वॉन न्यूमैन कार्डिनल असाइनमेंट

वॉन न्यूमैन गणनसंख्या कार्य गणनसंख्या कार्य है जो क्रमिक संख्याओं का उपयोग करता है। सुव्यवस्थित समुच्चय 'U' के लिए, हम क्रमिक संख्या की वॉन न्यूमैन परिभाषा का उपयोग करते हुए, इसकी गणनसंख्या संख्या को 'यू' के लिए सबसे छोटी क्रमिक संख्या समतुल्यता के रूप में परिभाषित करते हैं। उचित रूप से:

$|U|=\mathrm {card} (U)=\inf\{\alpha \in \mathrm {ON} \ |\ \alpha =_{c}U\},$

जहां पर अध्यादेशों का वर्ग (समुच्चय सिद्धांत) है। इस अध्यादेश को गणनसंख्या का प्रारंभिक क्रमसूचक भी कहा जाता है।

इस प्रकार का क्रमसूचक उपस्थित है और अद्वितीय है, इस तथ्य का आश्वासन है कि 'यू' अच्छी तरह से आदेश देने योग्य है और प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध का उपयोग करते हुए अध्यादेशों की श्रेणी अच्छी तरह से आदेशित है। पूर्ण विकल्प के स्वयंसिद्ध के साथ, प्रत्येक समुच्चय अच्छी तरह से व्यवस्थित होता है, इसलिए प्रत्येक समुच्चय में गणनसंख्या होता है; हम क्रमिक संख्याओं से विरासत में मिले क्रम का उपयोग करके गणनसंख्या्स को आदेश देते हैं। यह आसानी से ≤_c के माध्यम से आदेश के साथ मेल खाता है। यह गणनसंख्या संख्याों का सुव्यवस्थित क्रम है।

गणनसंख्या(कार्डिनल) का प्रारंभिक क्रम

प्रत्येक क्रमसूचक का संबंधित गणनसंख्या संख्या होता है, इसकी प्रमुखता, केवल आदेश को भूल कर प्राप्त की जाती है। किसी भी सुव्यवस्थित समुच्चय में उसके क्रम प्रकार के रूप में एक ही गणनांक होती है। किसी दिए गए गणनसंख्या को उसकी गणनसंख्या के रूप में रखने वाले सबसे छोटे क्रम को उस गणनसंख्या का प्रारंभिक क्रम कहा जाता है। प्रत्येक परिमित क्रमसूचक (प्राकृतिक संख्या) प्रारंभिक है, किंतु अधिकांश अनंत क्रमांक प्रारंभिक नहीं होते हैं। चयन का स्वयंसिद्ध इस कथन के समतुल्य है कि प्रत्येक समुच्चय को अच्छी तरह से सुव्यवस्थित किया जा सकता है, अर्थात प्रत्येक गणनसंख्या के पास प्रारंभिक क्रमसूचक है। इस स्थिति में, गणनसंख्या संख्या को उसके प्रारंभिक क्रमसूचक के साथ पहचानना पारंपरिक है, और हम कहते हैं कि प्रारंभिक क्रमांक गणनसंख्या है।

$\alpha$ अनंत प्रारंभिक क्रमसूचक को $\omega _{\alpha }$ लिखा जाता है। इसकी प्रमुखता $\aleph _{\alpha }$ ($\alpha$-थ एलेफ संख्या) लिखी गई है। उदाहरण के लिए $\omega _{0}=\omega$ की गणनांक $\aleph _{0}$, है जो $\omega ^{2}$, $\omega ^{\omega }$, और $\epsilon _{0}$ की गणनांक भी है (सभी गणनीय क्रमसूचक हैं)। इसलिए हम $\omega _{\alpha }$ को $\aleph _{\alpha }$ के साथ पहचानते हैं, सिवाय इसके कि संकेतन $\aleph _{\alpha }$ का उपयोग गणनसंख्या्स लिखने के लिए प्रयोग किया जाता है, और $\omega _{\alpha }$ का उपयोग ऑर्डिनल लिखने के लिए किया जाता है।। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि गणनसंख्या संख्या या गणनसंख्या अंकगणित, उदाहरण के लिए, क्रमिक अंकगणित से भिन्न है $\aleph _{\alpha }^{2}$ = $\aleph _{\alpha }$ जबकि $\omega _{\alpha }^{2}$ > $\omega _{\alpha }$. भी, $\omega _{1}$ सबसे छोटा क्रमसूचक है (यह देखने के लिए कि यह उपस्थित है, प्राकृतिक संख्याओं के अच्छी तरह से क्रम के तुल्यता वर्गों के समुच्चय पर विचार करें; इस तरह का प्रत्येक क्रम गणनीय क्रमसूचक को परिभाषित करता है, और $\omega _{1}$ उस समुच्चय का ऑर्डर प्रकार है), $\omega _{2}$ सबसे छोटा क्रमसूचक है जिसकी गणनांक से अधिक है $\aleph _{1}$, और इतने पर, और $\omega _{\omega }$ की सीमा है $\omega _{n}$ प्राकृतिक संख्या के लिए $n$ (गणनसंख्या की कोई भी सीमा गणनसंख्या है, इसलिए यह सीमा वास्तव में सभी के बाद पहला गणनसंख्या $\omega _{n}$ है).

अनंत प्रारंभिक क्रमांक सीमा क्रमसूचक हैं। क्रमिक अंकगणित का उपयोग, $\alpha <\omega _{\beta }$ तात्पर्य $\alpha +\omega _{\beta }=\omega _{\beta }$, और 1 ≤ α < ω_β मतलब α · ω_β = ओ_β, और 2 ≤ α < ω_β तात्पर्य α^ω_β = ω_β. वेब्लेन फलन का उपयोग करना, β ≠ 0 और α < ω_β मतलब $\varphi _{\alpha }(\omega _{\beta })=\omega _{\beta }\,$ और Γ_ωβ = ω_β। वास्तव में, कोई इससे बहुत आगे जा सकता है। तो क्रमसूचक के रूप में, अनंत प्रारंभिक क्रमसूचक अत्यंत जटिल प्रकार की सीमा है^।

यह भी देखें

• अलेफ संख्या

संदर्भ

• Y.N. Moschovakis Notes on Set Theory (1994 Springer) p. 198