वेक्टर प्रक्षेपण

File:Projection and rejection.png

a पर b का प्रक्षेपण (a₁), और अस्वीकृति a से b ( a₂).

File:Projection and rejection 2.png

कब 90° < θ ≤ 180°, a₁ के दिशा b.के विपरीत होती है ।

सदिश का सदिश प्रक्षेपण a एक अशून्य सदिश b पर (या आच्छादित पर), कभी-कभी निरूपित किया जाता है $\operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a}$ ( a की दिशा में b के सदिश घटक या सदिश समाधान के रूप मे भी जाना जाता है), b. के समानांतर सीधी रेखा पर a का आयतीय प्रक्षेपण है। यह b के समानांतर एक सदिश है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$\mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}}$$

कहाँ पे $a_{1}$ अदिश है, जिसे a पर b का अदिश प्रक्षेपण कहा जाता है, और b̂ b की दिशा में इकाई सदिश है

बदले में, अदिश प्रक्षेपण को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}}$$

जहां संक्रियक. एक बिन्दु उत्पाद को दर्शाता है,‖a‖ a की लंबाई है, और θ a तथा b के बीच का कोण है

जो अंत में देता है:

$$\mathbf {a} _{1}=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }~.$$

अदिश प्रक्षेपण, सदिश प्रक्षेपण की लंबाई के बराबर है, ऋण चिन्ह के साथ यदि प्रक्षेपण की दिशा b की दिशा के विपरीत है। सदिश घटक या सदिश स्थिर के लम्बवत b से a सदिश अस्वीकृति भी कहा जाता है a से b (निरूपित $\operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a}$), a तल पर संक्रियक प्रक्षेपण है (या, सामान्य रूप से, अधिसमतल) b संक्रियक है। दोनों प्रक्षेपण a₁ और अस्वीकृति a₂ एक सदिश का a सदिश हैं, और a उनका योग बराबर है , जिसका तात्पर्य है कि अस्वीकृति द्वारा दी गई है: $\mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}.$

टिप्पणी

विशिष्ट रूप से, एक सदिश प्रक्षेपण को मोटे अक्षर जैसे a₁ में दर्शाया जाता है, और सामान्य अक्षर के साथ संबंधित अदिश प्रक्षेपण (जैसे a₁). कुछ स्थिति में, विशेष रूप से लिखावट में, सदिश प्रक्षेपण को अक्षर के ऊपर या नीचे एक विशेषक का उपयोग करके भी निरूपित किया जाता है(उदाहरण के लिए, ${\vec {a}}_{1}$ या <यू>ए</यू>₁). का सदिश प्रक्षेपण a पर b और संबंधित अस्वीकृति को कभी-कभी क्रमशः a_∥b तथा a_⊥b द्वारा दर्शाया जाता है।

कोण θपर आधारित परिभाषाएँ

अदिश प्रक्षेपण

मुख्य लेखː अदिश प्रक्षेपण

अदिश प्रक्षेपण a पर b के बराबर एक अदिश राशि है

$$a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,$$

जहाँ a तथा b के बीच कोण है।

सदिश प्रक्षेपण की गणना करने के लिए एक अदिश प्रक्षेपण को पैमाने के कारक के रूप में उपयोग किया जा सकता है।

सदिश प्रक्षेपण

a पर b का सदिश प्रक्षेपण एक सदिश है जिसका परिमाण का a का अदिश प्रक्षेपण b के समान दिशा के साथ है। अर्थात्, इसे परिभाषित किया गया है

$$\mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} =(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta )\mathbf {\hat {b}}$$

कहाँ पे $a_{1}$ जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, संबंधित अदिश प्रक्षेपण है, और $\mathbf {\hat {b}}$ b के रूप में एक ही दिशा के साथ इकाई सदिश है:

$$\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}$$

सदिश अस्वीकृति

परिभाषा के अनुसार, वेक्टर अस्वीकृति a पर b है:

$$\mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}$$

अत,

$$\mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\left(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta \right)\mathbf {\hat {b}}$$

ए और बी के संदर्भ में परिभाषाएँ

जब θ ज्ञात नहीं है, की कोज्या θ की गणना a तथा b,रूप मे की जा सकती है बिन्दु गुणनफल a ⋅ b निम्नलिखित गुण द्वारा

$${\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}=\cos \theta$$

अदिश प्रक्षेपण

बिन्दु उत्पाद की उपर्युक्त गुण से, अदिश प्रक्षेपण की परिभाषा बन जाती है:

$$a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\left\|\mathbf {a} \right\|{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.$$

दो आयामों में, यह बन जाता है

$$a_{1}={\frac {\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{x}+\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.$$

सदिश प्रक्षेपण

इसी तरह, के वेक्टर प्रक्षेपण की परिभाषा a पर b बन जाता है:

$$\mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}},$$

जो दोनों मे से एक के बराबर है

$$\mathbf {a} _{1}=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ,$$

या

$$\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }~.$$

अदिश अस्वीकृति

दो आयामों में, अदिश अस्वीकृति के प्रक्षेपण के बराबर है a पर $\mathbf {b} ^{\perp }={\begin{pmatrix}-\mathbf {b} _{y}&\mathbf {b} _{x}\end{pmatrix}}$, जो है $\mathbf {b} ={\begin{pmatrix}\mathbf {b} _{x}&\mathbf {b} _{y}\end{pmatrix}}$ बाईं ओर 90° घुमाया गया। अत,

$$a_{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|\sin \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{x}-\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.$$

ऐसे बिन्दु उत्पाद को उपकल्पन बिन्दु उत्पाद कहा जाता है।

सदिश अस्वीकृति

परिभाषा से,

$$\mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}$$

अत,

$$\mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }.$$

गुण

File:Dot Product.svg

यदि 0° 90°, जैसा कि इस स्थिति में है, का अदिश प्रक्षेपण a पर b सदिश प्रक्षेपण के यूक्लिडियन मानदंड के साथ समानता रखता है।

अदिश प्रक्षेपण

Main article: अदिश प्रक्षेपण

अदिश प्रक्षेपण a पर b एक अदिश राशि है जिसमे 90 डिग्री < θ ≤ 180 डिग्री होने पर ऋणात्मक चिन्ह होता है। यदि कोण 90° से छोटा है, तो यह सदिश प्रक्षेपण के यूक्लिडियन मानदंड ‖c‖ के साथ समानता रखता है। अधिक सटीक:

• a₁ = ‖a₁‖ यदि 0° ≤ θ ≤ 90°,
• a₁ = −‖a₁‖ यदि 90° < θ ≤ 180°.

सदिश प्रक्षेपण

a पर b एक वेक्टर का सदिश प्रक्षेपण a₁है जो या तो शून्य या b के समानांतर है। अधिक सटीक:

• a₁ = 0 यदि θ = 90°,
• a₁ तथा b एक ही दिशा है अगर 0° ≤ θ < 90°,
• a₁ तथा b विपरीत दिशाएं हैं यदि 90° < θ ≤ 180°.

सदिश अस्वीकृति

a पर b का सदिश अस्वीकृति एक वेक्टर a₂ है जो या तो शून्य या b के लिए लंबकोणीय है . अधिक सटीक:

• a₂ = 0 यदि θ = 0° या θ = 180°,
• a₂ यह लंबकोणीय b है यदि 0 < θ < 180°,

आव्यूह प्रतिनिधित्व

लंबकोणीय प्रक्षेपण को प्रक्षेपण आव्यूह द्वारा दर्शाया जा सकता है। इकाई सदिश पर एक सदिश योजना के लिए a = (a_x, a_y, a_z), इसे इस प्रक्षेपण आव्यूह से गुणा करने की आवश्यकता होगी:

$$P_{\mathbf {a} }=\mathbf {a} \mathbf {a} ^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{x}^{2}&a_{x}a_{y}&a_{x}a_{z}\\a_{x}a_{y}&a_{y}^{2}&a_{y}a_{z}\\a_{x}a_{z}&a_{y}a_{z}&a_{z}^{2}\\\end{bmatrix}}$$

उपयोग

सदिश स्थान के आधारों के ग्राम -श्मिट लंबिकीकरण मे सदिश प्रक्षेपण एक महत्वपूर्ण संचालन है। इसका उपयोग पृथक्करण अक्ष प्रमेय में यह पता लगाने के लिए भी किया जाता है कि क्या दो उत्तल आकृतियाँ प्रतिच्छेद करती हैं या नहीं।

सामान्यीकरण

चूंकि सदिशलंबाई और सदिश के बीच कोण की धारणाओं को किसी भी एन-आयामी आंतरिक उत्पाद स्थान के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, यह एक सदिश के लम्बवत प्रक्षेपण, एक सदिश के दूसरे पर प्रक्षेपण, और दूसरे से सदिश की अस्वीकृति की धारणाओं के लिए भी सही है।

कुछ स्थिति में, आंतरिक उत्पाद बिन्दु उत्पाद के साथ समानता रखता है। जब भी वे समानता नहीं रखता हैं, तो प्रक्षेपण और अस्वीकृति की औपचारिक परिभाषाओं में बिन्दु उत्पाद के बजाय आंतरिक उत्पाद का उपयोग किया जाता है। त्रि-आयामी आंतरिक उत्पाद स्थान के लिए, एक सदिश के दूसरे पर प्रक्षेपण और दूसरे से सदिश की अस्वीकृति की धारणाओं को एक सतह (ज्यामिति) पर एक वेक्टर के प्रक्षेपण की धारणाओं के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता। किसी समतल पर सदिश का प्रक्षेपण उस तल पर उसका लंबकोणीय प्रक्षेपण है। एक समतल से एक सदिश की अस्वीकृति एक सीधी रेखा पर इसका लंबकोणीय प्रक्षेपण है जो उस तल के लंबकोणीय है। दोनों सदिश हैं। पहला सतह के समानांतर है, दूसरा लम्बवत है।

किसी दिए गए सदिश और तल के लिए, प्रक्षेपण और अस्वीकृति का योग मूल सदिश के बराबर होता है। इसी तरह, तीन से अधिक आयामों वाले आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान के लिए, सदिश पर प्रक्षेपण की धारणा और सदिश से अस्वीकृति को अधिसमतल पर प्रक्षेपण की धारणा और अधिसमतल से अस्वीकृति के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। ज्यामितीय बीजगणित में, उन्हें किसी भी व्युत्क्रमणीय k-फलक पर/से एक सामान्य बहुसदिश के प्रक्षेपण और अस्वीकृति की धारणाओ के लिए आगे समान्यीकृत किया जा सकता है।

यह भी देखें

• अदिश प्रक्षेपण
• वेक्टर संकेतन

बाहरी संबंध

• Projection of a vector onto a plane