द्रव समाधान

सामान्य सापेक्षता में एक द्रव समाधान आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण के सामान्य सापेक्षता में एक विरूपित समाधान है जिसमें गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र पूरी तरह से द्रव के द्रव्यमान संवेग और तनाव घनत्व द्वारा निर्मित होता है।

खगोल भौतिकी में द्रव समाधान अधिकतर तारकीय प्रारूप के रूप में कार्यरत होते हैं आदर्श गैस को एक आदर्श द्रव के रूप में जाना जाता है भौतिक ब्रह्मांड विज्ञान में द्रव समाधान अधिकतर ब्रह्माण्ड प्रारूप के रूप में उपयोग किए जाते हैं।

गणितीय परिभाषा

एक आपेक्षिक द्रव के प्रतिबल-ऊर्जा को प्रदिश के रूप में लिखा जा सकता है

$T^{ab}=\mu \,u^{a}\,u^{b}+p\,h^{ab}+\left(u^{a}\,q^{b}+q^{a}\,u^{b}\right)+\pi ^{ab}$

यहाँ

• द्रव तत्त्वों की विश्व रेखाएँ प्रक्षेपण के अभिन्न वक्र हैं $u^{a}$
• प्रक्षेपण प्रदिश $h_{ab}=g_{ab}+u_{a}\,u_{b}$ अन्य प्रदिश को अधिसमतल तत्वों पर आयतीय परियोजना करता है $u^{a}$
• पदार्थ का घनत्व अदिश राशि द्वारा दिया जाता है $\mu$
• अदिश द्वारा दबाव भी दिया जाता है $p$
• यह गर्म अगणनीय निश्चित मात्रा वाली रॉशि के नाम से जाना जाता है $q^{a}$
• विस्कस अपरूपण प्रदिश द्वारा दिया जाता है $\pi ^{ab}$.

निश्चित मात्रा वाली राशि और प्रदिश रॉशि विश्व रेखाओं के अनुप्रस्थ है इस अर्थ में कि

$q_{a}\,u^{a}=0,\;\;\pi _{ab}\,u^{b}=0$

इसका मतलब यह है कि वे प्रभावी रूप से त्रि-आयामी मात्राएं हैं और चिपचिपा तनाव प्रदिश सममित हैं उनके पास क्रमशः तीन और पांच रैखिक स्वतंत्रत घटक हैं घनत्व और दबाव के साथ यह कुल 10 रैखिक रूप से स्वतंत्र घटक बनाता है जो चार-आयामी सममित अति मात्र दो प्रदिश में रैखिक रूप से स्वतंत्र घटकों की संख्या है।

विशेष मामले

द्रव विलयन के कई विशेष मामले उल्लेखनीय हैं (यहाँ प्रकाश की गति c = 1):

• एक आदर्श तरल पदार्थ में गायब चिपचिपा कतरनी और लुप्त गर्मी प्रवाह होता है:

$T^{ab}=(\mu +p)\,u^{a}\,u^{b}+p\,g^{ab},$

• धूल का घोल एक दबाव रहित संपूर्ण तरल पदार्थ है:

$T^{ab}=\mu \,u^{a}\,u^{b},$

• एक विकिरण द्रव एक संपूर्ण तरल पदार्थ है $\mu =3p$:

$T^{ab}=p\,\left(4\,u^{a}\,u^{b}+\,g^{ab}\right).$

अंतिम दो अक्सर (क्रमशः) पदार्थ-वर्चस्व वाले और विकिरण-वर्चस्व वाले युगों के लिए ब्रह्माण्ड संबंधी मॉडल के रूप में उपयोग किए जाते हैं। ध्यान दें कि सामान्य तौर पर तरल पदार्थ को निर्दिष्ट करने के लिए दस कार्यों की आवश्यकता होती है, एक पूर्ण तरल पदार्थ को केवल दो की आवश्यकता होती है, और धूल और विकिरण तरल पदार्थ प्रत्येक को केवल एक समारोह की आवश्यकता होती है। सामान्य द्रव समाधान खोजने की तुलना में इस तरह के समाधानों को खोजना बहुत आसान है।

धूल या विकिरण तरल पदार्थों के अलावा अन्य सही तरल पदार्थों में, अब तक का सबसे महत्वपूर्ण विशेष मामला स्थिर गोलाकार सममित पूर्ण द्रव समाधान है। इन्हें हमेशा एक गोलाकार सतह पर श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक से मिलान किया जा सकता है, इसलिए उन्हें तारकीय मॉडल में आंतरिक समाधान के रूप में उपयोग किया जा सकता है। ऐसे मॉडलों में, गोला $r=r[0]$ जहां तरल पदार्थ का आंतरिक भाग निर्वात बाहरी से मेल खाता है, वह तारे की सतह है, और दबाव सीमा में गायब हो जाना चाहिए क्योंकि त्रिज्या निकट आती है $r_{0}$. हालाँकि, घनत्व नीचे की सीमा में गैर-शून्य हो सकता है, जबकि निश्चित रूप से यह ऊपर से सीमा में शून्य है। हाल के वर्षों में, इन सभी समाधानों को प्राप्त करने के लिए कई आश्चर्यजनक सरल योजनाएँ दी गई हैं।

आइंस्टीन टेंसर

समन्वय आधार के बजाय सामान्य सापेक्षता में एक फ्रेम फ़ील्ड के संबंध में गणना किए गए टेन्सर के घटकों को अक्सर भौतिक घटक कहा जाता है, क्योंकि ये घटक हैं जो (सिद्धांत रूप में) एक पर्यवेक्षक द्वारा मापा जा सकता है।

एक आदर्श द्रव के विशेष मामले में, एक अनुकूलित फ्रेम

${\vec {e}}_{0},\;{\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e}}_{3}$

(पहला timelike यूनिट वेक्टर क्षेत्र है, आखिरी तीन spacelike यूनिट वेक्टर फील्ड हैं) हमेशा पाया जा सकता है जिसमें आइंस्टीन टेंसर सरल रूप लेता है

$G^{{\widehat {a\,}}{\widehat {b\,}}}=8\pi \,\left[{\begin{matrix}\mu &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right]$

कहाँ $\mu$ ऊर्जा घनत्व है और $p$ द्रव का दबाव है। यहाँ, टाइमलाइक यूनिट वेक्टर फील्ड ${\vec {e}}_{0}$ तरल तत्वों के साथ आने वाले पर्यवेक्षकों की विश्व रेखाओं के लिए हर जगह स्पर्शरेखा है, इसलिए घनत्व और दबाव का अभी उल्लेख किया गया है जो आने वाले पर्यवेक्षकों द्वारा मापा जाता है। ये वही मात्राएँ हैं जो पूर्ववर्ती अनुभाग में दी गई सामान्य समन्वय आधार अभिव्यक्ति में दिखाई देती हैं; इसे देखने के लिए, बस लगाओ ${\vec {u}}={\vec {e}}_{0}$. भौतिक घटकों के रूप से, यह देखना आसान है कि किसी भी पूर्ण तरल पदार्थ का आइसोट्रॉपी समूह सामान्य रोटेशन समूह, तीन आयामी लाइ समूह एसओ (3) के लिए आइसोमॉर्फिक है।

तथ्य यह है कि ये परिणाम फ्लैट मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम में हाइड्रोडायनामिक्स के घुमावदार स्पेसटाइम के समान ही हैं, समानता सिद्धांत की अभिव्यक्ति है।

ईजेनवेल्यूज

एक आदर्श द्रव में आइंस्टीन टेंसर के अभिलाक्षणिक बहुपद का रूप होना चाहिए

$\chi (\lambda )=\left(\lambda -8\pi \mu \right)\,\left(\lambda -8\pi p\right)^{3}$

कहाँ $\mu ,\,p$ द्रव तत्वों के साथ आने वाले पर्यवेक्षकों द्वारा मापा गया द्रव का घनत्व और दबाव फिर से हैं। (ध्यान दें कि ये मात्राएं द्रव के भीतर भिन्न हो सकती हैं।) परिणामी बीजगणितीय संबंधों को सरल बनाने के लिए इसे लिखने और ग्रोबनर आधार विधियों को लागू करने पर, हम पाते हैं कि विशेषता के गुणांकों को निम्नलिखित दो बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र (और अपरिवर्तनीय) शर्तों को पूरा करना चाहिए:

$12a_{4}+a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}=0$

$a_{1}a_{2}a_{3}-9a_{3}^{2}-9a_{1}^{2}a_{4}+32a_{2}a_{4}=0$

लेकिन न्यूटन की सर्वसमिका के अनुसार आइंस्टीन टेंसर की शक्तियों के निशान इन गुणांकों से निम्नानुसार संबंधित हैं:

${G^{a}}_{a}=t_{1}=a_{1}$

${G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a}=t_{2}=a_{1}^{2}-2a_{2}$

${G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a}=t_{3}=a_{1}^{3}-3a_{1}a_{2}+3a_{3}$

${G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}=t_{4}=a_{1}^{4}-4a_{1}^{2}a_{2}+4a_{1}a_{3}+2a_{2}^{2}-a_{4}$

इसलिए हम उपरोक्त दो मात्राओं को पूरी तरह से घात के अंश के रूप में फिर से लिख सकते हैं। ये स्पष्ट रूप से स्केलर इनवेरिएंट हैं, और एक पूर्ण द्रव समाधान के मामले में उन्हें समान रूप से गायब होना चाहिए:

$t_{2}^{3}+4t_{3}^{2}+t_{1}^{2}t_{4}-4t_{2}t_{4}-2t_{1}t_{2}t_{3}=0$

$t_{1}^{4}+7t_{2}^{2}-8t_{1}^{2}t_{2}+12t_{1}t_{3}-12t_{4}=0$

ध्यान दें कि यह द्रव के दबाव और घनत्व से संबंधित स्थिति के किसी भी संभावित समीकरण के बारे में कुछ नहीं मानता है; हम केवल यह मानते हैं कि हमारे पास एक सरल और एक त्रिक आइगेनमान है।

धूल के घोल (गायब होने वाले दबाव) के मामले में, ये स्थितियाँ काफी हद तक सरल हो जाती हैं:

$a_{2}\,=a_{3}=a_{4}=0$

या

$t_{2}=t_{1}^{2},\;\;t_{3}=t_{1}^{3},\;\;t_{4}=t_{1}^{4}$

टेंसर जिमनास्टिक संकेतन में, इसे रिक्की अदिश का उपयोग करके लिखा जा सकता है:

${G^{a}}_{a}=-R$

${G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a}=R^{2}$

${G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a}=-R^{3}$

${G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}=-R^{4}$

विकिरण द्रव के मामले में, मानदंड बन जाते हैं

$a_{1}=0,\;27\,a_{3}^{2}+8a_{2}^{3}=0,\;12\,a_{4}+a_{2}^{2}=0$

या

$t_{1}=0,7\,t_{3}^{2}-t_{2}\,t_{4}=0,\;12\,t_{4}-7\,t_{2}^{2}=0$

इन मानदंडों का उपयोग करने में, किसी को यह सुनिश्चित करने के लिए सावधानी बरतनी चाहिए कि सबसे बड़ा आइगेनवैल्यू टाइमलाइक ईजेनवेक्टर से संबंधित है, क्योंकि लोरेंट्ज़ियन कई गुना हैं, जो इस ईजेनवेल्यू मानदंड को संतुष्ट करते हैं, जिसमें बड़ा आइगेनवैल्यू एक स्पेसलाइक ईजेनवेक्टर से संबंधित है, और ये विकिरण तरल पदार्थ का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते हैं।

विशेषता के गुणांक अक्सर बहुत जटिल दिखाई देंगे, और निशान बहुत बेहतर नहीं होंगे; समाधानों की तलाश करते समय उपयुक्त रूप से अनुकूलित फ्रेम के संबंध में आइंस्टीन टेंसर के घटकों की गणना करना लगभग हमेशा बेहतर होता है और फिर सीधे घटकों के उपयुक्त संयोजनों को खत्म करना होता है। हालांकि, जब कोई अनुकूलित फ्रेम स्पष्ट नहीं होता है, तो ये ईगेनवैल्यू मानदंड कभी-कभी उपयोगी हो सकते हैं, खासकर जब अन्य विचारों के साथ संयोजन में नियोजित किया जाता है।

ये मानदंड अक्सर कथित सही द्रव समाधानों की स्पॉट चेकिंग के लिए उपयोगी हो सकते हैं, इस मामले में विशेषता के गुणांक अक्सर सरल अपूर्ण तरल पदार्थ की तुलना में बहुत सरल होते हैं।

उदाहरण

उल्लेखनीय व्यक्तिगत धूल समाधानों को धूल समाधानों पर लेख में सूचीबद्ध किया गया है। उल्लेखनीय संपूर्ण द्रव समाधान, जिसमें सकारात्मक दबाव होता है, में कॉस्मोलॉजी से विभिन्न विकिरण द्रव मॉडल शामिल हैं

• फ्रीडमैन-लेमैत्रे-रॉबर्टसन-वाकर, जिन्हें अक्सर विकिरण-प्रभुत्व वाले FRW मॉडल के रूप में संदर्भित किया जाता है।

स्थिर गोलाकार सममित परिपूर्ण तरल पदार्थों के परिवार के अलावा, उल्लेखनीय घूर्णन द्रव समाधान शामिल हैं

• वाह्लक्विस्ट तरल पदार्थ, जिसमें केर निर्वात के समान समरूपता है, प्रारंभिक आशाओं (धराशायी होने के बाद से) के लिए अग्रणी है कि यह एक घूर्णन तारे के एक साधारण मॉडल के लिए आंतरिक समाधान प्रदान कर सकता है।

यह भी देखें

• धूल समाधान, धूल समाधान के महत्वपूर्ण विशेष मामले के लिए,
• सामान्य सापेक्षता में सटीक समाधान, सामान्य रूप से सटीक समाधान के लिए,
• लोरेंत्ज़ समूह
• उत्तम तरल पदार्थ, सामान्य रूप से भौतिकी में परिपूर्ण तरल पदार्थ के लिए,
• आपेक्षिकीय डिस्क, पूर्ण तरल पदार्थ के संदर्भ में सापेक्षतावादी डिस्क की व्याख्या के लिए।

संदर्भ

• Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; Herlt, E. (2003). Exact Solutions of Einstein's Field Equations (2nd edn.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46136-7. Gives many examples of exact perfect fluid and dust solutions.
• Stephani, Hans (1996). General relativity (second ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-37941-5.. See Chapter 8 for a discussion of relativistic fluids and thermodynamics.
• Delgaty, M. S. R.; Lake, Kayll (1998). "Physical Acceptability of Isolated, Static, Spherically Symmetric, Perfect Fluid Solutions of Einstein's Equations". Comput. Phys. Commun. 115 (2–3): 395–415. arXiv:gr-qc/9809013. Bibcode:1998CoPhC.115..395D. doi:10.1016/S0010-4655(98)00130-1. S2CID 17957408.. This review article surveys static spherically symmetric fluid solutions known up to about 1995.
• Lake, Kayll (2003). "All static spherically symmetric perfect fluid solutions of Einstein's Equations". Phys. Rev. D. 67 (10): 104015. arXiv:gr-qc/0209104. Bibcode:2003PhRvD..67j4015L. doi:10.1103/PhysRevD.67.104015. S2CID 119447644.. This article describes one of several schemes recently found for obtaining all the static spherically symmetric perfect fluid solutions in general relativity.