कॉची गति समीकरण: Difference between revisions

Latest revision as of 14:34, 24 April 2023

कॉची गति समीकरण कॉची द्वारा प्रस्तुत सदिश आंशिक अंतर समीकरण है जो किसी भी सातत्य यांत्रिकी में गैर-सापेक्षतावादी संवेग परिवहन का वर्णन करता है।^[1]

मुख्य समीकरण

संवहन में (या लाग्रंगियन और यूलेरियन विनिर्देश) रूप में कॉची संवेग समीकरण को इस प्रकार लिखा जाता है।

{\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f}

जहाँ

$\mathbf {u}$ प्रवाह वेग सदिश क्षेत्र है जो समय और स्थान पर निर्भर करता है। (इकाई: $\mathrm {m/s}$ )
$t$ समय है। (इकाई: $\mathrm {s}$ )
${\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}$ सामग्री व्युत्पन्न है जो $\mathbf {u}$ के समान्तर $\partial _{t}\mathbf {u} +\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u}$ है। (इकाई: $\mathrm {m/s^{2}}$ )
$\rho$ सातत्य के दिए गए बिंदु पर घनत्व है। (जिसके लिए निरंतरता समीकरण धारण करता है।), (इकाई: $\mathrm {kg/m^{3}}$ )
${\boldsymbol {\sigma }}$ कॉची तनाव टेन्सर है। (इकाई: $\mathrm {Pa=N/m^{2}=kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-2}}$ )
$\mathbf {f} ={\begin{bmatrix}f_{x}\\f_{y}\\f_{z}\end{bmatrix}}$ सदिश है जिसमें शारीरिक बलों के कारण होने वाले सभी त्वरण (कभी-कभी केवल गुरुत्वाकर्षण त्वरण) सम्मिलित होते हैं। (इकाई: $\mathrm {m/s^{2}}$ )
$\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial \sigma _{yx}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial \sigma _{zx}}{\partial z}}\\{\dfrac {\partial \sigma _{xy}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial \sigma _{zy}}{\partial z}}\\{\dfrac {\partial \sigma _{xz}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial \sigma _{yz}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}\\\end{bmatrix}}$ तनाव टेंसर का विचलन है।^[2]^[3]^[4](इकाई: $\mathrm {Pa/m=kg\cdot m^{-2}\cdot s^{-2}}$ )

सामान्यतः उपयोग की जाने वाली एसआई इकाइयाँ कोष्ठकों में दी गई हैं। चूँकि समीकरण प्रकृति में सामान्य हैं और अन्य इकाइयाँ उनमें अंकित की जा सकती हैं या इकाइयों को गैर-विमीयकरण द्वारा हटाया जा सकता है।

ध्यान दीजिए कि स्पष्टता के लिए हम ऊपर केवल स्तंभ सदिश (कार्तीय समन्वय प्रणाली में) का उपयोग करते हैं। किन्तु समीकरण को भौतिक घटकों जो न तो सहसंयोजक ("स्तंभ") और न ही कॉन्ट्रावेरिएंट ("पंक्ति") का उपयोग करके लिखा गया है।^[5] चूँकि, यदि गैर-ऑर्थोगोनल वक्रीय समन्वय प्रणाली को चुना है तब हमें सहपरिवर्ती (पंक्ति सदिश) या प्रतिपरिवर्ती (स्तंभ सदिश) रूप में समीकरणों की गणना करनी चाहिए और उन्हें लिखना चाहिए।

चरों के उचित परिवर्तन के पश्चात् इसे संरक्षण रूप में भी लिखा जा सकता है।

{\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {s}

जहाँ $j$ किसी दिए गए स्थान-समय बिंदु पर संवेग घनत्व है। अतः $F$ संवेग घनत्व से जुड़ा प्रवाह है और $s$ में प्रति इकाई आयतन में सभी शारीरिक बल सम्मिलित हैं।

विभेदक व्युत्पत्ति

आइए हम सामान्यीकृत संवेग संरक्षण सिद्धांत से प्रारंभ करते है जिसे निम्नानुसार लिखा जा सकता है। "सिस्टम संवेग में परिवर्तन इस प्रणाली पर कार्य करने वाले परिणामी बल के समानुपाती होता है।" इसे सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है।^[6]

{\vec {p}}(t+\Delta t)-{\vec {p}}(t)=\Delta t{\vec {\bar {F}}}

जहाँ

{\vec {p}}(t)

समय t में संवेग है,

{\vec {\bar {F}}}

पर बल औसत से अधिक है,

\Delta t

द्वारा विभाजित करने के पश्चात्

\Delta t

और सीमा से गुजर रहा है। इस प्रकार

\Delta t\to 0

(व्युत्पन्न) हम प्राप्त करते हैं।

{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}}

आइए हम उपरोक्त समीकरण के प्रत्येक पक्ष का विश्लेषण करते है।

दाईं ओर

घन द्रव तत्व की दीवारों पर कार्य करने वाले बलों का एक्स घटक (ऊपर-नीचे की दीवारों के लिए हरा, बाएं-दाएं के लिए लाल, आगे-पीछे के लिए काला) होता है।

शीर्ष ग्राफ में हम फ़ंक्शन का सन्निकटन देखते हैं

f(x)

(नीली रेखा) परिमित अंतर (पीली रेखा) का उपयोग करते है। नीचे के ग्राफ में हम बिंदु के कई गुना बढ़े हुए पड़ोस

x_{1}

(ऊपरी ग्राफ से बैंगनी वर्ग) को देखते हैं। नीचे के ग्राफ़ में पीली रेखा पूर्ण प्रकार से नीले रंग से ढकी हुई है इसलिए दिखाई नहीं देती है। अतः नीचे की आकृति में दो समतुल्य व्युत्पन्न रूपों का उपयोग किया गया है

{\textstyle f'(x_{1})={\frac {df(x_{1})}{dx_{1}}}}

] और पदनाम

\Delta f=f(x_{1}+\Delta x)-f(x_{1})

प्रयोग किया गया है।

हम बलों को शारीरिक बलों में विभाजित करते हैं। अतः ${\vec {F}}_{m}$ और सतह बल ${\vec {F}}_{p}$ होता है।

{\vec {F}}={\vec {F}}_{p}+{\vec {F}}_{m}

सतही बल घन द्रव तत्व की दीवारों पर कार्य करते हैं। अतः प्रत्येक दीवार के लिए इन बलों के एक्स घटक को घन तत्व के साथ चित्र में चिह्नित किया गया था। (तनाव और सतह क्षेत्र के उत्पाद के रूप में उदाहरण , $-\sigma _{xx}\,dy\,dz$ इकाइयों के साथ ${\textstyle \mathrm {Pa\cdot m\cdot m={\frac {N}{m^{2}}}\cdot m^{2}=N} }$ ).

घन की दीवारों पर कार्य करने वाले बलों (सन्निकटन और ऋण चिह्न) के मूल्य की व्याख्या।

It requires some explanation why stress applied to the walls covering the coordinate axes takes a minus sign (e.g. for the left wall we have $-\sigma _{xx}$ ). For simplicity, let us focus on the left wall with tension $-\sigma _{xx}$ . The minus sign is due to the fact that a vector normal to this wall ${\vec {n}}=[-1,0,0]=-{\vec {e}}_{x}$ is a negative unit vector. Then, we calculated the stress vector by definition ${\vec {s}}={\vec {n}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}=[-\sigma _{xx},-\sigma _{xy},-\sigma _{xz}]$ , thus the X component of this vector is $s_{x}=-\sigma _{xx}$ (we use similar reasoning for stresses acting on the bottom and back walls, i.e.: $-\sigma _{yx},-\sigma _{zx}$ ).

The second element requiring explanation is the approximation of the values of stress acting on the walls opposite the walls covering the axes. Let us focus on the right wall where the stress is an approximation of stress $\sigma _{xx}$ from the left wall at points with coordinates $x+dx$ and it is equal to $\sigma _{xx}+{\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}dx$ . This approximation suffices since, as $dx$ goes to zero, ${\frac {\sigma _{xx}(x+dx)-(\sigma _{xx}(x)+dx{\frac {\partial \sigma _{xx}(x)}{\partial x}})}{dx}}$ approaches zero as well. This can be seen by dividing through by $dx$ and noting that the above expression is equivalent to ${\frac {\sigma _{xx}(x+dx)-(\sigma _{xx}(x)}{dx}}-{\frac {\partial \sigma _{xx}(x)}{\partial x}}$ and observing the left hand side matches the definition of the right hand side as a limit.

A more intuitive representation of the value of approximation $\sigma _{xx}$ in point $x+dx$ has been shown in the figure below the cube. We proceed with similar reasoning for stress approximations $\sigma _{yx},\sigma _{zx}$ .

घन की प्रत्येक दीवार पर कार्य करने वाले बलों (उनके एक्स घटक) को जोड़ने पर हम प्राप्त करते हैं।

आदेश देने के पश्चात् $F_{p}^{x}$ और घटकों के लिए इसी प्रकार की रीज़निंग करना,

F_{p}^{x}=\left(\sigma _{xx}+{\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}dx\right)dy\,dz-\sigma _{xx}dy\,dz+\left(\sigma _{yx}+{\frac {\partial \sigma _{yx}}{\partial y}}dy\right)dx\,dz-\sigma _{yx}dx\,dz+\left(\sigma _{zx}+{\frac {\partial \sigma _{zx}}{\partial z}}dz\right)dx\,dy-\sigma _{zx}dx\,dy

$F_{p}^{y},F_{p}^{z}$ (उन्हें चित्र में नहीं दिखाया गया है किन्तु यह क्रमशः Y और Z अक्षों के समानांतर सदिश होते है) हमें मिलता है।

{\begin{aligned}F_{p}^{x}&={\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}\,dx\,dy\,dz+{\frac {\partial \sigma _{yx}}{\partial y}}\,dy\,dx\,dz+{\frac {\partial \sigma _{zx}}{\partial z}}\,dz\,dx\,dy\\[6pt]F_{p}^{y}&={\frac {\partial \sigma _{xy}}{\partial x}}\,dx\,dy\,dz+{\frac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}\,dy\,dx\,dz+{\frac {\partial \sigma _{zy}}{\partial z}}\,dz\,dx\,dy\\[6pt]F_{p}^{z}&={\frac {\partial \sigma _{xz}}{\partial x}}\,dx\,dy\,dz+{\frac {\partial \sigma _{yz}}{\partial y}}\,dy\,dx\,dz+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}\,dz\,dx\,dy{\vphantom {\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}}\end{aligned}}

हम इसे प्रतीकात्मक परिचालन के रूप में लिख सकते हैं।

{\vec {F}}_{p}=(\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }})\,dx\,dy\,dz

नियंत्रण आयतन के अंदर द्रव्यमान बल कार्य कर रहे हैं। इस प्रकार हम उन्हें त्वरण क्षेत्र का उपयोग करके लिख सकते हैं। अतः

\mathbf {f}

(जैसे गुरुत्वाकर्षण त्वरण) होता है।

{\vec {F}}_{m}=\mathbf {f} \rho \,dx\,dy\,dz

बायीं ओर

आइए घन की गति की गणना करते है।

{\vec {p}}=\mathbf {u} m=\mathbf {u} \rho \,dx\,dy\,dz

जिससे कि हम मानते हैं कि परीक्षण किया गया द्रव्यमान (घन) $m=\rho \,dx\,dy\,dz$ समय में स्थिर है। अतः,

{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\frac {d\mathbf {u} }{dt}}\rho \,dx\,dy\,dz

बाएँ और दाएँ पक्ष की तुलना

अपने समीप

{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}}

तब,

{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}}_{p}+{\vec {F}}_{m}

तब,

{\frac {d\mathbf {u} }{dt}}\rho \,dx\,dy\,dz=(\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }})dx\,dy\,dz+\mathbf {f} \rho \,dx\,dy\,dz

द्वारा दोनों पक्षों को विभाजित किया जाता है

\rho \,dx\,dy\,dz

और जिससे कि

{\textstyle {\frac {d\mathbf {u} }{dt}}={\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}}

हमें मिलता हैं।

{\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f}

जो व्युत्पत्ति को समाप्त करता है।

अभिन्न व्युत्पत्ति

न्यूटन के दूसरे नियम ( $i$ वें घटक) को मॉडलिंग की जा रही निरंतरता में नियंत्रण मात्रा में प्रयुक्त कर देता है।

ma_{i}=F_{i}

फिर, रेनॉल्ड्स परिवहन प्रमेय के आधार पर और सामग्री व्युत्पन्न संकेतन का उपयोग करके कोई लिख सकता है।

{\begin{aligned}\int _{\Omega }\rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}\,dV&=\int _{\Omega }\nabla _{j}\sigma _{i}^{j}\,dV+\int _{\Omega }\rho f_{i}\,dV\\\int _{\Omega }\left(\rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}-\nabla _{j}\sigma _{i}^{j}-\rho f_{i}\right)\,dV&=0\\\rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}-\nabla _{j}\sigma _{i}^{j}-\rho f_{i}&=0\\{\frac {Du_{i}}{Dt}}-{\frac {\nabla _{j}\sigma _{i}^{j}}{\rho }}-f_{i}&=0\end{aligned}}

जहाँ

Ω

नियंत्रण मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है। चूँकि यह समीकरण किसी भी नियंत्रण आयतन के लिए होता है अतः यह सत्य होता है कि समाकलन शून्य है। इससे कॉची संवेग समीकरण अनुसरण करता है। इस समीकरण को प्राप्त करने में मुख्य कदम (ऊपर नहीं किया गया है।) यह स्थापित कर रहा है कि तनाव टेंसर का टेंसर व्युत्पन्न उन बलों में से है जो

F i

गठन करता है।^[1]

संरक्षण रूप

कॉशी संवेग समीकरण को निम्न रूप में भी रखा जा सकता है।

कौशी संवेग समीकरण (संरक्षण रूप)

${\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {s}$

केवल परिभाषित करके,

{\begin{aligned}{\mathbf {j} }&=\rho \mathbf {u} \\{\mathbf {F} }&=\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} -{\boldsymbol {\sigma }}\\{\mathbf {s} }&=\rho \mathbf {f} \end{aligned}}

जहाँ

j

सातत्य में माने जाने वाले बिंदु पर संवेग घनत्व है (जिसके लिए निरंतरता समीकरण धारण करता है),

F

संवेग घनत्व से जुड़ा प्रवाह है और

s

में प्रति इकाई आयतन में शारीरिक बल सम्मिलित हैं। अतः

u \otimes u

वेग का युग्म गुणनफल है।

यहाँ $j$ और $s$ में आयामों की संख्या $N$ प्रवाह की गति और शरीर के त्वरण के समान है जबकि $F$ टेन्सर होने के नाते $N 2$ है।^{[note 1]}

ऑयलरीय रूपों में यह स्पष्ट है कि कोई विचलित तनाव की धारणा कॉशी समीकरणों को यूलर समीकरणों (द्रव गतिकी) में नहीं लाती है।

संवहनी त्वरण

संवहन त्वरण का उदाहरण। प्रवाह स्थिर (समय-स्वतंत्र) है, किन्तु द्रव घटता है जिससे कि यह डायवर्जिंग डक्ट को नीचे ले जाता है (असम्पीडित या सबसोनिक कंप्रेसिबल प्रवाह मानते हुए)।

नेवियर-स्टोक्स समीकरणों की महत्वपूर्ण विशेषता संवहनी त्वरण की उपस्थिति है। इस प्रकार अंतरिक्ष के संबंध में प्रवाह के समय-स्वतंत्र त्वरण का प्रभाव होता है जबकि भिन्न-भिन्न सातत्य कण वास्तव में समय पर निर्भर त्वरण का अनुभव करते हैं। इस प्रकार प्रवाह क्षेत्र का संवहन त्वरण स्थानिक प्रभाव है। उदाहरण के लिये नोजल में तरल पदार्थ की गति है।

समान्यतः किसी भी प्रकार के सातत्य से निपटा जा रहा होता है किंतु संवहन त्वरण अरैखिक प्रभाव है। संवहन त्वरण अधिकांश प्रवाहों में उपस्तिथ होता है (अपवादों में आयामी असंपीड्य प्रवाह सम्मिलित है।) किन्तु रेंगने वाले प्रवाह (जिसे स्टोक्स प्रवाह भी कहा जाता है) में इसके गतिशील प्रभाव की अवहेलना की जाती है। संवहन त्वरण को अरैखिक मात्रा $u \cdot \nabla u$ द्वारा दर्शाया जाता है जिसे या तो $(u \cdot \nabla) u$ या $u \cdot (\nabla u)$ के रूप में समझा जा सकता है। अतः $\nabla u$ के साथ वेग सदिश $u$ का टेंसर व्युत्पन्न में दोनों व्याख्याएं समान परिणाम देती हैं।^[7]

एडवेक्शन ऑपरेटर बनाम टेन्सर व्युत्पन्न

संवहन शब्द $D\mathbf {u} /Dt$ को $(u \cdot \nabla) u$ के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ $u \cdot \nabla$ संवहन है। इस प्रकार टेंसर व्युत्पन्न के संदर्भ में इस प्रतिनिधित्व की तुलना की जा सकती है।^[7] टेंसर व्युत्पन्न $\nabla u$ वेग सदिश का घटक-दर-घटक व्युत्पन्न है जिसे $[\nabla u] mi = \partial m v i$ द्वारा परिभाषित किया गया है। जिससे कि

\left[\mathbf {u} \cdot \left(\nabla \mathbf {u} \right)\right]_{i}=\sum _{m}v_{m}\partial _{m}v_{i}=\left[(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \right]_{i}\,.

मेमने का रूप

कर्ल (गणित) के क्रॉस उत्पाद की सदिश कलन पहचान रखती है।

\mathbf {v} \times \left(\nabla \times \mathbf {a} \right)=\nabla _{a}\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} \right)-\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {a}

जहां फेनमैन सबस्क्रिप्ट नोटेशन $\nabla a$ का उपयोग किया जाता है जिसका अर्थ है कि सबस्क्रिप्टेड ग्रेडिएंट केवल कारक $a$ पर कार्य करता है।

होरेस लैम्ब ने अपनी प्रसिद्ध मौलिक पुस्तक हाइड्रोडायनामिक्स (1895) में^[8] इस पहचान का उपयोग प्रवाह वेग के संवहन शब्द को घूर्णी रूप में परिवर्तित करने के लिए किया जाता है अर्थात टेन्सर व्युत्पन्न के बिना कार्य करता है।^[9]^[10]

\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =\nabla \left({\frac {\|\mathbf {u} \|^{2}}{2}}\right)+\left(\nabla \times \mathbf {u} \right)\times \mathbf {u}

जहां सदिश $\mathbf {l} =\left(\nabla \times \mathbf {u} \right)\times \mathbf {u}$ मेम्ने सदिश कहा जाता है जिससे कि कॉची संवेग समीकरण बन जाता है।

{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} ={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f}

पहचान का उपयोग करना,

\nabla \cdot \left({\frac {\boldsymbol {\sigma }}{\rho }}\right)={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \rho

कॉची समीकरण बन जाता है।

\nabla \cdot \left({\frac {1}{2}}u^{2}-{\frac {\boldsymbol {\sigma }}{\rho }}\right)-\mathbf {f} ={\frac {1}{\rho ^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )-{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}

वास्तव में, बाहरी रूढ़िवादी क्षेत्र की स्थितियों में इसकी क्षमता $φ$ को परिभाषित करके प्राप्त होती है।

\nabla \cdot \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi -{\frac {\boldsymbol {\sigma }}{\rho }}\right)={\frac {1}{\rho ^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )-{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}

स्थिर प्रवाह के स्थितियों में प्रवाह वेग का समय व्युत्पन्न विलुप्त हो जाता है जिससे कि संवेग समीकरण बन जाता है।

\nabla \cdot \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi -{\frac {\boldsymbol {\sigma }}{\rho }}\right)={\frac {1}{\rho ^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )

इसके अतिरिक्त प्रवाह दिशा पर गति समीकरण को प्रक्षेपित करके अर्थात् स्ट्रीकलाइन और पाथलाइन के साथ ट्रिपल अदिश उत्पाद की सदिश कैलकुलस पहचान के कारण क्रॉस उत्पाद विलुप्त हो जाता है।

\mathbf {u} \cdot \nabla \cdot \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi -{\frac {\boldsymbol {\sigma }}{\rho }}\right)={\frac {1}{\rho ^{2}}}\mathbf {u} \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \rho )

यदि तनाव टेंसर आइसोट्रोपिक है तब केवल दबाव ही प्रवेश करता है ${\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I}$ (जहाँ $I$ पहचान टेन्सर है) और स्थिर असंपीड्य स्थितियों में यूलर संवेग समीकरण बन जाता है।

\mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)+{\frac {p}{\rho ^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0

स्थिर असम्पीडित स्थितियों में जन समीकरण है।

\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0\,,

अर्थात् स्थिर असम्पीडित प्रवाह के लिए द्रव्यमान संरक्षण बताता है कि धारारेखा के साथ घनत्व स्थिर है। अतः इससे यूलर गति समीकरण का अधिक सरलीकरण होता है।

\mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=0

अदृश्य तरल प्रवाह के लिए कुल शीर्ष को परिभाषित करने की सुविधा अब स्पष्ट है।

b_{l}\equiv {\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\,,

वास्तव में, उपरोक्त समीकरण को केवल इस प्रकार लिखा जा सकता है।

\mathbf {u} \cdot \nabla b_{l}=0

इस प्रकार बाहरी रूढ़िवादी क्षेत्र में स्थिर अदृश्य और असम्पीडित प्रवाह के लिए संवेग संतुलन बताता है कि स्ट्रीमलाइन के साथ कुल सिर स्थिर है।

अघूर्णी प्रवाह

मेमने का रूप इरोटेशनल फ्लो में भी उपयोगी होता है जहां वेग का कर्ल (गणित) (जिसे वर्टिसिटी कहा जाता है) $ω = \nabla \times u$ शून्य के समान्तर है। इस स्थिति में संवहन शब्द में $D\mathbf {u} /Dt$ कम कर देता है।

\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =\nabla \left({\frac {\|\mathbf {u} \|^{2}}{2}}\right).

तनाव

सातत्य प्रवाह में तनाव के प्रभाव $\nabla p$ और $\nabla \cdot τ$ शर्तों द्वारा दर्शाया गया है। यह पृष्ठीय बलों की प्रवणताएँ हैं जो किसी ठोस में प्रतिबलों के अनुरूप होती हैं। यहाँ $\nabla p$ दाब प्रवणता है और कौशी प्रतिबल टेंसर के समदैशिक भाग से उत्पन्न होती है। यह भाग लगभग सभी स्थितियों में होने वाले सामान्य तनावों द्वारा दिया जाता है। चूँकि तनाव टेन्सर का अनिसोट्रोपिक भाग $\nabla \cdot τ$ उत्पन्न करता है जो सामान्यतः चिपचिपी शक्तियों का वर्णन करता है। अतः असम्पीडित प्रवाह के लिए यह केवल कतरनी प्रभाव है। इस प्रकार $τ$ विचलित तनाव टेंसर है और तनाव टेंसर इसके समान्तर है।^[11]

{\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +{\boldsymbol {\tau }}

जहाँ

I

विचारित स्थान में पहचान मैट्रिक्स है और

τ

कतरनी टेंसर है।

सभी गैर-सापेक्षवादी संवेग संरक्षण समीकरण जैसे कि नेवियर-स्टोक्स समीकरण, कॉची संवेग समीकरण के साथ शुरुआत करके और संवैधानिक संबंध के माध्यम से तनाव टेंसर को निर्दिष्ट करके प्राप्त किए जा सकते हैं। श्यानता और द्रव वेग के संदर्भ में अपरूपण टेंसर को व्यक्त करके और निरंतर घनत्व और श्यानता को मानते हुए कॉशी संवेग समीकरण नेवियर-स्टोक्स समीकरणों की ओर ले जाता है। इस प्रकार अदृश्य प्रवाह को मानकर नेवियर-स्टोक्स समीकरण यूलर समीकरणों (द्रव गतिकी) को और सरल बना सकते हैं।

तनाव टेन्सर के विचलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है।

\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}.

प्रवाह पर दाब प्रवणता का प्रभाव उच्च दाब से निम्न दाब की दिशा में प्रवाह को तेज करना है।

जैसा कि कॉची संवेग समीकरण में लिखा गया है प्रतिबल शब्द $p$ और $τ$ अभी तक अज्ञात हैं इसलिए अकेले इस समीकरण का उपयोग समस्याओं को हल करने के लिए नहीं किया जा सकता है। इस प्रकार गति के समीकरणों के अतिरिक्त - न्यूटन का दूसरा नियम - बल मॉडल की आवश्यकता है जो तनाव को प्रवाह गति से संबंधित करता है।^[12] इस कारण से प्राकृतिक प्रेक्षणों पर आधारित मान्यताओं को अधिकांशतः वेग और घनत्व जैसे अन्य प्रवाह चरों के संदर्भ में तनावों को निर्दिष्ट करने के लिए प्रयुक्त किया जाता है।

बाहरी बल

सदिश क्षेत्र $f$ प्रति इकाई द्रव्यमान में शारीरिक बलों का प्रतिनिधित्व करता है। सामान्यतः इनमें केवल गुरुत्व त्वरण होता है किन्तु इसमें अन्य सम्मिलित हो सकते हैं जैसे विद्युत चुम्बकीय बल इत्यादि। इस प्रकार गैर-जड़त्वीय समन्वय फ्रेम में काल्पनिक बल से जुड़े अन्य "जड़त्वीय त्वरण" उत्पन्न हो सकते हैं।

अधिकांशतः इन बलों को कुछ अदिश राशि $χ$ के ढाल के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है $f = \nabla χ$ के साथ जिस स्थिति में उन्हें संरक्षी बल कहा जाता है। $z$ दिशा में गुरुत्वाकर्षण उदाहरण के लिए $- ρgz$ की ढाल है जिससे कि इस प्रकार के गुरुत्वाकर्षण से दबाव केवल ढाल के रूप में उत्पन्न होता है। अतः हम इसे दबाव शब्द में शारीरिक बल $h = p - χ$ के रूप में सम्मिलित कर सकते हैं। नेवियर-स्टोक्स समीकरण के दाहिनी ओर दबाव और बल की शर्तें बन जाती हैं।

-\nabla p+\mathbf {f} =-\nabla p+\nabla \chi =-\nabla \left(p-\chi \right)=-\nabla h.

इस प्रकार तनाव की अवधि में बाहरी प्रभावों को सम्मिलित करना भी संभव है

{\boldsymbol {\sigma }}

शारीरिक बल शब्द के अतिरिक्त इसमें तनाव टेंसर में सामान्यतः सममित आंतरिक योगदान के विपरीत एंटीसिमेट्रिक तनाव (कोणीय गति के इनपुट) भी सम्मिलित हो सकते हैं।^[13]

गैर-विमीयकरण

समीकरणों को आयाम रहित बनाने के लिए अभिलाक्षणिक लंबाई $r 0$ और विशिष्ट वेग $u 0$ को परिभाषित करने की आवश्यकता है। इन्हें ऐसे चुना जाना चाहिए कि आयाम रहित चर सभी क्रम के होते है। निम्नलिखित आयाम रहित चर इस प्रकार प्राप्त होते हैं।

{\begin{aligned}\rho ^{*}&\equiv {\frac {\rho }{\rho _{0}}}&u^{*}&\equiv {\frac {u}{u_{0}}}&r^{*}&\equiv {\frac {r}{r_{0}}}&t^{*}&\equiv {\frac {u_{0}}{r_{0}}}t\\[6pt]\nabla ^{*}&\equiv r_{0}\nabla &\mathbf {f} ^{*}&\equiv {\frac {\mathbf {f} }{f_{0}}}&p^{*}&\equiv {\frac {p}{p_{0}}}&{\boldsymbol {\tau }}^{*}&\equiv {\frac {\boldsymbol {\tau }}{\tau _{0}}}\end{aligned}}

यूलर संवेग समीकरणों में इन उल्टे संबंधों का प्रतिस्थापन,

{\frac {\rho _{0}u_{0}^{2}}{r_{0}}}{\frac {\partial \rho ^{*}\mathbf {u} ^{*}}{\partial t^{*}}}+{\frac {\nabla ^{*}}{r_{0}}}\cdot \left(\rho _{0}u_{0}^{2}\rho ^{*}\mathbf {u} ^{*}\otimes \mathbf {u} ^{*}+p_{0}p^{*}\right)=-{\frac {\tau _{0}}{r_{0}}}\nabla ^{*}\cdot {\boldsymbol {\tau }}^{*}+f_{0}\mathbf {f} ^{*}

और प्रथम गुणांक के लिए विभाजित करके,

{\frac {\partial \mathbf {\rho } ^{*}u^{*}}{\partial t^{*}}}+\nabla ^{*}\cdot \left(\rho ^{*}\mathbf {u} ^{*}\otimes \mathbf {u} ^{*}+{\frac {p_{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}}p^{*}\right)=-{\frac {\tau _{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}}\nabla ^{*}\cdot {\boldsymbol {\tau }}^{*}+{\frac {f_{0}r_{0}}{u_{0}^{2}}}\mathbf {f} ^{*}

अब फ्राउड संख्या को परिभाषित करना,

\mathrm {Fr} ={\frac {u_{0}^{2}}{f_{0}r_{0}}},

यूलर संख्या (भौतिकी),

\mathrm {Eu} ={\frac {p_{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}},

और त्वचा-घर्षण का गुणांक या जिसे सामान्यतः वायुगतिकी के क्षेत्र में 'ड्रैग' गुणांक कहा जाता है।

C_{\mathrm {f} }={\frac {2\tau _{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}},

क्रमशः रूढ़िवादी चर अर्थात् द्रव्यमान प्रवाह और बल घनत्व से गुजरकर,

{\begin{aligned}\mathbf {j} &=\rho \mathbf {u} \\\mathbf {g} &=\rho \mathbf {f} \end{aligned}}

समीकरण अंत में व्यक्त किए गए हैं। (अब इंडेक्स को छोड़ रहे हैं)

कॉची गति समीकरण (गैर-आयामी रूढ़िवादी रूप)

${\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +\mathrm {Eu} \,p\right)=-{\frac {C_{\mathrm {f} }}{2}}\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+{\frac {1}{\mathrm {Fr} }}\mathbf {g}$

फ्राउड सीमा $Fr \to \infty$ (नगण्य बाहरी क्षेत्र के अनुरूप) में कौशी समीकरणों को मुक्त कौशी समीकरण नामित किया गया हैं।

फ्री कॉची संवेग समीकरण (गैर-आयामी रूढ़िवादी रूप)

${\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +\mathrm {Eu} \,p\right)=-{\frac {C_{\mathrm {f} }}{2}}\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}$

और अंततः संरक्षण समीकरण हो सकता है। इस प्रकार के समीकरणों के लिए उच्च फ्राउड संख्या (कम बाहरी क्षेत्र) की सीमा इस प्रकार उल्लेखनीय है और गड़बड़ी सिद्धांत के साथ अध्ययन किया जाता है।

अंत में संवहन रूप में समीकरण हैं।

कॉची गति समीकरण (गैर आयामी संवहन रूप)

${\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} \,{\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{\mathrm {Fr} }}\mathbf {f}$

3डी स्पष्ट संवहन रूप

कार्तीय 3डी निर्देशांक

असममित प्रतिबल टेंसरों के लिए सामान्य रूप से समीकरण निम्नलिखित रूप लेते हैं।^[2]^[3]^[4]^[14]

\sigma _{ij}=\sigma _{ji}\Longrightarrow \tau _{ij}=\tau _{ji}

[7] In 3D for example, with respect to some coordinate system, the vector $j$ has 3 components, while the tensors $σ$ and $F$ have 9 (3×3), so the explicit forms written as matrices would be: ${\begin{aligned}{\mathbf {j} }&={\begin{pmatrix}\rho u_{1}\\\rho u_{2}\\\rho u_{3}\end{pmatrix}}\\{\mathbf {s} }&={\begin{pmatrix}\rho g_{1}\\\rho g_{2}\\\rho g_{3}\end{pmatrix}}\\{\mathbf {F} }&={\begin{pmatrix}\rho u_{1}^{2}+\sigma _{11}&\rho u_{1}u_{2}+\sigma _{12}&\rho u_{1}u_{3}+\sigma _{13}\\\rho u_{2}u_{1}+\sigma _{12}&\rho u_{2}^{2}+\sigma _{22}&\rho u_{2}u_{3}+\sigma _{23}\\\rho u_{3}u_{1}+\sigma _{13}&\rho u_{3}u_{2}+\sigma _{23}&\rho u_{3}^{2}+\sigma _{33}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$ Note, however, that if symmetrical, $F$ will only contain 6 degrees of freedom. And $F$ 's symmetry is equivalent to $σ$ 's symmetry (which will be present for the most common Cauchy stress tensors), since dyads of vectors with themselves are always symmetrical.

[Acheson-1] 1.0 ^1.1 Acheson, D. J. (1990). प्राथमिक द्रव गतिकी. Oxford University Press. p. 205. ISBN 0-19-859679-0.

[Berdahl-2] 2.0 ^2.1 Berdahl, C. I.; Strang, W. Z. (1986). "द्रव प्रवाह में वर्टिसिटी-प्रभावित असममित तनाव टेंसर का व्यवहार" (PDF). AIR FORCE WRIGHT AERONAUTICAL LABORATORIES. p. 13 (Below the main equation, authors describe $\sigma _{ki,k}=\partial \sigma _{ki}/\partial x_{k}=\nabla \cdot \sigma$ ).

[Papanastasiou-3] 3.0 ^3.1 Papanastasiou, Tasos C.; Georgiou, Georgios C.; Alexandrou, Andreas N. (2000). चिपचिपा द्रव प्रवाह (PDF). CRC Press. p. 66,68,143,182 (Authors use $\nabla \cdot \mathbb {\sigma } =\nabla \cdot (p\mathbf {I} +\mathbf {\tau } )$ ). ISBN 0-8493-1606-5.

[William-4] 4.0 ^4.1 Deen, William M. (2016). केमिकल इंजीनियरिंग द्रव यांत्रिकी का परिचय. Cambridge University Press. pp. 133–136. ISBN 978-1-107-12377-9.

[Clarke2011-5] David A. Clarke (2011). "A Primer on Tensor Calculus" (PDF). p. 11 (pdf 15).{{cite web}}: CS1 maint: uses authors parameter (link)

[Anderson-6] Anderson, John D. Jr. (1995). कम्प्यूटेशनल तरल सक्रिय (PDF). New York: McGraw-Hill. pp. 61–64. ISBN 0-07-001685-2.

[Emanuel-8] 7.0 ^7.1 Emanuel, G. (2001). विश्लेषणात्मक द्रव गतिकी (second ed.). CRC Press. pp. 6–7. ISBN 0-8493-9114-8.

[9] Lamb, Horace (1945). "जल-गत्यात्मकता" (in English).

[10] See Batchelor (1967), §3.5, p. 160.

[11] Weisstein, Eric W. "Convective Derivative". MathWorld.

[12] Batchelor (1967) p. 142.

[13] Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew (1963), The Feynman Lectures on Physics, Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, Vol. 1, §9–4 and §12–1, ISBN 0-201-02116-1

[DahlerScriven1961-14] Dahler, J. S.; Scriven, L. E. (1961). "कॉन्टिनुआ का कोणीय संवेग". Nature. 192 (4797): 36–37. Bibcode:1961Natur.192...36D. doi:10.1038/192036a0. ISSN 0028-0836. S2CID 11034749.

[15] Powell, Adam (12 April 2010). "नेवियर-स्टोक्स समीकरण" (PDF). p. 2 (Author uses $\nabla \cdot \mathbb {\sigma } =\nabla \cdot (p\mathbf {I} +\mathbf {\tau } )$ ).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[note 1]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

Anonymous

Search

कॉची गति समीकरण: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

Latest revision as of 14:34, 24 April 2023

Contents

मुख्य समीकरण

विभेदक व्युत्पत्ति

दाईं ओर

बायीं ओर

बाएँ और दाएँ पक्ष की तुलना

अभिन्न व्युत्पत्ति

संरक्षण रूप

संवहनी त्वरण

एडवेक्शन ऑपरेटर बनाम टेन्सर व्युत्पन्न

मेमने का रूप

अघूर्णी प्रवाह

तनाव

बाहरी बल

गैर-विमीयकरण

3डी स्पष्ट संवहन रूप

कार्तीय 3डी निर्देशांक

बेलनाकार 3डी निर्देशांक

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

संदर्भ

Navigation

Navigation

Wiki tools

Wiki tools

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Equation}}
-'''[[कॉची]] गति समीकरण''' कॉची द्वारा प्रस्तुत सदिश आंशिक अंतर समीकरण है। जो किसी भी सातत्य यांत्रिकी में गैर-सापेक्षतावादी संवेग परिवहन का वर्णन करता है।<ref name="Acheson">{{cite book|last=Acheson|first=D. J.|title=प्राथमिक द्रव गतिकी|publisher=[[Oxford University Press]] | year=1990|isbn=0-19-859679-0|page=205}}</ref>
+'''[[कॉची]] गति समीकरण''' कॉची द्वारा प्रस्तुत सदिश आंशिक अंतर समीकरण है जो किसी भी सातत्य यांत्रिकी में गैर-सापेक्षतावादी संवेग परिवहन का वर्णन करता है।<ref name="Acheson">{{cite book|last=Acheson|first=D. J.|title=प्राथमिक द्रव गतिकी|publisher=[[Oxford University Press]] | year=1990|isbn=0-19-859679-0|page=205}}</ref>
 == मुख्य समीकरण ==
-संवहन में (या लाग्रंगियन और यूलेरियन विनिर्देश) रूप में कॉची संवेग समीकरण को इस प्रकार लिखा जाता है।
+संवहन में (या लाग्रंगियन और यूलेरियन विनिर्देश) रूप में कॉची संवेग समीकरण को इस प्रकार लिखा जाता है।<math display="block"> \frac{D \mathbf{u}}{D t} = \frac 1 \rho \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \mathbf{f}</math>
-<math display="block"> \frac{D \mathbf{u}}{D t} = \frac 1 \rho \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \mathbf{f}</math>
 जहाँ
-* <math>\mathbf{u}</math> [[प्रवाह वेग]] सदिश क्षेत्र है। जो समय और स्थान पर निर्भर करता है। (इकाई: <math>\mathrm{m/s}</math>)
+* <math>\mathbf{u}</math> [[प्रवाह वेग]] सदिश क्षेत्र है जो समय और स्थान पर निर्भर करता है। (इकाई: <math>\mathrm{m/s}</math>)
 * <math>t</math> [[समय]] है। (इकाई: <math>\mathrm{s}</math>)
-* <math>\frac{D \mathbf{u}}{D t}</math> [[सामग्री व्युत्पन्न]] है। जो <math>\mathbf{u}</math> के समान्तर <math>\partial_t\mathbf{u} + \mathbf{u}\cdot \nabla\mathbf{u}</math> है। (इकाई: <math>\mathrm{m/s^2}</math>)
+* <math>\frac{D \mathbf{u}}{D t}</math> [[सामग्री व्युत्पन्न]] है जो <math>\mathbf{u}</math> के समान्तर <math>\partial_t\mathbf{u} + \mathbf{u}\cdot \nabla\mathbf{u}</math> है। (इकाई: <math>\mathrm{m/s^2}</math>)
 * <math>\rho</math> सातत्य के दिए गए बिंदु पर [[घनत्व]] है। (जिसके लिए निरंतरता समीकरण धारण करता है।), (इकाई: <math>\mathrm{kg/m^3}</math>)
 * <math>\boldsymbol{\sigma}</math> [[कॉची तनाव टेन्सर]] है। (इकाई: <math>\mathrm{Pa=N/m^2 = kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}}</math>)
-* <math>\mathbf{f}=\begin{bmatrix}f_x\\ f_y\\ f_z\end{bmatrix}</math> सदिश है। जिसमें शारीरिक बलों के कारण होने वाले सभी त्वरण (कभी-कभी केवल गुरुत्वाकर्षण त्वरण) सम्मिलित होते हैं। (इकाई: <math>\mathrm{m/s^2}</math>)
+* <math>\mathbf{f}=\begin{bmatrix}f_x\\ f_y\\ f_z\end{bmatrix}</math> सदिश है जिसमें शारीरिक बलों के कारण होने वाले सभी त्वरण (कभी-कभी केवल गुरुत्वाकर्षण त्वरण) सम्मिलित होते हैं। (इकाई: <math>\mathrm{m/s^2}</math>)
 * <math>\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}= \begin{bmatrix}
 \dfrac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \dfrac{\partial \sigma_{yx}}{\partial y} + \dfrac{\partial \sigma_{zx}}{\partial z} \\
@@ Line 16: / Line 16: @@
 \dfrac{\partial \sigma_{xz}}{\partial x} + \dfrac{\partial \sigma_{yz}}{\partial y} + \dfrac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} \\
 \end{bmatrix}
-</math> तनाव टेंसर का विचलन है।<ref name=Berdahl /><ref name=Papanastasiou /><ref name=William />(इकाई: <math>\mathrm{Pa/m=kg \cdot m^{-2} \cdot s^{-2} }</math>)
+</math> तनाव टेंसर का विचलन है।<ref name="Berdahl" /><ref name="Papanastasiou" /><ref name="William" />(इकाई: <math>\mathrm{Pa/m=kg \cdot m^{-2} \cdot s^{-2} }</math>)
 सामान्यतः उपयोग की जाने वाली एसआई इकाइयाँ कोष्ठकों में दी गई हैं। चूँकि समीकरण प्रकृति में सामान्य हैं और अन्य इकाइयाँ उनमें अंकित की जा सकती हैं या इकाइयों को [[गैर-विमीयकरण]] द्वारा हटाया जा सकता है।
@@ Line 26: / Line 26: @@
 page=11 (pdf 15) |
 url=https://www.ap.smu.ca/~dclarke/home/documents/byDAC/tprimer.pdf
-}}</ref> चूँकि, यदि हमने गैर-ऑर्थोगोनल [[वक्रीय निर्देशांक|वक्रीय समन्वय प्रणाली]] को चुना है। तब हमें सहपरिवर्ती (पंक्ति सदिश) या प्रतिपरिवर्ती (स्तंभ सदिश) रूप में समीकरणों की गणना करनी चाहिए और उन्हें लिखना चाहिए।
+}}</ref> चूँकि, यदि गैर-ऑर्थोगोनल [[वक्रीय निर्देशांक|वक्रीय समन्वय प्रणाली]] को चुना है तब हमें सहपरिवर्ती (पंक्ति सदिश) या प्रतिपरिवर्ती (स्तंभ सदिश) रूप में समीकरणों की गणना करनी चाहिए और उन्हें लिखना चाहिए।
 चरों के उचित परिवर्तन के पश्चात् इसे संरक्षण रूप में भी लिखा जा सकता है।<math display="block"> \frac {\partial  \mathbf j }{\partial t}+ \nabla \cdot \mathbf F  = \mathbf s </math>
 जहाँ {{math|'''j'''}} किसी दिए गए स्थान-समय बिंदु पर [[द्रव्यमान प्रवाह|संवेग घनत्व]] है। अतः {{math|'''F'''}} संवेग घनत्व से जुड़ा प्रवाह है और {{math|'''s'''}} में प्रति इकाई आयतन में सभी शारीरिक बल सम्मिलित हैं।
 == विभेदक व्युत्पत्ति ==
-आइए हम सामान्यीकृत संवेग संरक्षण सिद्धांत से प्रारंभ करते है। जिसे निम्नानुसार लिखा जा सकता है। "सिस्टम संवेग में परिवर्तन इस प्रणाली पर कार्य करने वाले परिणामी बल के समानुपाती होता है।" इसे सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है।<ref name="Anderson">{{cite book |last= Anderson |first=John D. Jr.|date=1995 |title=कम्प्यूटेशनल तरल सक्रिय| location=New York |publisher=McGraw-Hill |pages=61–64 |isbn=0-07-001685-2| url=https://www.airloads.net/Downloads/Textbooks/Computational-Fluid-Dynamics-the-Basics-With-Applications-Anderson-J-D.pdf}}</ref><math display="block">\vec p(t+\Delta t) - \vec p(t) = \Delta t \vec\bar F</math>
+आइए हम सामान्यीकृत संवेग संरक्षण सिद्धांत से प्रारंभ करते है जिसे निम्नानुसार लिखा जा सकता है। "सिस्टम संवेग में परिवर्तन इस प्रणाली पर कार्य करने वाले परिणामी बल के समानुपाती होता है।" इसे सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है।<ref name="Anderson">{{cite book |last= Anderson |first=John D. Jr.|date=1995 |title=कम्प्यूटेशनल तरल सक्रिय| location=New York |publisher=McGraw-Hill |pages=61–64 |isbn=0-07-001685-2| url=https://www.airloads.net/Downloads/Textbooks/Computational-Fluid-Dynamics-the-Basics-With-Applications-Anderson-J-D.pdf}}</ref><math display="block">\vec p(t+\Delta t) - \vec p(t) = \Delta t \vec\bar F</math>जहाँ <math>\vec p(t)</math> समय t में संवेग है, <math>\vec\bar F</math> पर बल औसत से अधिक है, <math>\Delta t</math> द्वारा विभाजित करने के पश्चात् <math>\Delta t</math> और सीमा से गुजर रहा है। इस प्रकार <math>\Delta t \to 0</math> (व्युत्पन्न) हम प्राप्त करते हैं।
+<math display="block">\frac{d\vec p}{dt} = \vec F</math>आइए हम उपरोक्त समीकरण के प्रत्येक पक्ष का विश्लेषण करते है।
-जहाँ <math>\vec p(t)</math> समय t में संवेग है, <math>\vec\bar F</math> पर बल औसत से अधिक है, <math>\Delta t</math> द्वारा विभाजित करने के पश्चात् <math>\Delta t</math> और सीमा से गुजर रहा है। इस प्रकार <math>\Delta t \to 0</math> (व्युत्पन्न) हम प्राप्त करते हैं।
-<math display="block">\frac{d\vec p}{dt} = \vec F</math>
-आइए हम उपरोक्त समीकरण के प्रत्येक पक्ष का विश्लेषण करते है।
 ===दाईं ओर===
-[[File:CauchyDeriv.png|thumb|घन द्रव तत्व की दीवारों पर कार्य करने वाले बलों का एक्स घटक (ऊपर-नीचे की दीवारों के लिए हरा, बाएं-दाएं के लिए लाल, आगे-पीछे के लिए काला)।]]
+[[File:CauchyDeriv.png|thumb|घन द्रव तत्व की दीवारों पर कार्य करने वाले बलों का एक्स घटक (ऊपर-नीचे की दीवारों के लिए हरा, बाएं-दाएं के लिए लाल, आगे-पीछे के लिए काला) होता है।|192x192px]]
-[[File:RozZupelnaC.png|thumb|शीर्ष ग्राफ में हम फ़ंक्शन का सन्निकटन देखते हैं <math>f(x)</math> (नीली रेखा) परिमित अंतर (पीली रेखा) का उपयोग करते हुए। नीचे के ग्राफ में हम बिंदु के कई गुना बढ़े हुए पड़ोस को देखते हैं <math>x_1</math>(ऊपरी ग्राफ से बैंगनी वर्ग)। नीचे के ग्राफ़ में, पीली रेखा पूरी तरह से नीले रंग से ढकी हुई है, इसलिए दिखाई नहीं देती। नीचे की आकृति में, दो समतुल्य व्युत्पन्न रूपों का उपयोग किया गया है: <math display="inline">f'(x_1)=\frac{df(x_1)}{dx_1}</math>], और पदनाम <math>\Delta f = f(x_1+\Delta x) - f(x_1)</math> प्रयोग किया गया]]हम बलों को शारीरिक बलों में विभाजित करते हैं। अतः <math>\vec F_m</math> और [[सतह बल]] <math>\vec F_p</math> होता है।<math display="block">\vec F=\vec F_p + \vec F_m</math>
+[[File:RozZupelnaC.png|thumb|शीर्ष ग्राफ में हम फ़ंक्शन का सन्निकटन देखते हैं <math>f(x)</math> (नीली रेखा) परिमित अंतर (पीली रेखा) का उपयोग करते है। नीचे के ग्राफ में हम बिंदु के कई गुना बढ़े हुए पड़ोस <math>x_1</math>(ऊपरी ग्राफ से बैंगनी वर्ग) को देखते हैं। नीचे के ग्राफ़ में पीली रेखा पूर्ण प्रकार से नीले रंग से ढकी हुई है इसलिए दिखाई नहीं देती है। अतः नीचे की आकृति में दो समतुल्य व्युत्पन्न रूपों का उपयोग किया गया है <math display="inline">f'(x_1)=\frac{df(x_1)}{dx_1}</math>] और पदनाम <math>\Delta f = f(x_1+\Delta x) - f(x_1)</math> प्रयोग किया गया है।|224x224px]]हम बलों को शारीरिक बलों में विभाजित करते हैं। अतः <math>\vec F_m</math> और [[सतह बल]] <math>\vec F_p</math> होता है।<math display="block">\vec F=\vec F_p + \vec F_m</math>
-सतही बल घन द्रव तत्व की दीवारों पर कार्य करते हैं। प्रत्येक दीवार के लिए इन बलों के एक्स घटक को घन तत्व के साथ चित्र में चिह्नित किया गया था।(तनाव और सतह क्षेत्र के उत्पाद के रूप में उदाहरण , <math>-\sigma_{xx} \, dy \, dz</math> इकाइयों के साथ <math display="inline">\mathrm{Pa\cdot m\cdot m = \frac{N}{m^2} \cdot m^2 = N}</math>).
+सतही बल घन द्रव तत्व की दीवारों पर कार्य करते हैं। अतः प्रत्येक दीवार के लिए इन बलों के एक्स घटक को घन तत्व के साथ चित्र में चिह्नित किया गया था। (तनाव और सतह क्षेत्र के उत्पाद के रूप में उदाहरण , <math>-\sigma_{xx} \, dy \, dz</math> इकाइयों के साथ <math display="inline">\mathrm{Pa\cdot m\cdot m = \frac{N}{m^2} \cdot m^2 = N}</math>).
 {| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
 !घन की दीवारों पर कार्य करने वाले बलों (सन्निकटन और ऋण चिह्न) के मूल्य की व्याख्या।
@@ Line 69: / Line 61: @@
 +\left(\sigma_{zx}+\frac{\partial\sigma_{zx}}{\partial z}dz\right)dx\,dy
 -\sigma_{zx}dx\,dy
-</math> <math>F_p^y, F_p^z</math> (उन्हें चित्र में नहीं दिखाया गया है। किन्तु यह क्रमशः Y और Z अक्षों के समानांतर सदिश होते है) हमें मिलता है।
+</math>
+<math>F_p^y, F_p^z</math> (उन्हें चित्र में नहीं दिखाया गया है किन्तु यह क्रमशः Y और Z अक्षों के समानांतर सदिश होते है) हमें मिलता है।
 <math display="block"> \begin{align}
@@ Line 86: / Line 80: @@
 \end{align}</math>
+हम इसे प्रतीकात्मक परिचालन के रूप में लिख सकते हैं।<math display="block">\vec F_p=(\nabla\cdot\boldsymbol\sigma) \,dx\,dy\,dz</math>नियंत्रण आयतन के अंदर द्रव्यमान बल कार्य कर रहे हैं। इस प्रकार हम उन्हें त्वरण क्षेत्र का उपयोग करके लिख सकते हैं। अतः <math>\mathbf{f}</math> (जैसे गुरुत्वाकर्षण त्वरण) होता है।
-हम इसे प्रतीकात्मक परिचालन के रूप में लिख सकते हैं।
+<math display="block">\vec F_m = \mathbf f \rho \,dx\,dy\,dz</math>
-<math display="block">\vec F_p=(\nabla\cdot\boldsymbol\sigma) \,dx\,dy\,dz</math>
-नियंत्रण आयतन के अंदर द्रव्यमान बल कार्य कर रहे हैं। हम उन्हें त्वरण क्षेत्र का उपयोग करके लिख सकते हैं। अतः <math>\mathbf{f}</math> (जैसे गुरुत्वाकर्षण त्वरण) होता है।
-<math display="block">\vec F_m = \mathbf f \rho \,dx\,dy\,dz</math>
 === बायीं ओर ===
-आइए घन की गति की गणना करते है।
+आइए घन की गति की गणना करते है।<math display="block">\vec p = \mathbf u m = \mathbf u \rho \, dx \, dy \, dz</math>
-<math display="block">\vec p = \mathbf u m = \mathbf u \rho \, dx \, dy \, dz</math>
-जिससे कि हम मानते हैं कि परीक्षण किया गया द्रव्यमान (घन) <math>m=\rho \,dx\,dy\,dz</math> समय में स्थिर है, इसलिए
-<math display="block">\frac{d\vec p}{dt}=\frac{d\mathbf u}{dt} \rho \, dx \, dy \, dz</math>
+जिससे कि हम मानते हैं कि परीक्षण किया गया द्रव्यमान (घन) <math>m=\rho \,dx\,dy\,dz</math> समय में स्थिर है। अतः,<math display="block">\frac{d\vec p}{dt}=\frac{d\mathbf u}{dt} \rho \, dx \, dy \, dz</math>
 === बाएँ और दाएँ पक्ष की तुलना ===
-अपने पास
+अपने समीप<math display="block">\frac{d\vec p}{dt}=\vec F</math>तब,
-<math display="block">\frac{d\vec p}{dt}=\vec F</math>
-तब
 <math display="block">\frac{d\vec p}{dt}=\vec F_p + \vec F_m</math>
-तब
-<math display="block">\frac{d\mathbf u}{dt}\rho \, dx \, dy \, dz = (\nabla\cdot\boldsymbol\sigma)dx \, dy \, dz + \mathbf f \rho \,dx \, dy \, dz</math>
-द्वारा दोनों पक्षों को विभाजित करें <math>\rho \,dx\,dy\,dz</math>, और जिससे कि <math display="inline">\frac{d\mathbf u}{dt} = \frac{D\mathbf u}{Dt}</math> हम पाते हैं:
-<math display="block">\frac{D\mathbf u}{Dt} = \frac{1}{\rho}\nabla\cdot\boldsymbol\sigma + \mathbf f</math>
-जो व्युत्पत्ति को समाप्त करता है।
-== इंटीग्रल व्युत्पत्ति ==
-न्यूटन के दूसरे नियम को प्रयुक्त करना ({{mvar|i}}वें घटक) मॉडल किए जा रहे सातत्य में [[नियंत्रण मात्रा]] देता है:
-<math display="block">m a_i = F_i</math>
-फिर, [[रेनॉल्ड्स परिवहन प्रमेय]] के आधार पर और सामग्री व्युत्पन्न संकेतन का उपयोग करके, कोई लिख सकता है
-<math display="block">\begin{align}
+तब,<math display="block">\frac{d\mathbf u}{dt}\rho \, dx \, dy \, dz = (\nabla\cdot\boldsymbol\sigma)dx \, dy \, dz + \mathbf f \rho \,dx \, dy \, dz</math>द्वारा दोनों पक्षों को विभाजित किया जाता है <math>\rho \,dx\,dy\,dz</math> और जिससे कि <math display="inline">\frac{d\mathbf u}{dt} = \frac{D\mathbf u}{Dt}</math> हमें मिलता हैं।<math display="block">\frac{D\mathbf u}{Dt} = \frac{1}{\rho}\nabla\cdot\boldsymbol\sigma + \mathbf f</math>जो व्युत्पत्ति को समाप्त करता है।
+== अभिन्न व्युत्पत्ति ==
+न्यूटन के दूसरे नियम ({{mvar|i}}वें घटक) को मॉडलिंग की जा रही निरंतरता में नियंत्रण मात्रा में प्रयुक्त कर देता है।<math display="block">m a_i = F_i</math>फिर, [[रेनॉल्ड्स परिवहन प्रमेय]] के आधार पर और सामग्री व्युत्पन्न संकेतन का उपयोग करके कोई लिख सकता है।<math display="block">\begin{align}
 \int_{\Omega} \rho \frac{D u_i}{D t} \, dV &= \int_{\Omega} \nabla_j\sigma_i^j \, dV + \int_{\Omega} \rho f_i \, dV \\
 \int_{\Omega} \left(\rho \frac{D u_i}{D t} - \nabla_j\sigma_i^j - \rho f_i \right)\, dV &= 0 \\
 \rho \frac{D u_i}{D t}- \nabla_j\sigma_i^j - \rho f_i &= 0 \\
 \frac{D u_i}{D t}- \frac {\nabla_j\sigma_i^j}{\rho} - f_i &= 0
-\end{align}</math>
+\end{align}</math>जहाँ {{math|Ω}} नियंत्रण मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है। चूँकि यह समीकरण किसी भी नियंत्रण आयतन के लिए होता है अतः यह सत्य होता है कि समाकलन शून्य है। इससे कॉची संवेग समीकरण अनुसरण करता है। इस समीकरण को प्राप्त करने में मुख्य कदम (ऊपर नहीं किया गया है।) यह स्थापित कर रहा है कि तनाव टेंसर का [[टेंसर व्युत्पन्न]] उन बलों में से है जो {{mvar|F<sub>i</sub>}} गठन करता है।<ref name=Acheson />
-जहाँ {{math|Ω}} नियंत्रण मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है। चूँकि यह समीकरण किसी भी नियंत्रण आयतन के लिए होना चाहिए, यह सच होना चाहिए कि समाकलन शून्य है, इससे कॉची संवेग समीकरण अनुसरण करता है। इस समीकरण को प्राप्त करने में मुख्य कदम (ऊपर नहीं किया गया) यह स्थापित कर रहा है कि तनाव टेंसर का [[टेंसर व्युत्पन्न]] उन बलों में से है जो गठन करता है {{mvar|F<sub>i</sub>}}.<ref name=Acheson />
 == संरक्षण रूप ==
 {{see also|संरक्षण कानून (भौतिकी)}}
-कॉशी संवेग समीकरण को निम्न रूप में भी रखा जा सकता है:
+कॉशी संवेग समीकरण को निम्न रूप में भी रखा जा सकता है।
 {{Equation box 1
 |indent=:
-|title='''Cauchy momentum equation''' ''(conservation form)''
+|title='''कौशी संवेग समीकरण''' ''(संरक्षण रूप)''
 |equation=<math>\frac {\partial \mathbf j}{\partial t}+ \nabla \cdot \mathbf F  = \mathbf s</math>
 |cellpadding
@@ Line 142: / Line 116: @@
 }}
-बस परिभाषित करके:
+केवल परिभाषित करके,<math display="block"> \begin{align}
-<math display="block"> \begin{align}
 {\mathbf j}&= \rho \mathbf u \\
 {\mathbf F}&=\rho \mathbf u \otimes \mathbf u - \boldsymbol \sigma \\
 {\mathbf s}&= \rho \mathbf f
-\end{align}</math>
+\end{align}</math>जहाँ {{math|'''j'''}} सातत्य में माने जाने वाले बिंदु पर संवेग घनत्व है (जिसके लिए निरंतरता समीकरण धारण करता है), {{math|'''F'''}} संवेग घनत्व से जुड़ा प्रवाह है और {{math|'''s'''}} में प्रति इकाई आयतन में शारीरिक बल सम्मिलित हैं। अतः {{math|'''u''' ⊗ '''u'''}} वेग का युग्म गुणनफल है।
-जहाँ {{math|'''j'''}} सातत्य में माने गए बिंदु पर द्रव्यमान प्रवाह है (जिसके लिए निरंतरता समीकरण धारण करता है), {{math|'''F'''}} संवेग घनत्व से जुड़ा प्रवाह है, और {{math|'''s'''}} में प्रति इकाई आयतन में शरीर के सभी बल सम्मिलित हैं। {{math|'''u''' ⊗ '''u'''}} वेग का डायाडिक गुणनफल है।
-यहाँ {{math|'''j'''}} और {{math|'''s'''}} में समान संख्या में आयाम हैं {{mvar|N}} प्रवाह की गति और शरीर के त्वरण के रूप में, जबकि {{math|'''F'''}}, [[ टेन्सर |टेन्सर]] होने के नाते, है {{math|''N''<sup>2</sup>}}.<ref group="note">In 3D for example, with respect to some coordinate system, the vector {{math|'''j'''}} has 3 components, while the tensors {{math|'''σ'''}} and {{math|'''F'''}} have 9 (3×3), so the explicit forms written as matrices would be:
+यहाँ {{math|'''j'''}} और {{math|'''s'''}} में आयामों की संख्या {{mvar|N}} प्रवाह की गति और शरीर के त्वरण के समान है जबकि {{math|'''F'''}} [[ टेन्सर |टेन्सर]] होने के नाते {{math|''N''<sup>2</sup>}} है।<ref group="note">In 3D for example, with respect to some coordinate system, the vector {{math|'''j'''}} has 3 components, while the tensors {{math|'''σ'''}} and {{math|'''F'''}} have 9 (3×3), so the explicit forms written as matrices would be:
 <math display="block">\begin{align}
@@ Line 167: / Line 138: @@
 == संवहनी त्वरण ==
-[[Image:ConvectiveAcceleration vectorized.svg|thumb|संवहन त्वरण का उदाहरण। प्रवाह स्थिर (समय-स्वतंत्र) है, किन्तु द्रव घटता है जिससे कि यह डायवर्जिंग डक्ट को नीचे ले जाता है (असम्पीडित या सबसोनिक कंप्रेसिबल प्रवाह मानते हुए)।]]नेवियर-स्टोक्स समीकरणों की महत्वपूर्ण विशेषता संवहनी त्वरण की उपस्थिति है: अंतरिक्ष के संबंध में प्रवाह के समय-स्वतंत्र त्वरण का प्रभाव। जबकि भिन्न-भिन्न सातत्य कण वास्तव में समय पर निर्भर त्वरण का अनुभव करते हैं, प्रवाह क्षेत्र का संवहन त्वरण स्थानिक प्रभाव है, उदाहरण नोजल में तरल पदार्थ की गति है।
+[[Image:ConvectiveAcceleration vectorized.svg|thumb|संवहन त्वरण का उदाहरण। प्रवाह स्थिर (समय-स्वतंत्र) है, किन्तु द्रव घटता है जिससे कि यह डायवर्जिंग डक्ट को नीचे ले जाता है (असम्पीडित या सबसोनिक कंप्रेसिबल प्रवाह मानते हुए)।|243x243px]]नेवियर-स्टोक्स समीकरणों की महत्वपूर्ण विशेषता संवहनी त्वरण की उपस्थिति है। इस प्रकार अंतरिक्ष के संबंध में प्रवाह के समय-स्वतंत्र त्वरण का प्रभाव होता है जबकि भिन्न-भिन्न सातत्य कण वास्तव में समय पर निर्भर त्वरण का अनुभव करते हैं। इस प्रकार प्रवाह क्षेत्र का संवहन त्वरण स्थानिक प्रभाव है। उदाहरण के लिये नोजल में तरल पदार्थ की गति है।
-चाहे किसी भी प्रकार के सातत्य से निपटा जा रहा हो, संवहन त्वरण अरैखिक प्रभाव है। संवहन त्वरण अधिकांश प्रवाहों में उपस्तिथ होता है (अपवादों में आयामी असंपीड्य प्रवाह सम्मिलित है), किन्तु रेंगने वाले प्रवाह (जिसे स्टोक्स प्रवाह भी कहा जाता है) में इसके गतिशील प्रभाव की अवहेलना की जाती है। संवहन त्वरण को अरैखिक मात्रा द्वारा दर्शाया जाता है {{math|'''u''' ⋅ ∇'''u'''}}, जिसे या तो समझा जा सकता है {{math|('''u''' ⋅ ∇)'''u'''}} या के रूप में {{math|'''u''' ⋅ (∇'''u''')}}, साथ {{math|∇'''u'''}} वेग सदिश का टेंसर व्युत्पन्न {{math|'''u'''}}. दोनों व्याख्याएं समान परिणाम देती हैं।<ref name=Emanuel>{{cite book | last=Emanuel | first=G. | title=विश्लेषणात्मक द्रव गतिकी| publisher=CRC Press | year=2001 | edition=second | isbn=0-8493-9114-8 | pages=6–7 }}</ref>
+समान्यतः किसी भी प्रकार के सातत्य से निपटा जा रहा होता है किंतु संवहन त्वरण अरैखिक प्रभाव है। संवहन त्वरण अधिकांश प्रवाहों में उपस्तिथ होता है (अपवादों में आयामी असंपीड्य प्रवाह सम्मिलित है।) किन्तु रेंगने वाले प्रवाह (जिसे स्टोक्स प्रवाह भी कहा जाता है) में इसके गतिशील प्रभाव की अवहेलना की जाती है। संवहन त्वरण को अरैखिक मात्रा {{math|'''u''' ⋅ ∇'''u'''}} द्वारा दर्शाया जाता है जिसे या तो {{math|('''u''' ⋅ ∇)'''u'''}} या {{math|'''u''' ⋅ (∇'''u''')}} के रूप में समझा जा सकता है। अतः {{math|∇'''u'''}} के साथ वेग सदिश {{math|'''u'''}} का टेंसर व्युत्पन्न में दोनों व्याख्याएं समान परिणाम देती हैं।<ref name=Emanuel>{{cite book | last=Emanuel | first=G. | title=विश्लेषणात्मक द्रव गतिकी| publisher=CRC Press | year=2001 | edition=second | isbn=0-8493-9114-8 | pages=6–7 }}</ref>
 === एडवेक्शन ऑपरेटर बनाम टेन्सर व्युत्पन्न ===
-संवहन शब्द <math>D\mathbf{u}/Dt</math> रूप में लिखा जा सकता है {{math|('''u''' ⋅ ∇)'''u'''}}, जहाँ {{math|'''u''' ⋅ ∇}} [[संवहन]] है। इस निरूपण की तुलना टेन्सर व्युत्पन्न के संदर्भ में से की जा सकती है।<ref name=Emanuel/>टेंसर व्युत्पन्न {{math|∇'''u'''}} द्वारा परिभाषित वेग सदिश का घटक-दर-घटक व्युत्पन्न है {{math|1=[∇'''u''']<sub>''mi''</sub> = ∂''<sub>m</sub> v<sub>i</sub>''}}, जिससे कि
+संवहन शब्द <math>D\mathbf{u}/Dt</math> को {{math|('''u''' ⋅ ∇)'''u'''}} के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ {{math|'''u''' ⋅ ∇}} [[संवहन]] है। इस प्रकार टेंसर व्युत्पन्न के संदर्भ में इस प्रतिनिधित्व की तुलना की जा सकती है।<ref name=Emanuel/> टेंसर व्युत्पन्न {{math|∇'''u'''}} वेग सदिश का घटक-दर-घटक व्युत्पन्न है जिसे {{math|1=[∇'''u''']<sub>''mi''</sub> = ∂''<sub>m</sub> v<sub>i</sub>''}} द्वारा परिभाषित किया गया है। जिससे कि<math display="block">\left[\mathbf{u}\cdot\left(\nabla \mathbf{u}\right)\right]_i=\sum_m v_m \partial_m v_i=\left[(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\right]_i\,.</math>
-<math display="block">\left[\mathbf{u}\cdot\left(\nabla \mathbf{u}\right)\right]_i=\sum_m v_m \partial_m v_i=\left[(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\right]_i\,.</math>
 === मेमने का रूप ===
-कर्ल (गणित) की सदिश कलन पहचान # पहचान रखती है:
+कर्ल (गणित) के क्रॉस उत्पाद की सदिश कलन पहचान रखती है।<math display="block"> \mathbf{v} \times \left( \nabla \times \mathbf{a} \right) = \nabla_a \left( \mathbf{v} \cdot \mathbf{a} \right) - \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{a} </math>
-<math display="block"> \mathbf{v} \times \left( \nabla \times \mathbf{a} \right) = \nabla_a \left( \mathbf{v} \cdot \mathbf{a} \right) - \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{a} </math>
+जहां फेनमैन सबस्क्रिप्ट नोटेशन {{math|∇<sub>''a''</sub>}} का उपयोग किया जाता है जिसका अर्थ है कि सबस्क्रिप्टेड ग्रेडिएंट केवल कारक {{mvar|a}} पर कार्य करता है।
-जहां फेनमैन सबस्क्रिप्ट नोटेशन {{math|∇<sub>''a''</sub>}} का उपयोग किया जाता है, जिसका अर्थ है कि सबस्क्रिप्टेड ग्रेडिएंट केवल कारक पर काम करता है {{mvar|a}}.
-[[होरेस लैम्ब]] ने अपनी प्रसिद्ध मौलिक पुस्तक हाइड्रोडायनामिक्स (1895) में,<ref>{{cite web| language=en| url=https://archive.org/details/hydrodynamics00lamb/page/n3/mode/2up |last=Lamb |first=Horace | title=जल-गत्यात्मकता| year=1945 }}</ref> इस पहचान का उपयोग प्रवाह वेग के संवहन शब्द को घूर्णी रूप में परिवर्तित के लिए किया जाता है, अर्थात टेन्सर व्युत्पन्न के बिना:<ref>See Batchelor (1967), §3.5, p. 160.</ref><ref>{{MathWorld| id=ConvectiveDerivative| title = Convective Derivative}}</ref>
+[[होरेस लैम्ब]] ने अपनी प्रसिद्ध मौलिक पुस्तक हाइड्रोडायनामिक्स (1895) में<ref>{{cite web| language=en| url=https://archive.org/details/hydrodynamics00lamb/page/n3/mode/2up |last=Lamb |first=Horace | title=जल-गत्यात्मकता| year=1945 }}</ref> इस पहचान का उपयोग प्रवाह वेग के संवहन शब्द को घूर्णी रूप में परिवर्तित करने के लिए किया जाता है अर्थात टेन्सर व्युत्पन्न के बिना कार्य करता है।<ref>See Batchelor (1967), §3.5, p. 160.</ref><ref>{{MathWorld| id=ConvectiveDerivative| title = Convective Derivative}}</ref><math display="block">\mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} = \nabla \left( \frac{\|\mathbf{u}\|^2}{2} \right) + \left( \nabla \times \mathbf{u} \right) \times \mathbf{u}</math>
-<math display="block">\mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} = \nabla \left( \frac{\|\mathbf{u}\|^2}{2} \right) + \left( \nabla \times \mathbf{u} \right) \times \mathbf{u}</math>
+जहां सदिश <math>\mathbf l = \left( \nabla \times \mathbf{u} \right) \times \mathbf{u}</math> [[मेम्ने वेक्टर|मेम्ने सदिश]] कहा जाता है जिससे कि कॉची संवेग समीकरण बन जाता है।
-जहां सदिश <math>\mathbf l = \left( \nabla \times \mathbf{u} \right) \times \mathbf{u}</math> [[मेम्ने वेक्टर|मेम्ने सदिश]] कहा जाता है। कॉची संवेग समीकरण बन जाता है:
 <math display="block">\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \frac{1}{2} \nabla \left(u^2\right) + (\nabla \times \mathbf u) \times \mathbf u = \frac 1 \rho \nabla \cdot \boldsymbol \sigma + \mathbf{f}</math>
-पहचान का उपयोग करना:
+पहचान का उपयोग करना,<math display="block">\nabla \cdot \left( \frac {\boldsymbol \sigma}{\rho} \right) = \frac 1 \rho \nabla \cdot \boldsymbol \sigma - \frac{1}{\rho^2} \boldsymbol \sigma \cdot \nabla \rho</math>
-<math display="block">\nabla \cdot \left( \frac {\boldsymbol \sigma}{\rho} \right) = \frac 1 \rho \nabla \cdot \boldsymbol \sigma - \frac{1}{\rho^2} \boldsymbol \sigma \cdot \nabla \rho</math>
+कॉची समीकरण बन जाता है।<math display="block">\nabla \cdot \left(\frac{1}{2} u^2 - \frac {\boldsymbol \sigma} \rho \right) - \mathbf f = \frac{1}{\rho^2} \boldsymbol \sigma \cdot \nabla \rho + \mathbf u \times (\nabla \times \mathbf u) - \frac{\partial \mathbf u}{\partial t}</math>
-कॉची समीकरण बन जाता है:
-<math display="block">\nabla \cdot \left(\frac{1}{2} u^2 - \frac {\boldsymbol \sigma} \rho \right) - \mathbf f = \frac{1}{\rho^2} \boldsymbol \sigma \cdot \nabla \rho + \mathbf u \times (\nabla \times \mathbf u) - \frac{\partial \mathbf u}{\partial t}</math>
+वास्तव में, बाहरी [[रूढ़िवादी क्षेत्र]] की स्थितियों में इसकी क्षमता {{mvar|φ}} को परिभाषित करके प्राप्त होती है।<math display="block">\nabla \cdot \left( \frac{1}{2} u^2 + \phi - \frac {\boldsymbol \sigma} \rho \right) = \frac{1}{\rho^2} \boldsymbol \sigma \cdot \nabla \rho + \mathbf u \times (\nabla \times \mathbf u) - \frac{\partial \mathbf u}{\partial t}</math>
-वास्तव में, बाहरी [[रूढ़िवादी क्षेत्र]] के स्थितियों में, इसकी क्षमता को परिभाषित करके {{mvar|φ}}:
-<math display="block">\nabla \cdot \left( \frac{1}{2} u^2 + \phi - \frac {\boldsymbol \sigma} \rho \right) = \frac{1}{\rho^2} \boldsymbol \sigma \cdot \nabla \rho + \mathbf u \times (\nabla \times \mathbf u) - \frac{\partial \mathbf u}{\partial t}</math>
+स्थिर प्रवाह के स्थितियों में प्रवाह वेग का समय व्युत्पन्न विलुप्त हो जाता है जिससे कि संवेग समीकरण बन जाता है।<math display="block">\nabla \cdot \left( \frac{1}{2} u^2 + \phi - \frac {\boldsymbol \sigma} \rho \right) = \frac{1}{\rho^2} \boldsymbol \sigma \cdot \nabla \rho  + \mathbf u \times (\nabla \times \mathbf u)</math>
-स्थिर प्रवाह के स्थितियों में प्रवाह वेग का समय व्युत्पन्न विलुप्त हो जाता है, इसलिए संवेग समीकरण बन जाता है:
-<math display="block">\nabla \cdot \left( \frac{1}{2} u^2 + \phi - \frac {\boldsymbol \sigma} \rho \right) = \frac{1}{\rho^2} \boldsymbol \sigma \cdot \nabla \rho  + \mathbf u \times (\nabla \times \mathbf u)</math>
+इसके अतिरिक्त प्रवाह दिशा पर गति समीकरण को प्रक्षेपित करके अर्थात् स्ट्रीकलाइन और पाथलाइन के साथ [[ट्रिपल स्केलर उत्पाद|ट्रिपल अदिश उत्पाद]] की सदिश कैलकुलस पहचान के कारण क्रॉस उत्पाद विलुप्त हो जाता है।<math display="block">\mathbf u \cdot \nabla \cdot \left( \frac{1}{2} u^2 + \phi - \frac {\boldsymbol \sigma} \rho \right) = \frac{1}{\rho^2} \mathbf u \cdot (\boldsymbol \sigma \cdot \nabla \rho)</math>
-और प्रवाह दिशा पर संवेग समीकरण को प्रक्षेपित करके, अर्थात् स्ट्रीमलाइन, स्ट्रीकलाइन और पाथलाइन के साथ, [[ट्रिपल स्केलर उत्पाद]] की सदिश कैलकुलस पहचान के कारण क्रॉस उत्पाद विलुप्त हो जाता है:
-<math display="block">\mathbf u \cdot \nabla \cdot \left( \frac{1}{2} u^2 + \phi - \frac {\boldsymbol \sigma} \rho \right) = \frac{1}{\rho^2} \mathbf u \cdot (\boldsymbol \sigma \cdot \nabla \rho)</math>
+यदि तनाव टेंसर आइसोट्रोपिक है तब केवल दबाव ही प्रवेश करता है <math>\boldsymbol \sigma = -p \mathbf I</math> (जहाँ {{math|'''I'''}} पहचान टेन्सर है) और स्थिर असंपीड्य स्थितियों में यूलर संवेग समीकरण बन जाता है।<math display="block">\mathbf u \cdot \nabla \left( \frac{1}{2} u^2 + \phi + \frac p \rho \right) + \frac{p}{\rho^2} \mathbf u \cdot \nabla \rho = 0</math>
-यदि तनाव टेंसर आइसोट्रोपिक है, तो केवल दबाव ही प्रवेश करता है: <math>\boldsymbol \sigma = -p \mathbf I</math> (जहाँ {{math|'''I'''}} पहचान टेन्सर है), और स्थिर असंपीड्य स्थितियों में यूलर संवेग समीकरण बन जाता है:
-<math display="block">\mathbf u \cdot \nabla \left( \frac{1}{2} u^2 + \phi + \frac p \rho \right) + \frac{p}{\rho^2} \mathbf u \cdot \nabla \rho = 0</math>
+स्थिर असम्पीडित स्थितियों में जन समीकरण है।<math display="block">\mathbf u \cdot \nabla \rho = 0\,,</math>
-स्थिर असम्पीडित स्थितियों में जन समीकरण बस है:
-<math display="block">\mathbf u \cdot \nabla \rho = 0\,,</math>
+अर्थात् स्थिर असम्पीडित प्रवाह के लिए द्रव्यमान संरक्षण बताता है कि धारारेखा के साथ घनत्व स्थिर है। अतः इससे यूलर गति समीकरण का अधिक सरलीकरण होता है।
-अर्थात्, स्थिर असम्पीडित प्रवाह के लिए द्रव्यमान संरक्षण बताता है कि धारारेखा के साथ घनत्व स्थिर है। इससे यूलर गति समीकरण का अधिक सरलीकरण होता है:
 <math display="block">\mathbf u \cdot \nabla \left( \frac{1}{2} u^2 + \phi + \frac p \rho \right) = 0</math>
-अदृश्य तरल प्रवाह के लिए कुल शीर्ष को परिभाषित करने की सुविधा अब स्पष्ट है:
+अदृश्य तरल प्रवाह के लिए कुल शीर्ष को परिभाषित करने की सुविधा अब स्पष्ट है।
 <math display="block">b_l \equiv \frac{1}{2} u^2 + \phi + \frac p \rho\,,</math>
-वास्तव में, उपरोक्त समीकरण को केवल इस प्रकार लिखा जा सकता है:
+वास्तव में, उपरोक्त समीकरण को केवल इस प्रकार लिखा जा सकता है।
 <math display="block">\mathbf u \cdot \nabla b_l = 0</math>
-यही है, बाहरी रूढ़िवादी क्षेत्र में स्थिर अदृश्य और असम्पीडित प्रवाह के लिए संवेग संतुलन बताता है कि स्ट्रीमलाइन के साथ कुल सिर स्थिर है।
+इस प्रकार बाहरी रूढ़िवादी क्षेत्र में स्थिर अदृश्य और असम्पीडित प्रवाह के लिए संवेग संतुलन बताता है कि स्ट्रीमलाइन के साथ कुल सिर स्थिर है।
 === अघूर्णी प्रवाह ===
-मेमने का रूप इरोटेशनल फ्लो में भी उपयोगी होता है, जहां वेग का [[कर्ल (गणित)]] (जिसे [[vorticity]] कहा जाता है) {{math|1=''ω'' = ∇ × '''u'''}} शून्य के समान्तर है। उस स्थिति में, संवहन शब्द में <math>D\mathbf{u}/Dt</math> कम कर देता है
+मेमने का रूप इरोटेशनल फ्लो में भी उपयोगी होता है जहां वेग का [[कर्ल (गणित)]] (जिसे [[vorticity|वर्टिसिटी]] कहा जाता है) {{math|1=''ω'' = ∇ × '''u'''}} शून्य के समान्तर है। इस स्थिति में संवहन शब्द में <math>D\mathbf{u}/Dt</math> कम कर देता है।
 <math display="block">\mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} = \nabla \left( \frac{\|\mathbf{u}\|^2}{2} \right).</math>
 == तनाव ==
-सातत्य प्रवाह में तनाव के प्रभाव को इसके द्वारा दर्शाया गया है {{math|∇''p''}} और {{math|∇ ⋅ '''τ'''}} शर्तें; ये पृष्ठीय बलों की प्रवणताएँ हैं, जो किसी ठोस में प्रतिबलों के अनुरूप होती हैं। यहाँ {{math|∇''p''}} दाब प्रवणता है और कौशी प्रतिबल टेंसर के समदैशिक भाग से उत्पन्न होती है। यह हिस्सा लगभग सभी स्थितियों में होने वाले सामान्य तनावों द्वारा दिया जाता है। तनाव टेन्सर का अनिसोट्रोपिक हिस्सा उत्पन्न करता है {{math|∇ ⋅ '''τ'''}}, जो सामान्यतः चिपचिपी शक्तियों का वर्णन करता है; असम्पीडित प्रवाह के लिए, यह केवल कतरनी प्रभाव है। इस प्रकार, {{math|'''τ'''}} [[विचलित तनाव टेंसर]] है, और तनाव टेंसर इसके समान्तर है:<ref>Batchelor (1967) p. 142.</ref>
+सातत्य प्रवाह में तनाव के प्रभाव {{math|∇''p''}} और {{math|∇ ⋅ '''τ'''}} शर्तों द्वारा दर्शाया गया है। यह पृष्ठीय बलों की प्रवणताएँ हैं जो किसी ठोस में प्रतिबलों के अनुरूप होती हैं। यहाँ {{math|∇''p''}} दाब प्रवणता है और कौशी प्रतिबल टेंसर के समदैशिक भाग से उत्पन्न होती है। यह भाग लगभग सभी स्थितियों में होने वाले सामान्य तनावों द्वारा दिया जाता है। चूँकि तनाव टेन्सर का अनिसोट्रोपिक भाग {{math|∇ ⋅ '''τ'''}} उत्पन्न करता है जो सामान्यतः चिपचिपी शक्तियों का वर्णन करता है। अतः असम्पीडित प्रवाह के लिए यह केवल कतरनी प्रभाव है। इस प्रकार {{math|'''τ'''}} [[विचलित तनाव टेंसर]] है और तनाव टेंसर इसके समान्तर है।<ref>Batchelor (1967) p. 142.</ref>
 <math display="block">\boldsymbol \sigma = - p \mathbf I + \boldsymbol \tau</math>
-जहाँ {{math|'''I'''}} माना स्थान में पहचान मैट्रिक्स है और {{math|'''τ'''}} कतरनी टेंसर।
+जहाँ {{math|'''I'''}} विचारित स्थान में पहचान मैट्रिक्स है और {{math|'''τ'''}} कतरनी टेंसर है।
-सभी गैर-सापेक्षवादी संवेग संरक्षण समीकरण, जैसे कि नेवियर-स्टोक्स समीकरण, कॉची संवेग समीकरण के साथ शुरुआत करके और [[संवैधानिक संबंध]] के माध्यम से तनाव टेंसर को निर्दिष्ट करके प्राप्त किए जा सकते हैं। [[श्यानता]] और द्रव अपरूपण वेग के संदर्भ में अपरूपण टेंसर को व्यक्त करके, और निरंतर घनत्व और श्यानता को मानते हुए, कॉशी संवेग समीकरण नेवियर-स्टोक्स समीकरणों की ओर ले जाएगा। [[अदृश्य प्रवाह]] को मानकर, नेवियर-स्टोक्स समीकरण यूलर समीकरणों (द्रव गतिकी) को और सरल बना सकते हैं।
+सभी गैर-सापेक्षवादी संवेग संरक्षण समीकरण जैसे कि नेवियर-स्टोक्स समीकरण, कॉची संवेग समीकरण के साथ शुरुआत करके और [[संवैधानिक संबंध]] के माध्यम से तनाव टेंसर को निर्दिष्ट करके प्राप्त किए जा सकते हैं। [[श्यानता]] और द्रव वेग के संदर्भ में अपरूपण टेंसर को व्यक्त करके और निरंतर घनत्व और श्यानता को मानते हुए कॉशी संवेग समीकरण नेवियर-स्टोक्स समीकरणों की ओर ले जाता है। इस प्रकार [[अदृश्य प्रवाह]] को मानकर नेवियर-स्टोक्स समीकरण यूलर समीकरणों (द्रव गतिकी) को और सरल बना सकते हैं।
-तनाव टेन्सर के विचलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है
+तनाव टेन्सर के विचलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है।
 <math display="block">\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} = -\nabla p + \nabla \cdot \boldsymbol{\tau}.</math>
 प्रवाह पर दाब प्रवणता का प्रभाव उच्च दाब से निम्न दाब की दिशा में प्रवाह को तेज करना है।
-जैसा कि कॉची संवेग समीकरण में लिखा गया है, तनाव की शर्तें {{mvar|p}} और {{math|'''τ'''}} अभी तक अज्ञात हैं, इसलिए अकेले इस समीकरण का उपयोग समस्याओं को हल करने के लिए नहीं किया जा सकता है। गति के समीकरणों के अतिरिक्त - न्यूटन का दूसरा नियम - बल मॉडल की आवश्यकता है जो तनाव को प्रवाह गति से संबंधित करता है।<ref>
+जैसा कि कॉची संवेग समीकरण में लिखा गया है प्रतिबल शब्द {{mvar|p}} और {{math|'''τ'''}} अभी तक अज्ञात हैं इसलिए अकेले इस समीकरण का उपयोग समस्याओं को हल करने के लिए नहीं किया जा सकता है। इस प्रकार गति के समीकरणों के अतिरिक्त - न्यूटन का दूसरा नियम - बल मॉडल की आवश्यकता है जो तनाव को प्रवाह गति से संबंधित करता है।<ref>
 {{citation
   | first1=Richard P.
@@ Line 257: / Line 213: @@
   | publisher=Addison-Wesley
   | location=Reading, Massachusetts
-  |at= Vol. 1, §9–4 and §12–1}}</ref> इस कारण से, प्राकृतिक प्रेक्षणों पर आधारित मान्यताओं को अधिकांशतः वेग और घनत्व जैसे अन्य प्रवाह चरों के संदर्भ में तनावों को निर्दिष्ट करने के लिए प्रयुक्त किया जाता है।
+  |at= Vol. 1, §9–4 and §12–1}}</ref> इस कारण से प्राकृतिक प्रेक्षणों पर आधारित मान्यताओं को अधिकांशतः वेग और घनत्व जैसे अन्य प्रवाह चरों के संदर्भ में तनावों को निर्दिष्ट करने के लिए प्रयुक्त किया जाता है।
 == बाहरी बल ==
-सदिश क्षेत्र {{math|'''f'''}} प्रति इकाई द्रव्यमान में शारीरिक बलों का प्रतिनिधित्व करता है। सामान्यतः, इनमें केवल गुरुत्व त्वरण होता है, किन्तु इसमें अन्य सम्मिलित हो सकते हैं, जैसे विद्युत चुम्बकीय बल। गैर-जड़त्वीय समन्वय फ्रेम में, काल्पनिक बल से जुड़े अन्य जड़त्वीय त्वरण उत्पन्न हो सकते हैं।
+सदिश क्षेत्र {{math|'''f'''}} प्रति इकाई द्रव्यमान में शारीरिक बलों का प्रतिनिधित्व करता है। सामान्यतः इनमें केवल गुरुत्व त्वरण होता है किन्तु इसमें अन्य सम्मिलित हो सकते हैं जैसे विद्युत चुम्बकीय बल इत्यादि। इस प्रकार गैर-जड़त्वीय समन्वय फ्रेम में काल्पनिक बल से जुड़े अन्य "जड़त्वीय त्वरण" उत्पन्न हो सकते हैं।
-अधिकांशतः, इन बलों को कुछ स्केलर मात्रा के ढाल के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है {{mvar|χ}}, साथ {{math|1='''f''' = ∇''χ''}} जिस स्थिति में उन्हें संरक्षी बल कहा जाता है। गुरुत्वाकर्षण में {{mvar|z}} दिशा, उदाहरण के लिए, की ढाल है {{math|−''ρgz''}}. जिससे कि इस तरह के गुरुत्वाकर्षण से दबाव केवल ढाल के रूप में उत्पन्न होता है, हम इसे दबाव शब्द में शरीर बल के रूप में सम्मिलित कर सकते हैं {{math|1=''h'' = ''p'' − ''χ''}}. नेवियर-स्टोक्स समीकरण के दाहिनी ओर दबाव और बल की शर्तें बन जाती हैं
+अधिकांशतः इन बलों को कुछ अदिश राशि {{mvar|χ}} के ढाल के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है {{math|1='''f''' = ∇''χ''}} के साथ जिस स्थिति में उन्हें संरक्षी बल कहा जाता है। {{mvar|z}} दिशा में गुरुत्वाकर्षण उदाहरण के लिए {{math|−''ρgz''}} की ढाल है जिससे कि इस प्रकार के गुरुत्वाकर्षण से दबाव केवल ढाल के रूप में उत्पन्न होता है। अतः हम इसे दबाव शब्द में शारीरिक बल {{math|1=''h'' = ''p'' − ''χ''}} के रूप में सम्मिलित कर सकते हैं। नेवियर-स्टोक्स समीकरण के दाहिनी ओर दबाव और बल की शर्तें बन जाती हैं।
 <math display="block">-\nabla p + \mathbf{f} = -\nabla p + \nabla \chi = -\nabla \left( p - \chi \right) = -\nabla h.</math>
-तनाव की अवधि में बाहरी प्रभावों को सम्मिलित करना भी संभव है <math>\boldsymbol{\sigma}</math> शरीर बल शब्द के अतिरिक्त। इसमें स्ट्रेस टेंसर में सामान्यतः सममित आंतरिक योगदान के विपरीत एंटीसिमेट्रिक स्ट्रेस (कोणीय गति के इनपुट) भी सम्मिलित हो सकते हैं।<ref name="DahlerScriven1961">{{cite journal| last1=Dahler| first1=J. S.| last2=Scriven| first2=L. E.| title=कॉन्टिनुआ का कोणीय संवेग| journal=Nature| volume=192| issue=4797| year=1961| pages=36–37|issn=0028-0836|doi=10.1038/192036a0|bibcode=1961Natur.192...36D|s2cid=11034749}}</ref>
+इस प्रकार तनाव की अवधि में बाहरी प्रभावों को सम्मिलित करना भी संभव है <math>\boldsymbol{\sigma}</math> शारीरिक बल शब्द के अतिरिक्त इसमें तनाव टेंसर में सामान्यतः सममित आंतरिक योगदान के विपरीत एंटीसिमेट्रिक तनाव (कोणीय गति के इनपुट) भी सम्मिलित हो सकते हैं।<ref name="DahlerScriven1961">{{cite journal| last1=Dahler| first1=J. S.| last2=Scriven| first2=L. E.| title=कॉन्टिनुआ का कोणीय संवेग| journal=Nature| volume=192| issue=4797| year=1961| pages=36–37|issn=0028-0836|doi=10.1038/192036a0|bibcode=1961Natur.192...36D|s2cid=11034749}}</ref>
 == गैर-विमीयकरण ==
-समीकरणों को आयाम रहित बनाने के लिए, विशिष्ट लंबाई {{math|''r''<sub>0</sub>}} और विशेषता वेग {{math|''u''<sub>0</sub>}} को परिभाषित करने की आवश्यकता है। इन्हें ऐसे चुना जाना चाहिए कि आयाम रहित चर सभी क्रम के हों। निम्नलिखित आयाम रहित चर इस प्रकार प्राप्त होते हैं:
+समीकरणों को आयाम रहित बनाने के लिए अभिलाक्षणिक लंबाई {{math|''r''<sub>0</sub>}} और विशिष्ट वेग {{math|''u''<sub>0</sub>}} को परिभाषित करने की आवश्यकता है। इन्हें ऐसे चुना जाना चाहिए कि आयाम रहित चर सभी क्रम के होते है। निम्नलिखित आयाम रहित चर इस प्रकार प्राप्त होते हैं।
 <math display="block">\begin{align}
@@ Line 275: / Line 229: @@
 \nabla^* &\equiv r_0 \nabla & \mathbf f^* &\equiv \frac {\mathbf f} {f_0} & p^* &\equiv \frac p {p_0} & \boldsymbol \tau^* &\equiv \frac {\boldsymbol \tau} {\tau_0}
 \end{align}</math>
-यूलर संवेग समीकरणों में इन उल्टे संबंधों का प्रतिस्थापन:
+यूलर संवेग समीकरणों में इन उल्टे संबंधों का प्रतिस्थापन,
 <math display="block">\frac {\rho_0 u_0^2}{r_0}\frac{\partial \rho^* \mathbf u^*}{\partial t^*}+ \frac {\nabla^*}{r_0} \cdot \left( \rho_0 u_0^2 \rho^* \mathbf u^* \otimes \mathbf u^* + p_0 p^* \right)= - \frac {\tau_0}{r_0} \nabla^* \cdot \boldsymbol \tau^* + f_0 \mathbf f^*</math>
-और पहले गुणांक के लिए विभाजित करके:
+और प्रथम गुणांक के लिए विभाजित करके,
 <math display="block">\frac{\partial \mathbf \rho^* u^*}{\partial t^*}+  \nabla^* \cdot \left(\rho^* \mathbf u^* \otimes  \mathbf u^* + \frac {p_0}{\rho_0 u_0^2} p^* \right)= - \frac {\tau_0}{\rho_0 u_0^2} \nabla^* \cdot \boldsymbol \tau^* + \frac { f_0 r_0}{u_0^2} \mathbf f^*</math>
-अब फ्राउड संख्या को परिभाषित करना:
+अब फ्राउड संख्या को परिभाषित करना,
 <math display="block">\mathrm{Fr}=\frac{u_0^2}{f_0 r_0},</math>
-[[यूलर संख्या (भौतिकी)]]:
+[[यूलर संख्या (भौतिकी)]],
 <math display="block">\mathrm{Eu}=\frac{p_0}{\rho_0 u_0^2},</math>
-और घर्षण का गुणांक | त्वचा-घर्षण का गुणांक या जिसे सामान्यतः वायुगतिकी के क्षेत्र में 'ड्रैग' गुणांक कहा जाता है:
+और त्वचा-घर्षण का गुणांक या जिसे सामान्यतः वायुगतिकी के क्षेत्र में 'ड्रैग' गुणांक कहा जाता है।
 <math display="block">C_\mathrm{f}=\frac{2 \tau_0}{\rho_0 u_0^2},</math>
-क्रमशः [[रूढ़िवादी चर]], अर्थात् द्रव्यमान प्रवाह और [[बल घनत्व]] से गुजरकर:
+क्रमशः [[रूढ़िवादी चर]] अर्थात् द्रव्यमान प्रवाह और [[बल घनत्व]] से गुजरकर,
 <math display="block">\begin{align}
@@ Line 296: / Line 250: @@
   \mathbf g &= \rho \mathbf f
 \end{align}</math>
-समीकरण अंत में व्यक्त किए गए हैं (अब इंडेक्स को छोड़ रहे हैं):
+समीकरण अंत में व्यक्त किए गए हैं। (अब इंडेक्स को छोड़ रहे हैं)
 {{Equation box 1
 |indent=:
-|title='''Cauchy momentum equation''' (''nondimensional conservative form'')
+|title='''कॉची गति समीकरण''' (''गैर-आयामी रूढ़िवादी रूप'')
 |equation=
 <math>
@@ Line 310: / Line 264: @@
 }}
-फ्राउड लिमिट में कौशी समीकरण {{math|Fr → ∞}} (नगण्य बाहरी क्षेत्र के अनुरूप) मुक्त कौशी समीकरण नामित हैं:
+फ्राउड सीमा {{math|Fr → ∞}} (नगण्य बाहरी क्षेत्र के अनुरूप) में कौशी समीकरणों को मुक्त कौशी समीकरण नामित किया गया हैं।
 {{Equation box 1
 |indent=:
-|title='''Free Cauchy momentum equation''' (''nondimensional conservative form'')
+|title='''फ्री कॉची संवेग समीकरण''' (''गैर-आयामी रूढ़िवादी रूप'')
 |equation=
 <math>
@@ Line 325: / Line 279: @@
 }}
-और अंततः [[संरक्षण कानून]] हो सकता है। इस तरह के समीकरणों के लिए उच्च फ्राउड संख्या (कम बाहरी क्षेत्र) की सीमा इस प्रकार उल्लेखनीय है और [[गड़बड़ी सिद्धांत]] के साथ अध्ययन किया जाता है।
+और अंततः [[संरक्षण कानून|संरक्षण समीकरण]] हो सकता है। इस प्रकार के समीकरणों के लिए उच्च फ्राउड संख्या (कम बाहरी क्षेत्र) की सीमा इस प्रकार उल्लेखनीय है और [[गड़बड़ी सिद्धांत]] के साथ अध्ययन किया जाता है।
-अंत में संवहन रूप में समीकरण हैं:
+अंत में संवहन रूप में समीकरण हैं।
 {{Equation box 1
 |indent=:
-|title='''Cauchy momentum equation''' (''nondimensional convective form'')
+|title='''कॉची गति समीकरण''' (''गैर आयामी संवहन रूप'')
 |equation=
 <math>
@@ Line 345: / Line 299: @@
 === कार्तीय 3डी निर्देशांक ===
-असममित तनाव टेंसरों के लिए, सामान्य रूप से समीकरण निम्नलिखित रूप लेते हैं:<ref name="Berdahl">{{cite news|first1=C. I.|last1=Berdahl|first2=W. Z.|last2=Strang|title=द्रव प्रवाह में वर्टिसिटी-प्रभावित असममित तनाव टेंसर का व्यवहार| date=1986|page=13 (Below the main equation, authors describe <math>\sigma_{ki,k}=\partial \sigma_{ki}/\partial x_k = \nabla\cdot\sigma</math>)|publisher=AIR FORCE WRIGHT AERONAUTICAL LABORATORIES|url=https://apps.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a181244.pdf}}</ref><ref name="Papanastasiou">{{cite book|first1=Tasos C.|last1=Papanastasiou|first2=Georgios C.|last2=Georgiou|first3=Andreas N.|last3=Alexandrou|title=चिपचिपा द्रव प्रवाह|date=2000|page=66,68,143,182 (Authors use <math>\nabla\cdot\mathbb\sigma = \nabla\cdot(p\mathbf I + \mathbf\tau)</math>)|publisher=CRC Press| isbn=0-8493-1606-5| url=https://www.mobt3ath.com/uplode/book/book-46462.pdf}}</ref><ref name="William">{{cite book| first=William M.| last=Deen| title=केमिकल इंजीनियरिंग द्रव यांत्रिकी का परिचय|publisher=Cambridge University Press| date=2016| pages=133–136|isbn=978-1-107-12377-9|url=https://books.google.com/books?id=H1CeDAAAQBAJ&q=cauchy+momentum+asymmetric&pg=PA146}}</ref><ref>{{cite web|first=Adam|last=Powell|title=नेवियर-स्टोक्स समीकरण| date=12 April 2010|page=2 (Author uses <math>\nabla\cdot\mathbb\sigma = \nabla\cdot(p\mathbf I + \mathbf\tau)</math>)| url=http://texmex.mit.edu/pub/emanuel/CLASS/12.340/navier-stokes(2).pdf}}</ref>
+असममित प्रतिबल टेंसरों के लिए सामान्य रूप से समीकरण निम्नलिखित रूप लेते हैं।<ref name="Berdahl">{{cite news|first1=C. I.|last1=Berdahl|first2=W. Z.|last2=Strang|title=द्रव प्रवाह में वर्टिसिटी-प्रभावित असममित तनाव टेंसर का व्यवहार| date=1986|page=13 (Below the main equation, authors describe <math>\sigma_{ki,k}=\partial \sigma_{ki}/\partial x_k = \nabla\cdot\sigma</math>)|publisher=AIR FORCE WRIGHT AERONAUTICAL LABORATORIES|url=https://apps.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a181244.pdf}}</ref><ref name="Papanastasiou">{{cite book|first1=Tasos C.|last1=Papanastasiou|first2=Georgios C.|last2=Georgiou|first3=Andreas N.|last3=Alexandrou|title=चिपचिपा द्रव प्रवाह|date=2000|page=66,68,143,182 (Authors use <math>\nabla\cdot\mathbb\sigma = \nabla\cdot(p\mathbf I + \mathbf\tau)</math>)|publisher=CRC Press| isbn=0-8493-1606-5| url=https://www.mobt3ath.com/uplode/book/book-46462.pdf}}</ref><ref name="William">{{cite book| first=William M.| last=Deen| title=केमिकल इंजीनियरिंग द्रव यांत्रिकी का परिचय|publisher=Cambridge University Press| date=2016| pages=133–136|isbn=978-1-107-12377-9|url=https://books.google.com/books?id=H1CeDAAAQBAJ&q=cauchy+momentum+asymmetric&pg=PA146}}</ref><ref>{{cite web|first=Adam|last=Powell|title=नेवियर-स्टोक्स समीकरण| date=12 April 2010|page=2 (Author uses <math>\nabla\cdot\mathbb\sigma = \nabla\cdot(p\mathbf I + \mathbf\tau)</math>)| url=http://texmex.mit.edu/pub/emanuel/CLASS/12.340/navier-stokes(2).pdf}}</ref>
 <math display="block">\begin{align}
@@ Line 352: / Line 306: @@
    z&: & \frac{\partial u_z}{\partial t} + u_x \frac{\partial u_z}{\partial x} + u_y \frac{\partial u_z}{\partial y} + u_z \frac{\partial u_z}{\partial z} &= \frac 1 \rho \left( \frac{\partial \sigma_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} \right) + f_z
 \end{align}</math>
 ===बेलनाकार 3डी निर्देशांक ===
-नीचे, हम मुख्य समीकरण को दाब-ताऊ रूप में यह मानते हुए लिखते हैं कि प्रतिबल टेन्सर सममित है (<math>\sigma_{ij}=\sigma_{ji} \Longrightarrow \tau_{ij}=\tau_{ji}</math>):
+नीचे, हम मुख्य समीकरण को दाब-ताऊ रूप में यह मानते हुए लिखते हैं कि प्रतिबल टेन्सर (<math>\sigma_{ij}=\sigma_{ji} \Longrightarrow \tau_{ij}=\tau_{ji}</math>) सममित है।
 <math display="block">\begin{align}
@@ Line 368: / Line 320: @@
           &= -\frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial z} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial\tau_{zz}}{\partial z} + \frac{1}{r\rho}\frac{\partial\tau_{\phi z}}{\partial\phi} + \frac{1}{r\rho}\frac{\partial\left(r\tau_{rz}\right)}{\partial r} + f_z
 \end{align}</math>
 == यह भी देखें ==
@@ Line 382: / Line 333: @@
 ==संदर्भ==
 {{reflist}}
-[[Category: सातत्यक यांत्रिकी]] [[Category: भौतिकी के समीकरण]] [[Category: गति]] [[Category: आंशिक अंतर समीकरण]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
+[[Category:CS1 maint]]
 [[Category:Created On 29/03/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Pages with script errors]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready]]
+[[Category:Templates that add a tracking category]]
+[[Category:Templates that generate short descriptions]]
+[[Category:Templates using TemplateData]]
+[[Category:आंशिक अंतर समीकरण]]
+[[Category:गति]]
+[[Category:भौतिकी के समीकरण]]
+[[Category:सातत्यक यांत्रिकी]]

Anonymous

Search

कॉची गति समीकरण: Difference between revisions

Latest revision as of 14:34, 24 April 2023

मुख्य समीकरण

विभेदक व्युत्पत्ति

दाईं ओर

बायीं ओर

बाएँ और दाएँ पक्ष की तुलना

अभिन्न व्युत्पत्ति

संरक्षण रूप

संवहनी त्वरण

एडवेक्शन ऑपरेटर बनाम टेन्सर व्युत्पन्न

मेमने का रूप

अघूर्णी प्रवाह

तनाव

बाहरी बल

गैर-विमीयकरण

3डी स्पष्ट संवहन रूप

कार्तीय 3डी निर्देशांक

बेलनाकार 3डी निर्देशांक

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

संदर्भ

Navigation

Wiki tools

Page tools

Other projects

Categories