फ्रोबेनियस आंतरिक गुणनफल

गणित में, फ्रोबेनियस आंतरिक गुणनफल एक द्वि आधारी संक्रिया है जो दो आव्यूह(गणित) लेता है और एक अदिश(गणित) देता है। इसे प्रायः $\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }$ निरूपित किया जाता है। संक्रिया दो आव्यूहों का एक घटक-वार आंतरिक गुणनफल है जैसे कि वे सदिश हों, और एक आंतरिक गुणनफल के लिए स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। दो आव्यूहों का आयाम समान होना चाहिए - पंक्तियों और स्तंभों की समान संख्या, परन्तु वर्ग आव्यूह तक ही सीमित नहीं है।

परिभाषा

दो जटिल संख्या-मानित n × m आव्यूह 'A' और 'B' को स्पष्ट रूप से

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1m}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{n1}&B_{n2}&\cdots &B_{nm}\\\end{pmatrix}}$

के रूप में लिखा गया है, फ्रोबेनियस आंतरिक गुणनफल को

$\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }=\sum _{i,j}{\overline {A_{ij}}}B_{ij}\,=\mathrm {Tr} \left({\overline {\mathbf {A} ^{T}}}\mathbf {B} \right)\equiv \mathrm {Tr} \left(\mathbf {A} ^{\!\dagger }\mathbf {B} \right)$

के रूप में परिभाषित किया गया है, जहां शिरोपंक्ति जटिल संयुग्मी को दर्शाता है, और $\dagger$ संयुग्म संक्रमण को दर्शाता है। स्पष्ट रूप से यह राशि

${\begin{aligned}\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }=&{\overline {A}}_{11}B_{11}+{\overline {A}}_{12}B_{12}+\cdots +{\overline {A}}_{1m}B_{1m}\\&+{\overline {A}}_{21}B_{21}+{\overline {A}}_{22}B_{22}+\cdots +{\overline {A}}_{2m}B_{2m}\\&\vdots \\&+{\overline {A}}_{n1}B_{n1}+{\overline {A}}_{n2}B_{n2}+\cdots +{\overline {A}}_{nm}B_{nm}\\\end{aligned}}$ है

गणना बिंदु गुणनफल के समान ही है, जो बदले में आंतरिक गुणनफल का एक उदाहरण है।

अन्य गुणनफलों से संबंध

यदि A और B प्रत्येक वास्तविक संख्या-मानित आव्यूह हैं, तो फ्रोबेनियस आंतरिक गुणनफल हैडमार्ड गुणनफल(आव्यूह) की प्रविष्टियों का योग है। यदि आव्यूह सदिशीकृत(गणित) हैं(अर्थात, स्तंभ सदिश में परिवर्तित, $\mathrm {vec} (\cdot )$ द्वारा निरूपित) , तो

$\mathrm {vec} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}A_{11}\\A_{12}\\\vdots \\A_{21}\\A_{22}\\\vdots \\A_{nm}\end{pmatrix}},\quad \mathrm {vec} (\mathbf {B} )={\begin{pmatrix}B_{11}\\B_{12}\\\vdots \\B_{21}\\B_{22}\\\vdots \\B_{nm}\end{pmatrix}}\,,$$\quad {\overline {\mathrm {vec} (\mathbf {A} )}}^{T}\mathrm {vec} (\mathbf {B} )={\begin{pmatrix}{\overline {A}}_{11}&{\overline {A}}_{12}&\cdots &{\overline {A}}_{21}&{\overline {A}}_{22}&\cdots &{\overline {A}}_{nm}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{11}\\B_{12}\\\vdots \\B_{21}\\B_{22}\\\vdots \\B_{nm}\end{pmatrix}}$

इसलिए

$\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }={\overline {\mathrm {vec} (\mathbf {A} )}}^{T}\mathrm {vec} (\mathbf {B} )\,.$

गुण

यह चार जटिल-मानित आव्यूहों A, B, C, D, और दो सम्मिश्र संख्याओं a और b:

$\langle a\mathbf {A} ,b\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }={\overline {a}}b\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }$

$\langle \mathbf {A} +\mathbf {C} ,\mathbf {B} +\mathbf {D} \rangle _{\mathrm {F} }=\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {A} ,\mathbf {D} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {C} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {C} ,\mathbf {D} \rangle _{\mathrm {F} }$ के लिए एक अनुक्रमिक रूप है।

इसके अतिरिक्त, आव्यूह का आदान-प्रदान जटिल संयुग्मन के लिए होता है:

$\langle \mathbf {B} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }={\overline {\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }}}$

उसी आव्यूह के लिए,

$\langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }\geq 0$,

और,

$\langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }=0\Longleftrightarrow \mathbf {A} =\mathbf {0}$।

फ्रोबेनियस मानदंड

आंतरिक गुणनफल फ्रोबेनियस मानदंड

$\|\mathbf {A} \|_{\mathrm {F} }={\sqrt {\langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }}}\,$ को प्रेरित करता है।

उदाहरण

वास्तविक-मानित आव्यूह

दो वास्तविक मानित आव्यूहों के लिए, यदि

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&0&6\\1&-1&2\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}8&-3&2\\4&1&-5\end{pmatrix}}$

तब

${\begin{aligned}\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }&=2\cdot 8+0\cdot (-3)+6\cdot 2+1\cdot 4+(-1)\cdot 1+2\cdot (-5)\\&=21\end{aligned}}$

जटिल-मानित आव्यूह

दो जटिल-मानित आव्यूह के लिए, यदि

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1+i&-2i\\3&-5\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}-2&3i\\4-3i&6\end{pmatrix}}$

तब

${\begin{aligned}\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }&=(1-i)\cdot (-2)+2i\cdot 3i+3\cdot (4-3i)+(-5)\cdot 6\\&=-26-7i\end{aligned}}$

जबकि

${\begin{aligned}\langle \mathbf {B} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }&=(-2)\cdot (1+i)+(-3i)\cdot (-2i)+(4+3i)\cdot 3+6\cdot (-5)\\&=-26+7i\end{aligned}}$

स्वयं के साथ A और स्वयं के साथ B के फ्रोबेनियस आंतरिक गुणनफल क्रमशः हैं

$\langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }=2+4+9+25=40$$\qquad \langle \mathbf {B} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }=4+9+25+36=74$

यह भी देखें

• हैडमार्ड गुणनफल(आव्यूह)
• हिल्बर्ट-श्मिट आंतरिक गुणनफल
• क्रोनकर गुणनफल
• आव्यूह विश्लेषण
• आव्यूह गुणन
• आव्यूह मानदंड
• हिल्बर्ट स्थान का टेंसर गुणनफल - फ्रोबेनियस आंतरिक गुणनफल एक विशेष स्थिति है जहां सदिश स्थान सामान्य यूक्लिडियन आंतरिक गुणनफल के साथ परिमित-आयामी वास्तविक या जटिल सदिश स्थान होते हैं।

संदर्भ

{{Navbox | name =बीजगणित | state =

| bodyclass = hlist

| title =बीजगणित | group1 =क्षेत्रों | list1 =

• सार बीजगणित
• श्रेणी सिद्धांत
• प्राथमिक बीजगणित
• के-थ्योरी
• कम्यूटेटिव बीजगणित
• नॉनकम्यूटेटिव बीजगणित
• आदेश सिद्धांत
• सार्वभौमिक बीजगणित

| group2 =बीजगणितीय संरचना | list2 =* समूह   ( सिद्धांत)

• रिंग   ( थ्योरी)
• मॉड्यूल   ( सिद्धांत)
• फील्ड
• बहुपद रिंग   (बहुपद)
• रचना बीजगणित

| group3 =लीनियर अलजेब्रा | list3 =* मैट्रिक्स और nbsp; (सिद्धांत)

• वेक्टर स्पेस   ( वेक्टर)
• मॉड्यूल
• इनर प्रोडक्ट स्पेस (डॉट उत्पाद)
• हिल्बर्ट स्पेस

| group4 =मल्टीलिनियर बीजगणित | list4 =* टेंसर बीजगणित

• बाहरी बीजगणित
• सममित बीजगणित
• ज्यामितीय बीजगणित   (मल्टीवेक्टर)

| group5 =विषय सूची | list5 =* सार बीजगणित

• बीजगणितीय संरचनाएं
• समूह सिद्धांत
• रैखिक बीजगणित

| group6 =शब्दावलियों | list6 =* रैखिक बीजगणित

• फील्ड थ्योरी
• रिंग थ्योरी
• आदेश सिद्धांत

| group7 =संबंधित | list7 =* अंक शास्त्र

• बीजगणित का इतिहास

| belowस्टाइल = फ़ॉन्ट-वेट: बोल्ड; | below =* श्रेणी

• गणित पोर्टल
• विकिबुक्स
  • प्राथमिक
  • [[wikibooks: linear_algebra | रैखिक]
  • [[wikibooks: Abstract_algebra | सार]
• विकीवर्सिटी
  • रैखिक
  • सार

}}