यूलर लाइन: Difference between revisions

Latest revision as of 17:22, 17 April 2023

नौ-बिंदु वृत्त के केंद्र के साथ यूलर की रेखा

मध्यिका (केंद्रक पर प्रतिच्छेद करती है)

ऊंचाई (ऑर्थो-केंद्र पर प्रतिच्छेद करती है)

पार्श्व मध्यबिंदुओं से लंबवत रेखाएं (परिकेंद्र पर प्रतिच्छेद करती हैं)

ज्यामिति में, लियोनहार्ड यूलर (/ɔɪlər/) के नाम पर यूलर रेखा, किसी भी त्रिभुज से निर्धारित रेखा है जो समबाहु नहीं है। यह त्रिभुज की एक केंद्रीय रेखा है, और यह त्रिभुज से निर्धारित कई महत्वपूर्ण बिंदुओं से होकर गुजरती है, जिसमें लंब-केंद्र, परिकेन्द्र, केन्द्रक, एक्सेटर बिंदु और त्रिभुज के नौ-बिंदु वृत्त का केंद्र सम्मिलित है।^[1]

त्रिभुज यूलर रेखा की अवधारणा अन्य आकृतियों की यूलर रेखा जैसे चतुर्भुज और चतुष्फलक तक विस्तृत हुई है।

यूलर रेखा पर त्रिभुज केंद्र

व्यक्तिगत केंद्र

यूलर ने 1765 में दिखाया कि किसी भी त्रिभुज में, लंबकेन्द्र, परिकेन्द्र और केन्द्रक रेखा (ज्यामिति) होते हैं।^[2] यह गुण एक अन्य त्रिभुज केंद्र, नौ-बिंदु केंद्र के लिए भी सही है, हालांकि इसे यूलर के समय में परिभाषित नहीं किया गया था। समबाहु त्रिभुजों में, ये चार बिंदु संपाती होते हैं, लेकिन किसी अन्य त्रिभुज में वे सभी एक दूसरे से भिन्न होते हैं, और यूलर रेखा उनमें से किन्हीं दो द्वारा निर्धारित की जाती है।

अन्य उल्लेखनीय बिंदु जो यूलर रेखा पर स्थित हैं, उनमें डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु, शिफलर बिंदु, एक्सेटर बिंदु और गोस्सार्ड परिप्रेक्ष्य सम्मिलित हैं।^[1] हालांकि, अंत:केंद्र सामान्य रूप से यूलर रेखा पर स्थित नहीं होता है;^[3] यह यूलर रेखा पर केवल समद्विबाहु त्रिभुजों के लिए है,^[4] जिसके लिए यूलर रेखा त्रिभुज की सममिति अक्ष के साथ मिलती है और इसमें सभी त्रिभुज केंद्र होते हैं।

एक संदर्भ त्रिभुज का स्पर्शरेखा त्रिभुज, संदर्भ त्रिभुज के शीर्ष पर बाद वाले परिवृत्त पर स्पर्शरेखा है। स्पर्शरेखा त्रिभुज का परिकेंद्र संदर्भ त्रिभुज की यूलर रेखा पर स्थित है।^[5]^{: p. 447} ^[6]^{: p.104, #211, p.242, #346} ओर्थिक त्रिभुज और स्पर्शरेखा त्रिभुजों की समरूपता का केंद्र भी यूलर रेखा पर है।^[5]^{: p. 447}^[6]^{: p. 102}

वेक्टर प्रमाण

होने देना $ABC$ एक त्रिकोण है। इस तथ्य का प्रमाण कि परिकेन्द्र $O$ , केन्द्रक $G$ और लंबकेन्द्र $H$ समरेख हैं, मुक्त वेक्टरों पर निर्भर करता है। हम पूर्वापेक्षाएँ बताते हुए प्रारंभ करते हैं। सबसे पहले $G$ संबंध को संतुष्ट करता है

{\vec {GA}}+{\vec {GB}}+{\vec {GC}}=0.

यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि $G$ के निरपेक्ष बैरेंट्रिक निर्देशांक ${\frac {1}{3}}:{\frac {1}{3}}:{\frac {1}{3}}$ इसके अतिरिक्त, सिल्वेस्टर की त्रिकोण समस्या^[7] को इस रूप में पढ़ा जाता है

{\vec {OH}}={\vec {OA}}+{\vec {OB}}+{\vec {OC}}.

अब, वेक्टर योग का उपयोग करके, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं

{\vec {GO}}={\vec {GA}}+{\vec {AO}}\,{\mbox{(in triangle }}AGO{\mbox{)}},\,{\vec {GO}}={\vec {GB}}+{\vec {BO}}\,{\mbox{(in triangle }}BGO{\mbox{)}},\,{\vec {GO}}={\vec {GC}}+{\vec {CO}}\,{\mbox{(in triangle }}CGO{\mbox{)}}.

इन तीन संबंधों को, पद दर पद जोड़कर, हम वह प्राप्त करते हैं

3\cdot {\vec {GO}}=\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {GA}}\right)+\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {AO}}\right)=0-\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {OA}}\right)=-{\vec {OH}}.

निष्कर्ष में, $3\cdot {\vec {OG}}={\vec {OH}}$ , और इसलिए तीन बिंदु $O$ , $G$ और $H$ (इस क्रम में) संरेख हैं।

डोरी की पुस्तक में,^[7] यूलर रेखा और सिल्वेस्टर की त्रिभुज समस्या को एक साथ समान प्रमाण में रखा गया है। हालांकि, सिल्वेस्टर की समस्या के अधिकांश प्रमाण यूलर रेखा से स्वतंत्र, मुक्त वेक्टरों के मौलिक गुणों पर निर्भर करते हैं।

केंद्रों के बीच की दूरी

यूलर रेखा पर केन्द्रक G, परिकेन्द्र O और लंबकेन्द्र H के बीच में है और यह परिकेन्द्र से जितनी दूर है, उतनी ही लंबकेन्द्र से दुगुनी दूरी पर है:^[6]^: p.102

GH=2GO;

OH=3GO.

खंड GH लंब-केन्द्रीय वृत्त का एक व्यास है।

नौ-बिंदु वृत्त का केंद्र N लंब-केंद्र और परिधि के बीच यूलर रेखा के मध्य में स्थित है:^[1]

ON=NH,\quad OG=2\cdot GN,\quad NH=3GN.

इस प्रकार यूलर रेखा को स्थान 0 पर परिधि O के साथ एक संख्या रेखा पर, 2t पर केन्द्रक G, 3t पर नौ-बिंदु केंद्र और कुछ मापन कारक t के लिए लंब-केंद्र H को 6t पर पुनर्स्थापित किया जा सकता है।

इसके अतिरिक्त, केन्द्रक और यूलर रेखा के साथ परिधि के बीच की वर्ग दूरी वर्ग परिधि R² से कम है भुजा लंबाई a, b, और c के वर्गों के योग के एक-नौवें के बराबर होती है:^[6]^: p.71

GO^{2}=R^{2}-{\tfrac {1}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).

इसके साथ ही,^[6]^: p.102

OH^{2}=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2});

GH^{2}=4R^{2}-{\tfrac {4}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).

प्रतिनिधित्व

समीकरण

मान लीजिए A, B, C संदर्भ त्रिभुज के शीर्ष कोणों को निरूपित करते हैं, और मान लीजिए कि x : y : z त्रिरेखीय निर्देशांक में एक चर बिंदु है; तो यूलर रेखा के लिए एक समीकरण है

\sin(2A)\sin(B-C)x+\sin(2B)\sin(C-A)y+\sin(2C)\sin(A-B)z=0.

बेरसेंट्रिक निर्देशांक (गणित) में यूलर रेखा के लिए एक समीकरण $\alpha :\beta :\gamma$ है^[8]

(\tan C-\tan B)\alpha +(\tan A-\tan C)\beta +(\tan B-\tan A)\gamma =0.

प्राचलिक निरूपण

यूलर रेखा को दर्शाने का एक अन्य तरीका प्राचल t के संदर्भ में है। परिकेंद्र से प्रारंभ (त्रिलरेखीय निर्देशांकों के साथ $\cos A:\cos B:\cos C$ ) और लंब-केंद्र (तीन रेखाओ के साथ $\sec A:\sec B:\sec C=\cos B\cos C:\cos C\cos A:\cos A\cos B),$ यूलर रेखा पर हर बिंदु, लंब-केंद्र को छोड़कर, तीन रेखाओ के निर्देशांक द्वारा दिया जाता है

\cos A+t\cos B\cos C:\cos B+t\cos C\cos A:\cos C+t\cos A\cos B

कुछ t के लिए, इन दो बिंदुओं के तीन रेखाओ के रैखिक संयोजन के रूप में बन गया है।

उदाहरण के लिए:

परिकेन्द्र में त्रिरेखीय $\cos A:\cos B:\cos C$ पैरामीटर मान के अनुरूप $t=0$ हैं।
केन्द्रक में त्रिरेखीय $\cos A+\cos B\cos C:\cos B+\cos C\cos A:\cos C+\cos A\cos B,$ पैरामीटर मान के अनुरूप $t=1$ होते हैं।
नौ-बिंदु केंद्र में तीन रेखाओ $\cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B,$ पैरामीटर मान के अनुरूप $t=2$ के हैं।
डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु $\cos A-\cos B\cos C:\cos B-\cos C\cos A:\cos C-\cos A\cos B,$ पैरामीटर मान के अनुरूप $t=-1$ में त्रिरेखीय हैं

स्लोप (झुकाव)

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, त्रिकोण के कोरों के स्लोप $m_{1},$ $m_{2},$ और $m_{3}$ को निरूपित करें, और इसकी यूलर रेखा के झुकाव $m_{E}$ को निरूपित करें, फिर इन प्रवणता के अनुसार संबंधित हैं^[9]^{: Lemma 1}

m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+m_{1}m_{E}+m_{2}m_{3}+m_{2}m_{E}+m_{3}m_{E}

+3m_{1}m_{2}m_{3}m_{E}+3=0.

इस प्रकार यूलर रेखा का स्लोप (यदि परिमित है) पक्षों के समतल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

m_{E}=-{\frac {m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+m_{2}m_{3}+3}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+3m_{1}m_{2}m_{3}}}.

इसके अतिरिक्त, यूलर रेखा एक तीव्र त्रिभुज भुजा BC के समानांतर है यदि और केवल यदि^[9]^: p.173 $\tan B\tan C=3.$

उत्कीर्ण समबाहु त्रिभुजों से संबंध

किसी दिए गए त्रिभुज में अंकित समबाहु त्रिभुजों के केन्द्रक का स्थान दिए गए त्रिभुज की यूलर रेखा के लंबवत दो रेखाओं से बनता है।^[10]^{: Coro. 4}

विशेष त्रिभुजों में

समकोण त्रिभुज

समकोण त्रिभुज में, यूलर रेखा मध्यिका (त्रिकोण) के साथ कर्ण से समान होती है - अर्थात, यह समकोण वाले शीर्ष और उस शीर्ष के विपरीत भुजा के मध्य बिंदु दोनों से होकर जाती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि समकोण त्रिभुज का लंबकेन्द्र, इसकी ऊँचाई (त्रिकोण) का प्रतिच्छेदन, समकोण शीर्ष पर पड़ता है, जबकि इसका परिकेन्द्र, इसके द्विभाजन लम्ब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन, कर्ण के मध्यबिंदु पर पड़ता है।

समद्विबाहु त्रिभुज

समद्विबाहु त्रिभुज की यूलर रेखा समरूपता के अक्ष के साथ अनुरूप होती है। समद्विबाहु त्रिभुज में अंत:केंद्र यूलर रेखा पर पड़ता है।

ऑटोमेडियन त्रिकोण

स्व-मध्यरेखा त्रिभुज की यूलर रेखा (जिसकी माध्यिका (ज्यामिति) समान अनुपात में है, हालांकि विपरीत क्रम में, पक्षों के रूप में) एक माध्यिका के लिए लंबवत है।^[11]

समवर्ती यूलर रेखाों के साथ त्रिकोण की प्रणाली

फ़र्मेट-टोरिकेली बिंदुओं F₁ और F₂ के साथ त्रिभुज ABC पर विचार करें। A, B, C, F₁ और F₂ में से चुने गए शीर्षों वाले 10 त्रिभुजों की यूलर रेखाएँ त्रिभुज ABC के केन्द्रक पर संगामी हैं^[12]

एक लंब केंद्रीय प्रणाली द्वारा गठित चार त्रिकोणों की यूलर रेखाें (चार बिंदुओं का एक सेट जैसे कि प्रत्येक त्रिभुज का लंब-केंद्र अन्य तीन बिंदुओं पर शीर्ष के साथ होता है) सभी त्रिकोणों के लिए सामान्य नौ-बिंदु केंद्र पर समवर्ती होते हैं।^[6]^: p.111

सामान्यीकरण

चतुर्भुज

उत्तल चतुर्भुज में अर्ध-लंबकेंद्रीय H, क्षेत्र केन्द्रक G, और अर्धवृत्ताकार केंद्र O यूलर रेखा पर और HG = 2GO इस क्रम में संरेख हैं।^[13]

चतुष्फलक

चतुष्फलक एक त्रि-आयामी वस्तु है | त्रि-आयामी वस्तु चार त्रिकोणीय फलक (ज्यामिति) से परिबद्ध है। चतुष्फलक से जुड़ी सात रेखाएँ इसके केन्द्रक पर समवर्ती होती हैं; इसके छह मध्य-तल अपने मोंज बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं; और सभी शीर्षों से गुजरने वाली एक परिधि है, जिसका केंद्र परिकेन्द्र है। ये बिंदु एक त्रिभुज के समान चतुष्फलक की यूलर रेखा को परिभाषित करते हैं। केन्द्रक अपने मोंज बिंदु और इस रेखा के साथ परिधि के बीच का मध्य बिंदु है। बारह-बिंदु क्षेत्र का केंद्र भी यूलर रेखा पर स्थित है।

प्रतिसमुच्‍चीय बहुतलीय

प्रतिसमुच्‍चीय बहुतलीय एक बहुतल है जिसके स्वरूप सभी प्रतिसमुच्‍चीय (संकेतन का मिश्रित) हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक बहुभुज एक साधारण बहुतल है। इस प्रकार के बहुतल से जुड़ी यूलर रेखा उसके केन्द्रक और द्रव्यमान के परिकेंद्र द्वारा निर्धारित रेखा है। यूलर रेखा की यह परिभाषा ऊपर वाले को सामान्यीकृत करती है।^[14]

मान लीजिए कि P एक बहुभुज है। यूलर रेखा E निम्नलिखित तरीकों से P की सममिति के प्रति संवेदनशील है:

1. यदि $P$ में प्रतिबिंब सममिति $L$ ,की एक रेखा है, तब $E$ या तो $L$ है या $L$ पर एक बिंदु है।

2. यदि $P$ में घूर्णी सममिति $C$ , का केंद्र है, तब $E=C$ .

3. यदि $P$ की एक भुजा को छोड़कर सभी की लंबाई समान है, तब $E$ अंतिम भुजा के लिए लंबकोणीय है।

संदर्भ

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बाहरी संबंध

An interactive applet showing several triangle centers that lies on the Euler line.
"Euler Line" and "Non-Euclidean Triangle Continuum" at the Wolfram Demonstrations Project
Nine-point conic and Euler line generalization, A further Euler line generalization, and The quasi-Euler line of a quadrilateral and a hexagon at Dynamic Geometry Sketches
Bogomolny, Alexander, "Altitudes and the Euler Line" and "Euler Line and 9-Point Circle", Cut-the-Knot
Kimberling, Clark, "Triangle centers on the Euler line", Triangle Centers
Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: Stankova, Zvezdelina (February 1, 2016), "Triangles have a Magic Highway", Numberphile, YouTube
Weisstein, Eric W. "Euler Line". MathWorld.

[k-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Kimberling, Clark (1998). "Triangle centers and central triangles". Congressus Numerantium. 129: i–xxv, 1–295.

[2] Euler, Leonhard (1767). "Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum" [Easy solution of some difficult geometric problems]. Novi Commentarii Academiae Scientarum Imperialis Petropolitanae. 11: 103–123. E325. Reprinted in Opera Omnia, ser. I, vol. XXVI, pp. 139–157, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, Lausanne, 1953, MR0061061. Summarized at: Dartmouth College.

[3] Schattschneider, Doris; King, James (1997). Geometry Turned On: Dynamic Software in Learning, Teaching, and Research. The Mathematical Association of America. pp. 3–4. ISBN 978-0883850992.

[4] Edmonds, Allan L.; Hajja, Mowaffaq; Martini, Horst (2008), "Orthocentric simplices and biregularity", Results in Mathematics, 52 (1–2): 41–50, doi:10.1007/s00025-008-0294-4, MR 2430410, S2CID 121434528, It is well known that the incenter of a Euclidean triangle lies on its Euler line connecting the centroid and the circumcenter if and only if the triangle is isosceles.

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[8] Scott, J.A., "Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry", Mathematical Gazette 83, November 1999, 472-477.

[BHS-9] 9.0 ^9.1 Wladimir G. Boskoff, Laurent¸iu Homentcovschi, and Bogdan D. Suceava, "Gossard's Perspector and Projective Consequences", Forum Geometricorum, Volume 13 (2013), 169–184. [1]

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[Scimemi-15] Scimemi, Benedetto, "Simple Relations Regarding the Steiner Inellipse of a Triangle", Forum Geometricorum 10, 2010: 55–77.

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   | author = Kimberling, Clark
   | title = Triangle centers and central triangles
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-त्रिभुज यूलर रेखा की अवधारणा अन्य आकृतियों की यूलर रेखा जैसे चतुर्भुज और टेट्राहेड्रॉन तक विस्तृत हुई है।
+त्रिभुज यूलर रेखा की अवधारणा अन्य आकृतियों की यूलर रेखा जैसे चतुर्भुज और चतुष्फलक तक विस्तृत हुई है।
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 </ref> यह गुण एक अन्य त्रिभुज केंद्र, [[नौ-बिंदु केंद्र]] के लिए भी सही है, हालांकि इसे यूलर के समय में परिभाषित नहीं किया गया था। समबाहु त्रिभुजों में, ये चार बिंदु संपाती होते हैं, लेकिन किसी अन्य त्रिभुज में वे सभी एक दूसरे से भिन्न होते हैं, और यूलर रेखा उनमें से किन्हीं दो द्वारा निर्धारित की जाती है।
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+अन्य उल्लेखनीय बिंदु जो यूलर रेखा पर स्थित हैं, उनमें डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु, शिफलर बिंदु, एक्सेटर बिंदु और [[गोस्सार्ड परिप्रेक्ष्य]] सम्मिलित हैं।<ref name="k"/> हालांकि, अंत:केंद्र सामान्य रूप से यूलर रेखा पर स्थित नहीं होता है;<ref>{{cite book | url=https://books.google.com/books?id=lR0SDnl2bPwC&pg=PA4 | title=Geometry Turned On: Dynamic Software in Learning, Teaching, and Research | publisher=The Mathematical Association of America |author1=Schattschneider, Doris |author2=King, James | year=1997 | pages=3–4 | isbn=978-0883850992}}</ref> यह यूलर रेखा पर केवल समद्विबाहु त्रिभुजों के लिए है,<ref>{{citation
   | last1 = Edmonds | first1 = Allan L.
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   }}.</ref>{{rp|p. 447}}<ref name="ac"/>{{rp|p. 102}}
-=== एक वेक्टर सबूत ===
+=== वेक्टर प्रमाण ===
-होने देना <math>ABC</math> एक त्रिकोण बनो। इस बात का प्रमाण है कि परिबद्ध वृत्त <math>O</math>, केन्द्रक <math>G</math> और ऊंचाई (त्रिकोण)#ऑर्थोसेंटर <math>H</math> समरेख [[यूक्लिडियन वेक्टर]] पर निर्भर हैं। हम पूर्वापेक्षाएँ बताते हुए प्रारंभ करते हैं। पहला, <math>G</math> संबंध को संतुष्ट करता है
+होने देना <math>ABC</math> एक त्रिकोण है। इस तथ्य का प्रमाण कि परिकेन्द्र <math>O</math>, केन्द्रक <math>G</math> और लंबकेन्द्र <math>H</math> समरेख हैं, मुक्त वेक्टरों पर निर्भर करता है। हम पूर्वापेक्षाएँ बताते हुए प्रारंभ करते हैं। सबसे पहले <math>G</math> संबंध को संतुष्ट करता है
 :<math>\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=0.</math>
-यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि बेरिसेंट्रिक समन्वय प्रणाली <math>G</math> हैं <math>\frac{1}{3}:\frac{1}{3}:\frac{1}{3}</math>. आगे, सिल्वेस्टर की त्रिकोण समस्या<ref name=Dorrie>Dörrie, Heinrich, "100 Great Problems of Elementary Mathematics. Their History and Solution". Dover Publications, Inc., New York, 1965, {{ISBN|0-486-61348-8}}, pages 141 (Euler's Straight Line) and 142 (Problem of Sylvester)</ref> के रूप में पढ़ता है
+यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि <math>G</math> के निरपेक्ष बैरेंट्रिक निर्देशांक <math>\frac{1}{3}:\frac{1}{3}:\frac{1}{3}</math> इसके अतिरिक्त, सिल्वेस्टर की त्रिकोण समस्या<ref name=Dorrie>Dörrie, Heinrich, "100 Great Problems of Elementary Mathematics. Their History and Solution". Dover Publications, Inc., New York, 1965, {{ISBN|0-486-61348-8}}, pages 141 (Euler's Straight Line) and 142 (Problem of Sylvester)</ref> को इस रूप में पढ़ा जाता है
 :<math>\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}.</math>
-अब, सदिश योग का उपयोग करके, हम इसे घटाते हैं
+अब, वेक्टर योग का उपयोग करके, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं
 :<math>\vec{GO}=\vec{GA}+\vec{AO}\,\mbox{(in triangle }AGO\mbox{)},\,\vec{GO}=\vec{GB}+\vec{BO}\,\mbox{(in triangle }BGO\mbox{)},\,\vec{GO}=\vec{GC}+\vec{CO}\,\mbox{(in triangle }CGO\mbox{)}.</math>
@@ Line 70: / Line 70: @@
 :<math>3\cdot\vec{GO}=\left(\sum\limits_{\scriptstyle\rm cyclic}\vec{GA}\right)+\left(\sum\limits_{\scriptstyle\rm cyclic}\vec{AO}\right)=0-\left(\sum\limits_{\scriptstyle\rm cyclic}\vec{OA}\right)=-\vec{OH}.</math>
-निष्कर्ष के तौर पर, <math>3\cdot\vec{OG}=\vec{OH}</math>, और इसलिए तीन बिंदु <math>O</math>, <math>G</math> और <math>H</math> (इस क्रम में) संरेख हैं।
+निष्कर्ष में, <math>3\cdot\vec{OG}=\vec{OH}</math>, और इसलिए तीन बिंदु <math>O</math>, <math>G</math> और <math>H</math> (इस क्रम में) संरेख हैं।
-डोरी की किताब में,<ref name=Dorrie />यूलर रेखा और सिल्वेस्टर की त्रिभुज समस्या को एक साथ एक ही प्रमाण में रखा गया है। हालांकि, सिल्वेस्टर की समस्या के अधिकांश प्रमाण यूलर रेखा से स्वतंत्र, मुक्त सदिशों के मौलिक गुणों पर निर्भर करते हैं।
+डोरी की पुस्तक में,<ref name=Dorrie /> यूलर रेखा और सिल्वेस्टर की त्रिभुज समस्या को एक साथ समान प्रमाण में रखा गया है। हालांकि, सिल्वेस्टर की समस्या के अधिकांश प्रमाण यूलर रेखा से स्वतंत्र, मुक्त वेक्टरों के मौलिक गुणों पर निर्भर करते हैं।
 ===केंद्रों के बीच की दूरी===
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 :<math>GH=2GO;</math>
 :<math>OH=3GO.</math>
-खंड GH [[ऑर्थोसेंट्रोइडल सर्कल]] का एक व्यास है।
+खंड GH [[ऑर्थोसेंट्रोइडल सर्कल|लंब-केन्द्रीय वृत्त]] का एक व्यास है।
-नौ-बिंदु वृत्त का केंद्र N ऑर्थोसेंटर और परिधि के बीच यूलर रेखा के मध्य में स्थित है:<ref name="k"/>
+नौ-बिंदु वृत्त का केंद्र N लंब-केंद्र और परिधि के बीच यूलर रेखा के मध्य में स्थित है:<ref name="k"/>
 :<math>ON = NH, \quad OG =2\cdot GN, \quad NH=3GN.</math>
-इस प्रकार यूलर रेखा को स्थान 0 पर परिधि O के साथ एक संख्या रेखा पर, 2t पर केन्द्रक G, 3t पर नौ-बिंदु केंद्र और कुछ स्केल कारक t के लिए ऑर्थोसेंटर H को 6t पर पुनर्स्थापित किया जा सकता है।
+इस प्रकार यूलर रेखा को स्थान 0 पर परिधि O के साथ एक संख्या रेखा पर, 2t पर केन्द्रक G, 3t पर नौ-बिंदु केंद्र और कुछ मापन कारक t के लिए लंब-केंद्र H को 6t पर पुनर्स्थापित किया जा सकता है।
-इसके अलावा, केन्द्रक और यूलर रेखा के साथ परिधि के बीच की वर्ग दूरी वर्ग परिधि R से कम है<sup>2</sup> भुजा लंबाई a, b, और c के वर्गों के योग के एक-नौवें के बराबर राशि से:<ref name="ac"/>{{rp|p.71}}
+इसके अतिरिक्त, केन्द्रक और यूलर रेखा के साथ परिधि के बीच की वर्ग दूरी वर्ग परिधि R<sup>2</sup> से कम है भुजा लंबाई a, b, और c के वर्गों के योग के एक-नौवें के बराबर होती है:<ref name="ac"/>{{rp|p.71}}
 :<math>GO^2=R^2-\tfrac{1}{9}(a^2+b^2+c^2).</math>
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-=== पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व ===
+=== प्राचलिक निरूपण ===
-यूलर रेखा को दर्शाने का एक अन्य तरीका प्राचल t के संदर्भ में है। परिकेंद्र से प्रारंभ (त्रिलरेखीय निर्देशांकों के साथ <math>\cos A : \cos B : \cos C</math>) और ऑर्थोसेंटर (ट्रिलिनियर्स के साथ <math>\sec A : \sec B : \sec C = \cos B \cos C : \cos C \cos A : \cos A \cos B),</math> यूलर रेखा पर हर बिंदु, ऑर्थोसेंटर को छोड़कर, ट्रिलिनियर निर्देशांक द्वारा दिया जाता है
+यूलर रेखा को दर्शाने का एक अन्य तरीका प्राचल t के संदर्भ में है। परिकेंद्र से प्रारंभ (त्रिलरेखीय निर्देशांकों के साथ <math>\cos A : \cos B : \cos C</math>) और लंब-केंद्र (तीन रेखाओ के साथ <math>\sec A : \sec B : \sec C = \cos B \cos C : \cos C \cos A : \cos A \cos B),</math> यूलर रेखा पर हर बिंदु, लंब-केंद्र को छोड़कर, तीन रेखाओ के निर्देशांक द्वारा दिया जाता है
 :<math>\cos A + t \cos B \cos C : \cos B + t \cos C \cos A : \cos C + t \cos A \cos B</math>
-कुछ टी के लिए, इन दो बिंदुओं के ट्रिलीनियर के [[रैखिक संयोजन]] के रूप में गठित।
+कुछ t के लिए, इन दो बिंदुओं के तीन रेखाओ के [[रैखिक संयोजन]] के रूप में बन गया है।
 उदाहरण के लिए:
-* परिकेन्द्र में त्रिरेखीय हैं <math>\cos A:\cos B:\cos C,</math> पैरामीटर मान के अनुरूप <math>t=0.</math>
+* परिकेन्द्र में त्रिरेखीय <math>\cos A:\cos B:\cos C</math> पैरामीटर मान के अनुरूप <math>t=0</math> हैं।
-* केन्द्रक में त्रिरेखीय होते हैं <math>\cos A + \cos B \cos C : \cos B + \cos C \cos A : \cos C + \cos A \cos B,</math> पैरामीटर मान के अनुरूप <math>t=1.</math>
+* केन्द्रक में त्रिरेखीय <math>\cos A + \cos B \cos C : \cos B + \cos C \cos A : \cos C + \cos A \cos B,</math> पैरामीटर मान के अनुरूप <math>t=1</math> होते हैं।
-* नौ-बिंदु केंद्र में ट्रिलिनियर हैं <math>\cos A + 2 \cos B \cos C : \cos B + 2 \cos C \cos A : \cos C + 2 \cos A \cos B,</math> पैरामीटर मान के अनुरूप <math>t=2.</math>
+* नौ-बिंदु केंद्र में तीन रेखाओ <math>\cos A + 2 \cos B \cos C : \cos B + 2 \cos C \cos A : \cos C + 2 \cos A \cos B,</math> पैरामीटर मान के अनुरूप <math>t=2</math> के हैं।
-* डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु में त्रिरेखीय हैं <math>\cos A - \cos B \cos C : \cos B - \cos C \cos A : \cos C - \cos A \cos B,</math> पैरामीटर मान के अनुरूप <math>t=-1.</math>
+* डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु <math>\cos A - \cos B \cos C : \cos B - \cos C \cos A : \cos C - \cos A \cos B,</math> पैरामीटर मान के अनुरूप <math>t=-1</math> में त्रिरेखीय हैं
-=== ढलान ===
+=== स्लोप (झुकाव) ===
-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, त्रिकोण के किनारों के ढलानों को निरूपित करें <math>m_1,</math> <math>m_2,</math> और <math>m_3,</math> और इसकी यूलर रेखा के ढलान को निरूपित करें <math>m_E</math>. फिर इन ढलानों के अनुसार संबंधित हैं<ref name=BHS>Wladimir G. Boskoff, Laurent¸iu Homentcovschi, and Bogdan D. Suceava, "Gossard's Perspector and Projective Consequences", ''Forum Geometricorum'', Volume 13 (2013), 169–184. [http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201318.pdf]</ref>{{rp|Lemma 1}}
+कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, त्रिकोण के कोरों के स्लोप <math>m_1,</math> <math>m_2,</math> और <math>m_3</math> को निरूपित करें, और इसकी यूलर रेखा के झुकाव <math>m_E</math> को निरूपित करें, फिर इन प्रवणता के अनुसार संबंधित हैं<ref name=BHS>Wladimir G. Boskoff, Laurent¸iu Homentcovschi, and Bogdan D. Suceava, "Gossard's Perspector and Projective Consequences", ''Forum Geometricorum'', Volume 13 (2013), 169–184. [http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201318.pdf]</ref>{{rp|Lemma 1}}
 :<math>m_1m_2 + m_1m_3 + m_1m_E + m_2m_3 + m_2m_E + m_3m_E</math>
 ::<math> + 3m_1m_2m_3m_E + 3 = 0.</math>
-इस प्रकार यूलर रेखा का ढलान (यदि परिमित है) पक्षों के ढलानों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
+इस प्रकार यूलर रेखा का स्लोप (यदि परिमित है) पक्षों के समतल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 :<math>m_E=-\frac{m_1m_2 + m_1m_3 + m_2m_3 + 3}{m_1 + m_2 + m_3 + 3m_1m_2m_3}.</math>
-इसके अलावा, यूलर रेखा एक तीव्र त्रिभुज भुजा BC के समानांतर है यदि और केवल यदि<ref name=BHS/>{{rp|p.173}} <math>\tan B \tan C = 3.</math>
+इसके अतिरिक्त, यूलर रेखा एक तीव्र त्रिभुज भुजा BC के समानांतर है यदि और केवल यदि<ref name=BHS/>{{rp|p.173}} <math>\tan B \tan C = 3.</math>
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 === समकोण त्रिभुज ===
-एक समकोण त्रिभुज में, यूलर रेखा मध्यिका (त्रिकोण) के साथ [[कर्ण]] से मेल खाती है - अर्थात, यह समकोण वाले शीर्ष और उस शीर्ष के विपरीत भुजा के मध्य बिंदु दोनों से होकर जाती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि समकोण त्रिभुज का लंबकेन्द्र, इसकी ऊँचाई (त्रिकोण) का प्रतिच्छेदन, समकोण शीर्ष पर पड़ता है, जबकि इसका परिकेन्द्र, इसके द्विभाजन#लम्ब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन, कर्ण के मध्यबिंदु पर पड़ता है।
+समकोण त्रिभुज में, यूलर रेखा मध्यिका (त्रिकोण) के साथ [[कर्ण]] से समान होती है - अर्थात, यह समकोण वाले शीर्ष और उस शीर्ष के विपरीत भुजा के मध्य बिंदु दोनों से होकर जाती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि समकोण त्रिभुज का लंबकेन्द्र, इसकी ऊँचाई (त्रिकोण) का प्रतिच्छेदन, समकोण शीर्ष पर पड़ता है, जबकि इसका परिकेन्द्र, इसके द्विभाजन लम्ब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन, कर्ण के मध्यबिंदु पर पड़ता है।
 ===समद्विबाहु त्रिभुज===
-समद्विबाहु त्रिभुज की यूलर रेखा समरूपता के अक्ष के साथ मेल खाती है। एक समद्विबाहु त्रिभुज में अंत:केंद्र यूलर रेखा पर पड़ता है।
+समद्विबाहु त्रिभुज की यूलर रेखा समरूपता के अक्ष के साथ अनुरूप होती है। समद्विबाहु त्रिभुज में अंत:केंद्र यूलर रेखा पर पड़ता है।
 === [[ऑटोमेडियन त्रिकोण]] ===
-एक ऑटोमेडियन त्रिभुज की यूलर रेखा (जिसकी [[माध्यिका (ज्यामिति)]] समान अनुपात में है, हालांकि विपरीत क्रम में, पक्षों के रूप में) एक माध्यिका के लिए लंबवत है।<ref name="parry">{{citation
+स्व-मध्यरेखा त्रिभुज की यूलर रेखा (जिसकी [[माध्यिका (ज्यामिति)]] समान अनुपात में है, हालांकि विपरीत क्रम में, पक्षों के रूप में) एक माध्यिका के लिए लंबवत है।<ref name="parry">{{citation
   | last = Parry | first = C. F.
   | issue = 472
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 ===समवर्ती यूलर रेखाों के साथ त्रिकोण की प्रणाली ===
-एक त्रिभुज ABC पर विचार करें जिसमें Fermat–Toricelli बिंदु F है<sub>1</sub> और एफ<sub>2</sub>. A, B, C, F में से चुने गए शीर्षों वाले 10 त्रिभुजों की यूलर रेखाएँ<sub>1</sub> और एफ<sub>2</sub> त्रिभुज ABC के केन्द्रक पर संगामी रेखाएँ हैं।<ref>Beluhov, Nikolai Ivanov. "Ten concurrent Euler lines", ''Forum Geometricorum'' 9, 2009, pp. 271–274. http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200924index.html</ref>
+फ़र्मेट-टोरिकेली बिंदुओं ''F''<sub>1</sub> और ''F''<sub>2</sub> के साथ त्रिभुज ABC पर विचार करें। A, B, C, ''F''<sub>1</sub> और ''F''<sub>2</sub> में से चुने गए शीर्षों वाले 10 त्रिभुजों की यूलर रेखाएँ त्रिभुज ABC के केन्द्रक पर संगामी हैं<ref>Beluhov, Nikolai Ivanov. "Ten concurrent Euler lines", ''Forum Geometricorum'' 9, 2009, pp. 271–274. http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200924index.html</ref>
-एक [[ऑर्थोसेंट्रिक प्रणाली]] द्वारा गठित चार त्रिकोणों की यूलर रेखाें (चार बिंदुओं का एक सेट जैसे कि प्रत्येक त्रिभुज का ऑर्थोसेंटर अन्य तीन बिंदुओं पर शिखर के साथ होता है) सभी त्रिकोणों के लिए सामान्य नौ-बिंदु केंद्र पर समवर्ती होते हैं।<ref name=ac/>{{rp|p.111}}
+एक [[ऑर्थोसेंट्रिक प्रणाली|लंब केंद्रीय प्रणाली]] द्वारा गठित चार त्रिकोणों की यूलर रेखाें (चार बिंदुओं का एक सेट जैसे कि प्रत्येक त्रिभुज का लंब-केंद्र अन्य तीन बिंदुओं पर शीर्ष के साथ होता है) सभी त्रिकोणों के लिए सामान्य नौ-बिंदु केंद्र पर समवर्ती होते हैं।<ref name="ac" />{{rp|p.111}}
 == सामान्यीकरण ==
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 === चतुर्भुज ===
-एक उत्तल चतुर्भुज में एक चतुर्भुज#उल्लेखनीय बिंदुओं और रेखाओं में, क्वैसियोर्थोसेंटर H, क्षेत्र सेंट्रोइड G, और [[अर्धवृत्ताकार]] केंद्र O यूलर रेखा पर इस क्रम में संरेख हैं, और HG = 2GO।<ref>{{citation
+उत्तल चतुर्भुज में अर्ध-लंबकेंद्रीय H, क्षेत्र केन्द्रक G, और [[अर्धवृत्ताकार]] केंद्र O यूलर रेखा पर और HG = 2GO इस क्रम में संरेख हैं।<ref>{{citation
   | last = Myakishev | first = Alexei
   | journal = Forum Geometricorum
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-=== टेट्राहेड्रॉन ===
+=== चतुष्फलक ===
-{{Main article|Tetrahedron#Properties analogous to those of a triangle}}
+{{Main article|चतुष्फलक § त्रिभुज के समान गुण}}
-एक टेट्राहेड्रॉन एक [[त्रि-आयामी स्थान]] है | त्रि-आयामी वस्तु चार त्रिकोणीय चेहरे (ज्यामिति) से घिरा है। चतुष्फलक से जुड़ी सात रेखाएँ इसके केन्द्रक पर समवर्ती होती हैं; इसके छह मिडप्लेन अपने [[मोंज बिंदु]] पर प्रतिच्छेद करते हैं; और सभी शीर्षों से गुजरने वाली एक परिधि है, जिसका केंद्र परिकेन्द्र है। ये बिंदु एक त्रिभुज के समान टेट्राहेड्रॉन की यूलर रेखा को परिभाषित करते हैं। केन्द्रक अपने Monge बिंदु और इस रेखा के साथ परिधि के बीच का मध्य बिंदु है। [[बारह-बिंदु क्षेत्र]] का केंद्र भी यूलर रेखा पर स्थित है।
+चतुष्फलक एक [[त्रि-आयामी स्थान|त्रि-आयामी वस्तु]] है | त्रि-आयामी वस्तु चार त्रिकोणीय फलक (ज्यामिति) से परिबद्ध है। चतुष्फलक से जुड़ी सात रेखाएँ इसके केन्द्रक पर समवर्ती होती हैं; इसके छह मध्य-तल अपने [[मोंज बिंदु]] पर प्रतिच्छेद करते हैं; और सभी शीर्षों से गुजरने वाली एक परिधि है, जिसका केंद्र परिकेन्द्र है। ये बिंदु एक त्रिभुज के समान चतुष्फलक की यूलर रेखा को परिभाषित करते हैं। केन्द्रक अपने [[मोंज बिंदु|मोंज]] बिंदु और इस रेखा के साथ परिधि के बीच का मध्य बिंदु है। [[बारह-बिंदु क्षेत्र]] का केंद्र भी यूलर रेखा पर स्थित है।
-=== सिंपल पॉलीटॉप ===
+=== प्रतिसमुच्‍चीय बहुतलीय ===
-एक [[साधारण पॉलीटॉप]] एक पॉलीटोप है जिसके स्वरूप सभी सिंप्लेक्स ([[संकेतन]] का बहुवचन) हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक बहुभुज एक साधारण पॉलीटोप है। इस तरह के पॉलीटोप से जुड़ी यूलर रेखा उसके केन्द्रक और द्रव्यमान के परिकेंद्र द्वारा निर्धारित रेखा है। एक यूलर रेखा की यह परिभाषा ऊपर वाले को सामान्यीकृत करती है।<ref>{{citation
+प्रतिसमुच्‍चीय [[साधारण पॉलीटॉप|बहुतलीय]] एक बहुतल है जिसके स्वरूप सभी प्रतिसमुच्‍चीय ([[संकेतन]] का मिश्रित) हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक बहुभुज एक साधारण बहुतल है। इस प्रकार के बहुतल से जुड़ी यूलर रेखा उसके केन्द्रक और द्रव्यमान के परिकेंद्र द्वारा निर्धारित रेखा है। यूलर रेखा की यह परिभाषा ऊपर वाले को सामान्यीकृत करती है।<ref>{{citation
   | last1 = Tabachnikov | first1 = Serge
   | last2 = Tsukerman | first2 = Emmanuel
@@ Line 198: / Line 199: @@
   | s2cid = 12307207
   }}.</ref>
-लगता है कि <math>P</math> एक बहुभुज है। यूलर रेखा <math>E</math> की समरूपता के प्रति संवेदनशील है <math>P</math> निम्नलिखित तरीकों से:
-. अगर <math>P</math> प्रतिबिंब समरूपता की एक पंक्ति है <math>L</math>, तब <math>E</math> भी है <math>L</math> या एक बिंदु पर <math>L</math>.
+मान लीजिए कि '''P''' एक बहुभुज है। यूलर रेखा '''E''' निम्नलिखित तरीकों से '''P''' की सममिति के प्रति संवेदनशील है:
+. यदि <math>P</math> में प्रतिबिंब सममिति <math>L</math>,की एक रेखा है, तब <math>E</math> या तो <math>L</math> है या <math>L</math> पर एक बिंदु है।
-. अगर <math>P</math> घूर्णी समरूपता का एक केंद्र है <math>C</math>, तब <math>E=C</math>.
+. यदि <math>P</math> में घूर्णी सममिति <math>C</math>, का केंद्र है, तब <math>E=C</math>.
-. यदि किसी एक को छोड़कर सभी <math>P</math> समान लंबाई है, तो <math>E</math> अंतिम ओर ओर्थोगोनल है।
+. यदि <math>P</math> की एक भुजा को छोड़कर सभी की लंबाई समान है, तब <math>E</math> अंतिम भुजा के लिए लंबकोणीय है।
 == संबंधित निर्माण ==
-एक त्रिभुज का कीपर्ट परवलय अद्वितीय परवलय है जो त्रिभुज की भुजाओं (उनमें से दो विस्तारित भुजा) के लिए स्पर्शरेखा है और इसकी [[डायरेक्ट्रिक्स (शंक्वाकार खंड)]] के रूप में यूलर रेखा है।<ref name=Scimemi>[http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201008.pdf Scimemi, Benedetto, "Simple Relations Regarding the Steiner Inellipse of a Triangle", ''Forum Geometricorum'' 10, 2010: 55–77.]</ref>{{rp|p. 63}}
+त्रिभुज का कीपर्ट परवलय अद्वितीय परवलय है जो त्रिभुज की भुजाओं (उनमें से दो विस्तारित भुजा) के लिए स्पर्शरेखा है और इसकी [[डायरेक्ट्रिक्स (शंक्वाकार खंड)|वक्र अथवा तल को खींचने में प्रयुक्‍त रेखा (शंक्वाकार खंड)]] के रूप में यूलर रेखा है।<ref name=Scimemi>[http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201008.pdf Scimemi, Benedetto, "Simple Relations Regarding the Steiner Inellipse of a Triangle", ''Forum Geometricorum'' 10, 2010: 55–77.]</ref>{{rp|p. 63}}
 == संदर्भ ==
@@ Line 221: / Line 223: @@
 * Archived at [https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211211/wVH4MS6v23U Ghostarchive]{{cbignore}} and the [https://web.archive.org/web/20160201162310/https://www.youtube.com/watch?v=wVH4MS6v23U&gl=US&hl=en Wayback Machine]{{cbignore}}: {{citation|url=https://www.youtube.com/watch?v=wVH4MS6v23U|first=Zvezdelina|last=Stankova|authorlink=Zvezdelina Stankova|title=Triangles have a Magic Highway|publisher=[[YouTube]]|work=[[Numberphile]]|date=February 1, 2016}}{{cbignore}}
 * {{mathworld | title = Euler Line | urlname = EulerLine}}
-[[Category: त्रिभुज के लिए परिभाषित सीधी रेखाएँ]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
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