ब्लॉक आव्यूह

गणित में, एक ब्लॉक मैट्रिक्स या एक विभाजित मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स (गणित) है जिसे ब्लॉक या सबमैट्रिस नामक वर्गों में विभाजित किया गया है। सहज रूप से, ब्लॉक मैट्रिक्स के रूप में व्याख्या किए गए मैट्रिक्स को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं के संग्रह के साथ मूल मैट्रिक्स के रूप में देखा जा सकता है, जो इसे तोड़ देता है, या इसे सेट का विभाजन, छोटे मैट्रिक्स के संग्रह में। किसी भी मैट्रिक्स को ब्लॉक मैट्रिक्स के रूप में एक या अधिक तरीकों से व्याख्या किया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक व्याख्या को परिभाषित किया जाता है कि इसकी पंक्तियों और स्तंभों को कैसे विभाजित किया जाता है।

इस धारणा को एक के लिए और अधिक सटीक बनाया जा सकता है $n$ द्वारा $m$ आव्यूह $M$ विभाजन करके $n$ एक संग्रह में ${\text{rowgroups}}$, और फिर विभाजन $m$ एक संग्रह में ${\text{colgroups}}$. मूल मैट्रिक्स को तब इन समूहों के कुल के रूप में माना जाता है, इस अर्थ में कि $(i,j)$ मूल मैट्रिक्स की प्रविष्टि कुछ के साथ एक द्विभाजन|1-टू-1 तरीके से मेल खाती है $(s,t)$ कुछ की ऑफसेट (कंप्यूटर विज्ञान) एंट्री $(x,y)$, कहाँ $x\in {\text{rowgroups}}$ और $y\in {\text{colgroups}}$.

ब्लॉक मैट्रिक्स बीजगणित सामान्य रूप से मेट्रिसेस की श्रेणी (गणित) में द्विउत्पाद ्स से उत्पन्न होता है।

उदाहरण

12×12, 12×24, 24×12, और 24×24 सब-मैट्रिसेस के साथ एक 168×168 एलिमेंट ब्लॉक मैट्रिक्स। गैर-शून्य तत्व नीले रंग में हैं, शून्य तत्व ग्रे हैं।

गणित का सवाल

$\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&2&2&7\\1&5&6&2\\3&3&4&5\\3&3&6&7\end{bmatrix}}$

चार 2×2 ब्लॉकों में विभाजित किया जा सकता है

$\mathbf {P} _{11}={\begin{bmatrix}1&2\\1&5\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{12}={\begin{bmatrix}2&7\\6&2\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{22}={\begin{bmatrix}4&5\\6&7\end{bmatrix}}.$

विभाजित मैट्रिक्स तब के रूप में लिखा जा सकता है

$\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{11}&\mathbf {P} _{12}\\\mathbf {P} _{21}&\mathbf {P} _{22}\end{bmatrix}}.$

ब्लॉक मैट्रिक्स गुणन

एक ब्लॉक विभाजित मैट्रिक्स उत्पाद का उपयोग करना संभव है जिसमें कारकों के सबमेट्रिसेस पर केवल बीजगणित शामिल है। हालांकि, कारकों का विभाजन मनमाना नहीं है, और इसके लिए अनुकूल मैट्रिक्स विभाजन की आवश्यकता होती है दो मैट्रिक्स के बीच $A$ और $B$ जैसे कि उपयोग किए जाने वाले सभी सबमैट्रिक्स उत्पादों को परिभाषित किया गया है। एक दिया $(m\times p)$ आव्यूह $\mathbf {A}$ साथ $q$ पंक्ति विभाजन और $s$ स्तंभ विभाजन

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}&\cdots &\mathbf {A} _{1s}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}&\cdots &\mathbf {A} _{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {A} _{q1}&\mathbf {A} _{q2}&\cdots &\mathbf {A} _{qs}\end{bmatrix}}$

और ए $(p\times n)$ आव्यूह $\mathbf {B}$ साथ $s$ पंक्ति विभाजन और $r$ स्तंभ विभाजन

$\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}&\cdots &\mathbf {B} _{1r}\\\mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}&\cdots &\mathbf {B} _{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {B} _{s1}&\mathbf {B} _{s2}&\cdots &\mathbf {B} _{sr}\end{bmatrix}},$

जो के विभाजन के साथ संगत हैं $A$, मैट्रिक्स उत्पाद

$\mathbf {C} =\mathbf {A} \mathbf {B}$

उपज, ब्लॉकवार किया जा सकता है $\mathbf {C}$ एक के रूप में $(m\times n)$ साथ मैट्रिक्स $q$ पंक्ति विभाजन और $r$ स्तंभ विभाजन। परिणामी मैट्रिक्स में मैट्रिक्स $\mathbf {C}$ गुणा करके गणना की जाती है:

$\mathbf {C} _{qr}=\sum _{i=1}^{s}\mathbf {A} _{qi}\mathbf {B} _{ir}.$

या, आइंस्टीन संकेतन का उपयोग करते हुए, जो दोहराए गए सूचकांकों पर स्पष्ट रूप से योग करता है:

$\mathbf {C} _{qr}=\mathbf {A} _{qi}\mathbf {B} _{ir}.$

ब्लॉक मैट्रिक्स उलटा

For more details and derivation using block LDU decomposition, see Schur complement.

See also: Helmert–Wolf blocking

यदि एक मैट्रिक्स को चार ब्लॉकों में विभाजित किया गया है, तो यह उलटा मैट्रिक्स हो सकता है # ब्लॉकवार उलटा इस प्रकार है:

$\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&-\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\\-\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\end{bmatrix}},$

जहां ए और डी मनमाने आकार के वर्ग ब्लॉक हैं, और बी और सी विभाजन के लिए उनके साथ अनुरूप मैट्रिक्स हैं। इसके अलावा, ए और शूर पी में ए के पूरक हैं: P/A = D − CA⁻¹B उलटा होना चाहिए। समतुल्य रूप से, ब्लॉकों को अनुमति देकर:

$\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&-\left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\\-\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&\quad \mathbf {D} ^{-1}+\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\end{bmatrix}}.$

यहां, डी और शूर पी में डी के पूरक हैं: P/D = A − BD⁻¹C उलटा होना चाहिए।

यदि A और D दोनों व्युत्क्रमणीय हैं, तो:

${\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\left(\mathbf {D} -\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {I} &-\mathbf {B} \mathbf {D} ^{-1}\\-\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}&\mathbf {I} \end{bmatrix}}.$

वेनस्टाइन-एरोन्ज़जन पहचान के अनुसार, ब्लॉक-विकर्ण मैट्रिक्स में दो मेट्रिसेस में से एक वास्तव में उलटा होता है जब दूसरा होता है।

ब्लॉक मैट्रिक्स निर्धारक

ए के निर्धारक के लिए सूत्र $2\times 2$ऊपर -मैट्रिक्स चार सबमैट्रिसेस से बने मैट्रिक्स के लिए उपयुक्त आगे की धारणाओं के तहत जारी है $A,B,C,D$. सबसे आसान ऐसा सूत्र है, जिसे लाइबनिज सूत्र या शूर पूरक से जुड़े गुणनखंड का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है, है

$\det {\begin{pmatrix}A&0\\C&D\end{pmatrix}}=\det(A)\det(D)=\det {\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}}.$

अगर $A$ उलटा मैट्रिक्स है (और इसी तरह अगर $D$ उलटा है), किसी के पास

$\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det(A)\det \left(D-CA^{-1}B\right).$

अगर $D$ एक है $1\times 1$-मैट्रिक्स, यह सरल करता है $\det(A)(D-CA^{-1}B)$.

यदि ब्लॉक समान आकार के वर्ग मैट्रिक्स हैं तो आगे के सूत्र मान्य हैं। उदाहरण के लिए, यदि $C$ और $D$ क्रमविनिमेयता (यानी, $CD=DC$), तब

$\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det(AD-BC).$

से अधिक से बने आव्यूहों के लिए इस सूत्र का सामान्यीकरण किया गया है $2\times 2$ ब्लॉक, अलग-अलग ब्लॉकों के बीच फिर से उपयुक्त कम्यूटेटिविटी स्थितियों के तहत। के लिए $A=D$ और $B=C$, निम्न सूत्र धारण करता है (भले ही $A$ और $B$ आवागमन न करें)

$\det {\begin{pmatrix}A&B\\B&A\end{pmatrix}}=\det(A-B)\det(A+B).$

ब्लॉक विकर्ण मेट्रिसेस

एक ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स एक ब्लॉक मैट्रिक्स है जो एक स्क्वायर मैट्रिक्स है जैसे कि मुख्य-विकर्ण ब्लॉक वर्ग मैट्रिक्स हैं और सभी ऑफ-विकर्ण ब्लॉक शून्य मैट्रिक्स हैं। अर्थात्, एक ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स A का रूप है

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {0} &\cdots &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {A} _{2}&\cdots &\mathbf {0} \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\cdots &\mathbf {A} _{n}\end{bmatrix}}$

जहाँ एक_k सभी k = 1, ..., n के लिए वर्ग आव्यूह है। दूसरे शब्दों में, मैट्रिक्स 'ए' 'ए' के ​​मैट्रिक्स का सीधा योग है₁, ..., ए_n. इसे ए के रूप में भी दर्शाया जा सकता है₁⊕ ए₂⊕ ... ⊕ ए_n या डायग (ए₁, ए₂, ..., ए_n)  (बाद वाला वही औपचारिकता है जो विकर्ण मैट्रिक्स के लिए उपयोग किया जाता है)। किसी भी वर्ग मैट्रिक्स को केवल एक ब्लॉक के साथ ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स माना जा सकता है।

निर्धारक और ट्रेस (रैखिक बीजगणित) के लिए, निम्नलिखित गुण धारण करते हैं

${\begin{aligned}\det \mathbf {A} &=\det \mathbf {A} _{1}\times \cdots \times \det \mathbf {A} _{n},\\\operatorname {tr} \mathbf {A} &=\operatorname {tr} \mathbf {A} _{1}+\cdots +\operatorname {tr} \mathbf {A} _{n}.\end{aligned}}$

एक ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि इसके प्रत्येक मुख्य-विकर्ण ब्लॉक व्युत्क्रमणीय हैं, और इस मामले में इसका व्युत्क्रम एक अन्य ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स द्वारा दिया गया है

${\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {0} &\cdots &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {A} _{2}&\cdots &\mathbf {0} \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\cdots &\mathbf {A} _{n}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}^{-1}&\mathbf {0} &\cdots &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {A} _{2}^{-1}&\cdots &\mathbf {0} \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\cdots &\mathbf {A} _{n}^{-1}\end{bmatrix}}.$

के eigenvalues ​​​​और eigenvectors $\mathbf {A}$ बस उन्हीं में से हैं $\mathbf {A} _{k}$एस संयुक्त।

ट्रिडायगोनल मेट्रिसेस को ब्लॉक करें

एक ब्लॉक ट्राइडायगोनल मैट्रिक्स एक अन्य विशेष ब्लॉक मैट्रिक्स है, जो ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स की तरह एक वर्ग मैट्रिक्स है, जिसमें निचले विकर्ण, मुख्य विकर्ण और ऊपरी विकर्ण में वर्ग मैट्रिक्स (ब्लॉक) होते हैं, अन्य सभी ब्लॉक शून्य मैट्रिक्स होते हैं। यह अनिवार्य रूप से एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स है, लेकिन स्केलर के स्थानों में सबमट्रिसेस हैं। एक ब्लॉक ट्राइडायगोनल मैट्रिक्स A का रूप है

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{1}&\mathbf {C} _{1}&&&\cdots &&\mathbf {0} \\\mathbf {A} _{2}&\mathbf {B} _{2}&\mathbf {C} _{2}&&&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&\mathbf {A} _{k}&\mathbf {B} _{k}&\mathbf {C} _{k}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&&&\mathbf {A} _{n-1}&\mathbf {B} _{n-1}&\mathbf {C} _{n-1}\\\mathbf {0} &&\cdots &&&\mathbf {A} _{n}&\mathbf {B} _{n}\end{bmatrix}}$

जहाँ एक_k, बी_k और सी_k क्रमशः निचले, मुख्य और ऊपरी विकर्ण के वर्ग उप-मैट्रिसेस हैं।

इंजीनियरिंग समस्याओं के संख्यात्मक समाधान (जैसे, कम्प्यूटेशनल द्रव गतिकी) में ब्लॉक ट्राइडायगोनल मैट्रिसेस का अक्सर सामना किया जाता है। एलयू गुणन के लिए अनुकूलित संख्यात्मक तरीके उपलब्ध हैं और इसलिए गुणांक मैट्रिक्स के रूप में एक ब्लॉक ट्राइडायगोनल मैट्रिक्स के साथ समीकरण प्रणालियों के लिए कुशल समाधान एल्गोरिदम। ट्राइडायगोनल मैट्रिक्स को शामिल करने वाले समीकरण प्रणालियों के कुशल समाधान के लिए उपयोग किए जाने वाले थॉमस एल्गोरिथम को ट्राइडायगोनल मैट्रिसेस को ब्लॉक करने के लिए मैट्रिक्स ऑपरेशंस का उपयोग करके भी लागू किया जा सकता है (ब्लॉक एलयू अपघटन भी देखें)।

ब्लॉक टोप्लिट्ज मैट्रिक्स

एक ब्लॉक Toeplitz मैट्रिक्स एक अन्य विशेष ब्लॉक मैट्रिक्स है, जिसमें ऐसे ब्लॉक होते हैं जो मैट्रिक्स के विकर्णों के नीचे दोहराए जाते हैं, क्योंकि Toeplitz मैट्रिक्स में विकर्ण के नीचे दोहराए गए तत्व होते हैं।

एक ब्लॉक Toeplitz मैट्रिक्स A का रूप है

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{(1,1)}&\mathbf {A} _{(1,2)}&&&\cdots &\mathbf {A} _{(1,n-1)}&\mathbf {A} _{(1,n)}\\\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}&\mathbf {A} _{(1,2)}&&&&\mathbf {A} _{(1,n-1)}\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}&\mathbf {A} _{(1,2)}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\\mathbf {A} _{(n-1,1)}&&&&\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}&\mathbf {A} _{(1,2)}\\\mathbf {A} _{(n,1)}&\mathbf {A} _{(n-1,1)}&\cdots &&&\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}\end{bmatrix}}.$

ब्लॉक खिसकाना

ब्लॉक मैट्रिसेस के लिए मैट्रिक्स ट्रांज़ोज़ का एक विशेष रूप भी परिभाषित किया जा सकता है, जहां अलग-अलग ब्लॉकों को फिर से व्यवस्थित किया जाता है लेकिन स्थानांतरित नहीं किया जाता है। होने देना $A=(B_{ij})$ एक हो $k\times l$ ब्लॉक मैट्रिक्स के साथ $m\times n$ ब्लाकों $B_{ij}$, का ब्लॉक स्थानान्तरण $A$ है $l\times k$ ब्लॉक मैट्रिक्स $A^{\mathcal {B}}$ साथ $m\times n$ ब्लाकों $\left(A^{\mathcal {B}}\right)_{ij}=B_{ji}$. पारंपरिक ट्रेस ऑपरेटर के साथ, ब्लॉक ट्रांज़ोज़ एक रेखीय मानचित्रण है जैसे कि $(A+C)^{\mathcal {B}}=A^{\mathcal {B}}+C^{\mathcal {B}}$. हालांकि, सामान्य तौर पर संपत्ति $(AC)^{\mathcal {B}}=C^{\mathcal {B}}A^{\mathcal {B}}$ के ब्लॉक जब तक पकड़ नहीं है $A$ और $C$ आना-जाना।

प्रत्यक्ष योग

See also: Matrix addition § Direct sum

किसी भी मनमाना आव्यूह A (आकार m ×n) और B (आकार p × q) के लिए, हमारे पास A और B का प्रत्यक्ष योग है, जिसे इसके द्वारा दर्शाया गया है ए$\oplus$बी और के रूप में परिभाषित किया गया है

$\mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}.$

उदाहरण के लिए,

${\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.$

यह ऑपरेशन स्वाभाविक रूप से मनमाना आयामी सरणियों के लिए सामान्यीकृत करता है (बशर्ते ए और बी में समान संख्या में आयाम हों)।

ध्यान दें कि मैट्रिक्स के दो वेक्टर रिक्त स्थान के वेक्टर रिक्त स्थान के प्रत्यक्ष योग में किसी भी तत्व को दो मैट्रिक्स के प्रत्यक्ष योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

आवेदन

रेखीय बीजगणित के संदर्भ में, एक ब्लॉक मैट्रिक्स का उपयोग आधार सदिशों के संबंधित 'बंच' के संदर्भ में एक रेखीय मानचित्रण के विचार से मेल खाता है। यह फिर से एक फ़ंक्शन के डोमेन और फ़ंक्शन की श्रेणी के विशिष्ट प्रत्यक्ष योग अपघटन के विचार से मेल खाता है। यदि ब्लॉक शून्य मैट्रिक्स है तो यह हमेशा विशेष रूप से महत्वपूर्ण होता है; जो उस जानकारी को वहन करता है जो एक सारांश एक उप-योग में मैप करता है।

रैखिक मानचित्रण और प्रत्यक्ष योग के माध्यम से व्याख्या को देखते हुए, एक विशेष प्रकार का ब्लॉक मैट्रिक्स होता है जो वर्ग मैट्रिसेस (केस m = n) के लिए होता है। उन लोगों के लिए हम एक एन-डायमेंशनल स्पेस वी के एंडोमोर्फिज्म के रूप में एक व्याख्या मान सकते हैं; ब्लॉक संरचना जिसमें पंक्तियों और स्तंभों का बंचिंग समान है, महत्वपूर्ण है क्योंकि यह V (दो के बजाय) पर एकल प्रत्यक्ष योग अपघटन से मेल खाती है। उस मामले में, उदाहरण के लिए, स्पष्ट अर्थों में विकर्ण ब्लॉक सभी वर्ग हैं। जॉर्डन के सामान्य रूप का वर्णन करने के लिए इस प्रकार की संरचना की आवश्यकता होती है।

इस तकनीक का उपयोग वीएलएसआई चिप डिजाइन सहित मैट्रिसेस, कॉलम-पंक्ति विस्तार और कई कंप्यूटर विज्ञान अनुप्रयोगों की गणना में कटौती करने के लिए किया जाता है। एक उदाहरण तेज मैट्रिक्स गुणन के लिए सड़क एल्गोरिथ्म है, साथ ही डेटा प्रसारण में त्रुटि का पता लगाने और पुनर्प्राप्ति के लिए हैमिंग (7,4) एन्कोडिंग है।

तकनीक का उपयोग वहां भी किया जा सकता है जहां ए, बी, सी और डी मैट्रिक्स के तत्वों को उनके तत्वों के लिए समान क्षेत्र की आवश्यकता नहीं होती है। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स ए जटिल संख्याओं के क्षेत्र में हो सकता है, जबकि मैट्रिक्स डी वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में हो सकता है। यह एक मेट्रिसेस के भीतर संचालन को सरल करते हुए, मैट्रिसेस से जुड़े वैध संचालन को जन्म दे सकता है। उदाहरण के लिए, यदि डी में केवल वास्तविक तत्व हैं, तो इसके व्युत्क्रम को खोजने में जटिल तत्वों पर विचार करने की तुलना में कम गणना होती है। लेकिन वास्तविक जटिल संख्याओं का एक उपक्षेत्र है (आगे इसे एक प्रक्षेपण माना जा सकता है), इसलिए मेट्रिसेस संचालन को अच्छी तरह से परिभाषित किया जा सकता है।

यह भी देखें

• क्रोनकर उत्पाद (मैट्रिक्स प्रत्यक्ष उत्पाद जिसके परिणामस्वरूप ब्लॉक मैट्रिक्स होता है)

संदर्भ

• Strang, Gilbert (1999). "Lecture 3: Multiplication and inverse matrices". MIT Open Course ware. 18:30–21:10.