सरल लाय समूह: Difference between revisions

Latest revision as of 11:01, 10 March 2023

यह लेख किलिंग-कार्टन वर्गीकरण के बारे में है। सामान्य रूप से सैद्धांतिक भौतिकी में पाए जाने वाले समूहों की एक छोटी सूची के लिए, लाइ समूहों की तालिका देखें। अधिक से अधिक 3 आयामों के समूहों के लिए, बियांची वर्गीकरण देखें।

गणित में, साधारण लाइ समूह जुड़ा हुआ गैर-एबेलियन लाइ समूह G है, जिसमें गैर-साधारण जुड़े सामान्य उपसमूह नहीं होते हैं। सामान्य लाई समूहों की सूची का उपयोग सामान्य लाई बीजगणित और रिमेंनियन सममित समष्टि की सूची को पढ़ने के लिए किया जा सकता है।

वास्तविक संख्याओं के क्रमविनिमेय लाई समूह के साथ, $\mathbb {R}$ , और इकाई-परिमाण जटिल संख्याओं का, U(1) (इकाई वृत्त), सामान्य लाइ समूह परमाणु ब्लॉक देते हैं जो समूह विस्तार के संक्रिया के माध्यम से सभी (परिमित-आयामी) जुड़े हुए समूहों को बनाते हैं। कई सामान्य रूप से सामना किए जाने वाले लाइ समूह या तो सामान्य होते हैं या सामान्य होने के लिए 'संवृत' होते हैं: उदाहरण के लिए, 1 के बराबर निर्धारक के साथ n मैट्रिक्स (आव्यूह) का तथाकथित विशेष रैखिक समूह SL(n) सभी n > 1 के लिए सामान्य है।

सामान्य लाइ समूहों का पहला वर्गीकरण विल्हेम किलिंग द्वारा किया गया था, और यह कार्य बाद में एली कार्टन द्वारा सिद्ध किया गया था। अंतिम वर्गीकरण को प्रायः किलिंग-कार्टन वर्गीकरण के रूप में संदर्भित किया जाता है।

परिभाषा

दुर्भाग्य से, साधारण लाइ समूह की सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत परिभाषा नहीं है। विशेष रूप से, इसे सदैव लाइ समूह के रूप में परिभाषित नहीं किया जाता है जो कि अमूर्त समूह के रूप में सामान्य समूह है। लेखक इस बात पर भिन्न हैं कि क्या एक साधारण लाइ समूह को जोड़ा जाना है, या क्या इसे एक गैर-साधारण केंद्र की स्वीकृति है, या क्या $\mathbb {R}$ एक साधारण लाइ समूह है।

सबसे सामान्य परिभाषा यह है कि एक लाइ समूह सामान्य है यदि यह जुड़ा हुआ है, गैर-एबेलियन है, और प्रत्येक संवृत जुड़ा हुआ सामान्य उपसमूह या तो पहचान या संपूर्ण समूह है। विशेष रूप से, साधारण समूहों को गैर-साधारण केंद्र रखने की स्वीकृति है, लेकिन $\mathbb {R}$ सामान्य नहीं है।

इस आलेख में साधारण केंद्र के साथ जुड़े सामान्य लाइ समूह सूचीबद्ध हैं। एक बार जब ये ज्ञात हो जाते हैं, तो गैर-साधारण केंद्र वाले लोगों को निम्नानुसार सूचीबद्ध करना आसान हो जाता है। साधारण केंद्र के साथ किसी भी सामान्य लाइ समूह में एक सार्वभौमिक अंतर्गत होता है, जिसका केंद्र सामान्य लाइ समूह का मौलिक समूह होता है। केंद्र के एक उपसमूह द्वारा इस सार्वभौमिक अंतर्गत के भागफल के रूप में गैर-साधारण केंद्र वाले संबंधित सामान्य लाइ समूहों को प्राप्त किया जा सकता है।

विकल्प

साधारण लाई समूह की समतुल्य परिभाषा लाई समानता से होती है: जुड़ा हुआ लाई समूह सामान्य है यदि इसका लाई बीजगणित सामान्य लाई बीजगणित है। एक महत्वपूर्ण तकनीकी बिंदु यह है कि एक साधारण लाइ समूह में असतत सामान्य उपसमूह हो सकते हैं। इस कारण से, साधारण लाई समूह की परिभाषा एक लाई समूह की परिभाषा के बराबर नहीं है जो कि साधारण समूह है।

सामान्य लाइ समूहों में कई शास्त्रीय लाइ समूह सम्मिलित हैं, जो फेलिक्स क्लेन के एर्लांगेन कार्यक्रम के अर्थ में गोलाकार ज्यामिति, प्रक्षेपी ज्यामिति और संबंधित ज्यामिति के लिए एक समूह-सैद्धांतिक आधार प्रदान करते हैं। साधारण लाई समूहों के वर्गीकरण के समय यह सामने आया कि वहाँ भी कई असाधारण संभावनाएँ सम्मिलित हैं जो किसी भी परिचित ज्यामिति के अनुरूप नहीं हैं जो किसी भी परिचित ज्यामिति से संबंधित नहीं हैं। ये असाधारण समूह गणित की अन्य उपखंडों के साथ-साथ समकालीन सैद्धांतिक भौतिकी में कई विशेष उदाहरणों और विन्यासों के लिए अधीन हैं।

प्रति उदाहरण के रूप में, सामान्य रेखीय समूह न तो सामान्य है, न ही अर्ध-सामान्य लाइ समूह हो। ऐसा इसलिए है क्योंकि पहचान के गुणक एक गैर-साधारण सामान्य उपसमूह बनाते हैं, इस प्रकार परिभाषा से बचते हैं। समतुल्य रूप से, संबंधित लाइ बीजगणित में एक किलिंग स्वरूप का रूप है, क्योंकि बीजगणित के शून्य तत्व के लिए पहचान मानचित्र के गुणक। इस प्रकार, संबंधित लाई बीजगणित भी न तो सामान्य है और न ही अर्धसरल है। एक अन्य प्रति-उदाहरण सम आयाम में विशेष लंबकोणीय समूह हैं। इनमें मैट्रिक्स $-I$ केंद्र में (समूह सिद्धांत) है, और यह तत्व पहचान तत्व से जुड़ा हुआ है, और इसलिए ये समूह परिभाषा से बचते हैं। ये दोनों लघुकारक समूह हैं।

पूर्ण वर्गीकरण

सामान्य लाइ समूह पूरी तरह से वर्गीकृत हैं। वर्गीकरण सामान्य रूप से कई चरणों में कहा जाता है, अर्थात्:

सरल जटिल लाई बीजगणित का वर्गीकरण डायनकिन आरेखों द्वारा जटिल संख्याओं पर सरल लाई बीजगणित का वर्गीकरण।

सरल वास्तविक लाई बीजगणित का वर्गीकरण प्रत्येक सरल जटिल लाई बीजगणित के कई वास्तविक रूप होते हैं, जिन्हें इसके डायनकिन आरेख की अतिरिक्त पद द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जिसे इचिरो सैटेक के बाद सैटेक रेखाकृति कहा जाता है।

प्रत्येक (वास्तविक या सम्मिश्र) सामान्य लाइ बीजगणित के लिए केंद्र रहित सामान्य लाइ समूहों का वर्गीकरण ${\mathfrak {g}}$ , एक अद्वितीय केंद्रविहीन सामान्य लाइ समूह $G$ है जिसका लाइ बीजगणित ${\mathfrak {g}}$ है और जिसका साधारण केंद्र (समूह सिद्धांत) है।
सामान्य लाइ समूहों की सूची

कोई दिखा सकता है कि किसी भी लाइ समूह का मौलिक समूह असतत एबेलियन समूह है। एक (गैर-साधारण) उपसमूह $K\subset \pi _{1}(G)$ दिया गया, कुछ लाइ समूह के मौलिक समूह $G$ की कोई नया समूह बनाने के लिए समष्टि को अंतर्निहित करने के सिद्धांत का उपयोग कर सकता है और ${\tilde {G}}^{K}$ जिसके केंद्र मे $K$ है। अब कोई भी (वास्तविक या सम्मिश्र) लाइ समूह इस निर्माण को केंद्र रहित लाइ समूहों पर प्रयुक्त करके प्राप्त किया जा सकता है। ध्यान दें कि इस तरह से प्राप्त वास्तविक लाइ समूह किसी भी सम्मिश्र समूह के वास्तविक रूप नहीं हो सकते हैं। इस तरह के वास्तविक समूह का एक बहुत ही महत्वपूर्ण उदाहरण मेटाप्लेक्टिक समूह है, जो अनंत-आयामी प्रतिनिधित्व सिद्धांत और भौतिकी में प्रकट होता है। जब कोई $K\subset \pi _{1}(G)$ देता है, पूर्ण मौलिक समूह, ${\tilde {G}}^{K=\pi _{1}(G)}$ परिणामी लाइ समूह केंद्रविहीन लाइ समूह का सार्वभौमिक के अंतर्गत $G$ है और सिर्फ जुड़ा हुआ है। विशेष रूप से, प्रत्येक (वास्तविक या सम्मिश्र) लाइ बीजगणित भी एक अद्वितीय जुड़ा हुआ और सामान्य रूप से जुड़ा हुआ अंतरिक्ष लाइ समूह से अनुरूप ${\tilde {G}}$ है, उस लाई बीजगणित के साथ, जिसे सरलता से जुड़ा लाई समूह ${\mathfrak {g}}$ कहा जाता है।

सुसंहत लाइ समूह

प्रत्येक साधारण सम्मिश्र लाई बीजगणित का एक अद्वितीय वास्तविक रूप होता है जिसका संबंधित केंद्र रहित लाई समूह सुसंहत समष्टि होता है। यह पता चला है कि इन स्थितियों में सिर्फ जुड़ा हुआ समूह भी सुसंहत है। पीटर-वेइल प्रमेय के कारण सुसंहत लाइ समूहों के पास विशेष रूप से सुविधाजनक प्रतिनिधित्व सिद्धांत है। साधारण सम्मिश्र लाई बीजगणित की तरह, केंद्र रहित सुसंहत लाई समूहों को डायनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है (पहली बार विल्हेम किलिंग और एली कार्टन द्वारा वर्गीकृत)।

डाइनकिन आरेखों की अनंत (A, B, C, D) श्रृंखला के लिए, प्रत्येक डायकिन आरेख से जुड़े एक संबंधित सुसंहत लाई समूह को स्पष्ट रूप से एक मैट्रिक्स समूह के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसमें संबंधित केंद्र रहित सुसंहत लाई समूह को एक उपसमूह द्वारा भागफल के रूप में वर्णित किया गया है। A और C प्रकार के लिए हम मैट्रिक्स (आव्यूह) समूह के रूप में संबंधित बस जुड़े हुए समूह के स्पष्ट मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व पा सकते हैं।

वर्गीकरण का अवलोकन

A_r के पास इसके संबद्ध बस जुड़े हुए सुसंहत समूह के रूप में विशेष एकात्मक समूह, SU(r + 1) और इसके संबद्ध केंद्रहीन सुसंहत समूह के रूप में प्रक्षेपी एकात्मक समूह PU(r + 1) है।

B_rके पास इसके संबंधित केंद्रहीन सुसंहत समूह विषम विशेष लंबकोणीय समूह SO(2r + 1) हैं। हालांकि यह समूह केवल जुड़ा नहीं है: इसका सार्वभौमिक (द्विक) आवरण चक्रण समूह है।

C_r के पास इसके संबद्ध सरलता से जुड़े समूह के रूप में एकात्मक सममिती मेट्रिसेस का समूह है, Sp(r) और इसके संबद्ध केंद्रहीन समूह के रूप में, प्रक्षेपी एकात्मक सममिती मैट्रिक्स के लाइ समूह PSp(r) = Sp(r)/{I, −I} है। सममिती समूहों में मेटाप्लेक्टिक समूह द्वारा द्विक आवरण होता है।

D_r इसके संबद्ध सुसंहत समूह के रूप में विशेष लंबकोणीय समूह भी हैं, विशेष लंबकोणीय समूह SO(2r) और इसके संबद्ध केंद्र रहित सुसंहत समूह के रूप में प्रक्षेपी विशेष लंबकोणीय समूह PSO(2r) = SO(2r)/{I, −I} है। B श्रृंखला के साथ, SO(2r) केवल जुड़ा नहीं है; इसका सार्वभौमिक अंतर्गत फिर से चक्रण समूह है, लेकिन बाद में फिर से एक केंद्र है (cf. इसका लेख)।

आरेख D₂ दो अलग-अलग नोड्स हैं, जो A₁ ∪ A₁ के समान हैं, और यह संयोग चतुर्धातुक गुणन द्वारा दिए गए SU(2) × SU(2) से SO(4) तक आच्छादित प्रतिचित्रण समरूपता से अनुरूप है; चतुष्कोण और स्थानिक घूर्णन देखें। अतः SO(4) एक साधारण समूह नहीं है। इसके अतिरिक्त, आरेख D3, A3 के समान है, जो SU(4) से SO(6) तक आच्छादन प्रतिचित्रण समरूपता के अनुरूप है।

उपरोक्त चार वर्गों A_i, B_i, C_i, और D_i के अतिरिक्त, पाँच तथाकथित असाधारण डाइकिन आरेख G₂, F₄, E₆, E₇,, और E₈ हैं; इन असाधारण डायकिन आरेखों में भी सिर्फ जुड़े हुए और केंद्र रहित सुसंहत समूह जुड़े हुए हैं। हालांकि, असाधारण वर्गों से जुड़े समूहों का वर्णन करना अनंत वर्गों से जुड़े लोगों की तुलना में अधिक कठिन है, मुख्यतः क्योंकि उनके विवरण असाधारण वस्तुओं का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, G₂ से जुड़ा समूह अष्टक का स्वाकारिकता समूह है, और F₄ से जुड़ा समूह एक निश्चित अल्बर्ट बीजगणित का स्वाकारिकता समूह है।

E_7+1⁄2. भी देखें।

सूची

एबेलियन

	आयाम	बाह्य स्वाकारिकता समूह	सममित समष्‍टि का आयाम	सममित समष्‍टि	टिप्पणियां
$\mathbb {R}$ (एबेलियन)	1	$\mathbb {R} ^{*}$	1	$\mathbb {R}$	^†

अमूर्त समूह के रूप में 'साधारण' नहीं है, और अधिकांश (लेकिन सभी नहीं) परिभाषाओं के अनुसार यह एक साधारण लाइ समूह नहीं है। इसके अतिरिक्त, अधिकांश लेखक इसके लाइ बीजगणित को एक साधारण लाइ बीजगणित के रूप में नहीं मानते हैं। इसे यहाँ सूचीबद्ध किया गया है ताकि "अलघुकरणीय केवल सममित समष्टि" की सूची पूरी हो जाए। ध्यान दें कि

\mathbb {R}

सुसंहत द्विक के बिना एकमात्र ऐसा गैर-सुसंहत सममित समष्टि है (हालांकि इसमें एक सुसंहत भागफल S¹ है।)

सुसंहत

	आयाम	मौलिक समूह	बाह्य स्वाकारिकता समूह	अन्य नाम	टिप्पणियां
A_n (n ≥ 1) सुसंहत	n(n + 2)	चक्रीय, क्रम n + 1	1 यदि n = 1, 2 यदि n > 1	अनुमानित विशेष एकात्मक समूह PSU(n + 1)	A_1, B₁ और C₁ के समान है
B_n (n ≥ 2) सुसंहत	n(2n + 1)	2	1	विशेष लंबकोणीय समूह SO_2n+1(R)	B_1, A₁ और C₁के समान है। B_2, C₂ के समान है।
C_n (n ≥ 3) सुसंहत	n(2n + 1)	2	1	प्रक्षेपी सुसंहत सममिती समूह PSp(n), PSp(2n), PUSp(n), PUSp(2n)	हर्मिटियन Hⁿ की सम्मिश्र संरचनाएँ है, चतुष्कोणीय प्रक्षेपी समष्टि में सम्मिश्र प्रक्षेपी समष्टि की प्रतिरूप
D_n (n ≥ 4) सुसंहत	n(2n − 1)	क्रम 4 (चक्रीय जब n विषम है)।	2 यदि n > 4, S₃ यदि n = 4	प्रक्षेपी विशेष लंबकोणीय समूह PSO_2n(R)	D₃ के समान A₃, D₂ के समान A₁², और D₁ एबेलियन है।
E₆⁻⁷⁸ सुसंहत	78	3	2
E₇⁻¹³³ सुसंहत	133	2	1
E₈⁻²⁴⁸ सुसंहत	248	1	1
F₄⁻⁵² सुसंहत	52	1	1
G₂⁻¹⁴ सुसंहत	14	1	1		यह केली बीजगणित का स्वाकारिकता समूह है।

विभाजन

	आयाम	वास्तविक पद	अधिकतम सुसंहत उपसमूह	मौलिक समूह	बाह्य स्वाकारिकता समूह	अन्य नाम	सममित समष्टि का आयाम	सुसंहत सममित समष्टि	गैर-सुसंहत सममित समष्टि	टिप्पणियां
A_n I (n ≥ 1) विभाजित	n(n + 2)	n	D_n/2 or B_(n−1)/2	अनंत चक्रीय यदि n = 1 2 यदि n ≥ 2	1 if n = 1 2 if n ≥ 2.	प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूह PSL_n+1(R)	n(n + 3)/2	Cⁿ⁺¹ मे RPⁿ या CPⁿ के समुच्चय पर वास्तविक संरचनाएँ। हर्मिटियन यदि n = 1 है, तो इस स्थिति मे 2-वृत्त है।	Rⁿ⁺¹ पर यूक्लिडियन संरचनाएं हर्मिटियन यदि n = 1, जब यह ऊपरी आधा तल या इकाई सम्मिश्र डिस्क है।
B_n I (n ≥ 2) विभाजित	n(2n + 1)	n	SO(n)SO(n+1)	गैर चक्रीय, क्रम 4	1	विशेष लंबकोणीय समूह का पहचान घटक SO(n,n+1)	n(n + 1)			B_1, A₁ के समान है।
C_n I (n ≥ 3) विभाजित	n(2n + 1)	n	A_n−1S¹	अनंत चक्रीय	1	प्रक्षेपी सममिति समूह PSp_2n(R), PSp(2n,R), PSp(2n), PSp(n,R), PSp(n)	n(n + 1)	हर्मिटियन Hⁿ की सम्मिश्र संरचनाएँ है। चतुष्कोणीय प्रक्षेपी समष्टि में सम्मिश्र प्रक्षेपी समष्टि की प्रतिरूप	R²ⁿ पर हर्मिटियन सम्मिश्र संरचनाएं एक सममिति रूप के साथ संगत हैं। चतुर्धातुक अतिपरवलयिक समष्टि में सम्मिश्र अतिपरवलयिक समष्टि का समुच्चय। सीगल ऊपरी आधा समष्टि।	C₂ वही है जो B₂, है, और C₁वही है जो B₁ और A₁है।
D_n I (n ≥ 4) विभाजित	n(2n - 1)	n	SO(n)SO(n)	क्रम 4 यदि n विषम है, 8 यदि n सम है	2 यदि n > 4, S₃ यदि n = 4	प्रक्षेपी विशेष लंबकोणीय समूह का पहचान घटक PSO(n,n)	n²			D_3, A₃के समान है D₂, A₁²के समान है और D₁ एबेलियन है।
E₆⁶ I विभाजित	78	6	C₄	क्रम 2	क्रम 2	E I	42
E₇⁷ V विभाजित	133	7	A₇	चक्रीय, क्रम4	क्रम 2		70
E₈⁸ VIII विभाजित	248	8	D₈	2	1	E VIII	128			@ E8
F₄⁴ I विभाजित	52	4	C₃ × A₁	क्रम 2	1	F I	28	केली प्रक्षेपी तल में चतुष्कोणीय प्रक्षेपी समतल	अतिपरवलयिक केली प्रक्षेपी तल में अतिपरवलयिक चतुष्कोणीय प्रक्षेपी तल
G₂² I विभाजित	14	2	A₁ × A₁	क्रम 2	1	G I	8	केली बीजगणित के चतुष्कोणीय उप-बीजगणित क्वाटरनियन-कहलर	गैर-विभाजन केली बीजगणित के गैर-विभाजन चतुष्कोणीय उप-बीजगणित। क्वाटरनियन-कहलर।

सम्मिश्र

	Real dimension	वास्तविक पद	अधिकतम सुसंहत उपसमूह	मौलिक समूह	बाह्य स्वाकारिकता समूह	अन्य नाम	सममित समष्टि का आयाम	सुसंहत सममित समष्टि	गैर-सुसंहत सममित समष्टि
A_n (n ≥ 1) सम्मिश्र	2n(n + 2)	n	A_n	चक्रीय, क्रम n + 1	2 यदि n = 1, 4 (गैर-चक्रीय) यदि n ≥ 2.	प्रक्षेपी सम्मिश्र विशेष रैखिक समूह PSL_n+1(C)	n(n + 2)	सुसंहत समूह A_n	निश्चित परिणाम के साथ Cⁿ⁺¹ पर हर्मिटियन बनता है।
B_n (n ≥ 2) सम्मिश्र	2n(2n + 1)	n	B_n	2	क्रम 2 (सम्मिश्र संयोग)	सम्मिश्र विशेष लंबकोणीय समूह SO_2n+1(C)	n(2n + 1)	सुसंहत समूह B_n
C_n (n ≥ 3) सम्मिश्र	2n(2n + 1)	n	C_n	2	क्रम 2 (सम्मिश्र संयोग)	प्रक्षेपी सम्मिश्र सममिति समूह PSp_2n(C)	n(2n + 1)	सुसंहत समूह C_n
D_n (n ≥ 4) सम्मिश्र	2n(2n − 1)	n	D_n	क्रम 4 (चक्रीय जब n विषम हो)	n > 4, के लिए क्रम 4का गैर-चक्रीय, या क्रम 2 के समूह का उत्पाद और सममित समूह S₃ जब n = 4	प्रक्षेपी सम्मिश्र विशेष लंबकोणीय समूह PSO_2n(C)	n(2n − 1)	सुसंहत समूह D_n
E₆ सम्मिश्र	156	6	E₆	3	क्रम 4 (गैर-चक्रीय)		78	सुसंहत समूह E₆
E₇ सम्मिश्र	266	7	E₇	2	क्रम 2 (सम्मिश्र संयोग)		133	सुसंहत समूह E₇
E₈ सम्मिश्र	496	8	E₈	1	क्रम 2 (सम्मिश्र संयोग)		248	सुसंहत समूह E₈
F₄ सम्मिश्र	104	4	F₄	1	2		52	सुसंहत समूह F₄
G₂ सम्मिश्र	28	2	G₂	1	क्रम 2 (सम्मिश्र संयोग)		14	सुसंहत समूह G₂

अन्य

	आयाम	वास्तविक पद	अधिकतम सुसंहत उपसमूह	मौलिक समूह	बाह्य स्वाकारिकता समूह	अन्य नाम	सममित समष्टि का आयाम	सुसंहत सममित समष्टि	गैर-सुसंहत सममित समष्टि	टिप्पणियां
A_2n−1 II (n ≥ 2)	(2n − 1)(2n + 1)	n − 1	C_n	क्रम 2		SL_n(H), SU^∗(2n)	(n − 1)(2n + 1)	हर्मिटियन संरचना के साथ संगत C²ⁿ पर चतुष्कोणीय संरचनाएं	सम्मिश्र अतिपरवलयिक समष्टि (आयाम 2n - 1) में क्वाटरनियोनिक अतिपरवलयिक समष्टि (आयाम n - 1) की प्रतिरूप।
A_n III (n ≥ 1) p + q = n + 1 (1 ≤ p ≤ q)	n(n + 2)	p	A_p−1A_q−1S¹			SU(p,q), A III	2pq	C^p+q के p उपसमष्टियों का हर्मिटियन ग्रासमैनियन यदि p या q 2; क्वाटरनियन-कहलर है।	C^p,q के अधिकतम धनात्मक निश्चित उप-समष्टि के हर्मिटियन ग्रासमानियन यदि p या q 2 है, क्वाटरनियन-कहलर है।	यदि p=q=1, विभाजित यदि \|p−q\| ≤ 1, अर्ध-विभाजित
B_n I (n > 1) p+q = 2n+1	n(2n + 1)	min(p,q)	SO(p)SO(q)			SO(p,q)	pq	R^ps मे R^p+q का ग्रासमैनियन यदि p या q 1 है, प्रक्षेपी समष्टि यदि p या q 2 है; हर्मिटियन यदि p या q 4 क्वाटरनियन-कहलर है।	R^ps में धनात्मक निश्चित R^p,q का ग्रासमैनियन यदि p या q 1 है, अतिपरवलयिक समष्टि यदि p या q 2 है, हर्मिटियन यदि p या q 4 है, क्वाटरनियन-कहलर है।	यदि \|p−q\| ≤ 1, विभाजित.
C_n II (n > 2) n = p+q (1 ≤ p ≤ q)	n(2n + 1)	min(p,q)	C_pC_q	क्रम 2	1 if p ≠ q, 2 if p = q.	Sp_2p,2q(R)	4pq	H^ps मे H^p+q का ग्रासमानियन यदि p या q 1 है, चतुष्कोणीय प्रक्षेप्य समष्टि जिस स्थिति में यह चतुष्क-कहलर है।	H^ps मे H^p,q यदि p या q 1 है, चतुष्कोणीय अतिपरवलयिक समष्टि जिस स्थिति में यह क्वाटरनियन-कहलर है।.
D_n I (n ≥ 4) p+q = 2n	n(2n − 1)	min(p,q)	SO(p)SO(q)		यदि p और q ≥ 3, क्रम 8.	SO(p,q)	pq	R^ps मे R^p+q का ग्रासमानियन यदि p या q 1 है, तो प्रक्षेपी समष्टि यदि p या q 2 है ; हर्मिटियन यदि p या q 4 है, क्वाटरनियन-कहलर है।	R^ps धनात्मक निश्चित R^p,q का ग्रासमैनियन यदि p या q 1 है, अतिपरवलयिक समष्टि यदि p या q 2 है, हर्मिटियन यदि p या q 4 है, क्वाटरनियन-कहलर है।	यदि p = q, विभाजित यदि \|p−q\| ≤ 2, अर्ध-विभाजित
D_n III (n ≥ 4)	n(2n − 1)	⌊n/2⌋	A_n−1R¹	अनंत चक्रीय	क्रम 2	SO^*(2n)	n(n − 1)	हर्मिटियन यूक्लिडियन संरचना के साथ संगत R²ⁿ पर सम्मिश्र संरचनाएं	हर्मिटियन चतुष्कोणीय द्विघात R²ⁿ पर बनता है।
E₆² II (अर्ध-विभाजित)	78	4	A₅A₁	चक्रीय, क्रम6	क्रम 2	E II	40	क्वाटरनियन-कहलर	क्वाटरनियन-कहलर	अर्ध-विभाजित लेकिन विभाजित नहीं।
E₆⁻¹⁴ III	78	2	D₅S¹	अनंत चक्रीय	सामान्य	E III	32	सम्मिश्र केली संख्या पर हर्मिटियन रोसेनफेल्ड अर्धवृत्ताकार प्रक्षेपी तल।	हर्मिटियन सम्मिश्र केली संख्याओ पर रोसेनफेल्ड अतिपरवलयिक प्रक्षेपी तल।
E₆⁻²⁶ IV	78	2	F₄	सामान्य	क्रम 2	E IV	26	सम्मिश्र केली संख्याओ पर प्रक्षेपी तल में केली प्रक्षेपी तलों का समुच्चय।	सम्मिश्र केली संख्याओ पर अतिपरवलयिक तल में केली अतिपरवलयिक तलों का समुच्चय।
E₇⁻⁵ VI	133	4	D₆A₁	गैर चक्रीय, क्रम 4	सामान्य	E VI	64	क्वाटरनियन-कहलर	क्वाटरनियन-कहलर
E₇⁻²⁵ VII	133	3	E₆S¹	अनंत चक्रीय	क्रम 2	E VII	54	हर्मिटियन	हर्मिटियन
E₈⁻²⁴ IX	248	4	E₇ × A₁	क्रम 2	1	E IX	112	क्वाटरनियन-कहलर	क्वाटरनियन-कहलर
F₄⁻²⁰ II	52	1	B₄ (Spin₉(R))	क्रम 2	1	F II	16	केली प्रक्षेपी तल। क्वाटरनियन-कहलर	अतिपरवलयिक केली प्रक्षेपी तल। क्वाटरनियन-कहलर

छोटे आयाम के सामान्य लाइ समूह

निम्न तालिका में कुछ लाइ समूहों को छोटे आयामों के सामान्य लाइ बीजगणित के साथ सूचीबद्ध किया गया है। दी गई रेखा पर सभी समूहों का एक ही लाई बीजगणित होता है। आयाम 1 स्थिति में, समूह एबेलियन हैं और सामान्य नहीं हैं।

Dim	समूह		सममित समष्‍टि	सुसंहत द्विक	सीमा	आयाम
1	$\mathbb {R}$ , S¹ = U(1) = SO₂( $\mathbb {R}$ ) = Spin(2)	एबेलियन	वास्तविक रेखा		0	1
3	S³ = Sp(1) = SU(2)=Spin(3), SO₃( $\mathbb {R}$ ) = PSU(2)	सुसंहत
3	SL₂( $\mathbb {R}$ ) = Sp₂( $\mathbb {R}$ ), SO_2,1( $\mathbb {R}$ )	विभाजित, हर्मिटियन, अतिपरिवलयिक	अतिपरवलयिक तल $\mathbb {H} ^{2}$	वृत्त S²	1	2
6	SL₂( $\mathbb {C}$ ) = Sp₂( $\mathbb {C}$ ), SO_3,1( $\mathbb {R}$ ), SO₃( $\mathbb {C}$ )	सम्मिश्र	अतिपरवलयिक समष्टि $\mathbb {H} ^{3}$	वृत्त S³	1	3
8	SL₃( $\mathbb {R}$ )	विभाजित	$\mathbb {R} ^{3}$ पर यूक्लिडियन संरचनाएं	$\mathbb {C} ^{3}$ पर वास्तविक संरचनाए	2	5
8	SU(3)	सुसंहत
8	SU(1,2)	हर्मिटियन, अर्ध-विभाजित, चतुष्कोणीय	सम्मिश्र अतिपरवलयिक तल	सम्मिश्र प्रक्षेपी तल	1	4
10	Sp(2) = Spin(5), SO₅( $\mathbb {R}$ )	सुसंहत
10	SO_4,1( $\mathbb {R}$ ), Sp_2,2( $\mathbb {R}$ )	अतिपरवलयिक, चतुष्कोणीय	अतिपरवलयिक समष्टि $\mathbb {H} ^{4}$	वृत्त S⁴	1	4
10	SO_3,2( $\mathbb {R}$ ), Sp₄( $\mathbb {R}$ )	विभाजित, हर्मिटियन	सीगल का ऊपरी आधा भाग समष्टि	$\mathbb {H} ^{2}$ पर सम्मिश्र संरचनाएं	2	6
14	G₂	सुसंहत
14	G₂	विभाजित, चतुष्कोणीय	गैर-विभाजित चतुष्कोणीय गैर-विभाजन अष्टकैक के उप-बीजगणित	क्वाटरनियोनिक अष्टक के उप-बीजगणित	2	8
15	SU(4) = Spin(6), SO₆( $\mathbb {R}$ )	सुसंहत
15	SL₄( $\mathbb {R}$ ), SO_3,3( $\mathbb {R}$ )	विभाजित	$\mathbb {R}$ ³ मे $\mathbb {R}$ ^3,3	ग्रासमानियन G(3,3)	3	9
15	SU(3,1)	हर्मिटियन	सम्मिश्र अतिपरवलयिक समष्टि	सम्मिश्र प्रक्षेपी समष्टि	1	6
15	SU(2,2), SO_4,2( $\mathbb {R}$ )	हर्मिटियन, अर्ध-विभाजित, चतुष्कोणीय	$\mathbb {R}$ ² मे $\mathbb {R}$ ^2,4	ग्रासमानियन G(2,4)	2	8
15	SL₂( $\mathbb {H}$ ), SO_5,1( $\mathbb {R}$ )	अतिपरवलयिक	अतिपरवलयिक समष्टि $\mathbb {H} ^{5}$	वृत्त S⁵	1	5
16	SL₃( $\mathbb {C}$ )	सम्मिश्र		SU(3)	2	8
20	SO₅( $\mathbb {C}$ ), Sp₄( $\mathbb {C}$ )	सम्मिश्र		Spin₅( $\mathbb {R}$ )	2	10
21	SO₇( $\mathbb {R}$ )	सुसंहत
21	SO_6,1( $\mathbb {R}$ )	अतिपरवलयिक	अतिपरवलयिक समष्टि $\mathbb {H} ^{6}$	वृत्त S⁶
21	SO_5,2( $\mathbb {R}$ )	हर्मिटियन
21	SO_4,3( $\mathbb {R}$ )	विभाजित, चतुष्कोणीय
21	Sp(3)	सुसंहत
21	Sp₆( $\mathbb {R}$ )	विभाजित,हर्मिटियन
21	Sp_4,2( $\mathbb {R}$ )	क्वाटरनियोनिक
24	SU(5)	सुसंहत
24	SL₅( $\mathbb {R}$ )	विभाजित
24	SU_4,1	हर्मिटियन
24	SU_3,2	हर्मिटियन, चतुष्कोणीय
28	SO₈( $\mathbb {R}$ )	सुसंहत
28	SO_7,1( $\mathbb {R}$ )	अतिपरवलयिक	अतिपरवलयिक समष्टि $\mathbb {H} ^{7}$	वृत्त S⁷
28	SO_6,2( $\mathbb {R}$ )	हर्मिटियन
28	SO_5,3( $\mathbb {R}$ )	अर्ध-विभाजित
28	SO_4,4( $\mathbb {R}$ )	विभाजित, चतुष्कोणीय
28	SO^∗₈( $\mathbb {R}$ )	हर्मिटियन
28	G₂( $\mathbb {C}$ )	सम्मिश्र
30	SL₄( $\mathbb {C}$ )	सम्मिश्र

सामान्य लेसित समूह

सामान्य रूप से लेसित समूह एक लाई समूह होता है जिसके डायनकिन आरेख में केवल सामान्य शृंखला होती हैं, और इसलिए संबंधित लाई बीजगणित की सभी गैर-शून्य मूलों की लंबाई समान होती है। A, D और E श्रृंखला समूह सभी सिर्फ लेसित हैं, लेकिन B, C, F, या G प्रकार का कोई समूह केवल लेसित नहीं है।

यह भी देखें

संदर्भ

Jacobson, Nathan (1971). Exceptional Lie Algebras. CRC Press. ISBN 0-8247-1326-5.
Fulton, William; Harris, Joe (2004). Representation Theory: A First Course. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-1-4612-0979-9.

अग्रिम पठन

Besse, Einstein manifolds ISBN 0-387-15279-2
Helgason, Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. ISBN 0-8218-2848-7
Fuchs and Schweigert, Symmetries, Lie algebras, and representations: a graduate course for physicists. Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-54119-0

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