कार्टन मैट्रिक्स

गणित में, कार्टन आव्यूह शब्द के तीन अर्थ हैं। इन सभी का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ एली कार्टन के नाम पर रखा गया है। आश्चर्यजनक रूप से, असत्य बीजगणित के संदर्भ में कार्टन मैट्रिसेस की पहली बार विल्हेम हत्या द्वारा जांच की गई थी, जबकि मारक रूप कार्टन के कारण है।

असत्य बीजगणित

एक (सममित) सामान्यीकृत कार्टन आव्यूह स्क्वायर आव्यूह है $A=(a_{ij})$ पूर्णांक प्रविष्टियों के साथ जैसे कि

1. विकर्ण प्रविष्टियों के लिए, $a_{ii}=2$.
2. गैर-विकर्ण प्रविष्टियों के लिए, $a_{ij}\leq 0$.
3. $a_{ij}=0$ यदि और केवल यदि $a_{ji}=0$
4. $A$ रूप में लिखा जा सकता है $DS$, जहाँ $D$ विकर्ण आव्यूह है, और $S$ सममित आव्यूह है।

उदाहरण के लिए, G₂ के लिए कार्टन आव्यूह को इस प्रकार विघटित किया जा सकता है:

${\begin{bmatrix}2&-3\\-1&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}&-1\\-1&2\end{bmatrix}}.$

तीसरी स्थिति स्वतंत्र नहीं है, किंतु वास्तव में पहली और चौथी स्थिति का परिणाम है।

हम सदैव सकारात्मक विकर्ण प्रविष्टियों के साथ D चुन सकते हैं। उस स्थिति में, यदि उपरोक्त अपघटन में S सकारात्मक-निश्चित आव्यूह है, तो A को 'कार्टन आव्यूह ' कहा जाता है।

एक साधारण असत्य बीजगणित का कार्टन आव्यूह वह आव्यूह है जिसके तत्व स्केलर उत्पाद हैं

$a_{ji}=2{(r_{i},r_{j}) \over (r_{j},r_{j})}$

(कभी-कभी कार्टन पूर्णांक कहा जाता है) जहां r_i बीजगणित की जड़ प्रणाली हैं। प्रविष्टियाँ मूल प्रक्रिया के गुणों में से से अभिन्न हैं। पहली नियम परिभाषा से आती है, दूसरी इस तथ्य से कि के लिए $i\neq j,r_{j}-{2(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}r_{i}$ जड़ है जो सरल जड़ों r_i और r_j का रैखिक संयोजन है जो r_j के लिए सकारात्मक गुणांक के साथ है और इसलिए, r_i के लिए गुणांक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए। तीसरा सत्य है क्योंकि लांबिकता सममित संबंध है। और अंत में, चलो $D_{ij}={\delta _{ij} \over (r_{i},r_{i})}$ और $S_{ij}=2(r_{i},r_{j})$. क्योंकि साधारण जड़ें यूक्लिडियन स्थान को फैलाती हैं, S सकारात्मक निश्चित है।

इसके विपरीत, सामान्यीकृत कार्टन आव्यूह दिया गया है, कोई इसके संबंधित लाई बीजगणित को पुनर्प्राप्त कर सकता है। (अधिक विवरण के लिए केएसी-मूडी बीजगणित देखें)।

वर्गीकरण

एक $n\times n$ यदि कोई गैर-रिक्त उचित उपसमुच्चय उपस्थित है, तो आव्यूह A 'विघटित' है $I\subset \{1,\dots ,n\}$ ऐसा है कि $a_{ij}=0$ जब कभी भी $i\in I$ और $j\notin I$. A 'अविघटनीय' है यदि यह अपघटनीय नहीं है।

मान लीजिए A अपघटनीय सामान्यीकृत कार्टन आव्यूह है। हम कहते हैं कि A 'परिमित प्रकार' का है यदि उसके सभी प्रमुख नाबालिग सकारात्मक हैं, A 'एफ़ाइन प्रकार' का है यदि उसके उचित प्रमुख अवयस्क सकारात्मक हैं और A का निर्धारक 0 है, और यह कि A अन्यथा 'अनिश्चित प्रकार' का है .

परिमित प्रकार के अविघटनीय आव्यूह, परिमित आयामी सरल असत्य बीजगणित (प्रकार के) को वर्गीकृत करते हैं $A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}$), जबकि एफ़िन प्रकार के अविवेकी मेट्रिसेस एफ़िन असत्य बीजगणित को वर्गीकृत करते हैं (विशेषता 0 के कुछ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर कहते हैं)।

साधारण असत्य बीजगणित के कार्टन मैट्रिसेस के निर्धारक

सरल असत्य बीजगणित के कार्टन आव्यूह के निर्धारक निम्नलिखित तालिका में दिए गए हैं (साथ में A1=B1=C1, B2=C2, D3=A3, D2=A1A1, E5=D5, E4=A4, और E3=A2A1)।

An	Bn	Cn	Dn n ≥ 3	En 3 ≤ n ≤ 8	F4	G2
n + 1	2	2	4	9 − n	1	1

इस निर्धारक की और संपत्ति यह है कि यह संबंधित जड़ प्रणाली के सूचकांक के समान्य है, अर्थात यह $|P/Q|$ इसके समान्य है जहाँ P, Q क्रमशः वजन जाली और जड़ जाली को दर्शाता है।

परिमित-आयामी बीजगणित का प्रतिनिधित्व

मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, और अधिक सामान्यतः परिमित-आयामी साहचर्य बीजगणित ए के प्रतिनिधित्व के सिद्धांत में, जो अर्ध-सरल बीजगणित नहीं हैं, 'कार्टन आव्यूह ' को प्रमुख अविघटनीय मॉड्यूल के (परिमित) समूह पर विचार करके और उनके लिए रचना श्रृंखला लिखकर परिभाषित किया गया है। अलघुकरणीय मॉड्यूल के संदर्भ में, अलघुकरणीय मॉड्यूल की घटनाओं की संख्या की गणना करने वाले पूर्णांकों के आव्यूह की उपज ।

एम-सिद्धांत में कार्टन मैट्रिसेस

एम-थ्योरी में, साइकिल ग्राफ के साथ ज्यामिति पर विचार किया जा सकता है | दो-चक्र जो दूसरे के साथ बिंदुओं की सीमित संख्या में प्रतिच्छेद करते हैं, उस सीमा पर जहां दो-चक्रों का क्षेत्र शून्य हो जाता है। इस सीमा पर, गेज समूह दिखाई देता है। दो-चक्रों के आधार के प्रतिच्छेदन संख्याओं के आव्यूह को इस स्थानीय समरूपता समूह के लाई बीजगणित के कार्टन आव्यूह के रूप में माना जाता है।

इस प्रकार इसे समझाया जा सकता है। एम-थ्योरी में सॉलिटन होते हैं जो द्वि-आयामी सतह होते हैं जिन्हें मेम्ब्रेन या 2-ब्रैन कहा जाता है। 2-ब्रेन में तनाव (भौतिकी) होता है और इस प्रकार सिकुड़ जाता है, किंतु यह दो चक्रों के चारों ओर लपेट सकता है जो इसे शून्य से सिकुड़ने से रोकता है।

एक संघनन (भौतिकी)भौतिकी) आयाम हो सकता है जो सभी दो-चक्रों और उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा साझा किया जाता है, और फिर उस सीमा को ले जाता है जहां यह आयाम शून्य तक सिकुड़ जाता है, इस प्रकार इस आयाम पर आयामी कमी प्राप्त होती है। फिर किसी को एम-थ्योरी की सीमा के रूप में टाइप आईआईए स्ट्रिंग सिद्धांत मिलती है, जिसमें 2-ब्रेन दो-साइकिल को लपेटते हैं, जिसे अब डी-ब्रान के बीच खुली स्ट्रिंग द्वारा वर्णित किया जाता है। प्रत्येक डी-ब्रेन के लिए यू (1) स्थानीय समरूपता समूह है, जो इसके अभिविन्यास को बदले बिना इसे स्थानांतरित करने की स्वतंत्रता (भौतिकी और रसायन विज्ञान) की डिग्री के समान है। वह सीमा जहां दो-चक्रों का शून्य क्षेत्र है वह सीमा है जहां ये डी-ब्रेन दूसरे के ऊपर हैं, जिससे को बढ़ाया स्थानीय समरूपता समूह मिल सकता है।

अब, दो डी-ब्रेन्स के बीच फैला खुली स्ट्रिंग लाई बीजगणित जनरेटर का प्रतिनिधित्व करता है, और ऐसे दो जनरेटर का कम्यूटेटर तीसरा है, जो खुली स्ट्रिंग द्वारा दर्शाया जाता है, जो दो खुले तारों के किनारों को साथ जोड़कर प्राप्त करता है।

अलग-अलग खुले तारों के बीच बाद का संबंध इस बात पर निर्भर करता है कि 2-ब्रेन मूल एम-सिद्धांत में कैसे प्रतिच्छेद कर सकते हैं, अर्थात दो-चक्रों के प्रतिच्छेदन संख्या में। इस प्रकार असत्य बीजगणित पूरी तरह से इन प्रतिच्छेदन संख्याओं पर निर्भर करता है। कार्टन आव्यूह से स्पष्ट संबंध इसलिए है क्योंकि बाद वाला सरल मूल (मूल प्रणाली ) के कम्यूटेटर का वर्णन करता है, जो कि चुने गए आधार में दो-चक्र से संबंधित हैं।

यह उपबीजगणित परीक्षण में जेनरेटर खुले तारों द्वारा दर्शाए जाते हैं जो डी-ब्रेन और स्वयं के बीच फैले होते हैं।

यह भी देखें

• डनकिन आरेख
• असाधारण जॉर्डन बीजगणित
• मौलिक प्रतिनिधित्व
• संहार रूप
• सरल असत्य समूह

संदर्भ

• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory: A first course. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 129. Springer-Verlag. p. 334. ISBN 0-387-97495-4.
• Humphreys, James E. (1972). Introduction to Lie algebras and representation theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 9. Springer-Verlag. pp. 55–56. doi:10.1007/978-1-4612-6398-2. ISBN 0-387-90052-7.
• Kac, Victor G. (1990). Infinite Dimensional Lie Algebras (3rd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46693-6..

बाहरी संबंध

• "Cartan matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Cartan matrix". MathWorld.