रैंक (रैखिक बीजगणित): Difference between revisions

Latest revision as of 13:13, 22 March 2023

रैखिक बीजगणित में, आव्यूह $A$ का रैंक इसके स्तंभों द्वारा उत्पन्न (या रैखिक अवधि) सदिश स्थान का आयाम (सदिश स्थल) है।^[1]^[2]^[3] यह $A$ के रैखिक रूप से स्वतंत्र स्तंभों की अधिकतम संख्या से मेल खाता है। यह बदले में, इसकी पंक्तियों द्वारा फैले सदिश स्थान के आयाम के समान है।^[4] सामान्यतः रैंक इस प्रकार $A$ द्वारा एन्कोड किए गए रैखिक समीकरणों की प्रणाली के पतित रूप का उपाय है और रैंक की कई समकक्ष परिभाषाएँ हैं। आव्यूह का रैंक इसकी सबसे मूलभूत विशेषताओं में से है।

सामान्यतः रैंक को $rank(A)$ या $rk(A)$ द्वारा निरूपित किया जाता है।^[2]कभी-कभी कोष्ठक नहीं लिखे जाते हैं, जैसे कि $rank A$ में है।^{[lower-roman 1]}

मुख्य परिभाषाएँ

इस भाग में, हम आव्यूह की कोटि की कुछ परिभाषाएँ देते हैं। चूँकि कई परिभाषाएँ संभव हैं अतः इनमें से कई के लिए वैकल्पिक परिभाषाएं देख सकते है।

$A$ का स्तंभ रैंक $A$ के स्तंभ स्थान का आयाम (रैखिक बीजगणित) है। चूँकि $A$ की पंक्ति रैंक $A$ की पंक्ति स्थान का आयाम है।

रैखिक बीजगणित में मौलिक परिणाम यह है कि स्तंभ रैंक और पंक्ति रैंक हमेशा समांतर होते है। (इस परिणाम के तीन प्रमाण और प्रमाणों में दिए गए हैं कि § Proofs that column rank = row rank, नीचे।) यह संख्या (अर्थात, रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों या स्तंभों की संख्या) को केवल $A$ रैंक कहा जाता है।

अधिकांशतः आव्यूह को पूर्ण रैंक कहा जाता है। यदि इसकी रैंक समान आयामों के आव्यूह के लिए सबसे बड़ा संभव है। जो कि पंक्तियों और स्तंभों की संख्या से कम है। आव्यूह को रैंक-कमी कहा जाता है। यदि इसमें पूर्ण रैंक नहीं है। तब आव्यूह की रैंक की कमी पंक्तियों और स्तंभों की संख्या और रैंक के मध्य का अंतर है।

रेखीय मानचित्र या ऑपरेटर का पद $\Phi$ को इसकी छवि (गणित) के आयाम के रूप में परिभाषित किया गया है।^[5]^[6]^[7]^[8]

\operatorname {rank} (\Phi ):=\dim(\operatorname {img} (\Phi ))

जहाँ

\dim

सदिश स्थान का आयाम है और

\operatorname {img}

मानचित्र की छवि है।

उदाहरण

गणित का सवाल

{\begin{bmatrix}1&0&1\\-2&-3&1\\3&3&0\end{bmatrix}}

रैंक 2 है, प्रथम दो स्तंभ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। चूंकि रैंक कम से कम 2 है। किन्तु तीसरा प्रथम दो का रैखिक संयोजन है। (प्रथम स्तंभ माइनस दूसरा), तीन स्तंभ रैखिक रूप से निर्भर हैं। अतः रैंक 3 से कम होना चाहिए।

गणित का सवाल

A={\begin{bmatrix}1&1&0&2\\-1&-1&0&-2\end{bmatrix}}

रैंक 1 है, यह गैर-शून्य स्तंभ हैं। अतः रैंक सकारात्मक है। किन्तु स्तंभ की कोई भी जोड़ी रैखिक रूप से निर्भर है। इसी प्रकार, स्थानांतरण

A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\\0&0\\2&-2\end{bmatrix}}

A

की रैंक 1 है। चूंकि

A

स्तंभ सदिश

A

के स्थानांतरण के पंक्ति सदिश हैं। यह कथन कि आव्यूह का स्तंभ रैंक उसकी पंक्ति रैंक के समांतर है। यह इस कथन के समांतर है कि आव्यूह का रैंक उसके स्थानान्तरण के रैंक के समांतर है, अर्थात,

rank(A) = rank(A T)

होता है।

आव्यूह के रैंक की गणना

पंक्ति पारिस्थितिक रूपों से रैंक

आव्यूह के रैंक को खोजने के लिए सामान्य दृष्टिकोण प्राथमिक पंक्ति संचालन द्वारा इसे सरल रूप में, सामान्यतः पंक्ति पारिस्थितिक रूप कम करना है। चूँकि पंक्ति संचालन, पंक्ति स्थान को परिवर्तित नहीं करते हैं। (अतः पंक्ति रैंक को नहीं बदलते हैं) और इन्वर्टिबल होने के कारण, स्तंभ स्थान को समरूपी स्थान में मानचित्र करते हैं। (अतः स्तंभ रैंक को परिवर्तित न करे) पारिस्थितिक रूप में, पंक्ति और रैंक स्पष्ट रूप से पंक्ति रैंक और स्तंभ रैंक दोनों के लिए समान है और पिवोट्स तत्व (या मूल स्तंभ) की संख्या और गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या के समांतर है।

उदाहरण के लिए, आव्यूह $A$ द्वारा दिए गए,

A={\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}

निम्नलिखित प्रारंभिक पंक्ति संचालन का उपयोग करके कम पंक्ति-पारिस्थितिक रूप में रखा जा सकता है।

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}&\xrightarrow {2R_{1}+R_{2}\to R_{2}} {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\3&5&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {-3R_{1}+R_{3}\to R_{3}} {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&-1&-3\end{bmatrix}}\\&\xrightarrow {R_{2}+R_{3}\to R_{3}} \,\,{\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {-2R_{2}+R_{1}\to R_{1}} {\begin{bmatrix}1&0&-5\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}}~.\end{aligned}}

अंतिम आव्यूह (पंक्ति पारिस्थितिक रूप में) में दो गैर-शून्य पंक्तियां होती हैं और इस प्रकार आव्यूह

A

की रैंक 2 होती है।

गणना

कंप्यूटर पर तैरने वाला स्थल कंप्यूटेशंस पर प्रयुक्त होने पर, मूल गॉसियन उन्मूलन (एलयू अपघटन) अविश्वसनीय हो सकता है और इसके अतिरिक्त रैंक-स्पष्टीकरण अपघटन का उपयोग किया जाता है। प्रभावी विकल्प एकवचन मूल्य अपघटन (एसवीडी) है। किन्तु अन्य निम्न बहुमूल्य विकल्प हैं। जैसे क्यूआर अपघटन पिवोटिंग (तथाकथित रैंक-खुलासा क्यूआर कारक करण) के साथ, जो अभी भी गॉसियन उन्मूलन से अधिक संख्यात्मक रूप से मजबूत हैं। रैंक के संख्यात्मक निर्धारण के लिए यह तय करने के लिए मानदंड की आवश्यकता होती है कि एसवीडी से विलक्षण मूल्य जैसे मूल्य को शून्य के रूप में माना जाता है। व्यावहारिक विकल्प जो आव्यूह और एप्लिकेशन दोनों पर निर्भर करता है।

प्रमाण है कि स्तंभ रैंक = पंक्ति रैंक

पंक्ति न्यूनीकरण का उपयोग कर प्रमाण

सामान्यतः तथ्य यह है कि किसी भी आव्यूह के स्तंभ और पंक्ति रैंक का समान रूप होता हैं। अतः रैखिक बीजगणित में मौलिक के अनेक प्रमाण दिये हैं। पंक्ति पारिस्थितिक रूपों से और रैंक में सबसे प्राथमिक व्यक्तियों में संक्षिप्त वर्णन किया गया है। यह इस प्रमाण का रूप है।

यह दिखाना प्रत्यक्ष है कि प्राथमिक पंक्ति संचालन द्वारा न तो पंक्ति रैंक और न ही स्तंभ रैंक को परिवर्तित किया जाता है। जैसा कि गौसियन उन्मूलन प्राथमिक पंक्ति संचालन से आगे बढ़ता है और आव्यूह के कम पंक्ति पारिस्थितिक रूप में मूल आव्यूह के समान पंक्ति रैंक और समान स्तंभ रैंक होता है। अतः आगे के प्राथमिक स्तंभ संचालन आव्यूह को पहचान आव्यूह के रूप में रखने की अनुमति देते हैं। जो संभवतः शून्य की पंक्तियों और स्तंभों से घिरा होता है। अतः यह पुनः न तो पंक्ति रैंक और न ही स्तंभ रैंक परिवर्तित करता है। यह तत्काल है कि इस परिणामी आव्यूह की पंक्ति और स्तंभ दोनों रैंक इसकी गैर-शून्य प्रविष्टियों की संख्या है।

हम इस परिणाम के दो अन्य प्रमाण प्रस्तुत करते हैं। प्रथम सदिशों के रैखिक संयोजन के केवल मूलभूत गुणों का उपयोग करता है और किसी भी क्षेत्र (गणित) पर मान्य है कि प्रमाण वार्डलॉ (2005) पर आधारित है।^[9] दूसरा ओर्थोगोनालिटी का उपयोग करता है और वास्तविक संख्याओं पर आव्यूह के लिए मान्य है। यह मैकिव (1995) पर आधारित है।^[4]दोनों प्रमाण बनर्जी और रॉय (2014) की पुस्तक में पाए जा सकते हैं।^[10]

रैखिक संयोजनों का उपयोग करके प्रमाण

माना $A$ सामान्यतः $m \times n$ आव्यूह है। मान लीजिए $A$ का स्तंभ रैंक $r$ है और $c 1, ..., c r$ को $A$ के स्तंभ स्थान के लिए कोई भी आधार होने देता है। इन्हें $m \times r$ आव्यूह $C$ के स्तंभ के रूप में रखा जाता है। $A$ के प्रत्येक स्तंभ को रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। $C$ में $r$ स्तंभ का रैखिक संयोजन होता है। इसका तात्पर्य यह है कि $r \times n$ आव्यूह $R$ है। जैसे कि $A = CR$ अतः $R$ वह आव्यूह है जिसका $i$ वाँ स्तंभ $A$ के $i$ के स्तंभ को $C$ के $r$ स्तंभ के रैखिक संयोजन के रूप में देने वाले गुणांक से बनता है। दूसरे शब्दों में, $R$ वह आव्यूह है जिसमें $A$ (जो कि $C$ है) स्तंभ स्थान के आधापंक्तिं के लिए गुणक होते हैं। जो तब $A$ को समग्र रूप में बनाने के लिए उपयोग किए जाते हैं। अब $A$ की प्रत्येक पंक्ति $R$ की $r$ पंक्तियों के रैखिक संयोजन द्वारा दी गयी है। अतः $R$ की पंक्तियाँ $A$ के पंक्ति स्थान का फैला हुआ समूह बनती है। $A$ और स्टेनिट्ज एक्सचेंज लेम्मा द्वारा, $A$ की पंक्ति $r$ रैंक से अधिक नहीं हो सकती है। यह सिद्ध करता है कि $A$ की पंक्ति रैंक $A$ के स्तंभ रैंक से कम या उसके समांतर है। यह परिणाम किसी भी आव्यूह पर प्रयुक्त किया जा सकता है। अतः परिणाम को $A$ के स्थानान्तरण पर प्रयुक्त किया है। चूँकि $A$ के स्थानान्तरण की पंक्ति रैंक के पश्चात् से $A$ का स्तंभ रैंक है। और $A$ के स्थानान्तरण के स्तंभ रैंक $A$ की पंक्ति रैंक है। यह रिवर्स असमानता स्थापित करता है। अतः हम $A$ पंक्ति रैंक और स्तंभ रैंक की समानता प्राप्त करते हैं। (रैंक गुणनखंड भी देखें।)

ऑर्थोगोनलिटी का उपयोग करके प्रमाण

मान लीजिए $A$ सामान्यतः $m \times n$ आव्यूह है। जिसमे वास्तविक संख्या में प्रविष्टियों है। जिसकी पंक्ति रैंक $r$ है। अतः $A$ के पंक्ति स्थान का आयाम $r$ है। मान लीजिए $x 1, x 2, \dots, x r$ की पंक्ति स्थान का आधार (रैखिक बीजगणित) है अतः हम प्रामाणित करते हैं कि सदिश $A x 1, A x 2, \dots, A x r$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। यह देखने के लिए कि क्यों, अदिश गुणांक वाले इन सदिशों को सम्मिलित करते हुए रैखिक सजातीय संबंध पर विचार किया जाता है। $c 1, c 2, \dots, c r$ :

0=c_{1}A\mathbf {x} _{1}+c_{2}A\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}A\mathbf {x} _{r}=A(c_{1}\mathbf {x} _{1}+c_{2}\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}\mathbf {x} _{r})=A\mathbf {v} ,

जहाँ

v = c 1 x 1 + c 2 x 2 + \dots + c r x r

. में हम दो अवलोकन करते हैं। (ए)

v

A

के पंक्ति स्थान में सदिशों का रैखिक संयोजन है। जिसका तात्पर्य है

v

A

की पंक्ति स्थान के अंतर्गत आता है और (बी) चूँकि

A v = 0

, सदिश

v

की प्रत्येक पंक्ति सदिश के लिए ओर्थोगोनल है।

A

का पंक्ति सदिश और

A

का पंक्ति स्थान में प्रत्येक सदिश के लिए ओर्थोगोनल है। अतः तथ्य (ए) और (बी) साथ यह दर्शाते है कि

v

स्वयं के लिए ओर्थोगोनल है। जो यह सिद्ध करता है कि

v = 0

या,

v

की परिभाषा के द्वारा ,

c_{1}\mathbf {x} _{1}+c_{2}\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}\mathbf {x} _{r}=0.

किन्तु स्मरण रखें कि

x i

को

A

के पंक्ति स्थान के आधार के रूप में चुना गया था अतः वह रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इसका तात्पर्य यह है कि

c 1 = c 2 = \dots = c r = 0

. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि

A x 1, A x 2, \dots, A x r

रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

अब, प्रत्येक $A x i$ स्पष्ट रूप से $A$ के स्तंभ स्थान में सदिश है। अतः, $A x 1, A x 2, \dots, A x r$ के स्तंभ स्थान में $r$ रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश का समुच्चय है अतः $A$ के स्तंभ स्थान का आयाम है। (अर्थात, $A$ का स्तंभ रैंक) कम से कम $r$ उतना ही बड़ा होना चाहिए। यह सिद्ध करता है कि $A$ के पंक्ति रैंक, $A$ स्तंभ रैंक से बड़ा नहीं है। अब इस परिणाम को विपरीत असमानता प्राप्त करने के लिए $A$ के स्थानान्तरण पर प्रयुक्त करने के लिए और पिछले प्रमाण की भाति निष्कर्ष निकालने के लिए किया जाता है।

वैकल्पिक परिभाषाएँ

इस खंड में सभी परिभाषाओं में, आव्यूह $A$ को अनैतिक क्षेत्र $F$ पर $m \times n$ आव्यूह के रूप में लिया जाता है।

छवि का आयाम

आव्यूह दिया $A$ , संबद्ध रेखीय मानचित्रण है।

f:F^{n}\mapsto F^{m}

द्वारा परिभाषित

f(x)=Ax.

का पद

A

की छवि का आयाम है।

f

इस परिभाषा का लाभ यह है कि इसे किसी विशिष्ट आव्यूह की आवश्यकता के बिना किसी भी रेखीय मानचित्र पर प्रयुक्त किया जा सकता है।

अशक्तता के स्थिति में रैंक

उसी रेखीय मानचित्रण $f$ को देखते हुए रैंक $n$ माइनस $f$ के शून्य रिक्त स्थान का आयाम है। पद-अशक्तता प्रमेय कहता है कि यह परिभाषा पिछली परिभाषा के समकक्ष है।

स्तंभ रैंक - स्तंभ स्थान का आयाम

$A$ की कोटि रैखिक रूप से स्वतंत्र स्तंभों की अधिकतम संख्या है $\mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2},\dots ,\mathbf {c} _{k}$ का यह $A$ के स्तंभ स्थान के सदिश स्थान का आयाम है। (स्तंभ स्थान $A$ के स्तंभों द्वारा उत्पन्न $F m$ का उप-स्थान है जो वास्तव में $A$ से जुड़े रेखीय मानचित्र $f$ की छवि है।)

पंक्ति रैंक - पंक्ति स्थान का आयाम

$A$ की रैंक $A$ की रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों की अधिकतम संख्या है। यह $A$ की पंक्ति स्थान का आयाम है।

अपघटन रैंक

$A$ की रैंक सबसे छोटा पूर्णांक $k$ है। जिससे कि $A$ को फैक्टर किया जा सकता है $A=CR$ , जहाँ $C$ सामान्यतः $m \times k$ आव्यूह है और $R$ सामान्यतः $k \times n$ आव्यूह है। वास्तव में, सभी पूर्णांक $k$ के लिए, निम्नलिखित समतुल्य हैं।

$A$ का स्तंभ रैंक $k$ से कम या इसके समांतर है।
वहां $k$ स्तंभ उपस्थित है $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ आकार का $m$ ऐसा है कि $A$ का प्रत्येक स्तंभ $A$ का रैखिक संयोजन है। $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ ,
वहाँ उपस्तिथ है $m\times k$ आव्यूह $C$ और $A$ सामान्यतः $k\times n$ आव्यूह $R$ ऐसा है कि $A=CR$ ( जब $k$ रैंक है, यह $A$ रैंक गुणनखंड है)।
वहां $k$ पंक्तियाँ उपस्तिथ है $\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{k}$ आकार का $n$ इस प्रकार है कि $A$ की प्रत्येक पंक्ति $A$ का रैखिक संयोजन है। $\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{k}$ ,
$A$ की पंक्ति रैंक $k$ से कम या इसके समांतर है।

वास्तव में, निम्नलिखित समानताएं स्पष्ट हैं। $(1)\Leftrightarrow (2)\Leftrightarrow (3)\Leftrightarrow (4)\Leftrightarrow (5)$ .

उदाहरण के लिए, (3) को (2) से सिद्ध करने के लिए, $C$ को वह आव्यूह मानें जिसके स्तंभ हैं $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ (2) से।

(2) को (3) से सिद्ध करने के लिए, लीजिए $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ $C$ के स्तंभ होना होता है।

यह तुल्यता से अनुसरण करता है $(1)\Leftrightarrow (5)$ कि पंक्ति रैंक स्तंभ रैंक के समांतर है।

जैसा कि "छवि लक्षण वर्णन के आयाम के स्थिति में, इसे किसी भी रैखिक मानचित्र के रैंक की परिभाषा के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। रैखिक मानचित्र का रैंक $f : V \to W$ मध्यवर्ती स्थान $X$ का न्यूनतम आयाम $k$ है। जैसे उस $f$ को मानचित्र $V \to X$ और मानचित्र $X \to W$ की रचना के रूप में लिखा जा सकता है। दुर्भाग्य से, यह परिभाषा रैंक की गणना करने के लिए कुशल विधि का सुझाव नहीं देती है (जिसके लिए वैकल्पिक परिभाषाओं में से किसी का उपयोग करना उत्तम है)। विवरण के लिए रैंक गुणनखंड देख सकते है।

विलक्षण मूल्यों के संदर्भ में रैंक

का पद $A$ गैर-शून्य एकवचन मूल्य अपघटन की संख्या के समांतर है। जो कि एकवचन मूल्य अपघटन में Σ में गैर-शून्य विकर्ण तत्वों की संख्या के समान है $A=U\Sigma V^{*}$ .

निर्धारक रैंक - सबसे बड़े गैर-लुप्त माइनर का आकार

$A$ का रैंक $A$ में किसी भी गैर-शून्य माइनर (रैखिक बीजगणित) का सबसे बड़ा क्रम है। (माइनर का क्रम वर्ग उप-आव्यूह की पार्श्व-लम्बाई है। जिसका यह निर्धारक है।) अपघटन रैंक लक्षण वर्णन की प्रकार से यह रैंक की गणना करने की कुशल विधि नहीं देता है, किन्तु यह सैद्धांतिक रूप से उपयोगी है। आव्यूह के रैंक के लिए एकल गैर-शून्य माइनर निचली सीमा (अर्थात् इसका क्रम) देखता है। जो कि निश्चित सिद्ध करने के लिए उपयोगी हो सकता है। (उदाहरण के लिए) ऑपरेशन आव्यूह के रैंक को कम नहीं करते हैं।

गैर-लुप्त होने वाला $p$ -अवयस्क ( $p \times p$ उच्च आव्यूह की की पंक्तियाँ और स्तंभ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और इस प्रकार पूर्ण आव्यूह की वे पंक्तियाँ और स्तंभ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। (पूर्ण आव्यूह में) अतः पंक्ति और स्तंभ रैंक कम से कम निर्धारक रैंक जितनी बड़ी है। चूँकि, वार्तालाप कम सीमित है। निर्धारक रैंक और स्तंभ रैंक की समानता इस कथन की मजबूती है कि यदि $n$ सदिशो की अवधि में आयाम $p$ है। तब उन सदिशों में से $p$ स्थान को फैलाते हैं। (समतुल्य रूप से, कोई फैले हुए समूह को चुन सकता है। जो सदिशों का उच्च समूह है) सामान्यतः समतुल्यता का अर्थ है कि पंक्तियों का उपसमुच्चय और स्तंभों का उपसमुच्चय साथ व्युत्क्रमणीय उच्च आव्यूह को परिभाषित करता है। (समकक्ष रूप से, यदि $n$ सदिशों की अवधि आयाम $p$ है। तब इन सदिशों में से $p$ अंतरिक्ष में फैलाता है और $p$ का समुच्चय होता है। निर्देशांक जिस पर वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं)।

टेंसर रैंक - साधारण टेंसर पंक्ति की न्यूनतम संख्या

$A$ की कोटि की सबसे छोटी संख्या $k$ है। जिसमे $A$ को $k$ श्रेणी 1 आव्यूहों के योग के रूप में लिखा जा सकता है। जहां आव्यूह को कोटि 1 के रूप में परिभाषित किया जाता है। यदि इसे गैर-शून्य उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है $c\cdot r$ स्तंभ सदिश $c$ और पंक्ति सदिश $r$ का रैंक की इस धारणा को टेंसर रैंक कहा जाता है; इसे एकवचन मूल्य अपघटन की वियोज्य मॉडल व्याख्या में सामान्यीकृत किया जा सकता है।

गुण

हम मानते हैं कि $A$ सामान्यतः $m \times n$ आव्यूह है और हम $f (x) = A x$ द्वारा रैखिक मानचित्र $f$ को परिभाषित करते हैं।

चूँकि $m \times n$ आव्यूह की कोटि अऋणात्मक पूर्णांक है और यह $m$ या $n$ किसी से भी बड़ा नहीं हो सकता है। $\operatorname {rank} (A)\leq \min(m,n).$ आव्यूह जिसमें रैंक {{math|min(m, n)} कहा जाता है कि } को पूर्ण रैंक कहा जाता है। अन्यथा, आव्यूह रैंक की कमी है।
केवल शून्य आव्यूह का रैंक शून्य होता है।
$f$ इंजेक्शन समापंक्तिह है यदि $A$ में रैंक $n$ है (इस स्थिति में, हम कहते हैं कि $A$ का पूर्ण स्तंभ रैंक है)।
$f$ विशेषण फलन (या आच्छादित) है। यदि $A$ की रैंक $m$ है (इस स्थिति में, हम कहते हैं कि $A$ पूर्ण पंक्ति रैंक है)।
यदि $A$ वर्ग आव्यूह है (अर्थात, $m = n$ ), तब $A$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह है। यदि $A$ रैंक $n$ है (अर्थात्, $A$ का पूर्ण रैंक है)।
यदि $B$ कोई $n \times k$ आव्यूह है। तब पद $\operatorname {rank} (AB)\leq \min(\operatorname {rank} (A),\operatorname {rank} (B)).$
यदि $B$ रैंक $n$ का $n \times k$ आव्यूह है। तब $\operatorname {rank} (AB)=\operatorname {rank} (A).$
यदि $C$ रैंक $m$ का $l \times m$ आव्यूह है। तब $\operatorname {rank} (CA)=\operatorname {rank} (A).$
$A$ का रैंक $r$ के समांतर है। यदि कोई व्युत्क्रमणीय $m \times m$ आव्यूह $X$ और व्युत्क्रमणीय $n \times n$ आव्यूह $Y$ उपस्थित है। कि $XAY={\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\\\end{bmatrix}},$ जहाँ $I r$ सामान्यतः $r \times r$ आव्यूह को दर्शाता है।
जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर की रैंक असमानता: यदि $A$ सामान्यतः $m \times n$ आव्यूह और $B$ , $n \times k$ है। तब^{[lower-roman 2]} $\operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)-n\leq \operatorname {rank} (AB).$ यह अगली असमानता की विशेष स्थिति है।
फर्डिनेंड जॉर्ज फ्पंक्तिबेनियस के कारण असमानता: यदि $AB$ , $ABC$ और $BC$ परिभाषित हैं, तो^{[lower-roman 3]} $\operatorname {rank} (AB)+\operatorname {rank} (BC)\leq \operatorname {rank} (B)+\operatorname {rank} (ABC).$
उप-विषमता: $\operatorname {rank} (A+B)\leq \operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)$ जब $A$ और $B$ समान आयाम के होते हैं। परिणाम स्वरुप, रैंक- $k$ आव्यूह को रैंक-1 आव्यूह के योग के रूप में लिखा जा सकता है, किन्तु कम नहीं।
आव्यूह की रैंक प्लस आव्यूह का शून्य रिक्त स्थान (आव्यूह) के शून्यता आव्यूह के स्तंभ की संख्या के समांतर होता है। (यह रैंक-शून्यता प्रमेय है।)
यदि $A$ वास्तविक संख्याओं पर आव्यूह है, तब $A$ रैंक और इसके संगत ग्राम आव्यूह की कोटि समांतर होती है। इस प्रकार, वास्तविक आव्यूह के लिए पद, $\operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} }A)=\operatorname {rank} (AA^{\mathrm {T} })=\operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} }).$ यह उनके शून्य रिक्त स्थान (आव्यूह) की समानता सिद्ध करके दिखाया जा सकता है। ग्राम आव्यूह का रिक्त स्थान सदिशों $x$ द्वारा दिया जाता है। जिसके लिए $A^{\mathrm {T} }A\mathbf {x} =0.$ यदि यह शर्त पूर्ण होती है, तब हमारे पास $0=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }A\mathbf {x} =\left|A\mathbf {x} \right|^{2}.$ भी होता है।^[11]
यदि $A$ जटिल संख्याओं पर आव्यूह है और ${\overline {A}}$ के लिए जटिल संयुग्म को दर्शाता है और $A *$ $A$ का संयुग्मी स्थानांतरण (अर्थात, $A$ हर्मिटियन का संलग्न), तब $\operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} ({\overline {A}})=\operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} })=\operatorname {rank} (A^{*})=\operatorname {rank} (A^{*}A)=\operatorname {rank} (AA^{*}).$

अनुप्रयोग

आव्यूह के रैंक की गणना करने का उपयोगी अनुप्रयोग रैखिक समीकरणों की प्रणाली के समाधान की संख्या की गणना है। रोचे-कैपेली प्रमेय के अनुसार, यदि संवर्धित आव्यूह का रैंक गुणांक आव्यूह के रैंक से अधिक है। तब सिस्टम असंगत होता है। यदि दूसरी ओर, इन दो आव्यूहों की कोटि समान हैं। तब तंत्र में कम से कम हल होना चाहिए। चूँकि समाधान अद्वितीय है। यदि रैंक चर की संख्या के समांतर है। अन्यथा सामान्य समाधान में $k$ मुक्त पैरामीटर है। जहां $k$ चर और रैंक की संख्या के मध्य का अंतर है। इस स्थिति में (और यह मानते हुए कि समीकरणों की प्रणाली वास्तविक या जटिल संख्या में है।) समीकरणों की प्रणाली में अपरिमित रूप से कई समाधान हैं।

नियंत्रण सिद्धांत में, आव्यूह की रैंक का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि रैखिक प्रणाली नियंत्रणीय है या देखने योग्य है।

संचार जटिलता के क्षेत्र में, किसी फ़ंक्शन के संचार आव्यूह का रैंक फ़ंक्शन की गणना करने के लिए दो पक्षों के लिए आवश्यक संचार की मात्रा पर सीमा देता है।

सामान्यीकरण

अनैतिक छल्ले (गणित) पर रैंक से आव्यूहो की अवधारणा के विभिन्न सामान्यीकरण हैं। जहां स्तंभ रैंक, पंक्ति रैंक, स्तंभ स्थान का आयाम और आव्यूह के पंक्ति स्थान का आयाम दूसरों से भिन्न हो सकता है या उपस्तिथ नहीं हो सकता है।

आव्यूहो को टेंसर के रूप में सोचते हुए, टेंसर रैंक अनैतिक टेंसरों के लिए सामान्यीकृत होता है। 2 से अधिक ऑर्डर के टेंसर के लिए (आव्यूहो ऑर्डर 2 टेंसर हैं।), आव्यूहो के विपरीत, रैंक की गणना करना बहुत कठिन है।

चिकना कई गुना के मध्य चिकने मानचित्रों के लिए रैंक (अंतर टोपोलॉजी) की धारणा है। यह व्युत्पन्न (अंतर) के रैखिक रैंक के समांतर है।

टेन्सर के रूप में आव्यूह

आव्यूह रैंक को टेंसर क्रम से भ्रमित नहीं होना चाहिए। जिसे टेंसर रैंक कहा जाता है। टेन्सर क्रम टेंसर लिखने के लिए आवश्यक सूचकांकों की संख्या है और इस प्रकार आव्यूहो में टेंसर ऑर्डर 2 होता है। अधिक त्रुटिहीन रूप से, आव्यूहो टाइप (1,1) के टेंसर होते हैं। जिनमें पंक्ति इंडेक्स और स्तंभ इंडेक्स होता है। जिसे सहसंयोजक क्रम 1 भी कहा जाता है और प्रतिपरिवर्ती क्रम 1 विवरण के लिए टेंसर (आंतरिक परिभाषा) देख सकते है।

आव्यूह के टेंसर रैंक का अर्थ आव्यूह को रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करने के लिए आवश्यक सरल टेंसरों की न्यूनतम संख्या भी हो सकता है और यह परिभाषा आव्यूह रैंक से सहमत है जैसा कि यहां चर्चा की गई है।

यह भी देखें

मैट्रोइड रैंक
अऋणात्मक रैंक (रैखिक बीजगणित)
रैंक (अंतर टोपोलॉजी)
बहुसंरेखता
रैखिक निर्भरता

↑ Alternative notation includes $\rho (\Phi )$ from Katznelson & Katznelson (2008, p. 52, §2.5.1) and Halmos (1974, p. 90, § 50).
↑ Proof: Apply the rank–nullity theorem to the inequality $\dim \ker(AB)\leq \dim \ker(A)+\dim \ker(B).$
↑ Proof. The map $C:\ker(ABC)/\ker(BC)\to \ker(AB)/\ker(B)$ is well-defined and injective. We thus obtain the inequality in terms of dimensions of kernel, which can then be converted to the inequality in terms of ranks by the rank–nullity theorem. Alternatively, if $M$ is a linear subspace then $\dim(AM)\leq \dim(M)$ ; apply this inequality to the subspace defined by the orthogonal complement of the image of $BC$ in the image of $B$ , whose dimension is $\operatorname {rank} (B)-\operatorname {rank} (BC)$ ; its image under $A$ has dimension $\operatorname {rank} (AB)-\operatorname {rank} (ABC)$ .

संदर्भ

↑ Axler (2015) pp. 111-112, §§ 3.115, 3.119
↑ ^2.0 ^2.1 Roman (2005) p. 48, § 1.16
↑ Bourbaki, Algebra, ch. II, §10.12, p. 359
↑ ^4.0 ^4.1 Mackiw, G. (1995), "A Note on the Equality of the Column and Row Rank of a Matrix", Mathematics Magazine, 68 (4): 285–286, doi:10.1080/0025570X.1995.11996337
↑ Hefferon (2020) p. 200, ch. 3, Definition 2.1
↑ Katznelson & Katznelson (2008) p. 52, § 2.5.1
↑ Valenza (1993) p. 71, § 4.3
↑ Halmos (1974) p. 90, § 50
↑ Wardlaw, William P. (2005), "Row Rank Equals Column Rank", Mathematics Magazine, 78 (4): 316–318, doi:10.1080/0025570X.2005.11953349, S2CID 218542661
↑ Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, Texts in Statistical Science (1st ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
↑ Mirsky, Leonid (1955). रैखिक बीजगणित का परिचय. Dover Publications. ISBN 978-0-486-66434-7.

स्पंक्तित

Axler, Sheldon (2015). रेखीय बीजगणित सही किया. Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान. Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-90093-4.
Hefferon, Jim (2020). लीनियर अलजेब्रा (4th ed.). ISBN 978-1-944325-11-4.
Katznelson, Yitzhak; Katznelson, Yonatan R. (2008). ए (संक्षिप्त) रेखीय बीजगणित का परिचय. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4419-9.
Roman, Steven (2005). उन्नत रेखीय बीजगणित. Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-24766-1.
Valenza, Robert J. (1993) [1951]. रेखीय बीजगणित: सार गणित का परिचय. Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.). Springer. ISBN 3-540-94099-5.

अग्रिम पठन

Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1985). Matrix Analysis. ISBN 978-0-521-38632-6.
Kaw, Autar K. Two Chapters from the book Introduction to Matrix Algebra: 1. Vectors [1] and System of Equations [2]
Mike Brookes: Matrix Reference Manual. [3]

[5] Alternative notation includes $\rho (\Phi )$ from Katznelson & Katznelson (2008, p. 52, §2.5.1) and Halmos (1974, p. 90, § 50).

[12] Proof: Apply the rank–nullity theorem to the inequality $\dim \ker(AB)\leq \dim \ker(A)+\dim \ker(B).$

[13] Proof. The map $C:\ker(ABC)/\ker(BC)\to \ker(AB)/\ker(B)$ is well-defined and injective. We thus obtain the inequality in terms of dimensions of kernel, which can then be converted to the inequality in terms of ranks by the rank–nullity theorem. Alternatively, if $M$ is a linear subspace then $\dim(AM)\leq \dim(M)$ ; apply this inequality to the subspace defined by the orthogonal complement of the image of $BC$ in the image of $B$ , whose dimension is $\operatorname {rank} (B)-\operatorname {rank} (BC)$ ; its image under $A$ has dimension $\operatorname {rank} (AB)-\operatorname {rank} (ABC)$ .

[1] Axler (2015) pp. 111-112, §§ 3.115, 3.119

[:0-2] 2.0 ^2.1 Roman (2005) p. 48, § 1.16

[3] Bourbaki, Algebra, ch. II, §10.12, p. 359

[mackiw-4] 4.0 ^4.1 Mackiw, G. (1995), "A Note on the Equality of the Column and Row Rank of a Matrix", Mathematics Magazine, 68 (4): 285–286, doi:10.1080/0025570X.1995.11996337

[6] Hefferon (2020) p. 200, ch. 3, Definition 2.1

[7] Katznelson & Katznelson (2008) p. 52, § 2.5.1

[8] Valenza (1993) p. 71, § 4.3

[9] Halmos (1974) p. 90, § 50

[wardlaw-10] Wardlaw, William P. (2005), "Row Rank Equals Column Rank", Mathematics Magazine, 78 (4): 316–318, doi:10.1080/0025570X.2005.11953349, S2CID 218542661

[banerjee-roy-11] Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, Texts in Statistical Science (1st ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388

[14] Mirsky, Leonid (1955). रैखिक बीजगणित का परिचय. Dover Publications. ISBN 978-0-486-66434-7.

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v t e लीनियर अलजेब्रा
बुनियादी अवधारणाओं	स्केलर वेक्टर सदिश स्थल स्केलर गुणज वेक्टर प्रक्षेपण रैखिक अवधि रैखिक मानचित्र रैखिक प्रक्षेपण रैखिक स्वतंत्रता रैखिक संयोजन आधार आधार का परिवर्तन पंक्ति और स्तंभ वैक्टर पंक्ति और स्तंभ स्थान कर्नेल आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स ट्रांसपोज़ रैखिक समीकरण
मैट्रिसेस	ब्लॉक अपघटन इनवर्टिबल मामूली गुणा रैंक परिवर्तन क्रैमर का नियम गाउस विलोपन
बिलिनियर	Orthogonality डॉट उत्पाद आंतरिक उत्पाद स्थान बाहरी उत्पाद क्रोनकर उत्पाद ग्राम -श्मिट प्रक्रिया
मल्टीलिनियर बीजगणित	निर्धारक पार उत्पाद ट्रिपल उत्पाद सात-आयामी क्रॉस उत्पाद ज्यामितीय बीजगणित बाहरी बीजगणित Bivector मल्टीवेक्टर टेंसर बाहरीता
वेक्टर अंतरिक्ष निर्माण	दोहरी प्रत्यक्ष योग फ़ंक्शन स्पेस भागफल सबस्पेस टेंसर उत्पाद
संख्यात्मक	फ्लोटिंग-पॉइंट संख्यात्मक स्थिरता बुनियादी रैखिक बीजगणित उपप्रोग्राम विरल मैट्रिक्स रैखिक बीजगणित पुस्तकालयों की तुलना
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रैंक (रैखिक बीजगणित): Difference between revisions

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Contents

मुख्य परिभाषाएँ

उदाहरण

आव्यूह के रैंक की गणना

पंक्ति पारिस्थितिक रूपों से रैंक

गणना

प्रमाण है कि स्तंभ रैंक = पंक्ति रैंक

पंक्ति न्यूनीकरण का उपयोग कर प्रमाण

रैखिक संयोजनों का उपयोग करके प्रमाण

ऑर्थोगोनलिटी का उपयोग करके प्रमाण

वैकल्पिक परिभाषाएँ

छवि का आयाम

अशक्तता के स्थिति में रैंक

स्तंभ रैंक - स्तंभ स्थान का आयाम

पंक्ति रैंक - पंक्ति स्थान का आयाम

अपघटन रैंक

विलक्षण मूल्यों के संदर्भ में रैंक

निर्धारक रैंक - सबसे बड़े गैर-लुप्त माइनर का आकार

टेंसर रैंक - साधारण टेंसर पंक्ति की न्यूनतम संख्या

गुण

अनुप्रयोग

सामान्यीकरण

टेन्सर के रूप में आव्यूह

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

संदर्भ

स्पंक्तित

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 {{Short description|Dimension of the column space of a matrix}}
-रैखिक बीजगणित में, मैट्रिक्स {{mvar|A}} का रैंक इसके स्तंभों द्वारा उत्पन्न (या [[रैखिक अवधि]]) सदिश स्थान का आयाम ([[सदिश स्थल]]) है।<ref>{{Harvard citation text|Axler|2015}} pp. 111-112, §§ 3.115, 3.119</ref><ref name=":0">{{Harvard citation text|Roman|2005}} p. 48, § 1.16</ref><ref>Bourbaki, ''Algebra'', ch. II, §10.12, p. 359</ref> यह {{mvar|A}} के [[रैखिक रूप से स्वतंत्र]] स्तंभों की अधिकतम संख्या से मेल खाता है। यह बदले में, इसकी पंक्तियों द्वारा फैले वेक्टर स्थान के आयाम के समान है।<ref name="mackiw">{{Citation| last=Mackiw| first=G. | title=A Note on the Equality of the Column and Row Rank of a Matrix | year=1995| journal=[[Mathematics Magazine]] | volume=68| issue=4 | pages=285–286 | doi=10.1080/0025570X.1995.11996337 }}</ref> सामान्यतः रैंक इस प्रकार {{mvar|A}} द्वारा एन्कोड किए गए  [[रैखिक समीकरणों की प्रणाली]] के [[पतित रूप]] का उपाय है और [[रैखिक परिवर्तन]] द्वारा रैंक की कई समकक्ष परिभाषाएँ हैं। मैट्रिक्स का रैंक इसकी सबसे मूलभूत विशेषताओं में से है।
+रैखिक बीजगणित में, आव्यूह {{mvar|A}} का रैंक इसके स्तंभों द्वारा उत्पन्न (या [[रैखिक अवधि]]) सदिश स्थान का आयाम ([[सदिश स्थल]]) है।<ref>{{Harvard citation text|Axler|2015}} pp. 111-112, §§ 3.115, 3.119</ref><ref name=":0">{{Harvard citation text|Roman|2005}} p. 48, § 1.16</ref><ref>Bourbaki, ''Algebra'', ch. II, §10.12, p. 359</ref> यह {{mvar|A}} के [[रैखिक रूप से स्वतंत्र]] स्तंभों की अधिकतम संख्या से मेल खाता है। यह बदले में, इसकी पंक्तियों द्वारा फैले सदिश स्थान के आयाम के समान है।<ref name="mackiw">{{Citation| last=Mackiw| first=G. | title=A Note on the Equality of the Column and Row Rank of a Matrix | year=1995| journal=[[Mathematics Magazine]] | volume=68| issue=4 | pages=285–286 | doi=10.1080/0025570X.1995.11996337 }}</ref> सामान्यतः रैंक इस प्रकार {{mvar|A}} द्वारा एन्कोड किए गए [[रैखिक समीकरणों की प्रणाली]] के [[पतित रूप]] का उपाय है और रैंक की कई समकक्ष परिभाषाएँ हैं। आव्यूह का रैंक इसकी सबसे मूलभूत विशेषताओं में से है।
-रैंक को सामान्यतः द्वारा निरूपित किया जाता है {{math|rank(''A'')}} या {{math|rk(''A'')}};<ref name=":0" />कभी-कभी कोष्ठक नहीं लिखे जाते हैं, जैसे कि {{math|rank ''A''}}.<ref group="lower-roman">Alternative notation includes <math>\rho (\Phi)</math> from {{Harvard citation text|Katznelson|Katznelson|2008|p=52, §2.5.1}} and {{Harvard citation text|Halmos|1974|p=90, § 50}}.</ref>
+सामान्यतः रैंक को {{math|rank(''A'')}} या {{math|rk(''A'')}} द्वारा निरूपित किया जाता है।<ref name=":0" />कभी-कभी कोष्ठक नहीं लिखे जाते हैं, जैसे कि {{math|rank ''A''}} में है।<ref group="lower-roman">Alternative notation includes <math>\rho (\Phi)</math> from {{Harvard citation text|Katznelson|Katznelson|2008|p=52, §2.5.1}} and {{Harvard citation text|Halmos|1974|p=90, § 50}}.</ref>
 == मुख्य परिभाषाएँ ==
-इस भाग में, हम आव्यूह की कोटि की कुछ परिभाषाएँ देते हैं। कई परिभाषाएँ संभव हैं; इनमें से कई के लिए #वैकल्पिक परिभाषाएं देखें।
+इस भाग में, हम आव्यूह की कोटि की कुछ परिभाषाएँ देते हैं। चूँकि कई परिभाषाएँ संभव हैं अतः इनमें से कई के लिए वैकल्पिक परिभाषाएं देख सकते है।
-का स्तंभ रैंक {{mvar|A}} के [[स्तंभ स्थान]] का [[आयाम (रैखिक बीजगणित)]] है {{mvar|A}}, जबकि की पंक्ति रैंक {{mvar|A}} की [[पंक्ति स्थान]] का आयाम है {{mvar|A}}.
+{{mvar|A}} का स्तंभ रैंक {{mvar|A}} के [[स्तंभ स्थान]] का [[आयाम (रैखिक बीजगणित)]] है। चूँकि {{mvar|A}} की पंक्ति रैंक {{mvar|A}} की [[पंक्ति स्थान]] का आयाम है।
-रैखिक बीजगणित में मौलिक परिणाम यह है कि स्तंभ रैंक और पंक्ति रैंक हमेशा बराबर होती है। (इस परिणाम के तीन प्रमाण में दिए गए हैं {{slink||2=Proofs that column rank = row rank}}, नीचे।) यह संख्या (अर्थात, रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों या स्तंभों की संख्या) को केवल रैंक कहा जाता है {{mvar|A}}.
+रैखिक बीजगणित में मौलिक परिणाम यह है कि स्तंभ रैंक और पंक्ति रैंक हमेशा समांतर होते है। (इस परिणाम के तीन प्रमाण और प्रमाणों में दिए गए हैं कि {{slink||2=Proofs that column rank = row rank}}, नीचे।) यह संख्या (अर्थात, रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों या स्तंभों की संख्या) को केवल {{mvar|A}} रैंक कहा जाता है।
-मैट्रिक्स को पूर्ण रैंक कहा जाता है यदि इसकी रैंक समान आयामों के मैट्रिक्स के लिए सबसे बड़ा संभव है, जो कि पंक्तियों और स्तंभों की संख्या से कम है। मैट्रिक्स को रैंक-कमी कहा जाता है यदि इसमें पूर्ण रैंक नहीं है। मैट्रिक्स की रैंक की कमी पंक्तियों और स्तंभों की संख्या और रैंक के बीच का अंतर है।
+अधिकांशतः आव्यूह को पूर्ण रैंक कहा जाता है। यदि इसकी रैंक समान आयामों के आव्यूह के लिए सबसे बड़ा संभव है। जो कि पंक्तियों और स्तंभों की संख्या से कम है। आव्यूह को रैंक-कमी कहा जाता है। यदि इसमें पूर्ण रैंक नहीं है। तब आव्यूह की रैंक की कमी पंक्तियों और स्तंभों की संख्या और रैंक के मध्य का अंतर है।
-रेखीय मानचित्र या ऑपरेटर का पद <math>\Phi</math> इसकी [[छवि (गणित)]] के आयाम के रूप में परिभाषित किया गया है:<ref>{{Harvard citation text|Hefferon|2020}} p. 200, ch. 3, Definition 2.1</ref><ref>{{Harvard citation text|Katznelson|Katznelson|2008}} p. 52, § 2.5.1</ref><ref>{{Harvard citation text|Valenza|1993}} p. 71, § 4.3</ref><ref>{{Harvard citation text|Halmos|1974}} p. 90, § 50</ref><math display="block">\operatorname{rank} (\Phi) := \dim (\operatorname{img} (\Phi))</math>कहाँ <math>\dim</math> सदिश स्थान का आयाम है, और <math>\operatorname{img}</math> मानचित्र की छवि है।
+रेखीय मानचित्र या ऑपरेटर का पद <math>\Phi</math> को इसकी [[छवि (गणित)]] के आयाम के रूप में परिभाषित किया गया है।<ref>{{Harvard citation text|Hefferon|2020}} p. 200, ch. 3, Definition 2.1</ref><ref>{{Harvard citation text|Katznelson|Katznelson|2008}} p. 52, § 2.5.1</ref><ref>{{Harvard citation text|Valenza|1993}} p. 71, § 4.3</ref><ref>{{Harvard citation text|Halmos|1974}} p. 90, § 50</ref><math display="block">\operatorname{rank} (\Phi) := \dim (\operatorname{img} (\Phi))</math>जहाँ <math>\dim</math> सदिश स्थान का आयाम है और <math>\operatorname{img}</math> मानचित्र की छवि है।
 == उदाहरण ==
 गणित का सवाल
 <math display="block">\begin{bmatrix}1&0&1\\-2&-3&1\\3&3&0\end{bmatrix}</math>
-रैंक 2 है: पहले दो कॉलम [[रैखिक निर्भरता]] हैं, इसलिए रैंक कम से कम 2 है, किन्तु चूंकि तीसरा पहले दो का रैखिक संयोजन है (पहला कॉलम माइनस दूसरा), तीन कॉलम रैखिक रूप से निर्भर हैं इसलिए रैंक 3 से कम होना चाहिए।
+रैंक 2 है, प्रथम दो स्तंभ [[रैखिक निर्भरता|रैखिक रूप से स्वतंत्र]] हैं। चूंकि रैंक कम से कम 2 है। किन्तु तीसरा प्रथम दो का रैखिक संयोजन है। (प्रथम स्तंभ माइनस दूसरा), तीन स्तंभ रैखिक रूप से निर्भर हैं। अतः रैंक 3 से कम होना चाहिए।
 गणित का सवाल
 <math display="block">A=\begin{bmatrix}1&1&0&2\\-1&-1&0&-2\end{bmatrix}</math>
-रैंक 1 है: गैर-शून्य कॉलम हैं, इसलिए रैंक सकारात्मक है, किन्तु कॉलम की कोई भी जोड़ी रैखिक रूप से निर्भर है। इसी प्रकार, स्थानांतरण
+रैंक 1 है, यह गैर-शून्य स्तंभ हैं। अतः रैंक सकारात्मक है। किन्तु स्तंभ की कोई भी जोड़ी रैखिक रूप से निर्भर है। इसी प्रकार, स्थानांतरण
 <math display="block">A^{\mathrm T} = \begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\\0&0\\2&-2\end{bmatrix}</math>
-का {{mvar|A}} की रैंक 1 है। मुख्य रूप से, चूंकि कॉलम वैक्टर {{mvar|A}} के स्थानांतरण के पंक्ति वैक्टर हैं {{mvar|A}}, यह कथन कि मैट्रिक्स का कॉलम रैंक उसकी पंक्ति रैंक के बराबर है, इस कथन के बराबर है कि मैट्रिक्स का रैंक उसके स्थानान्तरण के रैंक के बराबर है, अर्थात, {{math|1=rank(''A'') = rank(''A''<sup>T</sup>)}}.
+{{mvar|A}} की रैंक 1 है। चूंकि {{mvar|A}} स्तंभ सदिश {{mvar|A}} के स्थानांतरण के पंक्ति सदिश हैं। यह कथन कि आव्यूह का स्तंभ रैंक उसकी पंक्ति रैंक के समांतर है। यह इस कथन के समांतर है कि आव्यूह का रैंक उसके स्थानान्तरण के रैंक के समांतर है, अर्थात, {{math|1=rank(''A'') = rank(''A''<sup>T</sup>)}} होता है।
-== मैट्रिक्स के रैंक की गणना ==
+== आव्यूह के रैंक की गणना ==
-=== पंक्ति सोपानक रूपों से रैंक ===
+=== पंक्ति पारिस्थितिक रूपों से रैंक ===
-{{main|Gaussian elimination}}
+{{main|गाउस विलोपन}}
-मैट्रिक्स के रैंक को खोजने के लिए सामान्य दृष्टिकोण [[प्राथमिक पंक्ति संचालन]] द्वारा इसे सरल रूप में कम करना है, सामान्यतः पंक्ति सोपानक रूप। रो ऑपरेशंस, रो स्पेस को नहीं बदलते हैं (इसलिए रो रैंक को नहीं बदलते हैं), और, इन्वर्टिबल होने के कारण, कॉलम स्पेस को आइसोमोर्फिक स्पेस में मैप करते हैं (इसलिए कॉलम रैंक को न बदलें)। बार पंक्ति पारिस्थितिक रूप में, रैंक स्पष्ट रूप से पंक्ति रैंक और कॉलम रैंक दोनों के लिए समान है, और Pivot_element (या मूल कॉलम) की संख्या और गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या के बराबर है।
+आव्यूह के रैंक को खोजने के लिए सामान्य दृष्टिकोण [[प्राथमिक पंक्ति संचालन]] द्वारा इसे सरल रूप में, सामान्यतः पंक्ति पारिस्थितिक रूप कम करना है। चूँकि पंक्ति संचालन, पंक्ति स्थान को परिवर्तित नहीं करते हैं। (अतः पंक्ति रैंक को नहीं बदलते हैं) और इन्वर्टिबल होने के कारण, स्तंभ स्थान को समरूपी स्थान में मानचित्र करते हैं। (अतः स्तंभ रैंक को परिवर्तित न करे) पारिस्थितिक रूप में, पंक्ति और रैंक स्पष्ट रूप से पंक्ति रैंक और स्तंभ रैंक दोनों के लिए समान है और पिवोट्स तत्व (या मूल स्तंभ) की संख्या और गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या के समांतर है।
-उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स {{mvar|A}} द्वारा दिए गए
+उदाहरण के लिए, आव्यूह {{mvar|A}} द्वारा दिए गए,
 <math display="block">A=\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}</math>
-निम्नलिखित प्रारंभिक पंक्ति संचालन का उपयोग करके कम पंक्ति-सोपानक रूप में रखा जा सकता है:
+निम्नलिखित प्रारंभिक पंक्ति संचालन का उपयोग करके कम पंक्ति-पारिस्थितिक रूप में रखा जा सकता है।
 <math display="block">\begin{align}
 \begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}
@@ Line 49: / Line 47: @@
 \begin{bmatrix}1&0&-5\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}~.
 \end{align}</math>
-अंतिम मैट्रिक्स (पंक्ति पारिस्थितिक रूप में) में दो गैर-शून्य पंक्तियां होती हैं और इस प्रकार मैट्रिक्स का रैंक होता है {{mvar|A}}2 है।
+अंतिम आव्यूह (पंक्ति पारिस्थितिक रूप में) में दो गैर-शून्य पंक्तियां होती हैं और इस प्रकार आव्यूह {{mvar|A}} की रैंक 2 होती है।
 === गणना ===
-कंप्यूटर पर [[तैरनेवाला स्थल]] कंप्यूटेशंस पर लागू होने पर, मूल गॉसियन उन्मूलन (एलयू अपघटन) अविश्वसनीय हो सकता है, और इसके अतिरिक्त रैंक-खुलासा अपघटन का उपयोग किया जाना चाहिए। प्रभावी विकल्प एकवचन मूल्य अपघटन (एसवीडी) है, किन्तु अन्य कम महंगे विकल्प हैं, जैसे [[क्यूआर अपघटन]] पिवोटिंग (तथाकथित [[रैंक-खुलासा क्यूआर कारककरण]]) के साथ, जो अभी भी गॉसियन उन्मूलन से अधिक संख्यात्मक रूप से मजबूत हैं। रैंक के संख्यात्मक निर्धारण के लिए यह तय करने के लिए मानदंड की आवश्यकता होती है कि एसवीडी से विलक्षण मूल्य जैसे मूल्य को शून्य के रूप में माना जाना चाहिए, व्यावहारिक विकल्प जो मैट्रिक्स और एप्लिकेशन दोनों पर निर्भर करता है।
+कंप्यूटर पर [[तैरनेवाला स्थल|तैरने वाला स्थल]] कंप्यूटेशंस पर प्रयुक्त होने पर, मूल गॉसियन उन्मूलन (एलयू अपघटन) अविश्वसनीय हो सकता है और इसके अतिरिक्त रैंक-स्पष्टीकरण अपघटन का उपयोग किया जाता है। प्रभावी विकल्प एकवचन मूल्य अपघटन (एसवीडी) है। किन्तु अन्य निम्न बहुमूल्य विकल्प हैं। जैसे [[क्यूआर अपघटन]] पिवोटिंग (तथाकथित [[रैंक-खुलासा क्यूआर कारककरण|रैंक-खुलासा क्यूआर कारक करण]]) के साथ, जो अभी भी गॉसियन उन्मूलन से अधिक संख्यात्मक रूप से मजबूत हैं। रैंक के संख्यात्मक निर्धारण के लिए यह तय करने के लिए मानदंड की आवश्यकता होती है कि एसवीडी से विलक्षण मूल्य जैसे मूल्य को शून्य के रूप में माना जाता है। व्यावहारिक विकल्प जो आव्यूह और एप्लिकेशन दोनों पर निर्भर करता है।
-== सबूत है कि कॉलम रैंक = पंक्ति रैंक ==
+== प्रमाण है कि स्तंभ रैंक = पंक्ति रैंक ==
-===पंक्ति न्यूनीकरण का उपयोग कर सबूत===
+===पंक्ति न्यूनीकरण का उपयोग कर प्रमाण===
-तथ्य यह है कि किसी भी मैट्रिक्स के स्तंभ और पंक्ति रैंक समान रूप हैं, रैखिक बीजगणित में मौलिक है। अनेक प्रमाण दिये हैं। सबसे प्राथमिक में से को स्केच किया गया है {{slink||Rank from row echelon forms}}. यहाँ इस प्रमाण का रूप है:
+सामान्यतः तथ्य यह है कि किसी भी आव्यूह के स्तंभ और पंक्ति रैंक का समान रूप होता हैं। अतः रैखिक बीजगणित में मौलिक के अनेक प्रमाण दिये हैं। पंक्ति पारिस्थितिक रूपों से और रैंक में सबसे प्राथमिक व्यक्तियों में संक्षिप्त वर्णन किया गया है। यह इस प्रमाण का रूप है।
-यह दिखाना सीधा है कि [[प्राथमिक पंक्ति संचालन]] द्वारा न तो पंक्ति रैंक और न ही स्तंभ रैंक को बदला जाता है। जैसा कि गौसियन उन्मूलन प्राथमिक पंक्ति संचालन से आगे बढ़ता है, मैट्रिक्स के कम पंक्ति सोपानक रूप में मूल मैट्रिक्स के समान पंक्ति रैंक और समान कॉलम रैंक होता है। आगे के प्राथमिक स्तंभ संचालन मैट्रिक्स को पहचान मैट्रिक्स के रूप में रखने की अनुमति देते हैं जो संभवतः शून्य की पंक्तियों और स्तंभों से घिरा होता है। दोबारा, यह न तो पंक्ति रैंक और न ही कॉलम रैंक बदलता है। यह तत्काल है कि इस परिणामी मैट्रिक्स की पंक्ति और स्तंभ दोनों रैंक इसकी गैर-शून्य प्रविष्टियों की संख्या है।
+यह दिखाना प्रत्यक्ष है कि [[प्राथमिक पंक्ति संचालन]] द्वारा न तो पंक्ति रैंक और न ही स्तंभ रैंक को परिवर्तित किया जाता है। जैसा कि गौसियन उन्मूलन प्राथमिक पंक्ति संचालन से आगे बढ़ता है और आव्यूह के कम पंक्ति पारिस्थितिक रूप में मूल आव्यूह के समान पंक्ति रैंक और समान स्तंभ रैंक होता है। अतः आगे के प्राथमिक स्तंभ संचालन आव्यूह को पहचान आव्यूह के रूप में रखने की अनुमति देते हैं। जो संभवतः शून्य की पंक्तियों और स्तंभों से घिरा होता है। अतः यह पुनः न तो पंक्ति रैंक और न ही स्तंभ रैंक परिवर्तित करता है। यह तत्काल है कि इस परिणामी आव्यूह की पंक्ति और स्तंभ दोनों रैंक इसकी गैर-शून्य प्रविष्टियों की संख्या है।
-हम इस परिणाम के दो अन्य प्रमाण प्रस्तुत करते हैं। पहला सदिशों के [[रैखिक संयोजन]]ों के केवल बुनियादी गुणों का उपयोग करता है, और किसी भी [[क्षेत्र (गणित)]] पर मान्य है। प्रमाण वार्डलॉ (2005) पर आधारित है।<ref name="wardlaw">
+हम इस परिणाम के दो अन्य प्रमाण प्रस्तुत करते हैं। प्रथम सदिशों के [[रैखिक संयोजन]] के केवल मूलभूत गुणों का उपयोग करता है और किसी भी [[क्षेत्र (गणित)]] पर मान्य है कि प्रमाण वार्डलॉ (2005) पर आधारित है।<ref name="wardlaw">
-{{Citation| last=Wardlaw| first=William P.| title=Row Rank Equals Column Rank| year=2005| journal=[[Mathematics Magazine]]| volume=78| issue=4| pages=316–318| doi=10.1080/0025570X.2005.11953349| s2cid=218542661}}</ref> दूसरा [[ओर्थोगोनालिटी]] का उपयोग करता है और [[वास्तविक संख्या]]ओं पर मैट्रिसेस के लिए मान्य है; यह मैकिव (1995) पर आधारित है।<ref name="mackiw" />दोनों प्रमाण बनर्जी और रॉय (2014) की किताब में पाए जा सकते हैं।<ref name="banerjee-roy">{{Citation | last1 = Banerjee | first1 = Sudipto | last2 = Roy | first2 = Anindya | date = 2014 | title = Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics | series = Texts in Statistical Science | publisher = Chapman and Hall/CRC | edition = 1st | isbn = 978-1420095388}}</ref>
+{{Citation| last=Wardlaw| first=William P.| title=Row Rank Equals Column Rank| year=2005| journal=[[Mathematics Magazine]]| volume=78| issue=4| pages=316–318| doi=10.1080/0025570X.2005.11953349| s2cid=218542661}}</ref> दूसरा [[ओर्थोगोनालिटी]] का उपयोग करता है और [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] पर आव्यूह के लिए मान्य है। यह मैकिव (1995) पर आधारित है।<ref name="mackiw" />दोनों प्रमाण बनर्जी और रॉय (2014) की पुस्तक में पाए जा सकते हैं।<ref name="banerjee-roy">{{Citation | last1 = Banerjee | first1 = Sudipto | last2 = Roy | first2 = Anindya | date = 2014 | title = Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics | series = Texts in Statistical Science | publisher = Chapman and Hall/CRC | edition = 1st | isbn = 978-1420095388}}</ref>
+=== रैखिक संयोजनों का उपयोग करके प्रमाण ===
+माना {{mvar|A}} सामान्यतः {{math|''m'' × ''n''}} आव्यूह है। मान लीजिए {{mvar|A}} का स्तंभ रैंक {{mvar|r}} है और {{math|'''c'''<sub>1</sub>, ..., '''c'''<sub>''r''</sub>}} को {{mvar|A}} के स्तंभ स्थान के लिए कोई भी आधार होने देता है। इन्हें {{math|''m'' × ''r''}} आव्यूह {{mvar|C}} के स्तंभ के रूप में रखा जाता है। {{mvar|A}} के प्रत्येक स्तंभ को रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। {{mvar|C}} में {{mvar|r}} स्तंभ का रैखिक संयोजन होता है। इसका तात्पर्य यह है कि {{math|''r'' × ''n''}} आव्यूह {{mvar|R}} है। जैसे कि {{math|1=''A'' = ''CR''}} अतः {{mvar|R}} वह आव्यूह है जिसका {{mvar|i}}वाँ स्तंभ {{mvar|A}} के {{mvar|i}} के स्तंभ को {{mvar|C}} के {{mvar|r}} स्तंभ के रैखिक संयोजन के रूप में देने वाले गुणांक से बनता है। दूसरे शब्दों में, {{mvar|R}} वह आव्यूह है जिसमें {{mvar|A}} (जो कि {{mvar|C}} है) स्तंभ स्थान के आधापंक्तिं के लिए गुणक होते हैं। जो तब {{mvar|A}} को समग्र रूप में बनाने के लिए उपयोग किए जाते हैं। अब {{mvar|A}} की प्रत्येक पंक्ति {{mvar|R}} की {{mvar|r}} पंक्तियों के रैखिक संयोजन द्वारा दी गयी है। अतः {{mvar|R}} की पंक्तियाँ {{mvar|A}} के पंक्ति स्थान का फैला हुआ समूह बनती है। {{mvar|A}} और [[स्टेनिट्ज एक्सचेंज लेम्मा]] द्वारा, {{mvar|A}} की पंक्ति {{mvar|r}} रैंक से अधिक नहीं हो सकती है। यह सिद्ध करता है कि {{mvar|A}} की पंक्ति रैंक {{mvar|A}} के स्तंभ रैंक से कम या उसके समांतर है। यह परिणाम किसी भी आव्यूह पर प्रयुक्त किया जा सकता है। अतः परिणाम को {{mvar|A}} के स्थानान्तरण पर प्रयुक्त किया है। चूँकि {{mvar|A}} के स्थानान्तरण की पंक्ति रैंक के पश्चात् से {{mvar|A}} का स्तंभ रैंक है। और {{mvar|A}} के स्थानान्तरण के स्तंभ रैंक {{mvar|A}} की पंक्ति रैंक है। यह रिवर्स असमानता स्थापित करता है। अतः हम {{mvar|A}} पंक्ति रैंक और स्तंभ रैंक की समानता प्राप्त करते हैं। (रैंक गुणनखंड भी देखें।)
+=== ऑर्थोगोनलिटी का उपयोग करके प्रमाण ===
-=== रैखिक संयोजनों का उपयोग करके सबूत ===
+मान लीजिए {{mvar|A}} सामान्यतः {{math|''m''&thinsp;×&thinsp;''n''}} आव्यूह है। जिसमे [[वास्तविक संख्या]] में प्रविष्टियों है। जिसकी पंक्ति रैंक {{mvar|r}} है। अतः {{mvar|A}} के पंक्ति स्थान का आयाम {{mvar|r}} है। मान लीजिए {{math|'''x'''<sub>1</sub>, '''x'''<sub>2</sub>, …, '''x'''<sub>''r''</sub>}} की पंक्ति स्थान का [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] है अतः हम प्रामाणित करते हैं कि सदिश {{math|''A'''''x'''<sub>1</sub>, ''A'''''x'''<sub>2</sub>, …, ''A'''''x'''<sub>''r''</sub>}} रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। यह देखने के लिए कि क्यों, अदिश गुणांक वाले इन सदिशों को सम्मिलित करते हुए रैखिक सजातीय संबंध पर विचार किया जाता है। {{math|''c''<sub>1</sub>, ''c''<sub>2</sub>, …, ''c<sub>r</sub>''}}:
-होने देना {{mvar|A}} सेम {{math|''m'' × ''n''}} आव्यूह। कॉलम की रैंक दें {{mvar|A}} होना {{mvar|r}}, और जाने {{math|'''c'''<sub>1</sub>, ..., '''c'''<sub>''r''</sub>}} के कॉलम स्पेस के लिए कोई भी आधार हो {{mvar|A}}. इन्हें a के कॉलम के रूप में रखें {{math|''m'' × ''r''}} आव्यूह {{mvar|C}}. का हर स्तंभ {{mvar|A}} के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है {{mvar|r}} कॉलम में {{mvar|C}}. इसका मतलब है कि है {{math|''r'' × ''n''}} आव्यूह {{mvar|R}} ऐसा है कि {{math|1=''A'' = ''CR''}}. {{mvar|R}} मैट्रिक्स है जिसका {{mvar|i}}वाँ स्तंभ गुणांक देने से बनता है {{mvar|i}} का स्तम्भ {{mvar|A}} के रैखिक संयोजन के रूप में {{mvar|r}} के कॉलम {{mvar|C}}. दूसरे शब्दों में, {{mvar|R}} वह मैट्रिक्स है जिसमें स्तंभ स्थान के आधारों के लिए गुणक होते हैं {{mvar|A}} (जो है {{mvar|C}}), जो तब बनने के लिए उपयोग किए जाते हैं {{mvar|A}} पूरे के रूप में। अब, की प्रत्येक पंक्ति {{mvar|A}} के रैखिक संयोजन द्वारा दिया जाता है {{mvar|r}} की पंक्तियों {{mvar|R}}. इसलिए, की पंक्तियाँ {{mvar|R}} के पंक्ति स्थान का फैले हुए सेट का निर्माण करें {{mvar|A}} और, [[स्टेनिट्ज एक्सचेंज लेम्मा]] द्वारा, की पंक्ति रैंक {{mvar|A}} से अधिक नहीं हो सकता {{mvar|r}}. यह सिद्ध करता है कि की पंक्ति रैंक {{mvar|A}} के कॉलम रैंक से कम या उसके बराबर है {{mvar|A}}. यह परिणाम किसी भी मैट्रिक्स पर लागू किया जा सकता है, इसलिए परिणाम को स्थानांतरित करने के लिए लागू करें {{mvar|A}}. के स्थानान्तरण की पंक्ति रैंक के बाद से {{mvar|A}} का कॉलम रैंक है {{mvar|A}} और के स्थानान्तरण के स्तंभ रैंक {{mvar|A}} की पंक्ति रैंक है {{mvar|A}}, यह रिवर्स असमानता स्थापित करता है और हम पंक्ति रैंक और कॉलम रैंक की समानता प्राप्त करते हैं {{mvar|A}}. (रैंक गुणनखंड भी देखें।)
-=== ऑर्थोगोनलिटी का उपयोग करके सबूत ===
-होने देना {{mvar|A}} सेम {{math|''m''&thinsp;×&thinsp;''n''}} [[वास्तविक संख्या]] में प्रविष्टियों के साथ मैट्रिक्स जिसकी पंक्ति रैंक है {{mvar|r}}. इसलिए, पंक्ति स्थान का आयाम {{mvar|A}} है {{mvar|r}}. होने देना {{math|'''x'''<sub>1</sub>, '''x'''<sub>2</sub>, …, '''x'''<sub>''r''</sub>}} की पंक्ति स्थान का [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] हो {{mvar|A}}. हम प्रामाणित करते हैं कि वैक्टर {{math|''A'''''x'''<sub>1</sub>, ''A'''''x'''<sub>2</sub>, …, ''A'''''x'''<sub>''r''</sub>}} रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। यह देखने के लिए कि क्यों, अदिश गुणांक वाले इन सदिशों को सम्मिलित करते हुए रैखिक सजातीय संबंध पर विचार करें {{math|''c''<sub>1</sub>, ''c''<sub>2</sub>, …, ''c<sub>r</sub>''}}:
 <math display="block">0 = c_1 A\mathbf{x}_1 + c_2 A\mathbf{x}_2 + \cdots + c_r A\mathbf{x}_r = A(c_1 \mathbf{x}_1 + c_2 \mathbf{x}_2 + \cdots + c_r \mathbf{x}_r) = A\mathbf{v}, </math>
-कहाँ {{math|1='''v''' = ''c''<sub>1</sub>'''x'''<sub>1</sub> + ''c''<sub>2</sub>'''x'''<sub>2</sub> + ⋯ + ''c<sub>r</sub>'''''x'''<sub>''r''</sub>}}. हम दो अवलोकन करते हैं: (ए) {{math|'''v'''}} के पंक्ति स्थान में सदिशों का रैखिक संयोजन है {{mvar|A}}, जिसका तात्पर्य है {{math|'''v'''}} की पंक्ति स्थान के अंतर्गत आता है {{mvar|A}}, और (बी) के बाद से {{math|1=''A'''''v''' = 0}}, वेक्टर {{math|'''v'''}} की प्रत्येक पंक्ति सदिश के लिए [[ओर्थोगोनल]] है {{mvar|A}} और, इसलिए, की पंक्ति स्थान में प्रत्येक वेक्टर के लिए ओर्थोगोनल है {{mvar|A}}. तथ्य (ए) और (बी) साथ इसका मतलब है {{math|'''v'''}} अपने आप में ओर्थोगोनल है, जो यह सिद्ध करता है {{math|1='''v''' = 0}} या, की परिभाषा के द्वारा {{math|'''v'''}},
+जहाँ {{math|1='''v''' = ''c''<sub>1</sub>'''x'''<sub>1</sub> + ''c''<sub>2</sub>'''x'''<sub>2</sub> + ⋯ + ''c<sub>r</sub>'''''x'''<sub>''r''</sub>}}. में हम दो अवलोकन करते हैं। (ए) {{math|'''v'''}}{{mvar|A}} के पंक्ति स्थान में सदिशों का रैखिक संयोजन है। जिसका तात्पर्य है {{math|'''v'''}}{{mvar|A}} की पंक्ति स्थान के अंतर्गत आता है और (बी) चूँकि {{math|1=''A'''''v''' = 0}}, सदिश {{math|'''v'''}} की प्रत्येक पंक्ति सदिश के लिए [[ओर्थोगोनल]] है। {{mvar|A}} का पंक्ति सदिश और {{mvar|A}} का पंक्ति स्थान में प्रत्येक सदिश के लिए ओर्थोगोनल है। अतः तथ्य (ए) और (बी) साथ यह दर्शाते है कि {{math|'''v'''}} स्वयं के लिए ओर्थोगोनल है। जो यह सिद्ध करता है कि {{math|1='''v''' = 0}} या, {{math|'''v'''}} की परिभाषा के द्वारा ,
 <math display="block">c_1\mathbf{x}_1 + c_2\mathbf{x}_2 + \cdots + c_r \mathbf{x}_r = 0.</math>
-किन्तु याद रखें कि {{math|'''x'''<sub>''i''</sub>}} को पंक्ति स्थान के आधार के रूप में चुना गया था {{mvar|A}} और इसलिए रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इसका अर्थ यह है कि {{math|1=''c''<sub>1</sub> = ''c''<sub>2</sub> = ⋯ = ''c<sub>r</sub>'' = 0}}. यह इस प्रकार है कि {{math|''A'''''x'''<sub>1</sub>, ''A'''''x'''<sub>2</sub>, …, ''A'''''x'''<sub>''r''</sub>}} रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।
+किन्तु स्मरण रखें कि {{math|'''x'''<sub>''i''</sub>}} को {{mvar|A}} के पंक्ति स्थान के आधार के रूप में चुना गया था अतः वह रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इसका तात्पर्य यह है कि {{math|1=''c''<sub>1</sub> = ''c''<sub>2</sub> = ⋯ = ''c<sub>r</sub>'' = 0}}. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि {{math|''A'''''x'''<sub>1</sub>, ''A'''''x'''<sub>2</sub>, …, ''A'''''x'''<sub>''r''</sub>}} रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।
-अब, प्रत्येक {{math|''A'''''x'''<sub>''i''</sub>}} स्पष्ट रूप से कॉलम स्पेस में वेक्टर है {{mvar|A}}. इसलिए, {{math|''A'''''x'''<sub>1</sub>, ''A'''''x'''<sub>2</sub>, …, ''A'''''x'''<sub>''r''</sub>}} का समुच्चय है {{mvar|r}} के स्तंभ स्थान में रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर {{mvar|A}} और, इसलिए, के स्तंभ स्थान का आयाम {{mvar|A}} (अर्थात, का कॉलम रैंक {{mvar|A}}) कम से कम उतना ही बड़ा होना चाहिए {{mvar|r}}. यह उस पंक्ति रैंक को सिद्ध करता है {{mvar|A}} के कॉलम रैंक से बड़ा नहीं है {{mvar|A}}. अब इस परिणाम को के स्थानान्तरण पर लागू करें {{mvar|A}} विपरीत असमानता प्राप्त करने के लिए और पिछले सबूत के रूप में निष्कर्ष निकालने के लिए।
+अब, प्रत्येक {{math|''A'''''x'''<sub>''i''</sub>}} स्पष्ट रूप से {{mvar|A}} के स्तंभ स्थान में सदिश है। अतः, {{math|''A'''''x'''<sub>1</sub>, ''A'''''x'''<sub>2</sub>, …, ''A'''''x'''<sub>''r''</sub>}} के स्तंभ स्थान में {{mvar|r}} रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश का समुच्चय है अतः {{mvar|A}} के स्तंभ स्थान का आयाम है। (अर्थात, {{mvar|A}} का स्तंभ रैंक) कम से कम {{mvar|r}} उतना ही बड़ा होना चाहिए। यह सिद्ध करता है कि {{mvar|A}} के पंक्ति रैंक, {{mvar|A}} स्तंभ रैंक से बड़ा नहीं है। अब इस परिणाम को विपरीत असमानता प्राप्त करने के लिए {{mvar|A}} के स्थानान्तरण पर प्रयुक्त करने के लिए और पिछले प्रमाण की भाति निष्कर्ष निकालने के लिए किया जाता है।
 == वैकल्पिक परिभाषाएँ ==
-इस खंड में सभी परिभाषाओं में, मैट्रिक्स {{mvar|A}} को माना जाता है {{math|''m'' × ''n''}} मनमाने क्षेत्र पर मैट्रिक्स (गणित) {{mvar|F}}.
+इस खंड में सभी परिभाषाओं में, आव्यूह {{mvar|A}} को अनैतिक क्षेत्र {{mvar|F}} पर {{math|''m'' × ''n''}} आव्यूह के रूप में लिया जाता है।
 === छवि का आयाम ===
-मैट्रिक्स दिया <math>A</math>, संबद्ध रेखीय मानचित्रण है
+आव्यूह दिया <math>A</math>, संबद्ध रेखीय मानचित्रण है।
 <math display="block">f : F^n \mapsto F^m</math>
 द्वारा परिभाषित
 <math display="block">f(x) = Ax.</math>
-का पद <math>A</math> की छवि का आयाम है <math>f</math>. इस परिभाषा का लाभ यह है कि इसे किसी विशिष्ट मैट्रिक्स की आवश्यकता के बिना किसी भी रेखीय मानचित्र पर लागू किया जा सकता है।
+का पद <math>A</math> की छवि का आयाम है। <math>f</math> इस परिभाषा का लाभ यह है कि इसे किसी विशिष्ट आव्यूह की आवश्यकता के बिना किसी भी रेखीय मानचित्र पर प्रयुक्त किया जा सकता है।
-=== अशक्तता के स्थितिमें रैंक ===
+=== अशक्तता के स्थिति में रैंक ===
-उसी रेखीय मानचित्रण को देखते हुए {{mvar|f}} ऊपर के रूप में, रैंक है {{mvar|n}} के कर्नेल (बीजगणित) के आयाम को घटाएं {{mvar|f}}. पद-अशक्तता प्रमेय कहता है कि यह परिभाषा पिछली परिभाषा के समकक्ष है।
+उसी रेखीय मानचित्रण {{mvar|f}} को देखते हुए रैंक {{mvar|n}} माइनस {{mvar|f}} के शून्य रिक्त स्थान का आयाम है। पद-अशक्तता प्रमेय कहता है कि यह परिभाषा पिछली परिभाषा के समकक्ष है।
-=== कॉलम रैंक - कॉलम स्पेस का आयाम ===
+=== स्तंभ रैंक - स्तंभ स्थान का आयाम ===
-का पद {{mvar|A}} रैखिक रूप से स्वतंत्र स्तंभों की अधिकतम संख्या है <math>\mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\dots,\mathbf{c}_k</math> का {{mvar|A}}; यह कॉलम स्पेस के वेक्टर स्पेस का आयाम है {{mvar|A}} (स्तंभ स्थान का उप-स्थान है {{math|''F''<sup>''m''</sup>}} के स्तंभों द्वारा उत्पन्न {{mvar|A}}, जो वास्तव में केवल रेखीय मानचित्र की छवि है {{mvar|f}} के लिए जुड़े {{mvar|A}}).
+{{mvar|A}} की कोटि रैखिक रूप से स्वतंत्र स्तंभों की अधिकतम संख्या है <math>\mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\dots,\mathbf{c}_k</math> का यह {{mvar|A}} के स्तंभ स्थान के सदिश स्थान का आयाम है। (स्तंभ स्थान {{mvar|A}} के स्तंभों द्वारा उत्पन्न {{math|''F''<sup>''m''</sup>}} का उप-स्थान है जो वास्तव में {{mvar|A}} से जुड़े रेखीय मानचित्र {{mvar|f}} की छवि है।)
 === पंक्ति रैंक - पंक्ति स्थान का आयाम ===
-का पद {{mvar|A}} की रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों की अधिकतम संख्या है {{mvar|A}}; यह पंक्ति स्थान का आयाम है {{mvar|A}}.
+{{mvar|A}} की रैंक {{mvar|A}} की रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों की अधिकतम संख्या है। यह {{mvar|A}} की पंक्ति स्थान का आयाम है।
 === अपघटन रैंक ===
-का पद {{mvar|A}} सबसे छोटा पूर्णांक है {{mvar|k}} ऐसा है कि {{mvar|A}} के रूप में फैक्टर किया जा सकता है <math>A = CR</math>, कहाँ {{mvar|C}} {{math|''m'' × ''k''}} मैट्रिक्स और {{mvar|R}} है {{math|''k'' × ''n''}} आव्यूह। वास्तव में, सभी पूर्णांकों के लिए {{mvar|k}}, निम्नलिखित समतुल्य हैं:
+{{mvar|A}} की रैंक सबसे छोटा पूर्णांक {{mvar|k}} है। जिससे कि {{mvar|A}} को फैक्टर किया जा सकता है <math>A = CR</math>, जहाँ {{mvar|C}} सामान्यतः {{math|''m'' × ''k''}} आव्यूह है और {{mvar|R}} सामान्यतः {{math|''k'' × ''n''}} आव्यूह है। वास्तव में, सभी पूर्णांक {{mvar|k}} के लिए, निम्नलिखित समतुल्य हैं।
+# {{mvar|A}} का स्तंभ रैंक {{mvar|k}} से कम या इसके समांतर है।
+# वहां {{mvar|k}} स्तंभ उपस्थित है <math>\mathbf{c}_1,\ldots,\mathbf{c}_k</math> आकार का {{mvar|m}} ऐसा है कि {{mvar|A}} का प्रत्येक स्तंभ {{mvar|A}} का रैखिक संयोजन है। <math>\mathbf{c}_1,\ldots,\mathbf{c}_k</math>,
+# वहाँ उपस्तिथ है <math>m \times k</math> आव्यूह {{mvar|C}} और {{mvar|A}} सामान्यतः <math>k \times n</math> आव्यूह {{mvar|R}} ऐसा है कि <math>A = CR</math> ( जब {{mvar|k}} रैंक है, यह {{mvar|A}} रैंक गुणनखंड है)।
+# वहां {{mvar|k}} पंक्तियाँ उपस्तिथ है <math>\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_k</math> आकार का {{mvar|n}} इस प्रकार है कि {{mvar|A}} की प्रत्येक पंक्ति {{mvar|A}} का रैखिक संयोजन है। <math>\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_k</math>,
+# {{mvar|A}} की पंक्ति रैंक {{mvar|k}} से कम या इसके समांतर है।
+वास्तव में, निम्नलिखित समानताएं स्पष्ट हैं। <math>(1)\Leftrightarrow(2)\Leftrightarrow(3)\Leftrightarrow(4)\Leftrightarrow(5)</math>.
-# कॉलम रैंक {{mvar|A}} से कम या इसके बराबर है {{mvar|k}},
+उदाहरण के लिए, (3) को (2) से सिद्ध करने के लिए, {{mvar|C}} को वह आव्यूह मानें जिसके स्तंभ हैं <math>\mathbf{c}_1,\ldots,\mathbf{c}_k</math> (2) से।
-# वहां है {{mvar|k}} कॉलम <math>\mathbf{c}_1,\ldots,\mathbf{c}_k</math> आकार का {{mvar|m}} ऐसा है कि का हर स्तंभ {{mvar|A}} का रैखिक संयोजन है <math>\mathbf{c}_1,\ldots,\mathbf{c}_k</math>,
-# वहाँ उपस्तिथ है <math>m \times k</math> आव्यूह {{mvar|C}} और ए <math>k \times n</math> आव्यूह {{mvar|R}} ऐसा है कि <math>A = CR</math> (कब {{mvar|k}} रैंक है, यह रैंक गुणनखंड है {{mvar|A}}),
-# वहां है {{mvar|k}} पंक्तियाँ <math>\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_k</math> आकार का {{mvar|n}} ऐसा है कि की हर पंक्ति {{mvar|A}} का रैखिक संयोजन है <math>\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_k</math>,
-# की पंक्ति रैंक {{mvar|A}} से कम या इसके बराबर है {{mvar|k}}.
-वास्तव में, निम्नलिखित समानताएं स्पष्ट हैं: <math>(1)\Leftrightarrow(2)\Leftrightarrow(3)\Leftrightarrow(4)\Leftrightarrow(5)</math>.
+(2) को (3) से सिद्ध करने के लिए, लीजिए <math>\mathbf{c}_1,\ldots,\mathbf{c}_k</math> {{mvar|C}} के स्तंभ होना होता है।
-उदाहरण के लिए, (3) को (2) से सिद्ध करने के लिए, लीजिए {{mvar|C}} वह मैट्रिक्स होना चाहिए जिसके कॉलम हैं <math>\mathbf{c}_1,\ldots,\mathbf{c}_k</math> (2) से।
-(2) को (3) से सिद्ध करने के लिए, लीजिए <math>\mathbf{c}_1,\ldots,\mathbf{c}_k</math> के स्तंभ होना {{mvar|C}}.
-यह तुल्यता से अनुसरण करता है <math>(1)\Leftrightarrow(5)</math> कि पंक्ति रैंक स्तंभ रैंक के बराबर है।
+यह तुल्यता से अनुसरण करता है <math>(1)\Leftrightarrow(5)</math> कि पंक्ति रैंक स्तंभ रैंक के समांतर है।
-छवि लक्षण वर्णन के आयाम के स्थितिमें, इसे किसी भी रैखिक मानचित्र के रैंक की परिभाषा के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है: रैखिक मानचित्र का रैंक {{math|''f'' : ''V'' → ''W''}} न्यूनतम आयाम है {{mvar|k}} मध्यवर्ती स्थान का {{mvar|X}} ऐसा है कि {{mvar|f}} को मानचित्र की रचना के रूप में लिखा जा सकता है {{math|''V'' → ''X''}} और नक्शा {{math|''X'' → ''W''}}. दुर्भाग्य से, यह परिभाषा रैंक की गणना करने के लिए कुशल तरीके का सुझाव नहीं देती है (जिसके लिए वैकल्पिक परिभाषाओं में से किसी का उपयोग करना उत्तम है)। विवरण के लिए रैंक गुणनखंड देखें।
+जैसा कि "छवि लक्षण वर्णन के आयाम के स्थिति में, इसे किसी भी रैखिक मानचित्र के रैंक की परिभाषा के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। रैखिक मानचित्र का रैंक {{math|''f'' : ''V'' → ''W''}} मध्यवर्ती स्थान {{mvar|X}} का न्यूनतम आयाम {{mvar|k}} है। जैसे उस {{mvar|f}} को मानचित्र {{math|''V'' → ''X''}} और मानचित्र {{math|''X'' → ''W''}} की रचना के रूप में लिखा जा सकता है। दुर्भाग्य से, यह परिभाषा रैंक की गणना करने के लिए कुशल विधि का सुझाव नहीं देती है (जिसके लिए वैकल्पिक परिभाषाओं में से किसी का उपयोग करना उत्तम है)। विवरण के लिए रैंक गुणनखंड देख सकते है।
 === विलक्षण मूल्यों के संदर्भ में रैंक ===
-का पद {{mvar|A}} गैर-शून्य एकवचन मूल्य अपघटन की संख्या के बराबर है, जो कि एकवचन मूल्य अपघटन में Σ में गैर-शून्य विकर्ण तत्वों की संख्या के समान है {{nowrap|<math>A = U \Sigma V^*</math>.}}
+का पद {{mvar|A}} गैर-शून्य एकवचन मूल्य अपघटन की संख्या के समांतर है। जो कि एकवचन मूल्य अपघटन में Σ में गैर-शून्य विकर्ण तत्वों की संख्या के समान है {{nowrap|<math>A = U \Sigma V^*</math>.}}
-=== निर्धारक रैंक - सबसे बड़े गैर-लुप्त होने वाले नाबालिग का आकार ===
+=== निर्धारक रैंक - सबसे बड़े गैर-लुप्त माइनर का आकार ===
-का पद {{mvar|A}} किसी भी गैर-शून्य [[माइनर (रैखिक बीजगणित)]] का सबसे बड़ा क्रम है {{mvar|A}}. (नाबालिग का क्रम वर्ग उप-मैट्रिक्स की पार्श्व-लम्बाई है, जिसका यह निर्धारक है।) अपघटन रैंक लक्षण वर्णन की तरह, यह रैंक की गणना करने का कुशल विधि नहीं देता है, किन्तु यह सैद्धांतिक रूप से उपयोगी है: a एकल गैर-शून्य नाबालिग मैट्रिक्स के रैंक के लिए निचली सीमा (अर्थात् इसका क्रम) का गवाह है, जो उपयोगी हो सकता है (उदाहरण के लिए) यह सिद्ध करने के लिए कि कुछ ऑपरेशन मैट्रिक्स के रैंक को कम नहीं करते हैं।
+{{mvar|A}} का रैंक {{mvar|A}} में किसी भी गैर-शून्य [[माइनर (रैखिक बीजगणित)]] का सबसे बड़ा क्रम है। (माइनर का क्रम वर्ग उप-आव्यूह की पार्श्व-लम्बाई है। जिसका यह निर्धारक है।) अपघटन रैंक लक्षण वर्णन की प्रकार से यह रैंक की गणना करने की कुशल विधि नहीं देता है, किन्तु यह सैद्धांतिक रूप से उपयोगी है। आव्यूह के रैंक के लिए एकल गैर-शून्य माइनर निचली सीमा (अर्थात् इसका क्रम) देखता है। जो कि निश्चित सिद्ध करने के लिए उपयोगी हो सकता है। (उदाहरण के लिए) ऑपरेशन आव्यूह के रैंक को कम नहीं करते हैं।
-गैर-लुप्तप्राय {{mvar|p}}-अवयस्क ({{math|''p'' × ''p''}} सबमैट्रिक्स गैर-शून्य निर्धारक के साथ) दिखाता है कि उस सबमैट्रिक्स की पंक्तियाँ और स्तंभ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, और इस प्रकार पूर्ण मैट्रिक्स की वे पंक्तियाँ और स्तंभ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं (पूर्ण मैट्रिक्स में), इसलिए पंक्ति और स्तंभ रैंक कम से कम हैं निर्धारक रैंक जितना बड़ा; चूँकि, बातचीत कम सीधी है। निर्धारक रैंक और स्तंभ रैंक की समानता इस कथन की मजबूती है कि यदि अवधि {{mvar|n}} वैक्टर का आयाम है {{mvar|p}}<nowiki>, तब {{mvar|p}उन सदिशों में से } स्थान को फैलाते हैं (समतुल्य रूप से, कोई फैले हुए सेट को चुन सकता है जो सदिशों का सबसेट है): तुल्यता का अर्थ है कि पंक्तियों का सबसेट और स्तंभों का उपसमुच्चय साथ व्युत्क्रमणीय सबमैट्रिक्स को परिभाषित करता है (समकक्ष रूप से, यदि की अवधि </nowiki>{{mvar|n}} वैक्टर का आयाम है {{mvar|p}}<nowiki>, तब {{mvar|p}इनमें से } अंतरिक्ष में फैला है और इसका सेट है </nowiki>{{mvar|p}} निर्देशांक जिस पर वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं)।
+गैर-लुप्त होने वाला {{mvar|p}}-अवयस्क ({{math|''p'' × ''p''}} उच्च आव्यूह की की पंक्तियाँ और स्तंभ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और इस प्रकार पूर्ण आव्यूह की वे पंक्तियाँ और स्तंभ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। (पूर्ण आव्यूह में) अतः पंक्ति और स्तंभ रैंक कम से कम निर्धारक रैंक जितनी बड़ी है। चूँकि, वार्तालाप कम सीमित है। निर्धारक रैंक और स्तंभ रैंक की समानता इस कथन की मजबूती है कि यदि {{mvar|n}} सदिशो की अवधि में आयाम {{mvar|p}} है। तब उन सदिशों में से {{mvar|p}} स्थान को फैलाते हैं। (समतुल्य रूप से, कोई फैले हुए समूह को चुन सकता है। जो सदिशों का उच्च समूह है) सामान्यतः समतुल्यता का अर्थ है कि पंक्तियों का उपसमुच्चय और स्तंभों का उपसमुच्चय साथ व्युत्क्रमणीय उच्च आव्यूह को परिभाषित करता है। (समकक्ष रूप से, यदि {{mvar|n}} सदिशों की अवधि आयाम {{mvar|p}} है। तब इन सदिशों में से {{mvar|p}} अंतरिक्ष में फैलाता है और {{mvar|p}} का समुच्चय होता है। निर्देशांक जिस पर वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं)।
-=== टेंसर रैंक - साधारण टेंसरों की न्यूनतम संख्या ===
+=== टेंसर रैंक - साधारण टेंसर पंक्ति की न्यूनतम संख्या ===
-{{Main|Tensor rank decomposition|Tensor rank}}
+{{Main|टेन्सर रैंक अपघटन|टेंसर रैंक}}
-का पद {{mvar|A}} सबसे छोटी संख्या है {{mvar|k}} ऐसा है कि {{mvar|A}} के योग के रूप में लिखा जा सकता है {{mvar|k}} रैंक 1 मेट्रिसेस, जहां मैट्रिक्स को रैंक 1 के रूप में परिभाषित किया गया है यदि और केवल यदि इसे गैर-शून्य उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है <math>c \cdot r</math> कॉलम वेक्टर का {{mvar|c}} और पंक्ति वेक्टर {{mvar|r}}. रैंक की इस धारणा को [[टेंसर रैंक]] कहा जाता है; इसे एकवचन मूल्य अपघटन में सामान्यीकृत किया जा सकता है # एकवचन मूल्य अपघटन की वियोज्य मॉडल व्याख्या।
+{{mvar|A}} की कोटि की सबसे छोटी संख्या {{mvar|k}} है। जिसमे {{mvar|A}} को {{mvar|k}} श्रेणी 1 आव्यूहों के योग के रूप में लिखा जा सकता है। जहां आव्यूह को कोटि 1 के रूप में परिभाषित किया जाता है। यदि इसे गैर-शून्य उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है <math>c \cdot r</math> स्तंभ सदिश {{mvar|c}} और पंक्ति सदिश {{mvar|r}} का रैंक की इस धारणा को [[टेंसर रैंक]] कहा जाता है; इसे एकवचन मूल्य अपघटन की वियोज्य मॉडल व्याख्या में सामान्यीकृत किया जा सकता है।
 == गुण ==
-हम मानते हैं कि {{mvar|A}} {{math|''m'' × ''n''}} मैट्रिक्स, और हम रैखिक मानचित्र को परिभाषित करते हैं {{mvar|f}} द्वारा {{math|1=''f''('''x''') = ''A'''''x'''}} ऊपरोक्त अनुसार।
+हम मानते हैं कि {{mvar|A}} सामान्यतः {{math|''m'' × ''n''}} आव्यूह है और हम {{math|1=''f''('''x''') = ''A'''''x'''}} द्वारा रैखिक मानचित्र {{mvar|f}} को परिभाषित करते हैं।
-* का पद {{math|1=''m'' × ''n''}} मैट्रिक्स गैर-नकारात्मक [[पूर्णांक]] है और किसी से भी बड़ा नहीं हो सकता {{mvar|m}} या {{mvar|n}}. वह है, <math display="block">\operatorname{rank}(A) \le \min(m, n).</math><nowiki> मैट्रिक्स जिसमें रैंक है {{math|min(</nowiki>''m'', ''n'')}कहा जाता है कि } की पूरी रैंक है; अन्यथा, मैट्रिक्स रैंक की कमी है।
+* चूँकि {{math|1=''m'' × ''n''}} आव्यूह की कोटि अऋणात्मक [[पूर्णांक]] है और यह {{mvar|m}} या {{mvar|n}} किसी से भी बड़ा नहीं हो सकता है।<math display="block">\operatorname{rank}(A) \le \min(m, n).</math><nowiki> आव्यूह जिसमें रैंक {{math|min(</nowiki>''m'', ''n'')} कहा जाता है कि } को पूर्ण रैंक कहा जाता है। अन्यथा, आव्यूह रैंक की कमी है।
-* केवल [[शून्य मैट्रिक्स]] का रैंक शून्य होता है।
+* केवल [[शून्य मैट्रिक्स|शून्य आव्यूह]] का रैंक शून्य होता है।
-* {{mvar|f}} [[इंजेक्शन समारोह]] (या एक-से-एक) है यदि और केवल यदि {{mvar|A}} रैंक है {{mvar|n}} (इस स्थितिमें, हम कहते हैं कि {{mvar|A}} का पूरा कॉलम रैंक है)।
+* {{mvar|f}} [[इंजेक्शन समारोह|इंजेक्शन समापंक्तिह]] है यदि {{mvar|A}} में रैंक {{mvar|n}} है (इस स्थिति में, हम कहते हैं कि {{mvar|A}} का पूर्ण स्तंभ रैंक है)।
-* {{mvar|f}} विशेषण फलन (या आच्छादित) है यदि और केवल यदि {{mvar|A}} रैंक है {{mvar|m}} (इस स्थितिमें, हम कहते हैं कि {{mvar|A}} पूर्ण पंक्ति रैंक है)।
+* {{mvar|f}} विशेषण फलन (या आच्छादित) है। यदि {{mvar|A}} की रैंक {{mvar|m}} है (इस स्थिति में, हम कहते हैं कि {{mvar|A}} पूर्ण पंक्ति रैंक है)।
-* यदि {{mvar|A}} वर्ग मैट्रिक्स है (अर्थात, {{math|1=''m'' = ''n''}}), तब {{mvar|A}} [[उलटा मैट्रिक्स]] है यदि और केवल यदि {{mvar|A}} रैंक है {{mvar|n}} (वह है, {{mvar|A}} की पूरी रैंक है)।
+* यदि {{mvar|A}} वर्ग आव्यूह है (अर्थात, {{math|1=''m'' = ''n''}}), तब {{mvar|A}} [[उलटा मैट्रिक्स|व्युत्क्रमणीय आव्यूह]] है। यदि {{mvar|A}} रैंक {{mvar|n}} है (अर्थात्, {{mvar|A}} का पूर्ण रैंक है)।
-* यदि {{mvar|B}} क्या किसी {{math|''n'' × ''k''}} मैट्रिक्स, फिर <math display="block">\operatorname{rank}(AB) \leq \min(\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)).</math>
+* यदि {{mvar|B}} कोई {{math|''n'' × ''k''}} आव्यूह है। तब पद <math display="block">\operatorname{rank}(AB) \leq \min(\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)).</math>
-* यदि {{mvar|B}} {{math|''n'' × ''k''}} रैंक का मैट्रिक्स {{mvar|n}}, तब <math display="block">\operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}(A).</math>
+* यदि {{mvar|B}} रैंक {{mvar|n}} का {{math|''n'' × ''k''}} आव्यूह है। तब <math display="block">\operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}(A).</math>
-* यदि {{mvar|C}} {{math|''l'' × ''m''}} रैंक का मैट्रिक्स {{mvar|m}}, तब <math display="block">\operatorname{rank}(CA) = \operatorname{rank}(A).</math>
+* यदि {{mvar|C}} रैंक {{mvar|m}} का {{math|''l'' × ''m''}} आव्यूह है। तब <math display="block">\operatorname{rank}(CA) = \operatorname{rank}(A).</math>
-* का पद {{mvar|A}} के बराबर है {{mvar|r}} यदि और केवल यदि कोई व्युत्क्रमणीय उपस्तिथ है {{math|''m'' × ''m''}} आव्यूह {{mvar|X}} और उलटा {{math|''n'' × ''n''}} आव्यूह {{mvar|Y}} ऐसा है कि <math display="block"> XAY =
+* {{mvar|A}} का रैंक {{mvar|r}} के समांतर है। यदि कोई व्युत्क्रमणीय {{math|''m'' × ''m''}} आव्यूह {{mvar|X}} और व्युत्क्रमणीय {{math|''n'' × ''n''}} आव्यूह {{mvar|Y}} उपस्थित है। कि <math display="block"> XAY =
 \begin{bmatrix}
    I_r & 0 \\
 & 0 \\
-\end{bmatrix},</math> कहाँ {{math|''I''<sub>''r''</sub>}} दर्शाता है {{math|''r'' × ''r''}} शिनाख्त सांचा।
+\end{bmatrix},</math> जहाँ {{math|''I''<sub>''r''</sub>}} सामान्यतः {{math|''r'' × ''r''}} आव्यूह को दर्शाता है।
-* [[जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर]] की रैंक असमानता: यदि {{mvar|A}} {{math|''m'' × ''n''}} मैट्रिक्स और {{mvar|B}} है {{math|''n'' × ''k''}}, तब<ref group="lower-roman">Proof: Apply the [[rank–nullity theorem]] to the inequality <math display="block">\dim \ker(AB) \le \dim \ker(A) + \dim \ker(B).</math></ref> <math display="block">\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n \leq \operatorname{rank}(A B).</math> यह अगली असमानता का विशेष मामला है।
+* [[जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर]] की रैंक असमानता: यदि {{mvar|A}} सामान्यतः {{math|''m'' × ''n''}} आव्यूह और {{mvar|B}}, {{math|''n'' × ''k''}} है। तब<ref group="lower-roman">Proof: Apply the [[rank–nullity theorem]] to the inequality <math display="block">\dim \ker(AB) \le \dim \ker(A) + \dim \ker(B).</math></ref> <math display="block">\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n \leq \operatorname{rank}(A B).</math> यह अगली असमानता की विशेष स्थिति है।
-* [[फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस]] के कारण असमानता: यदि {{math|''AB''}}, {{math|''ABC''}} और {{math|''BC''}} परिभाषित हैं, तो<ref group="lower-roman">Proof. The map<math display="block">C: \ker(ABC) / \ker(BC) \to \ker(AB) / \ker(B)</math>is well-defined and injective. We thus obtain the inequality in terms of dimensions of kernel, which can then be converted to the inequality in terms of ranks by the [[rank–nullity theorem]].
+* [[फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस|फर्डिनेंड जॉर्ज फ्पंक्तिबेनियस]] के कारण असमानता: यदि {{math|''AB''}}, {{math|''ABC''}} और {{math|''BC''}} परिभाषित हैं, तो<ref group="lower-roman">Proof. The map<math display="block">C: \ker(ABC) / \ker(BC) \to \ker(AB) / \ker(B)</math>is well-defined and injective. We thus obtain the inequality in terms of dimensions of kernel, which can then be converted to the inequality in terms of ranks by the [[rank–nullity theorem]].
 Alternatively, if <math>M</math> is a linear subspace then <math>\dim (AM) \leq \dim (M)</math>; apply this inequality to the subspace defined by the orthogonal complement of the image of <math>BC</math> in the image of <math>B</math>, whose dimension is <math>\operatorname{rank} (B) - \operatorname{rank} (BC)</math>; its image under <math>A</math> has dimension <math>\operatorname{rank} (AB) - \operatorname{rank} (ABC)</math>.</ref> <math display="block">\operatorname{rank}(AB) + \operatorname{rank}(BC) \le \operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(ABC).</math>
-* उप-विषमता: <math display="block">\operatorname{rank}(A+ B) \le \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) </math> कब {{mvar|A}} और {{mvar|B}} समान आयाम के हैं। परिणाम स्वरुप , रैंक-{{mvar|k}} मैट्रिक्स को योग के रूप में लिखा जा सकता है {{mvar|k}} रैंक-1 मैट्रिसेस, किन्तु कम नहीं।
+* उप-विषमता: <math display="block">\operatorname{rank}(A+ B) \le \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) </math> जब {{mvar|A}} और {{mvar|B}} समान आयाम के होते हैं। परिणाम स्वरुप, रैंक-{{mvar|k}} आव्यूह को रैंक-1 आव्यूह के योग के रूप में लिखा जा सकता है, किन्तु कम नहीं।
-* मैट्रिक्स की रैंक प्लस मैट्रिक्स का [[कर्नेल (मैट्रिक्स)]] मैट्रिक्स के कॉलम की संख्या के बराबर होता है। (यह रैंक-शून्यता प्रमेय है।)
+* आव्यूह की रैंक प्लस आव्यूह का [[कर्नेल (मैट्रिक्स)|शून्य रिक्त स्थान (आव्यूह)]] के शून्यता आव्यूह के स्तंभ की संख्या के समांतर होता है। (यह रैंक-शून्यता प्रमेय है।)
-* यदि {{mvar|A}} वास्तविक संख्याओं पर मैट्रिक्स है, फिर रैंक {{mvar|A}} और इसके संगत ग्राम आव्यूह की कोटि बराबर होती है। इस प्रकार, वास्तविक मेट्रिसेस के लिए <math display="block">\operatorname{rank}(A^\mathrm{T} A) = \operatorname{rank}(A A^\mathrm{T}) = \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A^\mathrm{T}).</math> यह उनके कर्नेल (मैट्रिक्स) की समानता सिद्ध करके दिखाया जा सकता है। ग्राम आव्यूह का रिक्त स्थान सदिशों द्वारा दिया जाता है {{math|'''x'''}} जिसके लिए <math>A^\mathrm{T} A \mathbf{x} = 0.</math> यदि यह शर्त पूरी होती है, तो हमारी भी होगी <math>0 = \mathbf{x}^\mathrm{T} A^\mathrm{T} A \mathbf{x} = \left| A \mathbf{x} \right| ^2.</math><ref>{{cite book| last = Mirsky| first = Leonid| title = रैखिक बीजगणित का परिचय| year = 1955| publisher = Dover Publications| isbn = 978-0-486-66434-7 }}</ref>
+* यदि {{mvar|A}} वास्तविक संख्याओं पर आव्यूह है, तब {{mvar|A}} रैंक और इसके संगत ग्राम आव्यूह की कोटि समांतर होती है। इस प्रकार, वास्तविक आव्यूह के लिए पद, <math display="block">\operatorname{rank}(A^\mathrm{T} A) = \operatorname{rank}(A A^\mathrm{T}) = \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A^\mathrm{T}).</math> यह उनके शून्य रिक्त स्थान (आव्यूह) की समानता सिद्ध करके दिखाया जा सकता है। ग्राम आव्यूह का रिक्त स्थान सदिशों {{math|'''x'''}} द्वारा दिया जाता है। जिसके लिए <math>A^\mathrm{T} A \mathbf{x} = 0.</math> यदि यह शर्त पूर्ण होती है, तब हमारे पास <math>0 = \mathbf{x}^\mathrm{T} A^\mathrm{T} A \mathbf{x} = \left| A \mathbf{x} \right| ^2.</math>भी होता है।<ref>{{cite book| last = Mirsky| first = Leonid| title = रैखिक बीजगणित का परिचय| year = 1955| publisher = Dover Publications| isbn = 978-0-486-66434-7 }}</ref>
-* यदि {{mvar|A}} जटिल संख्याओं पर मैट्रिक्स है और <math>\overline{A}</math> के जटिल संयुग्म को दर्शाता है {{mvar|A}} और {{math|''A''<sup>∗</sup>}} का संयुग्मी स्थानांतरण {{mvar|A}} (अर्थात, हर्मिटियन का संलग्न {{mvar|A}}), तब <math display="block">\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(\overline{A}) = \operatorname{rank}(A^\mathrm{T}) = \operatorname{rank}(A^*) = \operatorname{rank}(A^*A) = \operatorname{rank}(AA^*).</math>
+* यदि {{mvar|A}} जटिल संख्याओं पर आव्यूह है और <math>\overline{A}</math> के लिए जटिल संयुग्म को दर्शाता है और {{math|''A''<sup>∗</sup>}}{{mvar|A}} का संयुग्मी स्थानांतरण (अर्थात, {{mvar|A}} हर्मिटियन का संलग्न), तब <math display="block">\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(\overline{A}) = \operatorname{rank}(A^\mathrm{T}) = \operatorname{rank}(A^*) = \operatorname{rank}(A^*A) = \operatorname{rank}(AA^*).</math>
 == अनुप्रयोग ==
-मैट्रिक्स के रैंक की गणना करने का उपयोगी अनुप्रयोग रैखिक समीकरणों की प्रणाली के समाधान की संख्या की गणना है। रोचे-कैपेली प्रमेय के अनुसार, यदि [[संवर्धित मैट्रिक्स]] का रैंक [[गुणांक मैट्रिक्स]] के रैंक से अधिक है तो सिस्टम असंगत है। यदि दूसरी ओर, इन दो आव्यूहों की कोटि समान हैं, तो तंत्र में कम से कम हल होना चाहिए। समाधान अद्वितीय है यदि और केवल यदि रैंक चर की संख्या के बराबर है। अन्यथा सामान्य समाधान है {{mvar|k}} मुक्त पैरामीटर जहां {{mvar|k}} चरों की संख्या और रैंक के बीच का अंतर है। इस स्थितिमें (और यह मानते हुए कि समीकरणों की प्रणाली वास्तविक या जटिल संख्या में है) समीकरणों की प्रणाली में अपरिमित रूप से कई समाधान हैं।
+आव्यूह के रैंक की गणना करने का उपयोगी अनुप्रयोग रैखिक समीकरणों की प्रणाली के समाधान की संख्या की गणना है। रोचे-कैपेली प्रमेय के अनुसार, यदि [[संवर्धित मैट्रिक्स|संवर्धित आव्यूह]] का रैंक [[गुणांक मैट्रिक्स|गुणांक आव्यूह]] के रैंक से अधिक है। तब सिस्टम असंगत होता है। यदि दूसरी ओर, इन दो आव्यूहों की कोटि समान हैं। तब तंत्र में कम से कम हल होना चाहिए। चूँकि समाधान अद्वितीय है। यदि रैंक चर की संख्या के समांतर है। अन्यथा सामान्य समाधान में {{mvar|k}} मुक्त पैरामीटर है। जहां {{mvar|k}} चर और रैंक की संख्या के मध्य का अंतर है। इस स्थिति में (और यह मानते हुए कि समीकरणों की प्रणाली वास्तविक या जटिल संख्या में है।) समीकरणों की प्रणाली में अपरिमित रूप से कई समाधान हैं।
-[[नियंत्रण सिद्धांत]] में, मैट्रिक्स की रैंक का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि [[रैखिक प्रणाली]] नियंत्रणीयता है या अवलोकनीयता है।
+[[नियंत्रण सिद्धांत]] में, आव्यूह की रैंक का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि [[रैखिक प्रणाली]] नियंत्रणीय है या देखने योग्य है।
-[[संचार जटिलता]] के क्षेत्र में, किसी फ़ंक्शन के संचार मैट्रिक्स का रैंक फ़ंक्शन की गणना करने के लिए दो पक्षों के लिए आवश्यक संचार की मात्रा पर सीमा देता है।
+[[संचार जटिलता]] के क्षेत्र में, किसी फ़ंक्शन के संचार आव्यूह का रैंक फ़ंक्शन की गणना करने के लिए दो पक्षों के लिए आवश्यक संचार की मात्रा पर सीमा देता है।
 == सामान्यीकरण ==
-मनमाना रिंग (गणित) पर रैंक से मैट्रिसेस की अवधारणा के विभिन्न सामान्यीकरण हैं, जहां कॉलम रैंक, पंक्ति रैंक, कॉलम स्पेस का आयाम और मैट्रिक्स के पंक्ति स्थान का आयाम दूसरों से भिन्न हो सकता है या उपस्तिथ नहीं हो सकता है।
+अनैतिक छल्ले (गणित) पर रैंक से आव्यूहो की अवधारणा के विभिन्न सामान्यीकरण हैं। जहां स्तंभ रैंक, पंक्ति रैंक, स्तंभ स्थान का आयाम और आव्यूह के पंक्ति स्थान का आयाम दूसरों से भिन्न हो सकता है या उपस्तिथ नहीं हो सकता है।
-मैट्रिसेस को [[टेंसर]] के रूप में सोचते हुए, टेंसर रैंक मनमाना टेंसरों के लिए सामान्यीकृत होता है; 2 से अधिक ऑर्डर के टेंसर के लिए (मैट्रिसेस ऑर्डर 2 टेंसर हैं), मैट्रिसेस के विपरीत, रैंक की गणना करना बहुत कठिन है।
+आव्यूहो को [[टेंसर]] के रूप में सोचते हुए, टेंसर रैंक अनैतिक टेंसरों के लिए सामान्यीकृत होता है। 2 से अधिक ऑर्डर के टेंसर के लिए (आव्यूहो ऑर्डर 2 टेंसर हैं।), आव्यूहो के विपरीत, रैंक की गणना करना बहुत कठिन है।
-[[चिकना कई गुना]] के बीच चिकने नक्शों के लिए [[ रैंक (अंतर टोपोलॉजी) |रैंक (अंतर टोपोलॉजी)]] की धारणा है। यह पुशफॉरवर्ड (अंतर) के रैखिक रैंक के बराबर है।
+[[चिकना कई गुना]] के मध्य चिकने मानचित्रों के लिए [[ रैंक (अंतर टोपोलॉजी) |रैंक (अंतर टोपोलॉजी)]] की धारणा है। यह व्युत्पन्न (अंतर) के रैखिक रैंक के समांतर है।
-== [[टेन्सर]] के रूप में मैट्रिक्स ==
+== [[टेन्सर]] के रूप में आव्यूह ==
-मैट्रिक्स रैंक को [[टेंसर क्रम]] से भ्रमित नहीं होना चाहिए, जिसे टेंसर रैंक कहा जाता है। टेन्सर क्रम टेंसर लिखने के लिए आवश्यक सूचकांकों की संख्या है, और इस प्रकार मैट्रिसेस में टेंसर ऑर्डर 2 होता है। अधिक त्रुटिहीन रूप से, मैट्रिसेस टाइप (1,1) के टेंसर होते हैं, जिनमें पंक्ति इंडेक्स और कॉलम इंडेक्स होता है, जिसे सहसंयोजक क्रम 1 भी कहा जाता है। और प्रतिपरिवर्ती क्रम 1; विवरण के लिए [[टेंसर (आंतरिक परिभाषा)]] देखें।
+आव्यूह रैंक को [[टेंसर क्रम]] से भ्रमित नहीं होना चाहिए। जिसे टेंसर रैंक कहा जाता है। टेन्सर क्रम टेंसर लिखने के लिए आवश्यक सूचकांकों की संख्या है और इस प्रकार आव्यूहो में टेंसर ऑर्डर 2 होता है। अधिक त्रुटिहीन रूप से, आव्यूहो टाइप (1,1) के टेंसर होते हैं। जिनमें पंक्ति इंडेक्स और स्तंभ इंडेक्स होता है। जिसे सहसंयोजक क्रम 1 भी कहा जाता है और प्रतिपरिवर्ती क्रम 1 विवरण के लिए [[टेंसर (आंतरिक परिभाषा)]] देख सकते है।
-मैट्रिक्स के टेंसर रैंक का अर्थ मैट्रिक्स को रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करने के लिए आवश्यक [[सरल टेंसर]]ों की न्यूनतम संख्या भी हो सकता है, और यह परिभाषा मैट्रिक्स रैंक से सहमत है जैसा कि यहां चर्चा की गई है।
+आव्यूह के टेंसर रैंक का अर्थ आव्यूह को रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करने के लिए आवश्यक [[सरल टेंसर|सरल टेंसरों]] की न्यूनतम संख्या भी हो सकता है और यह परिभाषा आव्यूह रैंक से सहमत है जैसा कि यहां चर्चा की गई है।
 == यह भी देखें ==
 * [[मैट्रोइड रैंक]]
-* [[गैर-नकारात्मक रैंक (रैखिक बीजगणित)]]
+* [[गैर-नकारात्मक रैंक (रैखिक बीजगणित)|अऋणात्मक रैंक (रैखिक बीजगणित)]]
 * रैंक (अंतर टोपोलॉजी)
 * बहुसंरेखता
@@ Line 185: / Line 181: @@
-== स्रोत ==
+== स्पंक्तित ==
 * {{Cite book|last=Axler|first=Sheldon|title=रेखीय बीजगणित सही किया|publisher=[[Springer Science+Business Media | Springer]]| year=2015|isbn=978-3-319-11079-0|edition=3rd|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|location=|pages=|author-link=Sheldon Axler}}
@@ Line 201: / Line 197: @@
 {{linear algebra}}
-{{DEFAULTSORT:Rank (Linear Algebra)}}[[Category: लीनियर अलजेब्रा]]
+{{DEFAULTSORT:Rank (Linear Algebra)}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Rank (Linear Algebra)]]
-[[Category:Created On 03/03/2023]]
+[[Category:Collapse templates|Rank (Linear Algebra)]]
+[[Category:Created On 03/03/2023|Rank (Linear Algebra)]]
+[[Category:Lua-based templates|Rank (Linear Algebra)]]
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रैंक (रैखिक बीजगणित): Difference between revisions

Latest revision as of 13:13, 22 March 2023

मुख्य परिभाषाएँ

उदाहरण

आव्यूह के रैंक की गणना

पंक्ति पारिस्थितिक रूपों से रैंक

गणना

प्रमाण है कि स्तंभ रैंक = पंक्ति रैंक

पंक्ति न्यूनीकरण का उपयोग कर प्रमाण

रैखिक संयोजनों का उपयोग करके प्रमाण

ऑर्थोगोनलिटी का उपयोग करके प्रमाण

वैकल्पिक परिभाषाएँ

छवि का आयाम

अशक्तता के स्थिति में रैंक

स्तंभ रैंक - स्तंभ स्थान का आयाम

पंक्ति रैंक - पंक्ति स्थान का आयाम

अपघटन रैंक

विलक्षण मूल्यों के संदर्भ में रैंक

निर्धारक रैंक - सबसे बड़े गैर-लुप्त माइनर का आकार

टेंसर रैंक - साधारण टेंसर पंक्ति की न्यूनतम संख्या

गुण

अनुप्रयोग

सामान्यीकरण

टेन्सर के रूप में आव्यूह

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

संदर्भ

स्पंक्तित

अग्रिम पठन

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