गुणनखंड प्रमेय

बीजगणित में, कारक प्रमेय बहुपद के समारोह के कारकों और शून्य को जोड़ने वाला प्रमेय है। यह बहुपद शेष प्रमेय का विशेष मामला है। कारक प्रमेय बताता है कि बहुपद $f(x)$ कारक है $(x-\alpha )$ अगर और केवल अगर $f(\alpha )=0$ (अर्थात। $\alpha$ जड़ है)।

बहुपदों का गुणनखंड

Main article: Factorization of polynomials

दो समस्याएँ जहाँ गुणनखंड प्रमेय सामान्यतः लागू होता है, बहुपद का गुणनखण्ड करना और बहुपद समीकरण के मूल ज्ञात करना; यह प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम है कि ये समस्याएं अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं।

कारक प्रमेय का उपयोग सभी अज्ञात शून्यों को बरकरार रखते हुए बहुपद से ज्ञात शून्य को हटाने के लिए भी किया जाता है, इस प्रकार निम्न डिग्री बहुपद का उत्पादन होता है जिसका शून्य खोजना आसान हो सकता है। संक्षेप में, विधि इस प्रकार है:

1. शून्य के उम्मीदवार को घटाएं $a$ बहुपद का $f$ इसके प्रमुख गुणांक से $a_{n}$ और निरंतर अवधि $a_{0}$. (तर्कसंगत मूल प्रमेय देखें।)
2. निष्कर्ष निकालने के लिए कारक प्रमेय का प्रयोग करें $(x-a)$ का कारक है $f(x)$.
3. बहुपद की गणना करें ${\textstyle g(x)={\frac {f(x)}{(x-a)}}}$, उदाहरण के लिए बहुपद लंबे विभाजन या सिंथेटिक विभाजन का उपयोग करना।
4. निष्कर्ष निकालें कि कोई रूट $x\neq a$ का $f(x)=0$ की जड़ है $g(x)=0$. चूंकि बहुपद की डिग्री $g$ से कम है $f$, अध्ययन करके शेष शून्यों को खोजना आसान है $g$.

बहुपद तक प्रक्रिया को जारी रखना $f$ पूरी तरह से कारक है, जिस पर इसके सभी कारक अप्रासंगिक हैं $\mathbb {R} [x]$ या $\mathbb {C} [x]$.

उदाहरण

के कारक ज्ञात कीजिए $x^{3}+7x^{2}+8x+2.$ हल: चलो $p(x)$ उपरोक्त बहुपद हो

निरंतर पद = 2

का गुणांक $x^{3}=1$

2 के सभी संभावित कारक हैं $\pm 1$ और $\pm 2$. स्थानापन्न $x=-1$, हम पाते हैं:

$(-1)^{3}+7(-1)^{2}+8(-1)+2=0$

इसलिए, $(x-(-1))$, अर्थात। $(x+1)$ का कारक है $p(x)$. बांटने पर $p(x)$ द्वारा $(x+1)$, हम पाते हैं

भागफल = $x^{2}+6x+2$

इस तरह, $p(x)=(x^{2}+6x+2)(x+1)$ इनमें से, द्विघात कारक को द्विघात सूत्र का उपयोग करके और गुणनखण्ड किया जा सकता है, जो द्विघात की जड़ों के रूप में देता है $-3\pm {\sqrt {7}}.$ इस प्रकार मूल बहुपद के तीन बहुपद गुणनखंड हैं $x+1,$ $x-(-3+{\sqrt {7}}),$ और $x-(-3-{\sqrt {7}}).$