समूह वेग: Difference between revisions

Latest revision as of 10:42, 17 April 2023

गहरे पानी की सतह पर गुरुत्वाकर्षण तरंगों के समूहों में आवृत्ति फैलाव। लाल वर्ग चरण वेग के साथ चलता है, और हरे वृत्त समूह वेग के साथ फैलते है। इस गहरे पानी के स्थिति में, चरण वेग समूह वेग का दोगुना है। आकृति के बाएँ से दाएँ जाने पर लाल वर्ग दो हरे वृत्तों से आगे निकल जाता है। ऐसा लगता है कि नई तरंगें एक तरंग समूह के पीछे उभरती है, आयाम में तब तक बढ़ती है जब तक कि वे समूह के केंद्र में न हों, और तरंग समूह के मोर्चे पर गायब हो जाती है।सतह गुरुत्वाकर्षण तरंगों के लिए, पानी के कण वेग ज्यादातर स्थितियों में चरण वेग से बहुत छोटे होते है।

फैलाव के बिना समूह वेग से अधिक चरण वेग का प्रदर्शन करने वाले एक तरंग पैकेट का प्रचार।

यह समूह वेग और चरण वेग के साथ एक तरंग को अलग-अलग दिशाओं में दिखाता है।^[1] समूह वेग धनात्मक होता है (अर्थात, तरंग का आवरण (तरंगें) दायीं ओर चलती है), जबकि चरण वेग ऋणात्मक होता है (अर्थात, चोटियाँ और गर्त बाईं ओर चलती है)।

एक तरंग का समूह वेग वह वेग है जिसके साथ तरंग के आयाम का समग्र लिफाफा आकार- जिसे तरंग के मॉडुलन या लिफाफा के रूप में जाना जाता है-जगह के माध्यम से फैलता है।

उदाहरण के लिए, यदि एक शांत तालाब के बीच में एक पत्थर फेंका जाता है, तो पानी में एक शांत केंद्र वाली तरंगों का एक गोलाकार पैटर्न दिखाई देता है, जिसे केशिका तरंग के रूप में भी जाना जाता है। तरंगों का बढ़ता हुआ वलय तरंग समूह है, जिसके भीतर एक व्यक्ति उन तरंगों को पहचान सकता है जो पूरे समूह की तुलना में तेजी से यात्रा करता है। व्यक्तिगत तरंगों के आयाम बढ़ते है क्योंकि वे समूह के अनुगामी किनारे से निकलते है और जैसे-जैसे वे समूह के अग्रणी किनारे तक पहुँचते है, कम होते जाते है।

परिभाषा और व्याख्या

परिभाषा

ए तरंग पैकेट।

तरंग पैकेट का लिफाफा। लिफाफा समूह वेग से चलता है।

समूह वेग $v g$ समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:^[2]^[3]^[4]^[5]

v_{\rm {g}}\ \equiv \ {\frac {\partial \omega }{\partial k}}\,

जहाँ $ω$ तरंग की कोणीय आवृत्ति है (सामान्यतः पर प्रति सेकंड रेडियन में व्यक्त की जाती है), और $k$ कोणीय तरंग संख्या है (सामान्यतः पर प्रति मीटर रेडियन में व्यक्त)। चरण वेग है: $v p = ω / k$ .

समारोह (गणित) $ω (k)$ , जो देता है $ω$ के कार्य के रूप में $k$ , फैलाव संबंध के रूप में जाना जाता है।

अगर $ω$ आनुपातिकता (गणित) है $k$ , तब समूह वेग ठीक चरण वेग के बराबर होता है। किसी भी आकार की तरंग इस वेग से बिना विकृत हुए यात्रा करता है।
यदि ω k का एक रैखिक फलन है, लेकिन सीधे आनुपातिक नहीं है $(ω = ak + b)$ , तब समूह वेग और चरण वेग भिन्न होते है। एक तरंग पैकेट का लिफाफा समूह वेग से यात्रा करेगा, जबकि लिफाफे के भीतर अलग-अलग चोटियाँ और गर्त चरण वेग से आगे बढ़ता है।
अगर $ω$ का एक रैखिक कार्य नहीं है $k$ , तरंग पैकेट का लिफाफा यात्रा के दौरान विकृत हो जाता है। चूंकि एक तरंग पैकेट में विभिन्न आवृत्तियों की एक श्रृंखला होती है (और इसलिए इसके विभिन्न मान $k$ ), समूह वेग $\partialω/\partialk$ के विभिन्न मूल्यों के लिए अलग होता है $k$ . इसलिए, लिफाफा एक ही वेग से नहीं चलता है, लेकिन इसके तरंग संख्या घटक ( $k$ ) लिफाफे को विकृत करते हुए, विभिन्न वेगों पर चलता है। यदि तरंग पैकेट में आवृत्तियों की एक संकीर्ण सीमा होती है, और $ω (k)$ उस संकीर्ण सीमा पर लगभग रैखिक होती है, छोटी अशुद्धता के संबंध में नाड़ी विरूपण छोटा होता है। उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण तरंगें के लिए, ${\textstyle \omega ={\sqrt {gk}}}$ , और इसलिए $v g = v p /2$ यह सभी जहाजों और तैरने वाली वस्तुओं की धनुष तरंग के लिए केल्विन वेक पैटर्न को रेखांकित करता है। यदि वे कितनी तेजी से आगे बढ़ रहे हों, जब तक उनका वेग स्थिर होता है, प्रत्येक तरफ वेकेशन यात्रा की रेखा के साथ 19.47° = आर्क्सिन (1/3) का कोण बनाता है।^[6]

व्युत्पत्ति

समूह वेग के सूत्र की एक व्युत्पत्ति इस प्रकार है।^[7]^[8]

स्थिति के कार्य के रूप में तरंग पैकेट पर विचार करता है $x$ और समय $t : α (x, t)$ .

होने देना $A (k)$ समय पर इसका फूरियर रूपांतरण होता है $t = 0$ ,

\alpha (x,0)=\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{ikx}.

सुपरपोज़िशन सिद्धांत द्वारा, किसी भी समय तरंग पैकेट $t$ है

\alpha (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(kx-\omega t)},

जहाँ $ω$ निहित रूप से एक कार्य है $k$ .

मान लीजिए कि तरंग पैकेट $α$ लगभग है, जिससे कि $A (k)$ एक केंद्रीय के आसपास तेजी से चरम पर होता है $k 0$ .

फिर, रैखिककरण देता है

\omega (k)\approx \omega _{0}+\left(k-k_{0}\right)\omega '_{0}

जहाँ

\omega _{0}=\omega (k_{0})

और

\omega '_{0}=\left.{\frac {\partial \omega (k)}{\partial k}}\right|_{k=k_{0}}

(इस चरण की चर्चा के लिए अगला भाग देखें)। फिर, कुछ बीजगणित के बाद देखें,

\alpha (x,t)=e^{i\left(k_{0}x-\omega _{0}t\right)}\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(k-k_{0})\left(x-\omega '_{0}t\right)}.

इस अभिव्यक्ति में दो कारक होते है। पहला कारक, $e^{i\left(k_{0}x-\omega _{0}t\right)}$ , तरंग वेक्टर के साथ एक परिपूर्ण मोनोक्रोमैटिक तरंग का वर्णन करता है $k 0$ , चोटियों और कुंडों के साथ चरण वेग से चलती है $\omega _{0}/k_{0}$ तरंग पैकेट के लिफाफे के भीतर होता है।

अन्य कारक,

\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(k-k_{0})\left(x-\omega '_{0}t\right)}

,

तरंग पैकेट का लिफाफा देता है। यह लिफाफा कार्य संयोजन के माध्यम से ही स्थिति और समय पर निर्भर करता है $(x-\omega '_{0}t)$ .

इसलिए, तरंग पैकेट का लिफाफा वेग से यात्रा करता है

\omega '_{0}=\left.{\frac {d\omega }{dk}}\right|_{k=k_{0}}~,

जो समूह वेग सूत्र की व्याख्या करता है।

फैलाव में उच्च-क्रम की शर्तें

गहरे पानी पर सतह गुरुत्वाकर्षण तरंगों के लिए उच्च-क्रम फैलाव प्रभाव द्वारा तरंग समूहों का विरूपण (साथ

v g = ½ v p

). यह तीन तरंग घटकों के सुपरपोज़िशन को दिखाता है—क्रमशः 22, 25 और 29 तरंग दैर्ध्य के साथ 2 किमी लंबाई के आवधिक फ़ंक्शन क्षैतिज डोमेन में फ़िट होता है। घटकों के तरंग आयाम क्रमशः 1, 2 और 1 मीटर है।

पिछली व्युत्पत्ति का एक भाग टेलर श्रृंखला है:

\omega (k)\approx \omega _{0}+(k-k_{0})\omega '_{0}(k_{0})

यदि तरंग पैकेट में अपेक्षाकृत बड़ी आवृत्ति फैलती है, या यदि फैलाव होता है $ω(k)$ में तीव्र विविधताएं होती है, या यदि पैकेट बहुत लंबी दूरी पर यात्रा करता है, तो यह धारणा मान्य नहीं होती है, और टेलर विस्तार में उच्च-क्रम की शर्तें महत्वपूर्ण हो जाती है।

परिणाम स्वरुप, तरंग पैकेट का लिफाफा न केवल चलता है, जबकि विकृत भी होता है, जिसे सामग्री के समूह वेग फैलाव द्वारा वर्णित किया जा सकता है। शिथिल रूप से, तरंग पैकेट के विभिन्न आवृत्ति-घटक अलग-अलग गति से यात्रा करते है, तेज़ घटक तरंग पैकेट के सामने की ओर बढ़ते है और धीमी गति से पीछे की ओर बढ़ते है। आखिरकार, तरंग पैकेट खिंच जाता है। प्रकाशित तंतु के माध्यम से सिग्नल के प्रसार और उच्च ऊर्जा, शॉर्ट-पल्स लेजर के डिजाइन में यह एक महत्वपूर्ण प्रभाव होता है।

इतिहास

एक तरंग के चरण वेग से भिन्न समूह तरंग का विचार सबसे पहले विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा प्रस्तावित किया गया था। डब्ल्यू.आर. हैमिल्टन द्वारा 1839 में किया गया था, और पहला पूर्ण उपचार 1877 में जॉन स्ट्रट, तीसरे बैरन रेले ने अपने थ्योरी ऑफ़ साउंड में किया था।^[9]

अन्य भाव

प्रकाश के लिए, अपवर्तक सूचकांक $n$ , वैक्यूम तरंग लेंथ $λ 0$ , और माध्यम में तरंग दैर्ध्य $λ$ , से संबंधित है

\lambda _{0}={\frac {2\pi c}{\omega }},\;\;\lambda ={\frac {2\pi }{k}}={\frac {2\pi v_{\rm {p}}}{\omega }},\;\;n={\frac {c}{v_{\rm {p}}}}={\frac {\lambda _{0}}{\lambda }},

साथ $v p = ω / k$ चरण वेग है।

समूह वेग, इसलिए, निम्नलिखित में से किसी भी सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है,

{\begin{aligned}v_{\rm {g}}&={\frac {c}{n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}}}={\frac {c}{n-\lambda _{0}{\frac {\partial n}{\partial \lambda _{0}}}}}\\&=v_{\rm {p}}\left(1+{\frac {\lambda }{n}}{\frac {\partial n}{\partial \lambda }}\right)=v_{\rm {p}}-\lambda {\frac {\partial v_{\rm {p}}}{\partial \lambda }}=v_{\rm {p}}+k{\frac {\partial v_{\rm {p}}}{\partial k}}.\end{aligned}}

तीन आयामों में

प्रकाश तरंगों, ध्वनि तरंगों और पदार्थ तरंगों जैसे तीन आयामों से यात्रा करने वाली तरंगों के लिए, चरण और समूह वेग के सूत्र सीधी विधि से सामान्यीकृत होते है:^[10]

एक आयाम: $v_{\rm {p}}=\omega /k,\quad v_{\rm {g}}={\frac {\partial \omega }{\partial k}},\,$
तीन आयाम: $(v_{\rm {p}})_{i}={\frac {\omega }{{k}_{i}}},\quad \mathbf {v} _{\rm {g}}={\vec {\nabla }}_{\mathbf {k} }\,\omega \,$

जहाँ

{\vec {\nabla }}_{\mathbf {k} }\,\omega

मतलब कोणीय आवृत्ति का ढाल

ω

तरंग वेक्टर के एक फंक्शन के रूप में

\mathbf {k}

, और

{\hat {\mathbf {k} }}

दिशा k में इकाई वेक्टर है।

यदि तरंगें एनिस्ट्रोपिक (अर्थात्, घूर्णी रूप से सममित नहीं) माध्यम से फैल रही होती है, उदाहरण के लिए एक क्रिस्टल, तो चरण वेग वेक्टर और समूह वेग वेक्टर अलग-अलग दिशाओं में इंगित कर सकते है।

हानिकारक या लाभकारी मीडिया में

समूह वेग को अधिकांशतः उस वेग के रूप में माना जाता है जिस पर एक तरंग के साथ ऊर्जा या सूचना का संचार होता है। ज्यादातर स्थितियों में यह त्रुटिहीन होता है, और समूह वेग को तरंग के संकेत वेग के रूप में माना जा सकता है। चूँकि, यदि तरंग एक अवशोषणशील या लाभकारी माध्यम से यात्रा करता है, तो यह हमेशा पकड़ में नहीं आता है। इन स्थितियों में समूह वेग एक परिभाषित मात्रा नहीं हो सकती है या सार्थक मात्रा नहीं हो सकती है।

अपने पाठ में "आवधिक संरचनाओं में तरंग प्रसार",^[11] लियोन ब्रिलौइन ने तर्क दिया कि एक अपव्यय माध्यम में समूह वेग का स्पष्ट भौतिक अर्थ नहीं रह जाता है। एक परमाणु गैस के माध्यम से विद्युत चुम्बकीय तरंगों के संचरण से संबंधित एक उदाहरण लाउडॉन द्वारा दिया गया है।^[12] एक अन्य उदाहरण सौर प्रकाशमंडल में यांत्रिक तरंगें है: तरंगें अवमंदित होती है, और उससे संबंधित, ऊर्जा वेग अधिकांशतः तरंगों के समूह वेग से अधिक कम होता है।^[13]

इस अस्पष्टता के अतिरिक्त, समूह वेग की अवधारणा को जटिल मीडिया तक विस्तारित करने का एक सामान्य विधि माध्यम के अंदर स्थानिक रूप से नम विमान तरंग समाधानों पर विचार करता है, जो एक जटिल-मूल्यवान तरंग वेक्टर द्वारा विशेषता होती है। फिर, तरंग वेक्टर के काल्पनिक भाग को मनमाने ढंग से छोड़ दिया जाता है और समूह वेग के लिए सामान्य सूत्र को तरंग वेक्टर के वास्तविक भाग पर लागू किया जाता है, अर्थात

v_{\rm {g}}=\left({\frac {\partial \left(\operatorname {Re} k\right)}{\partial \omega }}\right)^{-1}.

या, समतुल्य, जटिल अपवर्तक सूचकांक के वास्तविक भाग के संदर्भ में, $n = n + iκ$ , किसी के पास है^[14]

{\frac {c}{v_{\rm {g}}}}=n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}.

यह दिखाया जा सकता है कि समूह वेग का यह सामान्यीकरण एक तरंग पैकेट के शिखर की स्पष्ट गति से संबंधित है।^[15] उपरोक्त परिभाषा सार्वभौमिक नहीं है, चूंकि, वैकल्पिक रूप से कोई भी खड़ी तरंगों के समय को कम करने पर विचार करता है (वास्तविक $k$ , जटिल $ω$ ), या, समूह वेग को एक जटिल-मूल्यवान मात्रा होने देता है।^[16]^[17] अलग-अलग विचार अलग-अलग वेग उत्पन्न करते है, फिर भी दोषरहित, लाभहीन माध्यम के स्थिति में सभी परिभाषाएँ सहमत होती है।

जटिल मीडिया के लिए समूह वेग के उपरोक्त सामान्यीकरण अजीब तरह से व्यवहार करते है, और विषम फैलाव का एक अच्छा उदाहरण के रूप में कार्य करता है। विषम फैलाव के एक क्षेत्र के किनारों पर, $v_{\rm {g}}$ अनंत हो जाता है (निर्वात में प्रकाश की गति को भी पार कर जाता है), और $v_{\rm {g}}$ आसानी से नकारात्मक हो जाता है (इसका चिन्ह रे का विरोध करता है $k$ )।^[18]^[19]^[20]

सुपरल्यूमिनल समूह वेग

1980 के दशक के बाद से, विभिन्न प्रयोगों ने सत्यापित किया है कि हानिपूर्ण सामग्रियों, या लाभकारी सामग्रियों के माध्यम से भेजे गए लेज़र प्रकाश दालों के समूह वेग के लिए वैक्यूम में प्रकाश की गति से अधिक होना संभव होता है। $c$ . तरंग पैकेट्स की चोटियों को भी इससे तेज गति से चलते देखा गया है $c$ .

चूंकि, इन सभी स्थितियों में, इस बात की कोई संभावना नहीं होती है कि संकेतों को प्रकाश की तुलना में तेजी से ले जाया जा सकता है, क्योंकि उच्च मान है $v$ _$g$ तेज तरंगाग्र की वास्तविक गति को तेज करने में मदद नहीं करता है जो किसी भी वास्तविक संकेत की प्रारंभ में होता है। अनिवार्य रूप से प्रतीत होता है सुपरल्यूमिनल ट्रांसमिशन समूह वेग को परिभाषित करने के लिए ऊपर उपयोग किए जाने वाले संकीर्ण बैंड सन्निकटन का एक आर्टिफैक्ट है और मध्यवर्ती माध्यम में अनुनाद घटना के कारण होता है। एक व्यापक बैंड विश्लेषण में यह देखा गया है कि सिग्नल लिफाफे के प्रसार की स्पष्ट रूप से वास्तव में कई चक्रों पर आवृत्तियों के व्यापक बैंड के स्थानीय हस्तक्षेप का परिणाम होता है, जो सभी पूरी तरह से चरण वेग पर फैलते है। परिणाम इस तथ्य के समान यह है कि छाया प्रकाश की तुलना में तेजी से यात्रा करती है, चूँकि जिस घटना को मापा जाता है, वह केवल कार्य-कारण के साथ शिथिल रूप से जुड़ी हुई होती है, यह अनिवार्य रूप से कारण प्रसार के नियमों का सम्मान नहीं करती है, यदि वह सामान्य परिस्थितियों में ऐसा करती है तो एक सामान्य अंतर्ज्ञान की ओर ले जाती है।^[14]^[18]^[19]^[21]^[22]

यह भी देखें

लहर प्रसार
फैलाव (पानी की लहरें)
फैलाव (प्रकाशिकी)
तरंग प्रसार गति
समूह विलंब
समूह वेग फैलाव
समूह विलंब फैलाव
चरण विलंब
चरण वेग
सिग्नल वेग
धीमी रोशनी
अग्र वेग
मैटर वेव # ग्रुप वेलोसिटी
सॉलिटन

संदर्भ

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बाहरी संबंध

Greg Egan has an excellent Java applet on his web site that illustrates the apparent difference in group velocity from phase velocity.
Maarten Ambaum has a webpage with movie demonstrating the importance of group velocity to downstream development of weather systems.
Phase vs. Group Velocity – Various Phase- and Group-velocity relations (animation)

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[15] Morin, David (2009). "फैलाव" (PDF). people.fas.harvard.edu. Archived (PDF) from the original on 2012-05-21. Retrieved 2019-07-11.

[16] Muschietti, L.; Dum, C. T. (1993). "अपव्यय के साथ एक माध्यम में वास्तविक समूह वेग". Physics of Fluids B: Plasma Physics. 5 (5): 1383. Bibcode:1993PhFlB...5.1383M. doi:10.1063/1.860877.

[17] Gerasik, Vladimir; Stastna, Marek (2010). "मीडिया को अवशोषित करने में जटिल समूह वेग और ऊर्जा परिवहन". Physical Review E. 81 (5): 056602. Bibcode:2010PhRvE..81e6602G. doi:10.1103/PhysRevE.81.056602. PMID 20866345.

[DEWSL06-18] 18.0 ^18.1 Dolling, Gunnar; Enkrich, Christian; Wegener, Martin; Soukoulis, Costas M.; Linden, Stefan (2006), "Simultaneous Negative Phase and Group Velocity of Light in a Metamaterial", Science, 312 (5775): 892–894, Bibcode:2006Sci...312..892D, doi:10.1126/science.1126021, PMID 16690860, S2CID 29012046

[BLSB06-19] 19.0 ^19.1 Bigelow, Matthew S.; Lepeshkin, Nick N.; Shin, Heedeuk; Boyd, Robert W. (2006), "Propagation of a smooth and discontinuous pulses through materials with very large or very small group velocities", Journal of Physics: Condensed Matter, 18 (11): 3117–3126, Bibcode:2006JPCM...18.3117B, doi:10.1088/0953-8984/18/11/017, S2CID 38556364

[20] Withayachumnankul, W.; Fischer, B. M.; Ferguson, B.; Davis, B. R.; Abbott, D. (2010), "A Systemized View of Superluminal Wave Propagation", Proceedings of the IEEE, 98 (10): 1775–1786, doi:10.1109/JPROC.2010.2052910, S2CID 15100571

[GSBKB06-21] Gehring, George M.; Schweinsberg, Aaron; Barsi, Christopher; Kostinski, Natalie; Boyd, Robert W. (2006), "Observation of a Backward Pulse Propagation Through a Medium with a Negative Group Velocity", Science, 312 (5775): 895–897, Bibcode:2006Sci...312..895G, doi:10.1126/science.1124524, PMID 16690861, S2CID 28800603

[SLBBJ05-22] Schweinsberg, A.; Lepeshkin, N. N.; Bigelow, M.S.; Boyd, R. W.; Jarabo, S. (2005), "Observation of superluminal and slow light propagation in erbium-doped optical fiber" (PDF), Europhysics Letters, 73 (2): 218–224, Bibcode:2006EL.....73..218S, CiteSeerX 10.1.1.205.5564, doi:10.1209/epl/i2005-10371-0, S2CID 250852270

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 {{Short description|Physical quantity}}
 {{redirect-distinguish|तरंग समूह|तरंग पैकेट}}
-[[Image:Wave group.gif|frame|गहरे पानी की सतह पर [[गुरुत्वाकर्षण तरंग|गुरुत्वाकर्षण तरंगों]] के समूहों में आवृत्ति फैलाव। लाल वर्ग चरण वेग के साथ चलता है, और हरे वृत्त समूह वेग के साथ फैलते हैं। इस गहरे पानी के मामले में, चरण वेग समूह वेग का दोगुना है। आकृति के बाएँ से दाएँ जाने पर लाल वर्ग दो हरे वृत्तों से आगे निकल जाता है।
+[[Image:Wave group.gif|frame|गहरे पानी की सतह पर [[गुरुत्वाकर्षण तरंग|गुरुत्वाकर्षण तरंगों]] के समूहों में आवृत्ति फैलाव। लाल वर्ग चरण वेग के साथ चलता है, और हरे वृत्त समूह वेग के साथ फैलते है। इस गहरे पानी के स्थिति में, चरण वेग समूह वेग का दोगुना है। आकृति के बाएँ से दाएँ जाने पर लाल वर्ग दो हरे वृत्तों से आगे निकल जाता है।
-ऐसा लगता है कि नई तरंगें एक तरंग समूह के पीछे उभरती हैं, आयाम में तब तक बढ़ती हैं जब तक कि वे समूह के केंद्र में न हों, और लहर समूह के मोर्चे पर गायब हो जाती हैं।सतह गुरुत्वाकर्षण तरंगों के लिए, पानी के कण वेग ज्यादातर मामलों में चरण वेग से बहुत छोटे होते हैं।]]
+ऐसा लगता है कि नई तरंगें एक तरंग समूह के पीछे उभरती है, आयाम में तब तक बढ़ती है जब तक कि वे समूह के केंद्र में न हों, और तरंग समूह के मोर्चे पर गायब हो जाती है।सतह गुरुत्वाकर्षण तरंगों के लिए, पानी के कण वेग ज्यादातर स्थितियों में चरण वेग से बहुत छोटे होते है।]]
 [[File:Wave packet propagation (phase faster than group, nondispersive).gif|thumb|फैलाव के बिना समूह वेग से अधिक चरण वेग का प्रदर्शन करने वाले एक तरंग पैकेट का प्रचार।]]
 [[Image:Wave opposite-group-phase-velocity.gif|thumb|right|यह समूह वेग और चरण वेग के साथ एक तरंग को अलग-अलग दिशाओं में दिखाता है।<ref name=nemirovsky2012negative>{{cite journal
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   | pmid=22513601
   | doi-access=free
-  }}</ref> समूह वेग धनात्मक होता है (अर्थात, तरंग का आवरण (तरंगें) दायीं ओर चलती है), जबकि चरण वेग ऋणात्मक होता है (अर्थात, चोटियाँ और गर्त बाईं ओर चलती हैं)।]]एक तरंग का समूह [[लहर]]ग वह [[वेग]] है जिसके साथ तरंग के आयामों का समग्र लिफाफा आकार- जिसे तरंग के 'मॉड्यूलेशन' या 'लिफाफा (तरंगों)' के रूप में जाना जाता है-अंतरिक्ष के माध्यम से फैलता है।
+  }}</ref> समूह वेग धनात्मक होता है (अर्थात, तरंग का आवरण (तरंगें) दायीं ओर चलती है), जबकि चरण वेग ऋणात्मक होता है (अर्थात, चोटियाँ और गर्त बाईं ओर चलती है)।]]एक तरंग का '''समूह वेग''' वह [[वेग]] है जिसके साथ तरंग के आयाम का समग्र लिफाफा आकार- जिसे तरंग के मॉडुलन या लिफाफा के रूप में जाना जाता है-जगह के माध्यम से फैलता है।
-उदाहरण के लिए, यदि एक शांत तालाब के बीच में एक पत्थर फेंका जाता है, तो पानी में एक शांत केंद्र वाली तरंगों का एक गोलाकार पैटर्न दिखाई देता है, जिसे [[केशिका तरंग]] के रूप में भी जाना जाता है। तरंगों का बढ़ता हुआ वलय तरंग समूह है, जिसके भीतर एक व्यक्ति उन तरंगों को पहचान सकता है जो समूह की तुलना में पूरे समूह की तुलना में तेजी से यात्रा करती हैं। व्यक्तिगत तरंगों के आयाम बढ़ते हैं क्योंकि वे समूह के अनुगामी किनारे से निकलते हैं और जैसे-जैसे वे समूह के अग्रणी किनारे तक पहुँचते हैं, कम होते जाते हैं।
+उदाहरण के लिए, यदि एक शांत तालाब के बीच में एक पत्थर फेंका जाता है, तो पानी में एक शांत केंद्र वाली तरंगों का एक गोलाकार पैटर्न दिखाई देता है, जिसे [[केशिका तरंग]] के रूप में भी जाना जाता है। तरंगों का बढ़ता हुआ वलय तरंग समूह है, जिसके भीतर एक व्यक्ति उन तरंगों को पहचान सकता है जो पूरे समूह की तुलना में तेजी से यात्रा करता है। व्यक्तिगत तरंगों के आयाम बढ़ते है क्योंकि वे समूह के अनुगामी किनारे से निकलते है और जैसे-जैसे वे समूह के अग्रणी किनारे तक पहुँचते है, कम होते जाते है।
 == परिभाषा और व्याख्या ==
 === परिभाषा ===
-[[File:Wave packet.svg|thumb|{{legend-line|डोजरब्लू ठोस|ए [[वेव पैकेट]]।}}{{legend-line|red dashed|The ''envelope'' of the wave packet. The envelope moves at the group velocity.}}]]समूह वेग {{math|''v''<sub>g</sub>}} समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:<ref>{{Citation | publisher = Dover | isbn = 978-0-486-49556-9 | last = Brillouin | first = Léon | author-link = Léon Brillouin | title = Wave Propagation in Periodic Structures: Electric Filters and Crystal Lattices | year = 2003 | orig-year = 1946 | page=75 }}</ref><ref>{{Citation | publisher = Cambridge University Press | isbn = 978-0-521-01045-0 | last = Lighthill | first = James | author-link=James Lighthill | title = Waves in fluids | year = 2001 | orig-year=1978 | page=242 }}</ref><ref>{{harvtxt|Lighthill|1965}}</ref><ref>{{harvtxt|Hayes|1973}}</ref>
+[[File:Wave packet.svg|thumb|{{legend-line|डोजरब्लू ठोस|ए [[तरंग पैकेट]]।}}{{legend-line|लाल बिंदीदार|तरंग पैकेट का ''लिफाफा''। लिफाफा समूह वेग से चलता है।}}]]समूह वेग {{math|''v''<sub>g</sub>}} समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:<ref>{{Citation | publisher = Dover | isbn = 978-0-486-49556-9 | last = Brillouin | first = Léon | author-link = Léon Brillouin | title = Wave Propagation in Periodic Structures: Electric Filters and Crystal Lattices | year = 2003 | orig-year = 1946 | page=75 }}</ref><ref>{{Citation | publisher = Cambridge University Press | isbn = 978-0-521-01045-0 | last = Lighthill | first = James | author-link=James Lighthill | title = Waves in fluids | year = 2001 | orig-year=1978 | page=242 }}</ref><ref>{{harvtxt|Lighthill|1965}}</ref><ref>{{harvtxt|Hayes|1973}}</ref>
 :<math>v_{\rm g} \ \equiv\  \frac{\partial \omega}{\partial k}\,</math>
-कहाँ {{math|''ω''}} तरंग की [[कोणीय आवृत्ति]] है (आमतौर पर प्रति सेकंड रेडियन में व्यक्त की जाती है), और {{math|''k''}} [[कोणीय तरंग संख्या]] है (आमतौर पर प्रति मीटर रेडियन में व्यक्त)। चरण वेग है: {{math|''v''<sub>p</sub> {{=}} ''ω''/''k''}}.
+जहाँ {{math|''ω''}} तरंग की [[कोणीय आवृत्ति]] है (सामान्यतः पर प्रति सेकंड रेडियन में व्यक्त की जाती है), और {{math|''k''}} [[कोणीय तरंग संख्या]] है (सामान्यतः पर प्रति मीटर रेडियन में व्यक्त)। चरण वेग है: {{math|''v''<sub>p</sub> {{=}} ''ω''/''k''}}.
 [[समारोह (गणित)]] {{math|''ω''(''k'')}}, जो देता है {{math|''ω''}} के कार्य के रूप में {{math|''k''}}, [[फैलाव संबंध]] के रूप में जाना जाता है।
-* अगर  {{math|''ω''}} [[आनुपातिकता (गणित)]] है  {{math|''k''}}, तब समूह वेग ठीक चरण वेग के बराबर होता है। किसी भी आकार की तरंग इस वेग से बिना विकृत हुए यात्रा करेगी।
+* अगर {{math|''ω''}} [[आनुपातिकता (गणित)]] है {{math|''k''}}, तब समूह वेग ठीक चरण वेग के बराबर होता है। किसी भी आकार की तरंग इस वेग से बिना विकृत हुए यात्रा करता है।
-* यदि ω k का एक रैखिक फलन है, लेकिन सीधे आनुपातिक नहीं है {{math|(''ω'' {{=}} ''ak'' + ''b'')}}, तब समूह वेग और चरण वेग भिन्न होते हैं। एक तरंग पैकेट का लिफ़ाफ़ा (दाईं ओर आकृति देखें) समूह वेग से यात्रा करेगा, जबकि लिफाफे के भीतर अलग-अलग चोटियाँ और गर्त चरण वेग से आगे बढ़ेंगे।
+* यदि ω k का एक रैखिक फलन है, लेकिन सीधे आनुपातिक नहीं है {{math|(''ω'' {{=}} ''ak'' + ''b'')}}, तब समूह वेग और चरण वेग भिन्न होते है। एक तरंग पैकेट का लिफाफा समूह वेग से यात्रा करेगा, जबकि लिफाफे के भीतर अलग-अलग चोटियाँ और गर्त चरण वेग से आगे बढ़ता है।
-* अगर {{math|''ω''}} का एक रैखिक कार्य नहीं है {{math|''k''}}, तरंग पैकेट का लिफाफा यात्रा के दौरान विकृत हो जाएगा। चूंकि एक तरंग पैकेट में विभिन्न आवृत्तियों की एक श्रृंखला होती है (और इसलिए इसके विभिन्न मान {{math|''k''}}), समूह वेग {{math|''∂ω/∂k''}} के विभिन्न मूल्यों के लिए अलग होगा {{math|''k''}}. इसलिए, लिफाफा एक ही वेग से नहीं चलता है, लेकिन इसके तरंग संख्या घटक ({{math|''k''}}) लिफाफे को विकृत करते हुए, विभिन्न वेगों पर चलते हैं। यदि वेवपैकेट में आवृत्तियों की एक संकीर्ण सीमा होती है, और {{math|''ω''(''k'')}} उस संकीर्ण सीमा पर लगभग रैखिक है, छोटी अशुद्धता के संबंध में नाड़ी विरूपण छोटा होगा। आगे की चर्चा देखें # फैलाव में उच्च-क्रम की शर्तें। उदाहरण के लिए, ग्रेविटी वेव#डीप वॉटर [[ गुरुत्वाकर्षण तरंगें ]] के लिए, <math display="inline">\omega = \sqrt{gk}</math>, और इसलिए {{math|''v''<sub>g</sub> {{=}} ''v''<sub>p</sub> /2}}.{{paragraph}} यह सभी जहाजों और तैरने वाली वस्तुओं की धनुष लहर के लिए केल्विन वेक पैटर्न को रेखांकित करता है। भले ही वे कितनी तेजी से आगे बढ़ रहे हों, जब तक उनका वेग स्थिर है, प्रत्येक तरफ वेकेशन यात्रा की रेखा के साथ 19.47° = आर्क्सिन (1/3) का कोण बनाता है।<ref>G.B. Whitham (1974). ''Linear and Nonlinear Waves'' (John Wiley & Sons Inc., 1974) pp 409–410 [https://archive.org/details/LinearAndNonlinearWaves Online scan]</ref>
+* अगर {{math|''ω''}} का एक रैखिक कार्य नहीं है {{math|''k''}}, तरंग पैकेट का लिफाफा यात्रा के दौरान विकृत हो जाता है। चूंकि एक तरंग पैकेट में विभिन्न आवृत्तियों की एक श्रृंखला होती है (और इसलिए इसके विभिन्न मान {{math|''k''}}), समूह वेग {{math|''∂ω/∂k''}} के विभिन्न मूल्यों के लिए अलग होता है {{math|''k''}}. इसलिए, लिफाफा एक ही वेग से नहीं चलता है, लेकिन इसके तरंग संख्या घटक ({{math|''k''}}) लिफाफे को विकृत करते हुए, विभिन्न वेगों पर चलता है। यदि तरंग पैकेट में आवृत्तियों की एक संकीर्ण सीमा होती है, और {{math|''ω''(''k'')}} उस संकीर्ण सीमा पर लगभग रैखिक होती है, छोटी अशुद्धता के संबंध में नाड़ी विरूपण छोटा होता है। उदाहरण के लिए,[[ गुरुत्वाकर्षण तरंगें | गुरुत्वाकर्षण तरंगें]] के लिए, <math display="inline">\omega = \sqrt{gk}</math>, और इसलिए {{math|''v''<sub>g</sub> {{=}} ''v''<sub>p</sub> /2}} यह सभी जहाजों और तैरने वाली वस्तुओं की धनुष तरंग के लिए केल्विन वेक पैटर्न को रेखांकित करता है। यदि वे कितनी तेजी से आगे बढ़ रहे हों, जब तक उनका वेग स्थिर होता है, प्रत्येक तरफ वेकेशन यात्रा की रेखा के साथ 19.47° = आर्क्सिन (1/3) का कोण बनाता है।<ref>G.B. Whitham (1974). ''Linear and Nonlinear Waves'' (John Wiley & Sons Inc., 1974) pp 409–410 [https://archive.org/details/LinearAndNonlinearWaves Online scan]</ref>
-            {{Further|Airy wave theory#Table of wave quantities}}
+            {{Further|हवादार तरंग सिद्धांत#तरंग मात्राओं की तालिका}}
 === व्युत्पत्ति ===
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 | bibcode = 2001qmid.book.....F
   }}</ref>
-स्थिति के कार्य के रूप में तरंग पैकेट पर विचार करें {{math|''x''}} और समय {{math|''t'': ''α''(''x'',''t'')}}.
-होने देना {{math|''A''(''k'')}} समय पर इसका फूरियर रूपांतरण हो {{nowrap|{{math|''t'' {{=}} 0}}}},
+स्थिति के कार्य के रूप में तरंग पैकेट पर विचार करता है {{math|''x''}} और समय {{math|''t'': ''α''(''x'',''t'')}}.
+होने देना {{math|''A''(''k'')}} समय पर इसका फूरियर रूपांतरण होता है {{nowrap|{{math|''t'' {{=}} 0}}}},
 :<math> \alpha(x, 0) = \int_{-\infty}^\infty dk \, A(k) e^{ikx}.</math>
-सुपरपोज़िशन सिद्धांत द्वारा, किसी भी समय वेवपैकेट  {{math|''t''}} है
+सुपरपोज़िशन सिद्धांत द्वारा, किसी भी समय तरंग पैकेट {{math|''t''}} है
 :<math> \alpha(x, t) = \int_{-\infty}^\infty dk \, A(k) e^{i(kx - \omega t)},</math>
-कहाँ  {{math|''ω''}} निहित रूप से एक कार्य है  {{math|''k''}}.
+जहाँ {{math|''ω''}} निहित रूप से एक कार्य है {{math|''k''}}.
-मान लीजिए कि तरंग पैकेट  {{math|''α''}} लगभग [[एकरंगा]] है, ताकि  {{math|''A''(''k'')}} एक केंद्रीय [[yahoo]] के आसपास तेजी से चरम पर है  {{math|''k''<sub>0</sub>}}.
+मान लीजिए कि तरंग पैकेट {{math|''α''}} लगभग है, जिससे कि {{math|''A''(''k'')}} एक केंद्रीय के आसपास तेजी से चरम पर होता है {{math|''k''<sub>0</sub>}}.
 फिर, रैखिककरण देता है
 :<math>\omega(k) \approx \omega_0 + \left(k - k_0\right)\omega'_0</math>
-कहाँ
+जहाँ
-:<math>\omega_0 = \omega(k_0)</math> और <math>\omega'_0 = \left.\frac{\partial \omega(k)}{\partial k}\right|_{k=k_0}</math> (इस चरण की चर्चा के लिए अगला भाग देखें)। फिर, कुछ बीजगणित के बाद,
+:<math>\omega_0 = \omega(k_0)</math> और <math>\omega'_0 = \left.\frac{\partial \omega(k)}{\partial k}\right|_{k=k_0}</math>
+:(इस चरण की चर्चा के लिए अगला भाग देखें)। फिर, कुछ बीजगणित के बाद देखें,
 :<math> \alpha(x,t) = e^{i\left(k_0 x - \omega_0 t\right)}\int_{-\infty}^\infty dk \, A(k) e^{i(k - k_0)\left(x - \omega'_0 t\right)}.</math>
-इस अभिव्यक्ति में दो कारक हैं। पहला कारक, <math>e^{i\left(k_0 x - \omega_0 t\right)}</math>, वेववेक्टर के साथ एक परिपूर्ण मोनोक्रोमैटिक तरंग का वर्णन करता है  {{math|''k''<sub>0</sub>}}, चोटियों और कुंडों के साथ चरण वेग से चलती है <math>\omega_0/k_0</math> वेवपैकेट के लिफाफे के भीतर।
+इस अभिव्यक्ति में दो कारक होते है। पहला कारक, <math>e^{i\left(k_0 x - \omega_0 t\right)}</math>, तरंग वेक्टर के साथ एक परिपूर्ण मोनोक्रोमैटिक तरंग का वर्णन करता है {{math|''k''<sub>0</sub>}}, चोटियों और कुंडों के साथ चरण वेग से चलती है <math>\omega_0/k_0</math> तरंग पैकेट के लिफाफे के भीतर होता है।
 अन्य कारक,
 :<math>\int_{-\infty}^\infty dk \, A(k) e^{i(k - k_0)\left(x - \omega'_0 t\right)}</math>,
-वेवपैकेट का लिफाफा देता है। यह लिफाफा कार्य संयोजन के माध्यम से ही स्थिति और समय पर निर्भर करता है <math>(x - \omega'_0 t)</math>.
+तरंग पैकेट का लिफाफा देता है। यह लिफाफा कार्य संयोजन के माध्यम से ही स्थिति और समय पर निर्भर करता है <math>(x - \omega'_0 t)</math>.
-इसलिए, वेवपैकेट का लिफाफा वेग से यात्रा करता है
+इसलिए, तरंग पैकेट का लिफाफा वेग से यात्रा करता है
-:<math>\omega'_0 = \left.\frac{d\omega}{dk}\right|_{k=k_0}~,</math> जो समूह वेग सूत्र की व्याख्या करता है।
+:<math>\omega'_0 = \left.\frac{d\omega}{dk}\right|_{k=k_0}~,</math>
+:जो समूह वेग सूत्र की व्याख्या करता है।
 ==== फैलाव में उच्च-क्रम की शर्तें ====
-[[File:Wave disp.gif|thumb|388px|right|गहरे पानी पर सतह गुरुत्वाकर्षण तरंगों के लिए उच्च-क्रम फैलाव प्रभाव द्वारा तरंग समूहों का विरूपण (साथ {{math|''v''<sub>g</sub> {{=}} ½''v''<sub>p</sub>}}).{{paragraph}}
+[[File:Wave disp.gif|thumb|388px|right|गहरे पानी पर सतह गुरुत्वाकर्षण तरंगों के लिए उच्च-क्रम फैलाव प्रभाव द्वारा तरंग समूहों का विरूपण (साथ {{math|''v''<sub>g</sub> {{=}} ½''v''<sub>p</sub>}}).
-यह तीन तरंग घटकों के सुपरपोज़िशन को दिखाता है—क्रमशः 22, 25 और 29 तरंग दैर्ध्य के साथ 2 किमी लंबाई के आवधिक फ़ंक्शन क्षैतिज डोमेन में फ़िट होता है। घटकों के तरंग [[आयाम]] क्रमशः 1, 2 और 1 मीटर हैं।]]पिछली व्युत्पत्ति का एक भाग [[टेलर श्रृंखला]] है:
+यह तीन तरंग घटकों के सुपरपोज़िशन को दिखाता है—क्रमशः 22, 25 और 29 तरंग दैर्ध्य के साथ 2 किमी लंबाई के आवधिक फ़ंक्शन क्षैतिज डोमेन में फ़िट होता है। घटकों के तरंग [[आयाम]] क्रमशः 1, 2 और 1 मीटर है।]]पिछली व्युत्पत्ति का एक भाग [[टेलर श्रृंखला]] है:
 :<math>\omega(k) \approx \omega_0 + (k - k_0)\omega'_0(k_0)</math>
-यदि वेवपैकेट में अपेक्षाकृत बड़ी आवृत्ति फैलती है, या यदि फैलाव होता है {{math|''ω(k)''}} में तीव्र विविधताएं हैं (जैसे अनुनाद के कारण), या यदि पैकेट बहुत लंबी दूरी पर यात्रा करता है, तो यह धारणा मान्य नहीं है, और टेलर विस्तार में उच्च-क्रम की शर्तें महत्वपूर्ण हो जाती हैं।
+यदि तरंग पैकेट में अपेक्षाकृत बड़ी आवृत्ति फैलती है, या यदि फैलाव होता है {{math|''ω(k)''}} में तीव्र विविधताएं होती है, या यदि पैकेट बहुत लंबी दूरी पर यात्रा करता है, तो यह धारणा मान्य नहीं होती है, और टेलर विस्तार में उच्च-क्रम की शर्तें महत्वपूर्ण हो जाती है।
-नतीजतन, तरंग पैकेट का लिफाफा न केवल चलता है, बल्कि विकृत भी होता है, जिसे सामग्री के [[समूह वेग फैलाव]] द्वारा वर्णित किया जा सकता है। शिथिल रूप से, वेवपैकेट के विभिन्न आवृत्ति-घटक अलग-अलग गति से यात्रा करते हैं, तेज़ घटक वेवपैकेट के सामने की ओर बढ़ते हैं और धीमी गति से पीछे की ओर बढ़ते हैं। आखिरकार, वेव पैकेट खिंच जाता है। [[ प्रकाशित तंतु ]] के माध्यम से सिग्नल के प्रसार और उच्च शक्ति, शॉर्ट-पल्स लेजर के डिजाइन में यह एक महत्वपूर्ण प्रभाव है।
+परिणाम स्वरुप, तरंग पैकेट का लिफाफा न केवल चलता है, जबकि विकृत भी होता है, जिसे सामग्री के [[समूह वेग फैलाव]] द्वारा वर्णित किया जा सकता है। शिथिल रूप से, तरंग पैकेट के विभिन्न आवृत्ति-घटक अलग-अलग गति से यात्रा करते है, तेज़ घटक तरंग पैकेट के सामने की ओर बढ़ते है और धीमी गति से पीछे की ओर बढ़ते है। आखिरकार, तरंग पैकेट खिंच जाता है।[[ प्रकाशित तंतु | प्रकाशित तंतु]] के माध्यम से सिग्नल के प्रसार और उच्च ऊर्जा, शॉर्ट-पल्स लेजर के डिजाइन में यह एक महत्वपूर्ण प्रभाव होता है।
 === इतिहास ===
-एक लहर के चरण वेग से भिन्न समूह वेग का विचार सबसे पहले विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा प्रस्तावित किया गया था। डब्ल्यू.आर. हैमिल्टन द्वारा 1839 में किया गया था, और पहला पूर्ण उपचार 1877 में जॉन स्ट्रट, तीसरे बैरन रेले ने अपने थ्योरी ऑफ़ साउंड में किया था।<ref>{{Citation |last=Brillouin |first=Léon |title=Wave Propagation and Group Velocity |publisher=Academic Press Inc. |location=New York |year=1960 |oclc=537250}}</ref>
+एक तरंग के चरण वेग से भिन्न समूह तरंग का विचार सबसे पहले विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा प्रस्तावित किया गया था। डब्ल्यू.आर. हैमिल्टन द्वारा 1839 में किया गया था, और पहला पूर्ण उपचार 1877 में जॉन स्ट्रट, तीसरे बैरन रेले ने अपने थ्योरी ऑफ़ साउंड में किया था।<ref>{{Citation |last=Brillouin |first=Léon |title=Wave Propagation and Group Velocity |publisher=Academic Press Inc. |location=New York |year=1960 |oclc=537250}}</ref>
 === अन्य भाव ===
-प्रकाश के लिए, अपवर्तक सूचकांक {{math|''n''}}, वैक्यूम वेवलेंथ  {{math|''λ<sub>0</sub>''}}, और माध्यम में तरंग दैर्ध्य  {{math|''λ''}}, से संबंधित हैं
+प्रकाश के लिए, अपवर्तक सूचकांक {{math|''n''}}, वैक्यूम तरंग लेंथ {{math|''λ<sub>0</sub>''}}, और माध्यम में तरंग दैर्ध्य {{math|''λ''}}, से संबंधित है
 :<math>\lambda_0 = \frac{2\pi c}{\omega}, \;\; \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi v_{\rm p}}{\omega}, \;\; n = \frac{c}{v_{\rm p}} = \frac{\lambda_0}{\lambda},</math>
-साथ  {{math|''v''<sub>p</sub>&nbsp;{{=}}&nbsp;''ω''/''k''}} चरण वेग।
+साथ {{math|''v''<sub>p</sub>&nbsp;{{=}}&nbsp;''ω''/''k''}} चरण वेग है।
 समूह वेग, इसलिए, निम्नलिखित में से किसी भी सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है,
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         = v_{\rm p} - \lambda \frac{\partial v_{\rm p}}{\partial \lambda} = v_{\rm p} + k \frac{\partial v_{\rm p}}{\partial k}.
 \end{align}</math>
+== तीन आयामों में ==
+{{See also|समतल तरंग}}
+प्रकाश तरंगों, ध्वनि तरंगों और पदार्थ तरंगों जैसे तीन आयामों से यात्रा करने वाली तरंगों के लिए, चरण और समूह वेग के सूत्र सीधी विधि से सामान्यीकृत होते है:<ref>[https://books.google.com/books?id=cC0Kye7nHEEC&pg=PA239 Atmospheric and oceanic fluid dynamics: fundamentals and large-scale circulation, by Geoffrey K. Vallis, p239]</ref>
-== चरण वेग, अपवर्तक सूचकांक और संचरण गति से संबंध ==
-{{excerpt|Phase velocity|Group velocity}}
-{{excerpt|Phase velocity|Refractive index}}
-== तीन आयामों में ==
-{{See also|Plane wave}}
-प्रकाश तरंगों, ध्वनि तरंगों और पदार्थ तरंगों जैसे तीन आयामों से यात्रा करने वाली तरंगों के लिए, चरण और समूह वेग के सूत्र सीधे तरीके से सामान्यीकृत होते हैं:<ref>[https://books.google.com/books?id=cC0Kye7nHEEC&pg=PA239 Atmospheric and oceanic fluid dynamics: fundamentals and large-scale circulation, by Geoffrey K. Vallis, p239]</ref>
 * एक आयाम: <math>v_{\rm p} = \omega/k, \quad v_{\rm g} = \frac{\partial \omega}{\partial k}, \,</math>
 *तीन आयाम: <math>(v_{\rm p})_i = \frac{\omega}{{k}_i}, \quad \mathbf{v}_{\rm g} = \vec{\nabla}_{\mathbf{k}} \, \omega \,</math>
-कहाँ <math display="block">\vec{\nabla}_{\mathbf{k}} \, \omega</math> मतलब कोणीय आवृत्ति का ढाल {{mvar|ω}} वेव वेक्टर के एक फंक्शन के रूप में <math>\mathbf{k}</math>, और <math>\hat{\mathbf{k}}</math> दिशा k में [[इकाई वेक्टर]] है।
+जहाँ <math display="block">\vec{\nabla}_{\mathbf{k}} \, \omega</math> मतलब कोणीय आवृत्ति का ढाल {{mvar|ω}} तरंग वेक्टर के एक फंक्शन के रूप में <math>\mathbf{k}</math>, और <math>\hat{\mathbf{k}}</math> दिशा k में [[इकाई वेक्टर]] है।
-यदि तरंगें [[एनिस्ट्रोपिक]] (अर्थात्, घूर्णी रूप से सममित नहीं) माध्यम से फैल रही हैं, उदाहरण के लिए एक [[क्रिस्टल]], तो चरण वेग वेक्टर और समूह वेग वेक्टर अलग-अलग दिशाओं में इंगित कर सकते हैं।
+यदि तरंगें [[एनिस्ट्रोपिक]] (अर्थात्, घूर्णी रूप से सममित नहीं) माध्यम से फैल रही होती है, उदाहरण के लिए एक [[क्रिस्टल]], तो चरण वेग वेक्टर और समूह वेग वेक्टर अलग-अलग दिशाओं में इंगित कर सकते है।
 == हानिकारक या लाभकारी मीडिया में ==
-समूह वेग को अक्सर उस वेग के रूप में माना जाता है जिस पर एक तरंग के साथ [[ऊर्जा]] या सूचना का संचार होता है। ज्यादातर मामलों में यह सटीक है, और समूह वेग को तरंग के [[संकेत वेग]] के रूप में माना जा सकता है। हालाँकि, यदि तरंग एक अवशोषणशील या लाभकारी माध्यम से यात्रा कर रही है, तो यह हमेशा पकड़ में नहीं आता है। इन मामलों में समूह वेग एक अच्छी तरह से परिभाषित मात्रा नहीं हो सकता है या सार्थक मात्रा नहीं हो सकता है।
+समूह वेग को अधिकांशतः उस वेग के रूप में माना जाता है जिस पर एक तरंग के साथ [[ऊर्जा]] या सूचना का संचार होता है। ज्यादातर स्थितियों में यह त्रुटिहीन होता है, और समूह वेग को तरंग के [[संकेत वेग]] के रूप में माना जा सकता है। चूँकि, यदि तरंग एक अवशोषणशील या लाभकारी माध्यम से यात्रा करता है, तो यह हमेशा पकड़ में नहीं आता है। इन स्थितियों में समूह वेग एक परिभाषित मात्रा नहीं हो सकती है या सार्थक मात्रा नहीं हो सकती है।
-उनके पाठ में "आवधिक संरचनाओं में तरंग प्रसार",<ref>{{cite book |author=Brillouin, L. |title=आवधिक संरचनाओं में तरंग प्रसार|url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.166889 |publisher=McGraw Hill |place=New York |year=1946}}</ref> लियोन ब्रिलौइन ने तर्क दिया कि एक अपव्यय माध्यम में समूह वेग का स्पष्ट भौतिक अर्थ नहीं रह जाता है। एक परमाणु गैस के माध्यम से विद्युत चुम्बकीय तरंगों के संचरण से संबंधित एक उदाहरण लाउडॉन द्वारा दिया गया है।<ref>{{cite book |author=Loudon, R. |title=प्रकाश का क्वांटम सिद्धांत|publisher=Oxford |year=1973}}</ref> एक अन्य उदाहरण [[सौर प्रकाशमंडल]] में यांत्रिक तरंगें हैं: तरंगें अवमंदित होती हैं (शिखरों से गर्तों तक विकिरण ताप प्रवाह द्वारा), और उससे संबंधित, ऊर्जा वेग अक्सर तरंगों के समूह वेग से काफी कम होता है।<ref>{{cite journal |author=Worrall, G. |journal=Solar Physics |title=सौर वातावरण में मैकेनिकल-वेव एनर्जी के प्रवाह पर रेडिएटिव रिलैक्सेशन के प्रभाव पर|volume=279 |issue=1 |pages=43–52 |year=2012 |doi=10.1007/s11207-012-9982-z|bibcode = 2012SoPh..279...43W |s2cid=119595058 }}</ref>
+अपने पाठ में "आवधिक संरचनाओं में तरंग प्रसार",<ref>{{cite book |author=Brillouin, L. |title=आवधिक संरचनाओं में तरंग प्रसार|url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.166889 |publisher=McGraw Hill |place=New York |year=1946}}</ref> लियोन ब्रिलौइन ने तर्क दिया कि एक अपव्यय माध्यम में समूह वेग का स्पष्ट भौतिक अर्थ नहीं रह जाता है। एक परमाणु गैस के माध्यम से विद्युत चुम्बकीय तरंगों के संचरण से संबंधित एक उदाहरण लाउडॉन द्वारा दिया गया है।<ref>{{cite book |author=Loudon, R. |title=प्रकाश का क्वांटम सिद्धांत|publisher=Oxford |year=1973}}</ref> एक अन्य उदाहरण [[सौर प्रकाशमंडल]] में यांत्रिक तरंगें है: तरंगें अवमंदित होती है, और उससे संबंधित, ऊर्जा वेग अधिकांशतः तरंगों के समूह वेग से अधिक कम होता है।<ref>{{cite journal |author=Worrall, G. |journal=Solar Physics |title=सौर वातावरण में मैकेनिकल-वेव एनर्जी के प्रवाह पर रेडिएटिव रिलैक्सेशन के प्रभाव पर|volume=279 |issue=1 |pages=43–52 |year=2012 |doi=10.1007/s11207-012-9982-z|bibcode = 2012SoPh..279...43W |s2cid=119595058 }}</ref>
-इस अस्पष्टता के बावजूद, समूह वेग की अवधारणा को जटिल मीडिया तक विस्तारित करने का एक सामान्य तरीका माध्यम के अंदर स्थानिक रूप से नम विमान तरंग समाधानों पर विचार करना है, जो एक जटिल-मूल्यवान वेववेक्टर द्वारा विशेषता है। फिर, वेववेक्टर के काल्पनिक भाग को मनमाने ढंग से छोड़ दिया जाता है और समूह वेग के लिए सामान्य सूत्र को वेववेक्टर के वास्तविक भाग पर लागू किया जाता है, अर्थात।
+इस अस्पष्टता के अतिरिक्त, समूह वेग की अवधारणा को जटिल मीडिया तक विस्तारित करने का एक सामान्य विधि माध्यम के अंदर स्थानिक रूप से नम विमान तरंग समाधानों पर विचार करता है, जो एक जटिल-मूल्यवान तरंग वेक्टर द्वारा विशेषता होती है। फिर, तरंग वेक्टर के काल्पनिक भाग को मनमाने ढंग से छोड़ दिया जाता है और समूह वेग के लिए सामान्य सूत्र को तरंग वेक्टर के वास्तविक भाग पर लागू किया जाता है, अर्थात
 :<math>v_{\rm g} = \left(\frac{\partial \left(\operatorname{Re} k\right)}{\partial \omega}\right)^{-1} .</math>
-या, समतुल्य, जटिल [[अपवर्तक सूचकांक]] के वास्तविक भाग के संदर्भ में, {{math|1=<u>''n''</u> = ''n'' + ''iκ''}}, किसी के पास<ref name=Boyd1170885>{{Cite journal |pmid = 19965419| year = 2009 |last1 = Boyd| first1 = R. W. |title = प्रकाश दालों के वेग को नियंत्रित करना|journal = Science |volume = 326| issue = 5956 |pages = 1074–7 |last2 = Gauthier |first2 = D. J. |doi = 10.1126/science.1170885 |bibcode = 2009Sci...326.1074B |url = http://www.phy.duke.edu/~qelectron/pubs/Science326_1074_2009.pdf |citeseerx = 10.1.1.630.2223 |s2cid = 2370109}}</ref>
+या, समतुल्य, जटिल [[अपवर्तक सूचकांक]] के वास्तविक भाग के संदर्भ में, {{math|1=<u>''n''</u> = ''n'' + ''iκ''}}, किसी के पास है<ref name="Boyd1170885">{{Cite journal |pmid = 19965419| year = 2009 |last1 = Boyd| first1 = R. W. |title = प्रकाश दालों के वेग को नियंत्रित करना|journal = Science |volume = 326| issue = 5956 |pages = 1074–7 |last2 = Gauthier |first2 = D. J. |doi = 10.1126/science.1170885 |bibcode = 2009Sci...326.1074B |url = http://www.phy.duke.edu/~qelectron/pubs/Science326_1074_2009.pdf |citeseerx = 10.1.1.630.2223 |s2cid = 2370109}}</ref>
 :<math>\frac{c}{v_{\rm g}} = n + \omega \frac{\partial n}{\partial \omega} .</math>
-यह दिखाया जा सकता है कि समूह वेग का यह सामान्यीकरण एक वेवपैकेट के शिखर की स्पष्ट गति से संबंधित है।<ref>{{cite web |title=फैलाव|url=http://www.people.fas.harvard.edu/~djmorin/waves/dispersion.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20120521232240/http://www.people.fas.harvard.edu/~djmorin/waves/dispersion.pdf |archive-date=2012-05-21 |url-status=live |website=people.fas.harvard.edu |first=David |last=Morin |date=2009 |access-date=2019-07-11}}</ref> उपरोक्त परिभाषा सार्वभौमिक नहीं है, हालांकि: वैकल्पिक रूप से कोई भी खड़ी तरंगों के समय को कम करने पर विचार कर सकता है (वास्तविक {{mvar|k}}, जटिल {{mvar|ω}}), या, समूह वेग को एक जटिल-मूल्यवान मात्रा होने दें।<ref>{{cite journal |doi=10.1063/1.860877 |title=अपव्यय के साथ एक माध्यम में वास्तविक समूह वेग|journal=Physics of Fluids B: Plasma Physics |volume=5 |issue=5 |pages=1383 |year=1993 |last1=Muschietti |first1=L. |last2=Dum |first2=C. T. |bibcode = 1993PhFlB...5.1383M }}</ref><ref>{{cite journal |doi=10.1103/PhysRevE.81.056602 |pmid=20866345 |title=मीडिया को अवशोषित करने में जटिल समूह वेग और ऊर्जा परिवहन|journal=Physical Review E |volume=81 |issue=5 |pages=056602 |year=2010 |last1=Gerasik |first1=Vladimir |last2=Stastna |first2=Marek |bibcode = 2010PhRvE..81e6602G }}</ref> अलग-अलग विचार अलग-अलग वेग उत्पन्न करते हैं, फिर भी दोषरहित, लाभहीन माध्यम के मामले में सभी परिभाषाएँ सहमत हैं।
+यह दिखाया जा सकता है कि समूह वेग का यह सामान्यीकरण एक तरंग पैकेट के शिखर की स्पष्ट गति से संबंधित है।<ref>{{cite web |title=फैलाव|url=http://www.people.fas.harvard.edu/~djmorin/waves/dispersion.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20120521232240/http://www.people.fas.harvard.edu/~djmorin/waves/dispersion.pdf |archive-date=2012-05-21 |url-status=live |website=people.fas.harvard.edu |first=David |last=Morin |date=2009 |access-date=2019-07-11}}</ref> उपरोक्त परिभाषा सार्वभौमिक नहीं है, चूंकि, वैकल्पिक रूप से कोई भी खड़ी तरंगों के समय को कम करने पर विचार करता है (वास्तविक {{mvar|k}}, जटिल {{mvar|ω}}), या, समूह वेग को एक जटिल-मूल्यवान मात्रा होने देता है।<ref>{{cite journal |doi=10.1063/1.860877 |title=अपव्यय के साथ एक माध्यम में वास्तविक समूह वेग|journal=Physics of Fluids B: Plasma Physics |volume=5 |issue=5 |pages=1383 |year=1993 |last1=Muschietti |first1=L. |last2=Dum |first2=C. T. |bibcode = 1993PhFlB...5.1383M }}</ref><ref>{{cite journal |doi=10.1103/PhysRevE.81.056602 |pmid=20866345 |title=मीडिया को अवशोषित करने में जटिल समूह वेग और ऊर्जा परिवहन|journal=Physical Review E |volume=81 |issue=5 |pages=056602 |year=2010 |last1=Gerasik |first1=Vladimir |last2=Stastna |first2=Marek |bibcode = 2010PhRvE..81e6602G }}</ref> अलग-अलग विचार अलग-अलग वेग उत्पन्न करते है, फिर भी दोषरहित, लाभहीन माध्यम के स्थिति में सभी परिभाषाएँ सहमत होती है।
-जटिल मीडिया के लिए समूह वेग के उपरोक्त सामान्यीकरण अजीब तरह से व्यवहार कर सकते हैं, और [[विषम फैलाव]] का उदाहरण एक अच्छा उदाहरण के रूप में कार्य करता है।
-विषम फैलाव के एक क्षेत्र के किनारों पर, <math>v_{\rm g}</math> अनंत हो जाता है (निर्वात में [[प्रकाश की गति]] को भी पार कर जाता है), और <math>v_{\rm g}</math> आसानी से नकारात्मक हो सकता है
-(इसका चिन्ह रे का विरोध करता है{{mvar|k}}) विषम फैलाव के बैंड के अंदर।<ref name="DEWSL06"/><ref name="BLSB06"/><ref>{{Citation |doi=10.1109/JPROC.2010.2052910 |volume=98 |issue=10 |pages=1775–1786 |last1=Withayachumnankul |first1=W. |first2=B. M. |last2=Fischer |first3=B. |last3=Ferguson |first4=B. R. |last4=Davis |first5=D. |last5=Abbott |title=A Systemized View of Superluminal Wave Propagation |journal=Proceedings of the IEEE | year=2010|s2cid=15100571 }}</ref>
+जटिल मीडिया के लिए समूह वेग के उपरोक्त सामान्यीकरण अजीब तरह से व्यवहार करते है, और [[विषम फैलाव]] का एक अच्छा उदाहरण के रूप में कार्य करता है। विषम फैलाव के एक क्षेत्र के किनारों पर, <math>v_{\rm g}</math> अनंत हो जाता है (निर्वात में [[प्रकाश की गति]] को भी पार कर जाता है), और <math>v_{\rm g}</math> आसानी से नकारात्मक हो जाता है (इसका चिन्ह रे का विरोध करता है {{mvar|k}})।<ref name="DEWSL06" /><ref name="BLSB06" /><ref>{{Citation |doi=10.1109/JPROC.2010.2052910 |volume=98 |issue=10 |pages=1775–1786 |last1=Withayachumnankul |first1=W. |first2=B. M. |last2=Fischer |first3=B. |last3=Ferguson |first4=B. R. |last4=Davis |first5=D. |last5=Abbott |title=A Systemized View of Superluminal Wave Propagation |journal=Proceedings of the IEEE | year=2010|s2cid=15100571 }}</ref>
 === सुपरल्यूमिनल समूह वेग ===
-के दशक के बाद से, विभिन्न प्रयोगों ने सत्यापित किया है कि हानिपूर्ण सामग्रियों, या लाभकारी सामग्रियों के माध्यम से भेजे गए [[ लेज़र ]] प्रकाश दालों के समूह वेग (जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है) के लिए वैक्यूम में प्रकाश की गति से काफी अधिक होना संभव है। {{mvar|c}}. वेवपैकेट्स की चोटियों को भी इससे तेज गति से चलते देखा गया {{mvar|c}}.
+के दशक के बाद से, विभिन्न प्रयोगों ने सत्यापित किया है कि हानिपूर्ण सामग्रियों, या लाभकारी सामग्रियों के माध्यम से भेजे गए [[ लेज़र |लेज़र]] प्रकाश दालों के समूह वेग के लिए वैक्यूम में प्रकाश की गति से अधिक होना संभव होता है। {{mvar|c}}. तरंग पैकेट्स की चोटियों को भी इससे तेज गति से चलते देखा गया है {{mvar|c}}.
-हालांकि, इन सभी मामलों में, इस बात की कोई संभावना नहीं है कि संकेतों को प्रकाश की तुलना में तेजी से ले जाया जा सकता है, क्योंकि उच्च मान है {{mvar|v}}<sub>{{mvar|g}}</sub> तेज तरंगाग्र की वास्तविक गति को तेज करने में मदद नहीं करता है जो किसी भी वास्तविक संकेत की शुरुआत में होता है। अनिवार्य रूप से प्रतीत होता है सुपरल्यूमिनल ट्रांसमिशन समूह वेग को परिभाषित करने के लिए ऊपर उपयोग किए जाने वाले संकीर्ण बैंड सन्निकटन का एक आर्टिफैक्ट है और मध्यवर्ती माध्यम में अनुनाद घटना के कारण होता है। एक व्यापक बैंड विश्लेषण में यह देखा गया है कि सिग्नल लिफाफे के प्रसार की स्पष्ट रूप से विरोधाभासी गति वास्तव में कई चक्रों पर आवृत्तियों के व्यापक बैंड के स्थानीय हस्तक्षेप का परिणाम है, जो सभी पूरी तरह से यथोचित और चरण वेग पर फैलते हैं। परिणाम इस तथ्य के समान है कि छाया प्रकाश की तुलना में तेजी से यात्रा कर सकती है, भले ही उन्हें पैदा करने वाला प्रकाश हमेशा प्रकाश की गति से फैलता हो; चूँकि जिस घटना को मापा जा रहा है, वह केवल कार्य-कारण के साथ शिथिल रूप से जुड़ी हुई है, यह अनिवार्य रूप से कारण प्रसार के नियमों का सम्मान नहीं करती है, भले ही वह सामान्य परिस्थितियों में ऐसा करती हो और एक सामान्य अंतर्ज्ञान की ओर ले जाती हो।<ref name=Boyd1170885/><ref name="DEWSL06">{{Citation |first1=Gunnar |last1=Dolling |first2=Christian |last2=Enkrich |first3=Martin |last3=Wegener |first4=Costas M. |last4=Soukoulis |first5=Stefan |last5=Linden |title=Simultaneous Negative Phase and Group Velocity of Light in a Metamaterial |journal=Science |volume=312 |pages=892–894 |year=2006 |doi=10.1126/science.1126021 |pmid=16690860 |issue=5775 |bibcode = 2006Sci...312..892D |s2cid=29012046 |url=https://publikationen.bibliothek.kit.edu/1000010972/901157 }}</ref><ref name="BLSB06">{{Citation |first1=Matthew S. |last1=Bigelow |first2=Nick N. |last2=Lepeshkin |first3=Heedeuk |last3=Shin |first4=Robert W. |last4=Boyd |title=Propagation of a smooth and discontinuous pulses through materials with very large or very small group velocities |journal=Journal of Physics: Condensed Matter |volume=18 |pages=3117–3126 |year=2006 |doi=10.1088/0953-8984/18/11/017 |issue=11 |bibcode = 2006JPCM...18.3117B |s2cid=38556364 }}</ref><ref name="GSBKB06">{{Citation |first1=George M. |last1=Gehring |first2=Aaron |last2=Schweinsberg |first3=Christopher |last3=Barsi |first4=Natalie |last4=Kostinski |first5=Robert W. |last5=Boyd |title=Observation of a Backward Pulse Propagation Through a Medium with a Negative Group Velocity |journal=Science |volume=312 |pages=895–897 |year=2006 |doi=10.1126/science.1124524 |pmid=16690861 |issue=5775 |bibcode = 2006Sci...312..895G |s2cid=28800603 }}</ref><ref name="SLBBJ05">{{Citation |first1=A. |last1=Schweinsberg |first2=N. N. |last2=Lepeshkin |first3=M.S. |last3=Bigelow |first4=R. W. |last4=Boyd |first5=S. |last5=Jarabo |title=Observation of superluminal and slow light propagation in erbium-doped optical fiber |journal=Europhysics Letters |volume=73 |issue=2 |pages=218–224 |year=2005 |doi=10.1209/epl/i2005-10371-0 |bibcode = 2006EL.....73..218S |url=http://www.hep.princeton.edu/%7Emcdonald/examples/optics/schweinsberg_epl_73_218_06.pdf |citeseerx=10.1.1.205.5564 |s2cid=250852270 }}</ref>
+चूंकि, इन सभी स्थितियों में, इस बात की कोई संभावना नहीं होती है कि संकेतों को प्रकाश की तुलना में तेजी से ले जाया जा सकता है, क्योंकि उच्च मान है {{mvar|v}}<sub>{{mvar|g}}</sub> तेज तरंगाग्र की वास्तविक गति को तेज करने में मदद नहीं करता है जो किसी भी वास्तविक संकेत की प्रारंभ में होता है। अनिवार्य रूप से प्रतीत होता है सुपरल्यूमिनल ट्रांसमिशन समूह वेग को परिभाषित करने के लिए ऊपर उपयोग किए जाने वाले संकीर्ण बैंड सन्निकटन का एक आर्टिफैक्ट है और मध्यवर्ती माध्यम में अनुनाद घटना के कारण होता है। एक व्यापक बैंड विश्लेषण में यह देखा गया है कि सिग्नल लिफाफे के प्रसार की स्पष्ट रूप से वास्तव में कई चक्रों पर आवृत्तियों के व्यापक बैंड के स्थानीय हस्तक्षेप का परिणाम होता है, जो सभी पूरी तरह से चरण वेग पर फैलते है। परिणाम इस तथ्य के समान यह है कि छाया प्रकाश की तुलना में तेजी से यात्रा करती है, चूँकि जिस घटना को मापा जाता है, वह केवल कार्य-कारण के साथ शिथिल रूप से जुड़ी हुई होती है, यह अनिवार्य रूप से कारण प्रसार के नियमों का सम्मान नहीं करती है, यदि वह सामान्य परिस्थितियों में ऐसा करती है तो एक सामान्य अंतर्ज्ञान की ओर ले जाती है।<ref name=Boyd1170885/><ref name="DEWSL06">{{Citation |first1=Gunnar |last1=Dolling |first2=Christian |last2=Enkrich |first3=Martin |last3=Wegener |first4=Costas M. |last4=Soukoulis |first5=Stefan |last5=Linden |title=Simultaneous Negative Phase and Group Velocity of Light in a Metamaterial |journal=Science |volume=312 |pages=892–894 |year=2006 |doi=10.1126/science.1126021 |pmid=16690860 |issue=5775 |bibcode = 2006Sci...312..892D |s2cid=29012046 |url=https://publikationen.bibliothek.kit.edu/1000010972/901157 }}</ref><ref name="BLSB06">{{Citation |first1=Matthew S. |last1=Bigelow |first2=Nick N. |last2=Lepeshkin |first3=Heedeuk |last3=Shin |first4=Robert W. |last4=Boyd |title=Propagation of a smooth and discontinuous pulses through materials with very large or very small group velocities |journal=Journal of Physics: Condensed Matter |volume=18 |pages=3117–3126 |year=2006 |doi=10.1088/0953-8984/18/11/017 |issue=11 |bibcode = 2006JPCM...18.3117B |s2cid=38556364 }}</ref><ref name="GSBKB06">{{Citation |first1=George M. |last1=Gehring |first2=Aaron |last2=Schweinsberg |first3=Christopher |last3=Barsi |first4=Natalie |last4=Kostinski |first5=Robert W. |last5=Boyd |title=Observation of a Backward Pulse Propagation Through a Medium with a Negative Group Velocity |journal=Science |volume=312 |pages=895–897 |year=2006 |doi=10.1126/science.1124524 |pmid=16690861 |issue=5775 |bibcode = 2006Sci...312..895G |s2cid=28800603 }}</ref><ref name="SLBBJ05">{{Citation |first1=A. |last1=Schweinsberg |first2=N. N. |last2=Lepeshkin |first3=M.S. |last3=Bigelow |first4=R. W. |last4=Boyd |first5=S. |last5=Jarabo |title=Observation of superluminal and slow light propagation in erbium-doped optical fiber |journal=Europhysics Letters |volume=73 |issue=2 |pages=218–224 |year=2005 |doi=10.1209/epl/i2005-10371-0 |bibcode = 2006EL.....73..218S |url=http://www.hep.princeton.edu/%7Emcdonald/examples/optics/schweinsberg_epl_73_218_06.pdf |citeseerx=10.1.1.205.5564 |s2cid=250852270 }}</ref>
 == यह भी देखें ==
 {{div col|colwidth=22em}}
@@ Line 268: / Line 260: @@
 * [[Greg Egan]] has an excellent Java applet on [https://web.archive.org/web/20050615174625/http://gregegan.customer.netspace.net.au/APPLETS/20/20.html his web site] that illustrates the apparent difference in group velocity from [[phase velocity]].
 * Maarten Ambaum has a [http://www.met.rdg.ac.uk/~sws97mha/Downstream/ webpage with movie] demonstrating the importance of group velocity to downstream development of weather systems.
-* [https://web.archive.org/web/20200418070125/http://www.engineeredmiracle.com/fady/GroupAndPhaseVelocities/ Phase vs. Group Velocity ] – Various Phase- and Group-velocity relations (animation)
+* [https://web.archive.org/web/20200418070125/http://www.engineeredmiracle.com/fady/GroupAndPhaseVelocities/ Phase vs. Group Velocity] – Various Phase- and Group-velocity relations (animation)
 {{Velocities of Waves}}
 {{Authority control}}
-{{DEFAULTSORT:Group Velocity}}[[Category: रेडियो आवृत्ति प्रसार]] [[Category: प्रकाशिकी]] [[Category: तरंग यांत्रिकी]] [[Category: भौतिक मात्रा]] [[Category: गणितीय भौतिकी]]
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