अनुमानक का पूर्वाग्रह: Difference between revisions

Latest revision as of 16:17, 13 April 2023

सांख्यिकी में, अनुमानक (या अभिनत फलन) का अभिनत इस अनुमानक के अपेक्षित मान और अनुमानित पैरामीटर के वास्तविक मान के बीच का अंतर है। शून्य अभिनत वाला अनुमानक या निर्णय नियम अनभिनत कहलाता है। सांख्यिकी में, "अभिनत" एक अनुमानक की एक वस्तुगत गुण है। अभिनत संगति से एक अलग अवधारणा है: सुसंगत अनुमानक संभाव्यता में पैरामीटर के वास्तविक मान में अभिसरण करते हैं, लेकिन अभिनतपूर्ण या अनभिनत हो सकते हैं; अधिक जानकारी के लिए अभिनत बनाम निरंतरता देखें।

अन्य सभी समान होने के कारण, अनभिनत अनुमानक अभिनत अनुमानक के लिए अधिकतम है, हालांकि व्यवहार में, अभिनत अनुमानक (सामान्य रूप से छोटे अभिनत के साथ) प्रायः उपयोग किए जाते हैं। जब अभिनत अनुमानक का उपयोग किया जाता है, तो अभिनत की सीमा की गणना की जाती है। अभिनत अनुमानक का उपयोग विभिन्न कारणों से किया जा सकता है: क्योंकि समष्‍टि के बारे में और धारणाओं के बिना अनभिनत अनुमानक सम्मिलित नहीं है; क्योंकि एक अनुमानक की गणना करना कठिन है (मानक विचलन के अनभिनत अनुमान के रूप में); क्योंकि केंद्रीय प्रवृत्ति के विभिन्न समाधानों के संबंध में अभिनत अनुमानक अनभिनत हो सकता है; क्योंकि एक पक्षपाती अनुमानक निष्पक्ष अनुमानकों (विशेष रूप से अवमूल्यन अनुमानक में) की तुलना में कुछ हानि फलन (विशेष रूप से औसत वर्ग त्रुटि) का कम मान देता है; या क्योंकि कुछ स्थितियों में अनभिनत होना बहुत प्रबल स्थिति है, और सिर्फ अनभिनत अनुमानक उपयोगी नहीं होते हैं।

अभिनत को औसत (अपेक्षित मान) के अतिरिक्त माध्यिका के संबंध में भी मापा जा सकता है, इस स्थिति में सामान्य औसत-निष्पक्षता गुण से औसत-निष्पक्षता को अलग करता है। गैर-रैखिक डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी) के अंतर्गत माध्य-निष्पक्षता संरक्षित नहीं है, हालांकि औसत-निष्पक्षता है (देखें § रूपांतरणों का प्रभाव); उदाहरण के लिए, प्रतिदर्श प्रसरण समष्‍टि प्रसरण के लिए अभिनत अनुमानक है। ये सभी नीचे सचित्र हैं।

परिभाषा

मान लीजिए कि हमारे पास एक सांख्यिकीय मॉडल है, जिसे वास्तविक संख्या θ द्वारा परिचालित किया गया है, जो देखे गए डेटा, $P_{\theta }(x)=P(x\mid \theta )$ के लिए प्रायिकता विभाजन को उत्पन्न करता है और एक आँकड़ा ${\hat {\theta }}$ जो किसी भी देखे गए डेटा $x$ के आधार पर θ के अनुमानक के रूप में कार्य करता है अर्थात्, हम मानते हैं कि हमारा डेटा किसी अज्ञात विभाजन $P(x\mid \theta )$ का अनुसरण करता है (जहां θ एक निश्चित, अज्ञात स्थिरांक है जो इस विभाजन का हिस्सा है), और फिर हम कुछ अनुमानक ${\hat {\theta }}$ का निर्माण करते हैं मानचित्रों ने डेटा को उन मानों पर देखा जो हम आशा करते हैं कि वे θ के समीप हैं। ${\hat {\theta }}$ का 'अभिनत' के सापेक्ष $\theta$ परिभाषित किया जाता है^[1]

\operatorname {Bias} ({\hat {\theta }},\theta )=\operatorname {Bias} _{\theta }[\,{\hat {\theta }}\,]=\operatorname {E} _{x\mid \theta }[\,{\hat {\theta }}\,]-\theta =\operatorname {E} _{x\mid \theta }[\,{\hat {\theta }}-\theta \,],

जहाँ $\operatorname {E} _{x\mid \theta }$ विभाजन पर अपेक्षित मान $P(x\mid \theta )$ दर्शाता है (अर्थात, सभी संभावित अवलोकनों का औसत $x$ ) दूसरा समीकरण अनुसरण करता है क्योंकि θ सशर्त विभाजन $P(x\mid \theta )$ के संबंध में मापने योग्य है

अनुमानक को अनभिनत कहा जाता है यदि इसका अभिनत पैरामीटर θ के सभी मानों के लिए शून्य के बराबर है, या समतुल्य है, यदि अनुमानक का अपेक्षित मान पैरामीटर के समान होता है।^[2]

अनुमानक के गुणों से संबंधित अनुकरण प्रयोग में, अनुमानित अंतर का उपयोग करके अनुमानक के अभिनत का आकलन किया जा सकता है।

उदाहरण

प्रतिदर्श प्रसरण

यादृच्छिक चर का प्रतिदर्श प्रसरण अनुमानक अभिनत के दो स्वरूप को प्रदर्शित करता है: सबसे पहले, सहज अनुमानक अभिनत है, जिसे मापन कारक द्वारा सही किया जा सकता है; दूसरा, अनभिनत अनुमानक माध्य औसत वर्ग त्रुटि (एमएसई) के स्थिति में इष्टतम नहीं है, जिसे एक अलग पैमाने के कारक का उपयोग करके कम किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप अनभिनत अनुमानक की तुलना में कम एमएसई वाला अभिनत अनुमानक होता है। मूर्त रूप से, सामान्य अनुमानक औसत वर्ग विचलन का योग करते हैं और n से विभाजित होते हैं, जो अभिनत है। इसके अतिरिक्त n − 1 से विभाजित करने पर अनभिनत अनुमानक प्राप्त होता है। इसके विपरीत, माध्य औसत वर्ग त्रुटि को एक अलग संख्या (विभाजन के आधार पर) से विभाजित करके कम किया जा सकता है, लेकिन इसका परिणाम अभिनत अनुमानक होता है। यह संख्या सदैव n − 1 से बड़ी होती है, इसलिए इसे अवमूल्यन अनुमानक के रूप में जाना जाता है, क्योंकि यह अनभिनत अनुमानक को शून्य की ओर अधिसंकुचन है; सामान्य विभाजन के लिए इष्टतम मान n + 1 है।

मान लीजिए कि X₁, ..., X_n स्वतंत्र हैं और समान रूप से वितरित (i.i.d.) यादृच्छिक चर हैं जिनकी अपेक्षा μ और प्रसरण σ2 है। यदि प्रतिदर्श माध्य और असंशोधित प्रतिदर्श प्रसरण को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

{\overline {X}}\,={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\qquad S^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\big (}X_{i}-{\overline {X}}\,{\big )}^{2}\qquad

तब S² σ² का अभिनत अनुमानक है, क्योंकि

\begin{aligned} E [S^{2}] & = E [\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}] = E [\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {((X_{i} - μ) - (\bar{X} - μ))}^{2}] \\ = E [\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} ({(X_{i} - μ)}^{2} - 2 (\bar{X} - μ) (X_{i} - μ) + {(\bar{X} - μ)}^{2})] \\ = E [\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - μ)}^{2} - \frac{2}{n} (\bar{X} - μ) \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - μ) + \frac{1}{n} {(\bar{X} - μ)}^{2} \sum_{i = 1}^{n} 1] \\ = E [\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - μ)}^{2} - \frac{2}{n} (\bar{X} - μ) \sum_{i = 1}^{n} ( \end{aligned}

जारी रखने के लिए, हम ध्यान दें कि

\mu

घटाकर के दोनों ओर से

{\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}

, हम पाते हैं

{\begin{aligned}{\overline {X}}-\mu ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}-\mu ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mu \ ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu ).\\[8pt]\end{aligned}}

अर्थ, (तिर्यक-गुणन द्वारा) $n\cdot ({\overline {X}}-\mu )=\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )$ . फिर, पहला बन जाता है:

\begin{aligned} E [S^{2}] & = E [\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - μ)}^{2} - \frac{2}{n} (\bar{X} - μ) \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - μ) + {(\bar{X} - μ)}^{2}] \\ = E [\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - μ)}^{2} - \frac{2}{n} (\bar{X} - μ) \cdot n \cdot (\bar{X} - μ) + {(\bar{X} - μ)}^{2}] \\ = E [\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - μ)}^{2} - 2 {(\bar{X} - μ)}^{2} + {(\bar{X} - μ)}^{2}] \\ = E [\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - μ)}^{2} - {(\bar{X} - μ)}^{2}] \\ = E [\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - μ)}^{2}] - E [(\bar{X} - \end{aligned}

यह निम्न सूत्र को ध्यान में रखते हुए देखा जा सकता है, जो ऊपर दिए गए असंशोधित प्रतिदर्श प्रसरण की अपेक्षा के लिए असमानता में पद के लिए, बायनेमे सूत्र से अनुसरण करता है:

\operatorname {E} {\big [}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\big ]}={\frac {1}{n}}\sigma ^{2}

.

दूसरे शब्दों में, असंशोधित प्रतिदर्श प्रसरण का अपेक्षित मान समष्टि प्रसरण σ² के बराबर नहीं होता है, जब तक कि सामान्यीकरण कारक से गुणा न किया जाए। दूसरी ओर, प्रतिदर्श माध्य अनभिनत है^[3] समष्‍टि माध्य μ का अनुमानक है।^[2]

ध्यान दें कि प्रतिदर्श भिन्नता की सामान्य परिभाषा $S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}\,)^{2}$ है, और यह समष्‍टि प्रसरण का अनभिनत अनुमानक है।

बीजगणितीय रूप से, $\operatorname {E} [S^{2}]$ अनभिनत है क्योंकि:

{\begin{aligned}\operatorname {E} [S^{2}]&=\operatorname {E} \left[{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}{\big (}X_{i}-{\overline {X}}{\big )}^{2}\right]={\frac {n}{n-1}}\operatorname {E} \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\big (}X_{i}-{\overline {X}}{\big )}^{2}\right]\\[8pt]&={\frac {n}{n-1}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\sigma ^{2}=\sigma ^{2},\\[8pt]\end{aligned}}

जहां दूसरी पंक्ति में संक्रमण अभिनत अनुमानक के लिए उपरोक्त व्युत्पन्न परिणाम का उपयोग करता है। इस प्रकार $\operatorname {E} [S^{2}]=\sigma ^{2}$ , और इसलिए $S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}\,)^{2}$ समष्‍टि प्रसरण का σ² अनभिनत अनुमानक है। प्रसरण के अभिनत (असंशोधित) और अनभिनत अनुमानों के बीच के अनुपात को बेसेल के सुधार के रूप में जाना जाता है।

कारण यह है कि एक असंशोधित प्रतिदर्श प्रसरण, S², इस तथ्य से अभिनत है कि प्रतिदर्श माध्य μ के लिए एक सामान्य न्यूनतम वर्ग (ओएलएस) अनुमानक है: ${\overline {X}}$ वह संख्या है जो $\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}$ जितना संभव हो उतना छोटा योग बनाती है। अर्थात, जब इस योग में किसी अन्य संख्या को जोड़ा जाता है, तो योग सिर्फ बढ़ सकता है। विशेष रूप से, $\mu \neq {\overline {X}}$ का विकल्प देता है,

{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}<{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2},

और तब

{\begin{aligned}\operatorname {E} [S^{2}]&=\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}{\bigg ]}<\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}{\bigg ]}=\sigma ^{2}.\end{aligned}}

उपरोक्त चर्चा को ज्यामितीय शब्दों में समझा जा सकता है: वेक्टर ${\vec {C}}=(X_{1}-\mu ,\ldots ,X_{n}-\mu )$ की दिशा में प्रक्षेपित करके माध्य भाग और प्रसरण भाग ${\vec {u}}=(1,\ldots ,1)$ और उस दिशा के लंबकोणीयपूरक अधिसमतल में विघटित किया जा सकता है। किसी को ${\vec {A}}=({\overline {X}}-\mu ,\ldots ,{\overline {X}}-\mu )$ भाग के लिए ${\vec {u}}$ और ${\vec {B}}=(X_{1}-{\overline {X}},\ldots ,X_{n}-{\overline {X}})$ पूरक भाग के लिए प्राप्त होता है। चूंकि यह एक लंबकोणीय अपघटन है, पाइथागोरस प्रमेय कहता है $|{\vec {C}}|^{2}=|{\vec {A}}|^{2}+|{\vec {B}}|^{2}$ , और अपेक्षाओं को लेकर हम $n\sigma ^{2}=n\operatorname {E} \left[({\overline {X}}-\mu )^{2}\right]+n\operatorname {E} [S^{2}]$ प्राप्त करते हैं, जैसा ऊपर (लेकिन $n$ गुना) दिया गया है। यदि ${\vec {C}}$ का विभाजन घूर्णी रूप से सममित है, जैसे कि जब $X_{i}$ गॉसियन से प्रतिदर्श लिए जाते हैं, फिर औसतन ${\vec {u}}$ , साथ में आयाम $|{\vec {C}}|^{2}$ करने के लिए योगदान देते है समान रूप से $n-1$ दिशाओं के लिए लंबवत ${\vec {u}}$ , ताकि $\operatorname {E} \left[({\overline {X}}-\mu )^{2}\right]={\frac {\sigma ^{2}}{n}}$ और $\operatorname {E} [S^{2}]={\frac {(n-1)\sigma ^{2}}{n}}$ यह वास्तव में सामान्य रूप से सत्य है, जैसा कि ऊपर बताया गया है।

प्वासों प्रायिकता का अनुमान लगाना

किसी भी अनभिनत अनुमानक की तुलना में अभिनत अनुमानक के अधिकतम होने का एक और अधिक महत्वपूर्ण स्थिति पोइसन विभाजन से उत्पन्न होती है।^[4]^[5] मान लीजिए कि x के पास अपेक्षा λ के साथ पॉइसन विभाजन है। मान लीजिए कि यह अनुमान लगाना चाहता है

\operatorname {P} (X=0)^{2}=e^{-2\lambda }\quad

आकार 1 के एक प्रतिदर्श के साथ। (उदाहरण के लिए, जब एक टेलीफोन स्विचबोर्ड पर आने वाली कॉल को पॉइसन प्रक्रिया के रूप में मॉडल किया जाता है, और λ प्रति मिनट कॉल की औसत संख्या e^−2λ है, तो संभावना है कि अगले दो मिनट में कोई कॉल नहीं आएगी।)

चूंकि अनभिनत अनुमानक की अपेक्षा δ(X) अनुमान के बराबर है, अर्थात

\operatorname {E} (\delta (X))=\sum _{x=0}^{\infty }\delta (x){\frac {\lambda ^{x}e^{-\lambda }}{x!}}=e^{-2\lambda },

अनभिनत अनुमानक बनाने वाले डेटा का एकमात्र फलन है

\delta (x)=(-1)^{x}.\,

इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि अपेक्षा के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति से e^−λ को विघटित करते समय, शेष राशि e^−λ का टेलर श्रृंखला विस्तार भी है, जिससे e^−λe^−λ = e^−2λ प्राप्त होता है (घातीय फलन के विवरण देखें)।

यदि x का प्रेक्षित मान 100 है, तो अनुमान 1 है, हालांकि अनुमानित मात्रा का सही मान 0 के समीप होने की संभावना है, जो विपरीत अधिकतम है। और, यदि X को 101 माना जाता है, तो अनुमान और भी असंगत है: यह -1 है, हालांकि अनुमानित मात्रा धनात्मक होनी चाहिए।

(अभिनत) अधिकतम संभावना

e^{-2{X}}\quad

इस अनभिनत अनुमानक से कहीं अधिकतम है। न सिर्फ इसका मान सदैव धनात्मक होता है बल्कि यह इस अर्थ में भी अधिक परिशुद्ध होता है कि इसका माध्य औसत वर्ग त्रुटि है

e^{-4\lambda }-2e^{\lambda (1/e^{2}-3)}+e^{\lambda (1/e^{4}-1)}\,

छोटा है; इसके अनभिनत अनुमानक के माध्य औसत वर्ग त्रुटि की तुलना करें

1-e^{-4\lambda }.\,

माध्य औसत वर्ग त्रुटि वास्तविक मान λ के फलन हैं। अधिकतम-संभावना अनुमानक का अभिनत है:

e^{-2\lambda }-e^{\lambda (1/e^{2}-1)}.\,

असतत समान विभाजन का अधिकतम

अधिकतम-संभावना अनुमानकों का अभिनत पर्याप्त हो सकता है। एक ऐसे स्थिति पर विचार करें जहां 1 से n तक के n टिकटों को एक बॉक्स में रखा गया है और एक को यादृच्छिक रूप से चयन किया गया है, एक मान X दे रहा है। यदि n अज्ञात है, तो n का अधिकतम-संभावना अनुमानक X है, तथापि अपेक्षा X दिया हुआ n सिर्फ (n + 1)/2 है; हम सिर्फ निश्चित हो सकते हैं कि n कम से कम X है और संभव्यता अधिक है। इस स्थिति में, प्राकृतिक अनभिनत अनुमानक 2X − 1 है।

माध्य-अनभिनत अनुमानक

1947 में जॉर्ज डब्ल्यू ब्राउन द्वारा माध्य-अनभिनत आकलनकर्ताओं के सिद्धांत को पुनर्जीवित किया गया था:^[6]

एक-आयामी पैरामीटर θ का एक अनुमान औसत-निष्पक्ष कहा जाएगा, यदि, निश्चित θ के लिए, अनुमान के वितरण का औसत मान θ पर है; अर्थात, अनुमान उतनी ही बार कम करके निर्धारित किया जाता है जितनी बार यह अधिक अनुमान लगाता है। यह आवश्यकता अधिकांश उद्देश्यों के लिए औसत-निष्पक्ष आवश्यकता को पूरा करने के लिए प्रतीत होती है और इसकी अतिरिक्त गुण है कि यह एक-से-एक परिवर्तन के अंर्तगत अपरिवर्तनीय है।

मध्य-अनभिनत आकलनकर्ताओं के और गुणों को लेहमन, बिरनबाउम, वैन डेर वार्ट और फनज़ागल द्वारा नोट किया गया है।^{[citation needed]} विशेष रूप से, औसत-अनभिनत अनुमानक ऐसे स्थितियों में सम्मिलित होते हैं जहां माध्य-अनभिनत और अधिकतम-संभावना अनुमानक सम्मिलित नहीं होते हैं। वे अंतःक्षेपी फलन एक-से-एक परिवर्तन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय हैं।

प्रायिकता विभाजन के लिए मध्य-अनभिनत अनुमानक के निर्माण के तरीके हैं जिनमें मोनोटोन संभावना अनुपात है।) जैसे कि एक-पैरामीटर घातीय वर्ग, यह सुनिश्चित करने के लिए कि वे इष्टतम हैं (माध्य-निष्पक्ष अनुमानक के लिए मानी जाने वाली न्यूनतम-विचरण गुण के अनुरूप)।^[7]^[8] ऐसी ही एक प्रक्रिया माध्य-अनभिनत आकलनकर्ताओं के लिए राव-ब्लैकवेल प्रक्रिया का एक एनालॉग है: माध्य-अनभिनत अनुमान के लिए राव-ब्लैकवेल प्रक्रिया की तुलना में प्रक्रिया प्रायिकता विभाजन के एक छोटे वर्ग के लिए है, लेकिन हानि-फलनों के एक बड़े वर्ग के लिए है।^[8]

अन्य हानि फलनों के संबंध में अभिनत

कोई न्यूनतम-प्रसरण माध्य-अनभिनत अनुमानक औसत वर्ग-त्रुटि हानि फलन (माध्य-अनभिनत अनुमानकों के बीच) के संबंध में जोखिम (सांख्यिकी) (अपेक्षित हानि) को कम करता है, जैसा कि गॉस द्वारा देखा गया है।^[9] एक न्यूनतम-औसत निरपेक्ष विचलन मध्य-अनभिनत आकलनकर्ता पूर्ण मान हानि फलन (मध्य-अनभिनत अनुमानकों के बीच) के संबंध में जोखिम को कम करता है, जैसा कि लाप्लास द्वारा देखा गया है।^[9]^[10] अन्य त्रुटि फलनों का उपयोग, विशेष रूप से प्रबल सांख्यिकी में किया जाता है।^[9]^[11]

रूपांतरों का प्रभाव

अविभाजित मापदंडों के लिए, मध्य-अनभिनत अनुमानक डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी) के अंतर्गत मध्य-अनभिनत रहते हैं जो क्रम (या प्रतिवर्त क्रम) को संरक्षित करते हैं। ध्यान दें कि, जब एक माध्य-अनभिनत अनुमानक पर रूपांतरण प्रयुक्त किया जाता है, तो परिणाम को इसके संगत समष्‍टि सांख्यिकी का माध्य-अनभिनत अनुमानक नहीं होना चाहिए। जेन्सेन की असमानता से, परिवर्तन के रूप में एक उत्तल फलन धनात्मक अभिनत प्रस्तुत करेगा, जबकि एक अवतल फलन ऋणात्मक अभिनत प्रस्तुत करेगा, और मिश्रित उत्तलता का फलन विशिष्ट फलन और विभाजन के आधार पर किसी भी दिशा में अभिनत प्रस्तुत कर सकता है। यह, एक गैर-रैखिक फलन F और पैरामीटर P के एक औसत-अनभिनत अनुमानक U के लिए, समग्र अनुमानक f(U) को F(P) का एक औसत-अनभिनत अनुमानक नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, समष्‍टि प्रसरण के अनभिनत अनुमानक का वर्गमूल है not समष्‍टि मानक विचलन का माध्य-अनभिनत अनुमानक: अनभिनत प्रतिदर्श प्रसरण का वर्गमूल, सही प्रतिदर्श मानक विचलन, अभिनत है। अभिनत अनुमानक के प्रतिदर्श विभाजन और परिवर्तन पर निर्भर करता है, और गणना करने के लिए अपेक्षाकृत अधिक सम्मिलित हो सकता है - इस स्थिति में चर्चा के लिए मानक विचलन का अनभिनत अनुमान देखें।

अभिनत, प्रसरण और माध्य औसत वर्ग त्रुटि

पैरामीटर β₀ के लिए दो वैकल्पिक अनुमानकों का प्रतिदर्शकरण विभाजन है। हालांकि β₁ निष्पक्ष है, यह अभिनत β₂ से स्पष्ट रूप से कम है।रिज प्रतिगमन एक तकनीक का एक उदाहरण है जहां अल्प अभिनत की स्वीकृति देने से विचरण में अधिकतम कमी आ सकती है, और समग्र रूप से अधिक विश्वसनीय अनुमान लग सकते हैं।

जबकि अभिनत अनुमानक और अंतर्निहित पैरामीटर के बीच अपेक्षित औसत अंतर को मापता है, प्रतिदर्श में यादृच्छिकता के कारण परिमित प्रतिदर्श के आधार पर अनुमानक अतिरिक्त रूप से पैरामीटर से अलग होने की उपेक्षा कर सकता है।

अनुमानक जो अभिनत को कम करता है, आवश्यक रूप से औसत वर्ग त्रुटि को कम नहीं करेगा। एक माप जिसका उपयोग दोनों प्रकार के अंतरों को दर्शाने के लिए किया जाता है, वह माध्य वर्ग त्रुटि है,^[1]

$\operatorname {MSE} ({\hat {\theta }})=\operatorname {E} {\big [}({\hat {\theta }}-\theta )^{2}{\big ]}.$

यह अभिनत के वर्ग के बराबर, साथ ही प्रसरण दिखाया जा सकता है:^[1]

${\begin{aligned}\operatorname {MSE} ({\hat {\theta }})=&(\operatorname {E} [{\hat {\theta }}]-\theta )^{2}+\operatorname {E} [\,({\hat {\theta }}-\operatorname {E} [\,{\hat {\theta }}\,])^{2}\,]\\=&(\operatorname {Bias} ({\hat {\theta }},\theta ))^{2}+\operatorname {Var} ({\hat {\theta }})\end{aligned}}$

जब पैरामीटर एक वेक्टर होता है, तो एक समान अपघटन प्रयुक्त होता है:^[12]

\operatorname {MSE} ({\hat {\theta }})=\operatorname {trace} (\operatorname {Cov} ({\hat {\theta }}))+\left\Vert \operatorname {Bias} ({\hat {\theta }},\theta )\right\Vert ^{2}

जहाँ $\operatorname {trace} (\operatorname {Cov} ({\hat {\theta }}))$ अनुमानक के सहप्रसरण आव्यूह का चिन्ह (विकर्ण योग) है और $\left\Vert \operatorname {Bias} ({\hat {\theta }},\theta )\right\Vert ^{2}$ वर्ग वेक्टर मानदंड है।

उदाहरण: समष्‍टि प्रसरण का अनुमान

उदाहरण के लिए,^[13] मान लीजिए प्ररूप का अनुमानक

T^{2}=c\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\,\right)^{2}=cnS^{2}

उपरोक्त के अनुसार समष्‍टि प्रसरण के लिए मांगा गया है, लेकिन इस बार एमएसई को कम करने के लिए:

{\begin{aligned}\operatorname {MSE} =&\operatorname {E} \left[(T^{2}-\sigma ^{2})^{2}\right]\\=&\left(\operatorname {E} \left[T^{2}-\sigma ^{2}\right]\right)^{2}+\operatorname {Var} (T^{2})\end{aligned}}

यदि चर X₁ ... X_n एक सामान्य विभाजन का अनुसरण करें, फिर nS²/σ² का n − 1 घात की अबद्धता के साथ काई वर्ग विभाजन है, जो देता है:

\operatorname {E} [nS^{2}]=(n-1)\sigma ^{2}{\text{ and }}\operatorname {Var} (nS^{2})=2(n-1)\sigma ^{4}.

इसलिए

\operatorname {MSE} =(c(n-1)-1)^{2}\sigma ^{4}+2c^{2}(n-1)\sigma ^{4}

आंशिक बीजगणित के साथ यह पुष्टि की जा सकती है कि यह c = 1/(n + 1) है जो इस संयुक्त त्रुटि फलन को कम करता है, अतिरिक्त c = 1/(n − 1) जो अभिनत के वर्ग को कम करता है।

सामान्य रूप से यह सिर्फ प्रतिबंधित वर्गों की समस्याओं में होता है कि एक अनुमानक होगा जो पैरामीटर मानों से स्वतंत्र रूप से एमएसई को कम करता है।

हालांकि यह बहुत सामान्य है कि अभिनत-प्रसरण समझौता समन्वय को माना जा सकता है, जैसे कि अभिनत में एक छोटी सी वृद्धि भिन्नता में बड़ी कमी के लिए कारोबार की जा सकती है, जिसके परिणामस्वरूप समग्र रूप से अधिक वांछनीय अनुमानक होता है।

बायेसियन दृश्य

अधिकांश बेयसियन अपने अनुमानों के निष्पक्षता (कम से कम औपचारिक प्रतिदर्शकरण-सिद्धांत के अर्थ में) के बारे में असंबद्ध हैं। उदाहरण के लिए, गेलमैन और कोउथर्स (1995) लिखते हैं: बायेसियन दृष्टिकोण से, निष्पक्षता का सिद्धांत बड़े प्रतिदर्शों की सीमा में उपयुक्त है, लेकिन अन्यथा यह संभावित रूप से भ्रामक है।^[14]

मौलिक रूप से, बायेसियन सांख्यिकी और उपरोक्त प्रतिदर्शकरण-सिद्धांत दृष्टिकोण के बीच का अंतर यह है कि प्रतिदर्शकरण-सिद्धांत दृष्टिकोण में पैरामीटर को निश्चित रूप में लिया जाता है, और फिर डेटा के पूर्वानुमानित प्रतिदर्श विभाजन के आधार पर एक आंकड़े के प्रायिकता विभाजन पर विचार किया जाता है। बायेसियन के लिए, हालांकि, यह वह डेटा है जो ज्ञात और निश्चित है, और यह अज्ञात पैरामीटर है जिसके लिए बेयस प्रमेय का उपयोग करके प्रायिकता विभाजन का निर्माण करने का प्रयास किया जाता है:

p(\theta \mid D,I)\propto p(\theta \mid I)p(D\mid \theta ,I)

यहां दूसरा शब्द, अज्ञात पैरामीटर मान θ दिए गए डेटा की संभावना फलन, सिर्फ प्राप्त डेटा और डेटा उत्पादन प्रक्रिया के मॉडलिंग पर निर्भर करता है। हालाँकि, बायेसियन गणना में पहला शब्द भी सम्मिलित है, θ के लिए पूर्व संभावना, जो डेटा के आने से पहले विश्लेषक को θ के बारे में जानने या संदेह करने वाली हर वस्तु की गणना करता है। यह जानकारी प्रतिदर्शकरण-सिद्धांत दृष्टिकोण में कोई भूमिका नहीं निभाती है; वास्तव में इसे सम्मिलित करने के किसी भी प्रयास को डेटा द्वारा विशुद्ध रूप से बताए गए अभिनत से दूर माना जाएगा। इस हद तक कि बायेसियन गणनाओं में पूर्व सूचना सम्मिलित है, इसलिए यह अनिवार्य रूप से अपरिहार्य है कि उनके परिणाम प्रतिदर्शकरण सिद्धांत के संदर्भ में अनभिनत नहीं होंगे।

लेकिन एक बायेसियन दृष्टिकोण के परिणाम प्रतिदर्शकरण सिद्धांत के दृष्टिकोण से भिन्न हो सकते हैं, तथापि बायेसियन पूर्व में एक गैर-सूचनात्मक स्वीकार करने का प्रयास करता हो।

उदाहरण के लिए, पुनः अज्ञात माध्य के साथ सामान्य विभाजन का अज्ञात समष्‍टि प्रसरण σ ² के अनुमान पर विचार करें, जहां अपेक्षित हानि फलन में c को अनुकूलित करना वांछित है

\operatorname {ExpectedLoss} =\operatorname {E} \left[\left(cnS^{2}-\sigma ^{2}\right)^{2}\right]=\operatorname {E} \left[\sigma ^{4}\left(cn{\tfrac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}-1\right)^{2}\right]

इस समस्या के लिए बिना जानकारी के पूर्व का एक मानक विकल्प जेफ़रीज़ प्रायर, $\scriptstyle {p(\sigma ^{2})\;\propto \;1/\sigma ^{2}}$ है, जो ln(σ²) से पहले एक पुनः मापन-अपरिवर्तनीय समतल भाग को स्वीकृत करने के बराबर है।

इसे पहले स्वीकृत करने का एक परिणाम यह है कि S²/σ² एक महत्वपूर्ण परिणाम है, अर्थात S²/σ² का प्रायिकता विभाजन केवल S²/σ² पर निर्भर करता है जो S² या σ² के मान से स्वतंत्र है:

p\left({\tfrac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}\mid S^{2}\right)=p\left({\tfrac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}\mid \sigma ^{2}\right)=g\left({\tfrac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}\right)

हालांकि, जबकि

\operatorname {E} _{p(S^{2}\mid \sigma ^{2})}\left[\sigma ^{4}\left(cn{\tfrac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}-1\right)^{2}\right]=\sigma ^{4}\operatorname {E} _{p(S^{2}\mid \sigma ^{2})}\left[\left(cn{\tfrac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}-1\right)^{2}\right]

इसके विपरीत

\operatorname {E} _{p(\sigma ^{2}\mid S^{2})}\left[\sigma ^{4}\left(cn{\tfrac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}-1\right)^{2}\right]\neq \sigma ^{4}\operatorname {E} _{p(\sigma ^{2}\mid S^{2})}\left[\left(cn{\tfrac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}-1\right)^{2}\right]

— जब उपेक्षा को σ² के प्रायिकता विभाजन पर ले लिया जाता है दिया हुआ S², जैसा कि S² के अतिरिक्त बायेसियन स्थिति में है दिए गए p², अब कोई σ⁴ नहीं ले सकता एक स्थिरांक के रूप में और इसका गुणनखंडन करें। इसका परिणाम यह है कि, प्रतिदर्शकरण-सिद्धांत गणना की तुलना में, बायेसियन गणना σ² के बड़े मानों पर अधिक भार डालती है।, सही से ध्यान में रखते हुए (चूंकि प्रतिदर्शकरण-सिद्धांत गणना नहीं कर सकता) कि इस औसत वर्ग-हानि फलन के अंतर्गत σ² के बड़े मानों को कम न्यून आकलन के संदर्भ मे σ² के छोटे मूल्यों को अधिक आकलन की तुलना में अधिक बहुमूल्य है।

लिखी गई बायेसियन गणना σ^{2 के पश्च प्रायिकता विभाजन के लिए अबद्धता की n − 1 घात के साथ एक मापन्ड व्युत्क्रम काई वर्ग विभाजन देता है। प्रत्याशित हानि को न्यूनतम किया जाता है जब cnS^{2 = <σ^{2>; यह तब होता है जब c = 1/(n − 3) है।}}}

यहां तक कि एक अनौपचारिक पूर्व के साथ, इसलिए, बायेसियन गणना समान प्रतिदर्श-सिद्धांत गणना के समान अपेक्षित-त्रुटि न्यूनतम परिणाम नहीं दे सकती है।

यह भी देखें

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Kozdron, Michael (March 2016). "Evaluating the Goodness of an Estimator: Bias, Mean-Square Error, Relative Efficiency (Chapter 3)" (PDF). stat.math.uregina.ca. Retrieved 2020-09-11.
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↑ J. P. Romano and A. F. Siegel (1986) Counterexamples in Probability and Statistics, Wadsworth & Brooks / Cole, Monterey, California, USA, p. 168
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संदर्भ

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Klebanov, Lev [B.]; Rachev, Svetlozar [T.]; Fabozzi, Frank [J.] (2009). Robust and Non-Robust Models in Statistics. New York: Nova Scientific Publishers. ISBN 978-1-60741-768-2.

बाहरी संबंध

"निष्पक्ष आकलनकर्ता", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]^{[clarification needed]}

[:0-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Kozdron, Michael (March 2016). "Evaluating the Goodness of an Estimator: Bias, Mean-Square Error, Relative Efficiency (Chapter 3)" (PDF). stat.math.uregina.ca. Retrieved 2020-09-11.

[:1-2] 2.0 ^2.1 Taylor, Courtney (January 13, 2019). "निष्पक्ष और पक्षपाती अनुमानक". ThoughtCo (in English). Retrieved 2020-09-12.

[JohnsonWichern2007-3] Richard Arnold Johnson; Dean W. Wichern (2007). अनुप्रयुक्त बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण. Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-187715-3. Retrieved 10 August 2012.

[4] J. P. Romano and A. F. Siegel (1986) Counterexamples in Probability and Statistics, Wadsworth & Brooks / Cole, Monterey, California, USA, p. 168

[5] Hardy, M. (1 March 2003). "एक प्रबुद्ध प्रति उदाहरण". American Mathematical Monthly. 110 (3): 234–238. arXiv:math/0206006. doi:10.2307/3647938. ISSN 0002-9890. JSTOR 3647938.

[6] Brown (1947), page 583

[7] Pfanzagl, Johann (1979). "उपद्रव मापदंडों की उपस्थिति में इष्टतम औसत निष्पक्ष अनुमानकों पर". The Annals of Statistics. 7 (1): 187–193. doi:10.1214/aos/1176344563.

[BrownEtAl-8] 8.0 ^8.1 Brown, L. D.; Cohen, Arthur; Strawderman, W. E. (1976). "अनुप्रयोगों के साथ सख्त मोनोटोन संभावना अनुपात के लिए एक पूर्ण वर्ग प्रमेय". Ann. Statist. 4 (4): 712–722. doi:10.1214/aos/1176343543.

[Dodge-9] 9.0 ^9.1 ^9.2 Dodge, Yadolah, ed. (1987). Statistical Data Analysis Based on the L₁-Norm and Related Methods. Papers from the First International Conference held at Neuchâtel, August 31–September 4, 1987. Amsterdam: North-Holland. ISBN 0-444-70273-3.

[10] Jaynes, E. T. (2007). Probability Theory : The Logic of Science. Cambridge: Cambridge Univ. Press. p. 172. ISBN 978-0-521-59271-0.

[11] Klebanov, Lev B.; Rachev, Svetlozar T.; Fabozzi, Frank J. (2009). "Loss Functions and the Theory of Unbiased Estimation". सांख्यिकी में मजबूत और गैर-मजबूत मॉडल. New York: Nova Scientific. ISBN 978-1-60741-768-2.

[taboga-12] Taboga, Marco (2010). "संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी पर व्याख्यान".

[13] DeGroot, Morris H. (1986). प्रायिकता अौर सांख्यिकी (2nd ed.). Addison-Wesley. pp. 414–5. ISBN 0-201-11366-X. But compare it with, for example, the discussion in Casella; Berger (2001). Statistical Inference (2nd ed.). Duxbury. p. 332. ISBN 0-534-24312-6.

[14] Gelman, A.; et al. (1995). बायेसियन डेटा विश्लेषण. Chapman and Hall. p. 108. ISBN 0-412-03991-5.

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परिभाषा

उदाहरण

प्रतिदर्श प्रसरण

प्वासों प्रायिकता का अनुमान लगाना

असतत समान विभाजन का अधिकतम

माध्य-अनभिनत अनुमानक

अन्य हानि फलनों के संबंध में अभिनत

रूपांतरों का प्रभाव

अभिनत, प्रसरण और माध्य औसत वर्ग त्रुटि

उदाहरण: समष्‍टि प्रसरण का अनुमान

बायेसियन दृश्य

यह भी देखें

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संदर्भ

बाहरी संबंध

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Difference between an estimator's expected value from a parameter's true value}}
-{{broader|Bias (statistics)}}
+सांख्यिकी में, '''अनुमानक (या अभिनत फलन) का अभिनत''' इस अनुमानक के अपेक्षित मान और अनुमानित पैरामीटर के वास्तविक मान के बीच का अंतर है। शून्य अभिनत वाला अनुमानक या निर्णय नियम अनभिनत कहलाता है। सांख्यिकी में, "अभिनत" एक अनुमानक की एक वस्तुगत गुण है। अभिनत संगति से एक अलग अवधारणा है: सुसंगत अनुमानक संभाव्यता में पैरामीटर के वास्तविक मान में अभिसरण करते हैं, लेकिन अभिनतपूर्ण या अनभिनत हो सकते हैं; अधिक जानकारी के लिए अभिनत बनाम निरंतरता देखें।
-आंकड़ों में, अनुमानक (या पूर्वाग्रह समारोह) का पूर्वाग्रह इस अनुमानक के [[अपेक्षित मूल्य]] और अनुमानित पैरामीटर के [[वास्तविक मूल्य]] के बीच का अंतर है। शून्य पूर्वाग्रह वाला अनुमानक या निर्णय नियम ''निष्पक्ष'' कहलाता है। सांख्यिकी में पूर्वाग्रह एक है {{em|objective}} एक अनुमानक की संपत्ति। पूर्वाग्रह संगत अनुमानक से एक अलग अवधारणा है: सुसंगत अनुमानक संभाव्यता में पैरामीटर के वास्तविक मूल्य में अभिसरण करते हैं, लेकिन पक्षपातपूर्ण या निष्पक्ष हो सकते हैं; अधिक जानकारी के लिए संगत अनुमानक#पूर्वाग्रह बनाम संगति देखें।
+अन्य सभी समान होने के कारण, अनभिनत अनुमानक अभिनत अनुमानक के लिए अधिकतम है, हालांकि व्यवहार में, अभिनत अनुमानक (सामान्य रूप से छोटे अभिनत के साथ) प्रायः उपयोग किए जाते हैं। जब अभिनत अनुमानक का उपयोग किया जाता है, तो अभिनत की सीमा की गणना की जाती है। अभिनत अनुमानक का उपयोग विभिन्न कारणों से किया जा सकता है: क्योंकि समष्‍टि के बारे में और धारणाओं के बिना अनभिनत अनुमानक सम्मिलित नहीं है; क्योंकि एक अनुमानक की गणना करना कठिन है (मानक विचलन के अनभिनत अनुमान के रूप में); क्योंकि [[केंद्रीय प्रवृत्ति]] के विभिन्न समाधानों के संबंध में अभिनत अनुमानक अनभिनत हो सकता है; क्योंकि एक पक्षपाती अनुमानक निष्पक्ष अनुमानकों (विशेष रूप से [[संकोचन अनुमानक|अवमूल्यन अनुमानक]] में) की तुलना में कुछ हानि फलन (विशेष रूप से औसत वर्ग त्रुटि) का कम मान देता है; या क्योंकि कुछ स्थितियों में अनभिनत होना बहुत प्रबल स्थिति है, और सिर्फ अनभिनत अनुमानक उपयोगी नहीं होते हैं।
-अन्य सभी समान होने के नाते, एक निष्पक्ष अनुमानक एक पक्षपाती अनुमानक के लिए बेहतर है, हालांकि व्यवहार में, पक्षपाती अनुमानक (आमतौर पर छोटे पूर्वाग्रह के साथ) अक्सर उपयोग किए जाते हैं। जब एक पक्षपाती अनुमानक का उपयोग किया जाता है, तो पूर्वाग्रह की सीमा की गणना की जाती है। एक पक्षपाती अनुमानक का उपयोग विभिन्न कारणों से किया जा सकता है: क्योंकि जनसंख्या के बारे में और धारणाओं के बिना एक निष्पक्ष अनुमानक मौजूद नहीं है; क्योंकि एक अनुमानक की गणना करना मुश्किल है (मानक विचलन के निष्पक्ष अनुमान के रूप में); क्योंकि [[केंद्रीय प्रवृत्ति]] के विभिन्न उपायों के संबंध में एक पक्षपाती अनुमानक निष्पक्ष हो सकता है; क्योंकि एक पक्षपाती अनुमानक निष्पक्ष अनुमानकों (विशेष रूप से [[संकोचन अनुमानक]]ों में) की तुलना में कुछ हानि फ़ंक्शन (विशेष रूप से चुकता त्रुटि) का कम मूल्य देता है; या क्योंकि कुछ मामलों में निष्पक्ष होना बहुत मजबूत स्थिति है, और केवल निष्पक्ष अनुमानक उपयोगी नहीं होते हैं।
+अभिनत को औसत (अपेक्षित मान) के अतिरिक्त माध्यिका के संबंध में भी मापा जा सकता है, इस स्थिति में सामान्य औसत-निष्पक्षता गुण से औसत-निष्पक्षता को अलग करता है। गैर-रैखिक [[डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी)]] के अंतर्गत माध्य-निष्पक्षता संरक्षित नहीं है, हालांकि औसत-निष्पक्षता है (देखें § रूपांतरणों का प्रभाव); उदाहरण के लिए, प्रतिदर्श प्रसरण समष्‍टि प्रसरण के लिए अभिनत अनुमानक है। ये सभी नीचे सचित्र हैं।
-पूर्वाग्रह को औसत (अपेक्षित मूल्य) के बजाय माध्यिका के संबंध में भी मापा जा सकता है, इस मामले में सामान्य औसत-निष्पक्षता संपत्ति से औसत-निष्पक्षता को अलग करता है।
-गैर-रैखिक [[डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी)]] के तहत माध्य-निष्पक्षता संरक्षित नहीं है, हालांकि औसत-निष्पक्षता है (देखें {{Section link||Effect of transformations}}); उदाहरण के लिए, नमूना प्रसरण जनसंख्या विचरण के लिए एक पक्षपाती अनुमानक है। ये सभी नीचे सचित्र हैं।
 == परिभाषा ==
-मान लीजिए कि हमारे पास एक [[सांख्यिकीय मॉडल]] है, जिसे वास्तविक संख्या θ द्वारा परिचालित किया गया है, जो देखे गए डेटा के लिए संभाव्यता वितरण को जन्म देता है, <math>P_\theta(x) = P(x\mid\theta)</math>, और एक आँकड़ा <math>\hat\theta</math> जो किसी भी देखे गए डेटा के आधार पर θ के अनुमानक के रूप में कार्य करता है <math>x</math>. अर्थात्, हम मानते हैं कि हमारा डेटा किसी अज्ञात वितरण का अनुसरण करता है <math>P(x\mid\theta)</math> (जहां θ एक निश्चित, अज्ञात स्थिरांक है जो इस वितरण का हिस्सा है), और फिर हम कुछ अनुमानक का निर्माण करते हैं <math>\hat\theta</math> मानचित्रों ने डेटा को उन मूल्यों पर देखा जो हम आशा करते हैं कि वे θ के करीब हैं। का 'पक्षपात' <math>\hat\theta</math> के सापेक्ष <math>\theta</math> परिभाषित किया जाता है<ref name=":0">{{Cite web|last=Kozdron|first=Michael|date=March 2016|title=Evaluating the Goodness of an Estimator: Bias, Mean-Square Error, Relative Efficiency (Chapter 3)|url=http://stat.math.uregina.ca/~kozdron/Teaching/Regina/252Winter16/Handouts/ch3.pdf|access-date=2020-09-11|website=stat.math.uregina.ca}}</ref>
+मान लीजिए कि हमारे पास एक [[सांख्यिकीय मॉडल]] है, जिसे वास्तविक संख्या θ द्वारा परिचालित किया गया है, जो देखे गए डेटा, <math>P_\theta(x) = P(x\mid\theta)</math> के लिए प्रायिकता विभाजन को उत्पन्न करता है और एक आँकड़ा <math>\hat\theta</math> जो किसी भी देखे गए डेटा <math>x</math> के आधार पर θ के अनुमानक के रूप में कार्य करता है अर्थात्, हम मानते हैं कि हमारा डेटा किसी अज्ञात विभाजन <math>P(x\mid\theta)</math> का अनुसरण करता है (जहां θ एक निश्चित, अज्ञात स्थिरांक है जो इस विभाजन का हिस्सा है), और फिर हम कुछ अनुमानक <math>\hat\theta</math> का निर्माण करते हैं मानचित्रों ने डेटा को उन मानों पर देखा जो हम आशा करते हैं कि वे θ के समीप हैं। <math>\hat\theta</math> का 'अभिनत' के सापेक्ष <math>\theta</math> परिभाषित किया जाता है<ref name=":0">{{Cite web|last=Kozdron|first=Michael|date=March 2016|title=Evaluating the Goodness of an Estimator: Bias, Mean-Square Error, Relative Efficiency (Chapter 3)|url=http://stat.math.uregina.ca/~kozdron/Teaching/Regina/252Winter16/Handouts/ch3.pdf|access-date=2020-09-11|website=stat.math.uregina.ca}}</ref>
 :<math> \operatorname{Bias}(\hat\theta, \theta)  =\operatorname{Bias}_\theta[\,\hat\theta\,] = \operatorname{E}_{x\mid\theta}[\,\hat{\theta}\,]-\theta = \operatorname{E}_{x\mid\theta}[\, \hat\theta - \theta \,],</math>
-कहाँ <math>\operatorname{E}_{x\mid\theta}</math> वितरण पर अपेक्षित मूल्य दर्शाता है <math>P(x\mid\theta)</math> (यानी, सभी संभावित अवलोकनों का औसत <math>x</math>). दूसरा समीकरण अनुसरण करता है क्योंकि θ सशर्त वितरण के संबंध में औसत दर्जे का है <math>P(x\mid\theta)</math>.
+जहाँ <math>\operatorname{E}_{x\mid\theta}</math> विभाजन पर अपेक्षित मान <math>P(x\mid\theta)</math> दर्शाता है (अर्थात, सभी संभावित अवलोकनों का औसत <math>x</math>) दूसरा समीकरण अनुसरण करता है क्योंकि θ सशर्त विभाजन <math>P(x\mid\theta)</math> के संबंध में मापने योग्य है
-एक अनुमानक को निष्पक्ष कहा जाता है यदि इसका पूर्वाग्रह पैरामीटर ''θ'' के सभी मानों के लिए शून्य के बराबर है, या समतुल्य है, यदि अनुमानक का अपेक्षित मान पैरामीटर से मेल खाता है।<ref name=":1">{{Cite web|last=Taylor|first=Courtney|date=January 13, 2019|title=निष्पक्ष और पक्षपाती अनुमानक|url=https://www.thoughtco.com/what-is-an-unbiased-estimator-3126502|access-date=2020-09-12|website=ThoughtCo|language=en}}</ref>
+अनुमानक को अनभिनत कहा जाता है यदि इसका अभिनत पैरामीटर ''θ'' के सभी मानों के लिए शून्य के बराबर है, या समतुल्य है, यदि अनुमानक का अपेक्षित मान पैरामीटर के समान होता है।<ref name=":1">{{Cite web|last=Taylor|first=Courtney|date=January 13, 2019|title=निष्पक्ष और पक्षपाती अनुमानक|url=https://www.thoughtco.com/what-is-an-unbiased-estimator-3126502|access-date=2020-09-12|website=ThoughtCo|language=en}}</ref>
-अनुमानक के गुणों से संबंधित सिमुलेशन प्रयोग में, अनुमानित अंतर का उपयोग करके अनुमानक के पूर्वाग्रह का आकलन किया जा सकता है।
+अनुमानक के गुणों से संबंधित अनुकरण प्रयोग में, अनुमानित अंतर का उपयोग करके अनुमानक के अभिनत का आकलन किया जा सकता है।
 == उदाहरण ==
-=== नमूना विचरण ===
+=== प्रतिदर्श प्रसरण ===
-{{main|Sample variance}}
+{{main|प्रतिदर्श विचरण}}
-एक यादृच्छिक चर का नमूना प्रसरण अनुमानक पूर्वाग्रह के दो पहलुओं को प्रदर्शित करता है: सबसे पहले, सहज अनुमानक पक्षपाती है, जिसे स्केल कारक द्वारा ठीक किया जा सकता है; दूसरा, निष्पक्ष अनुमानक माध्य चुकता त्रुटि (MSE) के मामले में इष्टतम नहीं है, जिसे एक अलग पैमाने के कारक का उपयोग करके कम किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप निष्पक्ष अनुमानक की तुलना में कम MSE वाला पक्षपाती अनुमानक होता है। ठोस रूप से, भोले अनुमानक चुकता विचलन का योग करते हैं और n से विभाजित होते हैं, जो पक्षपाती है। इसके बजाय n − 1 से विभाजित करने पर एक निष्पक्ष अनुमानक प्राप्त होता है। इसके विपरीत, MSE को एक अलग संख्या (वितरण के आधार पर) से विभाजित करके कम किया जा सकता है, लेकिन इसका परिणाम एक पक्षपाती अनुमानक होता है। यह संख्या हमेशा n − 1 से बड़ी होती है, इसलिए इसे संकोचन अनुमानक के रूप में जाना जाता है, क्योंकि यह निष्पक्ष अनुमानक को शून्य की ओर सिकोड़ता है; सामान्य वितरण के लिए इष्टतम मान n + 1 है।
+यादृच्छिक चर का प्रतिदर्श प्रसरण अनुमानक अभिनत के दो स्वरूप को प्रदर्शित करता है: सबसे पहले, सहज अनुमानक अभिनत है, जिसे मापन कारक द्वारा सही किया जा सकता है; दूसरा, अनभिनत अनुमानक माध्य औसत वर्ग त्रुटि (एमएसई) के स्थिति में इष्टतम नहीं है, जिसे एक अलग पैमाने के कारक का उपयोग करके कम किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप अनभिनत अनुमानक की तुलना में कम एमएसई वाला अभिनत अनुमानक होता है। मूर्त रूप से, सामान्य अनुमानक औसत वर्ग विचलन का योग करते हैं और n से विभाजित होते हैं, जो अभिनत है। इसके अतिरिक्त n − 1 से विभाजित करने पर अनभिनत अनुमानक प्राप्त होता है। इसके विपरीत, माध्य औसत वर्ग त्रुटि को एक अलग संख्या (विभाजन के आधार पर) से विभाजित करके कम किया जा सकता है, लेकिन इसका परिणाम अभिनत अनुमानक होता है। यह संख्या सदैव n − 1 से बड़ी होती है, इसलिए इसे अवमूल्यन अनुमानक के रूप में जाना जाता है, क्योंकि यह अनभिनत अनुमानक को शून्य की ओर अधिसंकुचन है; सामान्य विभाजन के लिए इष्टतम मान n + 1 है।
-मान लीजिए एक्स<sub>1</sub>, ..., एक्स<sub>''n''</sub> अपेक्षित मान μ और विचरण σ के साथ [[स्वतंत्र और समान रूप से वितरित]] (i.i.d.) यादृच्छिक चर हैं<sup>2</उप>। यदि [[नमूना माध्य]] और असंशोधित नमूना प्रसरण को इस रूप में परिभाषित किया गया है
+मान लीजिए कि ''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>'' स्वतंत्र हैं और समान रूप से वितरित (i.i.d.) यादृच्छिक चर हैं जिनकी अपेक्षा μ और प्रसरण σ2 है। यदि प्रतिदर्श माध्य और असंशोधित प्रतिदर्श प्रसरण को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 :<math>\overline{X}\,=\frac 1 n \sum_{i=1}^n X_i \qquad S^2=\frac 1 n \sum_{i=1}^n\big(X_i-\overline{X}\,\big)^2 \qquad </math>
-तब एस<sup>2</sup> σ का पक्षपाती अनुमानक है<sup>2</sup>, क्योंकि
+तब S<sup>2</sup> ''σ''<sup>2</sup> का अभिनत अनुमानक है, क्योंकि
 :<math>
      \begin{align}
@@ Line 47: / Line 46: @@
      \end{align}
 </math>
-जारी रखने के लिए, हम ध्यान दें कि घटाकर <math>\mu</math> के दोनों ओर से <math>\overline{X}= \frac 1 n \sum_{i=1}^nX_i</math>, हम पाते हैं
+जारी रखने के लिए, हम ध्यान दें कि <math>\mu</math> घटाकर के दोनों ओर से <math>\overline{X}= \frac 1 n \sum_{i=1}^nX_i</math>, हम पाते हैं
 :<math>
      \begin{align}
@@ Line 53: / Line 52: @@
      \end{align}
 </math>
-अर्थ, (क्रॉस-गुणन द्वारा) <math>n \cdot (\overline{X}-\mu)=\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)</math>. फिर, पिछला बन जाता है:
+अर्थ, (तिर्यक-गुणन द्वारा) <math>n \cdot (\overline{X}-\mu)=\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)</math>. फिर, पहला बन जाता है:
 :<math>
      \begin{align}
@@ Line 72: / Line 71: @@
      \end{align}
    </math>
-इसे निम्नलिखित सूत्र को ध्यान में रखते हुए देखा जा सकता है, जो उपरोक्त असंशोधित नमूना भिन्नता की अपेक्षा के लिए असमानता में शब्द के लिए भिन्नता # असंबद्ध चर के योग (बिनेमे फॉर्मूला) | बायनेमे फॉर्मूला से निम्नानुसार है: <math>\operatorname{E}\big[ (\overline{X}-\mu)^2 \big] = \frac 1 n \sigma^2</math>.
+यह निम्न सूत्र को ध्यान में रखते हुए देखा जा सकता है, जो ऊपर दिए गए असंशोधित प्रतिदर्श प्रसरण की अपेक्षा के लिए असमानता में पद के लिए, बायनेमे सूत्र से अनुसरण करता है: <math>\operatorname{E}\big[ (\overline{X}-\mu)^2 \big] = \frac 1 n \sigma^2</math>.
-दूसरे शब्दों में, असंशोधित नमूना प्रसरण का अपेक्षित मान जनसंख्या प्रसरण σ के बराबर नहीं होता है<sup>2</sup>, जब तक कि सामान्यीकरण कारक से गुणा न किया जाए। दूसरी ओर, नमूना माध्य एक निष्पक्ष है<ref name="JohnsonWichern2007">{{cite book|author1=Richard Arnold Johnson|author2=Dean W. Wichern|title=अनुप्रयुक्त बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण|url=https://books.google.com/books?id=gFWcQgAACAAJ|access-date=10 August 2012|year=2007|publisher=Pearson Prentice Hall|isbn=978-0-13-187715-3}}</ref> जनसंख्या का अनुमानक मतलब μ।<ref name=":1" />
+दूसरे शब्दों में, असंशोधित प्रतिदर्श प्रसरण का अपेक्षित मान समष्टि प्रसरण σ<sup>2</sup> के बराबर नहीं होता है, जब तक कि सामान्यीकरण कारक से गुणा न किया जाए। दूसरी ओर, प्रतिदर्श माध्य अनभिनत है<ref name="JohnsonWichern2007">{{cite book|author1=Richard Arnold Johnson|author2=Dean W. Wichern|title=अनुप्रयुक्त बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण|url=https://books.google.com/books?id=gFWcQgAACAAJ|access-date=10 August 2012|year=2007|publisher=Pearson Prentice Hall|isbn=978-0-13-187715-3}}</ref> समष्‍टि माध्य μ का अनुमानक है।<ref name=":1" />
-ध्यान दें कि नमूना भिन्नता की सामान्य परिभाषा है <math>S^2=\frac 1 {n-1} \sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X}\,)^2</math>, और यह जनसंख्या विचरण का एक निष्पक्ष अनुमानक है।
+ध्यान दें कि प्रतिदर्श भिन्नता की सामान्य परिभाषा <math>S^2=\frac 1 {n-1} \sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X}\,)^2</math> है, और यह समष्‍टि प्रसरण का अनभिनत अनुमानक है।
-बीजगणितीय रूप से बोलते हुए, <math> \operatorname{E}[S^2] </math> निष्पक्ष है क्योंकि:
+बीजगणितीय रूप से, <math> \operatorname{E}[S^2] </math> अनभिनत है क्योंकि:
 :<math>
      \begin{align}
@@ Line 87: / Line 86: @@
      \end{align}
 </math>
-जहां दूसरी पंक्ति में संक्रमण पक्षपाती अनुमानक के लिए उपरोक्त व्युत्पन्न परिणाम का उपयोग करता है। इस प्रकार <math>\operatorname{E}[S^2] = \sigma^2</math>, और इसलिए <math>S^2=\frac 1 {n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X}\,)^2</math> जनसंख्या विचरण का एक निष्पक्ष अनुमानक है, σ<sup>2</उप>। प्रसरण के पक्षपाती (असंशोधित) और निष्पक्ष अनुमानों के बीच के अनुपात को बेसेल के सुधार के रूप में जाना जाता है।
+जहां दूसरी पंक्ति में संक्रमण अभिनत अनुमानक के लिए उपरोक्त व्युत्पन्न परिणाम का उपयोग करता है। इस प्रकार <math>\operatorname{E}[S^2] = \sigma^2</math>, और इसलिए <math>S^2=\frac 1 {n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X}\,)^2</math> समष्‍टि प्रसरण का σ<sup>2</sup> अनभिनत अनुमानक है। प्रसरण के अभिनत (असंशोधित) और अनभिनत अनुमानों के बीच के अनुपात को बेसेल के सुधार के रूप में जाना जाता है।
-कारण यह है कि एक असंशोधित नमूना प्रसरण, S<sup>2</sup>, इस तथ्य से पक्षपाती है कि नमूना माध्य μ के लिए एक सामान्य न्यूनतम वर्ग (OLS) अनुमानक है: <math>\overline{X}</math> वह संख्या है जो योग बनाती है <math>\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2</math> जितना संभव हो उतना छोटा। अर्थात, जब इस योग में किसी अन्य संख्या को जोड़ा जाता है, तो योग केवल बढ़ सकता है। विशेष रूप से, पसंद <math>\mu \ne \overline{X}</math> देता है,
+कारण यह है कि एक असंशोधित प्रतिदर्श प्रसरण, S<sup>2</sup>, इस तथ्य से अभिनत है कि प्रतिदर्श माध्य μ के लिए एक सामान्य न्यूनतम वर्ग (ओएलएस) अनुमानक है: <math>\overline{X}</math> वह संख्या है जो <math>\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2</math> जितना संभव हो उतना छोटा योग बनाती है। अर्थात, जब इस योग में किसी अन्य संख्या को जोड़ा जाता है, तो योग सिर्फ बढ़ सकता है। विशेष रूप से, <math>\mu \ne \overline{X}</math> का विकल्प देता है,
 :<math>
@@ Line 102: / Line 101: @@
      \end{align}
    </math>
-उपरोक्त चर्चा को ज्यामितीय शब्दों में समझा जा सकता है: वेक्टर <math>\vec{C}=(X_1 -\mu, \ldots, X_n-\mu)</math> की दिशा में प्रक्षेपित करके माध्य भाग और विचरण भाग में विघटित किया जा सकता है <math> \vec{u}=(1,\ldots, 1)</math> और उस दिशा के ओर्थोगोनल पूरक हाइपरप्लेन। एक को मिलता है <math>\vec{A}=(\overline{X}-\mu, \ldots, \overline{X}-\mu)</math> भाग के लिए <math> \vec{u}</math> और <math>\vec{B}=(X_1-\overline{X}, \ldots, X_n-\overline{X})</math> पूरक भाग के लिए। चूंकि यह एक ओर्थोगोनल अपघटन है, पाइथागोरस प्रमेय कहता है <math> |\vec{C}|^2= |\vec{A}|^2+ |\vec{B}|^2</math>, और अपेक्षाओं को लेकर हम प्राप्त करते हैं <math>  n \sigma^2 = n \operatorname{E}\left[ (\overline{X}-\mu)^2 \right] +n \operatorname{E}[S^2] </math>, ऊपर के रूप में (लेकिन times <math>n</math>).
+उपरोक्त चर्चा को ज्यामितीय शब्दों में समझा जा सकता है: वेक्टर <math>\vec{C}=(X_1 -\mu, \ldots, X_n-\mu)</math> की दिशा में प्रक्षेपित करके माध्य भाग और प्रसरण भाग <math> \vec{u}=(1,\ldots, 1)</math> और उस दिशा के लंबकोणीयपूरक अधिसमतल में विघटित किया जा सकता है। किसी को <math>\vec{A}=(\overline{X}-\mu, \ldots, \overline{X}-\mu)</math> भाग के लिए <math> \vec{u}</math> और <math>\vec{B}=(X_1-\overline{X}, \ldots, X_n-\overline{X})</math> पूरक भाग के लिए प्राप्त होता है। चूंकि यह एक लंबकोणीय अपघटन है, पाइथागोरस प्रमेय कहता है <math> |\vec{C}|^2= |\vec{A}|^2+ |\vec{B}|^2</math>, और अपेक्षाओं को लेकर हम <math>  n \sigma^2 = n \operatorname{E}\left[ (\overline{X}-\mu)^2 \right] +n \operatorname{E}[S^2] </math> प्राप्त करते हैं, जैसा ऊपर (लेकिन <math>n</math> गुना) दिया गया है। यदि <math>\vec{C}</math> का विभाजन घूर्णी रूप से सममित है, जैसे कि जब <math>X_i</math> गॉसियन से प्रतिदर्श लिए जाते हैं, फिर औसतन <math> \vec{u}</math>, साथ में आयाम <math> |\vec{C}|^2</math> करने के लिए योगदान देते है समान रूप से <math>n-1</math> दिशाओं के लिए लंबवत <math> \vec{u}</math>, ताकि <math> \operatorname{E}\left[ (\overline{X}-\mu)^2 \right] =\frac{\sigma^2} n </math> और <math>\operatorname{E}[S^2] =\frac{(n-1)\sigma^2} n </math> यह वास्तव में सामान्य रूप से सत्य है, जैसा कि ऊपर बताया गया है।
-यदि का वितरण <math>\vec{C}</math> घूर्णी रूप से सममित है, जैसे कि जब  <math>X_i</math> गॉसियन से नमूने लिए जाते हैं, फिर औसतन, साथ में आयाम <math> \vec{u}</math> करने के लिए योगदान देते है <math> |\vec{C}|^2</math> समान रूप से <math>n-1</math> दिशाओं के लिए लंबवत <math> \vec{u}</math>, ताकि <math> \operatorname{E}\left[ (\overline{X}-\mu)^2 \right] =\frac{\sigma^2} n </math> और <math>\operatorname{E}[S^2] =\frac{(n-1)\sigma^2} n </math>. यह वास्तव में सामान्य तौर पर सच है, जैसा कि ऊपर बताया गया है।
 === प्वासों प्रायिकता का अनुमान लगाना ===
-किसी भी निष्पक्ष अनुमानक की तुलना में एक पक्षपाती अनुमानक के बेहतर होने का एक और अधिक चरम मामला पोइसन वितरण से उत्पन्न होता है।<ref>J. P. Romano and A. F. Siegel (1986) ''[https://books.google.com/books?id=irKSXZ7kKFgC&q=Poisson Counterexamples in Probability and Statistics]'', Wadsworth & Brooks / Cole, Monterey, California, USA, p. 168</ref><ref>{{Cite journal | first = M.| title = एक प्रबुद्ध प्रति उदाहरण| jstor = 3647938| journal = American Mathematical Monthly| volume = 110| date = 1 March 2003 | issue = 3| pages = 234–238| issn = 0002-9890 | doi = 10.2307/3647938| last = Hardy| arxiv = math/0206006}}</ref> मान लीजिए कि एक्स के पास अपेक्षा λ के साथ पॉइसन बंटन है। मान लीजिए कि यह अनुमान लगाना चाहता है
+किसी भी अनभिनत अनुमानक की तुलना में अभिनत अनुमानक के अधिकतम होने का एक और अधिक महत्वपूर्ण स्थिति पोइसन विभाजन से उत्पन्न होती है।<ref>J. P. Romano and A. F. Siegel (1986) ''[https://books.google.com/books?id=irKSXZ7kKFgC&q=Poisson Counterexamples in Probability and Statistics]'', Wadsworth & Brooks / Cole, Monterey, California, USA, p. 168</ref><ref>{{Cite journal | first = M.| title = एक प्रबुद्ध प्रति उदाहरण| jstor = 3647938| journal = American Mathematical Monthly| volume = 110| date = 1 March 2003 | issue = 3| pages = 234–238| issn = 0002-9890 | doi = 10.2307/3647938| last = Hardy| arxiv = math/0206006}}</ref> मान लीजिए कि x के पास अपेक्षा λ के साथ पॉइसन विभाजन है। मान लीजिए कि यह अनुमान लगाना चाहता है
 :<math>\operatorname{P}(X=0)^2=e^{-2\lambda}\quad</math>
-आकार 1 के एक नमूने के साथ। (उदाहरण के लिए, जब एक टेलीफोन स्विचबोर्ड पर आने वाली कॉल को पॉइसन प्रक्रिया के रूप में मॉडल किया जाता है, और λ प्रति मिनट कॉल की औसत संख्या है, तो ई<sup>−2λ</sup> संभावना है कि अगले दो मिनट में कोई कॉल नहीं आएगी।)
+आकार 1 के एक प्रतिदर्श के साथ। (उदाहरण के लिए, जब एक टेलीफोन स्विचबोर्ड पर आने वाली कॉल को पॉइसन प्रक्रिया के रूप में मॉडल किया जाता है, और λ प्रति मिनट कॉल की औसत संख्या e<sup>−2λ</sup> है, तो संभावना है कि अगले दो मिनट में कोई कॉल नहीं आएगी।)
-चूंकि एक निष्पक्ष अनुमानक की अपेक्षा δ(X) अनुमान के बराबर है, अर्थात
+चूंकि अनभिनत अनुमानक की अपेक्षा δ(X) अनुमान के बराबर है, अर्थात
 :<math>\operatorname E(\delta(X))=\sum_{x=0}^\infty \delta(x) \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} = e^{-2\lambda},</math>
-निष्पक्ष अनुमानक बनाने वाले डेटा का एकमात्र कार्य है
+अनभिनत अनुमानक बनाने वाले डेटा का एकमात्र फलन है
 :<math>\delta(x)=(-1)^x. \, </math>
-इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि ई को विघटित करते समय<sup>−λ</sup> अपेक्षा के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति से, शेष राशि e का [[टेलर श्रृंखला]] विस्तार है<sup>−λ</sup> साथ ही, उपज देने वाला ई<sup>−λ</sup>ई<sup>−λ</सुप> = ई<sup>−2λ</sup> (एक्सपोनेंशियल फंक्शन के लक्षण देखें)।
+इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि अपेक्षा के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति से e<sup>−''λ''</sup> को विघटित करते समय, शेष राशि e<sup>−''λ''</sup> का टेलर श्रृंखला विस्तार भी है, जिससे e<sup>−''λ''</sup>e<sup>−''λ''</sup> = e<sup>−2''λ''</sup> प्राप्त होता है (घातीय फलन के विवरण देखें)।
-यदि एक्स का प्रेक्षित मान 100 है, तो अनुमान 1 है, हालांकि अनुमानित मात्रा का सही मूल्य 0 के करीब होने की संभावना है, जो विपरीत चरम है। और, यदि X को 101 माना जाता है, तो अनुमान और भी बेतुका है: यह -1 है, हालांकि अनुमानित मात्रा धनात्मक होनी चाहिए।
+यदि x का प्रेक्षित मान 100 है, तो अनुमान 1 है, हालांकि अनुमानित मात्रा का सही मान 0 के समीप होने की संभावना है, जो विपरीत अधिकतम है। और, यदि X को 101 माना जाता है, तो अनुमान और भी असंगत है: यह -1 है, हालांकि अनुमानित मात्रा धनात्मक होनी चाहिए।
-(पक्षपाती) अधिकतम संभावना
+(अभिनत) अधिकतम संभावना
 :<math>e^{-2{X}}\quad</math>
-इस निष्पक्ष अनुमानक से कहीं बेहतर है। न केवल इसका मान हमेशा धनात्मक होता है बल्कि यह इस अर्थ में भी अधिक सटीक होता है कि इसका माध्य चुकता त्रुटि है
+इस अनभिनत अनुमानक से कहीं अधिकतम है। न सिर्फ इसका मान सदैव धनात्मक होता है बल्कि यह इस अर्थ में भी अधिक परिशुद्ध होता है कि इसका माध्य औसत वर्ग त्रुटि है
 :<math>e^{-4\lambda}-2e^{\lambda(1/e^2-3)}+e^{\lambda(1/e^4-1)} \, </math>
-छोटा है; के निष्पक्ष अनुमानक के एमएसई की तुलना करें
+छोटा है; इसके अनभिनत अनुमानक के माध्य औसत वर्ग त्रुटि की तुलना करें
 :<math>1-e^{-4\lambda}. \, </math>
-MSE वास्तविक मान λ के कार्य हैं। अधिकतम-संभावना अनुमानक का पूर्वाग्रह है:
+माध्य औसत वर्ग त्रुटि वास्तविक मान λ के फलन हैं। अधिकतम-संभावना अनुमानक का अभिनत है:
 :<math>e^{-2\lambda}-e^{\lambda(1/e^2-1)}. \, </math>
-=== असतत समान वितरण का अधिकतम ===
+=== असतत समान विभाजन का अधिकतम ===
-{{main|Maximum of a discrete uniform distribution}}
+{{main|असतत समान वितरण का अधिकतम}}
-अधिकतम-संभावना अनुमानकों का पूर्वाग्रह पर्याप्त हो सकता है। एक ऐसे मामले पर विचार करें जहां 1 से n तक के n टिकटों को एक बॉक्स में रखा गया है और एक को यादृच्छिक रूप से चुना गया है, एक मान X दे रहा है। यदि n अज्ञात है, तो n का अधिकतम-संभावना अनुमानक X है, भले ही अपेक्षा X दिया हुआ n केवल (n + 1)/2 है; हम केवल निश्चित हो सकते हैं कि n कम से कम X है और शायद अधिक है। इस मामले में, प्राकृतिक निष्पक्ष अनुमानक 2X − 1 है।
+अधिकतम-संभावना अनुमानकों का अभिनत पर्याप्त हो सकता है। एक ऐसे स्थिति पर विचार करें जहां 1 से n तक के n टिकटों को एक बॉक्स में रखा गया है और एक को यादृच्छिक रूप से चयन किया गया है, एक मान X दे रहा है। यदि n अज्ञात है, तो n का अधिकतम-संभावना अनुमानक X है, तथापि अपेक्षा X दिया हुआ n सिर्फ (n + 1)/2 है; हम सिर्फ निश्चित हो सकते हैं कि n कम से कम X है और संभव्यता अधिक है। इस स्थिति में, प्राकृतिक अनभिनत अनुमानक 2X − 1 है।
-== माध्य-निष्पक्ष अनुमानक ==
+== माध्य-अनभिनत अनुमानक ==
-में जॉर्ज डब्ल्यू ब्राउन द्वारा माध्य-निष्पक्ष आकलनकर्ताओं के सिद्धांत को पुनर्जीवित किया गया था:<ref>Brown (1947), page 583</ref>
+में जॉर्ज डब्ल्यू ब्राउन द्वारा माध्य-अनभिनत आकलनकर्ताओं के सिद्धांत को पुनर्जीवित किया गया था:<ref>Brown (1947), page 583</ref>
-{{blockquote|An estimate of a one-dimensional parameter θ will be said to be median-unbiased, if, for fixed θ, the median of the distribution of the estimate is at the value θ; i.e., the estimate underestimates just as often as it overestimates. This requirement seems for most purposes to accomplish as much as the mean-unbiased requirement and has the additional property that it is invariant under one-to-one transformation.}}
+{{blockquote|एक-आयामी पैरामीटर θ का एक अनुमान औसत-निष्पक्ष कहा जाएगा, यदि, निश्चित θ के लिए, अनुमान के वितरण का औसत मान θ पर है; अर्थात, अनुमान उतनी ही बार कम करके निर्धारित किया जाता है जितनी बार यह अधिक अनुमान लगाता है। यह आवश्यकता अधिकांश उद्देश्यों के लिए औसत-निष्पक्ष आवश्यकता को पूरा करने के लिए प्रतीत होती है और इसकी अतिरिक्त गुण है कि यह एक-से-एक परिवर्तन के अंर्तगत अपरिवर्तनीय है।}}
-मध्य-निष्पक्ष आकलनकर्ताओं के और गुणों को लेहमन, बिरनबाउम, वैन डेर वार्ट और फनज़ागल द्वारा नोट किया गया है।{{Citation needed|date=January 2011}} विशेष रूप से, औसत-निष्पक्ष अनुमानक ऐसे मामलों में मौजूद होते हैं जहां माध्य-निष्पक्ष और अधिकतम संभावना | अधिकतम-संभावना अनुमानक मौजूद नहीं होते हैं। वे अंतःक्षेपी फलन|एक-से-एक परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय हैं।
+मध्य-अनभिनत आकलनकर्ताओं के और गुणों को लेहमन, बिरनबाउम, वैन डेर वार्ट और फनज़ागल द्वारा नोट किया गया है।{{Citation needed|date=January 2011}} विशेष रूप से, औसत-अनभिनत अनुमानक ऐसे स्थितियों में सम्मिलित होते हैं जहां माध्य-अनभिनत और अधिकतम-संभावना अनुमानक सम्मिलित नहीं होते हैं। वे अंतःक्षेपी फलन एक-से-एक परिवर्तन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय हैं।
-संभाव्यता वितरण के लिए मध्य-निष्पक्ष अनुमानक के निर्माण के तरीके हैं जिनमें [[मोनोटोन संभावना अनुपात]] है। -निष्पक्ष आकलनकर्ता)।<ref>{{cite journal |last=Pfanzagl |first=Johann |title=उपद्रव मापदंडों की उपस्थिति में इष्टतम औसत निष्पक्ष अनुमानकों पर|journal=The Annals of Statistics |year=1979 |volume=7 |issue=1 |pages=187–193 |doi=10.1214/aos/1176344563 |doi-access=free }}</ref><ref name="BrownEtAl">{{cite journal |last1=Brown |first1=L. D. |last2=Cohen |first2=Arthur |last3=Strawderman |first3=W. E. |title=अनुप्रयोगों के साथ सख्त मोनोटोन संभावना अनुपात के लिए एक पूर्ण वर्ग प्रमेय|journal=Ann. Statist. |volume=4 |year=1976 |issue=4 |pages=712–722 |doi=10.1214/aos/1176343543 |doi-access=free }}</ref> ऐसी ही एक प्रक्रिया माध्य-निष्पक्ष आकलनकर्ताओं के लिए राव-ब्लैकवेल प्रक्रिया का एक एनालॉग है: माध्य-निष्पक्ष अनुमान के लिए राव-ब्लैकवेल प्रक्रिया की तुलना में प्रक्रिया संभाव्यता वितरण के एक छोटे वर्ग के लिए है, लेकिन हानि-कार्यों के एक बड़े वर्ग के लिए है।<ref name="BrownEtAl" />
+प्रायिकता विभाजन के लिए मध्य-अनभिनत अनुमानक के निर्माण के तरीके हैं जिनमें [[मोनोटोन संभावना अनुपात]] है।) जैसे कि एक-पैरामीटर घातीय वर्ग, यह सुनिश्चित करने के लिए कि वे इष्टतम हैं (माध्य-निष्पक्ष अनुमानक के लिए मानी जाने वाली न्यूनतम-विचरण गुण के अनुरूप)।<ref>{{cite journal |last=Pfanzagl |first=Johann |title=उपद्रव मापदंडों की उपस्थिति में इष्टतम औसत निष्पक्ष अनुमानकों पर|journal=The Annals of Statistics |year=1979 |volume=7 |issue=1 |pages=187–193 |doi=10.1214/aos/1176344563 |doi-access=free }}</ref><ref name="BrownEtAl">{{cite journal |last1=Brown |first1=L. D. |last2=Cohen |first2=Arthur |last3=Strawderman |first3=W. E. |title=अनुप्रयोगों के साथ सख्त मोनोटोन संभावना अनुपात के लिए एक पूर्ण वर्ग प्रमेय|journal=Ann. Statist. |volume=4 |year=1976 |issue=4 |pages=712–722 |doi=10.1214/aos/1176343543 |doi-access=free }}</ref> ऐसी ही एक प्रक्रिया माध्य-अनभिनत आकलनकर्ताओं के लिए राव-ब्लैकवेल प्रक्रिया का एक एनालॉग है: माध्य-अनभिनत अनुमान के लिए राव-ब्लैकवेल प्रक्रिया की तुलना में प्रक्रिया प्रायिकता विभाजन के एक छोटे वर्ग के लिए है, लेकिन हानि-फलनों के एक बड़े वर्ग के लिए है।<ref name="BrownEtAl" />
-== अन्य हानि कार्यों के संबंध में पूर्वाग्रह ==
+== अन्य हानि फलनों के संबंध में अभिनत ==
-कोई न्यूनतम-विचरण माध्य-निष्पक्ष अनुमानक चुकता-त्रुटि हानि फ़ंक्शन (माध्य-निष्पक्ष अनुमानकों के बीच) के संबंध में [[जोखिम (सांख्यिकी)]] ([[अपेक्षित हानि]]) को कम करता है, जैसा कि [[गॉस]] द्वारा देखा गया है।<ref name="Dodge">{{cite book |title=Statistical Data Analysis Based on the L<sub>1</sub>-Norm and Related Methods |series=Papers from the First International Conference held at Neuchâtel, August 31–September 4, 1987 |editor-first=Yadolah |editor-last=Dodge |publisher=North-Holland |location=Amsterdam |year=1987 |isbn=0-444-70273-3 }}</ref> एक न्यूनतम-औसत निरपेक्ष विचलन मध्य-निष्पक्ष आकलनकर्ता पूर्ण मूल्य हानि फ़ंक्शन (मध्य-निष्पक्ष अनुमानकों के बीच) के संबंध में जोखिम को कम करता है, जैसा कि [[लाप्लास]] द्वारा देखा गया है।<ref name="Dodge" /><ref>{{cite book |last1=Jaynes |first1=E. T. |title=Probability Theory : The Logic of Science |date=2007 |publisher=Cambridge Univ. Press |location=Cambridge |isbn=978-0-521-59271-0 |page=172 }}</ref> अन्य नुकसान कार्यों का उपयोग आँकड़ों में किया जाता है, विशेष रूप से मजबूत आँकड़ों में।<ref name="Dodge" /><ref>{{cite book |chapter=Loss Functions and the Theory of Unbiased Estimation |title=सांख्यिकी में मजबूत और गैर-मजबूत मॉडल|first1=Lev B. |last1=Klebanov |first2=Svetlozar T. |last2=Rachev |first3=Frank J. |last3=Fabozzi |publisher=Nova Scientific |location=New York |year=2009 |isbn=978-1-60741-768-2 }}</ref>
+कोई न्यूनतम-प्रसरण माध्य-अनभिनत अनुमानक औसत वर्ग-त्रुटि हानि फलन (माध्य-अनभिनत अनुमानकों के बीच) के संबंध में [[जोखिम (सांख्यिकी)]] ([[अपेक्षित हानि]]) को कम करता है, जैसा कि [[गॉस]] द्वारा देखा गया है।<ref name="Dodge">{{cite book |title=Statistical Data Analysis Based on the L<sub>1</sub>-Norm and Related Methods |series=Papers from the First International Conference held at Neuchâtel, August 31–September 4, 1987 |editor-first=Yadolah |editor-last=Dodge |publisher=North-Holland |location=Amsterdam |year=1987 |isbn=0-444-70273-3 }}</ref> एक न्यूनतम-औसत निरपेक्ष विचलन मध्य-अनभिनत आकलनकर्ता पूर्ण मान हानि फलन (मध्य-अनभिनत अनुमानकों के बीच) के संबंध में जोखिम को कम करता है, जैसा कि [[लाप्लास]] द्वारा देखा गया है।<ref name="Dodge" /><ref>{{cite book |last1=Jaynes |first1=E. T. |title=Probability Theory : The Logic of Science |date=2007 |publisher=Cambridge Univ. Press |location=Cambridge |isbn=978-0-521-59271-0 |page=172 }}</ref> अन्य त्रुटि फलनों का उपयोग, विशेष रूप से प्रबल सांख्यिकी में किया जाता है।<ref name="Dodge" /><ref>{{cite book |chapter=Loss Functions and the Theory of Unbiased Estimation |title=सांख्यिकी में मजबूत और गैर-मजबूत मॉडल|first1=Lev B. |last1=Klebanov |first2=Svetlozar T. |last2=Rachev |first3=Frank J. |last3=Fabozzi |publisher=Nova Scientific |location=New York |year=2009 |isbn=978-1-60741-768-2 }}</ref>
 == रूपांतरों का प्रभाव ==
-अविभाजित मापदंडों के लिए, मध्य-निष्पक्ष अनुमानक डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी) के तहत मध्य-निष्पक्ष रहते हैं जो ऑर्डर (या रिवर्स ऑर्डर) को संरक्षित करते हैं।
+अविभाजित मापदंडों के लिए, मध्य-अनभिनत अनुमानक डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी) के अंतर्गत मध्य-अनभिनत रहते हैं जो क्रम (या प्रतिवर्त क्रम) को संरक्षित करते हैं। ध्यान दें कि, जब एक माध्य-अनभिनत अनुमानक पर रूपांतरण प्रयुक्त किया जाता है, तो परिणाम को इसके संगत समष्‍टि सांख्यिकी का माध्य-अनभिनत अनुमानक नहीं होना चाहिए। जेन्सेन की असमानता से, परिवर्तन के रूप में एक उत्तल फलन धनात्मक अभिनत प्रस्तुत करेगा, जबकि एक अवतल फलन ऋणात्मक अभिनत प्रस्तुत करेगा, और मिश्रित उत्तलता का फलन विशिष्ट फलन और विभाजन के आधार पर किसी भी दिशा में अभिनत प्रस्तुत कर सकता है। यह, एक गैर-रैखिक फलन F और पैरामीटर P के एक औसत-अनभिनत अनुमानक U के लिए, समग्र अनुमानक ''f''(''U'') को F(P) का एक औसत-अनभिनत अनुमानक नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, समष्‍टि प्रसरण के अनभिनत अनुमानक का [[वर्गमूल]] है {{em|not}} समष्‍टि [[मानक विचलन]] का माध्य-अनभिनत अनुमानक: अनभिनत प्रतिदर्श प्रसरण का वर्गमूल, सही [[नमूना मानक विचलन|प्रतिदर्श मानक विचलन]], अभिनत है। अभिनत अनुमानक के प्रतिदर्श विभाजन और परिवर्तन पर निर्भर करता है, और गणना करने के लिए अपेक्षाकृत अधिक सम्मिलित हो सकता है - इस स्थिति में चर्चा के लिए मानक विचलन का अनभिनत अनुमान देखें।
-ध्यान दें कि, जब एक माध्य-निष्पक्ष अनुमानक पर रूपांतरण लागू किया जाता है, तो परिणाम को इसके संगत जनसंख्या आंकड़ों का माध्य-निष्पक्ष अनुमानक नहीं होना चाहिए। जेन्सेन की असमानता से, परिवर्तन के रूप में एक उत्तल कार्य सकारात्मक पूर्वाग्रह पेश करेगा, जबकि एक अवतल कार्य नकारात्मक पूर्वाग्रह पेश करेगा, और मिश्रित उत्तलता का कार्य विशिष्ट कार्य और वितरण के आधार पर किसी भी दिशा में पूर्वाग्रह पेश कर सकता है। यही है, एक गैर-रैखिक फ़ंक्शन एफ और पैरामीटर पी के एक औसत-निष्पक्ष अनुमानक यू के लिए, समग्र अनुमानक एफ (यू) को एफ (पी) का एक औसत-निष्पक्ष अनुमानक नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, जनसंख्या विचरण के निष्पक्ष अनुमानक का [[वर्गमूल]] है {{em|not}} जनसंख्या [[मानक विचलन]] का माध्य-निष्पक्ष अनुमानक: निष्पक्ष नमूना प्रसरण का वर्गमूल, सही [[नमूना मानक विचलन]], पक्षपाती है। पूर्वाग्रह अनुमानक के नमूना वितरण और परिवर्तन पर निर्भर करता है, और गणना करने के लिए काफी शामिल हो सकता है - इस मामले में चर्चा के लिए मानक विचलन का निष्पक्ष अनुमान देखें।
+== अभिनत, प्रसरण और माध्य औसत वर्ग त्रुटि ==
+{{Main|अभिनत-प्रसरण समझौता}}
+{{See also|शुद्धता (सत्यता और सुस्पष्टता)}}
+[[Image:Example when estimator bias is good.svg|thumb|पैरामीटर β<sub>0</sub> के लिए दो वैकल्पिक अनुमानकों का प्रतिदर्शकरण विभाजन है। हालांकि β<sub>1</sub> निष्पक्ष है, यह अभिनत β<sub>2</sub> से स्पष्ट रूप से कम है।रिज प्रतिगमन एक तकनीक का एक उदाहरण है जहां अल्प अभिनत की स्वीकृति देने से विचरण में अधिकतम कमी आ सकती है, और समग्र रूप से अधिक विश्वसनीय अनुमान लग सकते हैं।]]जबकि अभिनत अनुमानक और अंतर्निहित पैरामीटर के बीच अपेक्षित औसत अंतर को मापता है, प्रतिदर्श में यादृच्छिकता के कारण परिमित प्रतिदर्श के आधार पर अनुमानक अतिरिक्त रूप से पैरामीटर से अलग होने की उपेक्षा कर सकता है।
+अनुमानक जो अभिनत को कम करता है, आवश्यक रूप से [[औसत वर्ग त्रुटि]] को कम नहीं करेगा। एक माप जिसका उपयोग दोनों प्रकार के अंतरों को दर्शाने के लिए किया जाता है, वह माध्य वर्ग त्रुटि है,<ref name=":0" />
+<math>\operatorname{MSE}(\hat{\theta})=\operatorname{E}\big[(\hat{\theta}-\theta)^2\big].</math>
+यह अभिनत के वर्ग के बराबर, साथ ही प्रसरण दिखाया जा सकता है:<ref name=":0" />
-== पूर्वाग्रह, विचरण और माध्य चुकता त्रुटि ==
+<math>\begin{align}
-{{Main|Bias–variance tradeoff}}
-{{See also|Accuracy (trueness and precision)}}
-[[Image:Example when estimator bias is good.svg|thumb|पैरामीटर β के लिए दो वैकल्पिक अनुमानकों का नमूनाकरण वितरण<sub>0</sub>. हालांकि बी<sub>1</sub><सुप स्टाइल = स्थिति: सापेक्ष; बायां: -8pt; शीर्ष: -1pt; >^</sup> निष्पक्ष है, यह स्पष्ट रूप से पक्षपाती β से हीन है<sub>2</sub><सुप स्टाइल = स्थिति: सापेक्ष; बायां: -8pt; शीर्ष: -1pt; >^</sup>।<br /><br />[[ रिज प्रतिगमन ]] एक ऐसी तकनीक का उदाहरण है जहां थोड़ा सा पूर्वाग्रह होने से वेरियंस में काफी कमी आ सकती है, और समग्र रूप से अधिक विश्वसनीय अनुमान लग सकते हैं।]]जबकि पूर्वाग्रह अनुमानक और अंतर्निहित पैरामीटर के बीच अपेक्षित औसत अंतर को मापता है, नमूना में यादृच्छिकता के कारण परिमित नमूने के आधार पर अनुमानक अतिरिक्त रूप से पैरामीटर से अलग होने की उम्मीद कर सकता है।
-एक अनुमानक जो पूर्वाग्रह को कम करता है, आवश्यक रूप से [[औसत वर्ग त्रुटि]] को कम नहीं करेगा।
-एक उपाय जिसका उपयोग दोनों प्रकार के अंतरों को दर्शाने के लिए किया जाता है, वह माध्य वर्ग त्रुटि है,<ref name=":0" />:<math>\operatorname{MSE}(\hat{\theta})=\operatorname{E}\big[(\hat{\theta}-\theta)^2\big].</math>
-यह पूर्वाग्रह के वर्ग के बराबर दिखाया जा सकता है, साथ ही विचरण:<ref name=":0" />:<math>\begin{align}
 \operatorname{MSE}(\hat{\theta})= & (\operatorname{E}[\hat{\theta}]-\theta)^2 + \operatorname{E}[\,(\hat{\theta} - \operatorname{E}[\,\hat{\theta}\,])^2\,]\\
 = & (\operatorname{Bias}(\hat{\theta},\theta))^2 + \operatorname{Var}(\hat{\theta})
 \end{align}</math>
-जब पैरामीटर एक वेक्टर होता है, तो एक समान अपघटन लागू होता है:<ref name=taboga>{{cite web | last1 = Taboga | first1 = Marco | url = http://www.statlect.com/glossary/mean_squared_error.htm | title = संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी पर व्याख्यान| year=2010}}</ref>
+जब पैरामीटर एक वेक्टर होता है, तो एक समान अपघटन प्रयुक्त होता है:<ref name="taboga">{{cite web | last1 = Taboga | first1 = Marco | url = http://www.statlect.com/glossary/mean_squared_error.htm | title = संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी पर व्याख्यान| year=2010}}</ref>
 :<math>\operatorname{MSE}(\hat{\theta }) =\operatorname{trace}(\operatorname{Cov}(\hat{\theta }))
 +\left\Vert\operatorname{Bias}(\hat{\theta},\theta)\right\Vert^{2}</math>
-कहाँ <math>\operatorname{trace}(\operatorname{Cov}(\hat{\theta }))</math> अनुमानक के सहप्रसरण मैट्रिक्स का निशान (विकर्ण योग) है और <math>\left\Vert\operatorname{Bias}(\hat{\theta},\theta)\right\Vert^{2}</math> वर्ग [[वेक्टर मानदंड]] है।
+जहाँ <math>\operatorname{trace}(\operatorname{Cov}(\hat{\theta }))</math> अनुमानक के सहप्रसरण आव्यूह का चिन्ह (विकर्ण योग) है और <math>\left\Vert\operatorname{Bias}(\hat{\theta},\theta)\right\Vert^{2}</math> वर्ग [[वेक्टर मानदंड]] है।
-=== उदाहरण: जनसंख्या विचरण का अनुमान ===
+=== उदाहरण: समष्‍टि प्रसरण का अनुमान ===
-उदाहरण के लिए,<ref>{{cite book |first=Morris H. |last=DeGroot |year=1986 |title=प्रायिकता अौर सांख्यिकी|url=https://archive.org/details/probabilitystati00degr_679 |url-access=limited |edition=2nd |publisher=Addison-Wesley |isbn=0-201-11366-X |pages=[https://archive.org/details/probabilitystati00degr_679/page/n423 414]–5 }} But compare it with, for example, the discussion in {{cite book |last1=Casella |last2=Berger |year=2001 |title=Statistical Inference |edition=2nd |publisher=Duxbury |isbn=0-534-24312-6 |page=332 }}</ref> मान लीजिए फॉर्म का अनुमानक
+उदाहरण के लिए,<ref>{{cite book |first=Morris H. |last=DeGroot |year=1986 |title=प्रायिकता अौर सांख्यिकी|url=https://archive.org/details/probabilitystati00degr_679 |url-access=limited |edition=2nd |publisher=Addison-Wesley |isbn=0-201-11366-X |pages=[https://archive.org/details/probabilitystati00degr_679/page/n423 414]–5 }} But compare it with, for example, the discussion in {{cite book |last1=Casella |last2=Berger |year=2001 |title=Statistical Inference |edition=2nd |publisher=Duxbury |isbn=0-534-24312-6 |page=332 }}</ref> मान लीजिए प्ररूप का अनुमानक
 :<math>T^2 = c \sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\,\right)^2 = c n S^2</math>
-उपरोक्त के अनुसार जनसंख्या विचरण के लिए मांगा गया है, लेकिन इस बार MSE को कम करने के लिए:
+उपरोक्त के अनुसार समष्‍टि प्रसरण के लिए मांगा गया है, लेकिन इस बार एमएसई को कम करने के लिए:
 :<math>\begin{align}\operatorname{MSE} = & \operatorname{E}\left[(T^2 - \sigma^2)^2\right] \\
 = & \left(\operatorname{E}\left[T^2 - \sigma^2\right]\right)^2 + \operatorname{Var}(T^2)\end{align}</math>
-यदि चर X<sub>1</sub> ... एक्स<sub>''n''</sub> एक सामान्य वितरण का पालन करें, फिर एनएस<sup>2</sup>/प<sup>2</sup> का n − 1 स्वतंत्रता की डिग्री के साथ ची-वर्ग बंटन है, जो देता है:
+यदि चर X<sub>1</sub> ... X<sub>''n''</sub> एक सामान्य विभाजन का अनुसरण करें, फिर ''nS''<sup>2</sup>/σ<sup>2</sup> का n − 1 घात की अबद्धता के साथ काई वर्ग विभाजन है, जो देता है:
 :<math>\operatorname{E}[nS^2] = (n-1)\sigma^2\text{ and }\operatorname{Var}(nS^2)=2(n-1)\sigma^4. </math>
@@ Line 183: / Line 186: @@
 :<math>\operatorname{MSE} = (c (n-1) - 1)^2\sigma^4 + 2c^2(n-1)\sigma^4</math>
-थोड़े से बीजगणित के साथ यह पुष्टि की जा सकती है कि यह c = 1/(n + 1) है जो इस संयुक्त नुकसान फ़ंक्शन को कम करता है, बजाय c = 1/(n − 1) जो पूर्वाग्रह के वर्ग को कम करता है।
+आंशिक बीजगणित के साथ यह पुष्टि की जा सकती है कि यह c = 1/(n + 1) है जो इस संयुक्त त्रुटि फलन को कम करता है, अतिरिक्त c = 1/(n − 1) जो अभिनत के वर्ग को कम करता है।
+सामान्य रूप से यह सिर्फ प्रतिबंधित वर्गों की समस्याओं में होता है कि एक अनुमानक होगा जो पैरामीटर मानों से स्वतंत्र रूप से एमएसई को कम करता है।
-आम तौर पर यह केवल प्रतिबंधित वर्गों की समस्याओं में होता है कि एक अनुमानक होगा जो पैरामीटर मानों से स्वतंत्र रूप से एमएसई को कम करता है।
+हालांकि यह बहुत सामान्य है कि अभिनत-प्रसरण समझौता समन्वय को माना जा सकता है, जैसे कि अभिनत में एक छोटी सी वृद्धि भिन्नता में बड़ी कमी के लिए कारोबार की जा सकती है, जिसके परिणामस्वरूप समग्र रूप से अधिक वांछनीय अनुमानक होता है।
-हालांकि यह बहुत आम है कि पूर्वाग्रह-विचरण व्यापार को माना जा सकता है, जैसे कि पूर्वाग्रह में एक छोटी सी वृद्धि भिन्नता में बड़ी कमी के लिए कारोबार की जा सकती है, जिसके परिणामस्वरूप समग्र रूप से अधिक वांछनीय अनुमानक होता है।
+== बायेसियन दृश्य ==
+अधिकांश बेयसियन अपने अनुमानों के निष्पक्षता (कम से कम औपचारिक प्रतिदर्शकरण-सिद्धांत के अर्थ में) के बारे में असंबद्ध हैं। उदाहरण के लिए, गेलमैन और कोउथर्स (1995) लिखते हैं: बायेसियन दृष्टिकोण से, निष्पक्षता का सिद्धांत बड़े प्रतिदर्शों की सीमा में उपयुक्त है, लेकिन अन्यथा यह संभावित रूप से भ्रामक है।<ref>{{cite book |first1=A. |last1=Gelman |display-authors=1 |first2=John S. |last2=Carlin |first3=Hal S. |last3=Stern |first4=Donald B. |last4=Rubin |year=1995 |title=बायेसियन डेटा विश्लेषण|publisher=Chapman and Hall |isbn=0-412-03991-5 |page=108 }}</ref>
-== बायेसियन व्यू ==
+मौलिक रूप से, [[बायेसियन सांख्यिकी]] और उपरोक्त प्रतिदर्शकरण-सिद्धांत दृष्टिकोण के बीच का अंतर यह है कि प्रतिदर्शकरण-सिद्धांत दृष्टिकोण में पैरामीटर को निश्चित रूप में लिया जाता है, और फिर डेटा के पूर्वानुमानित प्रतिदर्श विभाजन के आधार पर एक आंकड़े के प्रायिकता विभाजन पर विचार किया जाता है। बायेसियन के लिए, हालांकि, यह वह डेटा है जो ज्ञात और निश्चित है, और यह अज्ञात पैरामीटर है जिसके लिए बेयस प्रमेय का उपयोग करके प्रायिकता विभाजन का निर्माण करने का प्रयास किया जाता है:
-अधिकांश बेयसियन अपने अनुमानों के निष्पक्षता (कम से कम औपचारिक नमूनाकरण-सिद्धांत के अर्थ में) के बारे में असंबद्ध हैं। उदाहरण के लिए, गेलमैन और कोउथर्स (1995) लिखते हैं: बायेसियन दृष्टिकोण से, निष्पक्षता का सिद्धांत बड़े नमूनों की सीमा में उचित है, लेकिन अन्यथा यह संभावित रूप से भ्रामक है।<ref>{{cite book |first1=A. |last1=Gelman |display-authors=1 |first2=John S. |last2=Carlin |first3=Hal S. |last3=Stern |first4=Donald B. |last4=Rubin |year=1995 |title=बायेसियन डेटा विश्लेषण|publisher=Chapman and Hall |isbn=0-412-03991-5 |page=108 }}</ref>
-मौलिक रूप से, [[बायेसियन सांख्यिकी]] और उपरोक्त नमूनाकरण-सिद्धांत दृष्टिकोण के बीच का अंतर यह है कि नमूनाकरण-सिद्धांत दृष्टिकोण में पैरामीटर को निश्चित रूप में लिया जाता है, और फिर डेटा के पूर्वानुमानित नमूना वितरण के आधार पर एक आंकड़े के संभाव्यता वितरण पर विचार किया जाता है। बायेसियन के लिए, हालांकि, यह वह डेटा है जो ज्ञात और निश्चित है, और यह अज्ञात पैरामीटर है जिसके लिए बेयस प्रमेय का उपयोग करके संभाव्यता वितरण का निर्माण करने का प्रयास किया जाता है:
 :<math>p(\theta \mid D, I) \propto p(\theta \mid I) p(D \mid \theta, I)</math>
-यहां दूसरा शब्द, अज्ञात पैरामीटर मान θ दिए गए डेटा की संभावना फ़ंक्शन, केवल प्राप्त डेटा और डेटा जनरेशन प्रक्रिया के मॉडलिंग पर निर्भर करता है। हालाँकि, बायेसियन गणना में पहला शब्द भी शामिल है, θ के लिए [[पूर्व संभावना]], जो डेटा के आने से पहले विश्लेषक को θ के बारे में जानने या संदेह करने वाली हर चीज का हिसाब लेता है। यह जानकारी नमूनाकरण-सिद्धांत दृष्टिकोण में कोई भूमिका नहीं निभाती है; वास्तव में इसे शामिल करने के किसी भी प्रयास को डेटा द्वारा विशुद्ध रूप से बताए गए पूर्वाग्रह से दूर माना जाएगा। इस हद तक कि बायेसियन गणनाओं में पूर्व सूचना शामिल है, इसलिए यह अनिवार्य रूप से अपरिहार्य है कि उनके परिणाम नमूनाकरण सिद्धांत के संदर्भ में निष्पक्ष नहीं होंगे।
+यहां दूसरा शब्द, अज्ञात पैरामीटर मान θ दिए गए डेटा की संभावना फलन, सिर्फ प्राप्त डेटा और डेटा उत्पादन प्रक्रिया के मॉडलिंग पर निर्भर करता है। हालाँकि, बायेसियन गणना में पहला शब्द भी सम्मिलित है, θ के लिए [[पूर्व संभावना]], जो डेटा के आने से पहले विश्लेषक को θ के बारे में जानने या संदेह करने वाली हर वस्तु की गणना करता है। यह जानकारी प्रतिदर्शकरण-सिद्धांत दृष्टिकोण में कोई भूमिका नहीं निभाती है; वास्तव में इसे सम्मिलित करने के किसी भी प्रयास को डेटा द्वारा विशुद्ध रूप से बताए गए अभिनत से दूर माना जाएगा। इस हद तक कि बायेसियन गणनाओं में पूर्व सूचना सम्मिलित है, इसलिए यह अनिवार्य रूप से अपरिहार्य है कि उनके परिणाम प्रतिदर्शकरण सिद्धांत के संदर्भ में अनभिनत नहीं होंगे।
-लेकिन एक बायेसियन दृष्टिकोण के परिणाम नमूनाकरण सिद्धांत के दृष्टिकोण से भिन्न हो सकते हैं, भले ही बायेसियन पूर्व में एक गैर-सूचनात्मक अपनाने की कोशिश करता हो।
+लेकिन एक बायेसियन दृष्टिकोण के परिणाम प्रतिदर्शकरण सिद्धांत के दृष्टिकोण से भिन्न हो सकते हैं, तथापि बायेसियन पूर्व में एक गैर-सूचनात्मक स्वीकार करने का प्रयास करता हो।
-उदाहरण के लिए, फिर से एक अज्ञात जनसंख्या प्रसरण σ के अनुमान पर विचार करें<sup>अज्ञात माध्य के साथ सामान्य बंटन का 2</sup>, जहां अपेक्षित हानि फलन में c को अनुकूलित करना वांछित है
+उदाहरण के लिए, पुनः अज्ञात माध्य के साथ सामान्य विभाजन का अज्ञात समष्‍टि प्रसरण σ <sup>2</sup> के अनुमान पर विचार करें, जहां अपेक्षित हानि फलन में c को अनुकूलित करना वांछित है
 :<math>\operatorname{Expected Loss} = \operatorname{E}\left[\left(c n S^2 - \sigma^2\right)^2\right] = \operatorname{E}\left[\sigma^4 \left(c n \tfrac{S^2}{\sigma^2} -1 \right)^2\right]</math>
-इस समस्या के लिए असूचनात्मक पूर्व का एक मानक विकल्प मानक विचलन पैरामीटर के साथ जेफरीज़ पूर्व#गाऊसी वितरण है, <math>\scriptstyle{p(\sigma^2) \;\propto\; 1 / \sigma^2}</math>, जो ln(σ<sup>2</sup>).
+इस समस्या के लिए बिना जानकारी के पूर्व का एक मानक विकल्प जेफ़रीज़ प्रायर, <math>\scriptstyle{p(\sigma^2) \;\propto\; 1 / \sigma^2}</math> है, जो ln(σ<sup>2</sup>) से पहले एक पुनः मापन-अपरिवर्तनीय समतल भाग को स्वीकृत करने के बराबर है।
-इसे पहले अपनाने का एक परिणाम यह है कि ''स''<sup>2</sup>/प<sup>2</sup> एक महत्वपूर्ण मात्रा है, अर्थात S का प्रायिकता वितरण<sup>2</sup>/प<sup>2</sup> केवल S पर निर्भर करता है<sup>2</sup>/प<sup>2</sup>, S के मान से स्वतंत्र<sup>2</sup> या पृ<sup>2</sup>:
+इसे पहले स्वीकृत करने का एक परिणाम यह है कि ''S''<sup>2</sup>/σ<sup>2</sup> एक महत्वपूर्ण परिणाम है, अर्थात ''S''<sup>2</sup>/σ<sup>2</sup> का प्रायिकता विभाजन केवल ''S''<sup>2</sup>/σ<sup>2</sup> पर निर्भर करता है जो ''S''<sup>2</sup> या σ<sup>2</sup> के मान से स्वतंत्र है:
 :<math>p\left(\tfrac{S^2}{\sigma^2}\mid S^2\right) = p\left(\tfrac{S^2}{\sigma^2}\mid \sigma^2\right) = g\left(\tfrac{S^2}{\sigma^2}\right)</math>
@@ Line 212: / Line 216: @@
 :<math>\operatorname{E}_{p(\sigma^2\mid S^2)}\left[\sigma^4 \left(c n \tfrac{S^2}{\sigma^2} -1 \right)^2\right] \neq \sigma^4 \operatorname{E}_{p(\sigma^2\mid S^2)}\left[\left(c n \tfrac{S^2}{\sigma^2} -1 \right)^2\right]</math>
-— जब उम्मीद को σ के प्रायिकता बंटन पर ले लिया जाता है<sup>2</sup> दिया हुआ S<sup>2</sup>, जैसा कि एस के बजाय बायेसियन मामले में है<sup>2</sup> दिए गए p<sup>2</sup>, अब कोई σ नहीं ले सकता<sup>4</sup> एक स्थिरांक के रूप में और इसका गुणनखंडन करें। इसका परिणाम यह है कि, नमूनाकरण-सिद्धांत गणना की तुलना में, बायेसियन गणना σ के बड़े मूल्यों पर अधिक भार डालती है।<sup>2</sup>, ठीक से ध्यान में रखते हुए (चूंकि नमूनाकरण-सिद्धांत गणना नहीं कर सकता) कि इस चुकता-हानि समारोह के तहत σ के बड़े मूल्यों को कम आंकने का परिणाम है<sup>σ के छोटे मूल्यों को अधिक आंकने की तुलना में 2</sup> चुकता-नुकसान के संदर्भ में अधिक महंगा है<sup>2</उप>।
+— जब उपेक्षा को σ<sup>2</sup> के प्रायिकता विभाजन पर ले लिया जाता है दिया हुआ S<sup>2</sup>, जैसा कि S<sup>2</sup> के अतिरिक्त बायेसियन स्थिति में है दिए गए p<sup>2</sup>, अब कोई σ<sup>4</sup> नहीं ले सकता एक स्थिरांक के रूप में और इसका गुणनखंडन करें। इसका परिणाम यह है कि, प्रतिदर्शकरण-सिद्धांत गणना की तुलना में, बायेसियन गणना σ<sup>2</sup> के बड़े मानों पर अधिक भार डालती है।, सही से ध्यान में रखते हुए (चूंकि प्रतिदर्शकरण-सिद्धांत गणना नहीं कर सकता) कि इस औसत वर्ग-हानि फलन के अंतर्गत σ<sup>2</sup> के बड़े मानों को कम न्यून आकलन के संदर्भ मे σ<sup>2</sup> के छोटे मूल्यों को अधिक आकलन की तुलना में अधिक बहुमूल्य है।
-कार्य-आउट बायेसियन गणना σ के पश्च संभाव्यता वितरण के लिए स्वतंत्रता की n − 1 डिग्री के साथ एक स्केल्ड व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण देता है।<sup>2</उप>। सीएनएस होने पर अपेक्षित नुकसान कम हो जाता है<sup>2</सुप> = <पी<sup>2</sup>>; यह तब होता है जब c = 1/(n − 3).
+लिखी गई बायेसियन गणना σ<sup>2 के पश्च प्रायिकता विभाजन के लिए अबद्धता की n − 1 घात के साथ एक मापन्ड व्युत्क्रम काई वर्ग विभाजन देता है। प्रत्याशित हानि को न्यूनतम किया जाता है जब ''cnS''<sup>2 = <σ<sup>2>; यह तब होता है जब c = 1/(n − 3) है।
-यहां तक कि एक अनौपचारिक पूर्व के साथ, इसलिए, बायेसियन गणना समान नमूना-सिद्धांत गणना के समान अपेक्षित-नुकसान न्यूनतम परिणाम नहीं दे सकती है।
+यहां तक कि एक अनौपचारिक पूर्व के साथ, इसलिए, बायेसियन गणना समान प्रतिदर्श-सिद्धांत गणना के समान अपेक्षित-त्रुटि न्यूनतम परिणाम नहीं दे सकती है।
 == यह भी देखें ==
 {{Portal|Science|Mathematics}}
 {{Div col|colwidth=20em}}
-* लगातार अनुमानक
+* सतत अनुमानक
-* [[कुशल अनुमानक]]
+* [[सक्षम अनुमानक]]
 * [[अनुमान सिद्धांत]]
 *अपेक्षित हानि
-* अपेक्षित मूल्य
+* अपेक्षित मान
-* लॉस फंकशन
+* त्रुटि फलन
 * [[न्यूनतम-विचरण निष्पक्ष अनुमानक]]
-* [[लोप-चर पूर्वाग्रह]]
+* [[लोप-चर अभिनत]]
-* [[आशावाद पूर्वाग्रह]]
+* [[आशावाद अभिनत]]
 * [[अनुपात अनुमानक]]
 * [[सांख्यिकीय निर्णय सिद्धांत]]
@@ Line 252: / Line 256: @@
 ==बाहरी संबंध==
-* {{springer|title=Unbiased estimator|id=p/u095070}} {{clarify|date=May 2013}}
+* {{springer|title=निष्पक्ष आकलनकर्ता|id=p/u095070}} {{clarify|date=May 2013}}
-{{Statistics|inference|state=expanded}}
-{{Biases|state=expanded}}
-{{DEFAULTSORT:Bias of an estimator}}[[Category: परिशुद्धता और यथार्थता]] [[Category: बिंदु अनुमान प्रदर्शन]] [[Category: पक्षपात]]
+{{DEFAULTSORT:Bias of an estimator}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:All articles with unsourced statements|Bias of an estimator]]
-[[Category:Created On 20/03/2023]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Bias of an estimator]]
+[[Category:Articles with unsourced statements from January 2011|Bias of an estimator]]
+[[Category:CS1|Bias of an estimator]]
+[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
+[[Category:Created On 20/03/2023|Bias of an estimator]]
+[[Category:Lua-based templates|Bias of an estimator]]
+[[Category:Machine Translated Page|Bias of an estimator]]
+[[Category:Multi-column templates|Bias of an estimator]]
+[[Category:Pages using div col with small parameter|Bias of an estimator]]
+[[Category:Pages with empty portal template|Bias of an estimator]]
+[[Category:Pages with script errors|Bias of an estimator]]
+[[Category:Portal templates with redlinked portals|Bias of an estimator]]
+[[Category:Short description with empty Wikidata description|Bias of an estimator]]
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अनुमानक का पूर्वाग्रह: Difference between revisions

Latest revision as of 16:17, 13 April 2023

परिभाषा

उदाहरण

प्रतिदर्श प्रसरण

प्वासों प्रायिकता का अनुमान लगाना

असतत समान विभाजन का अधिकतम

माध्य-अनभिनत अनुमानक

अन्य हानि फलनों के संबंध में अभिनत

रूपांतरों का प्रभाव

अभिनत, प्रसरण और माध्य औसत वर्ग त्रुटि

उदाहरण: समष्‍टि प्रसरण का अनुमान

बायेसियन दृश्य

यह भी देखें

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बाहरी संबंध

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