गुणनखंड प्रमेय

बीजगणित में, कारक प्रमेय बहुपद के फंक्शन के कारकों और शून्य को आपस में संयोजित करने वाली प्रमेय है। यह बहुपद शेष प्रमेय की विशेष स्थिति पर निर्भर करती है।

कारक प्रमेय यह बताती है कि बहुपद $f(x)$ $(x-\alpha )$ का कारक है जिसके लिए $f(\alpha )=0$ (अर्थात। $\alpha$ जड़ है) होना आवश्यक हैं।

बहुपदों का गुणनखंड

Main article: बहुपदों का गुणनखंडन

दो समस्याएँ यहाँ ऐसी हैं जिसमें गुणनखंडों के लिए उपयुक्त प्रमेय को सामान्य रूप से लागू किया जाता है, जिसमें मुख्य रूप से बहुपद का गुणनखण्ड और बहुपद समीकरण के मूल को ज्ञात करना आवश्यक होता हैं। इस प्रकार से इस प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम प्राप्त होता है जिससे ये समस्याएं अनिवार्य रूप से समतुल्य हो जाती हैं।

कारक प्रमेय का उपयोग सभी अज्ञात शून्यों को उपयोग करते हुए बहुपद से ज्ञात होने वाले शून्य मानों को हटाने के लिए भी किया जाता है, इस प्रकार निम्न डिग्री बहुपद का उत्पादन होता है जिसका शून्य खोजना सरल होता है। संक्षेप में यह विधि इस प्रकार है:

1. शून्य के उम्मीदवार को $a$ बहुपद के लिए $f$ द्वारा इसके प्रमुख गुणांक $a_{n}$ और निरंतर अवधि $a_{0}$ से पृथक किया जाता हैं(तर्कसंगत मूल प्रमेय देखें।)
2. निष्कर्ष निकालने के लिए कारक प्रमेय का प्रयोग करें, जहाँ पर $(x-a)$, $f(x)$ का कारक है।
3. बहुपद ${\textstyle g(x)={\frac {f(x)}{(x-a)}}}$ की गणना करें, उदाहरण के लिए बहुपद लंबे विभाजन या सिंथेटिक विभाजन का उपयोग करना आवश्यक होता हैं।
4. निष्कर्ष निकालें कि कोई रूट $x\neq a$ का $f(x)=0$ का आधार $g(x)=0$ है, चूंकि बहुपद की डिग्री $g$ मुख्य रूप से $f$ से कम होती है, इसका अध्ययन करके शेष शून्यों को $g$ द्वारा खोजना सरल होता है।

बहुपद $f$ को प्रक्रिया द्वारा जारी रखना पूर्ण रूप से कारक पर निर्भर करता है, जिस पर इसके सभी कारक $\mathbb {R} [x]$ या $\mathbb {C} [x]$ अप्रासंगिक रूप से प्रयोग में लाए जाते हैं।

उदाहरण

$x^{3}+7x^{2}+8x+2.$ के कारक ज्ञात कीजिए, उपरोक्त बहुपद $p(x)$ का हल:

निरंतर पद = 2

गुणांक $x^{3}=1$

2 के सभी संभावित कारक हैं $\pm 1$ और $\pm 2$. स्थानापन्न $x=-1$, जहाँ हम पाते हैं:

$(-1)^{3}+7(-1)^{2}+8(-1)+2=0$

इसलिए, $(x-(-1))$, अर्थात $(x+1)$ का कारक $p(x)$ है, इसे बांटने पर $p(x)$ द्वारा $(x+1)$ का मान प्राप्त होता हैं

भागफल = $x^{2}+6x+2$

इस प्रकार $p(x)=(x^{2}+6x+2)(x+1)$

इनमें से द्विघात कारक को द्विघात सूत्र का उपयोग करके और गुणनखण्ड द्वारा प्राप्त किया जाता है, जो द्विघात आधार $-3\pm {\sqrt {7}}.$ के रूप में देता है, इस प्रकार मूल बहुपद के तीन बहुपद गुणनखंड $x+1,$ $x-(-3+{\sqrt {7}}),$ और $x-(-3-{\sqrt {7}}).$ होते हैं।