संयुक्त संभाव्यता वितरण

$X$

$Y$

$p(X)$

$p(Y)$

Many sample observations (black) are shown from a joint probability distribution. The marginal densities are shown as well.

एक ही प्रायिकता स्थान पर परिभाषित दो यादृच्छिक चर दिए गए हैं, संयुक्त संभाव्यता वितरण आउटपुट के सभी संभावित जोड़े पर संबंधित संभावना वितरण है। संयुक्त वितरण को किसी भी संख्या में यादृच्छिक चर के लिए भी माना जा सकता है। संयुक्त वितरण सीमांत वितरण को कूटबद्ध करता है, अर्थात प्रत्येक व्यक्तिगत यादृच्छिक चर का वितरण। यह सशर्त संभाव्यता वितरण को भी एनकोड करता है, जो इस बात से निपटता है कि कैसे एक यादृच्छिक चर के आउटपुट वितरित किए जाते हैं जब अन्य यादृच्छिक चर (एस) के आउटपुट पर जानकारी दी जाती है।

माप सिद्धांत के औपचारिक गणितीय सेटअप में, नमूना स्थान की संभाव्यता माप के दिए गए यादृच्छिक चर को एक साथ जोड़कर प्राप्त मानचित्र द्वारा, संयुक्त वितरण को पुशफॉर्वर्ड माप द्वारा दिया जाता है।

वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर के स्थितियों में, संयुक्त वितरण, एक विशेष बहुभिन्नरूपी वितरण के रूप में, एक बहुभिन्नरूपी संचयी वितरण फलन , या बहुभिन्नरूपी प्रायिकता घनत्व फलन द्वारा बहुभिन्नरूपी संभाव्यता द्रव्यमान फलन के साथ व्यक्त किया जा सकता है। निरंतर यादृच्छिक चर के विशेष स्थितियों में, प्रायिकता घनत्व कार्यों पर विचार करना पर्याप्त है, और असतत यादृच्छिक चर के स्थितियों में, संभाव्यता द्रव्यमान कार्यों पर विचार करना पर्याप्त है।

उदाहरण

एक कलश से खींचता है

दो कलशों में से प्रत्येक में नीली गेंदों की तुलना में दोगुनी लाल गेंदें होती हैं, और कोई नहीं, और प्रत्येक कलश से एक गेंद को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, जिसमें दो एक दूसरे से स्वतंत्र होते हैं। होने देना $A$ और $B$ क्रमशः पहले कलश और दूसरे कलश से ड्रा के परिणामों से जुड़े असतत यादृच्छिक चर हो। किसी भी कलश से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता 2/3 है, और नीली गेंद निकालने की प्रायिकता 1/3 है। संयुक्त संभाव्यता वितरण निम्न तालिका में प्रस्तुत किया गया है:

	ए = लाल	ए = नीला	पी (बी)
बी = लाल	(2/3)(2/3)=4/9	(1/3)(2/3)=2/9	4/9+2/9=2/3
बी = लाल	(2/3)(1/3)=2/9	(1/3)(1/3)=1/9	2/9+1/9=1/3
पी (बी)	4/9+2/9=2/3	2/9+1/9=1/3

चार आंतरिक कोशिकाओं में से प्रत्येक दो ड्रॉ से परिणामों के एक विशेष संयोजन की संभावना को दर्शाता है; ये संभावनाएं संयुक्त वितरण हैं। किसी एक सेल में एक विशेष संयोजन होने की संभावना है (चूंकि ड्रॉ स्वतंत्र हैं) A के लिए निर्दिष्ट परिणाम की संभावना और B के लिए निर्दिष्ट परिणाम की संभावना का उत्पाद है। इन चार कोशिकाओं में संभावनाओं का योग 1 है, जैसा कि सभी प्रायिकता वितरणों के साथ होता है।

इसके अतिरिक्त , अंतिम पंक्ति और अंतिम कॉलम क्रमशः A के लिए सीमांत संभाव्यता वितरण और B के लिए सीमांत संभाव्यता वितरण देते हैं। उदाहरण के लिए, A के लिए इनमें से पहला सेल A के लाल होने की संभावनाओं का योग देता है, भले ही सेल के ऊपर कॉलम में बी के लिए संभावना 2/3 हो। इस प्रकार के लिए सीमांत संभाव्यता वितरण $A$ देता है $A$की संभावनाओं पर बिना शर्त $B$, तालिका के एक मार्जिन में है।

सिक्का फ्लिप

दो उचित सिक्कों के पलटने पर विचार करें; होने देना $A$ और $B$ क्रमशः पहले और दूसरे सिक्के के फ़्लिप के परिणामों से जुड़े असतत यादृच्छिक चर हो। प्रत्येक सिक्का फ्लिप एक बर्नौली परीक्षण है और एक बर्नौली वितरण है। यदि कोई सिक्का शीर्ष प्रदर्शित करता है तो संबंधित यादृच्छिक चर मान 1 लेता है, और यह मान 0 अन्यथा लेता है। इन परिणामों में से प्रत्येक की संभावना 1/2 है, इसलिए सीमांत (बिना शर्त) घनत्व कार्य हैं

$P(A)=1/2\quad {\text{for}}\quad A\in \{0,1\};$

$P(B)=1/2\quad {\text{for}}\quad B\in \{0,1\}.$

संयुक्त संभाव्यता द्रव्यमान फलन $A$ और $B$ परिणामों की प्रत्येक जोड़ी के लिए संभावनाओं को परिभाषित करता है। सभी संभावित परिणाम हैं

$(A=0,B=0),(A=0,B=1),(A=1,B=0),(A=1,B=1).$

चूंकि प्रत्येक परिणाम समान रूप से संभावित है, इसलिए संयुक्त संभाव्यता द्रव्यमान कार्य बन जाता है

$P(A,B)=1/4\quad {\text{for}}\quad A,B\in \{0,1\}.$

चूँकि सिक्का फ़्लिप स्वतंत्र होता है, इसलिए संयुक्त प्रायिकता द्रव्यमान फलन उत्पाद होता है

हाशिए का:

$P(A,B)=P(A)P(B)\quad {\text{for}}\quad A,B\in \{0,1\}.$

पासा फेंकना

एक उचित पासा के रोल पर विचार करें और जाने दें $A=1$ यदि संख्या सम है (अर्थात् 2, 4, या 6) और $A=0$ अन्यथा। इसके अतिरिक्त , चलो $B=1$ यदि संख्या अभाज्य है (अर्थात 2, 3, या 5) और $B=0$ अन्यथा।

	1	2	3	4	5	6
A	0	1	0	1	0	1
B	0	1	1	0	1	0

फिर, का संयुक्त वितरण $A$ और $B$, संभाव्यता द्रव्यमान फलन के रूप में व्यक्त किया गया है

$\mathrm {P} (A=0,B=0)=P\{1\}={\frac {1}{6}},\quad \quad \mathrm {P} (A=1,B=0)=P\{4,6\}={\frac {2}{6}},$

$\mathrm {P} (A=0,B=1)=P\{3,5\}={\frac {2}{6}},\quad \quad \mathrm {P} (A=1,B=1)=P\{2\}={\frac {1}{6}}.$

कुछ संयोजन की संभावना के बाद से ये संभावनाएं आवश्यक रूप से 1 हैं $A$ और $B$ 1 घटित होता है 1.

मामूली संभाव्यता वितरण

यदि एक यादृच्छिक प्रयोग में एक से अधिक यादृच्छिक चर परिभाषित किए जाते हैं, तो X और Y के संयुक्त संभाव्यता वितरण और प्रत्येक चर के अलग-अलग संभाव्यता वितरण के बीच अंतर करना महत्वपूर्ण है। एक यादृच्छिक चर के व्यक्तिगत संभाव्यता वितरण को इसके सीमांत संभाव्यता वितरण के रूप में संदर्भित किया जाता है। सामान्य तौर पर, एक्स की सीमांत संभाव्यता वितरण एक्स और अन्य यादृच्छिक चर के संयुक्त संभाव्यता वितरण से निर्धारित किया जा सकता है।

यदि यादृच्छिक चर X और Y का संयुक्त संभाव्यता घनत्व कार्य है $f_{X,Y}(x,y)$ , एक्स और वाई की सीमांत संभाव्यता घनत्व फलन , जो सीमांत वितरण को परिभाषित करता है, द्वारा दिया गया है:

$f_{X}(x)=\int f_{X,Y}(x,y)\;dy$
$f_{Y}(y)=\int f_{X,Y}(x,y)\;dx$

जहां पहला इंटीग्रल (X, Y) की सीमा में सभी बिंदुओं पर है जिसके लिए X = x और दूसरा इंटीग्रल (X, Y) की सीमा में सभी बिंदुओं पर है जिसके लिए Y = y है।

संयुक्त संचयी वितरण फलन

यादृच्छिक चर की एक जोड़ी के लिए $X,Y$, संयुक्त संचयी वितरण फलन (CDF) $F_{XY}$ द्वारा दिया गया है

$F_{X,Y}(x,y)=\operatorname {P} (X\leq x,Y\leq y)$

(Eq.1)

जहाँ दाएँ हाथ की ओर संभावना का प्रतिनिधित्व करता है कि यादृच्छिक चर $X$ से कम या उसके बराबर मान लेता है $x$ ओर वो $Y$ से कम या उसके बराबर $y$ मान लेता है

के लिए $N$ यादृच्छिक चर $X_{1},\ldots ,X_{N}$, संयुक्त सीडीएफ $F_{X_{1},\ldots ,X_{N}}$ द्वारा दिया गया है

$F_{X_{1},\ldots ,X_{N}}(x_{1},\ldots ,x_{N})=\operatorname {P} (X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{N}\leq x_{N})$

(Eq.2)

व्याख्या करना $N$ एक यादृच्छिक वेक्टर के रूप में यादृच्छिक चर $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{N})^{T}$ एक छोटा अंकन देता है:

$F_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )=\operatorname {P} (X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{N}\leq x_{N})$

संयुक्त घनत्व फलन या द्रव्यमान फलन

असतत स्थितियां

दो असतत यादृच्छिक चर का संयुक्त संभाव्यता द्रव्यमान कार्य $X,Y$ है:

$p_{X,Y}(x,y)=\mathrm {P} (X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)$

(Eq.3)

या सशर्त वितरण के संदर्भ में लिखा गया है

$p_{X,Y}(x,y)=\mathrm {P} (Y=y\mid X=x)\cdot \mathrm {P} (X=x)=\mathrm {P} (X=x\mid Y=y)\cdot \mathrm {P} (Y=y)$

कहाँ $\mathrm {P} (Y=y\mid X=x)$ की सशर्त संभावना है $Y=y$ मान लें कि $X=x$.

पूर्ववर्ती दो-चर स्थितियों का सामान्यीकरण का संयुक्त संभाव्यता वितरण है $n\,$ असतत यादृच्छिक चर $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ जो है:

$p_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\mathrm {P} (X_{1}=x_{1}{\text{ and }}\dots {\text{ and }}X_{n}=x_{n})$

(Eq.4)

या समकक्ष

${\begin{aligned}p_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=\mathrm {P} (X_{1}=x_{1})\cdot \mathrm {P} (X_{2}=x_{2}\mid X_{1}=x_{1})\\&\cdot \mathrm {P} (X_{3}=x_{3}\mid X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2})\\&\dots \\&\cdot P(X_{n}=x_{n}\mid X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\dots ,X_{n-1}=x_{n-1}).\end{aligned}}$.

इस पहचान को श्रृंखला नियम (प्रायिकता) के रूप में जाना जाता है।

चूँकि ये दो-चर वाले स्थितियों में संभावनाएँ हैं

$\sum _{i}\sum _{j}\mathrm {P} (X=x_{i}\ \mathrm {and} \ Y=y_{j})=1,\,$

जिसके लिए सामान्यीकरण करता है $n\,$ असतत यादृच्छिक चर $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ को

$\sum _{i}\sum _{j}\dots \sum _{k}\mathrm {P} (X_{1}=x_{1i},X_{2}=x_{2j},\dots ,X_{n}=x_{nk})=1.\;$

निरंतर स्थितियां

संयुक्त संभावना घनत्व फलन $f_{X,Y}(x,y)$ दो निरंतर यादृच्छिक चर के लिए संयुक्त संचयी वितरण फलन के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है (देखें Eq.1):

$f_{X,Y}(x,y)={\frac {\partial ^{2}F_{X,Y}(x,y)}{\partial x\partial y}}$

(Eq.5)

यह इसके बराबर है:

$f_{X,Y}(x,y)=f_{Y\mid X}(y\mid x)f_{X}(x)=f_{X\mid Y}(x\mid y)f_{Y}(y)$

कहाँ $f_{Y\mid X}(y\mid x)$ और $f_{X\mid Y}(x\mid y)$ के सशर्त वितरण हैं $Y$ दिया गया $X=x$ और का $X$ दिया गया $Y=y$ क्रमशः, और $f_{X}(x)$ और $f_{Y}(y)$ के लिए सीमांत वितरण हैं $X$ और $Y$ क्रमश।

परिभाषा स्वाभाविक रूप से दो से अधिक यादृच्छिक चरों तक फैली हुई है:

$f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {\partial ^{n}F_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})}{\partial x_{1}\ldots \partial x_{n}}}$

(Eq.6)

फिर से, चूँकि ये प्रायिकता बंटन हैं, एक के पास है

$\int _{x}\int _{y}f_{X,Y}(x,y)\;dy\;dx=1$

क्रमश:

$\int _{x_{1}}\ldots \int _{x_{n}}f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\;dx_{n}\ldots \;dx_{1}=1$

मिश्रित स्थितियां

मिश्रित संयुक्त घनत्व को परिभाषित किया जा सकता है जहां एक या अधिक यादृच्छिक चर निरंतर होते हैं और अन्य यादृच्छिक चर असतत होते हैं। प्रत्येक प्रकार के एक चर के साथ

${\begin{aligned}f_{X,Y}(x,y)=f_{X\mid Y}(x\mid y)\mathrm {P} (Y=y)=\mathrm {P} (Y=y\mid X=x)f_{X}(x).\end{aligned}}$

ऐसी स्थिति का एक उदाहरण जिसमें कोई एक यादृच्छिक चर के संचयी वितरण को खोजने की इच्छा कर सकता है जो निरंतर है और एक अन्य यादृच्छिक चर जो असतत है, जब कोई द्विआधारी परिणाम Y सशर्त की संभावना की भविष्यवाणी करने में एक रसद प्रतिगमन का उपयोग करना चाहता है। एक सतत वितरित परिणाम का मूल्य $X$. इस बाइनरी परिणाम के संचयी वितरण को खोजने के समय मिश्रित संयुक्त घनत्व का उपयोग करना चाहिए क्योंकि इनपुट चर $(X,Y)$ प्रारंभ में इस तरह से परिभाषित किया गया था कि कोई सामूहिक रूप से इसे प्रायिकता घनत्व फलन या प्रायिकता द्रव्यमान फलन नहीं दे सकता था। औपचारिक रूप से, $f_{X,Y}(x,y)$ का प्रायिकता घनत्व फलन है $(X,Y)$ के संबंधित समर्थन (माप सिद्धांत) पर उत्पाद माप के संबंध में $X$ और $Y$. संयुक्त संचयी वितरण फलन को पुनर्प्राप्त करने के लिए इन दो अपघटनों में से किसी एक का उपयोग किया जा सकता है:

${\begin{aligned}F_{X,Y}(x,y)&=\sum \limits _{t\leq y}\int _{s=-\infty }^{x}f_{X,Y}(s,t)\;ds.\end{aligned}}$

परिभाषा असतत और निरंतर यादृच्छिक चर की मनमानी संख्याओं के मिश्रण के लिए सामान्य है।

अतिरिक्त गुण

स्वतंत्र चर के लिए संयुक्त वितरण

सामान्य तौर पर दो यादृच्छिक चर $X$ और $Y$ सांख्यिकीय स्वतंत्रता हैं यदि और केवल यदि संयुक्त संचयी वितरण कार्य संतुष्ट करता है

$F_{X,Y}(x,y)=F_{X}(x)\cdot F_{Y}(y)$

दो असतत यादृच्छिक चर $X$ और $Y$ स्वतंत्र हैं अगर और केवल अगर संयुक्त संभाव्यता द्रव्यमान कार्य संतुष्ट करता है

$P(X=x\ {\mbox{and}}\ Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)$

सभी के लिए $x$ और $y$.

जबकि स्वतंत्र यादृच्छिक घटनाओं की संख्या बढ़ती है, एक नकारात्मक घातीय कानून के अनुसार, संबंधित संयुक्त संभाव्यता मूल्य तेजी से शून्य हो जाता है।

इसी तरह, दो बिल्कुल निरंतर यादृच्छिक चर स्वतंत्र हैं यदि और केवल यदि

$f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y)$

सभी के लिए $x$ और $y$. इसका मतलब है कि एक या अधिक यादृच्छिक चर के मूल्य के बारे में कोई भी जानकारी प्राप्त करने से किसी अन्य चर का सशर्त वितरण होता है जो इसके बिना शर्त (सीमांत) वितरण के समान होता है; इस प्रकार कोई भी चर किसी अन्य चर के बारे में कोई जानकारी नहीं देता है।

सशर्त रूप से निर्भर चर के लिए संयुक्त वितरण

यदि एक उपसमुच्चय $A$ चरों का $X_{1},\cdots ,X_{n}$ सशर्त निर्भरता है जिसे एक और उपसमुच्चय दिया गया है $B$ इन चरों में से, तो संयुक्त वितरण का संभाव्यता द्रव्यमान कार्य है $\mathrm {P} (X_{1},\ldots ,X_{n})$. $\mathrm {P} (X_{1},\ldots ,X_{n})$ के बराबर है $P(B)\cdot P(A\mid B)$. इसलिए, इसे कम-आयामी संभाव्यता वितरण द्वारा कुशलता से प्रदर्शित किया जा सकता है $P(B)$ और $P(A\mid B)$. इस तरह के सशर्त स्वतंत्रता संबंधों को बायेसियन नेटवर्क या कोपुला (संभाव्यता सिद्धांत) के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है।

सहप्रसरण

जब प्रायिकता स्थान पर दो या अधिक यादृच्छिक चर परिभाषित किए जाते हैं, तो यह वर्णन करना उपयोगी होता है कि वे एक साथ कैसे भिन्न होते हैं; अर्थात्, यह चरों के बीच संबंध को मापने के लिए उपयोगी है। सहप्रसरण दो यादृच्छिक चर के बीच संबंध का एक सामान्य उपाय है। सहप्रसरण यादृच्छिक चरों के बीच रैखिक संबंध का माप है। यदि यादृच्छिक चर के बीच का संबंध अरेखीय है, तो सहप्रसरण संबंध के प्रति संवेदनशील नहीं हो सकता है, जिसका अर्थ है, यह दो चर के बीच संबंध से संबंधित नहीं है।

यादृच्छिक चर X और Y के बीच सहप्रसरण, जिसे cov(X,Y) के रूप में निरूपित किया जाता है, है:

$\sigma _{XY}=E[(X-\mu _{x})(Y-\mu _{y})]=E(XY)-\mu _{x}\mu _{y}$

सहसंबंध और निर्भरता

दो यादृच्छिक चर के बीच संबंध का एक और उपाय है जो सहप्रसरण की तुलना में अधिकांशतः व्याख्या करना सरल होता है।

सहसंबंध केवल प्रत्येक चर के मानक विचलन के उत्पाद द्वारा सहप्रसरण को मापता है। परिणामस्वरूप , सहसंबंध एक आयाम रहित मात्रा है जिसका उपयोग विभिन्न इकाइयों में चर के जोड़े के बीच रैखिक संबंधों की तुलना करने के लिए किया जा सकता है। यदि X और Y के संयुक्त संभाव्यता बंटन में सकारात्मक संभावना प्राप्त करने वाले बिंदु सकारात्मक (या नकारात्मक) ढलान की एक रेखा के साथ गिरते हैं, तो ρ_XY +1 (या -1) के पास है। यदि ρ_XY +1 या -1 के बराबर है, तो यह दिखाया जा सकता है कि सकारात्मक संभावना प्राप्त करने वाले संयुक्त संभाव्यता वितरण में बिंदु बिल्कुल सीधी रेखा के साथ आते हैं। अशून्य सहसंबंध वाले दो यादृच्छिक चर सहसंबद्ध कहलाते हैं। सहप्रसरण के समान, सहसंबंध यादृच्छिक चर के बीच रैखिक संबंध का एक उपाय है।

रैंडम वेरिएबल X और Y के बीच सहसंबंध, के रूप में दर्शाया गया है

$\rho _{XY}={\frac {cov(X,Y)}{\sqrt {V(X)V(Y)}}}={\frac {\sigma _{XY}}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}$

महत्वपूर्ण नामित वितरण

नामित संयुक्त वितरण जो आँकड़ों में अधिकांशतः उत्पन्न होते हैं, उनमें बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण, बहुभिन्नरूपी स्थिर वितरण, बहुराष्ट्रीय वितरण, नकारात्मक बहुराष्ट्रीय वितरण, बहुभिन्नरूपी हाइपरज्यामितीय वितरण और अण्डाकार वितरण सम्मिलित हैं।

यह भी देखें

• बायेसियन प्रोग्रामिंग
• चाउ-लियू वृक्ष
• सशर्त संभाव्यता
• कोपुला (संभाव्यता सिद्धांत)
• विघटन प्रमेय
• बहुभिन्नरूपी आँकड़े
• सांख्यिकीय हस्तक्षेप
• जोड़ीदार स्वतंत्रता

बाहरी संबंध

• "Joint distribution", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Multi-dimensional distribution", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• A modern introduction to probability and statistics : understanding why and how. Dekking, Michel, 1946-. London: Springer. 2005. ISBN 978-1-85233-896-1. OCLC 262680588.
• "Joint continuous density function". PlanetMath.
• Mathworld: Joint Distribution Function