लीजेंड्रे बहुपद

For लीजेंड्रे का सजातीय समीकरण, see लीजेंड्रे का समीकरण.

पहले छह लीजेंड्रे बहुपद

गणित में, एड्रियन मैरी लीजेंड्रे (1782) के नाम पर लिजेंड्रे बहुपद, गणितीय गुणों की बड़ी संख्या और कई अनुप्रयोगों के साथ पूर्ण और ऑर्थोगोनल बहुपदों की एक प्रणाली है। उन्हें कई विधियों से परिभाषित किया जा सकता है, और विभिन्न परिभाषाएँ विभिन्न पहलुओं को प्रकाशित करती हैं और साथ ही विभिन्न गणितीय संरचनाओं और भौतिक और संख्यात्मक अनुप्रयोगों के लिए सामान्यीकरण और सम्बन्ध का सुझाव देती हैं।

लिजेन्ड्रे बहुपदों से निकटता से संबंधित लिजेन्ड्रे बहुपदों, लिजेन्ड्रे फलन, दूसरी तरह के लेजेंड्रे फलन, और संबंधित लेजेन्ड्रे फलन हैं।

ऑर्थोगोनल सिस्टम के रूप में निर्माण द्वारा परिभाषा

इस दृष्टिकोण में, बहुपदों को वजन फलन के संबंध में ऑर्थोगोनल प्रणाली के रूप में परिभाषित किया जाता है $w(x)=1$ अंतराल पर $[-1,1]$. वह है, $P_{n}(x)$ घात $n$ का बहुपद है, ऐसा है कि

$$\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx=0\quad {\text{if }}n\neq m.$$

अतिरिक्त मानकीकरण शर्त $P_{n}(1)=1$ के साथ, सभी बहुपद विशिष्ट रूप से निर्धारित किए जा सकते हैं। फिर हम निर्माण प्रक्रिया शुरू करते हैं: $P_{0}(x)=1$ घात 0 का एकमात्र सही विधि से मानकीकृत बहुपद है। $P_{1}(x)$ को $P_{0}$ के लिए ऑर्थोगोनल होना चाहिए, $P_{1}(x)=x$, और $P_{2}(x)$ के लिए अग्रणी $P_{0}$ और $P_{1}$ के लिए ऑर्थोगोनलिटी की मांग से निर्धारित होता है। $P_{n}$ के साथ सभी $P_{m}$ के लिए ऑर्थोगोनलिटी की मांग करके $m<n$ तय किया गया हैं। यह देता है यह $n$ स्थितियाँ देता है, जो मानकीकरण $P_{n}(1)=1$ के साथ है $P_{n}(x)$में सभी $n+1$ में गुणांकों को ठीक करता है। काम के साथ, प्रत्येक बहुपद के सभी गुणांकों को व्यवस्थित रूप से निर्धारित किया जा सकता है, जिससे नीचे दिए गए $x$ की शक्तियों में स्पष्ट प्रतिनिधित्व हो सके।

$P_{n}$की यह परिभाषा सबसे सरल है। यह अंतर समीकरणों के सिद्धांत के लिए अनुरोध नहीं करता है। दूसरा, बहुपदों की पूर्णता घातों 1, $x,x^{2},x^{3},\ldots$. की पूर्णता से तुरंत अनुसरण करती है, अंत में, परिमित अंतराल पर सबसे स्पष्ट वजन फलन के संबंध में उन्हें ऑर्थोगोनलिटी के माध्यम से परिभाषित करके, यह तीन शास्त्रीय ऑर्थोगोनल बहुपदों में से के रूप में लीजेंड्रे बहुपद स्थापित करता है। अन्य दो लैगुएरे बहुपद हैं, जो आधी रेखा $[0,\infty )$ पर ओर्थोगोनल हैं, और हर्मिट बहुपद, पूर्ण रेखा पर ओर्थोगोनल $(-\infty ,\infty )$, भार फलनों के साथ जो सबसे प्राकृतिक विश्लेषणात्मक फलन हैं जो सभी अभिन्नताओं के अभिसरण को सुनिश्चित करते हैं।

फलन उत्पन्न करने के माध्यम से परिभाषा

लीजेंड्रे बहुपदों को जनरेटिंग फलन के $t$ की घातों में एक औपचारिक विस्तार में गुणांकों के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है

$${\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}\,.$$

(2)

$t^{n}$ का गुणांक $x$ में घात $n$ वाला एक बहुपद है जिसमें $|x|\leq 1$ है। $t^{1}$ तक विस्तार करने पर प्राप्त होता है

$$P_{0}(x)=1\,,\quad P_{1}(x)=x.$$

उच्च क्रम में विस्तार तेजी से असुविधाजनक हो जाता है, किन्तु व्यवस्थित रूप से करना संभव है, और फिर से नीचे दिए गए स्पष्ट रूपों में से की ओर जाता है। हालांकि, टेलर श्रृंखला के प्रत्यक्ष विस्तार का सहारा लिए बिना उच्च $P_{n}$प्राप्त करना संभव है। सम 2 को दोनों तरफ t के संबंध में विभेदित किया गया है और प्राप्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया गया है

$${\frac {x-t}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\left(1-2xt+t^{2}\right)\sum _{n=1}^{\infty }nP_{n}(x)t^{n-1}\,.$$

Eq।2 में इसकी परिभाषा के साथ वर्गमूल के भागफल को बदलना, और की शक्तियों के गुणांकों की बराबरी करना t परिणामी विस्तार में बोनट का पुनरावर्तन सूत्र देता है

$$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,.$$

यह संबंध, पहले दो बहुपदों के साथ P₀ और P₁, बाकी सभी को पुनरावर्ती रूप से उत्पन्न करने की अनुमति देता है।

जनरेटिंग फलन दृष्टिकोण सीधे इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में मल्टीपोल विस्तार से जुड़ा हुआ है, जैसा कि नीचे बताया गया है, और यह है कि 1782 में लीजेंड्रे द्वारा बहुपदों को पहली बार कैसे परिभाषित किया गया था।

अंतर समीकरण के माध्यम से परिभाषा

लीजेंड्रे के अंतर समीकरण के समाधान के संदर्भ में तीसरी परिभाषा है:

$$(1-x^{2})P_{n}''(x)-2xP_{n}'(x)+n(n+1)P_{n}(x)=0.$$

(1)

इस अंतर समीकरण में x = ±1 पर नियमित एकवचन बिंदु होते हैं, इसलिए यदि मानक फ्रोबेनियस या पावर श्रृंखला पद्धति का उपयोग करके एक समाधान की मांग की जाती है, तो मूल के बारे में एक श्रृंखला केवल |x| < 1 सामान्य रूप में केवल अभिसरण करेगी। जब n पूर्णांक है, समाधान P_n(x) जो x = 1 पर नियमित है x = −1 पर भी नियमित है, और इस समाधान के लिए श्रृंखला समाप्त हो जाती है (अर्थात यह बहुपद है)। इन समाधानों की रूढ़िवादिता और पूर्णता को स्टर्म-लिउविल सिद्धांत के दृष्टिकोण से सबसे अच्छा देखा जाता है। हम अवकल समीकरण को आइगेनवैल्यू समस्या के रूप में फिर से लिखते हैं,

$${\frac {d}{dx}}\left(\left(1-x^{2}\right){\frac {d}{dx}}\right)P(x)=-\lambda P(x)\,,$$

जिसमे $n(n+1)$ के स्थान पर आइगेनवैल्यू $\lambda$ होता है। यदि हम मांग करते हैं यदि हम मांग करते हैं कि समाधान $x=\pm 1$, पर नियमित हो तो वह बाईं ओर अवकल संकारक हर्मिटियन है। आइगेनवैल्यू $n=0,1,2,\ldots$ के साथ n(n + 1), के रूप में पाए जाते हैं और ईजेनफंक्शन $P_{n}(x)$ हैं। समाधानों के इस सेट की रूढ़िवादिता और पूर्णता स्टर्म-लिउविल सिद्धांत के बड़े संरचना से तुरंत अनुसरण करती है।

विभेदक समीकरण एक अन्य, गैर-बहुपद समाधान, दूसरी तरह के (Qn) $Q_{n}$के लीजेंड्रे कार्यों को स्वीकार करता हैं।

दो-पैरामीटर सामान्यीकरण (Eq।1) को लिजेन्ड्रे का सामान्य अवकल समीकरण कहा जाता है, जिसे एसोसिएटेड लैजेन्ड्रे बहुपदों द्वारा समाधान किया जाता है। लेजेंड्रे फलन करता है गैर-पूर्णांक मापदंडों के साथ लीजेंड्रे आंशिक विभेदक समीकरण (सामान्यीकृत या नहीं) के समाधान हैं।

भौतिक सेटिंग में, लीजेंड्रे का विभेदक समीकरण स्वाभाविक रूप से तब उत्पन्न होता है जब कोई लाप्लास के समीकरण (और संबंधित आंशिक अवकल समीकरण) को गोलीय निर्देशांकों में चरों के पृथक्करण द्वारा समाधान करता है। इस दृष्टिकोण से, लाप्लासियन ऑपरेटर के कोणीय भाग के eigenfunctions गोलाकार हार्मोनिक्स हैं, जिनमें से लीजेंड्रे बहुपद (गुणात्मक स्थिरांक तक) सबसेट हैं जो ध्रुवीय अक्ष के बारे में घुमावों द्वारा अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है। बहुपद के रूप में दिखाई देते हैं $P_{n}(\cos \theta )$ जहाँ $\theta$ ध्रुवीय कोण है। लीजेंड्रे बहुपदों के लिए यह दृष्टिकोण घूर्णी समरूपता के लिए गहरा संबंध प्रदान करता है। उनके कई गुण जो श्रमपूर्वक विश्लेषण के विधियों के माध्यम से पाए जाते हैं - उदाहरण के लिए जोड़ प्रमेय - समरूपता और समूह सिद्धांत के विधियों का उपयोग करके अधिक आसानी से पाए जाते हैं, और गहरा भौतिक और ज्यामितीय अर्थ प्राप्त करते हैं।

रूढ़िवादिता और पूर्णता

मानकीकरण $P_{n}(1)=1$ लीजेंड्रे बहुपदों के सामान्यीकरण को ठीक करता है (एल 2-मानदंड के संबंध मेंL² अंतराल पर मानदंड −1 ≤ x ≤ 1). चूंकि वे ही मानदंड, दो बयानों के संबंध में ऑर्थोगोनल फलन भी हैं को समीकरण में जोड़ा जा सकता है,

$$\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{mn},$$

(जहाँ δ_mn क्रोनकर डेल्टा को दर्शाता है, जो 1 if के बराबर है m = n और 0 अन्यथा)। यह सामान्यीकरण सबसे आसानी से नीचे दिए गए रोड्रिग्स के फार्मूले को प्रायुक्त करके पाया जाता है।

बहुपद पूर्ण होने का अर्थ निम्नलिखित है। किसी भी टुकड़े के निरंतर फलन को देखते हुए $f(x)$ अंतराल में निश्चित रूप से कई विच्छिन्नता के साथ [−1, 1], रकम का क्रम

$$f_{n}(x)=\sum _{\ell =0}^{n}a_{\ell }P_{\ell }(x)$$

के मध्य में परिवर्तित हो जाता है $f(x)$ जैसा $n\to \infty$, परन्तु हम लें

$$a_{\ell }={\frac {2\ell +1}{2}}\int _{-1}^{1}f(x)P_{\ell }(x)\,dx.$$

यह पूर्णता गुण इस लेख में चर्चा किए गए सभी विस्तारों को रेखांकित करती है, और अक्सर इसे रूप में कहा जाता है

$$\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {2\ell +1}{2}}P_{\ell }(x)P_{\ell }(y)=\delta (x-y),$$

साथ −1 ≤ x ≤ 1 और −1 ≤ y ≤ 1.

रोड्रिग्स का सूत्र और अन्य स्पष्ट सूत्र

लीजेंड्रे बहुपदों के लिए विशेष रूप से संक्षिप्त व्यंजक रोड्रिग्स के सूत्र द्वारा दिया गया है:

$$P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\,.$$

यह सूत्र $P_{n}$'s के गुणों की एक बड़ी संख्या की व्युत्पत्ति को सक्षम बनाता है। इनमें स्पष्ट अभ्यावेदन जैसे हैं

$${\begin{aligned}P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k},\\P_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{k},\\P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k},\\P_{n}(x)&=2^{n}\sum _{k=0}^{n}x^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {\frac {n+k-1}{2}}{n}}.\end{aligned}}$$

तीसरे प्रतिनिधित्व में, ⌊n/2⌋ n/2 से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक है। अंतिम प्रतिनिधित्व, जो पुनरावर्तन सूत्र से भी अविलम्ब है, लेजेंड्रे बहुपदों को सरल मोनोमियल्स द्वारा व्यक्त करता है और द्विपद गुणांक सामान्यीकरण और द्विपद श्रृंखला से संबंध शामिल करता है।

पहले कुछ लीजेंड्रे बहुपद हैं:

$n$	$P_{n}(x)$
0	${\textstyle 1}$
1	${\textstyle x}$
2	${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\left(3x^{2}-1\right)}$
3	${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\left(5x^{3}-3x\right)}$
4	${\textstyle {\tfrac {1}{8}}\left(35x^{4}-30x^{2}+3\right)}$
5	${\textstyle {\tfrac {1}{8}}\left(63x^{5}-70x^{3}+15x\right)}$
6	${\textstyle {\tfrac {1}{16}}\left(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5\right)}$
7	${\textstyle {\tfrac {1}{16}}\left(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x\right)}$
8	${\textstyle {\tfrac {1}{128}}\left(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35\right)}$
9	${\textstyle {\tfrac {1}{128}}\left(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x\right)}$
10	${\textstyle {\tfrac {1}{256}}\left(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63\right)}$

इन बहुपदों के रेखांकन (तक n = 5) नीचे दिखाए गए हैं:

लीजेंड्रे बहुपदों के अनुप्रयोग

1/r क्षमता का विस्तार

लीजेंड्रे बहुपदों को पहली बार 1782 में एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे द्वारा न्यूटोनियन क्षमता के विस्तार में गुणांक के रूप में प्रस्तुत किया गया था।

$${\frac {1}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+{r'}^{2}-2r{r'}\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {{r'}^{\ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma ),$$

जहाँ r और r′ क्रमशः सदिशों x और x′ की लंबाई हैं और γ उन दो सदिशों के बीच का कोण है। श्रृंखला जब r > r′ अभिसरित होती हैं। व्यंजक बिंदु द्रव्यमान से जुड़ी गुरुत्वाकर्षण क्षमता या बिंदु आवेश से जुड़ी कूलम्ब क्षमता देती है। लेजेंड्रे बहुपदों का उपयोग करने वाला विस्तार उपयोगी हो सकता है, उदाहरण के लिए, इस व्यंजक को निरंतर द्रव्यमान या आवेश वितरण पर एकीकृत किया जाता है।

लीजेंड्रे बहुपद लाप्लास के स्थिर विद्युत क्षमता के समीकरण के समाधान में होते हैं, ∇² Φ(x) = 0, चरों के पृथक्करण की विधि का उपयोग करते हुए अंतरिक्ष के आवेश-मुक्त क्षेत्र में, जहां सीमा स्थितियों में अक्षीय समरूपता (दिगंश पर कोई निर्भरता नहीं) होती है। जहाँ ẑ समरूपता का अक्ष है और θ पर्यवेक्षक की स्थिति और ẑ अक्ष (आंचलिक कोण) के बीच का कोण है, विभव का समाधान होगा

$$\Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left(A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right)P_{\ell }(\cos \theta )\,.$$

A_l और B_l प्रत्येक समस्या की सीमा स्थिति के अनुसार निर्धारित किया जाना है।

केंद्रीय बल के लिए श्रोडिंगर समीकरण को तीन आयामों में समाधान करते समय भी वे दिखाई देते हैं।

बहुध्रुव विस्तार में लेजेंड्रे बहुपद

लिजेन्ड्रे बहुपद भी फॉर्म के विस्तार फलनों में उपयोगी होते हैं (यह पहले जैसा ही है, थोड़ा अलग विधि से लिखा गया है):

$${\frac {1}{\sqrt {1+\eta ^{2}-2\eta x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\eta ^{k}P_{k}(x),$$

जो मल्टीपोल विस्तार में स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है। समीकरण के बाईं ओर लेजेंड्रे बहुपदों के लिए जनक फलन है।

उदाहरण के रूप में, विद्युत क्षमता Φ(r,θ) (गोलीय निर्देशांक में) पर स्थित बिंदु आवेश के कारण z-अक्ष पर z = a (दाईं ओर आरेख देखें) भिन्न होता है

$$\Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{R}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ar\cos \theta }}}.$$

यदि प्रेक्षण बिंदु P की त्रिज्या r a से अधिक है, तो लिजेन्ड्रे बहुपदों में विभव का विस्तार किया जा सकता है

$$\Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{r}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a}{r}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta ),$$

जहां हमने η = a/r < 1 और x = cos θ परिभाषित किया है। इस विस्तार का उपयोग सामान्य मल्टीपोल विस्तार को विकसित करने के लिए किया जाता है।

इसके विपरीत, यदि प्रेक्षण बिंदु P की त्रिज्या r, a की तुलना में छोटा है, तब भी लिजेन्ड्रे बहुपदों में क्षमता का विस्तार किया जा सकता है जैसा कि ऊपर a और r के आदान-प्रदान के साथ किया गया है। यह विस्तार आंतरिक मल्टीपोल विस्तार का आधार है।

त्रिकोणमिति में लीजेंड्रे बहुपद

त्रिकोणमितीय फलन cos nθ, जिसे चेबीशेव बहुपद T_n(cos θ) ≡ cos nθ के रूप में भी जाना जाता है, लीजेन्ड्रे बहुपदों P_n(cos θ) द्वारा बहुध्रुव का विस्तार भी किया जा सकता है। पहले कई आदेश इस प्रकार हैं:

$${\frac {\sin(n+1)\theta }{\sin \theta }}=\sum _{\ell =0}^{n}P_{\ell }(\cos \theta )P_{n-\ell }(\cos \theta ).$$