रैखिक चरण

सिग्नल प्रोसेसिंग में, रैखिक चरण फ़िल्टर की एक संपत्ति है जहां फ़िल्टर की चरण प्रतिक्रिया आवृत्ति का एक रैखिक कार्य होती है। परिणाम यह है कि इनपुट सिग्नल के सभी आवृत्ति घटकों को एक साथ स्थानांतरित किया जाता है, जिसे समूह विलंब कहा जाता है। नतीजतन, एक दूसरे के सापेक्ष आवृत्तियों की देरी के कारण कोई चरण विरूपण नहीं होता है।

असतत-समय के संकेतों के लिए, एक परिमित आवेग प्रतिक्रिया (एफआईआर) फिल्टर के साथ सही रैखिक चरण आसानी से प्राप्त किया जाता है, जिसमें गुणांक होते है जो सममित या विरोधी-सममित होते है। असीमित आवेग प्रतिक्रिया (आईआईआर) डिजाइनों के साथ अनुमान प्राप्त किए जा सकते है, जो अधिक कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल होते है। कई तकनीकें है:

• एकबेसल फिल्टर ट्रांसफर फ़ंक्शन जिसमें एक अधिकतम फ्लैट समूह विलंब सन्निकटन फ़ंक्शन होता है
• एक चरण तुल्यकारक

परिभाषा

एक फिल्टर को रैखिक चरण फिल्टर कहा जाता है यदि आवृत्ति प्रतिक्रिया का चरण घटक आवृत्ति का एक रैखिक कार्य है। निरंतर समय के आवेदन के लिए, फ़िल्टर की आवृत्ति प्रतिक्रिया फ़िल्टर के आवेग प्रतिक्रिया का फूरियर रूपांतरण होता है, और एक रैखिक चरण संस्करण का रूप है:

$H(\omega )=A(\omega )\ e^{-j\omega \tau },$

जहाँ:

• A(ω) एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है।
• $\tau$ समूह विलंब है।

असतत-समय के अनुप्रयोग के लिए, रैखिक चरण आवेग प्रतिक्रिया के असतत-समय फूरियर परिवर्तन का रूप है:

$H_{2\pi }(\omega )=A(\omega )\ e^{-j\omega k/2},$

जहाँ:

• A(ω) 2π आवर्तता वाला एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है।
• k एक पूर्णांक है, और k/2 नमूनों की इकाइयों में समूह विलंब है।

$H_{2\pi }(\omega )$ एक फूरियर श्रृंखला है जिसे फ़िल्टर आवेग प्रतिक्रिया के जेड-ट्रांसफॉर्म के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है। अर्थात:

$H_{2\pi }(\omega )=\left.{\widehat {H}}(z)\,\right|_{z=e^{j\omega }}={\widehat {H}}(e^{j\omega }),$

जहां ${\widehat {H}}$ संकेतन जेड-ट्रांसफॉर्म को फूरियर ट्रांसफॉर्म से अलग करता है।

उदाहरण

जब एक साइनसॉइड$,\ \sin(\omega t+\theta ),$निरंतर (आवृत्ति-स्वतंत्र) समूह विलंब वाले फ़िल्टर से गुजरता है $\tau ,$परिणाम होता है:

$A(\omega )\cdot \sin(\omega (t-\tau )+\theta )=A(\omega )\cdot \sin(\omega t+\theta -\omega \tau ),$

जहाँ:

• $A(\omega )$ एक आवृत्ति-निर्भर आयाम गुणक है।
• चरण बदलाव $\omega \tau$ कोणीय आवृत्ति का एक रैखिक कार्य है $\omega$, और $-\tau$ ढाल है।

यह इस प्रकार है कि एक जटिल घातीय कार्य:

$e^{i(\omega t+\theta )}=\cos(\omega t+\theta )+i\cdot \sin(\omega t+\theta ),$

में परिवर्तित हो जाता है:

$A(\omega )\cdot e^{i(\omega (t-\tau )+\theta )}=e^{i(\omega t+\theta )}\cdot A(\omega )e^{-i\omega \tau }$

लगभग रैखिक चरण के लिए, उस संपत्ति को केवल फ़िल्टर के पासबैंड में रखना पर्याप्त होता है, जहां |A(ω)| अपेक्षाकृत बड़े मूल्य होते है। इसलिए, फ़िल्टर की रैखिकता की जांच करने के लिए परिमाण और चरण ग्राफ़ दोनों का उपयोग किया जाता है। एक "रैखिक" चरण ग्राफ में π और/या 2π रेडियन की असंततता हो सकती है। छोटे होते है जहां A(ω) चिन्ह बदलता है। चूँकि |A(ω)| नकारात्मक नहीं हो सकता, परिवर्तन चरण में परिलक्षित होते है। 2π विच्छिन्नता का मूल मान करने के कारण होता है।

असतत-समय के अनुप्रयोगों में, आवधिकता और समरूपता के कारण, केवल 0 और निक्विस्ट आवृत्ति के बीच आवृत्तियों के क्षेत्र की जांच करता है। सामान्यीकृत आवृत्ति इकाइयों के आधार पर, निक्विस्ट आवृत्ति वास्तविक नमूना-दर का 0.5, 1.0, π, या ½ हो सकता है। रैखिक और गैर-रैखिक चरण के कुछ उदाहरण नीचे दिखाए गए है।

File:Phase Plots.svg

phase response vs normalized frequency (ω/π)

Bode plots. Phase discontinuities are π radians, indicating a sign reversal.

Phase discontinuities are removed by allowing negative amplitude.

Two depictions of the frequency response of a simple FIR filter

रेखीय चरण के साथ एक असतत-समय फ़िल्टर एक एफआईआर फ़िल्टर द्वारा प्राप्त किया जा सकता है जो या तो सममित या विरोधी-सममित है।एक आवश्यक लेकिन पर्याप्त शर्त नहीं है:

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot \sin(\omega \cdot (n-\alpha )+\beta )=0$

कुछ के लिए $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$.

सामान्यीकृत रैखिक चरण

सामान्यीकृत रेखीय चरण वाले प्रणाली में एक अतिरिक्त आवृत्ति-स्वतंत्र स्थिरांक होता है जिसे $\beta$ चरण में जोड़ा जाता है। असतत समय के स्थिति में, उदाहरण के लिए, आवृत्ति प्रतिक्रिया का रूप है:

$H_{2\pi }(\omega )=A(\omega )\ e^{-j\omega k/2+j\beta },$

$\arg \left[H_{2\pi }(\omega )\right]=\beta -\omega k/2$ के लिए $-\pi <\omega <\pi$

इस स्थिरांक के कारण, प्रणाली का चरण आवृत्ति का एक कड़ाई से रैखिक कार्य नहीं है, लेकिन यह रैखिक चरण प्रणालियों के कई उपयोगी गुणों को बनाए रखता है।

यह भी देखें

• न्यूनतम चरण