बाहरी व्युत्पन्न

एक अलग-अलग मैनिफोल्ड पर, बाहरी व्युत्पन्न एक फ़ंक्शन के पुशफॉरवर्ड (डिफरेंशियल) की अवधारणा को उच्च डिग्री के विभेदक रूप ों तक फैलाता है। बाहरी व्युत्पन्न को पहली बार 1899 में एली कार्टन द्वारा अपने वर्तमान रूप में वर्णित किया गया था। परिणामी कलन, जिसे बाहरी कलन के रूप में जाना जाता है, स्टोक्स के प्रमेय, गॉस के प्रमेय और वेक्टर कैलकुलस से ग्रीन के प्रमेय के एक प्राकृतिक, मीट्रिक-स्वतंत्र सामान्यीकरण की अनुमति देता है।

यदि एक अंतर k-फॉर्म को एक इनफिनिटिमल के माध्यम से फ्लक्स को मापने के रूप में माना जाता है k-Parallelepiped# कई गुना के प्रत्येक बिंदु पर Parallelotope, फिर इसके बाहरी व्युत्पन्न को एक की सीमा के माध्यम से शुद्ध प्रवाह को मापने के रूप में माना जा सकता है (k + 1)-प्रत्येक बिंदु पर समानांतर।

परिभाषा

डिग्री के एक विभेदक रूप का बाहरी व्युत्पन्न k (भी अंतर k-फॉर्म, या जस्ट k-यहां संक्षिप्तता के लिए फॉर्म) डिग्री का एक विभेदक रूप है k + 1.

यदि  f  एक चिकनाई है (ए 0-फॉर्म), फिर का बाहरी व्युत्पन्न  f  का पुशफॉरवर्ड (अंतर) है  f . वह है, df  अद्वितीय 1-रूप है|1-फॉर्म ऐसा है कि हर चिकने वेक्टर फील्ड के लिए#वेक्टर फील्ड्स मैनिफोल्ड्स X, df (X) = d_X f , कहाँ पे d_X f  का दिशात्मक व्युत्पन्न है  f  की दिशा में X.

विभेदक रूपों का बाहरी उत्पाद (एक ही प्रतीक के साथ चिह्नित) ∧) को उनके बिंदुवार बाहरी उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है।

सामान्य के बाहरी व्युत्पन्न की कई समान परिभाषाएं हैं k-प्रपत्र।

स्वयंसिद्धों के संदर्भ में

बाहरी व्युत्पन्न को अद्वितीय के रूप में परिभाषित किया गया है ℝसे रैखिक मानचित्रण k-फॉर्म टू (k + 1)-फॉर्म जिसमें निम्नलिखित गुण हैं:

1. df  के एक समारोह का अंतर है  f  एक के लिए 0-प्रपत्र  f .
2. d(df ) = 0 एक के लिए 0-प्रपत्र  f .
3. d(α ∧ β) = dα ∧ β + (−1)^p (α ∧ dβ) कहाँ पे α एक है p-प्रपत्र। यानी, d डिग्री की व्युत्पत्ति (बीजगणित) है 1 विभेदक रूपों के बाहरी बीजगणित पर।

दूसरी परिभाषित संपत्ति अधिक व्यापकता में रखती है: d(dα) = 0 किसी के लिए k-प्रपत्र α; अधिक संक्षेप में, d² = 0. तीसरी परिभाषित संपत्ति का तात्पर्य एक विशेष मामले के रूप में है कि यदि  f  एक समारोह है और α एक is k-रूप, फिर d( fα) = d( f ∧ α) = df  ∧ α +  f  ∧ dα क्योंकि एक फलन है a 0-form, और अदिश गुणन और बाहरी उत्पाद समतुल्य होते हैं, जब कोई एक तर्क अदिश होता है।

स्थानीय निर्देशांक के संदर्भ में

वैकल्पिक रूप से, कोई पूरी तरह से स्थानीय समन्वय प्रणाली में काम कर सकता है (x¹, ..., xⁿ). समन्वय अंतर dx¹, ..., dxⁿ एक-रूपों के स्थान का आधार बनाते हैं, प्रत्येक एक समन्वय से जुड़ा होता है। एक बहु-सूचकांक दिया गया I = (i₁, ..., i_k) साथ 1 ≤ i_p ≤ n के लिये 1 ≤ p ≤ k (और निरूपित dx^i₁ ... डीएक्स^i_k संकेतन के दुरुपयोग के साथ dx^I), a (सरल) का बाहरी व्युत्पन्न k-प्रपत्र

$\varphi =g\,dx^{I}=g\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}$

ऊपर ℝⁿ की तरह परिभाषित किया गया है

$d{\varphi }={\frac {\partial g}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}$

(आइंस्टीन संकेतन का उपयोग करके)। बाहरी व्युत्पन्न की परिभाषा रैखिक रूप से सामान्य तक विस्तारित होती है k-प्रपत्र

$\omega =f_{I}\,dx^{I},$

जहां बहु-सूचकांक के प्रत्येक घटक I में सभी मूल्यों पर चलाएँ {1, ..., n}. ध्यान दें कि जब भी i बहु-सूचकांक के घटकों में से एक के बराबर होती है I फिर dxⁱ ∧ dx^I = 0 (बाहरी उत्पाद देखें)।

स्थानीय निर्देशांक में बाहरी व्युत्पन्न की परिभाषा पूर्ववर्ती # स्वयंसिद्धों के संदर्भ में है। दरअसल, के साथ k-प्रपत्र φ जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है,

${\begin{aligned}d{\varphi }&=d\left(g\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\\&=dg\wedge \left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)+g\,d\left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\\&=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}+g\sum _{p=1}^{k}(-1)^{p-1}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{p-1}}\wedge d^{2}x^{i_{p}}\wedge dx^{i_{p+1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&={\frac {\partial g}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\\end{aligned}}$

यहाँ, हमने व्याख्या की है g के रूप में 0-फॉर्म, और फिर बाहरी व्युत्पन्न के गुणों को लागू किया।

यह परिणाम सीधे सामान्य तक फैला हुआ है k-प्रपत्र ω जैसा

$d\omega ={\frac {\partial f_{I}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}.$

विशेष रूप से, a . के लिए 1-प्रपत्र ω, के घटक dω स्थानीय समन्वय प्रणाली में हैं

$(d\omega )_{ij}=\partial _{i}\omega _{j}-\partial _{j}\omega _{i}.$

सावधानी: के अर्थ के संबंध में दो परंपराएं हैं $dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}$. सबसे वर्तमान लेखक सम्मेलन है कि

$\left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{i_{k}}}}\right)=1.$

जबकि पुराने पाठ जैसे कोबायाशी और नोमिज़ू या हेलगासन में

$\left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{i_{k}}}}\right)={\frac {1}{k!}}.$

अपरिवर्तनीय सूत्र के संदर्भ में

वैकल्पिक रूप से, एक स्पष्ट सूत्र दिया जा सकता है a . के बाहरी व्युत्पन्न के लिए k-प्रपत्र ω, जब के साथ जोड़ा जाता है k + 1 मनमाना चिकनी वेक्टर क्षेत्र V₀, V₁, ..., V_k:

$d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})=\sum _{i}(-1)^{i}d_{{}_{V_{i}}}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k})$

कहाँ पे [V_i, V_j] वेक्टर क्षेत्रों के लेट ब्रैकेट को दर्शाता है और एक टोपी उस तत्व की चूक को दर्शाता है:

$\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k})=\omega (V_{0},\ldots ,V_{i-1},V_{i+1},\ldots ,V_{k}).$

विशेष रूप से, जब ω एक है 1-फॉर्म हमारे पास है dω(X, Y) = d_X(ω(Y)) − d_Y(ω(X)) − ω([X, Y]).

नोट: उदाहरण के लिए, कोबायाशी-नोमिज़ू और हेलगासन की परंपराओं के साथ, सूत्र के एक कारक से भिन्न होता है 1/k + 1:

${\begin{aligned}d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})={}&{1 \over k+1}\sum _{i}(-1)^{i}\,d_{{}_{V_{i}}}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))\\&{}+{1 \over k+1}\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k}).\end{aligned}}$

उदाहरण

उदाहरण 1. विचार करें σ = u dx¹ ∧ dx² एक से अधिक 1-फॉर्म आधार dx¹, ..., dxⁿ एक अदिश क्षेत्र के लिए u. बाहरी व्युत्पन्न है:

${\begin{aligned}d\sigma &=du\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\right)\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\sum _{i=3}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\right)\end{aligned}}$

अंतिम सूत्र, जहां योग शुरू होता है i = 3, बाहरी उत्पाद के गुणों से आसानी से अनुसरण करता है। अर्थात्, dxⁱ ∧ dxⁱ = 0.

उदाहरण 2. चलो σ = u dx + v dy एक हो 1-फॉर्म परिभाषित ओवर ℝ². उपरोक्त सूत्र को प्रत्येक पद पर लागू करने पर (विचार करें .) x¹ = x तथा x² = y) हमारे पास निम्नलिखित योग है,

${\begin{aligned}d\sigma &=\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}dx^{i}\wedge dx\right)+\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial v}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dy\right)\\&=\left({\frac {\partial {u}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dx+{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\,dy\wedge dx\right)+\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {y}}}\,dy\wedge dy\right)\\&=0-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\,dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dy+0\\&=\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\right)\,dx\wedge dy\end{aligned}}$

कई गुना पर स्टोक्स का प्रमेय

Main article: Generalized Stokes' theorem

यदि M एक कॉम्पैक्ट चिकनी उन्मुख है n-आयामी सीमा के साथ कई गुना, और ω एक (n − 1)-फॉर्म ऑन M, फिर सामान्यीकृत स्टोक्स प्रमेय | स्टोक्स के प्रमेय का सामान्यीकृत रूप कहता है कि:

$\int _{M}d\omega =\int _{\partial {M}}\omega$

सहजता से, अगर कोई सोचता है M जैसा कि अतिसूक्ष्म क्षेत्रों में विभाजित किया जा रहा है, और एक सभी क्षेत्रों की सीमाओं के माध्यम से प्रवाह जोड़ता है, आंतरिक सीमाएं सभी रद्द हो जाती हैं, कुल प्रवाह को सीमा के माध्यम से छोड़कर M.

आगे गुण

बंद और सटीक रूप

Main article: Closed and exact forms

A k-प्रपत्र ω बंद कहा जाता है if dω = 0; बंद रूप के कर्नेल (बीजगणित) हैं d. ω सटीक कहा जाता है if ω = dα कुछ के लिए (k − 1)-प्रपत्र α; सटीक रूप की छवि (गणित) हैं d. इसलिये d² = 0, हर सटीक रूप बंद है। पोंकारे लेम्मा में कहा गया है कि एक सिकुड़ा हुआ क्षेत्र में, काफिला सच है।

डी रम कोहोलॉजी

क्योंकि बाहरी व्युत्पन्न d संपत्ति है कि d² = 0, इसे कई गुना पर डॉ. रहम मेमने के रूप में को परिभाषित करने के लिए कोचैन कॉम्प्लेक्स (कोबाउंड्री) के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है। k'}}-th de Rham cohomology (समूह) बंद का सदिश समष्टि है k-फॉर्म मोडुलो सटीक k-रूप; जैसा कि पिछले खंड में उल्लेख किया गया है, पोंकारे लेम्मा में कहा गया है कि ये वेक्टर रिक्त स्थान एक अनुबंध योग्य क्षेत्र के लिए तुच्छ हैं, के लिए k > 0. चिकनी मैनिफोल्ड के लिए, रूपों का एकीकरण डी रम कोहोलॉजी से एकवचन कोहोलॉजी तक एक प्राकृतिक समरूपता देता है। ℝ. डी रम के प्रमेय से पता चलता है कि यह नक्शा वास्तव में एक समरूपता है, पोंकारे लेम्मा का एक दूरगामी सामान्यीकरण। जैसा कि सामान्यीकृत स्टोक्स प्रमेय द्वारा सुझाया गया है, बाहरी व्युत्पन्न श्रृंखला परिसर का दोहरा है#एकवचन सरलता पर औपचारिक परिभाषा।

प्राकृतिकता

बाहरी व्युत्पन्न तकनीकी अर्थों में स्वाभाविक है: if  f : M → N एक चिकना नक्शा है और Ω^k कंट्रावेरिएंट स्मूथ फंक्शनल है जो प्रत्येक को कई गुना स्पेस असाइन करता है k- कई गुना पर बनता है, फिर निम्न आरेख चलता है

इसलिए d( f^∗ω) =  f^∗dω, कहाँ पे  f^∗ . के पुलबैक (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) को दर्शाता है  f . यह उसी से होता है  f^∗ω(·), परिभाषा के अनुसार, is ω( f_∗(·)),  f_∗ का पुशफॉरवर्ड (अंतर) होने के नाते  f . इस प्रकार d से एक प्राकृतिक परिवर्तन है Ω^k प्रति Ω^k+1.

वेक्टर कलन में बाहरी व्युत्पन्न

अधिकांश वेक्टर कैलकुस ऑपरेटर बाहरी भेदभाव की धारणा के विशेष मामले हैं, या उनके करीबी संबंध हैं।

ढाल

एक सुचारू कार्य  f : M → ℝ एक वास्तविक भिन्न कई गुना पर M एक है 0-प्रपत्र। इसका बाहरी व्युत्पन्न 0-रूप है 1-प्रपत्र df.

जब एक आंतरिक उत्पाद ⟨·,·⟩ परिभाषित किया गया है, ढाल ∇f  एक समारोह का  f  में अद्वितीय वेक्टर के रूप में परिभाषित किया गया है V जैसे कि इसका आंतरिक उत्पाद के किसी भी तत्व के साथ V का दिशात्मक व्युत्पन्न है  f  वेक्टर के साथ, यह ऐसा है कि

$\langle \nabla f,\cdot \rangle =df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}.$

वह है,

$\nabla f=(df)^{\sharp }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,\left(dx^{i}\right)^{\sharp },$

कहाँ पे ♯ संगीतमय समरूपता को दर्शाता है ♯ : V^∗ → V पहले उल्लेख किया गया है जो आंतरिक उत्पाद से प्रेरित है। 11}}-फॉर्म df  कोटेंजेंट बंडल का एक भाग है, जो एक स्थानीय रैखिक सन्निकटन देता है  f  प्रत्येक बिंदु पर कोटैंजेंट स्पेस में।

विचलन

एक वेक्टर क्षेत्र V = (v₁, v₂, ..., v_n) पर ℝⁿ एक संगत . है (n − 1)-प्रपत्र

${\begin{aligned}\omega _{V}&=v_{1}\left(dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)-v_{2}\left(dx^{1}\wedge dx^{3}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)+\cdots +(-1)^{n-1}v_{n}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n-1}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{(i-1)}v_{i}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{i-1}\wedge {\widehat {dx^{i}}}\wedge dx^{i+1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)\end{aligned}}$

कहाँ पे ${\widehat {dx^{i}}}$ उस तत्व की चूक को दर्शाता है।

(उदाहरण के लिए, जब n = 3, यानी त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, 2-प्रपत्र ω_V स्थानीय रूप से अदिश ट्रिपल उत्पाद है V।) का अभिन्न अंग ω_V एक हाइपरसर्फेस पर का प्रवाह है V उस हाइपरसर्फेस पर।

इसका बाहरी व्युत्पन्न (n − 1)-रूप है n-प्रपत्र

$d\omega _{V}=\operatorname {div} V\left(dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right).$

कर्ल

एक वेक्टर क्षेत्र V पर ℝⁿ भी एक संगत . है 1-प्रपत्र

$\eta _{V}=v_{1}\,dx^{1}+v_{2}\,dx^{2}+\cdots +v_{n}\,dx^{n}.$

स्थानीय रूप से, η_V के साथ डॉट उत्पाद है V. का अभिन्न अंग η_V पथ के अनुदिश यांत्रिक कार्य के विरुद्ध किया जाता है −V उस रास्ते के साथ।

कब n = 3, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, के बाहरी व्युत्पन्न 1-प्रपत्र η_V है 2-प्रपत्र

$d\eta _{V}=\omega _{\operatorname {curl} V}.$

वेक्टर कैलकुस में ऑपरेटरों के अपरिवर्तनीय फॉर्मूलेशन

मानक वेक्टर कैलकुस ऑपरेटरों को किसी भी छद्म रीमैनियन मैनिफोल्ड के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और समन्वय-मुक्त नोटेशन में निम्नानुसार लिखा गया है:

${\begin{array}{rcccl}\operatorname {grad} f&\equiv &\nabla f&=&\left(df\right)^{\sharp }\\\operatorname {div} F&\equiv &\nabla \cdot F&=&{\star d{\star }{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}}\\\operatorname {curl} F&\equiv &\nabla \times F&=&\left({\star }d{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}\right)^{\sharp }\\\Delta f&\equiv &\nabla ^{2}f&=&{\star }d{\star }df\\&&\nabla ^{2}F&=&\left(d{\star }d{\star }{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}-{\star }d{\star }d{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}\right)^{\sharp },\\\end{array}}$

कहाँ पे ⋆ हॉज डुअल है, ♭ तथा ♯ संगीतमय समरूपता हैं,  f  एक अदिश क्षेत्र है और F एक वेक्टर क्षेत्र है।

ध्यान दें कि अभिव्यक्ति के लिए curl आवश्यक है ♯ पर कार्रवाई करने के लिए ⋆d(F^♭), जो डिग्री का एक रूप है n − 2. का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण ♯ प्रति k-मनमाना डिग्री के रूप इस अभिव्यक्ति को किसी के लिए समझ में आने की अनुमति देते हैं n.

यह भी देखें

• बाहरी सहसंयोजक व्युत्पन्न
• राम परिसर के
• परिमित तत्व बाहरी कलन
• असतत बाहरी कलन
• हरित प्रमेय
• झूठ व्युत्पन्न
• स्टोक्स का प्रमेय
• फ्रैक्टल व्युत्पन्न

संदर्भ

• Cartan, Élie (1899). "Sur certaines expressions différentielles et le problème de Pfaff". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Série 3 (in français). Paris: Gauthier-Villars. 16: 239–332. ISSN 0012-9593. JFM 30.0313.04. Retrieved 2 Feb 2016.
• Conlon, Lawrence (2001). Differentiable manifolds. Basel, Switzerland: Birkhäuser. p. 239. ISBN 0-8176-4134-3.
• Darling, R. W. R. (1994). Differential forms and connections. Cambridge, UK: Cambridge University Press. p. 35. ISBN 0-521-46800-0.
• Flanders, Harley (1989). Differential forms with applications to the physical sciences. New York: Dover Publications. p. 20. ISBN 0-486-66169-5.
• Loomis, Lynn H.; Sternberg, Shlomo (1989). Advanced Calculus. Boston: Jones and Bartlett. pp. 304–473 (ch. 7–11). ISBN 0-486-66169-5.
• Ramanan, S. (2005). Global calculus. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. p. 54. ISBN 0-8218-3702-8.
• Spivak, Michael (1971). Calculus on Manifolds. Boulder, Colorado: Westview Press. ISBN 9780805390216.
• Warner, Frank W. (1983), Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 94, Springer, ISBN 0-387-90894-3

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• बाहरी आवरण
• अलग करने योग्य कई गुना
• आगे की ओर (अंतर)
• फ़ंक्शन का अंतर
• बहु सूचकांक
• संकेतन का दुरुपयोग
• वेक्टर फ़ील्ड का लेट ब्रैकेट
• चिकना कई गुना
• ऑपरेटर
• पुलबैक (अंतर ज्यामिति)
• संगीत समरूपता

बाहरी संबंध

• Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: "The derivative isn't what you think it is". Aleph Zero. November 3, 2020 – via YouTube.