लीजेंड्रे वेवलेट

कार्यात्मक विश्लेषण में, लेजेंड्रे बहुपदों से प्राप्त जटिल रूप से समर्थित तरंगिकाओं को लेजेंड्रे तरंगिकाएं या गोलाकार आवर्ती तरंगिकाएं कहा जाता है। लीजेंड्रे फ़ंक्शंस के व्यापक अनुप्रयोग हैं जिनमें गोलाकार समन्वय प्रणाली उपयुक्त है। कई तरंगों की प्रकार इन आवर्ती गोलाकार तरंगों का वर्णन करने के लिए कोई उचित विश्लेषणात्मक सूत्र नहीं है। लीजेंड्रे बहुवैकल्पिक विश्लेषण से जुड़ा निम्नपरक फ़िल्टर सीमित आवेग प्रतिक्रिया (एफआईआर) फ़िल्टर है।

अधिकांश अनुप्रयोगों में एफआईआर फिल्टर से जुड़े तरंगिकाओं को सामान्यतौर पर पसंद किया जाता है। अतिरिक्त आकर्षक विशेषता यह है कि लीजेंड्रे फिल्टर रैखिक चरण एफआईआर (अर्थात रैखिक चरण फिल्टर से जुड़े बहुविकल्पी विश्लेषण) हैं। ये तरंगिकाओं मैटलैब (उपकरण बॉक्स तरंगिकाओं) पर क्रियान्वित किए गए हैं। चूँकि ठोस रूप से समर्थित तरंगिकाएं होने के कारण, लेगडीएन आयतीय नहीं हैं (परन्तु N = 1 के लिए) है।

लेजेंड्रे बहुवैकल्पिक विश्लेषण फ़िल्टर

संबंधित लेजेंड्रे बहुपद गोलाकार आवर्ती के सहअक्षांशीय भाग हैं जो गोलाकार ध्रुवीय निर्देशांक में लाप्लास के समीकरण के सभी पृथक्करणों के लिए सामान्य हैं। विलयन का रेडियल भाग एक क्षमता से दूसरे में भिन्न होता है, परन्तु आवृति निरंतर समान होते हैं और गोलाकार समरूपता का परिणाम होते हैं। गोलाकार आवृति $P_{n}(z)$ लीजेंड्रे $2^{nd}$-भाग अंतर समीकरण, एन पूर्णांक के विलयन हैं:

$\left(1-z^{2}\right){\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}-2z{\frac {dy}{dz}}+n(n+1)y=0.$

$P_{n}(\cos(\theta ))$ बहुपदों का उपयोग बहुविष्लेषक विश्लेषण (एमआरए) के मसृणक फ़िल्टर $H(\omega )$, को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। चूंकि एमआरए के लिए उपयुक्त सीमित नियम $|H(0)|=1$ और $|H(\pi )|=0$ हैं, एमआरए के मसृणक फिल्टर को परिभाषित किया जा सकता है जिससे की निम्नपरक का परिमाण $|H(\omega )|$ लीजेंड्रे बहुपदों के अनुसार निहित किया जा सकता है: $\nu =2n+1.$

$|H_{\nu }(\omega )|=\left|{\frac {P_{\nu }\left(\cos \left({\frac {\omega }{2}}\right)\right)}{P_{\nu }\cos(0)}}\right|$

लीजेन्ड्रे एमआरए के लिए फिल्टर स्थानांतरण कार्य के उदाहरण चित्र 1 में दर्शाये गए हैं $\nu =1,3,5.$ आशानुसार फ़िल्टर एच के लिए निम्नपरक गतिविधि प्रदर्शित किया जाता है। भीतर शून्य की संख्या $-\pi <\omega <\pi$ लीजेंड्रे बहुपद की घात के बराबर है। इसलिए, आवृत्ति के साथ पहले की पहलुओं का रोल-ऑफ मानकों द्वारा सरलता से नियंत्रित किया जाता है $\nu$.

चित्र 1 - लीजेंड्रे मल्टीरिज़ॉल्यूशन स्मूथिंग फ़िल्टर के लिए स्थानांतरण फ़ंक्शन का परिमाण। फ़िल्टर $|H_{\nu }(\omega )|$ आदेश 1, 3 और 5 के लिए।

निम्नपरक फिल्टर स्थानांतरण कार्य किसके द्वारा दिया जाता है

$H_{\nu }(\omega )=-e^{-j\nu {\frac {\omega -\pi }{2}}}P_{\nu }\left(\cos \left({\tfrac {\omega }{2}}\right)\right)$

उच्चपरक विश्लेषण फिल्टर का स्थानांतरण कार्य $G_{\nu }(\omega )$ चतुर्भुज दर्पण फ़िल्टर स्थिति के अनुसार चुना जाता है, अनुवर्ती है:

$H_{\nu }(\omega )=-e^{-j{(\nu -2)}{\frac {\omega }{2}}}P_{\nu }\left(\sin \left({\tfrac {\omega }{2}}\right)\right)$

वास्तव में, $|G_{\nu }(0)|=0$ और $|G_{\nu }(\pi )|=1$, आशा के अनुसार है।

लेजेंड्रे बहुवैकल्पिक विश्लेषण फ़िल्टर गुणांक

स्थानांतरण कार्य को ठीक से समायोजित करने के लिए उपयुक्त चरण निर्दिष्टीकरण किया जाता है $H_{\nu }(\omega )$ रूप को

$H_{\nu }(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2}}}\sum _{k\in Z}h_{k}^{\nu }e^{-j\omega k}$

फ़िल्टर गुणांक $\{h_{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }$ द्वारा दिया गया है:

$h_{k}^{\nu }=-{\frac {\sqrt {2}}{2^{2\nu }}}{\binom {2k}{k}}{\binom {2\nu -2k}{\nu -k}}$

जिससे समरूपता:

${h_{k}^{\nu }}={h_{\nu -k}^{\nu }},$

इस प्रकार है। वे $H_{n}(\omega )$ पर सिर्फ $\nu +1$ आतंरिक त्रुटि फ़िल्टर गुणांक है, जिससे की लीजेंड्रे तरंगिकाओं को सभी बिषम पूर्णांकों $\nu$ के लिए ठोस आधार मिला है।

टेबल I-मसृणक लीजेंड्रे एफआईआर फिल्टर गुणांक $\nu =1,3,5$ (एन तरंगिका क्रम है।)

	$\nu =1(N=1)$	$\nu =3(N=2)$	$\nu =5(N=3)$
$h_{0}$	$-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$-5{\tfrac {\sqrt {2}}{16}}$	$-63{\tfrac {\sqrt {2}}{256}}$
$h_{1}$	$-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$-3{\tfrac {\sqrt {2}}{16}}$	$-35{\tfrac {\sqrt {2}}{256}}$
$h_{2}$		$-3{\tfrac {\sqrt {2}}{16}}$	$-30{\tfrac {\sqrt {2}}{256}}$
$h_{3}$		$-5{\tfrac {\sqrt {2}}{16}}$	$-30{\tfrac {\sqrt {2}}{256}}$
$h_{4}$			$-35{\tfrac {\sqrt {2}}{256}}$
$h_{5}$			$-63{\tfrac {\sqrt {2}}{256}}$

एन.बी. ऋण संकेत को दबाया जा सकता है।

लीजेंड्रे तरंगिकाओं का मैटलैब कार्यान्वन

लीजेंड्रे तरंगिकाओं को मैटलैब तरंगिकाएं उपकरण बॉक्स में सरलता से भरा जा सकता है-लीजेंड्रे तरंगिकाएं स्थानांतरण की गणना की अनुमति देने के लिए एम-फाइलें, विवरण और फिल्टर (फ्रीवेयर) उपलब्ध हैं। परिमित आधार चौड़ाई लीजेंड्रे समूह को लेग्ड (संक्षिप्त नाम) द्वारा दर्शाया गया है। तरंगिकाएं: 'लेगडीएन'। लेगडीएन समूह में पैरामीटर एन के अनुसार $2N=\nu +1$ (एमआरए फिल्टर की लंबाई) पाया जाता है।

लेजेंड्रे तरंगिकाओं को पुनरावृत्त प्रक्रिया (कैस्केड एल्गोरिदम) द्वारा निम्नपरक पुनर्निर्माण फिल्टर से प्राप्त किया जा सकता है। तरंगिकाओं में ठोस आधार है और परिमित आवेग प्रतिक्रिया एएमआर फिल्टर (एफआईआर) का उपयोग किया जाता है (तालिका 1)। लीजेंड्रे के समूह की प्रथम तरंगिकाएं पूर्णतया हार तरंगिका तरंगिका है। चित्रा 2 उभरता हुआ प्रतिरूप दर्शाता है जो उत्तरोत्तर तरंगिका के आकार जैसा दिखता है।

चित्रा 2 - लेजेंड्रे वेवलेट्स ऑफ डिग्री का आकार $\nu =3$ (legd2) क्रमशः कैस्केड एल्गोरिथम के 4 और 8 पुनरावृत्ति के बाद प्राप्त हुआ। लीजेंड्रे वेवलेट्स ऑफ डिग्री का आकार $\nu =5$ (legd3) क्रमशः कैस्केड एल्गोरिथ्म के 4 और 8 पुनरावृत्तियों के बाद कैस्केड एल्गोरिथम द्वारा प्राप्त किया गया।

मैटलैब के तरंगिका सूचि संकेत का उपयोग करके लीजेंड्रे तरंगिकाओं आकार की कल्पना की जा सकती है। चित्र 3 मैटलैब का उपयोग करके प्रदर्शित लेगडी 8 तरंगिकाएं दर्शाता है। लीजेंड्रे बहुआयामी पद भी विंडोज़ समूहों से जुड़े हैं।

चित्रा 3 - वेवमेनू कमांड का उपयोग करके मैटलैब पर लेगडी 8 वेवलेट डिस्प्ले।

लीजेंड्रे तरंगिका पैकेट

लीजेंड्रे तरंगिकाओं से प्राप्त तरंगिका पैकेट (डब्ल्यूपी) प्रणाली भी सरलता से पूरा किया जा सकता है। चित्र 5 लेगडी 2 से प्राप्त तरंगिका पैकेट कार्यों को दिखाता है।

चित्र 5 - लीजेंड्रे (legd2) वेवलेट पैकेट W सिस्टम कार्य: WP 0 से 9 तक।

ग्रन्थसूची

• M.M.S. Lira, H.M. de Oliveira, M.A. Carvalho Jr, R.M.C.Souza, Compactly Supported Wavelets Derived from Legendre Polynomials: Spherical Harmonic Wavelets, In: Computational Methods in Circuits and Systems Applications, N.E. Mastorakis, I.A. Stahopulos, C. Manikopoulos, G.E. Antoniou, V.M. Mladenov, I.F. Gonos Eds., WSEAS press, pp. 211–215, 2003. ISBN 960-8052-88-2. Available at ee.ufpe.br
• A. A. Colomer and A. A. Colomer, Adaptive ECG Data Compression Using Discrete Legendre Transform, Digital Signal Processing, 7, 1997, pp. 222–228.
• A.G. Ramm, A.I. Zaslavsky, X-Ray Transform, the Legendre Transform, and Envelopes, J. of Math. Analysis and Appl., 183, pp. 528–546, 1994.
• C. Herley, M. Vetterli, Orthogonalization of Compactly Supported Wavelet Bases, IEEE Digital Signal Process. Workshop, 13-16 Sep., pp. 1.7.1-1.7.2, 1992.
• S. Mallat, A Theory for Multiresolution Signal Decomposition: The Wavelet Representation, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 11, July pp. 674–693, 1989.
• M. Vetterli, C. Herly, Wavelets and Filter Banks: Theory and Design, IEEE Trans. on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 40, 9, p. 2207, 1992.
• M. Jaskula, New Windows Family Based on Modified Legendre Polynomials, IEEE Instrum. And Measurement Technol. Conf., Anchorage, AK, May, 2002, pp. 553–556.