ब्लॉक आव्यूह: Difference between revisions

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{{Short description|Matrix defined using smaller matrices called blocks}}
{{Short description|Matrix defined using smaller matrices called blocks}}
गणित में, खंड आव्यूह या विभाजित आव्यूह एक ऐसा आव्यूह होता है जिसे खंड या उपआव्यूहो    नामक खंडों में विभाजित किया जाता है। खंड आव्यूह के रूप में व्याख्या किए गए आव्यूह को क्षैतिज और लंबवत रेखाओं के संग्रह के साथ मूल आव्यूह के रूप में देखा जा सकता है, जो इसे छोटे आव्यूह के संग्रह में विभाजित करता है, या इसे विभाजित करता है। किसी भी आव्यूह को खंड आव्यूह के रूप में एक या अधिक विधियों से व्याख्या किया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक व्याख्या को परिभाषित किया जाता है कि इसकी पंक्तियों और स्तंभों को कैसे विभाजित किया जाता है।
गणित में, खंड मैट्रिक्स या विभाजित मैट्रिक्स एक ऐसा मैट्रिक्स होता है जिसे खंड या उपमैट्रिक्स नामक खंडों में विभाजित किया जाता है। खंड मैट्रिक्स के रूप में व्याख्या किए गए मैट्रिक्स को क्षैतिज और लंबवत रेखाओं के संग्रह के साथ मूल मैट्रिक्स के रूप में देखा जा सकता है, जो इसे छोटे मैट्रिक्स के संग्रह में विभाजित करता है, या इसे विभाजित करता है। किसी भी मैट्रिक्स को खंड मैट्रिक्स के रूप में एक या अधिक विधियों से व्याख्या किया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक व्याख्या को परिभाषित किया जाता है कि इसकी पंक्तियों और स्तंभों को कैसे विभाजित किया जाता है।


इस धारणा में आव्यूह <math>M</math> को <math>n</math> द्वारा <math>m</math> के लिए <math>n</math> को एक संग्रह पंक्ति समूह मे विभाजित करके और पुनः <math>m</math><math>n</math> को एक संग्रह स्तंभसमूह विभाजन करके सटीक बनाया जा सकता है मूल आव्यूह को तब इन समूहों के स्तंभ के रूप में माना जाता है, इस अर्थ में कि मूल आव्यूह  <math>(i, j)</math> प्रविष्टि 1-से -1 विधि से कुछ <math>(s, t)</math>[[ ऑफसेट (कंप्यूटर विज्ञान) | ऑफसेट प्रविष्टि <math>(x,y)</math> के समान है]] , जहाँ पंक्ति समूह और.खंड आव्यूह बीजगणित सामान्य रूप से आव्यूहो    की [[श्रेणी (गणित)|श्रेणी]] में [[ द्विउत्पाद | द्विउत्पाद]] से उत्पन्न होता है।<ref>{{cite journal | last1 = Macedo | first1 = H.D. | last2 = Oliveira | first2 = J.N. | year = 2013 | title = Typing linear algebra: A biproduct-oriented approach | doi = 10.1016/j.scico.2012.07.012 | journal = Science of Computer Programming | volume = 78 | issue = 11| pages = 2160–2191 | arxiv = 1312.4818 }}</ref>
इस धारणा में मैट्रिक्स <math>M</math> को <math>n</math> द्वारा <math>m</math> के लिए <math>n</math> को एक संग्रह पंक्ति समूह मे विभाजित करके और पुनः <math>m</math><math>n</math> को एक संग्रह स्तंभसमूह द्वारा विभाजन करके सटीक बनाया जा सकता है मूल मैट्रिक्स को तब इन समूहों के स्तंभ के रूप में माना जाता है, इस अर्थ में कि मूल मैट्रिक्स <math>(i, j)</math> प्रविष्टि 1-से -1 विधि से कुछ <math>(s, t)</math>[[ ऑफसेट (कंप्यूटर विज्ञान) | ऑफसेट प्रविष्टि <math>(x,y)</math> के समान है]], जहाँ पंक्ति समूह और खंड मैट्रिक्स सामान्य रूप से मैट्रिक्स की [[श्रेणी (गणित)|श्रेणी]] में [[ द्विउत्पाद |द्विउत्पाद]] से उत्पन्न होता है।<ref>{{cite journal | last1 = Macedo | first1 = H.D. | last2 = Oliveira | first2 = J.N. | year = 2013 | title = Typing linear algebra: A biproduct-oriented approach | doi = 10.1016/j.scico.2012.07.012 | journal = Science of Computer Programming | volume = 78 | issue = 11| pages = 2160–2191 | arxiv = 1312.4818 }}</ref>


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== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
[[File:BlockMatrix168square.png|thumb|12×12, 12×24, 24×12, और 24×24 सब-आव्यूहो    के साथ एक 168×168 एलिमेंटखंड      आव्यूह गैर-शून्य तत्व नीले रंग में हैं, शून्य तत्व भूरा हैं।]]आव्यूह
[[File:BlockMatrix168square.png|thumb|12×12, 12×24, 24×12, और 24×24 सब-मैट्रिक्स      ो के साथ एक 168×168 एलिमेंट खंड मैट्रिक्सगैर-शून्य तत्व नीले रंग में हैं, शून्य तत्व भूरा हैं।]]मैट्रिक्स     


:<math>\mathbf{P} = \begin{bmatrix}
:<math>\mathbf{P} = \begin{bmatrix}
Line 15: Line 15:
   3 & 3 & 6 & 7
   3 & 3 & 6 & 7
\end{bmatrix}</math>
\end{bmatrix}</math>
को चार 2×2 खंडों में विभाजित किया जा सकता है
को चार 2×2 खंडों में विभाजित किया जा सकता है


:<math>
:<math>
Line 35: Line 35:
   \end{bmatrix}.
   \end{bmatrix}.
</math>
</math>
तब इसे विभाजित आव्यूह के रूप में लिखा जा सकता है
तब इसे विभाजित मैट्रिक्स के रूप में लिखा जा सकता है


:<math>\mathbf{P} = \begin{bmatrix}
:<math>\mathbf{P} = \begin{bmatrix}
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== खंड आव्यूह गुणन ==
== खंड मैट्रिक्स गुणन ==
एक खंड विभाजित आव्यूह उत्पाद का उपयोग करना संभव है जिसमें कारकों के उपआव्यूहो    पर मात्र बीजगणित सम्मिलित है। यद्यपि कारकों का विभाजन यादृच्छिक नहीं है, और इसके लिए अनुकूल आव्यूह विभाजन की आवश्यकता होती है<ref>{{cite book |last=Eves |first=Howard |author-link=Howard Eves |title=प्राथमिक मैट्रिक्स सिद्धांत|year=1980 |publisher=Dover |location=New York |isbn=0-486-63946-0 |page=[https://archive.org/details/elementarymatrix0000eves_r2m2/page/37 37] |url=https://archive.org/details/elementarymatrix0000eves_r2m2 |url-access=registration |edition=reprint |access-date=24 April 2013 |quote=A partitioning as in Theorem 1.9.4 is called a ''conformable partition'' of ''A'' and ''B''.}}</ref> जैसे कि दो आव्यूह <math>A</math> और <math>B</math> के मध्य उपयोग किए जाने वाले सभी उप आव्यूह उत्पादों को परिभाषित किया गया है।<ref>{{cite book |last=Anton |first=Howard |title=प्राथमिक रैखिक बीजगणित|year=1994 |publisher=John Wiley |location=New York |isbn=0-471-58742-7 |page=36 |edition=7th |quote=...provided the sizes of the submatrices of A and B are such that the indicated operations can be performed.}}</ref>  
एक खंड विभाजित मैट्रिक्स उत्पाद का उपयोग करना संभव है जिसमें कारकों के उपमैट्रिक्स पर मात्र बीजगणित सम्मिलित है। यद्यपि कारकों का विभाजन यादृच्छिक नहीं है, और इसके लिए अनुकूल मैट्रिक्स विभाजन की आवश्यकता होती है<ref>{{cite book |last=Eves |first=Howard |author-link=Howard Eves |title=प्राथमिक मैट्रिक्स सिद्धांत|year=1980 |publisher=Dover |location=New York |isbn=0-486-63946-0 |page=[https://archive.org/details/elementarymatrix0000eves_r2m2/page/37 37] |url=https://archive.org/details/elementarymatrix0000eves_r2m2 |url-access=registration |edition=reprint |access-date=24 April 2013 |quote=A partitioning as in Theorem 1.9.4 is called a ''conformable partition'' of ''A'' and ''B''.}}</ref> जैसे कि दो मैट्रिक्स <math>A</math> और <math>B</math> के मध्य उपयोग किए जाने वाले सभी उप मैट्रिक्स        उत्पादों को परिभाषित किया गया है।<ref>{{cite book |last=Anton |first=Howard |title=प्राथमिक रैखिक बीजगणित|year=1994 |publisher=John Wiley |location=New York |isbn=0-471-58742-7 |page=36 |edition=7th |quote=...provided the sizes of the submatrices of A and B are such that the indicated operations can be performed.}}</ref>  


:<math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
:<math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
Line 52: Line 52:
   \mathbf{A}_{q1} & \mathbf{A}_{q2} & \cdots & \mathbf{A}_{qs}
   \mathbf{A}_{q1} & \mathbf{A}_{q2} & \cdots & \mathbf{A}_{qs}
\end{bmatrix}</math>
\end{bmatrix}</math>
और <math>\mathbf{A}</math> <math>(p \times n)</math> आव्यूह <math>\mathbf{B}</math> साथ <math>s</math> पंक्ति विभाजन और <math>r</math> स्तंभ विभाजन
और <math>\mathbf{A}</math> <math>(p \times n)</math> मैट्रिक्स  <math>\mathbf{B}</math> साथ <math>s</math> पंक्ति विभाजन और <math>r</math> स्तंभ विभाजन


:<math>\mathbf{B} = \begin{bmatrix}
:<math>\mathbf{B} = \begin{bmatrix}
Line 60: Line 60:
   \mathbf{B}_{s1} & \mathbf{B}_{s2} & \cdots &\mathbf{B}_{sr}
   \mathbf{B}_{s1} & \mathbf{B}_{s2} & \cdots &\mathbf{B}_{sr}
\end{bmatrix},</math>
\end{bmatrix},</math>
जो विभाजन के साथ संगत हैं, <math>A</math> आव्यूह उत्पाद
जो विभाजन के साथ संगत हैं, <math>A</math> मैट्रिक्स उत्पाद


:<math>
:<math>
   \mathbf{C}=\mathbf{A}\mathbf{B}
   \mathbf{C}=\mathbf{A}\mathbf{B}
</math>
</math>
उपज, खंडवार किया जा सकता है <math>\mathbf{C}</math> के रूप में <math>(m \times n)</math> साथ आव्यूह <math>q</math> पंक्ति विभाजन और <math>r</math> स्तंभ विभाजन परिणामी आव्यूह में आव्यूह <math>\mathbf{C}</math> गुणा करके गणना की जाती है:
उपज, खंडवार किया जा सकता है <math>\mathbf{C}</math> के रूप में <math>(m \times n)</math> साथ मैट्रिक्स  <math>q</math> पंक्ति विभाजन और <math>r</math> स्तंभ विभाजन मैट्रिक्स परिणामी में मैट्रिक्स <math>\mathbf{C}</math> गुणा करके गणना की जाती है:


:<math>
:<math>
   \mathbf{C}_{q r} = \sum^s_{i=1}\mathbf{A}_{q i}\mathbf{B}_{i r}.  
   \mathbf{C}_{q r} = \sum^s_{i=1}\mathbf{A}_{q i}\mathbf{B}_{i r}.  
</math>
</math>
या,[[ आइंस्टीन संकेतन ]] का उपयोग करते हुए, जो पुनरावर्तित किए गए सूचकांकों पर स्पष्ट रूप से योग करता है:
या,[[ आइंस्टीन संकेतन | आइंस्टीन संकेतन]] का उपयोग करते हुए, जो पुनरावर्तित किए गए सूचकांकों पर स्पष्ट रूप से योग करता है:


:<math>
:<math>
Line 77: Line 77:




== विपरीत खंड आव्यूह ==
== विपरीत खंड मैट्रिक्स      ==
{{see also|हेल्मर्ट-वुल्फ ब्लॉकिंग}}
{{see also|हेल्मर्ट-वुल्फ ब्लॉकिंग}}


यदि एक आव्यूह को चार खंडों में विभाजित किया गया है, तो यह आव्यूह विपरीत हो सकता है, विपरीत खंड वार इस प्रकार है:
यदि एक मैट्रिक्स को चार खंडों में विभाजित किया गया है, तो यह मैट्रिक्स विपरीत हो सकता है, विपरीत खंड वार इस प्रकार है:


:<math>\mathbf{P} = \begin{bmatrix}
:<math>\mathbf{P} = \begin{bmatrix}
Line 92: Line 92:
   \end{bmatrix},
   \end{bmatrix},
</math>
</math>
जहां ए और डी यादृच्छिक आकार के वर्गखंड हैं, और बी और सी विभाजन के लिए उनके साथ अनुरूप आव्यूह हैं। इसके अतिरिक्त, ए और शूर पी में ए के पूरक हैं: {{nowrap|'''P'''/'''A''' {{=}} '''D''' − '''CA'''{{sup|−1}}'''B'''}} विपरीत होना चाहिए।<ref>
जहां ए और डी यादृच्छिक आकार के वर्ग खंड हैं, और बी और सी विभाजन के लिए उनके अनुरूप हैं।
{{cite book
  | last = Bernstein
  | first = Dennis
  | title = Matrix Mathematics
  | publisher = Princeton University Press
  | year = 2005
  | pages = 44
  | isbn = 0-691-11802-7
}}</ref> समतुल्य रूप से, खंडों को अनुमति देकर:


इसके अतिरिक्त, A और P में A का शूर पूरक: P/A = D − CA−1B उलटा होना चाहिए। [6 समतुल्य रूप से, खंड        ों को अनुमति देकर:
:<math>\mathbf{P} = \begin{bmatrix}
:<math>\mathbf{P} = \begin{bmatrix}
     \mathbf{A} & \mathbf{B} \\
     \mathbf{A} & \mathbf{B} \\
Line 113: Line 105:
   \end{bmatrix}.
   \end{bmatrix}.
</math>
</math>
यहां, डी और शूर पी में डी के पूरक हैं: {{nowrap|'''P'''/'''D''' {{=}} '''A''' − '''BD'''{{sup|−1}}'''C'''}} विपरीत होना चाहिए।
यहाँ, P में D का D और शूर पूरक: P/D = A − BD−1C विपरीत होना चाहिए


यदि A और D दोनों व्युत्क्रमणीय हैं, तो:
यदि A और D दोनों व्युत्क्रमणीय हैं, तो:
Line 129: Line 121:
   \end{bmatrix}.
   \end{bmatrix}.
</math>
</math>
वेनस्टाइन-एरोन्ज़जन पहचान के अनुसार,खंड -विकर्ण आव्यूह में दो आव्यूहो में से एक वास्तव में विपरीत होता है।
वेनस्टाइन-एरोन्ज़जन पहचान के अनुसार,खंड -विकर्ण मैट्रिक्स में दो मैट्रिक्स में से एक वास्तव में विपरीत होता है।


== खंड आव्यूह निर्धारक==
== खंड मैट्रिक्स        निर्धारक==
ए के निर्धारक के लिए सूत्र <math>2 \times 2</math> ऊपर -आव्यूह चार उपआव्यूह से बने आव्यूह के लिए उपयुक्त आगे की धारणाओं के अंतर्गत जारी है <math>A, B, C, D</math>. सबसे सरल ऐसा सूत्र है, जिसे लाइबनिज सूत्र या [[शूर पूरक]] से जुड़े गुणनखंड का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है,
A के निर्धारक के लिए सूत्र 2 × 2 उपरोक्त 2\बार 2-मैट्रिक्स, चार सबमैट्रिसेस से बने मैट्रिक्स के लिए, उचित आगे की धारणाओं के अंतर्गत अवधारित है <math>A, B, C, D</math>. सबसे सरल ऐसा सूत्र है, जिसे लाइबनिज सूत्र या [[शूर पूरक]] से जुड़े गुणनखंड का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है,
:<math>\det\begin{pmatrix}A& 0\\ C& D\end{pmatrix} = \det(A) \det(D) = \det\begin{pmatrix}A& B\\ 0& D\end{pmatrix}.</math>
:<math>\det\begin{pmatrix}A& 0\\ C& D\end{pmatrix} = \det(A) \det(D) = \det\begin{pmatrix}A& B\\ 0& D\end{pmatrix}.</math>
यदि <math>A</math> [[उलटा मैट्रिक्स|विपरीत आव्यूह]] है (और इसी तरह यदि   <math>D</math> विपरीत है<ref>Taboga, Marco (2021). "Determinant of a block matrix", Lectures on matrix algebra.</ref>), किसी के पास
यदि <math>A</math> [[उलटा मैट्रिक्स|विपरीत]] है और इसी तरह यदि <math>D</math> विपरीत है<ref>Taboga, Marco (2021). "Determinant of a block matrix", Lectures on matrix algebra.</ref>), किसी के पास


:<math>\det\begin{pmatrix}A& B\\ C& D\end{pmatrix} = \det(A) \det\left(D - C A^{-1} B\right) .</math>
:<math>\det\begin{pmatrix}A& B\\ C& D\end{pmatrix} = \det(A) \det\left(D - C A^{-1} B\right) .</math>
यदि <math>D</math> एक है <math>1 \times 1</math>-आव्यूह, यह सरल करता है <math>\det (A) (D - CA^{-1}B)</math>.
यदि <math>D</math> एक है <math>1 \times 1</math> मैट्रिक्स यह सरल करता है <math>\det (A) (D - CA^{-1}B)</math>.


यदिखंड       समान आकार के वर्ग आव्यूह हैं तो आगे के सूत्र मान्य हैं। उदाहरण के लिए, यदि <math>C</math> और <math>D</math> [[क्रमविनिमेयता]] (यानी, <math>CD=DC</math>), तब
यदिखंड समान आकार के वर्ग मैट्रिक्स हैं तो आगे के सूत्र मान्य हैं। उदाहरण के लिए, यदि <math>C</math> और <math>D</math> [[क्रमविनिमेयता]] (अर्थात , <math>CD=DC</math>), तब
:<math>\det\begin{pmatrix}A& B\\ C& D\end{pmatrix} = \det(AD - BC).</math><ref>{{Cite journal|first= J. R.|last= Silvester|title= ब्लॉक मेट्रिसेस के निर्धारक|journal= Math. Gazette|volume= 84|issue= 501|year= 2000|pages= 460–467|jstor= 3620776|url= http://www.ee.iisc.ernet.in/new/people/faculty/prasantg/downloads/blocks.pdf|doi= 10.2307/3620776|access-date= 2021-06-25|archive-date= 2015-03-18|archive-url= https://web.archive.org/web/20150318222335/http://www.ee.iisc.ernet.in/new/people/faculty/prasantg/downloads/blocks.pdf|url-status= dead}}</ref>
:<math>\det\begin{pmatrix}A& B\\ C& D\end{pmatrix} = \det(AD - BC).</math><ref>{{Cite journal|first= J. R.|last= Silvester|title= ब्लॉक मेट्रिसेस के निर्धारक|journal= Math. Gazette|volume= 84|issue= 501|year= 2000|pages= 460–467|jstor= 3620776|url= http://www.ee.iisc.ernet.in/new/people/faculty/prasantg/downloads/blocks.pdf|doi= 10.2307/3620776|access-date= 2021-06-25|archive-date= 2015-03-18|archive-url= https://web.archive.org/web/20150318222335/http://www.ee.iisc.ernet.in/new/people/faculty/prasantg/downloads/blocks.pdf|url-status= dead}}</ref>
से अधिक से बने आव्यूहों के लिए इस सूत्र का सामान्यीकरण किया गया है <math>2 \times 2</math>खंड     , अलग-अलगखंड      ो के मध्य फिर से उपयुक्त कम्यूटेटिविटी स्थितियों के अंतर्गत ।<ref>{{cite journal|last1=Sothanaphan|first1=Nat|title=नॉनकम्यूटिंग ब्लॉक वाले ब्लॉक मैट्रिसेस के निर्धारक|journal=Linear Algebra and Its Applications|date=January 2017|volume=512|pages=202–218|doi=10.1016/j.laa.2016.10.004|arxiv=1805.06027|s2cid=119272194}}</ref> के लिए <math>A = D </math> और <math>B=C</math>, निम्न सूत्र धारण करता है (भले ही <math>A</math> और <math>B</math> आवागमन न करें)
से अधिक से बने मैट्रिक्स के लिए इस सूत्र का सामान्यीकरण किया गया है <math>2 \times 2</math> खंड अलग-अलग खंडों के मध्य फिर से उपयुक्त क्रम विनिमेयता स्थितियों के अंतर्गत ।<ref>{{cite journal|last1=Sothanaphan|first1=Nat|title=नॉनकम्यूटिंग ब्लॉक वाले ब्लॉक मैट्रिसेस के निर्धारक|journal=Linear Algebra and Its Applications|date=January 2017|volume=512|pages=202–218|doi=10.1016/j.laa.2016.10.004|arxiv=1805.06027|s2cid=119272194}}</ref> <math>A = D </math> और <math>B=C</math>,के लिए निम्न सूत्र प्रस्तुत करता है (अतः  <math>A</math> और <math>B</math> रूपान्तरित न करें)
:<math>\det\begin{pmatrix}A& B\\ B& A\end{pmatrix} = \det(A - B) \det(A + B).</math>
:<math>\det\begin{pmatrix}A& B\\ B& A\end{pmatrix} = \det(A - B) \det(A + B).</math>




== खंड विकर्ण आव्यूहो  ==
== खंड विकर्ण मैट्रिक्स      ==
खंड विकर्ण आव्यूह एक खंड आव्यूह है जो एक [[स्क्वायर मैट्रिक्स|स्क्वायर आव्यूह]] है जैसे कि मुख्य-विकर्ण खंड वर्ग आव्यूह हैं और सभी बंद -विकर्ण खंड शून्य आव्यूह हैं। अर्थात्, एक खंड विकर्ण आव्यूह A का रूप है
खंड विकर्ण मैट्रिक्स एक खंड मैट्रिक्स है जो एक [[स्क्वायर मैट्रिक्स]] है जैसे कि मुख्य-विकर्ण खंड वर्ग मैट्रिक्स हैं और सभी बंद -विकर्ण खंड शून्य मैट्रिक्स हैं। अर्थात्, एक खंड विकर्ण मैट्रिक्स  A का रूप है


:<math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix}  
:<math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix}  
Line 153: Line 145:
   \vdots      & \vdots        & \ddots & \vdots      \\
   \vdots      & \vdots        & \ddots & \vdots      \\
   \mathbf{0}  & \mathbf{0}    & \cdots & \mathbf{A}_n
   \mathbf{0}  & \mathbf{0}    & \cdots & \mathbf{A}_n
\end{bmatrix}</math>
\end{bmatrix}</math>जहाँ '''A'''<sub>''k''</sub> सभी k = 1, ..., n के लिए एक वर्ग मैट्रिक्स है। दूसरे शब्दों में, मैट्रिक्स A, A1, ..., An का प्रत्यक्ष योग है। इसे A1 ⊕ A2 ⊕ ... ⊕ An या (A1, A2, ..., An) के रूप में भी दर्शाया जा सकता है। किसी भी वर्ग मैट्रिक्स को मात्र  एक खंड के साथ खंड विकर्ण मैट्रिक्स माना जा सकता है
जहाँ एक<sub>''k''</sub> सभी k = 1, ..., n के लिए वर्ग आव्यूह है। दूसरे शब्दों में, आव्यूह 'ए' 'ए' के ​​आव्यूह का सीधा योग है<sub>1</sub>, ..., ए<sub>''n''</sub>. इसे ए के रूप में भी दर्शाया जा सकता है<sub>1</sub>⊕ ए<sub>2</sub>⊕ ... ⊕ ए<sub>''n''</sub> या डायग (ए<sub>1</sub>, ए<sub>2</sub>, ..., ए<sub>''n''</sub>)  (बाद वाला वही औपचारिकता है जो [[विकर्ण मैट्रिक्स|विकर्ण आव्यूह]] के लिए उपयोग किया जाता है)। किसी भी वर्ग आव्यूह को मात्र  एक खंड के साथ खंड विकर्ण आव्यूह माना जा सकता है।
 
निर्धारक और [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] के लिए, निम्नलिखित गुण धारण करते हैं
निर्धारक और [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] के लिए, निम्नलिखित गुण धारण करते हैं
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
               \det\mathbf{A} &= \det\mathbf{A}_1 \times \cdots \times \det\mathbf{A}_n, \\
               \det\mathbf{A} &= \det\mathbf{A}_1 \times \cdots \times \det\mathbf{A}_n, \\
   \operatorname{tr}\mathbf{A} &= \operatorname{tr} \mathbf{A}_1 + \cdots + \operatorname{tr} \mathbf{A}_n.\end{align}</math>
   \operatorname{tr}\mathbf{A} &= \operatorname{tr} \mathbf{A}_1 + \cdots + \operatorname{tr} \mathbf{A}_n.\end{align}</math>
एक खंड विकर्ण आव्यूह व्युत्क्रमणीय है यदि इसके प्रत्येक मुख्य-विकर्ण खंड व्युत्क्रमणीय हैं, और इस विषयो में इसका व्युत्क्रम एक अन्य खंड विकर्ण आव्यूह द्वारा दिया गया है
एक खंड विकर्ण मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है यदि इसके प्रत्येक मुख्य-विकर्ण खंड व्युत्क्रमणीय हैं, और इस विषयो में इसका व्युत्क्रम एक अन्य खंड विकर्ण मैट्रिक्स        द्वारा दिया गया है
:<math>\begin{bmatrix}
:<math>\begin{bmatrix}
     \mathbf{A}_{1} & \mathbf{0}    & \cdots & \mathbf{0} \\
     \mathbf{A}_{1} & \mathbf{0}    & \cdots & \mathbf{0} \\
Line 173: Line 163:
   \end{bmatrix}.
   \end{bmatrix}.
</math>
</math>
के eigenvalues ​​​​और eigenvectors <math>\mathbf{A}</math> बस उन्हीं में से हैं <math>\mathbf{A}_k</math>एस संयुक्त।
आइगेनवैल्यूज़ ​​​​और आइगेनवेक्टर्स <math>\mathbf{A}</math> बस उन्हीं में से <math>\mathbf{A}_k</math>s के संयुक्त हैं।


== त्रिविकर्णिक आव्यूहो को खंड करें ==
== त्रिविकर्णिक मैट्रिक्स का खंड करे ==
एक खंड त्रिविकर्णिक आव्यूह अन्य विशेष खंड आव्यूह है, जो खंड विकर्ण आव्यूह की तरह एक वर्ग आव्यूह है, जिसमें निचले विकर्ण, [[मुख्य विकर्ण]] और ऊपरी विकर्ण में वर्ग आव्यूह खंड होते हैं, अन्य सभी खंड शून्य आव्यूह होते हैं। यह अनिवार्य रूप से एक [[त्रिकोणीय मैट्रिक्स|त्रिकोणीय आव्यूह]] है, लेकिन स्केलर के स्थानों में उपआव्यूह हैं। एक खंड त्रिविकर्णिक आव्यूह A का रूप है
एक खंड त्रिविकर्णिक मैट्रिक्स अन्य विशेष खंड मैट्रिक्स है, जो खंड विकर्ण मैट्रिक्स की तरह एक वर्ग मैट्रिक्स है, जिसमें निचले विकर्ण, [[मुख्य विकर्ण]] और ऊपरी विकर्ण में वर्ग मैट्रिक्स खंड होते हैं, अन्य सभी खंड शून्य मैट्रिक्स होते हैं। यह अनिवार्य रूप से एक [[त्रिकोणीय मैट्रिक्स]] है, परंतु स्केलर के स्थानों में उपमैट्रिक्स हैं। एक खंड त्रिविकर्णिक मैट्रिक्स A का रूप है


:<math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
:<math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
Line 187: Line 177:
       \mathbf{0} &                &        \cdots &                &                  &  \mathbf{A}_{n} &  \mathbf{B}_{n}
       \mathbf{0} &                &        \cdots &                &                  &  \mathbf{A}_{n} &  \mathbf{B}_{n}
\end{bmatrix}</math>
\end{bmatrix}</math>
जहाँ एक<sub>''k''</sub>, बी<sub>''k''</sub> और सी<sub>''k''</sub> क्रमशः निचले, मुख्य और ऊपरी विकर्ण के वर्ग उप-आव्यूह हैं।
जहाँ A<sub>''k''</sub>, B<sub>''k''</sub> और C<sub>''k''</sub> क्रमशः निचले, मुख्य और ऊपरी विकर्ण के वर्ग उप-मैट्रिक्स हैं।


अभियांत्रिकी समस्याओं के संख्यात्मक समाधान (जैसे, कम्प्यूटेशनल द्रव गतिकी) में खंड त्रिविकर्णिक आव्यूहो का प्रायः सामना किया जाता है। एलयू गुणन के लिए अनुकूलित संख्यात्मक विधि उपलब्ध हैं और इसलिए गुणांक आव्यूह के रूप में एक खंड त्रिविकर्णिक आव्यूहो के साथ समीकरण प्रणालियों के लिए कुशल समाधान [[थॉमस एल्गोरिथम|कलन विधि]] त्रिविकर्णिक आव्यूह को सम्मिलित करने वाले समीकरण प्रणालियों के कुशल समाधान के लिए उपयोग किए जाने वाले [[थॉमस एल्गोरिथम|थॉमस कलन विधि]] को त्रिविकर्णिक आव्यूहो को खंड करने के लिए आव्यूह संक्रियाओ का उपयोग करके भी लागू किया जा सकता है (खंड  एलयू अपघटन भी देखें)।
अभियांत्रिकी समस्याओं के संख्यात्मक समाधान में खंड त्रिविकर्णिक मैट्रिक्स  का प्रायः सामना किया जाता है। LU गुणन के लिए अनुकूलित संख्यात्मक विधि उपलब्ध हैं और इसलिए गुणांक मैट्रिक्स के रूप में एक खंड त्रिविकर्णिक मैट्रिक्स के साथ समीकरण प्रणालियों के लिए कुशल समाधान [[थॉमस एल्गोरिथम|कलन विधि]] त्रिविकर्णिक मैट्रिक्स        को सम्मिलित करने वाले समीकरण प्रणालियों के कुशल समाधान के लिए उपयोग किए जाने वाले [[थॉमस एल्गोरिथम|थॉमस कलन विधि]] को त्रिविकर्णिक मैट्रिक्स को खंड करने के लिए मैट्रिक्स संक्रियाओ का उपयोग करके भी लागू किया जा सकता है।


== खंड [[टोप्लिट्ज मैट्रिक्स|टोप्लिट्ज आव्यूह]] ==
== खंड [[टोप्लिट्ज मैट्रिक्स]]       ==
एक खंड [[टोप्लिट्ज मैट्रिक्स|टोप्लिट्ज]] आव्यूह एक अन्य विशेषखंड आव्यूह है, जिसमें ऐसे खंड होते हैं जो आव्यूह के विकर्णों के नीचे पुनरावर्तित किए जाते हैं, क्योंकि [[टोप्लिट्ज मैट्रिक्स|टोप्लिट्ज]] आव्यूह में विकर्ण के नीचे दोहराए गए तत्व होते हैं।
एक खंड [[टोप्लिट्ज मैट्रिक्स|टोप्लिट्ज]] मैट्रिक्स एक अन्य विशेषखंड मैट्रिक्स है, जिसमें ऐसे खंड होते हैं जो मैट्रिक्स के विकर्णों के नीचे पुनरावर्तित किए जाते हैं, क्योंकि [[टोप्लिट्ज मैट्रिक्स|टोप्लिट्ज]] मैट्रिक्स में विकर्ण के नीचे पुनरावर्तित किए गए तत्व होते हैं।


एक खंड [[टोप्लिट्ज मैट्रिक्स|टोप्लिट्ज]] आव्यूह A का रूप है
एक खंड [[टोप्लिट्ज मैट्रिक्स|टोप्लिट्ज]] मैट्रिक्स  A का रूप है


:<math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
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== खंड [[खिसकाना]] ==
== खंड [[खिसकाना|स्थानान्तरण]] ==
खंड आव्यूहो    के लिए आव्यूह ट्रांज़ोज़ का एक विशेष रूप भी परिभाषित किया जा सकता है, जहां अलग-अलगखंड      ों को फिर से व्यवस्थित किया जाता है लेकिन स्थानांतरित नहीं किया जाता है। होने देना <math>A=(B_{ij})</math> एक हो <math>k \times l</math>खंड       आव्यूह के साथ <math>m \times n</math> ब्लाकों <math>B_{ij}</math>, काखंड      स्थानान्तरण <math>A</math> है <math>l \times k</math>खंड       आव्यूह <math>A^\mathcal{B}</math> साथ <math>m \times n</math> ब्लाकों <math>\left(A^\mathcal{B}\right)_{ij} = B_{ji}</math>.<ref>{{cite thesis |last=Mackey |first=D. Steven |date=2006 |title=मैट्रिक्स बहुपदों के लिए संरचित रैखिककरण|publisher=University of Manchester |issn=1749-9097 |oclc=930686781 |url=http://eprints.maths.manchester.ac.uk/314/1/mackey06.pdf}}</ref>
खंड मैट्रिसेस के लिए मैट्रिक्स ट्रांज़ोज़ का एक विशेष रूप भी परिभाषित किया जा सकता है, जहां अलग-अलग खंडों को पुनः व्यवस्थित किया जाता है परंतु  स्थानांतरित नहीं किया जाता है। <math>A=(B_{ij})</math> एक हो <math>k \times l</math> खंड मैट्रिक्स के साथ <math>m \times n</math> खंडों <math>B_{ij}</math>, का खंड स्थानान्तरण <math>A</math> है <math>l \times k</math> खंड मैट्रिक्स  <math>A^\mathcal{B}</math> साथ <math>m \times n</math> खंडों <math>\left(A^\mathcal{B}\right)_{ij} = B_{ji}</math>.<ref>{{cite thesis |last=Mackey |first=D. Steven |date=2006 |title=मैट्रिक्स बहुपदों के लिए संरचित रैखिककरण|publisher=University of Manchester |issn=1749-9097 |oclc=930686781 |url=http://eprints.maths.manchester.ac.uk/314/1/mackey06.pdf}}</ref>पारंपरिक अनुरेख संचालक के साथ,खंड स्थानान्तरण एक रेखीय मानचित्रण है जैसे कि <math>(A + C)^\mathcal{B} = A^\mathcal{B} + C^\mathcal{B} </math>.सामान्यतः विभव  <math>(A C)^\mathcal{B} = C^\mathcal{B} A^\mathcal{B} </math> के खंड जब तक <math>A</math> और <math>C</math> आवागमन के लिए नियन्त्रित नहीं है ।
पारंपरिक ट्रेस ऑपरेटर के साथ,खंड       ट्रांज़ोज़ एक रेखीय मानचित्रण है जैसे कि <math>(A + C)^\mathcal{B} = A^\mathcal{B} + C^\mathcal{B} </math>. यद्यपि    , सामान्य तौर पर संपत्ति <math>(A C)^\mathcal{B} = C^\mathcal{B} A^\mathcal{B} </math> केखंड      जब तक पकड़ नहीं है <math>A</math> और <math>C</math> आना-जाना।


== प्रत्यक्ष योग ==
== प्रत्यक्ष योग       ==
{{See also|Matrix addition#Direct sum}}
किसी भी यादृच्छिक मैट्रिक्स  A (आकार ''m'' ×''n'') और B (आकार ''p'' × ''q'') के लिए, हमारे पास A और B का प्रत्यक्ष योग है, जिसे इसके द्वारा दर्शाया गया है ए<math>\oplus</math>बी और के रूप में परिभाषित किया गया है
किसी भी यादृच्छिक   आव्यूह A (आकार ''m'' ×''n'') और B (आकार ''p'' × ''q'') के लिए, हमारे पास A और B का प्रत्यक्ष योग है, जिसे इसके द्वारा दर्शाया गया है ए<math>\oplus</math>बी और के रूप में परिभाषित किया गया है
   
   
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यह संक्रिया स्वाभाविक रूप से यादृच्छिक आयामी सरणियों के लिए सामान्यीकृत करता है (बशर्ते ए और बी में समान संख्या में आयाम हों)।
यह संक्रिया स्वाभाविक रूप से यादृच्छिक आयामी सरणियों के लिए सामान्यीकृत करता है (बशर्ते ए और बी में समान संख्या में आयाम हों)।


ध्यान दें कि आव्यूह के दो वेक्टर रिक्त स्थान के वेक्टर रिक्त स्थान के प्रत्यक्ष योग में किसी भी तत्व को दो आव्यूह के प्रत्यक्ष योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।
ध्यान दें कि मैट्रिक्स के दो वेक्टर रिक्त स्थान के वेक्टर रिक्त स्थान के प्रत्यक्ष योग में किसी भी तत्व को दो मैट्रिक्स के प्रत्यक्ष योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।


== अनुप्रयोग ==
== अनुप्रयोग       ==
रेखीय बीजगणित के संदर्भ में, एक खंड आव्यूह का उपयोग आधार सदिशों के संबंधित 'बंच' के संदर्भ में एक रेखीय मानचित्रण के विचार से मेल खाता है। वह फिर से डोमेन और श्रेणी के विशिष्ट प्रत्यक्ष योग अपघटन के विचार से मेल खाता है। यदि खंड [[शून्य मैट्रिक्स|शून्य आव्यूह]] है तो यह विशेष रूप से सदैव महत्वपूर्ण होता है; जो उस जानकारी को वहन करता है जो एक मानचित्र सारांश एक उप-योग में करता है।
रेखीय बीजगणित के संदर्भ में, एक खंड मैट्रिक्स का उपयोग आधार सदिशों के संबंधित 'बंच' के संदर्भ में एक रेखीय मानचित्रण के विचार से मेल खाता है। वह फिर से डोमेन और श्रेणी के विशिष्ट प्रत्यक्ष योग अपघटन के विचार से मेल खाता है। यदि खंड [[शून्य मैट्रिक्स]] है तो यह विशेष रूप से सदैव महत्वपूर्ण होता है; जो उस जानकारी को वहन करता है जो एक मानचित्र के उपयोग में करता है।


रैखिक मानचित्रण और प्रत्यक्ष योग के माध्यम से व्याख्या को देखते हुए, एक विशेष प्रकार का खंड आव्यूह होता है जो वर्ग आव्यूहो    (केस m = n) के लिए होता है। उन लोगों के लिए हम एक एन-डायमेंशनल स्पेस वी के [[एंडोमोर्फिज्म]] के रूप में एक व्याख्या मान सकते हैं; खंड संरचना जिसमें पंक्तियों और स्तंभों का बंचिंग समान है, महत्वपूर्ण है क्योंकि यह V (दो के बजाय) पर एकल प्रत्यक्ष योग अपघटन से मेल खाती है। उस मामले में, उदाहरण के लिए, स्पष्ट अर्थों में [[विकर्ण]] खंड सभी वर्ग हैं। जॉर्डन के सामान्य रूप का वर्णन करने के लिए इस प्रकार की संरचना की आवश्यकता होती है।
रैखिक मानचित्रण और प्रत्यक्ष योग के माध्यम से व्याख्या को देखते हुए, एक विशेष प्रकार का खंड मैट्रिक्स होता है जो वर्ग मैट्रिसेस (स्थिति m = n) के लिए होता है।  


इस तकनीक का उपयोग [[वीएलएसआई]] चिप डिजाइन सहित आव्यूहो  , कॉलम-पंक्ति विस्तार और कई [[कंप्यूटर विज्ञान]] अनुप्रयोगों की गणना में कटौती करने के लिए किया जाता है। एक उदाहरण तेज [[मैट्रिक्स गुणन|आव्यूह गुणन]] के लिए [[सड़क एल्गोरिथ्म]] है, साथ ही डेटा प्रसारण में त्रुटि का पता लगाने और पुनर्प्राप्ति के लिए हैमिंग (7,4) एन्कोडिंग है।
उन लोगों के लिए हम एक n-विमितीय स्थान V के अंतःरूपांतरण  में एक व्याख्या मान सकते हैं; खंड संरचना जिसमें पंक्तियों और स्तंभों का बंचिंग समान है, महत्वपूर्ण है क्योंकि यह वी (दो के बजाय) पर एक प्रत्यक्ष योग अपघटन होने के अनुरूप है। उदाहरण के लिए, स्पष्ट अर्थों में सभी [[विकर्ण]] खंड वर्ग हैं। जॉर्डन के सामान्य रूप का वर्णन करने के लिए इस प्रकार की संरचना की आवश्यकता होती है।


तकनीक का उपयोग वहां भी किया जा सकता है जहां ए, बी, सी और डी आव्यूह के तत्वों को उनके तत्वों के लिए समान क्षेत्र की आवश्यकता नहीं होती है। उदाहरण के लिए, आव्यूह ए जटिल संख्याओं के क्षेत्र में हो सकता है, जबकि आव्यूह डी वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में हो सकता है। यह एक आव्यूहो    के भीतर संचालन को सरल करते हुए, आव्यूहो    से जुड़े वैध संचालन को जन्म दे सकता है। उदाहरण के लिए, यदि डी में केवल वास्तविक तत्व हैं, तो इसके व्युत्क्रम को खोजने में जटिल तत्वों पर विचार करने की तुलना में कम गणना होती है। लेकिन वास्तविक जटिल संख्याओं का एक उपक्षेत्र है (आगे इसे एक प्रक्षेपण माना जा सकता है), इसलिए आव्यूहो    संचालन को अच्छी तरह से परिभाषित किया जा सकता है।
इस तकनीक का उपयोग [[वीएलएसआई]] चिप प्रारूप सहित मैट्रिक्स कॉलम-पंक्ति विस्तार और कई [[कंप्यूटर विज्ञान]] अनुप्रयोग की गणना में कटौती करने के लिए किया जाता है। एक उदाहरण तेज [[मैट्रिक्स गुणन]] के लिए [[सड़क एल्गोरिथ्म|सड़क]] विधिकालन है, साथ ही डेटा प्रसारण में त्रुटि का पता लगाने और पुनर्प्राप्ति के लिए हैमिंग (7,4) संकेतन है।
 
तकनीक का उपयोग वहां भी किया जा सकता है जहां A, B, C और D मैट्रिक्स के तत्वों के लिए समान क्षेत्र की आवश्यकता नहीं होती है। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स A जटिल संख्याओं के क्षेत्र में हो सकता है, जबकि मैट्रिक्स D वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में हो सकता है। यह एक मेट्रिसेस के अंदर संचालन को सरल करते हुए, मैट्रिसेस से जुड़े वैध संचालन को जन्म दे सकता है। उदाहरण के लिए, यदि D में एक मात्र वास्तविक तत्व हैं, तो इसके व्युत्क्रम को खोजने में जटिल तत्वों पर विचार करने के सापेक्ष में कम गणना होती है। लेकिन वास्तविक जटिल संख्याओं का एक उपक्षेत्र है (आगे इसे एक प्रक्षेपण माना जा सकता है), इसलिए मेट्रिसेस संचालन को अच्छी तरह से परिभाषित किया जा सकता है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* [[क्रोनकर उत्पाद]] (आव्यूह प्रत्यक्ष उत्पाद जिसके परिणामस्वरूपखंड      आव्यूह होता है)
* [[क्रोनकर उत्पाद]] मैट्रिक्स प्रत्यक्ष उत्पाद जिसके परिणाम स्वरूप खंड मैट्रिक्स होता है


==टिप्पणियाँ==
==टिप्पणियाँ==
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Latest revision as of 21:21, 17 April 2023

गणित में, खंड मैट्रिक्स या विभाजित मैट्रिक्स एक ऐसा मैट्रिक्स होता है जिसे खंड या उपमैट्रिक्स नामक खंडों में विभाजित किया जाता है। खंड मैट्रिक्स के रूप में व्याख्या किए गए मैट्रिक्स को क्षैतिज और लंबवत रेखाओं के संग्रह के साथ मूल मैट्रिक्स के रूप में देखा जा सकता है, जो इसे छोटे मैट्रिक्स के संग्रह में विभाजित करता है, या इसे विभाजित करता है। किसी भी मैट्रिक्स को खंड मैट्रिक्स के रूप में एक या अधिक विधियों से व्याख्या किया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक व्याख्या को परिभाषित किया जाता है कि इसकी पंक्तियों और स्तंभों को कैसे विभाजित किया जाता है।

इस धारणा में मैट्रिक्स को द्वारा के लिए को एक संग्रह पंक्ति समूह मे विभाजित करके और पुनः को एक संग्रह स्तंभसमूह द्वारा विभाजन करके सटीक बनाया जा सकता है मूल मैट्रिक्स को तब इन समूहों के स्तंभ के रूप में माना जाता है, इस अर्थ में कि मूल मैट्रिक्स प्रविष्टि 1-से -1 विधि से कुछ ऑफसेट प्रविष्टि के समान है, जहाँ पंक्ति समूह और खंड मैट्रिक्स सामान्य रूप से मैट्रिक्स की श्रेणी में द्विउत्पाद से उत्पन्न होता है।[1]

उदाहरण

12×12, 12×24, 24×12, और 24×24 सब-मैट्रिक्स ो के साथ एक 168×168 एलिमेंट खंड मैट्रिक्सगैर-शून्य तत्व नीले रंग में हैं, शून्य तत्व भूरा हैं।

मैट्रिक्स

को चार 2×2 खंडों में विभाजित किया जा सकता है

तब इसे विभाजित मैट्रिक्स के रूप में लिखा जा सकता है


खंड मैट्रिक्स गुणन

एक खंड विभाजित मैट्रिक्स उत्पाद का उपयोग करना संभव है जिसमें कारकों के उपमैट्रिक्स पर मात्र बीजगणित सम्मिलित है। यद्यपि कारकों का विभाजन यादृच्छिक नहीं है, और इसके लिए अनुकूल मैट्रिक्स विभाजन की आवश्यकता होती है[2] जैसे कि दो मैट्रिक्स और के मध्य उपयोग किए जाने वाले सभी उप मैट्रिक्स उत्पादों को परिभाषित किया गया है।[3]

और मैट्रिक्स साथ पंक्ति विभाजन और स्तंभ विभाजन

जो विभाजन के साथ संगत हैं, मैट्रिक्स उत्पाद

उपज, खंडवार किया जा सकता है के रूप में साथ मैट्रिक्स पंक्ति विभाजन और स्तंभ विभाजन मैट्रिक्स परिणामी में मैट्रिक्स गुणा करके गणना की जाती है:

या, आइंस्टीन संकेतन का उपयोग करते हुए, जो पुनरावर्तित किए गए सूचकांकों पर स्पष्ट रूप से योग करता है:


विपरीत खंड मैट्रिक्स

See also: हेल्मर्ट-वुल्फ ब्लॉकिंग

यदि एक मैट्रिक्स को चार खंडों में विभाजित किया गया है, तो यह मैट्रिक्स विपरीत हो सकता है, विपरीत खंड वार इस प्रकार है:

जहां ए और डी यादृच्छिक आकार के वर्ग खंड हैं, और बी और सी विभाजन के लिए उनके अनुरूप हैं।

इसके अतिरिक्त, A और P में A का शूर पूरक: P/A = D − CA−1B उलटा होना चाहिए। [6 समतुल्य रूप से, खंड ों को अनुमति देकर:

यहाँ, P में D का D और शूर पूरक: P/D = A − BD−1C विपरीत होना चाहिए

यदि A और D दोनों व्युत्क्रमणीय हैं, तो:

वेनस्टाइन-एरोन्ज़जन पहचान के अनुसार,खंड -विकर्ण मैट्रिक्स में दो मैट्रिक्स में से एक वास्तव में विपरीत होता है।

खंड मैट्रिक्स निर्धारक

A के निर्धारक के लिए सूत्र 2 × 2 उपरोक्त 2\बार 2-मैट्रिक्स, चार सबमैट्रिसेस से बने मैट्रिक्स के लिए, उचित आगे की धारणाओं के अंतर्गत अवधारित है . सबसे सरल ऐसा सूत्र है, जिसे लाइबनिज सूत्र या शूर पूरक से जुड़े गुणनखंड का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है,

यदि विपरीत है और इसी तरह यदि विपरीत है[4]), किसी के पास

यदि एक है मैट्रिक्स यह सरल करता है .

यदिखंड समान आकार के वर्ग मैट्रिक्स हैं तो आगे के सूत्र मान्य हैं। उदाहरण के लिए, यदि और क्रमविनिमेयता (अर्थात , ), तब

[5]

से अधिक से बने मैट्रिक्स के लिए इस सूत्र का सामान्यीकरण किया गया है खंड अलग-अलग खंडों के मध्य फिर से उपयुक्त क्रम विनिमेयता स्थितियों के अंतर्गत ।[6] और ,के लिए निम्न सूत्र प्रस्तुत करता है (अतः और रूपान्तरित न करें)


खंड विकर्ण मैट्रिक्स

खंड विकर्ण मैट्रिक्स एक खंड मैट्रिक्स है जो एक स्क्वायर मैट्रिक्स है जैसे कि मुख्य-विकर्ण खंड वर्ग मैट्रिक्स हैं और सभी बंद -विकर्ण खंड शून्य मैट्रिक्स हैं। अर्थात्, एक खंड विकर्ण मैट्रिक्स A का रूप है

जहाँ Ak सभी k = 1, ..., n के लिए एक वर्ग मैट्रिक्स है। दूसरे शब्दों में, मैट्रिक्स A, A1, ..., An का प्रत्यक्ष योग है। इसे A1 ⊕ A2 ⊕ ... ⊕ An या (A1, A2, ..., An) के रूप में भी दर्शाया जा सकता है। किसी भी वर्ग मैट्रिक्स को मात्र एक खंड के साथ खंड विकर्ण मैट्रिक्स माना जा सकता है

निर्धारक और ट्रेस (रैखिक बीजगणित) के लिए, निम्नलिखित गुण धारण करते हैं

एक खंड विकर्ण मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है यदि इसके प्रत्येक मुख्य-विकर्ण खंड व्युत्क्रमणीय हैं, और इस विषयो में इसका व्युत्क्रम एक अन्य खंड विकर्ण मैट्रिक्स द्वारा दिया गया है

आइगेनवैल्यूज़ ​​​​और आइगेनवेक्टर्स बस उन्हीं में से s के संयुक्त हैं।

त्रिविकर्णिक मैट्रिक्स का खंड करे

एक खंड त्रिविकर्णिक मैट्रिक्स अन्य विशेष खंड मैट्रिक्स है, जो खंड विकर्ण मैट्रिक्स की तरह एक वर्ग मैट्रिक्स है, जिसमें निचले विकर्ण, मुख्य विकर्ण और ऊपरी विकर्ण में वर्ग मैट्रिक्स खंड होते हैं, अन्य सभी खंड शून्य मैट्रिक्स होते हैं। यह अनिवार्य रूप से एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स है, परंतु स्केलर के स्थानों में उपमैट्रिक्स हैं। एक खंड त्रिविकर्णिक मैट्रिक्स A का रूप है

जहाँ Ak, Bk और Ck क्रमशः निचले, मुख्य और ऊपरी विकर्ण के वर्ग उप-मैट्रिक्स हैं।

अभियांत्रिकी समस्याओं के संख्यात्मक समाधान में खंड त्रिविकर्णिक मैट्रिक्स का प्रायः सामना किया जाता है। LU गुणन के लिए अनुकूलित संख्यात्मक विधि उपलब्ध हैं और इसलिए गुणांक मैट्रिक्स के रूप में एक खंड त्रिविकर्णिक मैट्रिक्स के साथ समीकरण प्रणालियों के लिए कुशल समाधान कलन विधि त्रिविकर्णिक मैट्रिक्स को सम्मिलित करने वाले समीकरण प्रणालियों के कुशल समाधान के लिए उपयोग किए जाने वाले थॉमस कलन विधि को त्रिविकर्णिक मैट्रिक्स को खंड करने के लिए मैट्रिक्स संक्रियाओ का उपयोग करके भी लागू किया जा सकता है।

खंड टोप्लिट्ज मैट्रिक्स

एक खंड टोप्लिट्ज मैट्रिक्स एक अन्य विशेषखंड मैट्रिक्स है, जिसमें ऐसे खंड होते हैं जो मैट्रिक्स के विकर्णों के नीचे पुनरावर्तित किए जाते हैं, क्योंकि टोप्लिट्ज मैट्रिक्स में विकर्ण के नीचे पुनरावर्तित किए गए तत्व होते हैं।

एक खंड टोप्लिट्ज मैट्रिक्स A का रूप है


खंड स्थानान्तरण

खंड मैट्रिसेस के लिए मैट्रिक्स ट्रांज़ोज़ का एक विशेष रूप भी परिभाषित किया जा सकता है, जहां अलग-अलग खंडों को पुनः व्यवस्थित किया जाता है परंतु स्थानांतरित नहीं किया जाता है। एक हो खंड मैट्रिक्स के साथ खंडों , का खंड स्थानान्तरण है खंड मैट्रिक्स साथ खंडों .[7]पारंपरिक अनुरेख संचालक के साथ,खंड स्थानान्तरण एक रेखीय मानचित्रण है जैसे कि .सामान्यतः विभव के खंड जब तक और आवागमन के लिए नियन्त्रित नहीं है ।

प्रत्यक्ष योग

किसी भी यादृच्छिक मैट्रिक्स A (आकार m ×n) और B (आकार p × q) के लिए, हमारे पास A और B का प्रत्यक्ष योग है, जिसे इसके द्वारा दर्शाया गया है एबी और के रूप में परिभाषित किया गया है

उदाहरण के लिए,

यह संक्रिया स्वाभाविक रूप से यादृच्छिक आयामी सरणियों के लिए सामान्यीकृत करता है (बशर्ते ए और बी में समान संख्या में आयाम हों)।

ध्यान दें कि मैट्रिक्स के दो वेक्टर रिक्त स्थान के वेक्टर रिक्त स्थान के प्रत्यक्ष योग में किसी भी तत्व को दो मैट्रिक्स के प्रत्यक्ष योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

अनुप्रयोग

रेखीय बीजगणित के संदर्भ में, एक खंड मैट्रिक्स का उपयोग आधार सदिशों के संबंधित 'बंच' के संदर्भ में एक रेखीय मानचित्रण के विचार से मेल खाता है। वह फिर से डोमेन और श्रेणी के विशिष्ट प्रत्यक्ष योग अपघटन के विचार से मेल खाता है। यदि खंड शून्य मैट्रिक्स है तो यह विशेष रूप से सदैव महत्वपूर्ण होता है; जो उस जानकारी को वहन करता है जो एक मानचित्र के उपयोग में करता है।

रैखिक मानचित्रण और प्रत्यक्ष योग के माध्यम से व्याख्या को देखते हुए, एक विशेष प्रकार का खंड मैट्रिक्स होता है जो वर्ग मैट्रिसेस (स्थिति m = n) के लिए होता है।

उन लोगों के लिए हम एक n-विमितीय स्थान V के अंतःरूपांतरण में एक व्याख्या मान सकते हैं; खंड संरचना जिसमें पंक्तियों और स्तंभों का बंचिंग समान है, महत्वपूर्ण है क्योंकि यह वी (दो के बजाय) पर एक प्रत्यक्ष योग अपघटन होने के अनुरूप है। उदाहरण के लिए, स्पष्ट अर्थों में सभी विकर्ण खंड वर्ग हैं। जॉर्डन के सामान्य रूप का वर्णन करने के लिए इस प्रकार की संरचना की आवश्यकता होती है।

इस तकनीक का उपयोग वीएलएसआई चिप प्रारूप सहित मैट्रिक्स कॉलम-पंक्ति विस्तार और कई कंप्यूटर विज्ञान अनुप्रयोग की गणना में कटौती करने के लिए किया जाता है। एक उदाहरण तेज मैट्रिक्स गुणन के लिए सड़क विधिकालन है, साथ ही डेटा प्रसारण में त्रुटि का पता लगाने और पुनर्प्राप्ति के लिए हैमिंग (7,4) संकेतन है।

तकनीक का उपयोग वहां भी किया जा सकता है जहां A, B, C और D मैट्रिक्स के तत्वों के लिए समान क्षेत्र की आवश्यकता नहीं होती है। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स A जटिल संख्याओं के क्षेत्र में हो सकता है, जबकि मैट्रिक्स D वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में हो सकता है। यह एक मेट्रिसेस के अंदर संचालन को सरल करते हुए, मैट्रिसेस से जुड़े वैध संचालन को जन्म दे सकता है। उदाहरण के लिए, यदि D में एक मात्र वास्तविक तत्व हैं, तो इसके व्युत्क्रम को खोजने में जटिल तत्वों पर विचार करने के सापेक्ष में कम गणना होती है। लेकिन वास्तविक जटिल संख्याओं का एक उपक्षेत्र है (आगे इसे एक प्रक्षेपण माना जा सकता है), इसलिए मेट्रिसेस संचालन को अच्छी तरह से परिभाषित किया जा सकता है।

यह भी देखें

  • क्रोनकर उत्पाद मैट्रिक्स प्रत्यक्ष उत्पाद जिसके परिणाम स्वरूप खंड मैट्रिक्स होता है

टिप्पणियाँ

  1. ↑ Macedo, H.D.; Oliveira, J.N. (2013). "Typing linear algebra: A biproduct-oriented approach". Science of Computer Programming. 78 (11): 2160–2191. arXiv:1312.4818. doi:10.1016/j.scico.2012.07.012.
  2. ↑ Eves, Howard (1980). प्राथमिक मैट्रिक्स सिद्धांत (reprint ed.). New York: Dover. p. 37. ISBN 0-486-63946-0. Retrieved 24 April 2013. A partitioning as in Theorem 1.9.4 is called a conformable partition of A and B.
  3. ↑ Anton, Howard (1994). प्राथमिक रैखिक बीजगणित (7th ed.). New York: John Wiley. p. 36. ISBN 0-471-58742-7. ...provided the sizes of the submatrices of A and B are such that the indicated operations can be performed.
  4. ↑ Taboga, Marco (2021). "Determinant of a block matrix", Lectures on matrix algebra.
  5. ↑ Silvester, J. R. (2000). "ब्लॉक मेट्रिसेस के निर्धारक" (PDF). Math. Gazette. 84 (501): 460–467. doi:10.2307/3620776. JSTOR 3620776. Archived from the original (PDF) on 2015-03-18. Retrieved 2021-06-25.
  6. ↑ Sothanaphan, Nat (January 2017). "नॉनकम्यूटिंग ब्लॉक वाले ब्लॉक मैट्रिसेस के निर्धारक". Linear Algebra and Its Applications. 512: 202–218. arXiv:1805.06027. doi:10.1016/j.laa.2016.10.004. S2CID 119272194.
  7. ↑ Mackey, D. Steven (2006). मैट्रिक्स बहुपदों के लिए संरचित रैखिककरण (PDF) (Thesis). University of Manchester. ISSN 1749-9097. OCLC 930686781.


संदर्भ

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