बिंदुवार

गणित में, क्वालीफायर बिंदुवार उपयोग यह प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है, कि प्रत्येक मान पर विचार करके निश्चित संपत्ति परिभाषित की जाती है $f(x)$ किसी फलन का $f$ होता है। बिंदुवार अवधारणाओं का महत्वपूर्ण वर्ग संचालन होता है, अर्थात्, परिभाषा के कार्य के डोमेन में प्रत्येक बिंदु के लिए भिन्न-भिन्न मानों को कार्य करने के लिए संचालन को प्रारम्भ करके कार्यों पर परिभाषित संचालन संबंधों के महत्वपूर्ण सिद्धांत को बिंदुवार भी परिभाषित किया जा सकता है।

बिंदुवार संचालन

साइन फलन (निचला प्लॉट, नीला) एवं प्राकृतिक लघुगणक (लाल) कार्यों का बिंदुवार योग (ऊपरी भूखंड, बैंगनी) एवं उत्पाद (हरा) हाइलाइट किया गया लंबवत टुकड़ा बिंदु x = 2π पर गणना दिखाता है।

औपचारिक परिभाषा

बाइनरी संचालन $o : Y \times Y \to Y$ उपसमुच्चय पर $Y$ किसी संचालन $O : (X \to Y) \times (X \to Y) \to (X \to Y)$ से सभी कार्यों के मंच $X \to Y$ के लिए बिंदुवार उठाया जा सकता है। $X$ से $Y$ इस प्रकार है। दो फलन $f 1 : X \to Y$ एवं $f 2 : X \to Y$ दिए गए हैं। फलन $O (f 1, f 2): X \to Y$ द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।

(O (f 1, f 2))(x) = o (f 1 (x), f 2 (x))

for all

x \in X

.

सामान्यतः o एवं O को प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है। समान परिभाषा का उपयोग यूनरी संचालन o के लिए एवं अन्य एरीटी के संचालन के लिए किया जाता है।

उदाहरण

{\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)&{\text{(pointwise addition)}}\\(f\cdot g)(x)&=f(x)\cdot g(x)&{\text{(pointwise multiplication)}}\\(\lambda \cdot f)(x)&=\lambda \cdot f(x)&{\text{(pointwise multiplication by a scalar)}}\end{aligned}}

जहाँ

f,g:X\to R

.

बिंदुवार गुणनफल एवं अदिश भी देखें।

कार्यों पर संचालन का उदाहरण जो बिंदुवार नहीं है, कनवल्शन है।

गुण

बिंदुवार संचालन को कोडोमेन पर संबंधित संचालन से संबद्धता, क्रमविनिमेयता एवं वितरण जैसे गुण मिलते हैं। यदि $A$ कुछ बीजगणितीय संरचना है, सभी कार्यों का उपसमुच्चय $X$ के वाहक उपसमुच्चय के लिए $A$ को समान प्रकार की बीजगणितीय संरचना के रूप में परिवर्तित किया जा सकता है।

घटकवार संचालन

घटकवार संचालन सामान्यतः सदिश पर परिभाषित होते हैं, जहां सदिश उपसमुच्चय के तत्व होते हैं, $K^{n}$ कुछ प्राकृतिक संख्या के लिए $n$ एवं कुछ क्षेत्र $K$ पर निरूपित करते हैं, किसी भी सदिश का $i$ -वाँ घटक $v$ रूप में $v_{i}$ , तो घटकवार जोड़ है। $(u+v)_{i}=u_{i}+v_{i}$

मेट्रिसेस पर घटकवार संचालन को परिभाषित किया जा सकता है। आव्यूह जोड़, जहां $(A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}$ घटकवार संचालन है जबकि आव्यूह गुणन नहीं है।

टपल को फलन के रूप में माना जा सकता है, एवं सदिश, टपल है। इसलिए, कोई भी सदिश $v$ फलन से युग्मित होता है। $f:n\to K$ ऐसा है कि $f(i)=v_{i}$ , एवं सदिशों पर कोई भी घटकवार संक्रिया उन सदिशों के संगत फलनों पर बिंदुवार प्रचालन होता है।