टेड कॉम्पैक्ट लाई समूह को स्पष्ट रूप से एक मैट्रिक्स समूह के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसमें संबंधित केंद्र रहित कॉम्पैक्ट लाई समूह को एक उपसमूह द्वारा भागफल के रूप में वर्णित किया गया है। अदिश आव्यूहों की। ए और सी प्रकार के लोगों के लिए हम मैट्रिक्स समूह के रूप में संबंधित बस जुड़े हुए समूह के स्पष्ट मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व पा सकते हैं।
[[File:Finite_Dynkin_diagrams.svg|डायनकिन डायग्राम|480px]]
 
डाइनकिन आरेखों की अनंत (A, B, C, D) श्रृंखला के लिए, प्रत्येक डायकिन आरेख से जुड़े एक संबंधित सुसंहत लाई समूह को स्पष्ट रूप से एक मैट्रिक्स समूह के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसमें संबंधित केंद्र रहित सुसंहत लाई समूह को एक उपसमूह द्वारा भागफल के रूप में वर्णित किया गया है। A और C प्रकार के लिए हम मैट्रिक्स (आव्यूह) समूह के रूप में संबंधित बस जुड़े हुए समूह के स्पष्ट मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व पा सकते हैं।


== वर्गीकरण का अवलोकन ==
== वर्गीकरण का अवलोकन ==
ए<sub>''r''</sub> इसके संबद्ध बस जुड़े हुए कॉम्पैक्ट समूह के रूप में [[विशेष एकात्मक समूह]], विशेष एकात्मक समूह | एसयू (आर + 1) और इसके संबद्ध केंद्रहीन कॉम्पैक्ट समूह के रूप में प्रोजेक्टिव एकात्मक समूह प्रोजेक्टिव एकात्मक समूह | पीयू (आर + 1) है।
A<sub>''r''</sub> के पास इसके संबद्ध बस जुड़े हुए सुसंहत समूह के रूप में विशेष एकात्मक समूह, SU(r + 1) और इसके संबद्ध केंद्रहीन सुसंहत समूह के रूप में प्रक्षेपी एकात्मक समूह PU(r + 1) है।


बी<sub>''r''</sub> इसके संबद्ध केंद्रहीन कॉम्पैक्ट समूहों के रूप में विषम विशेष ऑर्थोगोनल समूह, विशेष ऑर्थोगोनल समूह | SO (2r + 1) है। हालांकि यह समूह केवल जुड़ा नहीं है: इसका सार्वभौमिक (डबल) आवरण [[स्पिन समूह]] है।
B<sub>''r''</sub>के पास इसके संबंधित केंद्रहीन सुसंहत समूह विषम विशेष लंबकोणीय समूह SO(2r + 1) हैं। हालांकि यह समूह केवल जुड़ा नहीं है: इसका सार्वभौमिक (द्विक) आवरण चक्रण समूह है।


सी<sub>''r''</sub> इसके संबद्ध सरल रूप से जुड़े समूह के रूप में [[सहानुभूतिपूर्ण समूह]] का समूह है, सहानुभूतिपूर्ण समूह | Sp(r) और इसके संबद्ध केंद्रहीन समूह के रूप में झूठा समूह PSp(r) = Sp(r)/{I, −I} प्रक्षेपी एकात्मक सहानुभूति मैट्रिक्स . सहानुभूति समूहों में मेटाप्लेक्टिक समूह द्वारा दोहरा आवरण होता है।
C<sub>''r''</sub> के पास इसके संबद्ध सरलता से जुड़े समूह के रूप में एकात्मक सममिती मेट्रिसेस का समूह है, Sp(r) और इसके संबद्ध केंद्रहीन समूह के रूप में, प्रक्षेपी एकात्मक सममिती मैट्रिक्स के लाइ समूह PSp(r) = Sp(r)/{I, −I} है। सममिती समूहों में मेटाप्लेक्टिक समूह द्वारा द्विक आवरण होता है।


डी<sub>''r''</sub> इसके संबद्ध कॉम्पैक्ट समूह के रूप में विशेष ऑर्थोगोनल समूह भी हैं, विशेष ऑर्थोगोनल समूह|SO(2r) और इसके संबद्ध केंद्र रहित कॉम्पैक्ट समूह के रूप में प्रोजेक्टिव विशेष ऑर्थोगोनल समूह PSO(2r) = SO(2r)/{I, −I} है। बी श्रृंखला के साथ, SO(2r) केवल जुड़ा नहीं है; इसका सार्वभौमिक आवरण फिर से स्पिन समूह है, लेकिन बाद में फिर से एक केंद्र है (cf. इसका लेख)।
D<sub>''r''</sub> इसके संबद्ध सुसंहत समूह के रूप में विशेष लंबकोणीय समूह भी हैं, विशेष लंबकोणीय समूह SO(2r) और इसके संबद्ध केंद्र रहित सुसंहत समूह के रूप में प्रक्षेपी विशेष लंबकोणीय समूह PSO(2r) = SO(2r)/{I, −I} है। B श्रृंखला के साथ, SO(2r) केवल जुड़ा नहीं है; इसका सार्वभौमिक अंतर्गत फिर से चक्रण समूह है, लेकिन बाद में फिर से एक केंद्र है (cf. इसका लेख)।


डायग्राम डी<sub>2</sub> दो अलग-अलग नोड्स हैं, ए के समान<sub>1</sub> ∪ ए<sub>1</sub>, और यह संयोग चतुर्धातुक गुणन द्वारा दिए गए SU(2) × SU(2) से SO(4) तक कवरिंग मैप होमोमोर्फिज्म से मेल खाता है; 4डी स्पेस में रोटेशन के रूप में क्वाटरनियंस और स्थानिक रोटेशन #यूनिट [[चार का समुदाय]] के जोड़े देखें। अतः SO(4) एक साधारण समूह नहीं है। साथ ही आरेख डी<sub>3</sub> ए के समान है<sub>3</sub>एसयू (4) से एसओ (6) तक कवरिंग मैप होमोमोर्फिज्म के अनुरूप।
आरेख D<sub>2</sub> दो अलग-अलग नोड्स हैं, जो A<sub>1</sub> ∪ A<sub>1</sub> के समान हैं, और यह संयोग चतुर्धातुक गुणन द्वारा दिए गए SU(2) × SU(2) से SO(4) तक आच्छादित प्रतिचित्रण समरूपता से अनुरूप है; चतुष्कोण और स्थानिक घूर्णन देखें। अतः SO(4) एक साधारण समूह नहीं है। इसके अतिरिक्त, आरेख D3, A3 के समान है, जो SU(4) से SO(6) तक आच्छादन प्रतिचित्रण समरूपता के अनुरूप है।


चार परिवारों के अलावा ए<sub>''i''</sub>, बी<sub>''i''</sub>, सी<sub>''i''</sub>, और डी<sub>''i''</sub> ऊपर, पाँच तथाकथित असाधारण डाइकिन डायग्राम G2 (गणित)|G हैं<sub>2</sub>, F4 (गणित)|F<sub>4</sub>, ई6 (गणित)|ई<sub>6</sub>, ई7 (गणित)|ई<sub>7</sub>, और E8 (गणित)|E<sub>8</sub>; इन असाधारण डायकिन आरेखों में भी बस जुड़े हुए और केंद्र रहित कॉम्पैक्ट समूह जुड़े हुए हैं। हालांकि, असाधारण परिवारों से जुड़े समूहों का वर्णन करना अनंत परिवारों से जुड़े लोगों की तुलना में अधिक कठिन है, मुख्यतः क्योंकि उनके विवरण असाधारण वस्तुओं का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, जी से जुड़ा समूह<sub>2</sub> ऑक्टोनियंस का ऑटोमोर्फिज्म समूह है, और एफ से जुड़ा समूह है<sub>4</sub> एक निश्चित [[अल्बर्ट बीजगणित]] का ऑटोमोर्फिज्म समूह है।
उपरोक्त चार वर्गों ''A<sub>i</sub>'', ''B<sub>i</sub>'', ''C<sub>i</sub>'', और ''D<sub>i</sub>'' के अतिरिक्त, पाँच तथाकथित असाधारण डाइकिन आरेख G<sub>2</sub>, F<sub>4</sub>, E<sub>6</sub>, E<sub>7</sub>,, और E<sub>8</sub> हैं; इन असाधारण डायकिन आरेखों में भी सिर्फ जुड़े हुए और केंद्र रहित सुसंहत समूह जुड़े हुए हैं। हालांकि, असाधारण वर्गों से जुड़े समूहों का वर्णन करना अनंत वर्गों से जुड़े लोगों की तुलना में अधिक कठिन है, मुख्यतः क्योंकि उनके विवरण असाधारण वस्तुओं का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, G<sub>2</sub> से जुड़ा समूह अष्टक का स्वाकारिकता समूह है, और F<sub>4</sub> से जुड़ा समूह एक निश्चित अल्बर्ट बीजगणित का स्वाकारिकता समूह है।


E7 1/2|E भी देखें<sub>{{frac|7|1|2}}</sub>.
E<sub>7+1⁄2</sub>. भी देखें।


== सूची ==
== सूची ==
Line 92: Line 97:
=== एबेलियन ===
=== एबेलियन ===


{{See also|Abelian group}}
{{See also|एबेलियन समूह}}


{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
|-
|-
! width=100|
! width=100|
! Dimension
! आयाम
! Outer automorphism group
! बाह्य स्वाकारिकता समूह
! Dimension of symmetric space
! सममित समष्‍टि का आयाम
! Symmetric space
! सममित समष्‍टि
! Remarks
! टिप्पणियां
|-class="sorttop"
|-class="sorttop"
! <math>\mathbb{R}</math> (Abelian)
! <math>\mathbb{R}</math> (एबेलियन)
| 1
| 1
| <math>\mathbb{R}^*</math>
| <math>\mathbb{R}^*</math>
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====टिप्पणियाँ====
====टिप्पणियाँ====
:{{Note|Note†|†}} The group <math>\mathbb{R}</math> is not 'simple' as an abstract group, and according to most (but not all) definitions this is not a simple Lie group. Further, most authors do not count its Lie algebra as a simple Lie algebra. It is listed here so that the list of "irreducible simply connected symmetric spaces" is complete. Note that <math>\mathbb{R}</math> is the only such non-compact symmetric space without a compact dual (although it has a compact quotient ''S''<sup>1</sup>).
:{{Note|Note†|†}} <math>\mathbb{R}</math> अमूर्त समूह के रूप में 'साधारण' नहीं है, और अधिकांश (लेकिन सभी नहीं) परिभाषाओं के अनुसार यह एक साधारण लाइ समूह नहीं है। इसके अतिरिक्त, अधिकांश लेखक इसके लाइ बीजगणित को एक साधारण लाइ बीजगणित के रूप में नहीं मानते हैं। इसे यहाँ सूचीबद्ध किया गया है ताकि "अलघुकरणीय केवल सममित समष्टि" की सूची पूरी हो जाए। ध्यान दें कि <math>\mathbb{R}</math> सुसंहत द्विक के बिना एकमात्र ऐसा गैर-सुसंहत सममित समष्टि है (हालांकि इसमें एक सुसंहत भागफल ''S''<sup>1</sup> है।)




=== कॉम्पैक्ट ===
=== सुसंहत ===


{{See also|Compact group}}
{{See also|कॉम्पैक्ट समूह}}


{| class="wikitable sortable"
{| class="wikitable sortable"
|-
|-
! width=100|
! width=100|
! Dimension
! आयाम
! Real rank
! वास्तविक पद
! Fundamental<br>group
! मौलिक समूह
! class="unsortable" | Outer automorphism<br>group
! class="unsortable" | बाह्य स्वाकारिकता समूह
! class="unsortable" | Other names
! class="unsortable" | अन्य नाम
! class="unsortable" | Remarks
! class="unsortable" | टिप्पणियां
|-
|-
! ''A''<sub>''n''</sub> ({{nowrap|''n'' ≥ 1}}) compact
! ''A''<sub>''n''</sub> ({{nowrap|''n'' ≥ 1}}) सुसंहत
| ''n''(''n'' + 2)
| ''n''(''n'' + 2)
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| चक्रीय, क्रम {{nowrap|''n'' + 1}}
| 1 if {{nowrap|1=''n'' = 1}}, 2 if {{nowrap|''n'' > 1}}.
| 1 यदि {{nowrap|1=''n'' = 1}}, 2 यदि
| '''[[projective special unitary group]]'''<br>{{nowrap|PSU(''n'' + 1)}}
{{nowrap|''n'' > 1}}
| ''A''<sub>1</sub> is the same as ''B''<sub>1</sub> and ''C''<sub>1</sub>
| अनुमानित विशेष एकात्मक समूह {{nowrap|PSU(''n'' + 1)}}
| ''A''<sub>1,</sub> ''B''<sub>1</sub> और ''C''<sub>1</sub> के समान है
|-
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| 2
| 1
| 1
| '''[[special orthogonal group]]'''<br>SO<sub>2''n''+1</sub>(''R'')
| '''[[special orthogonal group|विशेष लंबकोणीय समूह]]'''<br>SO<sub>2''n''+1</sub>(''R'')
| ''B''<sub>1</sub> is the same as ''A''<sub>1</sub> and ''C''<sub>1</sub>.<br>''B''<sub>2</sub> is the same as ''C''<sub>2</sub>.
| ''B''<sub>1,</sub> ''A''<sub>1</sub> और ''C''<sub>1</sub>के समान है।
''B''<sub>2,</sub> ''C''<sub>2</sub> के समान है।
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| ''n''(2''n'' + 1)
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| 2
| 2
| 1
| 1
| '''projective [[compact symplectic group]]'''<br>PSp(''n''), PSp(2''n''), PUSp(''n''), PUSp(2''n'')
| '''प्रक्षेपी [[compact symplectic group|सुसंहत सममिती समूह]]''' <br>PSp(''n''), PSp(2''n''), PUSp(''n''), PUSp(2''n'')
| Hermitian. Complex structures of ''H''<sup>''n''</sup>. Copies of complex projective space in quaternionic projective space.
| हर्मिटियन ''H''<sup>''n''</sup> की सम्मिश्र संरचनाएँ है, चतुष्कोणीय प्रक्षेपी समष्टि में सम्मिश्र प्रक्षेपी समष्टि की प्रतिरूप
|-
|-
! ''D''<sub>''n''</sub> ({{nowrap|''n'' ≥ 4}}) compact
! ''D''<sub>''n''</sub> ({{nowrap|''n'' ≥ 4}}) सुसंहत
| ''n''(2''n'' &minus; 1)
| ''n''(2''n'' &minus; 1)
| 0
| 0
| Order 4 (cyclic when ''n'' is odd).
| क्रम 4 (चक्रीय जब n विषम है)।
| 2 if {{nowrap|''n'' > 4}}, ''S''<sub>3</sub> if {{nowrap|1=''n'' = 4}}
| 2 यदि {{nowrap|''n'' > 4}}, ''S''<sub>3</sub> यदि
|style="white-space:nowrap"| '''projective special [[orthogonal group]]'''<br>PSO<sub>2''n''</sub>(''R'')
{{nowrap|1=''n'' = 4}}
| ''D''<sub>3</sub> is the same as ''A''<sub>3</sub>, ''D''<sub>2</sub> is the same as ''A''<sub>1</sub><sup>2</sup>, and ''D''<sub>1</sub> is abelian.
|style="white-space:nowrap"| '''प्रक्षेपी विशेष लंबकोणीय समूह'''<br>PSO<sub>2''n''</sub>(''R'')
| ''D''<sub>3</sub> के समान ''A''<sub>3</sub>, ''D''<sub>2</sub> के समान ''A''<sub>1</sub><sup>2</sup>, और ''D''<sub>1</sub> एबेलियन है।
|-
|-
! ''E''<sub>6</sub><sup>&minus;78</sup> compact
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| 78
| 78
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| 0
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|  
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| 133
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|  
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| 248
| 248
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| 52
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| 14
| 0
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| 1
| 1
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|  
| This is the automorphism group of the Cayley algebra.
| यह केली बीजगणित का स्वाकारिकता समूह है।
|}
|}


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=== विभाजन ===
=== विभाजन ===


{{See also|Split Lie algebra}}
{{See also|विभाजन लाइ बीजगणित}}


{| class="wikitable sortable"
{| class="wikitable sortable"
|-
|-
! width=100|
! width=100|
! Dimension
! आयाम
! Real rank
! वास्तविक पद
! Maximal compact<br>subgroup
! अधिकतम सुसंहत<br>उपसमूह
! Fundamental<br>group
! मौलिक समूह
! class="unsortable" | Outer automorphism<br>group
! class="unsortable" | बाह्य स्वाकारिकता समूह
! class="unsortable" | Other names
! class="unsortable" | अन्य नाम
! Dimension of<br>symmetric space
! <br>सममित समष्टि का आयाम
! class="unsortable" | Compact<br>symmetric space
! class="unsortable" | सुसंहत
! class="unsortable" | Non-Compact<br>symmetric space
सममित समष्टि
! class="unsortable" | Remarks
! class="unsortable" | गैर-सुसंहत<br>सममित समष्टि
! class="unsortable" | टिप्पणियां
|-
|-
! ''A''<sub>''n''</sub> I (''n'' ≥ 1) split
! ''A''<sub>''n''</sub> I (''n'' ≥ 1) विभाजित
| ''n''(''n'' + 2)
| ''n''(''n'' + 2)
| ''n''
| ''n''
| ''D''<sub>''n''/2</sub> or ''B''<sub>(''n''&minus;1)/2</sub>
| ''D''<sub>''n''/2</sub> or ''B''<sub>(''n''&minus;1)/2</sub>
|style="white-space:nowrap"| Infinite cyclic if ''n'' = 1<br>2 if ''n'' ≥ 2
|style="white-space:nowrap"| अनंत चक्रीय यदि ''n'' = 1<br>2 यदि
''n'' ≥ 2
| 1 if ''n'' = 1<br>2 if ''n'' ≥ 2.
| 1 if ''n'' = 1<br>2 if ''n'' ≥ 2.
|style="white-space:nowrap"| '''projective [[special linear group]]'''<br>PSL<sub>''n''+1</sub>(R)
|style="white-space:nowrap"| '''प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूह'''<br>PSL<sub>''n''+1</sub>(R)
| ''n''(''n'' + 3)/2
| ''n''(''n'' + 3)/2
| Real structures on ''C''<sup>''n''+1</sup> or set of RP<sup>''n''</sup> in CP<sup>''n''</sup>. Hermitian if {{nowrap|1=''n'' = 1}}, in which case it is the 2-sphere.
| ''C''<sup>''n''+1</sup> मे RP<sup>''n''</sup> या CP<sup>''n''</sup> के समुच्चय पर वास्तविक संरचनाएँ।
| Euclidean structures on ''R''<sup>''n''+1</sup>. Hermitian if {{nowrap|1=''n'' = 1}}, when it is the upper half plane or unit complex disc.
हर्मिटियन यदि {{nowrap|1=''n'' = 1}} है, तो इस स्थिति मे 2-वृत्त है।
| ''R''<sup>''n''+1</sup> पर यूक्लिडियन संरचनाएं हर्मिटियन यदि n = 1, जब यह ऊपरी आधा तल या इकाई सम्मिश्र डिस्क है।
|  
|  
|-
|-
! ''B''<sub>''n''</sub> I (''n'' ≥ 2) split
! ''B''<sub>''n''</sub> I (''n'' ≥ 2) विभाजित
| ''n''(2''n'' + 1)
| ''n''(2''n'' + 1)
| ''n''
| ''n''
| SO(''n'')SO(''n''+1)
| SO(''n'')SO(''n''+1)
| Non-cyclic, order 4
| गैर चक्रीय, क्रम 4
| 1
| 1
| identity component of '''[[indefinite orthogonal group|special orthogonal group]]'''<br>SO(''n'',''n''+1)
| विशेष लंबकोणीय समूह का पहचान घटक<br>SO(''n'',''n''+1)
| ''n''(''n'' + 1)
| ''n''(''n'' + 1)
|
|
|
|
| ''B''<sub>1</sub> is the same as ''A''<sub>1</sub>.
| ''B''<sub>1,</sub> ''A''<sub>1</sub> के समान है।
|-
|-
! ''C''<sub>''n''</sub> I (''n'' ≥ 3) split
! ''C''<sub>''n''</sub> I (''n'' ≥ 3) विभाजित
| ''n''(2''n'' + 1)
| ''n''(2''n'' + 1)
| ''n''
| ''n''
| ''A''<sub>''n''&minus;1</sub>''S''<sup>1</sup>
| ''A''<sub>''n''&minus;1</sub>''S''<sup>1</sup>
| Infinite cyclic
| अनंत चक्रीय
| 1
| 1
| '''projective [[symplectic group]]'''<br>PSp<sub>2''n''</sub>(''R''), PSp(2''n'',''R''), PSp(2''n''), PSp(''n'',''R''), PSp(''n'')
| '''प्रक्षेपी सममिति समूह'''<br>PSp<sub>2''n''</sub>(''R''), PSp(2''n'',''R''), PSp(2''n''), PSp(''n'',''R''), PSp(''n'')
| ''n''(''n'' + 1)
| ''n''(''n'' + 1)
| Hermitian. Complex structures of ''H''<sup>''n''</sup>. Copies of complex projective space in quaternionic projective space.
| हर्मिटियन ''H''<sup>''n''</sup> की सम्मिश्र संरचनाएँ है। चतुष्कोणीय प्रक्षेपी समष्टि में सम्मिश्र प्रक्षेपी समष्टि की प्रतिरूप
| Hermitian. Complex structures on ''R''<sup>2''n''</sup> compatible with a symplectic form. Set of complex hyperbolic spaces in quaternionic hyperbolic space. Siegel upper half space.
| ''R''<sup>2''n''</sup> पर हर्मिटियन सम्मिश्र संरचनाएं एक सममिति रूप के साथ संगत हैं। चतुर्धातुक अतिपरवलयिक समष्टि में सम्मिश्र अतिपरवलयिक समष्टि का समुच्चय। सीगल ऊपरी आधा समष्टि।
| ''C''<sub>2</sub> is the same as ''B''<sub>2</sub>, and ''C''<sub>1</sub> is the same as ''B''<sub>1</sub> and ''A''<sub>1</sub>.
| ''C''<sub>2</sub> वही है जो ''B''<sub>2</sub>, है, और ''C''<sub>1</sub>वही है जो ''B''<sub>1</sub> और ''A''<sub>1</sub>है।
|-
|-
! ''D''<sub>''n''</sub> I (''n'' ≥ 4) split
! ''D''<sub>''n''</sub> I (''n'' ≥ 4) विभाजित
| ''n''(2''n'' - 1)
| ''n''(2''n'' - 1)
| ''n''
| ''n''
| SO(''n'')SO(''n'')
| SO(''n'')SO(''n'')
| Order 4 if ''n'' odd, 8 if ''n'' even
| क्रम 4 यदि n विषम है, 8 यदि n सम है
| 2 if {{nowrap|''n'' > 4}}, ''S''<sub>3</sub> if {{nowrap|1=''n'' = 4}}
| 2 यदि {{nowrap|''n'' > 4}}, ''S''<sub>3</sub> यदि {{nowrap|1=''n'' = 4}}
| identity component of '''projective [[indefinite orthogonal group|special orthogonal group]]'''<br>PSO(''n'',''n'')
| प्रक्षेपी विशेष लंबकोणीय समूह का पहचान घटक<br>PSO(''n'',''n'')
| ''n''<sup>2</sup>
| ''n''<sup>2</sup>
|
|
|
|
| ''D''<sub>3</sub> is the same as ''A''<sub>3</sub>, ''D''<sub>2</sub> is the same as ''A''<sub>1</sub><sup>2</sup>, and ''D''<sub>1</sub> is abelian.
| ''D''<sub>3,</sub> ''A''<sub>3</sub>के समान है ''D''<sub>2</sub>, ''A''<sub>1</sub><sup>2</sup>के समान है और ''D''<sub>1</sub> एबेलियन है।
|-
|-
! ''E''<sub>6</sub><sup>6</sup> I split
! ''E''<sub>6</sub><sup>6</sup> I विभाजित
| 78
| 78
| 6
| 6
| ''C''<sub>4</sub>
| ''C''<sub>4</sub>
| Order 2
| क्रम 2
| Order 2
| क्रम 2
| E I
| E I
| 42  
| 42  
Line 282: Line 293:
|  
|  
|-
|-
! ''E''<sub>7</sub><sup>7</sup> V split
! ''E''<sub>7</sub><sup>7</sup> V विभाजित
| 133
| 133
| 7
| 7
| ''A''<sub>7</sub>
| ''A''<sub>7</sub>
| Cyclic, order 4
| चक्रीय, क्रम4
| Order 2
| क्रम 2
|  
|  
| 70
| 70
Line 294: Line 305:
|  
|  
|-
|-
! ''E''<sub>8</sub><sup>8</sup> VIII split
! ''E''<sub>8</sub><sup>8</sup> VIII विभाजित
| 248
| 248
| 8
| 8
Line 306: Line 317:
| @ [[E8 (mathematics)|E8]]
| @ [[E8 (mathematics)|E8]]
|-
|-
! ''F''<sub>4</sub><sup>4</sup> I split
! ''F''<sub>4</sub><sup>4</sup> I विभाजित
| 52
| 52
| 4
| 4
| ''C''<sub>3</sub> × ''A''<sub>1</sub>
| ''C''<sub>3</sub> × ''A''<sub>1</sub>
| Order 2
| क्रम 2
| 1
| 1
| F I
| F I
| 28
| 28
| Quaternionic projective planes in Cayley projective plane.
| केली प्रक्षेपी तल में चतुष्कोणीय प्रक्षेपी समतल
| Hyperbolic quaternionic projective planes in hyperbolic Cayley projective plane.
| अतिपरवलयिक केली प्रक्षेपी तल में अतिपरवलयिक चतुष्कोणीय प्रक्षेपी तल
|  
|  
|-
|-
! ''G''<sub>2</sub><sup>2</sup> I split
! ''G''<sub>2</sub><sup>2</sup> I विभाजित
| 14
| 14
| 2
| 2
| ''A''<sub>1</sub> × ''A''<sub>1</sub>
| ''A''<sub>1</sub> × ''A''<sub>1</sub>
| Order 2
| क्रम 2
| 1
| 1
| G I
| G I
| 8
| 8
| Quaternionic subalgebras of the Cayley algebra. Quaternion-Kähler.
| केली बीजगणित के चतुष्कोणीय उप-बीजगणित क्वाटरनियन-कहलर
| Non-division quaternionic subalgebras of the non-division Cayley algebra. Quaternion-Kähler.
| गैर-विभाजन केली बीजगणित के गैर-विभाजन चतुष्कोणीय उप-बीजगणित। क्वाटरनियन-कहलर।
|  
|  
|}
|}




=== कॉम्प्लेक्स ===
=== सम्मिश्र ===


{{See also|Complex Lie group}}
{{See also|सम्मिश्र लाइ समूह}}


{| class="wikitable sortable"
{| class="wikitable sortable"
Line 340: Line 351:
! width=100|
! width=100|
! Real dimension
! Real dimension
! Real rank
! वास्तविक पद
! Maximal compact<br>subgroup
! अधिकतम सुसंहत<br>उपसमूह
! Fundamental<br>group
! मौलिक समूह
! class="unsortable" | Outer automorphism<br>group
! class="unsortable" | बाह्य स्वाकारिकता समूह
! class="unsortable" | Other names
! class="unsortable" | अन्य नाम
! Dimension of<br>symmetric space
! सममित समष्टि का आयाम
! class="unsortable" | Compact<br>symmetric space
! class="unsortable" | सुसंहत <br>सममित समष्टि
! class="unsortable" | Non-Compact<br>symmetric space
! class="unsortable" | गैर-सुसंहत<br>सममित समष्टि
|-
|-
! ''A''<sub>''n''</sub> (''n'' ≥ 1) complex
! ''A''<sub>''n''</sub> (''n'' ≥ 1) सम्मिश्र
| 2''n''(''n'' + 2)
| 2''n''(''n'' + 2)
| ''n''
| ''n''
| ''A''<sub>''n''</sub>
| ''A''<sub>''n''</sub>
| Cyclic, order {{nowrap|''n'' + 1}}
| चक्रीय, क्रम
| 2 if {{nowrap|1=''n'' = 1}}, 4 (noncyclic) if {{nowrap|''n'' ≥ 2}}.
{{nowrap|''n'' + 1}}
|style="white-space:nowrap"| '''projective complex [[special linear group]]'''<br>PSL<sub>''n''+1</sub>(''C'')
| 2 यदि {{nowrap|1=''n'' = 1}}, 4 (गैर-चक्रीय) यदि {{nowrap|''n'' ≥ 2}}.
|style="white-space:nowrap"| '''प्रक्षेपी सम्मिश्र विशेष रैखिक समूह''' PSL<sub>''n''+1</sub>(''C'')
| ''n''(''n'' + 2)
| ''n''(''n'' + 2)
| Compact group ''A''<sub>''n''</sub>
| सुसंहत समूह ''A''<sub>''n''</sub>
| Hermitian forms on ''C''<sup>''n''+1</sup>
| निश्चित परिणाम के साथ ''C''<sup>''n''+1</sup>
with fixed volume.
पर हर्मिटियन बनता है।
|-
|-
! ''B''<sub>n</sub> (''n'' ≥ 2) complex
! ''B''<sub>n</sub> (''n'' ≥ 2) सम्मिश्र
| 2''n''(2''n'' + 1)
| 2''n''(2''n'' + 1)
| ''n''
| ''n''
| ''B''<sub>''n''</sub>
| ''B''<sub>''n''</sub>
| 2
| 2
| Order 2 (complex conjugation)
| क्रम 2 (सम्मिश्र संयोग)
|style="white-space:nowrap"| '''complex [[special orthogonal group]]'''<br>SO<sub>2''n''+1</sub>('''C''')
|style="white-space:nowrap"| '''सम्मिश्र विशेष लंबकोणीय समूह''' SO<sub>2''n''+1</sub>('''C''')
| ''n''(2''n'' + 1)
| ''n''(2''n'' + 1)
| Compact group ''B''<sub>n</sub>
| सुसंहत समूह ''B''<sub>n</sub>
|  
|  
|-
|-
! ''C''<sub>''n''</sub> (''n'' ≥ 3) complex
! ''C''<sub>''n''</sub> (''n'' ≥ 3) सम्मिश्र
| 2''n''(2''n'' + 1)
| 2''n''(2''n'' + 1)
| ''n''
| ''n''
| ''C''<sub>''n''</sub>
| ''C''<sub>''n''</sub>
| 2
| 2
| Order 2 (complex conjugation)
| क्रम 2 (सम्मिश्र संयोग)
|style="white-space:nowrap"| '''projective complex [[symplectic group]]'''<br>PSp<sub>2''n''</sub>('''C''')
|style="white-space:nowrap"| '''प्रक्षेपी सम्मिश्र सममिति समूह''' PSp<sub>2''n''</sub>('''C''')
| ''n''(2''n'' + 1)
| ''n''(2''n'' + 1)
| Compact group ''C''<sub>n</sub>
| सुसंहत समूह ''C''<sub>n</sub>
|  
|  
|-
|-
! ''D''<sub>''n''</sub> (''n'' ≥ 4) complex
! ''D''<sub>''n''</sub> (''n'' ≥ 4) सम्मिश्र
| 2''n''(2''n'' &minus; 1)
| 2''n''(2''n'' &minus; 1)
| ''n''
| ''n''
| ''D''<sub>''n''</sub>
| ''D''<sub>''n''</sub>
| Order 4 (cyclic when ''n'' is odd)
| क्रम 4 (चक्रीय जब n विषम हो)
| Noncyclic of order 4 for {{nowrap|''n'' > 4}}, or the product of a group of order 2 and the symmetric group ''S''<sub>3</sub> when {{nowrap|1=''n'' = 4}}.
| {{nowrap|''n'' > 4}}, के लिए क्रम 4का गैर-चक्रीय, या क्रम 2 के समूह का उत्पाद और सममित समूह ''S''<sub>3</sub> जब {{nowrap|1=''n'' = 4}}
|style="white-space:nowrap"| '''projective complex special orthogonal group'''<br>PSO<sub>2''n''</sub>('''C''')
|style="white-space:nowrap"| '''प्रक्षेपी सम्मिश्र विशेष लंबकोणीय समूह'''<br>PSO<sub>2''n''</sub>('''C''')
| ''n''(2''n'' &minus; 1)
| ''n''(2''n'' &minus; 1)
| Compact group ''D''<sub>n</sub>
| सुसंहत समूह ''D''<sub>n</sub>
|  
|  
|-
|-
! ''E''<sub>6</sub> complex
! ''E''<sub>6</sub> सम्मिश्र
| 156
| 156
| 6
| 6
| ''E''<sub>6</sub>
| ''E''<sub>6</sub>
| 3
| 3
| Order 4 (non-cyclic)
| क्रम 4 (गैर-चक्रीय)
|  
|  
| 78
| 78
| Compact group ''E''<sub>6</sub>
| सुसंहत समूह ''E''<sub>6</sub>
|  
|  
|-
|-
! ''E''<sub>7</sub> complex
! ''E''<sub>7</sub> सम्मिश्र
| 266
| 266
| 7
| 7
| ''E''<sub>7</sub>
| ''E''<sub>7</sub>
| 2
| 2
| Order 2 (complex conjugation)
| क्रम 2 (सम्मिश्र संयोग)
|  
|  
| 133
| 133
| Compact group ''E''<sub>7</sub>
| सुसंहत समूह ''E''<sub>7</sub>
|  
|  
|-
|-
! ''E''<sub>8</sub> complex
! ''E''<sub>8</sub> सम्मिश्र
| 496
| 496
| 8
| 8
| ''E''<sub>8</sub>
| ''E''<sub>8</sub>
| 1
| 1
| Order 2 (complex conjugation)
| क्रम 2 (सम्मिश्र संयोग)
|  
|  
| 248
| 248
| Compact group ''E''<sub>8</sub>
| सुसंहत समूह ''E''<sub>8</sub>
|  
|  
|-
|-
! ''F''<sub>4</sub> complex
! ''F''<sub>4</sub> सम्मिश्र
| 104
| 104
| 4
| 4
Line 435: Line 447:
|  
|  
| 52
| 52
| Compact group ''F''<sub>4</sub>
| सुसंहत समूह ''F''<sub>4</sub>
|  
|  
|-
|-
! ''G''<sub>2</sub> complex
! ''G''<sub>2</sub> सम्मिश्र
| 28
| 28
| 2
| 2
| ''G''<sub>2</sub>  
| ''G''<sub>2</sub>  
| 1
| 1
| Order 2 (complex conjugation)
| क्रम 2 (सम्मिश्र संयोग)
|  
|  
| 14
| 14
| Compact group ''G''<sub>2</sub>
| सुसंहत समूह ''G''<sub>2</sub>
|  
|  
|}
|}
Line 456: Line 468:
|-
|-
! width=100|
! width=100|
! Dimension
! आयाम
! Real rank
! वास्तविक पद
! Maximal compact<br>subgroup
! अधिकतम सुसंहत<br>उपसमूह
! Fundamental<br>group
! मौलिक समूह
! class="unsortable" | Outer automorphism<br>group
! class="unsortable" | बाह्य स्वाकारिकता समूह
! class="unsortable" | Other names
! class="unsortable" | अन्य नाम
! Dimension of<br>symmetric space
! सममित समष्टि का आयाम
! class="unsortable" | Compact<br>symmetric space
! class="unsortable" | सुसंहत<br>सममित समष्टि
! class="unsortable" | Non-Compact<br>symmetric space
! class="unsortable" | गैर-सुसंहत<br>सममित समष्टि
! class="unsortable" | Remarks
! class="unsortable" | टिप्पणियां
|-
|-
! ''A''<sub>2''n''&minus;1</sub> II<br>(''n'' ≥ 2)
! ''A''<sub>2''n''&minus;1</sub> II<br>(''n'' ≥ 2)
Line 471: Line 483:
| ''n'' &minus; 1
| ''n'' &minus; 1
| ''C''<sub>''n''</sub>
| ''C''<sub>''n''</sub>
| Order 2
| क्रम 2
|  
|  
| SL<sub>''n''</sub>(''H''), SU<sup>∗</sup>(2''n'')
| SL<sub>''n''</sub>(''H''), SU<sup>∗</sup>(2''n'')
| {{hs|zzzzzz <!-- when sorted, comes after numbers -->}}(''n'' &minus; 1)(2''n'' + 1)
| {{hs|zzzzzz <!-- when sorted, comes after numbers -->}}(''n'' &minus; 1)(2''n'' + 1)
| Quaternionic structures on ''C''<sup>2''n''</sup> compatible with the Hermitian structure
| हर्मिटियन संरचना के साथ संगत ''C''<sup>2''n''</sup> पर चतुष्कोणीय संरचनाएं
| Copies of [[quaternionic hyperbolic space]] (of dimension {{nowrap|''n'' &minus; 1}}) in [[complex hyperbolic space]] (of dimension {{nowrap|2''n'' &minus; 1}}).
| सम्मिश्र अतिपरवलयिक समष्टि (आयाम 2n - 1) में क्वाटरनियोनिक अतिपरवलयिक समष्टि (आयाम n - 1) की प्रतिरूप।
|  
|  
|-
|-
Line 487: Line 499:
| SU(''p'',''q''), A III
| SU(''p'',''q''), A III
| 2''pq''
| 2''pq''
|style="white-space:nowrap"| [[Hermitian symmetric space|Hermitian]].<br>Grassmannian of ''p'' subspaces of ''C''<sup>''p''+''q''</sup>.<br>If ''p'' or ''q'' is 2; [[Quaternion-Kähler symmetric space|quaternion-Kähler]]
|style="white-space:nowrap"| ''C''<sup>''p''+''q''</sup> के ''p'' उपसमष्टियों का हर्मिटियन ग्रासमैनियन<br>यदि ''p'' या ''q'' 2; [[Quaternion-Kähler symmetric space|क्वाटरनियन-कहलर]] है।
|style="white-space:nowrap"| Hermitian.<br>Grassmannian of maximal positive definite<br>subspaces of ''C''<sup>''p'',''q''</sup>.<br>If ''p'' or ''q'' is 2, quaternion-Kähler
|style="white-space:nowrap"| ''C''<sup>''p'',''q''</sup> के अधिकतम धनात्मक निश्चित उप-समष्टि के हर्मिटियन ग्रासमानियन<br>यदि p या q 2 है, क्वाटरनियन-कहलर है।
|style="white-space:nowrap"|  If ''p''=''q''=1, split<br>If {{abs|''p''−''q''}} ≤ 1, [[quasi-split]]
|style="white-space:nowrap"|  यदि ''p''=''q''=1, विभाजित<br>यदि {{abs|''p''−''q''}} ≤ 1, [[quasi-split|अर्ध-विभाजित]]
|-
|-
! ''B''<sub>''n''</sub> I<br>(''n'' > 1)<br>''p''+''q'' = 2''n''+1
! ''B''<sub>''n''</sub> I<br>(''n'' > 1)<br>''p''+''q'' = 2''n''+1
Line 499: Line 511:
| [[indefinite orthogonal group|SO(''p'',''q'')]]
| [[indefinite orthogonal group|SO(''p'',''q'')]]
| ''pq''
| ''pq''
|style="white-space:nowrap"| Grassmannian of ''R''<sup>''p''</sup>s in ''R''<sup>''p''+''q''</sup>.<br>If ''p'' or ''q'' is 1, Projective space<br>If ''p'' or ''q'' is 2; Hermitian<br>If ''p'' or ''q'' is 4, quaternion-Kähler
|style="white-space:nowrap"| ''R''<sup>''p''</sup>s मे ''R''<sup>''p''+''q''</sup> का ग्रासमैनियन<br>यदि p या q 1 है, प्रक्षेपी समष्टि यदि p या q 2 है; हर्मिटियन यदि ''p'' या ''q'' 4 क्वाटरनियन-कहलर है।
|style="white-space:nowrap"| Grassmannian of positive definite ''R''<sup>''p''</sup>s in ''R''<sup>''p'',''q''</sup>.<br>If ''p'' or ''q'' is 1, Hyperbolic space<br>If ''p'' or ''q'' is 2, Hermitian<br>If ''p'' or ''q'' is 4, quaternion-Kähler
|style="white-space:nowrap"| ''R''<sup>''p''</sup>s में धनात्मक निश्चित ''R''<sup>''p'',''q''</sup> का ग्रासमैनियन<br>यदि p या q 1 है, अतिपरवलयिक समष्टि<br>यदि p या q 2 है, हर्मिटियन<br>यदि p या q 4 है, क्वाटरनियन-कहलर है।
|style="white-space:nowrap"| If {{abs|''p''−''q''}} ≤ 1, split.
|style="white-space:nowrap"| यदि {{abs|''p''−''q''}} ≤ 1, विभाजित.
|-
|-
! ''C''<sub>''n''</sub> II<br>(''n'' > 2)<br>''n'' = ''p''+''q''<br>(1 ≤ ''p'' ≤ ''q'')
! ''C''<sub>''n''</sub> II<br>(''n'' > 2)<br>''n'' = ''p''+''q''<br>(1 ≤ ''p'' ≤ ''q'')
Line 507: Line 519:
| min(''p'',''q'')
| min(''p'',''q'')
| ''C''<sub>''p''</sub>''C''<sub>''q''</sub>
| ''C''<sub>''p''</sub>''C''<sub>''q''</sub>
| Order 2
| क्रम 2
|style="white-space:nowrap"| 1 if ''p'' ≠ ''q'', 2 if ''p'' = ''q''.
|style="white-space:nowrap"| 1 if ''p'' ≠ ''q'', 2 if ''p'' = ''q''.
| Sp<sub>2''p'',2''q''</sub>(R)
| Sp<sub>2''p'',2''q''</sub>(R)
|  4''pq''
|  4''pq''
|style="white-space:nowrap"| Grassmannian of ''H''<sup>''p''</sup>s in ''H''<sup>''p''+''q''</sup>.<br>If ''p'' or ''q'' is 1, quaternionic projective space<br>in which case it is quaternion-Kähler.
|style="white-space:nowrap"| ''H''<sup>''p''</sup>s मे ''H''<sup>''p''+''q''</sup> का ग्रासमानियन<br>यदि p या q 1 है, चतुष्कोणीय प्रक्षेप्य समष्टि जिस स्थिति में यह चतुष्क-कहलर है।
|style="white-space:nowrap"| ''H''<sup>''p''</sup>s in ''H''<sup>''p'',''q''</sup>.<br>If ''p'' or ''q'' is 1, quaternionic hyperbolic space<br>in which case it is quaternion-Kähler.
|style="white-space:nowrap"| ''H''<sup>''p''</sup>s मे ''H''<sup>''p'',''q''</sup> यदि p या q 1 है, चतुष्कोणीय अतिपरवलयिक समष्टि<br>जिस स्थिति में यह क्वाटरनियन-कहलर है।.
|  
|  
|-
|-
Line 520: Line 532:
| SO(''p'')SO(''q'')
| SO(''p'')SO(''q'')
|  
|  
| If ''p'' and ''q'' ≥ 3, order 8.
| यदि ''p'' और ''q'' ≥ 3, क्रम 8.
| SO(''p'',''q'')
| SO(''p'',''q'')
| ''pq''
| ''pq''
|style="white-space:nowrap"| Grassmannian of ''R''<sup>''p''</sup>s in ''R''<sup>''p''+''q''</sup>.<br>If ''p'' or ''q'' is 1, Projective space<br>If ''p'' or ''q'' is 2 ; Hermitian<br>If ''p'' or ''q'' is 4, quaternion-Kähler
|style="white-space:nowrap"| ''R''<sup>''p''</sup>s मे ''R''<sup>''p''+''q''</sup> का ग्रासमानियन<br>यदि p या q 1 है, तो प्रक्षेपी समष्टि<br>यदि p या q 2 है ; हर्मिटियन<br>यदि p या q 4 है, क्वाटरनियन-कहलर है।
|style="white-space:nowrap"| Grassmannian of positive definite ''R''<sup>''p''</sup>s in ''R''<sup>''p'',''q''</sup>.<br>If ''p'' or ''q'' is 1, Hyperbolic Space<br>If ''p'' or ''q'' is 2, Hermitian<br>If ''p'' or ''q'' is 4, quaternion-Kähler
|style="white-space:nowrap"| ''R''<sup>''p''</sup>s धनात्मक निश्चित ''R''<sup>''p'',''q''</sup> का ग्रासमैनियन यदि p या q 1 है, अतिपरवलयिक समष्टि<br>यदि p या q 2 है, हर्मिटियन<br>यदि p या q 4 है, क्वाटरनियन-कहलर है।
|style="white-space:nowrap"| If {{nowrap|1=''p'' = ''q''}}, split<br>If {{abs|''p''−''q''}} ≤ 2, quasi-split
|style="white-space:nowrap"| यदि {{nowrap|1=''p'' = ''q''}}, विभाजित<br>यदि {{abs|''p''−''q''}} ≤ 2, अर्ध-विभाजित
|-
|-
! ''D''<sub>''n''</sub> III<br>(''n'' ≥ 4)
! ''D''<sub>''n''</sub> III<br>(''n'' ≥ 4)
Line 531: Line 543:
| ⌊''n''/2⌋
| ⌊''n''/2⌋
| ''A''<sub>''n''&minus;1</sub>''R''<sup>1</sup>
| ''A''<sub>''n''&minus;1</sub>''R''<sup>1</sup>
| Infinite cyclic
| अनंत चक्रीय
| Order 2
| क्रम 2
| ''SO''<sup>*</sup>(2n)
| ''SO''<sup>*</sup>(2n)
| ''n''(''n'' &minus; 1)
| ''n''(''n'' &minus; 1)
| Hermitian.<br>Complex structures on R<sup>2''n''</sup> compatible with the Euclidean structure.
| हर्मिटियन<br>यूक्लिडियन संरचना के साथ संगत R<sup>2''n''</sup> पर सम्मिश्र संरचनाएं
| Hermitian.<br>Quaternionic quadratic forms on R<sup>2''n''</sup>.
| हर्मिटियन चतुष्कोणीय द्विघात R<sup>2''n''</sup> पर बनता है।
|  
|  
|-
|-
! ''E''<sub>6</sub><sup>2</sup> II<br>(quasi-split)
! ''E''<sub>6</sub><sup>2</sup> II<br>(अर्ध-विभाजित)
| 78
| 78
| 4
| 4
| ''A''<sub>5</sub>''A''<sub>1</sub>
| ''A''<sub>5</sub>''A''<sub>1</sub>
| Cyclic, order 6
| चक्रीय, क्रम6
| Order 2
| क्रम 2
| E II
| E II
| 40
| 40
| Quaternion-Kähler.
| क्वाटरनियन-कहलर
| Quaternion-Kähler.
| क्वाटरनियन-कहलर
| Quasi-split but not split.
| अर्ध-विभाजित लेकिन विभाजित नहीं।
|-
|-
! ''E''<sub>6</sub><sup>&minus;14</sup> III
! ''E''<sub>6</sub><sup>&minus;14</sup> III
Line 555: Line 567:
| 2
| 2
| ''D''<sub>5</sub>''S''<sup>1</sup>
| ''D''<sub>5</sub>''S''<sup>1</sup>
| Infinite cyclic
| अनंत चक्रीय
| Trivial
| सामान्य
| E III
| E III
| 32
| 32
| Hermitian.<br>Rosenfeld elliptic projective plane over the complexified Cayley numbers.
| सम्मिश्र केली संख्या पर हर्मिटियन रोसेनफेल्ड अर्धवृत्ताकार प्रक्षेपी तल।
| Hermitian.<br>Rosenfeld hyperbolic projective plane over the complexified Cayley numbers.
| हर्मिटियन सम्मिश्र केली संख्याओ पर रोसेनफेल्ड अतिपरवलयिक प्रक्षेपी तल।
|  
|  
|-
|-
Line 567: Line 579:
| 2
| 2
| ''F''<sub>4</sub>
| ''F''<sub>4</sub>
| Trivial
| सामान्य
| Order 2
| क्रम 2
| E IV
| E IV
| 26
| 26
| Set of [[Cayley projective plane]]s in the projective plane over the complexified Cayley numbers.
| सम्मिश्र केली संख्याओ पर प्रक्षेपी तल में केली प्रक्षेपी तलों का समुच्चय।
| Set of Cayley hyperbolic planes in the hyperbolic plane over the complexified Cayley numbers.
| सम्मिश्र केली संख्याओ पर अतिपरवलयिक तल में केली अतिपरवलयिक तलों का समुच्चय।
|  
|  
|-
|-
Line 579: Line 591:
| 4
| 4
| ''D''<sub>6</sub>''A''<sub>1</sub>
| ''D''<sub>6</sub>''A''<sub>1</sub>
| Non-cyclic, order 4
| गैर चक्रीय, क्रम 4
| Trivial
| सामान्य
| ''E'' VI
| ''E'' VI
| 64
| 64
| Quaternion-Kähler.
| क्वाटरनियन-कहलर
| Quaternion-Kähler.
| क्वाटरनियन-कहलर
|  
|  
|-
|-
Line 591: Line 603:
| 3
| 3
| ''E''<sub>6</sub>''S''<sup>1</sup>
| ''E''<sub>6</sub>''S''<sup>1</sup>
| Infinite cyclic
| अनंत चक्रीय
| Order 2
| क्रम 2
| E VII
| E VII
| 54
| 54
| Hermitian.
| हर्मिटियन
| Hermitian.
| हर्मिटियन
|
|
|-
|-
Line 603: Line 615:
| 4
| 4
| ''E''<sub>7</sub> × ''A''<sub>1</sub>
| ''E''<sub>7</sub> × ''A''<sub>1</sub>
| Order 2
| क्रम 2
| 1
| 1
| E IX
| E IX
| 112
| 112
| Quaternion-Kähler.
| क्वाटरनियन-कहलर
| Quaternion-Kähler.
| क्वाटरनियन-कहलर
|  
|  
|-
|-
Line 615: Line 627:
| 1
| 1
| ''B''<sub>4</sub> (Spin<sub>9</sub>('''R'''))
| ''B''<sub>4</sub> (Spin<sub>9</sub>('''R'''))
| Order 2
| क्रम 2
| 1
| 1
| F II
| F II
| 16
| 16
| Cayley projective plane. Quaternion-Kähler.
| केली प्रक्षेपी तल। क्वाटरनियन-कहलर
| Hyperbolic Cayley projective plane. Quaternion-Kähler.
| अतिपरवलयिक केली प्रक्षेपी तल। क्वाटरनियन-कहलर
|
|
|}
|}




== छोटे आयाम के सरल झूठ समूह ==
== छोटे आयाम के सामान्य लाइ समूह ==


निम्न तालिका में कुछ झूठ समूहों को छोटे के सरल झूठ बीजगणित के साथ सूचीबद्ध किया गया है
निम्न तालिका में कुछ लाइ समूहों को छोटे आयामों के सामान्य लाइ बीजगणित के साथ सूचीबद्ध किया गया है। दी गई रेखा पर सभी समूहों का एक ही लाई बीजगणित होता है। आयाम 1 स्थिति में, समूह एबेलियन हैं और सामान्य नहीं हैं।
आयाम। दी गई रेखा पर सभी समूहों का एक ही लाई बीजगणित होता है। आयाम 1 मामले में, समूह एबेलियन हैं और सरल नहीं हैं।


{| class="wikitable sortable"
{| class="wikitable sortable"
|-
|-
!Dim
!Dim
!Groups
!समूह
!
!
!Symmetric space
!सममित समष्‍टि
!Compact dual
!सुसंहत द्विक
!Rank
!सीमा
!Dim
!आयाम
|-
|-
|1
|1
|<math>\mathbb{R}</math>, ''S''<sup>1</sup> = U(1) = SO<sub>2</sub>(<math>\mathbb{R}</math>) = Spin(2)
|<math>\mathbb{R}</math>, ''S''<sup>1</sup> = U(1) = SO<sub>2</sub>(<math>\mathbb{R}</math>) = Spin(2)
|Abelian
|एबेलियन
|Real line
|वास्तविक रेखा
|
|
|0
|0
Line 650: Line 661:
|3
|3
| ''S''<sup>3</sup> = Sp(1) = SU(2)=Spin(3), SO<sub>3</sub>(<math>\mathbb{R}</math>) = PSU(2)  
| ''S''<sup>3</sup> = Sp(1) = SU(2)=Spin(3), SO<sub>3</sub>(<math>\mathbb{R}</math>) = PSU(2)  
|Compact
|सुसंहत
|
|
|
|
Line 658: Line 669:
|3
|3
|SL<sub>2</sub>(<math>\mathbb{R}</math>) = Sp<sub>2</sub>(<math>\mathbb{R}</math>), SO<sub>2,1</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|SL<sub>2</sub>(<math>\mathbb{R}</math>) = Sp<sub>2</sub>(<math>\mathbb{R}</math>), SO<sub>2,1</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|Split, Hermitian, hyperbolic
|विभाजित, हर्मिटियन, अतिपरिवलयिक
|Hyperbolic plane <math>\mathbb{H}^2</math>
|अतिपरवलयिक तल <math>\mathbb{H}^2</math>
|Sphere ''S''<sup>2</sup>
|वृत्त ''S''<sup>2</sup>
|1
|1
|2
|2
Line 666: Line 677:
|6
|6
|SL<sub>2</sub>(<math>\mathbb{C}</math>) = Sp<sub>2</sub>(<math>\mathbb{C}</math>), SO<sub>3,1</sub>(<math>\mathbb{R}</math>), SO<sub>3</sub>(<math>\mathbb{C}</math>)
|SL<sub>2</sub>(<math>\mathbb{C}</math>) = Sp<sub>2</sub>(<math>\mathbb{C}</math>), SO<sub>3,1</sub>(<math>\mathbb{R}</math>), SO<sub>3</sub>(<math>\mathbb{C}</math>)
|Complex
|सम्मिश्र
|Hyperbolic space <math>\mathbb{H}^3</math>
|अतिपरवलयिक समष्टि <math>\mathbb{H}^3</math>
|Sphere ''S''<sup>3</sup>
|वृत्त ''S''<sup>3</sup>
|1
|1
|3
|3
Line 674: Line 685:
|8
|8
|SL<sub>3</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|SL<sub>3</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|Split
|विभाजित
|Euclidean structures on <math>\mathbb{R}^3</math>
|<math>\mathbb{R}^3</math> पर यूक्लिडियन संरचनाएं
|Real structures on <math>\mathbb{C}^3</math>
|<math>\mathbb{C}^3</math> पर वास्तविक संरचनाए
|2
|2
|5
|5
Line 682: Line 693:
|8
|8
|SU(3)
|SU(3)
|Compact
|सुसंहत
|
|
|
|
Line 690: Line 701:
|8
|8
|SU(1,2)
|SU(1,2)
|Hermitian, quasi-split, quaternionic
|हर्मिटियन, अर्ध-विभाजित, चतुष्कोणीय
|Complex hyperbolic plane
|सम्मिश्र अतिपरवलयिक तल
|Complex projective plane
|सम्मिश्र प्रक्षेपी तल
|1
|1
|4
|4
Line 698: Line 709:
|10
|10
|Sp(2) = Spin(5), SO<sub>5</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|Sp(2) = Spin(5), SO<sub>5</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|Compact
|सुसंहत
|
|
|
|
Line 706: Line 717:
|10
|10
|SO<sub>4,1</sub>(<math>\mathbb{R}</math>), Sp<sub>2,2</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|SO<sub>4,1</sub>(<math>\mathbb{R}</math>), Sp<sub>2,2</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|Hyperbolic, quaternionic
|अतिपरवलयिक, चतुष्कोणीय
|Hyperbolic space <math>\mathbb{H}^4</math>
|अतिपरवलयिक समष्टि <math>\mathbb{H}^4</math>
|Sphere ''S''<sup>4</sup>
|वृत्त ''S''<sup>4</sup>
|1
|1
|4
|4
Line 714: Line 725:
|10
|10
|SO<sub>3,2</sub>(<math>\mathbb{R}</math>), Sp<sub>4</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|SO<sub>3,2</sub>(<math>\mathbb{R}</math>), Sp<sub>4</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|Split, Hermitian
|विभाजित, हर्मिटियन
|Siegel upper half space
|सीगल का ऊपरी आधा भाग समष्टि
|Complex structures on <math>\mathbb{H}^2</math>
|<math>\mathbb{H}^2</math> पर सम्मिश्र संरचनाएं
|2
|2
|6
|6
Line 722: Line 733:
|14
|14
|''G''<sub>2</sub>  
|''G''<sub>2</sub>  
|Compact
|सुसंहत
|
|
|
|
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|14
|14
|''G''<sub>2</sub>  
|''G''<sub>2</sub>  
|Split, quaternionic
|विभाजित, चतुष्कोणीय
|Non-division quaternionic subalgebras of non-division octonions
|गैर-विभाजित चतुष्कोणीय गैर-विभाजन अष्टकैक के
|Quaternionic subalgebras of octonions
उप-बीजगणित
|क्वाटरनियोनिक अष्टक के
उप-बीजगणित
|2
|2
|8
|8
Line 738: Line 751:
|15
|15
|SU(4) = Spin(6), SO<sub>6</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|SU(4) = Spin(6), SO<sub>6</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|Compact
|सुसंहत
|
|
|
|
Line 744: Line 757:
|15
|15
|SL<sub>4</sub>(<math>\mathbb{R}</math>), SO<sub>3,3</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|SL<sub>4</sub>(<math>\mathbb{R}</math>), SO<sub>3,3</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|Split
|विभाजित
|<math>\mathbb{R}</math><sup>3</sup> in <math>\mathbb{R}</math><sup>3,3</sup>
|<math>\mathbb{R}</math><sup>3</sup> मे <math>\mathbb{R}</math><sup>3,3</sup>
|Grassmannian ''G''(3,3)
|ग्रासमानियन ''G''(3,3)
|3
|3
|9
|9
Line 752: Line 765:
|15
|15
|SU(3,1)
|SU(3,1)
|Hermitian
|हर्मिटियन
|Complex hyperbolic space
|सम्मिश्र अतिपरवलयिक समष्टि
|Complex projective space
|सम्मिश्र प्रक्षेपी समष्टि
|1
|1
|6
|6
Line 760: Line 773:
|15
|15
|SU(2,2), SO<sub>4,2</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|SU(2,2), SO<sub>4,2</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|Hermitian, quasi-split, quaternionic
|हर्मिटियन, अर्ध-विभाजित, चतुष्कोणीय
|<math>\mathbb{R}</math><sup>2</sup> in <math>\mathbb{R}</math><sup>2,4</sup>
|<math>\mathbb{R}</math><sup>2</sup> मे <math>\mathbb{R}</math><sup>2,4</sup>
|Grassmannian ''G''(2,4)
|ग्रासमानियन ''G''(2,4)
|2
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|8
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|15
|15
|SL<sub>2</sub>(<math>\mathbb{H}</math>), SO<sub>5,1</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|SL<sub>2</sub>(<math>\mathbb{H}</math>), SO<sub>5,1</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|Hyperbolic
|अतिपरवलयिक
|Hyperbolic space <math>\mathbb{H}^5</math>
|अतिपरवलयिक समष्टि <math>\mathbb{H}^5</math>
|Sphere ''S''<sup>5</sup>
|वृत्त ''S''<sup>5</sup>
|1
|1
|5
|5
Line 776: Line 789:
|16
|16
|SL<sub>3</sub>(<math>\mathbb{C}</math>)
|SL<sub>3</sub>(<math>\mathbb{C}</math>)
|Complex
|सम्मिश्र
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|SU(3)
|SU(3)
Line 784: Line 797:
|20
|20
|SO<sub>5</sub>(<math>\mathbb{C}</math>), Sp<sub>4</sub>(<math>\mathbb{C}</math>)
|SO<sub>5</sub>(<math>\mathbb{C}</math>), Sp<sub>4</sub>(<math>\mathbb{C}</math>)
|Complex
|सम्मिश्र
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|Spin<sub>5</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|Spin<sub>5</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
Line 792: Line 805:
|21
|21
|SO<sub>7</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|SO<sub>7</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|Compact
|सुसंहत
|
|
|
|
Line 798: Line 811:
|21
|21
|SO<sub>6,1</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|SO<sub>6,1</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|Hyperbolic
|अतिपरवलयिक
|Hyperbolic space <math>\mathbb{H}^6</math>
|अतिपरवलयिक समष्टि <math>\mathbb{H}^6</math>
|Sphere ''S''<sup>6</sup>
|वृत्त ''S''<sup>6</sup>
|-
|-
|21
|21
|SO<sub>5,2</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|SO<sub>5,2</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|Hermitian
|हर्मिटियन
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|
Line 810: Line 823:
|21
|21
|SO<sub>4,3</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|SO<sub>4,3</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|Split, quaternionic
|विभाजित, चतुष्कोणीय
|
|
|
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Line 816: Line 829:
|21
|21
|Sp(3)
|Sp(3)
|Compact
|सुसंहत
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|21
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|Sp<sub>6</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|Sp<sub>6</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|Split, hermitian
|विभाजित,हर्मिटियन
|
|
|
|
Line 828: Line 841:
|21
|21
|Sp<sub>4,2</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|Sp<sub>4,2</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|Quaternionic
|क्वाटरनियोनिक
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Line 834: Line 847:
|24
|24
|SU(5)
|SU(5)
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|सुसंहत
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|SL<sub>5</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|SL<sub>5</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|Split
|विभाजित
|
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|
Line 846: Line 859:
|24
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|SU<sub>4,1</sub>
|SU<sub>4,1</sub>
|Hermitian
|हर्मिटियन
|
|
|
|
Line 852: Line 865:
|24
|24
|SU<sub>3,2</sub>
|SU<sub>3,2</sub>
|Hermitian, quaternionic
|हर्मिटियन, चतुष्कोणीय
|
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|
Line 858: Line 871:
|28
|28
|SO<sub>8</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|SO<sub>8</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|Compact
|सुसंहत
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Line 864: Line 877:
|28
|28
|SO<sub>7,1</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|SO<sub>7,1</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|Hyperbolic
|अतिपरवलयिक
|Hyperbolic space <math>\mathbb{H}^7</math>
|अतिपरवलयिक समष्टि <math>\mathbb{H}^7</math>
|Sphere ''S''<sup>7</sup>
|वृत्त ''S''<sup>7</sup>
|-
|-
|28
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|SO<sub>6,2</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|SO<sub>6,2</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|Hermitian
|हर्मिटियन
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|28
|SO<sub>5,3</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|SO<sub>5,3</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|Quasi-split
|अर्ध-विभाजित
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|28
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|SO<sub>4,4</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|SO<sub>4,4</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|Split, quaternionic
|विभाजित, चतुष्कोणीय
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|SO<sup>∗</sup><sub>8</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|SO<sup>∗</sup><sub>8</sub>(<math>\mathbb{R}</math>)
|Hermitian
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|''G''<sub>2</sub>(<math>\mathbb{C}</math>)
|''G''<sub>2</sub>(<math>\mathbb{C}</math>)
|Complex
|सम्मिश्र
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|SL<sub>4</sub>(<math>\mathbb{C}</math>)
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|सम्मिश्र
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== बस सजी समूह<!--'Simple Lie groups' redirects here-->==
== सामान्य लेसित समूह==
सरल रूप से सज्जित समूह एक लाई समूह होता है जिसके डायनकिन आरेख में केवल सरल कड़ियाँ होती हैं, और इसलिए संबंधित लाई बीजगणित की सभी गैर-शून्य जड़ों की लंबाई समान होती है। ए, डी और ई श्रृंखला समूह सभी बस लेस हैं, लेकिन बी, सी, एफ, या जी प्रकार का कोई समूह केवल लेस नहीं है।
सामान्य रूप से लेसित समूह एक लाई समूह होता है जिसके डायनकिन आरेख में केवल सामान्य शृंखला होती हैं, और इसलिए संबंधित लाई बीजगणित की सभी गैर-शून्य मूलों की लंबाई समान होती है। A, D और E श्रृंखला समूह सभी सिर्फ लेसित हैं, लेकिन B, C, F, या G प्रकार का कोई समूह केवल लेसित नहीं है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
*[[कार्टन मैट्रिक्स]]
*[[कार्टन मैट्रिक्स|कार्टन मैट्रिक्स (आव्यूह)]]
* [[कॉक्सेटर मैट्रिक्स]]
* [[कॉक्सेटर मैट्रिक्स]]
* [[वेइल समूह]]
* [[वेइल समूह]]
* [[कॉक्सेटर समूह]]
* [[कॉक्सेटर समूह]]
*केएसी-मूडी बीजगणित
*केएसी-मूडी बीजगणित
* [[आपदा सिद्धांत]]
* [[आपदा सिद्धांत|विपत्ति सिद्धांत]]


== संदर्भ ==
== संदर्भ ==
Line 935: Line 948:
* Besse, ''Einstein manifolds'' {{isbn|0-387-15279-2}}
* Besse, ''Einstein manifolds'' {{isbn|0-387-15279-2}}
* Helgason, ''Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces''. {{isbn|0-8218-2848-7}}
* Helgason, ''Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces''. {{isbn|0-8218-2848-7}}
* Fuchs and Schweigert, ''Symmetries, Lie algebras, and representations: a graduate course for physicists.'' Cambridge University Press, 2003. {{isbn|0-521-54119-0}}
* Fuchs and Schweigert, ''Symmetries, Lie algebras, and representations: a graduate course for physicists.'' Cambridge University Press, 2003. {{isbn|0-521-54119-0}}


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Latest revision as of 11:01, 10 March 2023

यह लेख किलिंग-कार्टन वर्गीकरण के बारे में है। सामान्य रूप से सैद्धांतिक भौतिकी में पाए जाने वाले समूहों की एक छोटी सूची के लिए, लाइ समूहों की तालिका देखें। अधिक से अधिक 3 आयामों के समूहों के लिए, बियांची वर्गीकरण देखें।

Lie groups
E8Petrie.svg
Classical groups
Simple Lie groups
Classical
Exceptional
Other Lie groups
Lie algebras
Semisimple Lie algebra
Representation theory
Lie groups in physics
Scientists


गणित में, साधारण लाइ समूह जुड़ा हुआ गैर-एबेलियन लाइ समूह G है, जिसमें गैर-साधारण जुड़े सामान्य उपसमूह नहीं होते हैं। सामान्य लाई समूहों की सूची का उपयोग सामान्य लाई बीजगणित और रिमेंनियन सममित समष्टि की सूची को पढ़ने के लिए किया जा सकता है।

वास्तविक संख्याओं के क्रमविनिमेय लाई समूह के साथ, , और इकाई-परिमाण जटिल संख्याओं का, U(1) (इकाई वृत्त), सामान्य लाइ समूह परमाणु ब्लॉक देते हैं जो समूह विस्तार के संक्रिया के माध्यम से सभी (परिमित-आयामी) जुड़े हुए समूहों को बनाते हैं। कई सामान्य रूप से सामना किए जाने वाले लाइ समूह या तो सामान्य होते हैं या सामान्य होने के लिए 'संवृत' होते हैं: उदाहरण के लिए, 1 के बराबर निर्धारक के साथ n मैट्रिक्स (आव्यूह) का तथाकथित विशेष रैखिक समूह SL(n) सभी n > 1 के लिए सामान्य है।

सामान्य लाइ समूहों का पहला वर्गीकरण विल्हेम किलिंग द्वारा किया गया था, और यह कार्य बाद में एली कार्टन द्वारा सिद्ध किया गया था। अंतिम वर्गीकरण को प्रायः किलिंग-कार्टन वर्गीकरण के रूप में संदर्भित किया जाता है।

परिभाषा

दुर्भाग्य से, साधारण लाइ समूह की सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत परिभाषा नहीं है। विशेष रूप से, इसे सदैव लाइ समूह के रूप में परिभाषित नहीं किया जाता है जो कि अमूर्त समूह के रूप में सामान्य समूह है। लेखक इस बात पर भिन्न हैं कि क्या एक साधारण लाइ समूह को जोड़ा जाना है, या क्या इसे एक गैर-साधारण केंद्र की स्वीकृति है, या क्या एक साधारण लाइ समूह है।

सबसे सामान्य परिभाषा यह है कि एक लाइ समूह सामान्य है यदि यह जुड़ा हुआ है, गैर-एबेलियन है, और प्रत्येक संवृत जुड़ा हुआ सामान्य उपसमूह या तो पहचान या संपूर्ण समूह है। विशेष रूप से, साधारण समूहों को गैर-साधारण केंद्र रखने की स्वीकृति है, लेकिन सामान्य नहीं है।

इस आलेख में साधारण केंद्र के साथ जुड़े सामान्य लाइ समूह सूचीबद्ध हैं। एक बार जब ये ज्ञात हो जाते हैं, तो गैर-साधारण केंद्र वाले लोगों को निम्नानुसार सूचीबद्ध करना आसान हो जाता है। साधारण केंद्र के साथ किसी भी सामान्य लाइ समूह में एक सार्वभौमिक अंतर्गत होता है, जिसका केंद्र सामान्य लाइ समूह का मौलिक समूह होता है। केंद्र के एक उपसमूह द्वारा इस सार्वभौमिक अंतर्गत के भागफल के रूप में गैर-साधारण केंद्र वाले संबंधित सामान्य लाइ समूहों को प्राप्त किया जा सकता है।

विकल्प

साधारण लाई समूह की समतुल्य परिभाषा लाई समानता से होती है: जुड़ा हुआ लाई समूह सामान्य है यदि इसका लाई बीजगणित सामान्य लाई बीजगणित है। एक महत्वपूर्ण तकनीकी बिंदु यह है कि एक साधारण लाइ समूह में असतत सामान्य उपसमूह हो सकते हैं। इस कारण से, साधारण लाई समूह की परिभाषा एक लाई समूह की परिभाषा के बराबर नहीं है जो कि साधारण समूह है।

सामान्य लाइ समूहों में कई शास्त्रीय लाइ समूह सम्मिलित हैं, जो फेलिक्स क्लेन के एर्लांगेन कार्यक्रम के अर्थ में गोलाकार ज्यामिति, प्रक्षेपी ज्यामिति और संबंधित ज्यामिति के लिए एक समूह-सैद्धांतिक आधार प्रदान करते हैं। साधारण लाई समूहों के वर्गीकरण के समय यह सामने आया कि वहाँ भी कई असाधारण संभावनाएँ सम्मिलित हैं जो किसी भी परिचित ज्यामिति के अनुरूप नहीं हैं जो किसी भी परिचित ज्यामिति से संबंधित नहीं हैं। ये असाधारण समूह गणित की अन्य उपखंडों के साथ-साथ समकालीन सैद्धांतिक भौतिकी में कई विशेष उदाहरणों और विन्यासों के लिए अधीन हैं।

प्रति उदाहरण के रूप में, सामान्य रेखीय समूह न तो सामान्य है, न ही अर्ध-सामान्य लाइ समूह हो। ऐसा इसलिए है क्योंकि पहचान के गुणक एक गैर-साधारण सामान्य उपसमूह बनाते हैं, इस प्रकार परिभाषा से बचते हैं। समतुल्य रूप से, संबंधित लाइ बीजगणित में एक किलिंग स्वरूप का रूप है, क्योंकि बीजगणित के शून्य तत्व के लिए पहचान मानचित्र के गुणक। इस प्रकार, संबंधित लाई बीजगणित भी न तो सामान्य है और न ही अर्धसरल है। एक अन्य प्रति-उदाहरण सम आयाम में विशेष लंबकोणीय समूह हैं। इनमें मैट्रिक्स केंद्र में (समूह सिद्धांत) है, और यह तत्व पहचान तत्व से जुड़ा हुआ है, और इसलिए ये समूह परिभाषा से बचते हैं। ये दोनों लघुकारक समूह हैं।

संबंधित विचार

सामान्य लाइ बीजगणित

Main article: सामान्य लाइ बीजगणित

साधारण लाइ समूह का लाइ बीजगणित एक साधारण लाइ बीजगणित है। यह सामान्य केंद्र और 1 से अधिक आयाम के सरल लाइ बीजगणित के साथ जुड़े सरल लाई समूहों के बीच एक-से-एक समानता है।\\

सम्मिश्र संख्याओं पर अर्धसरल लाई बीजगणित को उनके डायनकिन आरेखो द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जो ABCDEFG प्रकार के होते हैं। यदि L एक वास्तविक सामान्य लाई बीजगणित है, तो इसकी जटिलता एक सामान्य सम्मिश्र लाई बीजगणित है, जब तक कि L पहले से ही एक लाई बीजगणित का जटिलीकरण न हो, जिस स्थिति में L का जटिलीकरण L की दो प्रतियों का एक उत्पाद है। यह समस्या को कम करता है वास्तविक सामान्य लाई बीजगणित को प्रत्येक सम्मिश्र सामान्य लाई बीजगणित के सभी वास्तविक रूपो को जांच करने के लिए वर्गीकृत करना (अर्थात, वास्तविक लाई बीजगणित जिसका सम्मिश्र सम्मिश्र लाई बीजगणित है)। सदैव कम से कम 2 ऐसे रूप होते हैं: विभाजित रूप और एक सुसंहत रूप, और सामान्य रूप से कुछ अन्य होते हैं। विभिन्न वास्तविक रूप सम्मिश्र लाई बीजगणित के अधिकतम 2 क्रम के स्वाकारिकता के वर्गों के अनुरूप हैं।

सममित समष्टि

Main article: सममित समष्टि § रिमानियन सममित समष्टि का वर्गीकरण

सममित समष्टि निम्नानुसार वर्गीकृत किए गए हैं।

सबसे पहले, एक सममित समष्टि का सार्वभौमिक मे अंतर्गत अभी भी सममित है, इसलिए हम केवल जुड़े सममित स्थानों के स्थिति में कम कर सकते हैं। (उदाहरण के लिए, वास्तविक प्रक्षेपी तल का सार्वभौमिक मे अंतर्गत एक वृत्त है।)

दूसरा, सममित समष्टि का उत्पाद सममित है, इसलिए हम केवल अलघुकरणीय को आसानी से जुड़े पदों को वर्गीकृत कर सकते हैं (जहाँ अलघुकरणीय का अर्थ है कि उन्हें छोटे सममित स्थानों के उत्पाद के रूप में नहीं लिखा जा सकता है)।

अलघुकरणीय सामान्य रूप से जुड़े सममित समष्टि वास्तविक रेखा हैं, और प्रत्येक गैर-सुसंहत सामान्य लाई समूह जी के अनुरूप दो सममित समष्टि हैं, एक सुसंहत और एक नॉन-सुसंहत है। गैर-सुसंहत एक अधिकतम सुसंहत उपसमूह H द्वारा G के भागफल मे अंतर्गत है, और सुसंहत एक भागफल मे अंतर्गत है सुसंहत और गैर-सुसंहत के बीच यह द्वंद्व सममित समष्टि वृत्ताकार और अतिपरिवलयिक ज्यामिति के बीच प्रसिद्ध द्वैत का एक सामान्यीकरण है।

हर्मिटियन सममित समष्टि

संगत सम्मिश्र संरचना वाले सममित समष्टि को हर्मिटियन कहा जाता है। सुसंहत से जुड़ा अलघुकरणीय हर्मिटियन सममित समष्टि 4 अनंत श्रेणी में आते हैं जिनमें 2 असाधारण वर्ग बचे हैं, और प्रत्येक में एक गैर-सुसंहत द्विक है। इसके अतिरिक्त सम्मिश्र तल भी एक हर्मिटियन सममित समष्टि है; यह अलघुकरणीय हर्मिटियन सममित समष्टि की पूरी सूची देता है।

चार वर्ग p = 2, D III और C I के लिए A III, B I और D I प्रकार हैं, और दो असाधारण प्रकार 16 और 27 के जटिल आयामों के प्रकार E III और E VII हैं।

अंकन

वास्तविक संख्या, सम्मिश्र संख्या, चतुष्कोण, और अष्टक के लिए है।

असाधारण समूहों के लिए E6−26 जैसे प्रतीकों में, घातांक -26 एक अपरिवर्तनीय सममित द्विरेखीय रूप का हस्ताक्षर है जो अधिकतम सुसंहत उपसमूह पर ऋणात्मक चर है। यह अधिकतम सुसंहत उपसमूह के आयाम से दो गुना कम समूह के आयाम के बराबर है।

नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध मौलिक समूह साधारण केंद्र के साथ साधारण समूह का मूलभूत समूह है। समान लाइ बीजगणित वाले अन्य सामान्य समूह इस मौलिक समूह के उपसमूहों के अनुरूप हैं (मापांक बाहरी स्वाकारिकता समूह की संक्रिया)।

पूर्ण वर्गीकरण

सामान्य लाइ समूह पूरी तरह से वर्गीकृत हैं। वर्गीकरण सामान्य रूप से कई चरणों में कहा जाता है, अर्थात्:

  • सरल जटिल लाई बीजगणित का वर्गीकरण डायनकिन आरेखों द्वारा जटिल संख्याओं पर सरल लाई बीजगणित का वर्गीकरण।
  • सरल वास्तविक लाई बीजगणित का वर्गीकरण प्रत्येक सरल जटिल लाई बीजगणित के कई वास्तविक रूप होते हैं, जिन्हें इसके डायनकिन आरेख की अतिरिक्त पद द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जिसे इचिरो सैटेक के बाद सैटेक रेखाकृति कहा जाता है।
  • प्रत्येक (वास्तविक या सम्मिश्र) सामान्य लाइ बीजगणित के लिए केंद्र रहित सामान्य लाइ समूहों का वर्गीकरण , एक अद्वितीय केंद्रविहीन सामान्य लाइ समूह है जिसका लाइ बीजगणित है और जिसका साधारण केंद्र (समूह सिद्धांत) है।
  • सामान्य लाइ समूहों की सूची

कोई दिखा सकता है कि किसी भी लाइ समूह का मौलिक समूह असतत एबेलियन समूह है। एक (गैर-साधारण) उपसमूह दिया गया, कुछ लाइ समूह के मौलिक समूह की कोई नया समूह बनाने के लिए समष्टि को अंतर्निहित करने के सिद्धांत का उपयोग कर सकता है और जिसके केंद्र मे है। अब कोई भी (वास्तविक या सम्मिश्र) लाइ समूह इस निर्माण को केंद्र रहित लाइ समूहों पर प्रयुक्त करके प्राप्त किया जा सकता है। ध्यान दें कि इस तरह से प्राप्त वास्तविक लाइ समूह किसी भी सम्मिश्र समूह के वास्तविक रूप नहीं हो सकते हैं। इस तरह के वास्तविक समूह का एक बहुत ही महत्वपूर्ण उदाहरण मेटाप्लेक्टिक समूह है, जो अनंत-आयामी प्रतिनिधित्व सिद्धांत और भौतिकी में प्रकट होता है। जब कोई देता है, पूर्ण मौलिक समूह, परिणामी लाइ समूह केंद्रविहीन लाइ समूह का सार्वभौमिक के अंतर्गत है और सिर्फ जुड़ा हुआ है। विशेष रूप से, प्रत्येक (वास्तविक या सम्मिश्र) लाइ बीजगणित भी एक अद्वितीय जुड़ा हुआ और सामान्य रूप से जुड़ा हुआ अंतरिक्ष लाइ समूह से अनुरूप है, उस लाई बीजगणित के साथ, जिसे सरलता से जुड़ा लाई समूह कहा जाता है।


सुसंहत लाइ समूह

Main article: मूल प्रणाली

प्रत्येक साधारण सम्मिश्र लाई बीजगणित का एक अद्वितीय वास्तविक रूप होता है जिसका संबंधित केंद्र रहित लाई समूह सुसंहत समष्टि होता है। यह पता चला है कि इन स्थितियों में सिर्फ जुड़ा हुआ समूह भी सुसंहत है। पीटर-वेइल प्रमेय के कारण सुसंहत लाइ समूहों के पास विशेष रूप से सुविधाजनक प्रतिनिधित्व सिद्धांत है। साधारण सम्मिश्र लाई बीजगणित की तरह, केंद्र रहित सुसंहत लाई समूहों को डायनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है (पहली बार विल्हेम किलिंग और एली कार्टन द्वारा वर्गीकृत)।

डायनकिन डायग्राम

डाइनकिन आरेखों की अनंत (A, B, C, D) श्रृंखला के लिए, प्रत्येक डायकिन आरेख से जुड़े एक संबंधित सुसंहत लाई समूह को स्पष्ट रूप से एक मैट्रिक्स समूह के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसमें संबंधित केंद्र रहित सुसंहत लाई समूह को एक उपसमूह द्वारा भागफल के रूप में वर्णित किया गया है। A और C प्रकार के लिए हम मैट्रिक्स (आव्यूह) समूह के रूप में संबंधित बस जुड़े हुए समूह के स्पष्ट मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व पा सकते हैं।

वर्गीकरण का अवलोकन

Ar के पास इसके संबद्ध बस जुड़े हुए सुसंहत समूह के रूप में विशेष एकात्मक समूह, SU(r + 1) और इसके संबद्ध केंद्रहीन सुसंहत समूह के रूप में प्रक्षेपी एकात्मक समूह PU(r + 1) है।

Brके पास इसके संबंधित केंद्रहीन सुसंहत समूह विषम विशेष लंबकोणीय समूह SO(2r + 1) हैं। हालांकि यह समूह केवल जुड़ा नहीं है: इसका सार्वभौमिक (द्विक) आवरण चक्रण समूह है।

Cr के पास इसके संबद्ध सरलता से जुड़े समूह के रूप में एकात्मक सममिती मेट्रिसेस का समूह है, Sp(r) और इसके संबद्ध केंद्रहीन समूह के रूप में, प्रक्षेपी एकात्मक सममिती मैट्रिक्स के लाइ समूह PSp(r) = Sp(r)/{I, −I} है। सममिती समूहों में मेटाप्लेक्टिक समूह द्वारा द्विक आवरण होता है।

Dr इसके संबद्ध सुसंहत समूह के रूप में विशेष लंबकोणीय समूह भी हैं, विशेष लंबकोणीय समूह SO(2r) और इसके संबद्ध केंद्र रहित सुसंहत समूह के रूप में प्रक्षेपी विशेष लंबकोणीय समूह PSO(2r) = SO(2r)/{I, −I} है। B श्रृंखला के साथ, SO(2r) केवल जुड़ा नहीं है; इसका सार्वभौमिक अंतर्गत फिर से चक्रण समूह है, लेकिन बाद में फिर से एक केंद्र है (cf. इसका लेख)।

आरेख D2 दो अलग-अलग नोड्स हैं, जो A1 ∪ A1 के समान हैं, और यह संयोग चतुर्धातुक गुणन द्वारा दिए गए SU(2) × SU(2) से SO(4) तक आच्छादित प्रतिचित्रण समरूपता से अनुरूप है; चतुष्कोण और स्थानिक घूर्णन देखें। अतः SO(4) एक साधारण समूह नहीं है। इसके अतिरिक्त, आरेख D3, A3 के समान है, जो SU(4) से SO(6) तक आच्छादन प्रतिचित्रण समरूपता के अनुरूप है।

उपरोक्त चार वर्गों Ai, Bi, Ci, और Di के अतिरिक्त, पाँच तथाकथित असाधारण डाइकिन आरेख G2, F4, E6, E7,, और E8 हैं; इन असाधारण डायकिन आरेखों में भी सिर्फ जुड़े हुए और केंद्र रहित सुसंहत समूह जुड़े हुए हैं। हालांकि, असाधारण वर्गों से जुड़े समूहों का वर्णन करना अनंत वर्गों से जुड़े लोगों की तुलना में अधिक कठिन है, मुख्यतः क्योंकि उनके विवरण असाधारण वस्तुओं का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, G2 से जुड़ा समूह अष्टक का स्वाकारिकता समूह है, और F4 से जुड़ा समूह एक निश्चित अल्बर्ट बीजगणित का स्वाकारिकता समूह है।

E7+1⁄2. भी देखें।

सूची

एबेलियन

See also: एबेलियन समूह
आयाम बाह्य स्वाकारिकता समूह सममित समष्‍टि का आयाम सममित समष्‍टि टिप्पणियां
(एबेलियन) 1 1 †


टिप्पणियाँ

^† अमूर्त समूह के रूप में 'साधारण' नहीं है, और अधिकांश (लेकिन सभी नहीं) परिभाषाओं के अनुसार यह एक साधारण लाइ समूह नहीं है। इसके अतिरिक्त, अधिकांश लेखक इसके लाइ बीजगणित को एक साधारण लाइ बीजगणित के रूप में नहीं मानते हैं। इसे यहाँ सूचीबद्ध किया गया है ताकि "अलघुकरणीय केवल सममित समष्टि" की सूची पूरी हो जाए। ध्यान दें कि सुसंहत द्विक के बिना एकमात्र ऐसा गैर-सुसंहत सममित समष्टि है (हालांकि इसमें एक सुसंहत भागफल S1 है।)


सुसंहत

See also: कॉम्पैक्ट समूह
आयाम वास्तविक पद मौलिक समूह बाह्य स्वाकारिकता समूह अन्य नाम टिप्पणियां
An (n ≥ 1) सुसंहत n(n + 2) 0 चक्रीय, क्रम n + 1 1 यदि n = 1, 2 यदि

n > 1

अनुमानित विशेष एकात्मक समूह PSU(n + 1) A1, B1 और C1 के समान है
Bn (n ≥ 2) सुसंहत n(2n + 1) 0 2 1 विशेष लंबकोणीय समूह
SO2n+1(R) 		B1, A1 और C1के समान है।

B2, C2 के समान है।

Cn (n ≥ 3) सुसंहत n(2n + 1) 0 2 1 प्रक्षेपी सुसंहत सममिती समूह
PSp(n), PSp(2n), PUSp(n), PUSp(2n) 		हर्मिटियन Hn की सम्मिश्र संरचनाएँ है, चतुष्कोणीय प्रक्षेपी समष्टि में सम्मिश्र प्रक्षेपी समष्टि की प्रतिरूप
Dn (n ≥ 4) सुसंहत n(2n − 1) 0 क्रम 4 (चक्रीय जब n विषम है)। 2 यदि n > 4, S3 यदि

n = 4

प्रक्षेपी विशेष लंबकोणीय समूह
PSO2n(R) 		D3 के समान A3, D2 के समान A12, और D1 एबेलियन है।
E6−78 सुसंहत 78 0 3 2
E7−133 सुसंहत 133 0 2 1
E8−248 सुसंहत 248 0 1 1
F4−52 सुसंहत 52 0 1 1
G2−14 सुसंहत 14 0 1 1 यह केली बीजगणित का स्वाकारिकता समूह है।


विभाजन

See also: विभाजन लाइ बीजगणित
आयाम वास्तविक पद अधिकतम सुसंहत
उपसमूह 		मौलिक समूह बाह्य स्वाकारिकता समूह अन्य नाम
सममित समष्टि का आयाम 		सुसंहत

सममित समष्टि

गैर-सुसंहत
सममित समष्टि 		टिप्पणियां
An I (n ≥ 1) विभाजित n(n + 2) n Dn/2 or B(n−1)/2 अनंत चक्रीय यदि n = 1
2 यदि

n ≥ 2

1 if n = 1
2 if n ≥ 2. 		प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूह
PSLn+1(R) 		n(n + 3)/2 Cn+1 मे RPn या CPn के समुच्चय पर वास्तविक संरचनाएँ।

हर्मिटियन यदि n = 1 है, तो इस स्थिति मे 2-वृत्त है।

Rn+1 पर यूक्लिडियन संरचनाएं हर्मिटियन यदि n = 1, जब यह ऊपरी आधा तल या इकाई सम्मिश्र डिस्क है।
Bn I (n ≥ 2) विभाजित n(2n + 1) n SO(n)SO(n+1) गैर चक्रीय, क्रम 4 1 विशेष लंबकोणीय समूह का पहचान घटक
SO(n,n+1) 		n(n + 1) B1, A1 के समान है।
Cn I (n ≥ 3) विभाजित n(2n + 1) n An−1S1 अनंत चक्रीय 1 प्रक्षेपी सममिति समूह
PSp2n(R), PSp(2n,R), PSp(2n), PSp(n,R), PSp(n) 		n(n + 1) हर्मिटियन Hn की सम्मिश्र संरचनाएँ है। चतुष्कोणीय प्रक्षेपी समष्टि में सम्मिश्र प्रक्षेपी समष्टि की प्रतिरूप R2n पर हर्मिटियन सम्मिश्र संरचनाएं एक सममिति रूप के साथ संगत हैं। चतुर्धातुक अतिपरवलयिक समष्टि में सम्मिश्र अतिपरवलयिक समष्टि का समुच्चय। सीगल ऊपरी आधा समष्टि। C2 वही है जो B2, है, और C1वही है जो B1 और A1है।
Dn I (n ≥ 4) विभाजित n(2n - 1) n SO(n)SO(n) क्रम 4 यदि n विषम है, 8 यदि n सम है 2 यदि n > 4, S3 यदि n = 4 प्रक्षेपी विशेष लंबकोणीय समूह का पहचान घटक
PSO(n,n) 		n2 D3, A3के समान है D2, A12के समान है और D1 एबेलियन है।
E66 I विभाजित 78 6 C4 क्रम 2 क्रम 2 E I 42
E77 V विभाजित 133 7 A7 चक्रीय, क्रम4 क्रम 2 70
E88 VIII विभाजित 248 8 D8 2 1 E VIII 128 @ E8
F44 I विभाजित 52 4 C3 × A1 क्रम 2 1 F I 28 केली प्रक्षेपी तल में चतुष्कोणीय प्रक्षेपी समतल अतिपरवलयिक केली प्रक्षेपी तल में अतिपरवलयिक चतुष्कोणीय प्रक्षेपी तल
G22 I विभाजित 14 2 A1 × A1 क्रम 2 1 G I 8 केली बीजगणित के चतुष्कोणीय उप-बीजगणित क्वाटरनियन-कहलर गैर-विभाजन केली बीजगणित के गैर-विभाजन चतुष्कोणीय उप-बीजगणित। क्वाटरनियन-कहलर।


सम्मिश्र

See also: सम्मिश्र लाइ समूह
Real dimension वास्तविक पद अधिकतम सुसंहत
उपसमूह 		मौलिक समूह बाह्य स्वाकारिकता समूह अन्य नाम सममित समष्टि का आयाम सुसंहत
सममित समष्टि 		गैर-सुसंहत
सममित समष्टि
An (n ≥ 1) सम्मिश्र 2n(n + 2) n An चक्रीय, क्रम

n + 1

2 यदि n = 1, 4 (गैर-चक्रीय) यदि n ≥ 2. प्रक्षेपी सम्मिश्र विशेष रैखिक समूह PSLn+1(C) n(n + 2) सुसंहत समूह An निश्चित परिणाम के साथ Cn+1

पर हर्मिटियन बनता है।

Bn (n ≥ 2) सम्मिश्र 2n(2n + 1) n Bn 2 क्रम 2 (सम्मिश्र संयोग) सम्मिश्र विशेष लंबकोणीय समूह SO2n+1(C) n(2n + 1) सुसंहत समूह Bn
Cn (n ≥ 3) सम्मिश्र 2n(2n + 1) n Cn 2 क्रम 2 (सम्मिश्र संयोग) प्रक्षेपी सम्मिश्र सममिति समूह PSp2n(C) n(2n + 1) सुसंहत समूह Cn
Dn (n ≥ 4) सम्मिश्र 2n(2n − 1) n Dn क्रम 4 (चक्रीय जब n विषम हो) n > 4, के लिए क्रम 4का गैर-चक्रीय, या क्रम 2 के समूह का उत्पाद और सममित समूह S3 जब n = 4 प्रक्षेपी सम्मिश्र विशेष लंबकोणीय समूह
PSO2n(C) 		n(2n − 1) सुसंहत समूह Dn
E6 सम्मिश्र 156 6 E6 3 क्रम 4 (गैर-चक्रीय) 78 सुसंहत समूह E6
E7 सम्मिश्र 266 7 E7 2 क्रम 2 (सम्मिश्र संयोग) 133 सुसंहत समूह E7
E8 सम्मिश्र 496 8 E8 1 क्रम 2 (सम्मिश्र संयोग) 248 सुसंहत समूह E8
F4 सम्मिश्र 104 4 F4 1 2 52 सुसंहत समूह F4
G2 सम्मिश्र 28 2 G2 1 क्रम 2 (सम्मिश्र संयोग) 14 सुसंहत समूह G2


अन्य

आयाम वास्तविक पद अधिकतम सुसंहत
उपसमूह 		मौलिक समूह बाह्य स्वाकारिकता समूह अन्य नाम सममित समष्टि का आयाम सुसंहत
सममित समष्टि 		गैर-सुसंहत
सममित समष्टि 		टिप्पणियां
A2n−1 II
(n ≥ 2) 		(2n − 1)(2n + 1) n − 1 Cn क्रम 2 SLn(H), SU∗(2n) (n − 1)(2n + 1) हर्मिटियन संरचना के साथ संगत C2n पर चतुष्कोणीय संरचनाएं सम्मिश्र अतिपरवलयिक समष्टि (आयाम 2n - 1) में क्वाटरनियोनिक अतिपरवलयिक समष्टि (आयाम n - 1) की प्रतिरूप।
An III
(n ≥ 1)
p + q = n + 1
(1 ≤ p ≤ q) 		n(n + 2) p Ap−1Aq−1S1 SU(p,q), A III 2pq Cp+q के p उपसमष्टियों का हर्मिटियन ग्रासमैनियन
यदि p या q 2; क्वाटरनियन-कहलर है। 		Cp,q के अधिकतम धनात्मक निश्चित उप-समष्टि के हर्मिटियन ग्रासमानियन
यदि p या q 2 है, क्वाटरनियन-कहलर है। 		यदि p=q=1, विभाजित
यदि |p−q| ≤ 1, अर्ध-विभाजित
Bn I
(n > 1)
p+q = 2n+1 		n(2n + 1) min(p,q) SO(p)SO(q) SO(p,q) pq Rps मे Rp+q का ग्रासमैनियन
यदि p या q 1 है, प्रक्षेपी समष्टि यदि p या q 2 है; हर्मिटियन यदि p या q 4 क्वाटरनियन-कहलर है। 		Rps में धनात्मक निश्चित Rp,q का ग्रासमैनियन
यदि p या q 1 है, अतिपरवलयिक समष्टि
यदि p या q 2 है, हर्मिटियन
यदि p या q 4 है, क्वाटरनियन-कहलर है। 		यदि |p−q| ≤ 1, विभाजित.
Cn II
(n > 2)
n = p+q
(1 ≤ p ≤ q) 		n(2n + 1) min(p,q) CpCq क्रम 2 1 if p ≠ q, 2 if p = q. Sp2p,2q(R) 4pq Hps मे Hp+q का ग्रासमानियन
यदि p या q 1 है, चतुष्कोणीय प्रक्षेप्य समष्टि जिस स्थिति में यह चतुष्क-कहलर है। 		Hps मे Hp,q यदि p या q 1 है, चतुष्कोणीय अतिपरवलयिक समष्टि
जिस स्थिति में यह क्वाटरनियन-कहलर है।.
Dn I
(n ≥ 4)
p+q = 2n 		n(2n − 1) min(p,q) SO(p)SO(q) यदि p और q ≥ 3, क्रम 8. SO(p,q) pq Rps मे Rp+q का ग्रासमानियन
यदि p या q 1 है, तो प्रक्षेपी समष्टि
यदि p या q 2 है ; हर्मिटियन
यदि p या q 4 है, क्वाटरनियन-कहलर है। 		Rps धनात्मक निश्चित Rp,q का ग्रासमैनियन यदि p या q 1 है, अतिपरवलयिक समष्टि
यदि p या q 2 है, हर्मिटियन
यदि p या q 4 है, क्वाटरनियन-कहलर है। 		यदि p = q, विभाजित
यदि |p−q| ≤ 2, अर्ध-विभाजित
Dn III
(n ≥ 4) 		n(2n − 1) ⌊n/2⌋ An−1R1 अनंत चक्रीय क्रम 2 SO*(2n) n(n − 1) हर्मिटियन
यूक्लिडियन संरचना के साथ संगत R2n पर सम्मिश्र संरचनाएं 		हर्मिटियन चतुष्कोणीय द्विघात R2n पर बनता है।
E62 II
(अर्ध-विभाजित) 		78 4 A5A1 चक्रीय, क्रम6 क्रम 2 E II 40 क्वाटरनियन-कहलर क्वाटरनियन-कहलर अर्ध-विभाजित लेकिन विभाजित नहीं।
E6−14 III 78 2 D5S1 अनंत चक्रीय सामान्य E III 32 सम्मिश्र केली संख्या पर हर्मिटियन रोसेनफेल्ड अर्धवृत्ताकार प्रक्षेपी तल। हर्मिटियन सम्मिश्र केली संख्याओ पर रोसेनफेल्ड अतिपरवलयिक प्रक्षेपी तल।
E6−26 IV 78 2 F4 सामान्य क्रम 2 E IV 26 सम्मिश्र केली संख्याओ पर प्रक्षेपी तल में केली प्रक्षेपी तलों का समुच्चय। सम्मिश्र केली संख्याओ पर अतिपरवलयिक तल में केली अतिपरवलयिक तलों का समुच्चय।
E7−5 VI 133 4 D6A1 गैर चक्रीय, क्रम 4 सामान्य E VI 64 क्वाटरनियन-कहलर क्वाटरनियन-कहलर
E7−25 VII 133 3 E6S1 अनंत चक्रीय क्रम 2 E VII 54 हर्मिटियन हर्मिटियन
E8−24 IX 248 4 E7 × A1 क्रम 2 1 E IX 112 क्वाटरनियन-कहलर क्वाटरनियन-कहलर
F4−20 II 52 1 B4 (Spin9(R)) क्रम 2 1 F II 16 केली प्रक्षेपी तल। क्वाटरनियन-कहलर अतिपरवलयिक केली प्रक्षेपी तल। क्वाटरनियन-कहलर


छोटे आयाम के सामान्य लाइ समूह

निम्न तालिका में कुछ लाइ समूहों को छोटे आयामों के सामान्य लाइ बीजगणित के साथ सूचीबद्ध किया गया है। दी गई रेखा पर सभी समूहों का एक ही लाई बीजगणित होता है। आयाम 1 स्थिति में, समूह एबेलियन हैं और सामान्य नहीं हैं।

Dim समूह सममित समष्‍टि सुसंहत द्विक सीमा आयाम
1 , S1 = U(1) = SO2() = Spin(2) एबेलियन वास्तविक रेखा 0 1
3 S3 = Sp(1) = SU(2)=Spin(3), SO3() = PSU(2) सुसंहत
3 SL2() = Sp2(), SO2,1() विभाजित, हर्मिटियन, अतिपरिवलयिक अतिपरवलयिक तल वृत्त S2 1 2
6 SL2() = Sp2(), SO3,1(), SO3() सम्मिश्र अतिपरवलयिक समष्टि वृत्त S3 1 3
8 SL3() विभाजित पर यूक्लिडियन संरचनाएं पर वास्तविक संरचनाए 2 5
8 SU(3) सुसंहत
8 SU(1,2) हर्मिटियन, अर्ध-विभाजित, चतुष्कोणीय सम्मिश्र अतिपरवलयिक तल सम्मिश्र प्रक्षेपी तल 1 4
10 Sp(2) = Spin(5), SO5() सुसंहत
10 SO4,1(), Sp2,2() अतिपरवलयिक, चतुष्कोणीय अतिपरवलयिक समष्टि वृत्त S4 1 4
10 SO3,2(), Sp4() विभाजित, हर्मिटियन सीगल का ऊपरी आधा भाग समष्टि पर सम्मिश्र संरचनाएं 2 6
14 G2 सुसंहत
14 G2 विभाजित, चतुष्कोणीय गैर-विभाजित चतुष्कोणीय गैर-विभाजन अष्टकैक के

उप-बीजगणित

क्वाटरनियोनिक अष्टक के

उप-बीजगणित

2 8
15 SU(4) = Spin(6), SO6() सुसंहत
15 SL4(), SO3,3() विभाजित 3 मे 3,3 ग्रासमानियन G(3,3) 3 9
15 SU(3,1) हर्मिटियन सम्मिश्र अतिपरवलयिक समष्टि सम्मिश्र प्रक्षेपी समष्टि 1 6
15 SU(2,2), SO4,2() हर्मिटियन, अर्ध-विभाजित, चतुष्कोणीय 2 मे 2,4 ग्रासमानियन G(2,4) 2 8
15 SL2(), SO5,1() अतिपरवलयिक अतिपरवलयिक समष्टि वृत्त S5 1 5
16 SL3() सम्मिश्र SU(3) 2 8
20 SO5(), Sp4() सम्मिश्र Spin5() 2 10
21 SO7() सुसंहत
21 SO6,1() अतिपरवलयिक अतिपरवलयिक समष्टि वृत्त S6
21 SO5,2() हर्मिटियन
21 SO4,3() विभाजित, चतुष्कोणीय
21 Sp(3) सुसंहत
21 Sp6() विभाजित,हर्मिटियन
21 Sp4,2() क्वाटरनियोनिक
24 SU(5) सुसंहत
24 SL5() विभाजित
24 SU4,1 हर्मिटियन
24 SU3,2 हर्मिटियन, चतुष्कोणीय
28 SO8() सुसंहत
28 SO7,1() अतिपरवलयिक अतिपरवलयिक समष्टि वृत्त S7
28 SO6,2() हर्मिटियन
28 SO5,3() अर्ध-विभाजित
28 SO4,4() विभाजित, चतुष्कोणीय
28 SO∗8() हर्मिटियन
28 G2() सम्मिश्र
30 SL4() सम्मिश्र


सामान्य लेसित समूह

सामान्य रूप से लेसित समूह एक लाई समूह होता है जिसके डायनकिन आरेख में केवल सामान्य शृंखला होती हैं, और इसलिए संबंधित लाई बीजगणित की सभी गैर-शून्य मूलों की लंबाई समान होती है। A, D और E श्रृंखला समूह सभी सिर्फ लेसित हैं, लेकिन B, C, F, या G प्रकार का कोई समूह केवल लेसित नहीं है।

यह भी देखें

संदर्भ

  • Jacobson, Nathan (1971). Exceptional Lie Algebras. CRC Press. ISBN 0-8247-1326-5.
  • Fulton, William; Harris, Joe (2004). Representation Theory: A First Course. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-1-4612-0979-9.


अग्रिम पठन

  • Besse, Einstein manifolds ISBN 0-387-15279-2
  • Helgason, Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. ISBN 0-8218-2848-7
  • Fuchs and Schweigert, Symmetries, Lie algebras, and representations: a graduate course for physicists. Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-54119-0
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