आवधिक सीमा की स्थिति

2 डी में आवधिक सीमा की स्थिति

पानी के अणुओं के साथ इकाई कोशाणु, प्रवाहित पानी का अनुकरण करने के लिए उपयोग किया जाता है।

आवधिक सीमा की स्थिति (पीबीसी) सीमा की स्थिति का एक समूह है जिसे प्रायः इकाई कोशाणु या एकक कोष्ठिका नामक एक छोटे से भाग का उपयोग करके एक बड़ी (अनंत) प्रणाली का अनुमान लगाने के लिए चयनित किया जाता है। पीबीसी का उपयोग प्रायः कंप्यूटर अनुरूपण और गणितीय मॉडल में किया जाता है। द्वि-आयामी पीबीसी की सांस्थितिक कुछ वीडियो गेम के विश्व मानचित्र के बराबर है इकाई कोशाणु की ज्यामिति पूर्ण द्वि-आयामी टाइलिंग को संतुष्ट करती है और जब कोई वस्तु इकाई कोशाणु के एक ओर से गुजरती है तो यह उसी वेग के साथ विपरीत दिशा में फिर से दिखाई देती है। सांस्थितिक शब्दों में, द्वि-आयामी पीबीसी द्वारा बनाई गई टोरस (संघनन) पर चित्रित किए जाने के विषय में सोचा जा सकता है। पीबीसी द्वारा अनुमानित बड़ी प्रणालियों में असीमित संख्या में इकाई कोशाणु होते हैं। कंप्यूटर अनुरूपण में इनमें से एक मूल अनुरूपण पेटी है और अन्य प्रतियाँ हैं जिन्हें छवि कहा जाता है। अनुरूपण के समय, मूल अनुरूपण पेटी (बॉक्स) के केवल गुणों को रिकॉर्ड और प्रचारित करने की आवश्यकता होती है। न्यूनतम-छवि पीबीसी कण बहीखाता पद्धति का एक सामान्य रूप है जिसमें अनुरूपण में प्रत्येक व्यक्तिगत कण प्रणाली में शेष कणों की निकटतम छवि के साथ परस्पर क्रिया करता है।

आवधिक सीमा स्थितियों का एक उदाहरण सहज वास्तविक फलन $\phi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ के अनुसार परिभाषित किया जा सकता है:

${\frac {\partial ^{m}}{\partial x_{1}^{m}}}\phi (a_{1},x_{2},...,x_{n})={\frac {\partial ^{m}}{\partial x_{1}^{m}}}\phi (b_{1},x_{2},...,x_{n}),$

${\frac {\partial ^{m}}{\partial x_{2}^{m}}}\phi (x_{1},a_{2},...,x_{n})={\frac {\partial ^{m}}{\partial x_{2}^{m}}}\phi (x_{1},b_{2},...,x_{n}),$

$...,$

${\frac {\partial ^{m}}{\partial x_{n}^{m}}}\phi (x_{1},x_{2},...,a_{n})={\frac {\partial ^{m}}{\partial x_{n}^{m}}}\phi (x_{1},x_{2},...,b_{n})$

सभी के लिए m = 0, 1, 2, ... नियतांक के लिए $a_{i}$ और $b_{i}$ आणविक गतिशीलता अनुरूपण और मॉन्टे कार्लो आणविक मॉडलिंग में, पीबीसी सामान्यतः स्थित गैसों, तरल पदार्थ, क्रिस्टल या मिश्रण के गुणों की गणना करने के लिए प्रयुक्त होते हैं। एक सामान्य अनुप्रयोग स्पष्ट विलायक के विलायकयोजित बृहत्आण्विक का अनुकरण करने के लिए पीबीसी का उपयोग करता है। बोर्न-वॉन कर्मन सीमा शर्तें एक विशेष प्रणाली के लिए आवधिक सीमा शर्तें हैं।

विद्युत चुम्बकीय में, आवधिक संरचनाओं के विद्युत चुम्बकीय गुणों का विश्लेषण करने के लिए पीबीसी को विभिन्न प्रकारों के लिए प्रयुक्त किया जा सकता है।

आवश्यकताएँ और कलाकृतियाँ

त्रि-आयामी पीबीसी गैसों, तरल पदार्थों और ठोस पदार्थों के सूक्ष्म मापक्रम प्रणाली के प्रयोग को अनुमानित करने के लिए उपयोगी होते हैं। त्रि-आयामी पीबीसी का उपयोग प्लानर सतहों को अनुकरण करने के लिए भी किया जा सकता है इस स्थिति में द्वि-आयामी पीबीसी प्रायः अधिक उपयुक्त होते हैं। तलीय सतहों के लिए द्वि-आयामी पीबीसीएस को खंड सीमा स्थितियाँ भी कहा जाता है इस स्थिति में, पीबीसी का उपयोग दो कार्तीय निर्देशांकों (जैसे, x और y) के लिए किया जाता है और तीसरा निर्देशांक (z) अनंत तक विस्तृत होता है।

प्रणाली में स्थिर वैद्युत विक्षेप बलों की गणना करने के लिए पीबीसीएस का उपयोग इवाल्ड योग विधियों (जैसे, कण इवाल्ड विधि) के संयोजन में किया जा सकता है। हालांकि, पीबीसी भी सहसंबंधी कलाकृतियों को प्रस्तुत करते हैं जो प्रणाली के अनुवाद संबंधी आविष्कार का सम्मान नहीं करते हैं और अनुरूपण पेटी की संरचना और आकार पर बाधाओं की आवश्यकता होती है।

ठोस प्रणालियों के अनुकरण में, प्रणाली में किसी भी असमानता से उत्पन्न होने वाले तनाव (पदार्थ विज्ञान) क्षेत्र को कृत्रिम रूप से छोटा कर दिया जाता है और आवधिक सीमा द्वारा संशोधित किया जाता है। इसी प्रकार प्रणाली में ध्वनि या शॉक तरंग और ध्वनि क्वान्टम की तरंग दैर्ध्य आकार द्वारा सीमित होती है।

आयनिक (कूलॉम्ब) अंतःक्रियाओं वाले अनुरूपण में, पीबीसी प्रयुक्त होने पर अनंत आवेश के योग से बचने के लिए प्रणाली का शुद्ध स्थिर वैद्युत विक्षेप आवेश शून्य होना चाहिए। कुछ अनुप्रयोगों में उपयुक्त संख्या में सोडियम या क्लोराइड (प्रतिवाद के रूप में) जैसे आयनों को जोड़कर तटस्थता प्राप्त करना उपयुक्त होता है यदि प्रभावित अणुओं को आवेश किया जाता है। और कभी-कभी आयनों को एक ऐसी प्रणाली में भी जोड़ा जाता है जिसमें प्रभावित अणु तटस्थ होते हैं समाधान की आयनिक ऊर्जा का अनुमान लगाने के लिए जिसमें अणु स्वाभाविक रूप से दिखाई देते हैं। न्यूनतम-छवि के संरक्षण के लिए सामान्यतः यह भी आवश्यक होता है कि गैर-बंधित बलों के लिए एक वृत्ताकार त्रिज्या घन पेटी के एक तरफ की आधी लंबाई से अधिक हो। स्थिर वैद्युत विक्षेप न्यूट्रल प्रणाली में भी, इकाई कोशाणु का शुद्ध द्विध्रुवीय क्षण एक सतह ऊर्जा प्रस्तुत कर सकता है जो ध्रुवीय क्रिस्टल में तापविद्युत् के बराबर है।

अनुरूपण पेटी का आकार भी अपेक्षाकृत बड़ा होना चाहिए ताकि समय-समय पर होने वाली कलाकृतियों को अनुरूपण के अभौतिक सांस्थितिक के कारण होने से स्थगित किया जा सके। एक पेटी में जो बहुत छोटा होता है सूक्ष्म अणु निकट पेटी में अपनी छवि के साथ परस्पर क्रिया कर सकता है जो कार्यात्मक रूप से एक अणु के मुख्य भाग के बराबर है जो अपनी "पश्च भाग" के साथ परस्पर क्रिया करता है। यह अधिकांश सूक्ष्म अणु में अत्यधिक अभौतिक गतिशीलता उत्पन्न करता है, हालांकि परिणामों की जटिलता और इस प्रकार सूक्ष्म अणु के आकार के सापेक्ष उपयुक्त पेटी का आकार अनुरूपण की इच्छित लंबाई, वांछित सटीकता और प्रत्याशित गतिशीलता पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, मूल अवस्था से प्रारम्भ होने वाले प्रोटीन वलय के अनुरूपण में छोटे उतार-चढ़ाव हो सकते हैं और इसलिए एक बड़ी पेटी की आवश्यकता नहीं हो सकती है जैसा कि यह एक यादृच्छिक कुंडल रचना से प्रारम्भ होता है। हालांकि, देखी गई गतिकी पर विलायक संकरण के प्रभाव, अनुरूपण या प्रयोग में अपेक्षाकृत रूप से समझ में नहीं आते हैं। डीएनए के अनुरूपण पर आधारित एक सामान्य विशेषता यह है कि प्रत्येक आयाम में प्रभावित अणुओं के आसपास कम से कम 1 एनएम विलायक की आवश्यकता होती है।

क्रियात्मक कार्यान्वयन: निरंतरता और न्यूनतम छवि विनियमन

एक वस्तु जो अनुरूपण पेटी के एक भाग से होकर गुजरी है उसे विपरीत उस भाग मे पुनः से प्रवेश करना चाहिए या उसकी छवि को ऐसा करना आवश्यक होता है एक योजना का निर्णय लिया जाना चाहिए: क्या हम (ए) कणों को अनुरूपण पेटी में "प्रत्यावर्तन" करते हैं जब वे इसे छोड़ते हैं या क्या हम (बी) कणों को अनुरूपण पेटी में जाने देते हैं या लेकिन निकटतम छवियों के साथ परस्पर क्रिया की गणना करते हैं? या अनुरूपण के समय निर्णय का कोई प्रभाव नहीं पड़ता है लेकिन यदि उपयोगकर्ता औसत विस्थापन, प्रसार लंबाई आदि में रुचि रखता है तो दूसरा विकल्प अपेक्षाकृत अच्छा हो सकता है।

(ए) प्रतिबंधित कणों का अनुरूपण पेटी में समन्वय

पीबीसी एल्गोरिथ्म को प्रयुक्त करने के लिए कम से कम दो चरणों की आवश्यकता होती है।

निर्देशांक को प्रतिबंधित करना एक साधारण संचालन है जिसे निम्नलिखित कोड के साथ वर्णित किया जा सकता है, जहां x_size एक दिशा में पेटी की लंबाई है मूल पर केंद्रित एक लंबकोणीय इकाई कोशाणु मानते हुए x उसी दिशा में कण की स्थिति है:

if (periodic_x) then
  if (x <  -x_size * 0.5) x = x + x_size
  if (x >=  x_size * 0.5) x = x - x_size
end if

वस्तुओं के बीच की दूरी और सदिश को न्यूनतम छवि मानदंड का अनुसरण करना चाहिए। इसे निम्नलिखित कोड के अनुसार प्रयुक्त किया जा सकता है एक आयामी प्रणाली की स्थिति में जहां dx वस्तु i वस्तु से j की सदिश दूरी दिशा है:

if (periodic_x) then
  dx = x(j) - x(i)
  if (dx >   x_size * 0.5) dx = dx - x_size
  if (dx <= -x_size * 0.5) dx = dx + x_size
end if

त्रि-आयामी पीबीसी के लिए, दोनों परिचालनों को सभी 3 आयामों में दोहराया जाना चाहिए और इन संक्रियाओं को लंबकोणीय कोशिकाओं के लिए अधिक संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है यदि मूल पेटी के एक शीर्ष में स्थानांतरित कर दिया जाए तो हमारे पास क्रमशः स्थिति और दूरी के लिए एक आयाम में है:

! After x(i) update without regard to PBC:
x(i) = x(i) - floor(x(i) / x_size) * x_size  ! For a box with the origin at the lower left vertex
! Works for x's lying in any image.
dx = x(j) - x(i)
dx = dx - nint(dx / x_size) * x_size

(बी) प्रतिबंधित कण निर्देशांक

निचले बाएँ के शीर्ष में उत्पत्ति के साथ एक लंबकोणीय अनुरूपण पेटी को मानते हुए, प्रभावी कण दूरी की गणना के लिए न्यूनतम छवि की गणना C / C ++ कोड के रूप में "निकटतम पूर्णांक" फलन के साथ की जा सकती है जैसा कि ऊपर दिखाया गया है :

x_rsize = 1.0 / x_size; // compute only when box size is set or changed

dx = x[j] - x[i];
dx -= x_size * nearbyint(dx * x_rsize);

इस संचालन को करने का सबसे तीव्र तरीका प्रसंस्करण संचरना पर निर्भर करता है। यदि dx का चिन्ह प्रासंगिक नहीं है तब:

dx = fabs(dx);
dx -= static_cast<int>(dx * x_rsize + 0.5) * x_size;

इसको 2013 में एक्स86-64 प्रसंस्करण पर सबसे तीव्र पाया गया था गैर-विषमलम्बाक्ष कोशिकाओं के लिए स्थिति अधिक जटिल होती है। आयनिक प्रणालियों के अनुरूपण में कई पेटी छवियों में विस्तृत लंबी दूरी की कूलम्ब पारस्परिक प्रभाव को संभालने के लिए अधिक जटिल संचालन उदाहरण के लिए इवाल्ड योग की आवश्यकता हो सकती है।

इकाई कोशाणु ज्यामिति

पीबीसी के लिए इकाई कोशाणु को एक ऐसी आकृति की आवश्यकता होती है जो पूरी तरह से त्रि-आयामी क्रिस्टल में टाइल है इस प्रकार, एक वृत्तीय या दीर्घवृत्तीय छोटी बूंद का उपयोग नहीं किया जा सकता है। घन या आयताकार प्रिज्म सबसे सहज और सामान्य रुचि है, लेकिन केंद्रीय सूक्ष्म अणु से दूर शीर्षों में विलायक अणुओं की अनावश्यक मात्रा के कारण कम्प्यूटेशनल रूप से कीमती हो सकता है। एक सामान्य विकल्प जिसके लिए कम मात्रा की आवश्यकता होती है वह अपेक्षाकृत रूप से छोटा अष्टफलक होता है।

सामान्य आयाम

2डी और 3डी अंतराल में अनुरूपण के लिए, घनाकार आवधिक सीमा स्थिति का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है क्योंकि यह कोडिंग में सबसे सरल है। उच्च आयामी प्रणालियों के कंप्यूटर अनुरूपण में, हालांकि, उच्च घनाकार आवधिक सीमा की स्थिति कम कुशल हो सकती है क्योंकि शीर्ष अंतराल के अधिकांश भाग पर अधिकृत हो जाते हैं। सामान्य आयाम में, इकाई कोशाणु को कुछ जाली पैकिंग के विग्नर-सीट्ज़ कोशिका के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, उच्च घनाकार आवधिक सीमा स्थिति उच्च घनाकार जाली पैकिंग से अनुरूप है। इसके बाद एक इकाई कोशिका का चयन करना निर्धारित किया जाता है जो उस आयाम के घन पैकिंग से अनुरूप हो और 4डी में यह डी4 जाल है और ई8 जाल 8-आयाम में इन उच्च आयामी आवधिक सीमा स्थितियों का कार्यान्वयन सूचना सिद्धांत में त्रुटि सुधार कोड दृष्टिकोण के बराबर है।

संरक्षित गुण

आवधिक सीमा शर्तों के अंतर्गत प्रणाली की रैखिक गति संरक्षित होती है लेकिन कोणीय गति नहीं संरक्षित होती है इस तथ्य की पारंपरिक व्याख्या नोथेर की प्रमेय पर आधारित है, जिसमें कहा गया है कि कोणीय संवेग का संरक्षण लाग्रंगियन के घूर्णी आक्रमण से होता है। हालांकि, इस दृष्टिकोण को सुसंगत नहीं दिखाया गया था यह आवधिक कोशिका में गतिमान एकल कण के कोणीय संवेग के संरक्षण की अनुपस्थिति की व्याख्या करने में विफल रहता है। कण का लाग्रंगियन स्थिर है और इसलिए घूर्णी रूप से अपरिवर्तनीय है जबकि कण की कोणीय गति संरक्षित नहीं है। यह विरोधाभास इस तथ्य के कारण होता है कि नोथेर की प्रमेय को सामान्यतः विवृत प्रणालियों के लिए तैयार किया जाता है। आवधिक कोशिका विस्तृत पैमाने पर गति, कोणीय गति और निकटतम कोशिकाओं के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान करती है।

जब सूक्ष्मविहित समुदाय (निरंतर कण संख्या, आयतन और ऊर्जा, संक्षिप्त एनवीई) पर प्रयुक्त किया जाता है, तो दीवारों को प्रतिबिंबित करने के अतिरिक्त पीबीसी का उपयोग करके कुल रैखिक गति के संरक्षण और द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति के कारण अनुरूपण के प्रतिरूप को अपेक्षाकृत रूपांतरित कर देता है इस समुदाय को "आण्विक गतिकी समुदाय" या एनवीईपीजी समुदाय कहा गया है। ये अतिरिक्त संरक्षित मात्राएं तापमान की सांख्यिकीय यांत्रिकी परिभाषा, बोल्ट्ज़मान वितरण से वेग वितरण के प्रस्थान और विषम द्रव्यमान वाले कणों वाले प्रणाली के लिए समविभाजन के उल्लंघन से संबंधित छोटी कलाकृतियों को प्रस्तुत करती हैं। इन प्रभावों में सबसे सरल यह है कि N-1 कणों की एक प्रणाली के रूप में, N कणों की एक प्रणाली, आणविक गतिकी समुदाय में पारस्परिक क्रिया करती है इन कलाकृतियों में अपेक्षाकृत छोटी प्रणालियों के लिए मात्रात्मक परिणाम होते हैं जिनमें केवल पूरी तरह से कठोर कण होते हैं मानक द्विआण्विक अनुरूपण के लिए उनका सघनता से अध्ययन नहीं किया गया है लेकिन ऐसी प्रणालियों के आकार को देखते हुए, प्रभाव अपेक्षाकृत नगण्य हो सकते है।

यह भी देखें

• कुंडलित सीमा की स्थिति
• आणविक मॉडलिंग
• आणविक यांत्रिकी मॉडलिंग के लिए सॉफ्टवेयर की सूची

संदर्भ

• Rapaport, D. C. (2004). The Art of Molecular Dynamics Simulation (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-82568-7. See esp. pp15–20.
• Schlick, T. (2002). Molecular Modeling and Simulation: An Interdisciplinary Guide. Interdisciplinary Applied Mathematics. Vol. 21. New York: Springer. ISBN 0-387-95404-X. See esp. pp272–6.