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नीले तीरों द्वारा दर्शाया गया प्रवणता, स्केलर फलन के सबसे बड़े परिवर्तन की दिशा को दर्शाता है। फलन के मान ग्रेस्केल में दर्शाए जाते हैं और मान में सफेद (निम्न) से अंधेरे (उच्च) में वृद्धि होती है।

वेक्टर कैल्कुलस में, कई चर के स्केलर-मूल्यांकित विभेदक फलन $f$ का प्रवणता वेक्टर क्षेत्र (या वेक्टर-मूल्यांकित प्रकार्य) है। $\nabla f$ जिसका मूल्य बिंदु पर $p$ है वेक्टर^{[lower-alpha 1]} जिसका घटक $f$ के आंशिक यौगिक हैं $p$ ^[1] वह इसके लिए $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ , इसकी प्रवणता है $\nabla f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ बिंदु पर परिभाषित किया गया है $p=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ एन-आयामी अंतरिक्ष में वेक्टर के रूप में^{[lower-alpha 2]}

\nabla f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}.

नाबला प्रतीक $\nabla$ को ऊपर दिए गए त्रिभुज के रूप में लिखा गया है, "डेल" (Del) वेक्टर विभेदक प्रचालक को निर्दिष्ट करता है।

प्रवणता वेक्टर को "दिशा और सबसे तेजी से वृद्धि की दर" के रूप में व्याख्या की जा सकती है। यदि किसी फलन का प्रवणता किसी बिंदु $p$ पर शून्य है, तो प्रवणता की दिशा वह दिशा है जिसमें कि फलन $p$ से बहुत तेजी से बढ़ता है, और प्रवणता का परिमाण उस दिशा में वृद्धि की दर है, सबसे बड़ी निरपेक्ष दिशात्मक व्युत्पन्न।^[2] इसके अतिरिक्त एक बिंदु जहां कि प्रवणता शून्य वेक्टर है उसे अचल बिंदु कहते हैं। प्रवणता इस प्रकार इष्टतमीकरण सिद्धांत में एक बुनियादी भूमिका निभाता है, जहाँ यह प्रवणता आरोहण द्वारा प्रकार्य को अधिकतम करने के लिए प्रयुक्त होता है।

यह प्रवणता कुल व्युत्पन्न के दोहरे $df$ : एक बिंदु पर प्रवणता का मान एक स्पर्शरेखा वेक्टर-प्रत्येक बिंदु पर एक वेक्टर होता है;जबकि एक बिंदु पर व्युत्पन्न का मान एक कोटिस्पर्शज्या वेक्टर-वैक्टर पर एक रेखीय प्रकार्य है।^{[lower-alpha 3]} वे इस बात से संबंधित हैं कि एक बिंदु $p$ पर $f$ की प्रवणता के बिंदु उत्पाद का बिंदु, बिंदु V पर कार्य के $p$ पर $f$ के दिशात्मक व्युत्पन्न के बराबर होता है;अर्थात्,

${\textstyle \nabla f(p)\cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}(p)=df_{p}(\mathbf {v} )}$ प्रवणता विभिन्न सामान्यकरणों को विभिन्न स्तरों पर अधिक सामान्य कार्यों में मानती है; § सामान्यकरण देखें

अभिप्रेरण

एक ऐसे कमरे पर विचार करें जहाँ तापमान एक स्केलर , $T$ द्वारा दिया जाता है, इसलिए प्रत्येक बिंदु पर $(x, y, z)$ तापमान $T (x, y, z)$ है, जो समय से स्वतंत्र होता है। कमरे के प्रत्येक बिंदु पर " $T$ " का प्रवणता उस दिशा को दिखाएगा जिसमें तापमान तेजी से बढ़ता है, जो $(x, y, z)$ से दूर होता है। प्रवणता का परिमाण इस दिशा में तापमान के बढ़ने की गति को निर्धारित करेगा।

एक सतह जिसकी समुद्री सतह की ऊंचाई $(x, y)$ पर $H (x, y)$ है उस पर विचार करें: एक बिंदु पर $H$ का प्रवणता एक समतल वेक्टर है जो इस बिंदु पर सबसे तेज प्रवणता या श्रेणी की ओर इंगित करता है। उस बिंदु पर प्रवणता की ढलान प्रवणता वेक्टर के परिमाण द्वारा दी गई है।

प्रवणता का प्रयोग किसी डॉट उत्पाद को लेकर अदिश क्षेत्र की अन्य दिशाओं में परिवर्तन करने की बजाय उसका परिमाण मापने के लिए भी किया जा सकता है। मान लीजिए कि पहाड़ी पर सबसे तेज ढलान 40% है सीधी चढ़ाई वाली सड़क में 40% ढलान होता है, लेकिन पहाड़ी के चारों ओर एक कोण पर जाने वाली सड़क पर ढलान कम होगा। उदाहरण के लिए, यदि सड़क की ऊपरी दिशा से 60 डिग्री कोण पर है(जब दोनों दिशाओं को क्षैतिज तल पर प्रदर्शित किया जाता है) तो सड़क के किनारे की ढलान प्रवणता वेक्टर और यूनिट वेक्टर के बीच बिन्दु उत्पाद होगा जो कि सड़क पर 40 गुना 60 या 20% है।

सामान्यतया यदि पहाड़ी उच्चता फलन $H$ विभेदकारी है तब बिंदु बिंदुकित का प्रवणता वेक्टर की दिशा में पहाडी का प्रवणता, इकाई वेक्टर के साथ $H$ का दिशात्मक व्युत्पन्न प्रदान करता है।

संकेतन

बिंदु $a$ पर फलन $f$ की प्रवणता सामान्यता पर इस प्रकार लिखी जाती है $\nabla f(a)$ । इसे निम्नलिखित में से किसी भी प्रकार के द्वारा दर्शाया जा सकता है:

${\vec {\nabla }}f(a)$ : परिणाम की वेक्टर प्रकृति पर जोर देने के लिए।
$grad f$
$\partial _{i}f$ तथा $f_{i}$ : आइंस्टीन संकेतन।

परिभाषा

फलन का प्रवणता

f (x, y) = -(cos 2 x + cos 2 y) 2

निचले तल पर एक प्रक्षेपित वेक्टर क्षेत्र के रूप में दर्शाया गया है।

एक अदिश फलन $f (x 1, x 2, x 3, \dots, x n)$ की प्रवणता (या प्रवणता वेक्टर क्षेत्र) को $\nabla f$ या → $f$ से निरूपित किया जाता है, जहां $\nabla$ (नाबला) वेक्टर अंतर संकारक, डेल को दर्शाता है। प्रवणता का प्रतिनिधित्व करने के लिए अंकन ग्रैड $grad f$ का भी सामान्यता पर उपयोग किया जाता है। $f$ के प्रवणता को अद्वितीय वेक्टर क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका डॉट उत्पाद प्रत्येक बिंदु x पर किसी भी वेक्टर v के साथ $f$ का दिशात्मक व्युत्पन्न है। अर्थात,

{\big (}\nabla f(x){\big )}\cdot \mathbf {v} =D_{\mathbf {v} }f(x)

जहाँ पर दायां तरफ हाथ निदेशात्मक व्युत्पन्न होता है और उसे दर्शाने के कई तरीके हैं।औपचारिक रूप से, व्युत्पन्न प्रवणता के लिए दोहरी है; व्युत्पन्न के साथ संबंध देखें

जब प्रकार्य समय जैसे प्राचल पर भी निर्भर होता है तो प्रवणता से तात्पर्य केवल इसके स्थानिक व्युत्ग्राहकों के वेक्टर से होता है (विशेष प्रवणता देखें).

प्रवणता वेक्टर का परिमाण तथा दिशा विशेष निर्देशांक निरूपण से स्वतंत्र है।^[3]^[4]

कार्तीय निर्देशांक

त्रिआयामी कर्णनलिका निर्देशांक प्रणाली में, युक्लिडियन मेट्रिक के साथ, प्रवणता, यदि वह मौजूद है, दिया जाता है, तो निम्नलिखित है:

\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} ,

जहां $i$ , $j$ , $k$ मानक इकाई वैक्टर हैं क्रमशः $x$ , $y$ और $z$ निर्देशांक के निर्देशों में उदाहरण के लिए, फलन की प्रवणता।

f(x,y,z)=2x+3y^{2}-\sin(z)

है

\nabla f=2\mathbf {i} +6y\mathbf {j} -\cos(z)\mathbf {k} .

कुछ अनुप्रयोगों में प्रवणता को आयताकार समन्वय प्रणाली में इसके घटकों के पंजर वेक्टर या स्तंभ वेक्टर के रूप में प्रदर्शित करने के लिए प्रथागत किया जाता है;यह लेख अनुक्रमणिका स्तंभ वेक्टर की परिपाटी के अनुसार है जबकि व्युत्पन्न एक पंक्ति वेक्टर है।

बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक

बेलनाकार निर्देशांक में यूक्लिडियन मेट्रिक के साथ निर्देशांक, प्रवणता द्वारा दिया जाता है:^[5]

\nabla f(\rho ,\varphi ,z)={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z},

जहाँ पे $ρ$ अक्षीय दूरी है, $φ$ अज़ीमुथल या अज़ीमुथ कोण है, $z$ अक्षीय निर्देशांक है, और $e ρ$ , $e φ$ और $e z$ निर्देशांक दिशाओं की ओर इशारा करते हुए इकाई वेक्टर हैं।

गोलाकार निर्देशांक में, प्रवणता द्वारा दिया जाता है:^[5]

\nabla f(r,\theta ,\varphi )={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi },

जहाँ $r$ रेडियल दूरी है, $φ$ अज़ीमुथल कोण है और $θ$ ध्रुवीय कोण है, और $e r$ , $e θ$ तथा $e φ$ फिर से स्थानीय इकाई वेक्टर हैं जो निर्देशांक दिशाओं (अर्थात सामान्यीकृत सहसंयोजक आधार) की ओर इशारा करते हैं।

अन्य ऑर्थोगोनल कोऑर्डिनेट सिस्टम में प्रवणता के लिए, ऑर्थोगोनल कोऑर्डिनेट्स (तीन आयामों में विभेदीय संकारक) देखें।

सामान्य निर्देशांक

हम सामान्य निर्देशांक, जो हम $x 1, \dots, x i, \dots, x n$ जहां एन डोमेन के आयाम की संख्या है पर विचार करें यहाँ, ऊपर सूचकांक निर्देशांक या घटक की सूची में स्थिति को दर्शाता है, इसलिए $x 2$ का संदर्भ है मात्रा $x$ वर्ग नहीं.सूचकांक चर $i$ एक मनमानी तत्व $x i$ संदर्भित करता है।आइंस्टीन संकेतन का उपयोग करके, प्रवणता तब के रूप में लिखा जा सकता है:

\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}g^{ij}\mathbf {e} _{j}

(ध्यान दें कि इसका दोहरा स्थान है

{\textstyle \mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\mathbf {e} ^{i}}

),

कहाँ पे $\mathbf {e} _{i}=\partial \mathbf {x} /\partial x^{i}$ तथा $\mathbf {e} ^{i}=\mathrm {d} x^{i}$ असामान्य स्थानीय वक्रीय निर्देशांक देखें सहसंयोजक और विरोधाभासी आधार क्रमशः, $g^{ij}$ मीट्रिक प्रदिश # उलटा मीट्रिक है, और आइंस्टीन सारांश सम्मेलन i और j पर योग का तात्पर्य है।

यदि निर्देशांक ओर्थोगोनल हैं तो हम सामान्यीकृत आधारों के संदर्भ में प्रवणता (और विभेदक रूप) को आसानी से व्यक्त कर सकते हैं, जिसे हम इस रूप में संदर्भित करते हैं ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}$ तथा ${\hat {\mathbf {e} }}^{i}$ , पैमाने के कारकों का उपयोग करना (जिन्हें लैमे गुणांक के रूप में भी जाना जाता है) $h_{i}=\lVert \mathbf {e} _{i}\rVert ={\sqrt {g_{ii}}}=1\,/\lVert \mathbf {e} ^{i}\rVert$ :

\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}g^{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}{\sqrt {g_{jj}}}=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {1}{h_{i}}}\mathbf {\hat {e}} _{i}

(तथा

{\textstyle \mathrm {d} f=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {1}{h_{i}}}\mathbf {\hat {e}} ^{i}}

),

जहां हम आइंस्टाइन नोटेशन का प्रयोग नहीं कर सकते, क्योंकि दो से अधिक संकेतकों की पुनरावृत्ति से बचना असंभव है।} ऊपरी और निचले सूचकांक के उपयोग के बावजूद , $\mathbf {\hat {e}} _{i}$ , $\mathbf {\hat {e}} ^{i}$ , तथा $h_{i}$ न तो विरोधी हैं और न ही संस्कृतिक

बाद की अभिव्यक्ति बेलनाकार और गोलीय निर्देशांक के लिए ऊपर दी गई अभिव्यक्ति का मूल्यांकन करती है।

व्युत्पन्न के साथ संबंध

कुल व्युत्पन्न के साथ संबंध

प्रवणता कुल व्युत्पन्न (कुल अंतर) से निकटता से संबंधित है $df$ : वे एक दूसरे को स्थानांतरित (रैखिक मानचित्र का स्थानांतरण) कर रहे हैं। उस सम्मेलन का उपयोग करना जो वेक्टर में $\mathbb {R} ^{n}$ कॉलम वेक्टर द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है, और वह कोवेक्टर (रैखिक मानचित्र) $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ पंक्ति वेक्टर द्वारा दर्शाए जाते हैं,^{[lower-alpha 1]} प्रवणता $\nabla f$ और व्युत्पन्न $df$ एक ही घटक के साथ क्रमशः एक स्तंभ और पंक्ति वेक्टर के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, लेकिन एक दूसरे का स्थानान्तरण करते हैं:

\nabla f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}};

df_{p}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}.

जबकि इन दोनों में समान घटक होते हैं, वे किस प्रकार की गणितीय वस्तु का प्रतिनिधित्व करते हैं, वे भिन्न होते हैं: प्रत्येक बिंदु पर, व्युत्पन्न एक कोटिस्पर्शज्या वेक्टर होता है, एक रैखिक रूप(कोवेक्टर) जो व्यक्त करता है कि किसी दिए गए इनफिनिटिमल के लिए कितना(स्केलर) आउटपुट बदलता है(वेक्टर) इनपुट में परिवर्तन, जबकि प्रत्येक बिंदु पर, प्रवणता एक स्पर्शरेखा वेक्टर है, जो(वेक्टर) इनपुट में एक असीम परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। प्रतीकों में, प्रवणता एक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान का एक तत्व है, $\nabla f(p)\in T_{p}\mathbb {R} ^{n}$ , जबकि व्युत्पन्न स्पर्शरेखा स्थान से वास्तविक संख्याओं तक का नक्शा है, $df_{p}\colon T_{p}\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ . के प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान $\mathbb {R} ^{n}$ स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है। ^{[lower-alpha 4]} वेक्टर स्पेस के साथ $\mathbb {R} ^{n}$ स्वयं, और इसी तरह प्रत्येक बिंदु पर कोटिस्पर्शज्या स्पेस को दोहरी वेक्टर स्पेस के साथ स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है $(\mathbb {R} ^{n})^{*}$ कोवेक्टरों का; इस प्रकार एक बिंदु पर प्रवणता के मूल्य को मूल में एक वेक्टर के बारे में सोचा जा सकता है $\mathbb {R} ^{n}$ , न केवल एक स्पर्शरेखा वेक्टर के रूप में।

कंप्यूटेशनल, एक स्पर्शज्या वेक्टर को देखते हुए, वेक्टर को व्युत्पन्न (आव्यूहों के रूप में) से गुणा किया जा सकता है, जो कि प्रवणता के साथ डॉट-उत्पाद लेने के बराबर है:

(df_{p})(v)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)v_{i}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\nabla f(p)\cdot v

विभेदक या (बाहरी) व्युत्पन्न

एक अलग-अलग फलन के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन

f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}

एक बिंदु पर $x$ में $R n$ से एक रैखिक नक्शा है $R n$ प्रति $R$ जिसे अक्सर द्वारा दर्शाया जाता है $df x$ या $Df (x)$ और अंतर(कैलकुलस) या का कुल व्युत्पन्न कहा जाता है $f$ पर $x$ कार्यक्रम $df$ , कौन सा नक्शा $x$ प्रति $df x$ को का कुल अंतर या बाहरी व्युत्पन्न कहा जाता है $f$ और अंतर 1-रूप का एक उदाहरण है।

जितना एक एकल चर के किसी फलन का व्युत्पन्न फलन के किसी फलन के ग्राफ के स्पर्शरेखा के ढलान का प्रतिनिधित्व करता है,^[6] कई चर राशि में एक फलन का दिशात्मक व्युत्पन्न वेक्टर की दिशा में स्पर्शरेखा हाइपरप्लेन की ढलान का प्रतिनिधित्व करता है।

प्रवणता सूत्र द्वारा अंतर से संबंधित है

(\nabla f)_{x}\cdot v=df_{x}(v)

किसी के लिए $v \in R n$ , कहाँ पे $\cdot$ डॉट उत्पाद है: प्रवणता के साथ वेक्टर का डॉट उत्पाद लेना वेक्टर के साथ दिशात्मक व्युत्पन्न लेने जैसा ही है।

यदि $R n$ (आयाम) के स्थान के रूप में देखा जाता है $n$ ) कॉलम वेक्टर (वास्तविक संख्याओं का), तो कोई मान सकता है $df$ घटक के साथ पंक्ति वेक्टर के रूप में

\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right),

ताकि $df x (v)$ मैट्रिक्स गुणन द्वारा दिया जाता है। मानक यूक्लिडियन मीट्रिक को मानते हुए $R n$ , प्रवणता तब संबंधित कॉलम वेक्टर होता है, अर्थात,

(\nabla f)_{i}=df_{i}^{\mathsf {T}}.

एक फलन के लिए रैखिक सन्निकटन

किसी फलन के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन व्युत्पन्न के बजाय प्रवणता के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। फलन का प्रवणता (गणित) $f$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष से $R n$ प्रति $R$ किसी विशेष बिंदु पर $x 0$ में $R n$ सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन की विशेषता है $f$ पर $x 0$ सन्निकटन इस प्रकार है:

f(x)\approx f(x_{0})+(\nabla f)_{x_{0}}\cdot (x-x_{0})

के लिये $x$ के करीब $x 0$ , कहाँ पे $(\nabla f) x 0$ का प्रवणता है $f$ पर गणना की गई $x 0$ , और बिंदु डॉट उत्पाद को दर्शाता है $R n$ . यह समीकरण टेलर श्रृंखला में पहले दो पदों के बराबर है#टेलर श्रृंखला के कई चर विस्तार में $f$ पर $x 0$ .

फ़्रेचेट व्युत्पन्न के साथ संबंध

होने देना $U$ में एक खुला सेट बनें $R n$ . यदि फलन $f : U \to R$ अवकलनीय है, तो का अंतर $f$ फ्रेचेट का व्युत्पन्न है $f$ . इस प्रकार $\nabla f$ से एक फलन है $U$ अंतरिक्ष के लिए $R n$ ऐसा है कि

\lim _{h\to 0}{\frac {|f(x+h)-f(x)-\nabla f(x)\cdot h|}{\|h\|}}=0,

जहां डॉट उत्पाद है। एक परिणाम के रूप में, व्युत्पन्न के सामान्य गुण प्रवणता के लिए धारण करते हैं, हालांकि प्रवणता स्वयं व्युत्पन्न नहीं है, बल्कि व्युत्पन्न के लिए दोहरी है:

रैखिकता: प्रवणता इस अर्थ में रैखिक है कि यदि $f$ तथा $g$ बिंदु पर अलग-अलग दो वास्तविक-मूल्यवान कार्य हैं $a \in R n$ , तथा $α$ तथा $β$ दो अचर हैं, तो $αf + βg$ पर भिन्न है $a$ , और इसके अलावा $\nabla \left(\alpha f+\beta g\right)(a)=\alpha \nabla f(a)+\beta \nabla g(a).$
प्रॉडक्ट नियम: यदि $f$ तथा $g$ वास्तविक-मूल्यवान फलन एक बिंदु पर भिन्न होते हैं $a \in R n$ , तो उत्पाद नियम यह दावा करता है कि उत्पाद $fg$ पर भिन्न है $a$ , तथा $\nabla (fg)(a)=f(a)\nabla g(a)+g(a)\nabla f(a).$
श्रृंखला नियम: मान लो कि $f : A \to R$ एक सबसेट पर परिभाषित एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है $A$ का $R n$ , और कि $f$ एक बिंदु पर अवकलनीय है $a$ . प्रवणता पर लागू होने वाले चेन नियम के दो रूप हैं। सबसे पहले, मान लें कि फलन $g$ एक पैरामीट्रिक वक्र है; वह है, एक फलन $g : I \to R n$ एक सबसेट को मैप करता है $I \subset R$ में $R n$ . यदि $g$ एक बिंदु पर अवकलनीय है $c \in I$ ऐसा है कि $g (c) = a$ , फिर $(f\circ g)'(c)=\nabla f(a)\cdot g'(c),$ जहां संरचना प्रचालक है: $(f \circ g)(x) = f (g (x))$ .

अधिक सामान्यता, यदि इसके बजाय $I \subset R k$ , तो निम्नलिखित धारण करता है:

\nabla (f\circ g)(c)={\big (}Dg(c){\big )}^{\mathsf {T}}{\big (}\nabla f(a){\big )},

कहाँ पे

(Dg)

^T ट्रांसपोज़ जैकोबियन मैट्रिक्स को दर्शाता है।

श्रृंखला नियम के दूसरे रूप के लिए, मान लीजिए कि $h : I \to R$ एक सबसेट पर एक वास्तविक मूल्यवान कार्य है $I$ का $R$ , और कि $h$ बिंदु पर भिन्न है $f (a) \in I$ . फिर

\nabla (h\circ f)(a)=h'{\big (}f(a){\big )}\nabla f(a).

अग्रिम गुण और अनुप्रयोग

स्तर सेट

एक स्तर की सतह, या समसतह, सभी बिंदुओं का सेट है जहां कुछ फलन के पास दिए गए मान हैं।

यदि $f$ अवकलनीय है, तो डॉट उत्पाद $(\nabla f) x \cdot v$ एक बिंदु पर प्रवणता का $x$ एक वेक्टर के साथ $v$ का दिशात्मक व्युत्पन्न देता है $f$ पर $x$ दिशा में $v$ यह इस प्रकार है कि इस मामले में का प्रवणता $f$ के स्तर सेट के लिए ओर्थोगोनल है $f$ उदाहरण के लिए, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक स्तर की सतह को फॉर्म के समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है $F (x, y, z) = c$ का प्रवणता $F$ फिर सतह के लिए सामान्य है।

अधिक समानता, रिमेंनियन मैनिफोल्ड में किसी भी अंतर्निहित सबमनिफोल्ड उच्च सतह को फॉर्म के समीकरण द्वारा काटा जा सकता है $F (P) = 0$ ऐसा है कि $dF$ शून्य कहीं नहीं है। का प्रवणता $F$ फिर उच्च सतह के लिए सामान्य है।

इसी तरह, एक एफ़िन बीजीय किस्म को एक समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है $F (x 1, ..., x n) = 0$ , कहाँ पे $F$ एक बहुपद है। का प्रवणता $F$ उच्च सतह के एकवचन बिंदु पर शून्य है (यह एकवचन बिंदु की परिभाषा है)। एक गैर-एकवचन बिंदु पर, यह एक गैर-शून्य सामान्य वेक्टर है।

संरक्षी वेक्टर क्षेत्र और प्रवणता प्रमेय

फलन के प्रवणता को प्रवणता क्षेत्र कहा जाता हैएक (सतत) प्रवणता क्षेत्र हमेशा अनुदैर्घ्य वेक्टर क्षेत्र होता है: किसी भी पथ के साथ इसकी रेखा समाकल पथ के अंतबिंदु पर निर्भर करता है तथा इसका मूल्यांकन प्रवणता प्रमेय (समाकल लाइन के लिए कलन का मूल प्रमेय) द्वारा किया जा सकता है।इसके विपरीत, एक (सतत) रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र हमेशा एक फलन की प्रवणता है।

सामान्यीकरण

जैकोबियन

जैकोबियन आव्यूह अनेक चरों के वेक्टर-मूल्यांकित कार्यों के लिए प्रवणता का सामान्यीकरण है और यूक्लिडियन स्थानों या, सामान्यतया, कई चरों के विभेदक मानचित्र के लिए^[7]^[8] बनाच स्थान के बीच एक फलन के लिए एक और सामान्यीकरण फ्रेचेट व्युत्पन्न है।

मान लीजिए $f : R n \to R m$ एक ऐसा फलन है जिसका प्रत्येक प्रथम कोटि का आंशिक अवकलज मौजूद है $ℝ n$ . तब का जैकोबियन मैट्रिक्स $f$ एक के रूप में परिभाषित किया गया है $m \times n$ मैट्रिक्स, द्वारा दर्शाया गया $\mathbf {J} _{\mathbb {f} }(\mathbb {x} )$ या केवल $\mathbf {J}$ . $(i, j)$ वीं प्रविष्टि है $\mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}$ . स्पष्ट रूप से

\mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathsf {T}}f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathsf {T}}f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}.

एक वेक्टर क्षेत्र की प्रवणता

चूंकि वेक्टर क्षेत्र का कुल व्युत्पन्न, वैक्टर से वेक्टर तक का एक रेखीय प्रतिचित्रण है, यह प्रदिश राशि है।

आयताकार निर्देशांक में, एक वेक्टर क्षेत्र का प्रवणता f = ( f¹, f², f³) द्वारा परिभाषित किया जाता है:

\nabla \mathbf {f} =g^{jk}{\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{k},

(जहां आइंस्टाइन सममितन संकेतन का प्रयोग किया जाता है तथा वेक्टर $e i$ तथा $e k$ प्रदिश उत्पाद प्रकार (2,0) का एक दियाडिक प्रदिश होता है.कुल मिलाकर, यह अभिव्यक्ति जैकोबियन मैट्रिक्स के स्थानांतरण के बराबर होती है:

{\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}={\frac {\partial (f^{1},f^{2},f^{3})}{\partial (x^{1},x^{2},x^{3})}}.

वक्रीय निर्देशांक में, या अधिक समानता एक घुमावदार मैनिफ़ोल्ड पर, प्रवणता में क्रिस्टोफिल प्रतीकों शामिल हैं:

\nabla \mathbf {f} =g^{jk}\left({\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}+{\Gamma ^{i}}_{jl}f^{l}\right)\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{k},

व्युत्क्रम मीट्रिक प्रदिश के घटक हैं और $e i$ निर्देशांक आधार वेक्टर हैं।

अधिक अपरिवर्तनीय रूप से व्यक्त किया गया, एक वेक्टर क्षेत्र का प्रवणता $f$ लेवि-सिविटा संबंध और मीट्रिक प्रदिश द्वारा परिभाषित किया जा सकता है । ^[9]

\nabla ^{a}f^{b}=g^{ac}\nabla _{c}f^{b},

कहाँ पे $\nabla c$ संबंध है।

रीमैनियन मैनिफोल्ड्स

किसी भी सुचारू कार्य के लिए $f$ रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर $(M, g)$ , का प्रवणता $f$ वेक्टर क्षेत्र है $\nabla f$ ऐसा है कि किसी भी वेक्टर क्षेत्र के लिए $X$ ,

g(\nabla f,X)=\partial _{X}f,

वह है,

g_{x}{\big (}(\nabla f)_{x},X_{x}{\big )}=(\partial _{X}f)(x),

$g x ( , )$ स्पर्शरेखा वेक्टर के आंतरिक उत्पाद को दर्शाता है $x$ मीट्रिक द्वारा परिभाषित $g$ तथा $\partial X f$ वह कार्य है जो किसी भी बिंदु को लेता है $x \in M$ के दिशात्मक व्युत्पन्न के लिए $f$ दिशा में $X$ , पर मूल्यांकन किया गया $x$ दूसरे शब्दों में, एक समन्वय चार्ट में $φ$ के एक खुले उपसमुच्चय से $M$ के एक खुले उपसमुच्चय के लिए $R n$ , $(\partial X f)(x)$ द्वारा दिया गया है:

\sum _{j=1}^{n}X^{j}{\big (}\varphi (x){\big )}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(f\circ \varphi ^{-1}){\Bigg |}_{\varphi (x)},

दर्शाता है $j$ का वां घटक $X$ इस समन्वय चार्ट में।

तो, प्रवणता का स्थानीय रूप रूप लेता है:

\nabla f=g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}{\textbf {e}}_{i}.

मामले का सामान्यीकरण $M = R n$ , किसी फलन का प्रवणता उसके बाहरी व्युत्पन्न से संबंधित होता है, क्योंकि

(\partial _{X}f)(x)=(df)_{x}(X_{x}).

अधिक सटीक, प्रवणता $\nabla f$ अंतर 1-रूप से जुड़ा वेक्टर क्षेत्र है $df$ संगीत समरूपता का उपयोग करना

\sharp =\sharp ^{g}\colon T^{*}M\to TM

(शार्प कहा जाता है) मीट्रिक द्वारा परिभाषित $g$ . बाहरी व्युत्पन्न और किसी फलन के प्रवणता के बीच संबंध $R n$ इसका एक विशेष मामला है जिसमें मीट्रिक डॉट उत्पाद द्वारा दिया गया फ्लैट मीट्रिक है।

यह भी देखें

कर्ल (गणित)
विचलन
चार प्रवणता
हेसियन मैट्रिक्स
तिरछा प्रवणता

↑ ^1.0 ^1.1 This article uses the convention that column vectors represent vectors, and row vectors represent covectors, but the opposite convention is also common.
↑ Strictly speaking, the gradient is a vector field $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to T\mathbb {R} ^{n}$ , and the value of the gradient at a point is a tangent vector in the tangent space at that point, $T_{p}\mathbb {R} ^{n}$ , not a vector in the original space $\mathbb {R} ^{n}$ . However, all the tangent spaces can be naturally identified with the original space $\mathbb {R} ^{n}$ , so these do not need to be distinguished; see § Definition and relationship with the derivative.
↑ The value of the gradient at a point can be thought of as a vector in the original space $\mathbb {R} ^{n}$ , while the value of the derivative at a point can be thought of as a covector on the original space: a linear map $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ .
↑ Informally, "naturally" identified means that this can be done without making any arbitrary choices. This can be formalized with a natural transformation.

संदर्भ

↑
*Bachman (2007, p. 76)
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Downing, Douglas, Ph.D. (2010), Barron's E-Z Calculus, New York: Barron's, ISBN 978-0-7641-4461-5{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Dubrovin, B. A.; Fomenko, A. T.; Novikov, S. P. (1991). Modern Geometry—Methods and Applications: Part I: The Geometry of Surfaces, Transformation Groups, and Fields. Graduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Springer. ISBN 978-0-387-97663-1.
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अग्रिम पठन

Korn, Theresa M.; Korn, Granino Arthur (2000). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. Dover Publications. pp. 157–160. ISBN 0-486-41147-8. OCLC 43864234.

बाहरी संबंध

"Gradient". Khan Academy.
Kuptsov, L.P. (2001) [1994], "Gradient", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
Weisstein, Eric W. "Gradient". MathWorld.

[row-column-1] 1.0 ^1.1 This article uses the convention that column vectors represent vectors, and row vectors represent covectors, but the opposite convention is also common.

[3] Strictly speaking, the gradient is a vector field $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to T\mathbb {R} ^{n}$ , and the value of the gradient at a point is a tangent vector in the tangent space at that point, $T_{p}\mathbb {R} ^{n}$ , not a vector in the original space $\mathbb {R} ^{n}$ . However, all the tangent spaces can be naturally identified with the original space $\mathbb {R} ^{n}$ , so these do not need to be distinguished; see § Definition and relationship with the derivative.

[5] The value of the gradient at a point can be thought of as a vector in the original space $\mathbb {R} ^{n}$ , while the value of the derivative at a point can be thought of as a covector on the original space: a linear map $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ .

[9] Informally, "naturally" identified means that this can be done without making any arbitrary choices. This can be formalized with a natural transformation.

[2] *Bachman (2007, p. 76)
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[6] Beauregard & Fraleigh (1973, p. 84)

[7] Downing (2010, p. 316)

[8] Harper (1976, p. 15)

[9] Kreyszig (1972, p. 307)

[10] McGraw-Hill (2007, p. 196)

[11] Moise (1967, p. 683)

[12] Protter & Morrey, Jr. (1970, p. 714)

[13] Swokowski et al. (1994, p. 1038)

[4] *Bachman (2007, p. 77)
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Kreyszig (1972, p. 309)

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[15] Downing (2010, pp. 316–317)

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[18] Moise (1967, p. 684)

[19] Protter & Morrey, Jr. (1970, p. 715)

[20] Swokowski et al. (1994, pp. 1036, 1038–1039)

[6] Kreyszig (1972, pp. 308–309)

[7] Stoker (1969, p. 292)

[Schey-1992-8] 5.0 ^5.1 Schey 1992, pp. 139–142.

[10] Protter & Morrey, Jr. (1970, pp. 21, 88)

[11] Beauregard & Fraleigh (1973, pp. 87, 248)

[12] Kreyszig (1972, pp. 333, 353, 496)

[13] Dubrovin, Fomenko & Novikov 1991, pp. 348–349.

[lower-alpha 1]

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[lower-alpha 3]

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[lower-alpha 4]

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v t e पथरी
Prealculus	द्विपद प्रमेय अवतल कार्य निरंतर कार्य फैक्टरियल परिमित अंतर मुक्त चर और बाध्य चर एक फ़ंक्शन का ग्राफ रैखिक प्रकार्य रेडियन रोले का प्रमेय सेकंट ढलान स्पर्शरेखा
सीमा	अनिश्चित रूप एक फ़ंक्शन की सीमा एकतरफा सीमा एक अनुक्रम की सीमा सन्निकटन का आदेश ((, Δ)-सीमा की सीमा
अंतर कलन	व्युत्पन्न दूसरा व्युत्पन्न आंशिक व्युत्पन्न अंतर विभेदक ऑपरेटर मतलब मान प्रमेय संकेतन Leibniz का अंकन न्यूटन की संकेतन भेदभाव के नियम रैखिकता शक्ति योग चेन l'hôpital's उत्पाद जनरल लीबनिज़ का नियम भागफल अन्य तकनीकें निहित भेदभाव उलटा कार्य और भेदभाव लॉगरिदमिक व्युत्पन्न संबंधित दरें स्थिर बिंदु पहला व्युत्पन्न परीक्षण दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण चरम मूल्य प्रमेय मैक्सिमा और मिनिमा आगे के आवेदन न्यूटन की विधि टेलर का प्रमेय अंतर समीकरण साधारण अंतर समीकरण आंशिक विभेदक समीकरण स्टोचस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन
समाकलन गणित	Antiderivative Arc length Riemann integral Basic properties Constant of integration Fundamental theorem of calculus Differentiating under the integral sign Integration by parts Integration by substitution trigonometric Euler Tangent half-angle substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Washer method Shell method Integral equation Integro-differential equation
वेक्टर कैलकुलस	डेरिवेटिव कर्ल दिशात्मक व्युत्पन्न विचलन ढाल लाप्लासियन बुनियादी प्रमेय लाइन इंटीग्रल ग्रीन स्टोक्स' गॉस '
बहुक्रियाशील पथरी	विचलन प्रमेय ज्यामितीय हेसियन मैट्रिक्स जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक Lagrange गुणक लाइन इंटीग्रल मैट्रिक्स एकाधिक अभिन्न आंशिक व्युत्पन्न सतह अभिन्न वॉल्यूम इंटीग्रल उन्नत विषय विभेदक रूप बाहरी व्युत्पन्न सामान्यीकृत स्टोक्स 'प्रमेय टेंसर कैलकुलस
अनुक्रम और श्रृंखला	अंकगणित-ज्यामितीय अनुक्रम श्रृंखला के प्रकार वैकल्पिक द्विपद फूरियर ज्यामितीय हार्मोनिक अनंत पावर Maclaurin टेलर दूरबीन अभिसरण के परीक्षण हाबिल अल्टरनेटिंग सीरीज़ Cauchy संघनन प्रत्यक्ष तुलना Dirichlet's अभिन्न सीमा तुलना अनुपात रूट शब्द
विशेष कार्य और संख्या	बर्नौली नंबर ई (गणितीय स्थिरांक) घातांक प्रकार्य प्राकृतिक स्टर्लिंग का अनुमान
कैलकुलस का इतिहास	पर्याप्तता ब्रुक टेलर कॉलिन मैक्लोरिन बीजगणित की सामान्यता गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ Infinitesimal Infinitesimal galulus आइजैक न्यूटन फ्लक्सियन निरंतरता का नियम लियोनहार्ड यूलर प्रवाह की विधि यांत्रिक प्रमेय की विधि
सूचियों	भेदभाव नियम घातीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कहीन कार्यों के अभिन्न अंग की सूची लघुगणक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कसंगत कार्यों के अभिन्न अंग की सूची त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची सेकंट सेकेंट क्यूबेड सीमाओं की सूची अभिन्न की सूची
विविध विषय	जटिल पथरी समोच्च अभिन्न अंतर ज्यामिति कई गुना वक्रता घटता सतहों का टेंसर यूलर -मेक्लॉरिन फॉर्मूला गेब्रियल का सींग एकीकरण मधुमक्खी प्रमाण है कि 22/7 से अधिक Regiomontanus 'कोण अधिकतमकरण समस्या स्टाइनमेट्ज़ सॉलिड

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Contents

अभिप्रेरण

संकेतन

परिभाषा

कार्तीय निर्देशांक

बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक

सामान्य निर्देशांक

व्युत्पन्न के साथ संबंध

कुल व्युत्पन्न के साथ संबंध

विभेदक या (बाहरी) व्युत्पन्न

एक फलन के लिए रैखिक सन्निकटन

फ़्रेचेट व्युत्पन्न के साथ संबंध

अग्रिम गुण और अनुप्रयोग

स्तर सेट

संरक्षी वेक्टर क्षेत्र और प्रवणता प्रमेय

सामान्यीकरण

जैकोबियन

एक वेक्टर क्षेत्र की प्रवणता

रीमैनियन मैनिफोल्ड्स

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

संदर्भ

अग्रिम पठन

बाहरी संबंध

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@@ Line 1: / Line 1: @@
-{{about|a generalized derivative of a multivariate function|another use in mathematics|Slope|a similarly spelled unit of angle|Gradian|other uses}}
+{{about|एक बहुभिन्नरूपी फ़ंक्शन का सामान्यीकृत व्युत्पन्न|गणित में एक और प्रयोग|ढलान|कोण की एक समान वर्तनी वाली इकाई|ग्रेडियन|अन्य उपयोग}}
 {{refimprove|date=January 2018}}
 {{Short description|Multivariate derivative (mathematics)}}
-[[File:Gradient2.svg|thumb|300px|नीले तीरों द्वारा दर्शाया गया ग्रेडिएंट, स्केलर फ़ंक्शन के सबसे बड़े परिवर्तन की दिशा को दर्शाता है। फ़ंक्शन के मान ग्रेस्केल में दर्शाए जाते हैं और मान में सफेद (निम्न) से अंधेरे (उच्च) में वृद्धि होती है।]]
+[[File:Gradient2.svg|thumb|300px|नीले तीरों द्वारा दर्शाया गया प्रवणता, स्केलर फलन के सबसे बड़े परिवर्तन की दिशा को दर्शाता है। फलन के मान ग्रेस्केल में दर्शाए जाते हैं और मान में सफेद (निम्न) से अंधेरे (उच्च) में वृद्धि होती है।]]
-सदिश कलन में, कई वैरिएबल(variable) के एक अदिश-मूल्यवान अलग-अलग फलन  {{math|''f''}}  का ढाल सदिश फ़ील्ड (या सदिश-मूल्यवान फलन) है  <math>\nabla f</math> जिसका मूल्य एक बिंदु पर है  <math>p</math>  वेक्टर है{{efn|name=row-column|This article uses the convention that [[column vector]]s represent vectors, and [[row vector]]s represent covectors, but the opposite convention is also common.}} जिनके घटक के आंशिक व्युत्पन्न हैं <math>f</math> पर <math>p</math>.<ref>*{{harvtxt|Bachman|2007|p=76}}
+वेक्टर कैल्कुलस में, कई चर के स्केलर-मूल्यांकित विभेदक फलन  {{math|''f''}}  का प्रवणता वेक्टर क्षेत्र (या वेक्टर-मूल्यांकित प्रकार्य) है। <math>\nabla f</math> जिसका मूल्य बिंदु पर <math>p</math> है  वेक्टर{{efn|name=row-column|This article uses the convention that [[column vector]]s represent vectors, and [[row vector]]s represent covectors, but the opposite convention is also common.}} जिसका घटक <math>f</math> के आंशिक यौगिक हैं  <math>p</math><ref>*{{harvtxt|Bachman|2007|p=76}}
 *{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=84}}
 *{{harvtxt|Downing|2010|p=316}}
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 *{{harvtxt|Moise|1967|p=683}}
 *{{harvtxt|Protter|Morrey, Jr.|1970|p=714}}
-*{{harvtxt|Swokowski et al.|1994|p=1038}}</ref> वह इसके लिए  <math>f \colon \R^n \to \R</math>, इसकी प्रवणता है <math>\nabla f \colon \R^n \to \R^n</math> बिंदु पर परिभाषित किया गया है <math>p = (x_1,\ldots,x_n)</math> n-आयामी अंतरिक्ष में सदिश के रूप में{{efn|Strictly speaking, the gradient is a [[vector field]] <math>f \colon \R^n \to T\R^n</math>, and the value of the gradient at a point is a [[tangent vector]] in the [[tangent space]] at that point, <math>T_p \R^n</math>, not a vector in the original space <math>\R^n</math>. However, all the tangent spaces can be naturally identified with the original space <math>\R^n</math>, so these do not need to be distinguished; see {{slink||Definition}} and [[#Derivative|relationship with the derivative]].}}
+*{{harvtxt|Swokowski et al.|1994|p=1038}}</ref> वह इसके लिए  <math>f \colon \R^n \to \R</math>, इसकी प्रवणता है <math>\nabla f \colon \R^n \to \R^n</math> बिंदु पर परिभाषित किया गया है  <math>p = (x_1,\ldots,x_n)</math> एन-आयामी अंतरिक्ष में वेक्टर के रूप में{{efn|Strictly speaking, the gradient is a [[vector field]] <math>f \colon \R^n \to T\R^n</math>, and the value of the gradient at a point is a [[tangent vector]] in the [[tangent space]] at that point, <math>T_p \R^n</math>, not a vector in the original space <math>\R^n</math>. However, all the tangent spaces can be naturally identified with the original space <math>\R^n</math>, so these do not need to be distinguished; see {{slink||Definition}} and [[#Derivative|relationship with the derivative]].}}
 :<math>\nabla f(p) = \begin{bmatrix}
   \frac{\partial f}{\partial x_1}(p) \\
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   \frac{\partial f}{\partial x_n}(p)
 \end{bmatrix}.</math>
-नाबला प्रतीक <math>\nabla</math>,एक उल्टा त्रिभुज के रूप में लिखा गया है और "डेल" का उच्चारण किया गया है, वेक्टर विभेदक ऑपरेटर को दर्शाता है।
+नाबला प्रतीक <math>\nabla</math> को ऊपर दिए गए त्रिभुज के रूप में लिखा गया है, "डेल" (Del) वेक्टर विभेदक प्रचालक को निर्दिष्ट करता है।
-ग्रेडिएंट वेक्टर की व्याख्या सबसे तेज वृद्धि की दिशा और दर के रूप में की जा सकती है। यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट गैर-शून्य है {{math|''p''}}, ग्रेडिएंट की दिशा वह दिशा है जिसमें फ़ंक्शन सबसे तेज़ी से बढ़ता है {{math|''p''}}, और ढाल का परिमाण (गणित) उस दिशा में वृद्धि की दर है, जो सबसे बड़ा निरपेक्ष मूल्य दिशात्मक व्युत्पन्न है।<ref>
+प्रवणता वेक्टर को "दिशा और सबसे तेजी से वृद्धि की दर" के रूप में व्याख्या की जा सकती है। यदि किसी फलन का प्रवणता किसी बिंदु  {{math|''p''}} पर शून्य है, तो प्रवणता की दिशा वह दिशा है जिसमें कि फलन {{math|''p''}} से बहुत तेजी से बढ़ता है, और प्रवणता का परिमाण उस दिशा में वृद्धि की दर है, सबसे बड़ी निरपेक्ष दिशात्मक व्युत्पन्न।<ref>*{{harvtxt|Bachman|2007|p=77}}
-*{{harvtxt|Bachman|2007|p=77}}
 *{{harvtxt|Downing|2010|pp=316–317}}
 *{{harvtxt|Kreyszig|1972|p=309}}
@@ Line 26: / Line 25: @@
 *{{harvtxt|Moise|1967|p=684}}
 *{{harvtxt|Protter|Morrey, Jr.|1970|p=715}}
-*{{harvtxt|Swokowski et al.|1994|pp=1036,1038–1039}}</ref> इसके अलावा, ढाल एक बिंदु पर शून्य वेक्टर है यदि और केवल अगर यह एक स्थिर बिंदु है (जहां व्युत्पन्न गायब हो जाता है)। ढाल इस प्रकार अनुकूलन सिद्धांत में एक मौलिक भूमिका निभाता है, जहां इसका उपयोग ढाल चढ़ाई द्वारा किसी फ़ंक्शन को अधिकतम करने के लिए किया जाता है।
+*{{harvtxt|Swokowski et al.|1994|pp=1036,1038–1039}}</ref> इसके अतिरिक्त एक बिंदु जहां कि प्रवणता शून्य वेक्टर है उसे अचल बिंदु कहते हैं। प्रवणता इस प्रकार इष्टतमीकरण सिद्धांत में एक बुनियादी भूमिका निभाता है, जहाँ यह प्रवणता आरोहण द्वारा प्रकार्य को अधिकतम करने के लिए प्रयुक्त होता है।
-ढाल कुल व्युत्पन्न के लिए दोहरी है <math>df</math>: एक बिंदु पर ढाल का मान एक स्पर्शरेखा सदिश है - प्रत्येक बिंदु पर एक सदिश; जबकि एक बिंदु पर व्युत्पन्न का मान एक कोटैंजेंट वेक्टर है - वैक्टर पर एक रैखिक कार्य।{{efn|The value of the gradient at a point can be thought of as a vector in the original space <math>\R^n</math>, while the value of the derivative at a point can be thought of as a covector on the original space: a linear map <math>\R^n \to \R</math>.}} वे संबंधित हैं कि के ढाल के डॉट उत्पाद {{math|''f''}} एक बिंदु पर {{math|''p''}} एक और स्पर्शरेखा वेक्टर के साथ {{math|'''v'''}} के दिशात्मक व्युत्पन्न के बराबर है {{math|''f''}} पर {{math|''p''}} समारोह के साथ {{math|'''v'''}}; वह है, <math display="inline">\nabla f(p) \cdot \mathbf v = \frac{\partial f}{\partial\mathbf{v}}(p) = df_{p}(\mathbf{v}) </math>.
+यह प्रवणता कुल व्युत्पन्न के दोहरे <math>df</math>: एक बिंदु पर प्रवणता का मान एक स्पर्शरेखा वेक्टर-प्रत्येक बिंदु पर एक वेक्टर होता है;जबकि एक बिंदु पर व्युत्पन्न का मान एक कोटिस्पर्शज्या वेक्टर-वैक्टर पर एक रेखीय प्रकार्य है।{{efn|The value of the gradient at a point can be thought of as a vector in the original space <math>\R^n</math>, while the value of the derivative at a point can be thought of as a covector on the original space: a linear map <math>\R^n \to \R</math>.}} वे इस बात से संबंधित हैं कि एक बिंदु  {{math|''p''}} पर  {{math|''f''}}  की प्रवणता के बिंदु उत्पाद का बिंदु, बिंदु V पर कार्य के {{math|''p''}} पर {{math|''f''}}  के दिशात्मक व्युत्पन्न के बराबर होता है;अर्थात्,
-ग्रेडिएंट कई सामान्यीकरणों को कई गुना अधिक सामान्य कार्यों के लिए स्वीकार करता है; देखना {{slink||Generalizations}}.
-==प्रेरणा==
+<math display="inline">\nabla f(p) \cdot \mathbf v = \frac{\partial f}{\partial\mathbf{v}}(p) = df_{p}(\mathbf{v}) </math> प्रवणता विभिन्न सामान्यकरणों को विभिन्न स्तरों पर अधिक सामान्य कार्यों में मानती है; {{slink||सामान्यकरण}}  देखें
-फ़ाइल: एक फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट.tif|thumb|350px|2D फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = ''xe''<sup>−(''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>)</sup>}} फ़ंक्शन के स्यूडोकलर प्लॉट पर नीले तीर के रूप में प्लॉट किया गया है।
-एक ऐसे कमरे पर विचार करें जहां तापमान एक अदिश क्षेत्र द्वारा दिया जाता है, {{math|''T''}}, इसलिए प्रत्येक बिंदु पर {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} तापमान है {{math|''T''(''x'', ''y'', ''z'')}}, समय से स्वतंत्र। कमरे के प्रत्येक बिंदु पर, का ढाल {{math|''T''}} उस बिंदु पर वह दिशा दिखाएगा जिसमें तापमान सबसे तेजी से बढ़ता है, से दूर जा रहा है {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}}. ढाल का परिमाण निर्धारित करेगा कि उस दिशा में तापमान कितनी तेजी से बढ़ता है।
+==अभिप्रेरण==
+एक ऐसे कमरे पर विचार करें जहाँ तापमान एक स्केलर , {{math|''T''}}  द्वारा दिया जाता है, इसलिए प्रत्येक बिंदु पर {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} तापमान {{math|''T''(''x'', ''y'', ''z'')}} है, जो समय से स्वतंत्र होता है। कमरे के प्रत्येक बिंदु पर "{{math|''T''}}" का प्रवणता उस दिशा को दिखाएगा जिसमें तापमान तेजी से बढ़ता है, जो {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} से दूर होता है। प्रवणता का परिमाण इस दिशा में तापमान के बढ़ने की गति को निर्धारित करेगा।
-एक सतह पर विचार करें जिसकी ऊंचाई समुद्र तल से बिंदु . पर है {{math|(''x'', ''y'')}} है {{math|''H''(''x'', ''y'')}}. का ढाल {{math|''H''}} एक बिंदु पर एक समतल वेक्टर होता है जो उस बिंदु पर सबसे तेज ढलान या ग्रेड (ढलान) की दिशा में इंगित करता है। उस बिंदु पर ढलान की स्थिरता ढाल वेक्टर के परिमाण द्वारा दी जाती है।
+एक सतह जिसकी समुद्री सतह की ऊंचाई {{math|(''x'', ''y'')}} पर {{math|''H''(''x'', ''y'')}} है उस पर विचार करें: एक बिंदु पर {{math|''H''}} का प्रवणता एक समतल वेक्टर है जो इस बिंदु पर सबसे तेज प्रवणता या श्रेणी की ओर इंगित करता है। उस बिंदु पर प्रवणता की ढलान प्रवणता वेक्टर के परिमाण द्वारा दी गई है।
-ग्रेडिएंट का उपयोग यह मापने के लिए भी किया जा सकता है कि एक स्केलर फ़ील्ड अन्य दिशाओं में कैसे बदलता है, न कि केवल सबसे बड़े परिवर्तन की दिशा में, एक डॉट उत्पाद लेकर। मान लीजिए कि एक पहाड़ी पर सबसे तेज ढलान 40% है। सीधे ऊपर की ओर जाने वाली सड़क का ढलान 40% है, लेकिन पहाड़ी के चारों ओर एक कोण पर जाने वाली सड़क का ढलान उथला होगा। उदाहरण के लिए, यदि सड़क ऊपर की दिशा से 60° के कोण पर है (जब दोनों दिशाओं को क्षैतिज तल पर प्रक्षेपित किया जाता है), तो सड़क के साथ ढलान सड़क के साथ ग्रेडिएंट वेक्टर और यूनिट वेक्टर के बीच डॉट उत्पाद होगा। , अर्थात् 60° की कोज्या का 40% गुना, या 20%।
+प्रवणता का प्रयोग किसी डॉट उत्पाद को लेकर अदिश क्षेत्र की अन्य दिशाओं में परिवर्तन करने की बजाय उसका परिमाण मापने के लिए भी किया जा सकता है। मान लीजिए कि पहाड़ी पर सबसे तेज ढलान 40% है सीधी चढ़ाई वाली सड़क में 40% ढलान होता है, लेकिन पहाड़ी के चारों ओर एक कोण पर जाने वाली सड़क पर ढलान कम होगा। उदाहरण के लिए, यदि सड़क की ऊपरी दिशा से 60 डिग्री कोण पर है(जब दोनों दिशाओं को क्षैतिज तल पर प्रदर्शित किया जाता है) तो सड़क के किनारे की ढलान प्रवणता वेक्टर और यूनिट वेक्टर के बीच बिन्दु उत्पाद होगा जो कि सड़क पर 40 गुना 60 या 20% है।
-अधिक सामान्यतः, यदि पहाड़ी की ऊंचाई कार्य करती है {{math|''H''}} अवकलनीय फलन है, तो का ढाल {{math|''H''}} एक इकाई वेक्टर के साथ डॉट उत्पाद वेक्टर की दिशा में पहाड़ी की ढलान देता है, दिशात्मक व्युत्पन्न {{math|''H''}} यूनिट वेक्टर के साथ।
+सामान्यतया यदि पहाड़ी उच्चता फलन {{math|''H''}} विभेदकारी है तब बिंदु बिंदुकित का प्रवणता वेक्टर की दिशा में पहाडी का प्रवणता, इकाई वेक्टर के साथ {{math|''H''}} का दिशात्मक व्युत्पन्न प्रदान करता है।
 == संकेतन ==
-फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट <math>f</math> बिंदु पर <math>a</math> आमतौर पर के रूप में लिखा जाता है <math>\nabla f (a)</math>. इसे निम्नलिखित में से किसी के द्वारा भी दर्शाया जा सकता है:
+बिंदु <math>a</math> पर फलन <math>f</math>  की  प्रवणता सामान्यता पर इस प्रकार लिखी जाती है <math>\nabla f (a)</math>। इसे निम्नलिखित में से किसी भी प्रकार के द्वारा दर्शाया जा सकता है:
-* <math>\vec{\nabla} f (a)</math> : परिणाम की सदिश प्रकृति पर जोर देना।
+* <math>\vec{\nabla} f (a)</math> : परिणाम की वेक्टर प्रकृति पर जोर देने के लिए।
-* {{math|grad ''f''}} * <math>\partial_i f</math> तथा <math>f_{i}</math> : आइंस्टीन संकेतन।
+* {{math|grad ''f''}}
+*<math>\partial_i f</math> तथा <math>f_{i}</math> : आइंस्टीन संकेतन।
 == परिभाषा ==
-[[File:3d-gradient-cos.svg|thumb|350px|फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट {{math|''f''(''x'',''y'') {{=}} −(cos<sup>2</sup>''x'' + cos<sup>2</sup>''y'')<sup>2</sup>}} निचले तल पर एक प्रक्षेपित सदिश क्षेत्र के रूप में दर्शाया गया है।]]
+[[File:3d-gradient-cos.svg|thumb|350px|फलन का प्रवणता {{math|''f''(''x'',''y'') {{=}} −(cos<sup>2</sup>''x'' + cos<sup>2</sup>''y'')<sup>2</sup>}} निचले तल पर एक प्रक्षेपित वेक्टर क्षेत्र के रूप में दर्शाया गया है।]]
-स्केलर फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट (या ग्रेडिएंट वेक्टर फ़ील्ड) {{math|''f''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>, …, ''x<sub>n</sub>'')}} निरूपित है {{math|∇''f''}} या {{math|{{vec|∇}}''f''}} कहाँ पे {{math|∇}} (नाबला प्रतीक) वेक्टर डिफरेंशियल ऑपरेटर, डेल को दर्शाता है। संकेतन {{math|grad ''f''}} आमतौर पर ढाल का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी प्रयोग किया जाता है। का ढाल {{math|''f''}} अद्वितीय वेक्टर क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका डॉट उत्पाद किसी भी यूक्लिडियन वेक्टर के साथ है {{math|'''v'''}} प्रत्येक बिंदु पर {{math|''x''}} का दिशात्मक व्युत्पन्न है {{math|''f''}} साथ-साथ {{math|'''v'''}}. वह है,
+एक अदिश फलन {{math|''f''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>, …, ''x<sub>n</sub>'')}} की प्रवणता (या प्रवणता वेक्टर क्षेत्र) को {{math|∇''f''}}  या →<math>f</math> से निरूपित किया जाता है, जहां {{math|∇}} (नाबला) वेक्टर अंतर संकारक, डेल को दर्शाता है। प्रवणता का प्रतिनिधित्व करने के लिए अंकन ग्रैड {{math|grad ''f''}}  का भी सामान्यता पर उपयोग किया जाता है। <math>f</math> के प्रवणता को अद्वितीय वेक्टर क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका डॉट उत्पाद प्रत्येक बिंदु x पर किसी भी वेक्टर v के साथ <math>f</math>  का दिशात्मक व्युत्पन्न है। अर्थात,
 :<math>\big(\nabla f(x)\big)\cdot \mathbf{v} = D_{\mathbf v}f(x)</math>
-जहां दाहिनी ओर का हाथ दिशात्मक व्युत्पन्न है और इसका प्रतिनिधित्व करने के कई तरीके हैं। औपचारिक रूप से, ग्रेडिएंट व्युत्पन्न के लिए दोहरी है; #डेरिवेटिव देखें।
+जहाँ पर दायां तरफ हाथ निदेशात्मक व्युत्पन्न होता है और उसे दर्शाने के कई तरीके हैं।औपचारिक रूप से, व्युत्पन्न प्रवणता के लिए दोहरी है; व्युत्पन्न के साथ संबंध देखें
-जब कोई फ़ंक्शन समय जैसे पैरामीटर पर भी निर्भर करता है, तो ग्रेडिएंट अक्सर केवल इसके स्थानिक डेरिवेटिव के वेक्टर को संदर्भित करता है (स्थानिक ग्रेडिएंट देखें)।
+जब प्रकार्य समय जैसे प्राचल पर भी निर्भर होता है तो प्रवणता से तात्पर्य केवल इसके स्थानिक व्युत्ग्राहकों के वेक्टर से होता है (विशेष प्रवणता देखें).
-ग्रेडिएंट वेक्टर का परिमाण और दिशा विशेष निर्देशांक प्रणाली के अपरिवर्तनीय (गणित) हैं।<ref>{{harvtxt|Kreyszig|1972|pp=308–309}}</ref><ref>{{harvtxt|Stoker|1969|p=292}}</ref>
+प्रवणता वेक्टर का परिमाण तथा दिशा विशेष निर्देशांक निरूपण से स्वतंत्र है।<ref>{{harvtxt|Kreyszig|1972|pp=308–309}}</ref><ref>{{harvtxt|Stoker|1969|p=292}}</ref>
+=== '''कार्तीय निर्देशांक''' ===
-=== कार्तीय निर्देशांक ===
+त्रिआयामी कर्णनलिका निर्देशांक प्रणाली में, युक्लिडियन मेट्रिक के साथ, प्रवणता, यदि वह मौजूद है, दिया जाता है, तो निम्नलिखित है:
-यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ त्रि-आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, ढाल, यदि यह मौजूद है, द्वारा दिया गया है:
 :<math>\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k},</math>
-कहाँ पे {{math|'''i'''}}, {{math|'''j'''}}, {{math|'''k'''}} की दिशा में मानक आधार इकाई वैक्टर हैं {{math|''x''}}, {{math|''y''}} तथा {{math|''z''}} निर्देशांक, क्रमशः। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट
+जहां {{math|'''i'''}}, {{math|'''j'''}}, {{math|'''k'''}}  मानक इकाई वैक्टर हैं क्रमशः  {{math|''x''}}, {{math|''y''}} और {{math|''z''}} निर्देशांक के निर्देशों में उदाहरण के लिए, फलन की प्रवणता।
 :<math>f(x,y,z)= 2x+3y^2-\sin(z)</math>
 है
 :<math>\nabla f = 2\mathbf{i}+ 6y\mathbf{j} -\cos(z)\mathbf{k}.</math>
-कुछ अनुप्रयोगों में यह एक आयताकार समन्वय प्रणाली में अपने घटकों के एक पंक्ति वेक्टर या स्तंभ वेक्टर के रूप में ढाल का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रथागत है; यह लेख ग्रेडिएंट के कॉलम वेक्टर होने की परंपरा का अनुसरण करता है, जबकि व्युत्पन्न एक पंक्ति वेक्टर है।
+कुछ अनुप्रयोगों में प्रवणता को आयताकार समन्वय प्रणाली में इसके घटकों के पंजर वेक्टर या स्तंभ वेक्टर के रूप में प्रदर्शित करने के लिए प्रथागत किया जाता है;यह लेख अनुक्रमणिका स्तंभ वेक्टर की परिपाटी के अनुसार है जबकि व्युत्पन्न एक पंक्ति वेक्टर है।
 ===बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक===
-{{main|Del in cylindrical and spherical coordinates}}
+{{main|बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में डेल}}
-बेलनाकार समन्वय प्रणाली में # यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ परिभाषा, ढाल द्वारा दिया जाता है:<ref name="Schey-1992">{{harvnb|Schey|1992|pp=139–142}}.</ref>
+बेलनाकार निर्देशांक में यूक्लिडियन मेट्रिक के साथ निर्देशांक, प्रवणता द्वारा दिया जाता है:<ref name="Schey-1992">{{harvnb|Schey|1992|pp=139–142}}.</ref>
 :<math>\nabla f(\rho, \varphi, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho}\mathbf{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \varphi}\mathbf{e}_\varphi + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{e}_z,</math>
-कहाँ पे {{math|''ρ''}} अक्षीय दूरी है, {{math|''φ''}} अज़ीमुथल या अज़ीमुथ कोण है, {{math|''z''}} अक्षीय निर्देशांक है, और {{math|'''e'''<sub>''ρ''</sub>}}, {{math|'''e'''<sub>''φ''</sub>}} तथा {{math|'''e'''<sub>''z''</sub>}} निर्देशांक दिशाओं की ओर इशारा करते हुए इकाई सदिश हैं।
+जहाँ पे {{math|''ρ''}} अक्षीय दूरी है, {{math|''φ''}} अज़ीमुथल या अज़ीमुथ कोण है, {{math|''z''}} अक्षीय निर्देशांक है, और {{math|'''e'''<sub>''ρ''</sub>}}, {{math|'''e'''<sub>''φ''</sub>}} और {{math|'''e'''<sub>''z''</sub>}} निर्देशांक दिशाओं की ओर इशारा करते हुए इकाई वेक्टर हैं।
-गोलाकार समन्वय प्रणाली में # परिभाषा, ढाल द्वारा दिया जाता है:<ref name="Schey-1992" />
+गोलाकार निर्देशांक में, प्रवणता द्वारा दिया जाता है:<ref name="Schey-1992" />
 :<math>\nabla f(r, \theta, \varphi) = \frac{\partial f}{\partial r}\mathbf{e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\mathbf{e}_\theta + \frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \varphi}\mathbf{e}_\varphi,</math>
-कहाँ पे {{math|''r''}} रेडियल दूरी है, {{math|''φ''}} अज़ीमुथल कोण है और {{math|''θ''}} ध्रुवीय कोण है, और {{math|'''e'''<sub>''r''</sub>}}, {{math|'''e'''<sub>''θ''</sub>}} तथा {{math|'''e'''<sub>''φ''</sub>}} फिर से स्थानीय इकाई सदिश हैं जो निर्देशांक दिशाओं की ओर इशारा करते हैं (अर्थात, सामान्यीकृत वक्रीय निर्देशांक#सहसंयोजक और विपरीत आधार)।
+जहाँ {{math|''r''}} रेडियल दूरी है, {{math|''φ''}} अज़ीमुथल कोण है और {{math|''θ''}} ध्रुवीय कोण है, और {{math|'''e'''<sub>''r''</sub>}}, {{math|'''e'''<sub>''θ''</sub>}} तथा {{math|'''e'''<sub>''φ''</sub>}}  फिर से स्थानीय इकाई वेक्टर हैं जो निर्देशांक दिशाओं (अर्थात सामान्यीकृत सहसंयोजक आधार) की ओर इशारा करते हैं।
-अन्य ऑर्थोगोनल कोऑर्डिनेट सिस्टम में ग्रेडिएंट के लिए, ऑर्थोगोनल कोऑर्डिनेट देखें#डिफरेंशियल ऑपरेटर्स इन थ्री डायमेंशन|ऑर्थोगोनल कोऑर्डिनेट (तीन आयामों में डिफरेंशियल ऑपरेटर्स)।
+अन्य ऑर्थोगोनल कोऑर्डिनेट सिस्टम में प्रवणता के लिए, ऑर्थोगोनल कोऑर्डिनेट्स (तीन आयामों में विभेदीय संकारक) देखें।
 === सामान्य निर्देशांक ===
-हम वक्रीय निर्देशांकों पर विचार करते हैं, जिन्हें हम इस प्रकार लिखते हैं {{math|''x''<sup>1</sup>, …, ''x''<sup>''i''</sup>, …, ''x''<sup>''n''</sup>}}, कहाँ पे {{mvar|n}} डोमेन के आयामों की संख्या है। यहाँ, ऊपरी सूचकांक निर्देशांक या घटक की सूची में स्थिति को संदर्भित करता है, इसलिए {{math|''x''<sup>2</sup>}} दूसरे घटक को संदर्भित करता है-मात्रा नहीं {{math|''x''}} चुकता। सूचकांक चर {{math|''i''}} एक मनमाना तत्व को संदर्भित करता है {{math|''x''<sup>''i''</sup>}}. आइंस्टीन संकेतन का उपयोग करते हुए, ढाल को तब इस प्रकार लिखा जा सकता है:
+हम सामान्य निर्देशांक, जो हम {{math|''x''<sup>1</sup>, …, ''x''<sup>''i''</sup>, …, ''x''<sup>''n''</sup>}}  जहां एन डोमेन के आयाम की संख्या है पर विचार करें यहाँ, ऊपर सूचकांक निर्देशांक या घटक की सूची में स्थिति को दर्शाता है, इसलिए {{math|''x''<sup>2</sup>}} का संदर्भ है मात्रा {{math|''x''}} वर्ग नहीं.सूचकांक चर {{math|''i''}} एक मनमानी तत्व {{math|''x''<sup>''i''</sup>}} संदर्भित करता है।आइंस्टीन संकेतन का उपयोग करके, प्रवणता तब के रूप में लिखा जा सकता है:<math display="block">\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x^{i}}g^{ij} \mathbf{e}_j</math>(ध्यान दें कि इसका दोहरा स्थान है <math display="inline">\mathrm{d}f = \frac{\partial f}{\partial x^{i}}\mathbf{e}^i</math>),
-<math display="block">\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x^{i}}g^{ij} \mathbf{e}_j</math> (ध्यान दें कि इसका दोहरा स्थान है <math display="inline">\mathrm{d}f = \frac{\partial f}{\partial x^{i}}\mathbf{e}^i</math>),
-कहाँ पे <math>\mathbf{e}_i = \partial \mathbf{x}/\partial x^i</math> तथा <math>\mathbf{e}^i = \mathrm{d}x^i</math> असामान्य स्थानीय वक्रीय निर्देशांक देखें#सहसंयोजक और contravariant आधार क्रमशः, <math>g^{ij}</math> मीट्रिक टेंसर # उलटा मीट्रिक है, और आइंस्टीन सारांश सम्मेलन i और j पर योग का तात्पर्य है।
-यदि निर्देशांक ओर्थोगोनल हैं तो हम सामान्यीकृत आधारों के संदर्भ में ढाल (और विभेदक रूप) को आसानी से व्यक्त कर सकते हैं, जिसे हम इस रूप में संदर्भित करते हैं  <math>\hat{\mathbf{e}}_i</math> तथा  <math>\hat{\mathbf{e}}^i</math>, पैमाने के कारकों का उपयोग करना (जिन्हें लैमे गुणांक के रूप में भी जाना जाता है)  <math>h_i= \lVert \mathbf{e}_i \rVert = \sqrt{g_{i i}} = 1\, / \lVert \mathbf{e}^i \rVert</math> :
+कहाँ पे <math>\mathbf{e}_i = \partial \mathbf{x}/\partial x^i</math> तथा <math>\mathbf{e}^i = \mathrm{d}x^i</math> असामान्य स्थानीय वक्रीय निर्देशांक देखें सहसंयोजक और विरोधाभासी आधार क्रमशः, <math>g^{ij}</math> मीट्रिक प्रदिश  # उलटा मीट्रिक है, और आइंस्टीन सारांश सम्मेलन i और j पर योग का तात्पर्य है।
+यदि निर्देशांक ओर्थोगोनल हैं तो हम सामान्यीकृत आधारों के संदर्भ में प्रवणता (और विभेदक रूप) को आसानी से व्यक्त कर सकते हैं, जिसे हम इस रूप में संदर्भित करते हैं  <math>\hat{\mathbf{e}}_i</math> तथा  <math>\hat{\mathbf{e}}^i</math>, पैमाने के कारकों का उपयोग करना (जिन्हें लैमे गुणांक के रूप में भी जाना जाता है)  <math>h_i= \lVert \mathbf{e}_i \rVert = \sqrt{g_{i i}} = 1\, / \lVert \mathbf{e}^i \rVert</math> :
 <math display="block">\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x^{i}}g^{ij} \hat{\mathbf{e}}_{j}\sqrt{g_{jj}} = \sum_{i=1}^n \, \frac{\partial f}{\partial x^{i}} \frac{1}{h_i} \mathbf{\hat{e}}_i</math> (तथा <math display="inline">\mathrm{d}f = \sum_{i=1}^n \, \frac{\partial f}{\partial x^{i}} \frac{1}{h_i} \mathbf{\hat{e}}^i</math>),
-जहां हम आइंस्टीन संकेतन का उपयोग नहीं कर सकते, क्योंकि दो से अधिक सूचकांकों की पुनरावृत्ति से बचना असंभव है। ऊपरी और निचले सूचकांकों के उपयोग के बावजूद, <math>\mathbf{\hat{e}}_i</math>, <math>\mathbf{\hat{e}}^i</math>, तथा <math>h_i</math> न तो विरोधाभासी हैं और न ही सहसंयोजक।
+जहां हम आइंस्टाइन नोटेशन का प्रयोग नहीं कर सकते, क्योंकि दो से अधिक संकेतकों की पुनरावृत्ति से बचना असंभव है।} ऊपरी और निचले सूचकांक के उपयोग के बावजूद , <math>\mathbf{\hat{e}}_i</math>, <math>\mathbf{\hat{e}}^i</math>, तथा <math>h_i</math> न तो विरोधी हैं और न ही संस्कृतिक
-उत्तरार्द्ध अभिव्यक्ति बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक के लिए ऊपर दिए गए भावों का मूल्यांकन करती है।
-== व्युत्पन्न के साथ संबंध{{anchor|Derivative}}==
-{{Calculus|Vector}}
+बाद की अभिव्यक्ति बेलनाकार और गोलीय निर्देशांक के लिए ऊपर दी गई अभिव्यक्ति का मूल्यांकन करती है।
-=== कुल व्युत्पन्न के साथ संबंध{{anchor|Total derivative}}===
+== व्युत्पन्न के साथ संबंध==
-ढाल कुल व्युत्पन्न (कुल अंतर) से निकटता से संबंधित है <math>df</math>: वे एक दूसरे को स्थानांतरित (रैखिक मानचित्र का स्थानांतरण) कर रहे हैं। उस सम्मेलन का उपयोग करना जो वैक्टर में <math>\R^n</math> कॉलम वैक्टर द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है, और वह कोवेक्टर (रैखिक मानचित्र .) <math>\R^n \to \R</math>) पंक्ति वैक्टर द्वारा दर्शाए जाते हैं,{{efn|name=row-column}} ढाल <math>\nabla f</math> और व्युत्पन्न <math>df</math> एक ही घटक के साथ क्रमशः एक स्तंभ और पंक्ति वेक्टर के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, लेकिन एक दूसरे का स्थानान्तरण करते हैं:
+=== कुल व्युत्पन्न के साथ संबंध ===
+प्रवणता कुल व्युत्पन्न (कुल अंतर) से निकटता से संबंधित है <math>df</math>: वे एक दूसरे को स्थानांतरित (रैखिक मानचित्र का स्थानांतरण) कर रहे हैं। उस सम्मेलन का उपयोग करना जो वेक्टर में <math>\R^n</math> कॉलम वेक्टर द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है, और वह कोवेक्टर (रैखिक मानचित्र) <math>\R^n \to \R</math> पंक्ति वेक्टर द्वारा दर्शाए जाते हैं,{{efn|name=row-column}} प्रवणता <math>\nabla f</math> और व्युत्पन्न <math>df</math> एक ही घटक के साथ क्रमशः एक स्तंभ और पंक्ति वेक्टर के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, लेकिन एक दूसरे का स्थानान्तरण करते हैं:
 :<math>\nabla f(p) = \begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(p) \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n}(p) \end{bmatrix} ;</math>
 :<math>df_p = \begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(p) & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n}(p) \end{bmatrix} .</math>
-जबकि इन दोनों में समान घटक होते हैं, वे किस प्रकार की गणितीय वस्तु का प्रतिनिधित्व करते हैं, वे भिन्न होते हैं: प्रत्येक बिंदु पर, व्युत्पन्न एक कोटेंजेंट वेक्टर होता है, एक रैखिक रूप (कोवेक्टर) जो व्यक्त करता है कि किसी दिए गए इनफिनिटिमल के लिए कितना (स्केलर) आउटपुट बदलता है (वेक्टर) इनपुट में परिवर्तन, जबकि प्रत्येक बिंदु पर, ग्रेडिएंट एक स्पर्शरेखा वेक्टर है, जो (वेक्टर) इनपुट में एक असीम परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। प्रतीकों में, ढाल एक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान का एक तत्व है, <math>\nabla f(p) \in T_p \R^n</math>, जबकि व्युत्पन्न स्पर्शरेखा स्थान से वास्तविक संख्याओं तक का नक्शा है, <math>df_p \colon T_p \R^n \to \R</math>. के प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान <math>\R^n</math> स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है{{efn|Informally, "naturally" identified means that this can be done without making any arbitrary choices. This can be formalized with a [[natural transformation]].}} वेक्टर स्पेस के साथ <math>\R^n</math> स्वयं, और इसी तरह प्रत्येक बिंदु पर कोटैंजेंट स्पेस को दोहरी वेक्टर स्पेस के साथ स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है <math>(\R^n)^*</math> कोवेक्टरों का; इस प्रकार एक बिंदु पर ढाल के मूल्य को मूल में एक वेक्टर के बारे में सोचा जा सकता है <math>\R^n</math>, न केवल एक स्पर्शरेखा वेक्टर के रूप में।
+जबकि इन दोनों में समान घटक होते हैं, वे किस प्रकार की गणितीय वस्तु का प्रतिनिधित्व करते हैं, वे भिन्न होते हैं: प्रत्येक बिंदु पर, व्युत्पन्न एक कोटिस्पर्शज्या वेक्टर होता है, एक रैखिक रूप(कोवेक्टर) जो व्यक्त करता है कि किसी दिए गए इनफिनिटिमल के लिए कितना(स्केलर) आउटपुट बदलता है(वेक्टर) इनपुट में परिवर्तन, जबकि प्रत्येक बिंदु पर, प्रवणता एक स्पर्शरेखा वेक्टर है, जो(वेक्टर) इनपुट में एक असीम परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। प्रतीकों में, प्रवणता एक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान का एक तत्व है, <math>\nabla f(p) \in T_p \R^n</math>, जबकि व्युत्पन्न स्पर्शरेखा स्थान से वास्तविक संख्याओं तक का नक्शा है, <math>df_p \colon T_p \R^n \to \R</math>. के प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान <math>\R^n</math> स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है। {{efn|Informally, "naturally" identified means that this can be done without making any arbitrary choices. This can be formalized with a [[natural transformation]].}} वेक्टर स्पेस के साथ <math>\R^n</math> स्वयं, और इसी तरह प्रत्येक बिंदु पर कोटिस्पर्शज्या स्पेस को दोहरी वेक्टर स्पेस के साथ स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है <math>(\R^n)^*</math> कोवेक्टरों का; इस प्रकार एक बिंदु पर प्रवणता के मूल्य को मूल में एक वेक्टर के बारे में सोचा जा सकता है <math>\R^n</math>, न केवल एक स्पर्शरेखा वेक्टर के रूप में।
-कम्प्यूटेशनल रूप से, एक स्पर्शरेखा वेक्टर दिया जाता है, वेक्टर को व्युत्पन्न (मैट्रिस के रूप में) से गुणा किया जा सकता है, जो कि ग्रेडिएंट के साथ डॉट उत्पाद लेने के बराबर है:
+कंप्यूटेशनल, एक स्पर्शज्या वेक्टर को देखते हुए, वेक्टर को व्युत्पन्न (आव्यूहों के रूप में) से गुणा किया जा सकता है, जो कि प्रवणता के साथ डॉट-उत्पाद लेने के बराबर है:
 :<math>
 (df_p)(v) = \begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(p) & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n}(p) \end{bmatrix}
@@ Line 117: / Line 111: @@
 = \begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(p) \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n}(p) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}v_1 \\ \vdots \\ v_n\end{bmatrix}
 = \nabla f(p) \cdot v</math>
 ==== विभेदक या (बाहरी) व्युत्पन्न ====
-एक अलग-अलग फ़ंक्शन के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन
+एक अलग-अलग फलन के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन
 :<math>f \colon \R^n \to \R</math>
-एक बिंदु पर {{math|''x''}} में {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} से एक रैखिक नक्शा है {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} प्रति {{math|'''R'''}} जिसे अक्सर द्वारा दर्शाया जाता है {{math|''df<sub>x</sub>''}} या {{math|''Df''(''x'')}} और अंतर (कैलकुलस) या का कुल व्युत्पन्न कहा जाता है {{math|''f''}} पर {{math|''x''}}. कार्यक्रम {{math|''df''}}, कौन सा नक्शा {{math|''x''}} प्रति {{math|''df''<sub>''x''</sub>}}, को का कुल अंतर या बाहरी व्युत्पन्न कहा जाता है {{math|''f''}} और अंतर 1-रूप का एक उदाहरण है।
+एक बिंदु पर {{math|''x''}} में {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} से एक रैखिक नक्शा है {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} प्रति {{math|'''R'''}} जिसे अक्सर द्वारा दर्शाया जाता है {{math|''df<sub>x</sub>''}} या {{math|''Df''(''x'')}} और अंतर(कैलकुलस) या का कुल व्युत्पन्न कहा जाता है {{math|''f''}}  पर {{math|''x''}}  कार्यक्रम {{math|''df''}}, कौन सा नक्शा {{math|''x''}} प्रति {{math|''df''<sub>''x''</sub>}} को का कुल अंतर या बाहरी व्युत्पन्न कहा जाता है  {{math|''f''}} और अंतर 1-रूप का एक उदाहरण है।
-जितना एक एकल चर के किसी फलन का व्युत्पन्न फलन के किसी फलन के ग्राफ के स्पर्शरेखा के ढलान का प्रतिनिधित्व करता है,<ref>{{harvtxt|Protter|Morrey, Jr.|1970|pp=21,88}}</ref> कई चरों में एक फ़ंक्शन का दिशात्मक व्युत्पन्न वेक्टर की दिशा में स्पर्शरेखा हाइपरप्लेन की ढलान का प्रतिनिधित्व करता है।
+जितना एक एकल चर के किसी फलन का व्युत्पन्न फलन के किसी फलन के ग्राफ के स्पर्शरेखा के ढलान का प्रतिनिधित्व करता है,<ref>{{harvtxt|Protter|Morrey, Jr.|1970|pp=21,88}}</ref>  कई चर राशि में एक फलन का दिशात्मक व्युत्पन्न वेक्टर की दिशा में स्पर्शरेखा हाइपरप्लेन की ढलान का प्रतिनिधित्व करता है।
-ढाल सूत्र द्वारा अंतर से संबंधित है
+प्रवणता सूत्र द्वारा अंतर से संबंधित है
 :<math>(\nabla f)_x\cdot v = df_x(v)</math>
-किसी के लिए {{math|''v'' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup>}}, कहाँ पे <math>\cdot</math> डॉट उत्पाद है: ग्रेडिएंट के साथ वेक्टर का डॉट उत्पाद लेना वेक्टर के साथ दिशात्मक व्युत्पन्न लेने जैसा ही है।
+किसी के लिए {{math|''v'' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup>}}, कहाँ पे <math>\cdot</math> डॉट उत्पाद है: प्रवणता के साथ वेक्टर का डॉट उत्पाद लेना वेक्टर के साथ दिशात्मक व्युत्पन्न लेने जैसा ही है।
-यदि {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} (आयाम) के स्थान के रूप में देखा जाता है {{math|''n''}}) कॉलम वैक्टर (वास्तविक संख्याओं का), तो कोई मान सकता है {{math|''df''}} घटकों के साथ पंक्ति वेक्टर के रूप में
+यदि {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} (आयाम) के स्थान के रूप में देखा जाता है {{math|''n''}}) कॉलम वेक्टर (वास्तविक संख्याओं का), तो कोई मान सकता है {{math|''df''}}  घटक के साथ पंक्ति वेक्टर के रूप में
 :<math>\left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right),</math>
-ताकि {{math|''df''<sub>''x''</sub>(''v'')}} मैट्रिक्स गुणन द्वारा दिया जाता है। मानक यूक्लिडियन मीट्रिक को मानते हुए {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}, ग्रेडिएंट तब संबंधित कॉलम वेक्टर होता है, अर्थात,
+ताकि {{math|''df''<sub>''x''</sub>(''v'')}} मैट्रिक्स गुणन द्वारा दिया जाता है। मानक यूक्लिडियन मीट्रिक को मानते हुए {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}, प्रवणता तब संबंधित कॉलम वेक्टर होता है, अर्थात,
 :<math>(\nabla f)_i = df^\mathsf{T}_i.</math>
+==== एक फलन के लिए रैखिक सन्निकटन ====
+किसी फलन के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन व्युत्पन्न के बजाय प्रवणता के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। फलन का प्रवणता (गणित) {{math|''f''}} यूक्लिडियन अंतरिक्ष से {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} प्रति {{math|'''R'''}} किसी विशेष बिंदु पर {{math|''x''<sub>0</sub>}} में {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन की विशेषता है {{math|''f''}} पर {{math|''x''<sub>0</sub>}} सन्निकटन इस प्रकार है:
-==== एक फ़ंक्शन के लिए रैखिक सन्निकटन ====
-किसी फ़ंक्शन के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन व्युत्पन्न के बजाय ढाल के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट (गणित) {{math|''f''}} यूक्लिडियन अंतरिक्ष से {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} प्रति {{math|'''R'''}} किसी विशेष बिंदु पर {{math|''x''<sub>0</sub>}} में {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन की विशेषता है {{math|''f''}} पर {{math|''x''<sub>0</sub>}}. सन्निकटन इस प्रकार है:
 :<math>f(x) \approx f(x_0) + (\nabla f)_{x_0}\cdot(x-x_0)</math>
-के लिये {{math|''x''}} के करीब {{math|''x''<sub>0</sub>}}, कहाँ पे {{math|(∇''f''&thinsp;)<sub>''x''<sub>0</sub></sub>}} का ढाल है {{math|''f''}} पर गणना की गई {{math|''x''<sub>0</sub>}}, और बिंदु डॉट उत्पाद को दर्शाता है {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}. यह समीकरण टेलर श्रृंखला में पहले दो पदों के बराबर है#टेलर श्रृंखला के कई चर विस्तार में {{math|''f''}} पर {{math|''x''<sub>0</sub>}}.
+के लिये {{math|''x''}} के करीब {{math|''x''<sub>0</sub>}}, कहाँ पे {{math|(∇''f''&thinsp;)<sub>''x''<sub>0</sub></sub>}} का प्रवणता है {{math|''f''}} पर गणना की गई {{math|''x''<sub>0</sub>}}, और बिंदु डॉट उत्पाद को दर्शाता है {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}. यह समीकरण टेलर श्रृंखला में पहले दो पदों के बराबर है#टेलर श्रृंखला के कई चर विस्तार में {{math|''f''}}  पर {{math|''x''<sub>0</sub>}}.
-=== फ़्रेचेट व्युत्पन्न के साथ संबंध{{anchor|Fréchet derivative}}===
+=== फ़्रेचेट व्युत्पन्न के साथ संबंध===
-होने देना {{math|''U''}} में एक खुला सेट बनें {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}. यदि समारोह {{math|''f'' : ''U'' → '''R'''}} अवकलनीय है, तो का अंतर {{math|''f''}} फ्रेचेट का व्युत्पन्न है {{math|''f''}}. इस प्रकार {{math|∇''f''}} से एक समारोह है {{math|''U''}} अंतरिक्ष के लिए {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} ऐसा है कि
+होने देना {{math|''U''}} में एक खुला सेट बनें {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}. यदि फलन {{math|''f'' : ''U'' → '''R'''}} अवकलनीय है, तो का अंतर {{math|''f''}}  फ्रेचेट का व्युत्पन्न है {{math|''f''}}. इस प्रकार {{math|∇''f''}}  से एक फलन है {{math|''U''}} अंतरिक्ष के लिए {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} ऐसा है कि
-<math display="block">\lim_{h\to 0} \frac{|f(x+h)-f(x) -\nabla f(x)\cdot h|}{\|h\|} = 0,</math>
+<math display="block">\lim_{h\to 0} \frac{|f(x+h)-f(x) -\nabla f(x)\cdot h|}{\|h\|} = 0,</math>जहां  डॉट उत्पाद है।
-जहां · डॉट उत्पाद है।
+एक परिणाम के रूप में, व्युत्पन्न के सामान्य गुण प्रवणता के लिए धारण करते हैं, हालांकि प्रवणता स्वयं व्युत्पन्न नहीं है, बल्कि व्युत्पन्न के लिए दोहरी है:
-एक परिणाम के रूप में, व्युत्पन्न के सामान्य गुण ढाल के लिए धारण करते हैं, हालांकि ढाल स्वयं व्युत्पन्न नहीं है, बल्कि व्युत्पन्न के लिए दोहरी है:
 ;रैखिकता
-:ग्रेडिएंट इस अर्थ में रैखिक है कि यदि {{math|''f''}} तथा {{math|''g''}} बिंदु पर अलग-अलग दो वास्तविक-मूल्यवान कार्य हैं {{math|''a'' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup>}}, तथा {{mvar|α}} तथा {{mvar|β}} दो अचर हैं, तो {{math|''αf'' + ''βg''}} पर भिन्न है {{math|''a''}}, और इसके अलावा <math display="block">\nabla\left(\alpha f+\beta g\right)(a) = \alpha \nabla f(a) + \beta\nabla g (a).</math>
+:प्रवणता इस अर्थ में रैखिक है कि यदि {{math|''f''}} तथा {{math|''g''}} बिंदु पर अलग-अलग दो वास्तविक-मूल्यवान कार्य हैं {{math|''a'' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup>}}, तथा {{mvar|α}} तथा {{mvar|β}} दो अचर हैं, तो {{math|''αf'' + ''βg''}} पर भिन्न है {{math|''a''}}, और इसके अलावा <math display="block">\nabla\left(\alpha f+\beta g\right)(a) = \alpha \nabla f(a) + \beta\nabla g (a).</math>
 ;प्रॉडक्ट नियम
-:यदि {{math|''f''}} तथा {{math|''g''}} वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन एक बिंदु पर भिन्न होते हैं {{math|''a'' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup>}}, तो उत्पाद नियम यह दावा करता है कि उत्पाद {{math|''fg''}} पर भिन्न है {{math|''a''}}, तथा <math display="block">\nabla (fg)(a) = f(a)\nabla g(a) + g(a)\nabla f(a).</math>
+:यदि {{math|''f''}} तथा {{math|''g''}} वास्तविक-मूल्यवान फलन एक बिंदु पर भिन्न होते हैं {{math|''a'' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup>}}, तो उत्पाद नियम यह दावा करता है कि उत्पाद {{math|''fg''}} पर भिन्न है {{math|''a''}}, तथा <math display="block">\nabla (fg)(a) = f(a)\nabla g(a) + g(a)\nabla f(a).</math>
 ;श्रृंखला नियम
-:मान लो कि {{math|''f'' : ''A'' → '''R'''}} एक सबसेट पर परिभाषित एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है {{math|''A''}} का {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}, और कि {{math|''f''}} एक बिंदु पर अवकलनीय है {{math|''a''}}. ग्रेडिएंट पर लागू होने वाले चेन नियम के दो रूप हैं। सबसे पहले, मान लें कि फ़ंक्शन {{math|''g''}} एक पैरामीट्रिक वक्र है; वह है, एक समारोह {{math|''g'' : ''I'' → '''R'''<sup>''n''</sup>}} एक सबसेट को मैप करता है {{math|''I'' ⊂ '''R'''}} में {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}. यदि {{math|''g''}} एक बिंदु पर अवकलनीय है {{math|''c'' ∈ ''I''}} ऐसा है कि {{math|''g''(''c'') {{=}} ''a''}}, फिर <math display="block">(f\circ g)'(c) = \nabla f(a)\cdot g'(c),</math> जहां कंपोजिशन ऑपरेटर है: {{math|1=(''f'' ∘ ''g'')(''x'') = ''f''(''g''(''x''))}}.
+:मान लो कि {{math|''f'' : ''A'' → '''R'''}} एक सबसेट पर परिभाषित एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है {{math|''A''}} का {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}, और कि {{math|''f''}} एक बिंदु पर अवकलनीय है {{math|''a''}}. प्रवणता पर लागू होने वाले चेन नियम के दो रूप हैं। सबसे पहले, मान लें कि फलन {{math|''g''}} एक पैरामीट्रिक         वक्र है; वह है, एक फलन {{math|''g'' : ''I'' → '''R'''<sup>''n''</sup>}} एक सबसेट को मैप करता है {{math|''I'' ⊂ '''R'''}} में {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}. यदि {{math|''g''}} एक बिंदु पर अवकलनीय है {{math|''c'' ∈ ''I''}} ऐसा है कि {{math|''g''(''c'') {{=}} ''a''}}, फिर <math display="block">(f\circ g)'(c) = \nabla f(a)\cdot g'(c),</math>जहां संरचना प्रचालक है: {{math|1=(''f'' ∘ ''g'')(''x'') = ''f''(''g''(''x''))}}.
-अधिक सामान्यतः, यदि इसके बजाय {{math|''I'' ⊂ '''R'''<sup>''k''</sup>}}, तो निम्नलिखित धारण करता है:
+अधिक सामान्यता, यदि इसके बजाय {{math|''I'' ⊂ '''R'''<sup>''k''</sup>}}, तो निम्नलिखित धारण करता है:<math display="block">\nabla (f\circ g)(c) = \big(Dg(c)\big)^\mathsf{T} \big(\nabla f(a)\big),</math>      कहाँ पे {{math|(''Dg'')}}<sup>T</sup> ट्रांसपोज़ जैकोबियन मैट्रिक्स को दर्शाता है।
-<math display="block">\nabla (f\circ g)(c) = \big(Dg(c)\big)^\mathsf{T} \big(\nabla f(a)\big),</math>
-कहाँ पे {{math|(''Dg'')}}<sup>T</sup> ट्रांसपोज़ जैकोबियन मैट्रिक्स को दर्शाता है।
-श्रृंखला नियम के दूसरे रूप के लिए, मान लीजिए कि {{math|''h'' : ''I'' → '''R'''}} एक सबसेट पर एक वास्तविक मूल्यवान कार्य है {{math|''I''}} का {{math|'''R'''}}, और कि {{math|''h''}} बिंदु पर भिन्न है {{math|''f''(''a'') ∈ ''I''}}. फिर
-<math display="block">\nabla (h\circ f)(a) = h'\big(f(a)\big)\nabla f(a).</math>
+श्रृंखला नियम के दूसरे रूप के लिए, मान लीजिए कि {{math|''h'' : ''I'' → '''R'''}} एक सबसेट पर एक वास्तविक मूल्यवान कार्य है {{math|''I''}} का {{math|'''R'''}}, और कि {{math|''h''}} बिंदु पर भिन्न है {{math|''f''(''a'') ∈ ''I''}}. फिर<math display="block">\nabla (h\circ f)(a) = h'\big(f(a)\big)\nabla f(a).</math>
-== आगे के गुण और अनुप्रयोग ==
+== अग्रिम गुण और अनुप्रयोग ==
 === स्तर सेट ===
-{{see also|Level set#Level sets versus the gradient}}
+{{see also|लेवल सेट लेवल सेट बनाम प्रवणता}}
-एक स्तर की सतह, या आइसोसुरफेस, उन सभी बिंदुओं का समूह है जहां कुछ फ़ंक्शन का एक निश्चित मान होता है।
-यदि {{math|''f''}} अवकलनीय है, तो डॉट उत्पाद {{math|(∇''f''&thinsp;)<sub>''x''</sub> ⋅ ''v''}} एक बिंदु पर ढाल का {{math|''x''}} एक वेक्टर के साथ {{math|''v''}} का दिशात्मक व्युत्पन्न देता है {{math|''f''}} पर {{math|''x''}} दिशा में {{math|''v''}}. यह इस प्रकार है कि इस मामले में का ढाल {{math|''f''}} के स्तर सेट के लिए ओर्थोगोनल है {{math|''f''}}. उदाहरण के लिए, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक स्तर की सतह को फॉर्म के समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है {{math|1=''F''(''x'', ''y'', ''z'') = ''c''}}. का ढाल {{math|''F''}} फिर सतह के लिए सामान्य है।
+एक स्तर की सतह, या समसतह, सभी बिंदुओं का सेट है जहां कुछ फलन के पास दिए गए मान हैं।
-अधिक आम तौर पर, रिमेंनियन मैनिफोल्ड में किसी भी एम्बेडेड सबमनिफोल्ड हाइपरसर्फेस को फॉर्म के समीकरण द्वारा काटा जा सकता है {{math|1=''F''(''P'') = 0}} ऐसा है कि {{math|''dF''}} शून्य कहीं नहीं है। का ढाल {{math|''F''}} फिर हाइपरसर्फेस के लिए सामान्य है।
+यदि  {{math|''f''}}  अवकलनीय है, तो डॉट उत्पाद {{math|(∇''f''&thinsp;)<sub>''x''</sub> ⋅ ''v''}} एक बिंदु पर प्रवणता का {{math|''x''}} एक वेक्टर के साथ {{math|''v''}} का दिशात्मक व्युत्पन्न देता है {{math|''f''}}  पर {{math|''x''}} दिशा में {{math|''v''}} यह इस प्रकार है कि इस मामले में का प्रवणता {{math|''f''}}  के स्तर सेट के लिए ओर्थोगोनल है {{math|''f''}}  उदाहरण के लिए, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक स्तर की सतह को फॉर्म के समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है {{math|1=''F''(''x'', ''y'', ''z'') = ''c''}} का प्रवणता {{math|''F''}}  फिर सतह के लिए सामान्य है।
-इसी तरह, एक एफ़िन बीजीय किस्म को एक समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है {{math|1=''F''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) = 0}}, कहाँ पे {{math|''F''}} एक बहुपद है। का ढाल {{math|''F''}} हाइपरसर्फेस के एकवचन बिंदु पर शून्य है (यह एकवचन बिंदु की परिभाषा है)। एक गैर-एकवचन बिंदु पर, यह एक गैर-शून्य सामान्य वेक्टर है।
+अधिक समानता, रिमेंनियन मैनिफोल्ड में किसी भी अंतर्निहित सबमनिफोल्ड उच्च सतह को फॉर्म के समीकरण द्वारा काटा जा सकता है {{math|1=''F''(''P'') = 0}} ऐसा है कि {{math|''dF''}} शून्य कहीं नहीं है। का प्रवणता {{math|''F''}} फिर उच्च सतह के लिए सामान्य है।
-=== रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र और ढाल प्रमेय ===
+इसी तरह, एक एफ़िन बीजीय किस्म को एक समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है {{math|1=''F''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) = 0}}, कहाँ पे {{math|''F''}} एक बहुपद है। का प्रवणता {{math|''F''}} उच्च सतह के एकवचन बिंदु पर शून्य है (यह एकवचन बिंदु की परिभाषा है)। एक गैर-एकवचन बिंदु पर, यह एक गैर-शून्य सामान्य वेक्टर है।
-{{main|Gradient theorem}}
-किसी फ़ंक्शन के ग्रेडिएंट को ग्रेडिएंट फ़ील्ड कहा जाता है। ए (निरंतर) ढाल क्षेत्र हमेशा एक रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र होता है: किसी भी पथ के साथ इसकी रेखा अभिन्न केवल पथ के अंत बिंदुओं पर निर्भर करती है, और ढाल प्रमेय (लाइन इंटीग्रल के लिए कैलकुस का मौलिक प्रमेय) द्वारा मूल्यांकन किया जा सकता है। इसके विपरीत, एक (निरंतर) रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र हमेशा एक फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट होता है।
+=== संरक्षी वेक्टर क्षेत्र और प्रवणता प्रमेय ===
+{{main|प्रवणता प्रमेय}}
+फलन के प्रवणता को प्रवणता क्षेत्र कहा जाता हैएक (सतत) प्रवणता क्षेत्र हमेशा अनुदैर्घ्य वेक्टर क्षेत्र होता है: किसी भी पथ के साथ इसकी रेखा समाकल पथ के अंतबिंदु पर निर्भर करता है तथा इसका मूल्यांकन प्रवणता प्रमेय (समाकल लाइन के लिए कलन का मूल प्रमेय) द्वारा किया जा सकता है।इसके विपरीत, एक (सतत) रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र हमेशा एक फलन की प्रवणता है।
 == सामान्यीकरण ==
 === जैकोबियन ===
-{{Main|Jacobian matrix and determinant}}
+{{Main|जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक}}
-जैकोबियन मैट्रिक्स कई चर के वेक्टर-मूल्यवान कार्यों के लिए ढाल का सामान्यीकरण है और यूक्लिडियन रिक्त स्थान के बीच अलग-अलग मानचित्रों या अधिक आम तौर पर कई गुना है।<ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|pp=87,248}}</ref><ref>{{harvtxt|Kreyszig|1972|pp=333,353,496}}</ref> Banach रिक्त स्थान के बीच एक फ़ंक्शन के लिए एक और सामान्यीकरण फ़्रेचेट व्युत्पन्न है।
+जैकोबियन आव्यूह अनेक चरों के वेक्टर-मूल्यांकित कार्यों के लिए प्रवणता का सामान्यीकरण है और यूक्लिडियन स्थानों या, सामान्यतया, कई चरों के विभेदक मानचित्र के लिए<ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|pp=87,248}}</ref><ref>{{harvtxt|Kreyszig|1972|pp=333,353,496}}</ref> बनाच स्थान के बीच एक फलन के लिए एक और सामान्यीकरण फ्रेचेट व्युत्पन्न है।
-मान लीजिए {{math|'''f''' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup>}} एक ऐसा फलन है जिसका प्रत्येक प्रथम कोटि का आंशिक अवकलज मौजूद है {{math|ℝ<sup>''n''</sup>}}. तब का जैकोबियन मैट्रिक्स {{math|'''f'''}} एक के रूप में परिभाषित किया गया है {{math|''m''×''n''}} मैट्रिक्स, द्वारा दर्शाया गया <math>\mathbf{J}_\mathbb{f}(\mathbb{x})</math> या केवल <math>\mathbf{J}</math>. {{math|(''i'',''j'')}})}}वीं प्रविष्टि है <math>\mathbf J_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j}</math>. स्पष्ट रूप से
+मान लीजिए {{math|'''f''' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup>}} एक ऐसा फलन है जिसका प्रत्येक प्रथम कोटि का आंशिक अवकलज मौजूद है {{math|ℝ<sup>''n''</sup>}}. तब का जैकोबियन मैट्रिक्स {{math|'''f'''}} एक के रूप में परिभाषित किया गया है {{math|''m''×''n''}} मैट्रिक्स, द्वारा दर्शाया गया <math>\mathbf{J}_\mathbb{f}(\mathbb{x})</math> या केवल <math>\mathbf{J}</math>. {{math|(''i'',''j'')}}वीं प्रविष्टि है <math>\mathbf J_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j}</math>. स्पष्ट रूप से
 <math display="block">\mathbf J = \begin{bmatrix}
      \dfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_n} \end{bmatrix}
@@ Line 198: / Line 185: @@
      \vdots & \ddots & \vdots\\
      \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}.</math>
+=== एक वेक्टर क्षेत्र की प्रवणता ===
+{{see also|सहसंयोजक व्युत्पन्न}}
+चूंकि वेक्टर क्षेत्र का कुल व्युत्पन्न, वैक्टर से वेक्टर तक का एक रेखीय प्रतिचित्रण है, यह प्रदिश राशि है।
+आयताकार निर्देशांक में, एक वेक्टर क्षेत्र का प्रवणता '''f''' = ( ''f''<sup>1</sup>, ''f''<sup>2</sup>, ''f''<sup>3</sup>) द्वारा परिभाषित किया जाता है:
-=== एक सदिश क्षेत्र का ढाल ===
-{{see also|Covariant derivative}}
-चूँकि सदिश क्षेत्र का कुल व्युत्पन्न सदिशों से सदिशों तक एक रेखीय मानचित्रण है, यह एक टेंसर मात्रा है।
-आयताकार निर्देशांक में, एक सदिश क्षेत्र की ढाल {{math|1='''f''' = (&thinsp;''f''{{i sup|1}}, ''f''{{i sup|2}}, ''f''{{i sup|3}})}} द्वारा परिभाषित किया गया है:
 :<math>\nabla \mathbf{f}=g^{jk}\frac{\partial f^i}{\partial x^j} \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_k,</math>
-(जहां आइंस्टीन योग संकेतन का उपयोग किया जाता है और वैक्टर का टेंसर उत्पाद होता है {{math|'''e'''<sub>''i''</sub>}} तथा {{math|'''e'''<sub>''k''</sub>}} एक डाइडिक टेंसर प्रकार (2,0)) है। कुल मिलाकर, यह अभिव्यक्ति जैकोबियन मैट्रिक्स के स्थानान्तरण के बराबर है:
+(जहां आइंस्टाइन सममितन संकेतन का प्रयोग किया जाता है तथा वेक्टर {{math|'''e'''<sub>''i''</sub>}} तथा {{math|'''e'''<sub>''k''</sub>}} प्रदिश उत्पाद प्रकार (2,0) का एक दियाडिक प्रदिश होता है.कुल मिलाकर, यह अभिव्यक्ति जैकोबियन मैट्रिक्स के स्थानांतरण के बराबर होती है:
 :<math>\frac{\partial f^i}{\partial x^j} = \frac{\partial (f^1,f^2,f^3)}{\partial (x^1,x^2,x^3)}.</math>
-वक्रीय निर्देशांक में, या अधिक आम तौर पर एक घुमावदार रीमैनियन मैनिफोल्ड पर, ढाल में क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक शामिल होते हैं:
+वक्रीय निर्देशांक में, या अधिक समानता  एक घुमावदार मैनिफ़ोल्ड पर, प्रवणता में क्रिस्टोफिल प्रतीकों शामिल हैं:
 :<math>\nabla \mathbf{f}=g^{jk}\left(\frac{\partial f^i}{\partial x^j}+{\Gamma^i}_{jl}f^l\right) \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_k,</math>
-कहाँ पे {{math|''g''{{i sup|''jk''}}}} व्युत्क्रम मीट्रिक टेंसर के घटक हैं और {{math|'''e'''<sub>''i''</sub>}} निर्देशांक आधार वैक्टर हैं।
+व्युत्क्रम मीट्रिक प्रदिश  के घटक हैं और {{math|'''e'''<sub>''i''</sub>}} निर्देशांक आधार वेक्टर हैं।
-अधिक अपरिवर्तनीय रूप से व्यक्त किया गया, एक सदिश क्षेत्र का ढाल {{math|'''f'''}} Levi-Civita कनेक्शन और मीट्रिक टेंसर द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:<ref>{{harvnb|Dubrovin|Fomenko|Novikov|1991|pages=348–349}}.</ref>
+अधिक अपरिवर्तनीय रूप से व्यक्त किया गया, एक वेक्टर क्षेत्र का प्रवणता {{math|'''f'''}}  लेवि-सिविटा संबंध और मीट्रिक प्रदिश  द्वारा परिभाषित किया जा सकता है । <ref>{{harvnb|Dubrovin|Fomenko|Novikov|1991|pages=348–349}}.</ref>
 :<math>\nabla^a f^b = g^{ac} \nabla_c f^b ,</math>
-कहाँ पे {{math|∇<sub>''c''</sub>}} कनेक्शन है।
+कहाँ पे {{math|∇<sub>''c''</sub>}} संबंध है।
 === रीमैनियन मैनिफोल्ड्स ===
-किसी भी सुचारू कार्य के लिए {{mvar|f}} रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर {{math|(''M'', ''g'')}}, का ढाल {{math|''f''}} वेक्टर क्षेत्र है {{math|∇''f''}} ऐसा है कि किसी भी सदिश क्षेत्र के लिए {{math|''X''}},
+किसी भी सुचारू कार्य के लिए {{mvar|f}}  रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर {{math|(''M'', ''g'')}}, का प्रवणता {{math|''f''}}  वेक्टर क्षेत्र है {{math|∇''f''}}  ऐसा है कि किसी भी वेक्टर क्षेत्र के लिए {{math|''X''}},
 :<math>g(\nabla f, X) = \partial_X f,</math>
 वह है,
 :<math>g_x\big((\nabla f)_x, X_x \big) = (\partial_X f) (x),</math>
-कहाँ पे {{math|''g''<sub>''x''</sub>( , )}} स्पर्शरेखा वैक्टर के आंतरिक उत्पाद को दर्शाता है {{math|''x''}} मीट्रिक द्वारा परिभाषित {{math|''g''}} तथा {{math|∂<sub>''X''</sub>&thinsp;''f''}} वह कार्य है जो किसी भी बिंदु को लेता है {{math|''x'' ∈ ''M''}} के दिशात्मक व्युत्पन्न के लिए {{math|''f''}} दिशा में {{math|''X''}}, पर मूल्यांकन किया गया {{math|''x''}}. दूसरे शब्दों में, एक समन्वय चार्ट में {{math|''φ''}} के एक खुले उपसमुच्चय से {{math|''M''}} के एक खुले उपसमुच्चय के लिए {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}, {{math|(∂<sub>''X''</sub>&thinsp;''f''&thinsp;)(''x'')}} द्वारा दिया गया है:
+{{math|''g''<sub>''x''</sub>( , )}} स्पर्शरेखा वेक्टर के आंतरिक उत्पाद को दर्शाता है {{math|''x''}} मीट्रिक द्वारा परिभाषित {{math|''g''}} तथा {{math|∂<sub>''X''</sub>&thinsp;''f''}} वह कार्य है जो किसी भी बिंदु को लेता है {{math|''x'' ∈ ''M''}} के दिशात्मक व्युत्पन्न के लिए  {{math|''f''}}  दिशा में {{math|''X''}}, पर मूल्यांकन किया गया {{math|''x''}}  दूसरे शब्दों में, एक समन्वय चार्ट में {{math|''φ''}} के एक खुले उपसमुच्चय से {{math|''M''}} के एक खुले उपसमुच्चय के लिए {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}, {{math|(∂<sub>''X''</sub>&thinsp;''f''&thinsp;)(''x'')}} द्वारा दिया गया है:
 :<math>\sum_{j=1}^n X^{j} \big(\varphi(x)\big) \frac{\partial}{\partial x_{j}}(f \circ \varphi^{-1}) \Bigg|_{\varphi(x)},</math>
-कहाँ पे {{math|''X''{{isup|''j''}}}} दर्शाता है {{math|''j''}}का वां घटक {{math|''X''}} इस समन्वय चार्ट में।
+दर्शाता है {{math|''j''}}का वां घटक {{math|''X''}}  इस समन्वय चार्ट में।
-तो, ढाल का स्थानीय रूप रूप लेता है:
+तो, प्रवणता का स्थानीय रूप रूप लेता है:
 :<math>\nabla f = g^{ik} \frac{\partial f}{\partial x^k} {\textbf e}_i .</math>
-मामले का सामान्यीकरण {{math|1=''M'' = '''R'''<sup>''n''</sup>}}, किसी फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट उसके बाहरी व्युत्पन्न से संबंधित होता है, क्योंकि
+मामले का सामान्यीकरण {{math|1=''M'' = '''R'''<sup>''n''</sup>}}, किसी फलन का प्रवणता उसके बाहरी व्युत्पन्न से संबंधित होता है, क्योंकि
 :<math>(\partial_X f) (x) = (df)_x(X_x) .</math>
-अधिक सटीक, ढाल {{math|∇''f''}} अंतर 1-रूप से जुड़ा वेक्टर क्षेत्र है {{math|''df''}} संगीत समरूपता का उपयोग करना
+अधिक सटीक, प्रवणता {{math|∇''f''}} अंतर 1-रूप से जुड़ा वेक्टर क्षेत्र है {{math|''df''}}  संगीत समरूपता का उपयोग करना
 :<math>\sharp=\sharp^g\colon T^*M\to TM</math>
-(शार्प कहा जाता है) मीट्रिक द्वारा परिभाषित {{math|''g''}}. बाहरी व्युत्पन्न और किसी फ़ंक्शन के ग्रेडिएंट के बीच संबंध {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} इसका एक विशेष मामला है जिसमें मीट्रिक डॉट उत्पाद द्वारा दिया गया फ्लैट मीट्रिक है।
+(शार्प कहा जाता है) मीट्रिक द्वारा परिभाषित {{math|''g''}}. बाहरी व्युत्पन्न और किसी फलन के प्रवणता के बीच संबंध {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} इसका एक विशेष मामला है जिसमें मीट्रिक डॉट उत्पाद द्वारा दिया गया फ्लैट मीट्रिक है।
 ==यह भी देखें==
@@ Line 241: / Line 226: @@
 * कर्ल (गणित)
 * विचलन
-*चार ढाल
+*चार प्रवणता
 * हेसियन मैट्रिक्स
-* तिरछा ढाल
+* तिरछा प्रवणता
 == टिप्पणियाँ ==
@@ Line 277: / Line 262: @@
 * {{citation |last1 = Swokowski |first1 = Earl W. |last2 = Olinick |first2 = Michael |last3 = Pence |first3 = Dennis |last4 = Cole |first4 = Jeffery A. |title = Calculus |edition = 6th |location = Boston |publisher = PWS Publishing Company |year = 1994 |isbn = 0-534-93624-5 |ref = {{harvid|Swokowski et al.|1994}} |url = https://archive.org/details/calculus00swok }}
-==इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची==
-*विशिष्ट एकीकृत परिपथ आवेदन
-*डिजिटल डाटा
-*आंकड़े
-*के माध्यम से (इलेक्ट्रॉनिक्स)
-*संवहन दस्तावेज़ स्वरूप
-*विनिर्माण क्षमता के लिए डिजाइन (आईसी)
-*सिलिकॉन सत्यापन पोस्ट करें
-*मास्क डेटा तैयारी
-*असफलता विश्लेषण
-*रजिस्टर ट्रांसफर लेवल
-*सी (प्रोग्रामिंग भाषा)
-*यात्रा
-*मांग
-*उत्पाद आवश्यकता दस्तावेज़
-*बाज़ार अवसर
-*जीवन का अंत (उत्पाद)
-*निर्देश समुच्चय
-*तर्क अनुकरण
-*सिग्नल की समग्रता
-*डिजाइन नियम की जाँच
-*टाइमिंग क्लोजर
-*औपचारिक तुल्यता जाँच
-*सामान्य केन्द्रक
-*ऑप एंप
-*मेंटर ग्राफिक्स
-*एकीकृत परिपथों और प्रणालियों के कंप्यूटर सहायता प्राप्त डिजाइन पर आईईईई लेनदेन
-*असफलता विश्लेषण
-*एन पी-सम्पूर्ण
-*परीक्षण वेक्टर
-*controllability
-*observability
-*प्रशंसक एल्गोरिदम
-*कूट-यादृच्छिक
-*पंक्ति का पिछला अंत
-*बांड विशेषता
-*दोहरी इन-लाइन पैकेज
-*मरो (एकीकृत सर्किट)
-*निर्माण (अर्धचालक)
-*विद्युतचुंबकीय व्यवधान
-*epoxy
-*भली भांति बंद सील
-*फ्लैटपैक (इलेक्ट्रॉनिक्स)
-*पतली छोटी रूपरेखा पैकेज
-*गोंद
-*मेटलाइजिंग
-*अनावर्ती अभियांत्रिकी
-*बाजार के लिए समय
-*तार का जोड़
-*नमी
-*विद्युतीय
-*स्थानीय कर से मुक्ति
-*साफ-सुथरे कमरे
-*अवरोधित हो जाना
-*HIRF
-*एकीकृत परिपथ
-*रूटिंग (इलेक्ट्रॉनिक डिजाइन ऑटोमेशन)
-*प्रक्रिया के कोने
-*मानक सेल
-*आईसी बिजली की आपूर्ति पिन
-*घड़ी की आवृत्ति
-*सिग्नल की समग्रता
-*उत्तम नस्ल
-*रजिस्टर ट्रांसफर लेवल
-*मूल्य संवर्धित
-*पुस्तकालय (कंप्यूटर विज्ञान)
-*मॉडल आधारित डिजाइन
-*स्वत: नियंत्रण
-*राज्य मशीनें
-*सोर्स कोड
-*स्वचालित कोड पीढ़ी
-*शून्य से विभाजन
-*आवश्यकताओं का पता लगाने योग्यता
-*मॉडल जांच
-*औपचारिक तरीके
-*मॉडल केंद्र
-*वेब आधारित अनुकरण
-*Xcos
-*साइलैब
-*पूर्णांक
-*मैक ओएस
-*प्रयोक्ता इंटरफ़ेस
-*समारोह (गणित)
-*फोरट्रान
-*स्थिर (कंप्यूटर विज्ञान)
-*खिसकाना
-*जादू वर्ग
-*लैम्ब्डा कैलकुलस
-*मेक्स फ़ाइल
-*मेथेमेटिका
-*तुम क्या सहन करते हो
-*संख्यात्मक-विश्लेषण सॉफ्टवेयर की तुलना
-*आईईईई मानक
-*एक्सेलेरा
-*जावा (प्रोग्रामिंग भाषा)
-*पैक्ड सरणी
-*कड़ा मुकाबला
-*struct
-*टाइपडीफ
-*कुंडी (इलेक्ट्रॉनिक)
-*रन टाइम (कार्यक्रम जीवनचक्र चरण)
-*एकल विरासत
-*टेम्पलेट विशेषज्ञता
-*जानकारी छिपाना
-*ऑपरेटर नया
-*यादृच्छिक परीक्षण
-*सामग्री निहितार्थ (अनुमान का नियम)
-*पूर्ववृत्त (तर्क)
-*फलस्वरूप
-*सिमुलेशन
-*स्वचालित प्रमेय सिद्ध करना
-*कार्तीय गुणन
-*परीक्षण के अंतर्गत उपकरण
-*डिजाइन अंतरिक्ष सत्यापन
-*टेस्ट कवरेज
-*उदाहरण (कंप्यूटर विज्ञान)
-*तुल्यकालन (कंप्यूटर विज्ञान)
-*सशक्त टाइपिंग
-*पाश के लिए
-*बहाव को काबू करें
-*लगातार (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग)
-*भाषा अंतरसंचालनीयता
-*सी-परिवार प्रोग्रामिंग भाषाओं की सूची
-*प्रक्रमण करने से पहले के निर्देश
-*मूल फाइल
-*लिंट (सॉफ्टवेयर)
-*एकीकृत सर्किट डिजाइन
-*एकीकृत सर्किट लेआउट
-*एकीकृत परिपथ
-*पूरा रिवाज
-*इन्सुलेटर पर सिलिकॉन
-*मुखौटा डेटा तैयारी
-*उच्च स्तरीय संश्लेषण
-*असतत घटना सिमुलेशन
-*आईडिया1
-*उच्च स्तरीय प्रोग्रामिंग भाषा
-*संगणक वैज्ञानिक
-*वितरित अभिकलन
-*व्युत्पन्न वर्ग
-*सीएलयू (प्रोग्रामिंग भाषा)
-*अदा (प्रोग्रामिंग भाषा)
-*कक्षा (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग)
-*कास्ट (कंप्यूटर विज्ञान)
-*एक्सेप्शन हेंडलिंग
-*सभा की भाषा
-*अवधारणाएं (सी ++)
-*सी ++ मानक पुस्तकालय
-*एब्स्ट्रैक्शन (कंप्यूटर साइंस)
-*कक्षा (कंप्यूटर विज्ञान)
-*संकलन समय
-*सहयोगी सरणी
-*सुविधा (सॉफ्टवेयर डिजाइन)
-*अनवरत वृद्धि # अनियंत्रित विस्तार
-*विशिष्ट एकीकृत परिपथ आवेदन
-*अर्धचालक निर्माण
-*एक चिप पर सिस्टम
-*नि: शुल्क
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-*वास्तु घटना विज्ञान
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-*संकल्पनात्मक निदर्श
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-*उत्पाद का परीक्षण करना
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-*एचटीटीपी हेडर
-*जेनेटिक कोड
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-*अवरोध
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-*पाठ के प्रस्तुतिकरण के लिए प्रयुक्त भाषा
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-*असतत कोसाइन परिवर्तन
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-*पूर्व बनाया
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-*एमपीईजी -4 भाग 14
-*बयान (कंप्यूटर विज्ञान)
-*सॉफ़्टवेयर परीक्षण
-*एसीएम का संचार
-*सुरक्षा महत्वपूर्ण
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-*रुकने की समस्या
-*ताल डिजाइन सिस्टम
-*एफपीजीए प्रोटोटाइप
-*कदम स्तर
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-*एंटीट्रस्ट
-*एआईएम गठबंधन
-*किफायती इंटरनेट के लिए गठबंधन
-*सेब सिलिकॉन
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-*Apple वर्ल्डवाइड डेवलपर्स कॉन्फ्रेंस
-*स्वतंत्र रूप से पुनर्वितरण योग्य सॉफ्टवेयर
-*प्रचार अभियान
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-*बम्पलेस बिल्ड-अप परत
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-*सिस्टम टाइप करें
-*कंप्यूटर विज्ञान में तर्क
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-*कार्यक्रम परिशोधन
-*स्वचालित प्रमेय कहावत
-*जेड अंकन
-*उदाहरण
-*अनिश्चितता
-*ओरेकल मशीन
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-*विशिष्टता और विवरण भाषा
-*RAISE विनिर्देश भाषा
-*विशिष्टता भाषा
-*लेन-देन-स्तर मॉडलिंग
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-*श्वेत रव
-*विंडो (कंप्यूटिंग)
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-*ट्रुथ टेबल
-*प्रोग्राम करने योग्य तर्क सरणी
-*बहाव को काबू करें
-*कार्यात्मक डिजाइन
-*अंकगणितीय आपरेशनस
-*पराबैगनी प्रकाश
-*लेज़र
-*कामकाजी मेज
-*अत्यधिक पराबैंगनी लिथोग्राफी
-*आईएमईसी
-*सब्सट्रेट (मुद्रण)
-*टोपपन
-*स्थिर समय विश्लेषण
-*टेस्टेबिलिटी के लिए डिजाइन
-*बंद होने का समय
-*योजनाबद्ध कब्जा
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-*प्रभारी वाहक
-*पारंपरिक धारा
-*अर्धचालकों में आवेश वाहक
-*रिक्तीकरण क्षेत्र
-*बहुसंख्यक वाहक
-*निम्न स्तर का इंजेक्शन
-*द्विध्रुवीय प्रसार
-*फोटोन
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-*आम आधार
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-*हिमस्खलन टूटना
-*कमरे का तापमान
-*बेल टेलीफोन लेबोरेटरीज
-*बेलगाम उष्म वायु प्रवाह
-*सतह-अवरोध ट्रांजिस्टर
-*बैंड आरेख
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-*एकदिश धारा
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Latest revision as of 13:18, 29 March 2023

अभिप्रेरण

संकेतन

परिभाषा

कार्तीय निर्देशांक

बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक

सामान्य निर्देशांक

व्युत्पन्न के साथ संबंध

कुल व्युत्पन्न के साथ संबंध

विभेदक या (बाहरी) व्युत्पन्न

एक फलन के लिए रैखिक सन्निकटन

फ़्रेचेट व्युत्पन्न के साथ संबंध

अग्रिम गुण और अनुप्रयोग

स्तर सेट

संरक्षी वेक्टर क्षेत्र और प्रवणता प्रमेय

सामान्यीकरण

जैकोबियन

एक वेक्टर क्षेत्र की प्रवणता

रीमैनियन मैनिफोल्ड्स

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

संदर्भ

अग्रिम पठन

बाहरी संबंध

Navigation

Wiki tools

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Other projects

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