कैननिकल परिवर्तन

हैमिल्टनियन यांत्रिकी में, विहित परिवर्तन विहित निर्देशांकों का परिवर्तन है (q, p, t) → (Q, P, t) जो हैमिल्टन के समीकरणों के रूप को संरक्षित करता है। इसे कभी-कभी फॉर्म इंवेरियन के रूप में जाना जाता है। इसे हैमिल्टनियन यांत्रिकी के रूप को ही संरक्षित करने की आवश्यकता नहीं है। प्रामाणिक परिवर्तन अपने आप में उपयोगी हैं, और हैमिल्टन-जैकोबी समीकरणों (गति की निरंतरता की गणना के लिए उपयोगी विधि) और लिउविल के प्रमेय (हैमिल्टनियन) | लिउविल के प्रमेय (स्वयं शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिकी के लिए आधार) के लिए आधार बनाते हैं।

चूंकि Lagrangian यांत्रिकी सामान्यीकृत निर्देशांक, निर्देशांक के परिवर्तन पर आधारित है q → Q Lagrangian यांत्रिकी | Lagrange के समीकरणों के रूप को प्रभावित नहीं करते हैं और इसलिए, हैमिल्टन के समीकरणों के रूप को प्रभावित नहीं करते हैं यदि हम साथ लीजेंड्रे परिवर्तन द्वारा संवेग को बदलते हैं

$$P_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q}}_{i}}}.$$

इसलिए, समन्वय परिवर्तन (जिसे बिंदु परिवर्तन भी कहा जाता है) विहित परिवर्तन का प्रकार है। हालाँकि, विहित परिवर्तनों का वर्ग बहुत व्यापक है, क्योंकि पुराने सामान्यीकृत निर्देशांक, संवेग और यहाँ तक कि समय को नए सामान्यीकृत निर्देशांक और संवेग बनाने के लिए जोड़ा जा सकता है। कैनोनिकल ट्रांसफ़ॉर्मेशन जिसमें स्पष्ट रूप से समय शामिल नहीं होता है, उसे प्रतिबंधित कैनोनिकल ट्रांसफ़ॉर्मेशन कहा जाता है (कई पाठ्यपुस्तकें केवल इस प्रकार पर विचार करती हैं)।

स्पष्टता के लिए, हम यहाँ प्रस्तुति को कलन और शास्त्रीय यांत्रिकी तक सीमित रखते हैं। अधिक उन्नत गणित से परिचित पाठक जैसे कॉटंगेंट बंडल, बाहरी व्युत्पन्न ्स और सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड को संबंधित sympletomorphism लेख पढ़ना चाहिए। (कैनोनिकल ट्रांसफॉर्मेशन सिम्पेक्टोमोर्फिज्म का विशेष मामला है।) हालांकि, इस लेख के अंत में आधुनिक गणितीय विवरण का संक्षिप्त परिचय शामिल है।

नोटेशन

बोल्डफेस चर जैसे q की सूची का प्रतिनिधित्व करते हैं N सामान्यीकृत निर्देशांक जिन्हें ROTATION के तहत वेक्टर (ज्यामितीय) की तरह बदलने की आवश्यकता नहीं है, उदाहरण के लिए,

$$\mathbf {q} \equiv \left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N}\right).$$

एक चर या सूची पर बिंदु समय व्युत्पन्न का प्रतीक है, उदाहरण के लिए,

$${\dot {\mathbf {q} }}\equiv {\frac {d\mathbf {q} }{dt}}.$$

निर्देशांकों की समान संख्या वाली दो सूचियों के बीच डॉट उत्पाद संकेतन संबंधित घटकों के उत्पादों के योग के लिए आशुलिपि है, उदाहरण के लिए,

$$\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} \equiv \sum _{k=1}^{N}p_{k}q_{k}.$$

डॉट उत्पाद (एक आंतरिक उत्पाद के रूप में भी जाना जाता है) दो समन्वय सूचियों को एकल संख्यात्मक मान का प्रतिनिधित्व करने वाले चर में मैप करता है।

अप्रत्यक्ष दृष्टिकोण

हैमिल्टन के समीकरणों का कार्यात्मक रूप है

$${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {p} }}&=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\\{\dot {\mathbf {q} }}&={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\end{aligned}}$$

परिभाषा के अनुसार, रूपांतरित निर्देशांकों में समरूप गतिकी होती है

$${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {P} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}\\{\dot {\mathbf {Q} }}&={\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}\end{aligned}}$$

कहाँ K(Q, P) नया हैमिल्टनियन है (कभी-कभी कामिल्टनियन कहा जाता है) निर्धारित किया जाना चाहिए।

सामान्य तौर पर, परिवर्तन (q, p, t) → (Q, P, t) हैमिल्टन के समीकरणों के रूप को संरक्षित नहीं करता है। समय के बीच स्वतंत्र परिवर्तन (q, p) और (Q, P) हम जाँच कर सकते हैं कि क्या परिवर्तन प्रतिबंधित है, निम्नानुसार है। चूंकि प्रतिबंधित परिवर्तनों की कोई स्पष्ट समय निर्भरता नहीं है (परिभाषा के अनुसार), नए सामान्यीकृत समन्वय का समय व्युत्पन्न Q_m है

$${\begin{aligned}{\dot {Q}}_{m}&={\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}\\&={\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}-{\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\\&=\lbrace Q_{m},H\rbrace \end{aligned}}$$

कहाँ {⋅, ⋅} प्वासों कोष्ठक है।

हमारे पास संयुग्मी संवेग P के लिए भी तत्समक है_m

$${\frac {\partial H}{\partial P_{m}}}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}$$

यदि परिवर्तन विहित है, तो इन दोनों को समान होना चाहिए, जिसके परिणामस्वरूप समीकरण बनेंगे

$${\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=-\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\end{aligned}}$$

सामान्यीकृत संवेग P के लिए अनुरूप तर्क_mसमीकरणों के दो अन्य सेट की ओर जाता है

$${\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=-\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\end{aligned}}$$

यह जाँचने के लिए अप्रत्यक्ष स्थितियाँ हैं कि क्या दिया गया परिवर्तन विहित है।

लिउविल का प्रमेय

अप्रत्यक्ष स्थितियां हमें लिउविले के प्रमेय (हैमिल्टनियन) को साबित करने की अनुमति देती हैं। लिउविल की प्रमेय, जिसमें कहा गया है कि चरण अंतरिक्ष में आयतन विहित परिवर्तनों के तहत संरक्षित है, अर्थात,

$$\int \mathrm {d} \mathbf {q} \,\mathrm {d} \mathbf {p} =\int \mathrm {d} \mathbf {Q} \,\mathrm {d} \mathbf {P}$$

प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण द्वारा # कई चर के लिए प्रतिस्थापन, बाद वाला अभिन्न जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक के पूर्व समय के बराबर होना चाहिए J

$$\int \mathrm {d} \mathbf {Q} \,\mathrm {d} \mathbf {P} =\int J\,\mathrm {d} \mathbf {q} \,\mathrm {d} \mathbf {p}$$

जहां जेकोबियन आंशिक डेरिवेटिव के मैट्रिक्स (गणित) का निर्धारक है, जिसे हम इस रूप में लिखते हैं

$$J\equiv {\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}$$

जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारकों की पैदावार की विभाजन संपत्ति का शोषण

$$J\equiv {\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}\left/{\frac {\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}\right.$$

दोहराए गए चर को खत्म करना देता है

$$J\equiv {\frac {\partial (\mathbf {Q} )}{\partial (\mathbf {q} )}}\left/{\frac {\partial (\mathbf {p} )}{\partial (\mathbf {P} )}}\right.$$

पैदावार के ऊपर अप्रत्यक्ष स्थितियों का अनुप्रयोग J = 1.

फ़ंक्शन दृष्टिकोण उत्पन्न करना

Main article: Generating function (physics)

के बीच वैध परिवर्तन की गारंटी के लिए (q, p, H) और (Q, P, K), हम प्रत्यक्ष जनन फलन दृष्टिकोण का सहारा ले सकते हैं। चरों के दोनों सेटों को क्रिया (भौतिकी) | हैमिल्टन के सिद्धांत का पालन करना चाहिए। यह Lagrangian यांत्रिकी पर क्रिया समाकलन है ${\mathcal {L}}_{qp}=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ और ${\mathcal {L}}_{QP}=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)$ क्रमशः, हेमिल्टनियन द्वारा (प्रतिलोम) लीजेंड्रे परिवर्तन के माध्यम से प्राप्त किया गया, दोनों को स्थिर होना चाहिए (ताकि उपर्युक्त और निर्दिष्ट रूप के समीकरणों पर पहुंचने के लिए यूलर-लैग्रेंज समीकरणों का उपयोग किया जा सके; जैसा कि उदाहरण के लिए दिखाया गया है हैमिल्टन समीकरण# व्युत्पन्न हैमिल्टन के समीकरण):

$${\begin{aligned}\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]dt&=0\\\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt&=0\end{aligned}}$$

भिन्नता समानता के दोनों कैलकुलस को संतुष्ट करने का तरीका है

$$\lambda \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {dG}{dt}}$$

Lagrangians अद्वितीय नहीं हैं: कोई हमेशा स्थिरांक से गुणा कर सकता है λ और कुल समय व्युत्पन्न जोड़ें dG/dt और गति के समान समीकरण प्राप्त करें (संदर्भ के लिए देखें: b: क्लासिकल मैकेनिक्स/लैग्रेंज थ्योरी#Is the Lagrangian Unique.3F)।

सामान्य तौर पर, स्केलिंग कारक λ के बराबर सेट है; जिसके लिए विहित परिवर्तन λ ≠ 1 विस्तारित विहित रूपांतरण कहलाते हैं। dG/dt रखा जाता है, अन्यथा समस्या तुच्छ हो जाएगी और नए विहित चर के लिए पुराने से भिन्न होने की अधिक स्वतंत्रता नहीं होगी।

यहाँ G पुराने विहित निर्देशांक का जनरेटिंग फ़ंक्शन (भौतिकी) है (q या p), नया विहित निर्देशांक (Q या P) और (संभवतः) समय t. इस प्रकार, चरों की पसंद के आधार पर, चार बुनियादी प्रकार के जनक फलन होते हैं (हालाँकि इन चार प्रकारों के मिश्रण मौजूद हो सकते हैं)। जैसा कि नीचे दिखाया जाएगा, जनरेटिंग फ़ंक्शन पुराने से नए कैनोनिकल निर्देशांक में परिवर्तन और ऐसे किसी भी परिवर्तन को परिभाषित करेगा (q, p) → (Q, P) प्रामाणिक होने की गारंटी है।

टाइप 1 जनरेटिंग फंक्शन

टाइप 1 जनरेटिंग फ़ंक्शन G₁ केवल पुराने और नए सामान्यीकृत निर्देशांकों पर निर्भर करता है

$$G\equiv G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)$$

निहित परिवर्तन प्राप्त करने के लिए, हम ऊपर परिभाषित समीकरण का विस्तार करते हैं

$$\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}$$

चूंकि नए और पुराने निर्देशांक प्रत्येक स्वतंत्र हैं, निम्नलिखित 2N + 1 समीकरण धारण करना चाहिए

$${\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}\end{aligned}}$$

ये समीकरण परिवर्तन को परिभाषित करते हैं (q, p) → (Q, P) निम्नलिखित नुसार। का पहला सेट N समीकरण

$$\mathbf {p} ={\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}$$

नए सामान्यीकृत निर्देशांकों के बीच संबंधों को परिभाषित करें Q और पुराने विहित निर्देशांक (q, p). आदर्श रूप से, प्रत्येक के लिए सूत्र प्राप्त करने के लिए इन संबंधों का आविष्कार किया जा सकता है Q_k पुराने विहित निर्देशांकों के कार्य के रूप में। के लिए इन सूत्रों का प्रतिस्थापन Q के दूसरे सेट में समन्वय करता है N समीकरण

$$\mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}$$

नए सामान्यीकृत संवेग के लिए अनुरूप सूत्र देता है P पुराने विहित निर्देशांकों के संदर्भ में (q, p). फिर हम पुराने विहित निर्देशांक प्राप्त करने के लिए सूत्रों के दोनों सेटों को उल्टा कर देते हैं (q, p) नए विहित निर्देशांकों के कार्यों के रूप में (Q, P). अंतिम समीकरण में उल्टे सूत्रों का प्रतिस्थापन

$$K=H+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}$$

के लिए सूत्र देता है K नए विहित निर्देशांकों के कार्य के रूप में (Q, P).

व्यवहार में, यह प्रक्रिया सुनने में जितनी आसान लगती है, उससे कहीं अधिक आसान है, क्योंकि जनरेटिंग फ़ंक्शन आमतौर पर सरल होता है। उदाहरण के लिए, चलो

$$G_{1}\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {Q}$$

इसके परिणामस्वरूप पल और इसके विपरीत सामान्यीकृत निर्देशांकों की अदला-बदली होती है

$${\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {Q} \\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}=-\mathbf {q} \end{aligned}}$$

और K = H. यह उदाहरण दर्शाता है कि हैमिल्टनियन सूत्रीकरण में निर्देशांक और संवेग कितने स्वतंत्र हैं; वे समकक्ष चर हैं।

टाइप 2 जनरेटिंग फंक्शन

टाइप 2 जनरेटिंग फ़ंक्शन G₂ केवल पुराने सामान्यीकृत निर्देशांक और नए सामान्यीकृत संवेग पर निर्भर करता है

$$G\equiv -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$$

जहां $-\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P}$ शर्तें नीचे दिए गए समीकरण के दाहिने हाथ की ओर बदलने के लिए लीजेंड्रे परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करती हैं। निहित परिवर्तन प्राप्त करने के लिए, हम ऊपर परिभाषित समीकरण का विस्तार करते हैं

$$\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}$$

चूँकि पुराने निर्देशांक और नए संवेग प्रत्येक स्वतंत्र हैं, निम्नलिखित हैं 2N + 1 समीकरण धारण करना चाहिए

$${\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\\\mathbf {Q} &={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}\end{aligned}}$$

ये समीकरण परिवर्तन को परिभाषित करते हैं (q, p) → (Q, P) निम्नलिखित नुसार। का पहला सेट N समीकरण

$$\mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}$$

नए सामान्यीकृत संवेगों के बीच संबंधों को परिभाषित करें P और पुराने विहित निर्देशांक (q, p). आदर्श रूप से, प्रत्येक के लिए सूत्र प्राप्त करने के लिए इन संबंधों का आविष्कार किया जा सकता है P_k पुराने विहित निर्देशांकों के कार्य के रूप में। के लिए इन सूत्रों का प्रतिस्थापन P के दूसरे सेट में समन्वय करता है N समीकरण

$$\mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}$$

नए सामान्यीकृत निर्देशांकों के लिए समरूप सूत्र उत्पन्न करता है Q पुराने विहित निर्देशांकों के संदर्भ में (q, p). फिर हम पुराने विहित निर्देशांक प्राप्त करने के लिए सूत्रों के दोनों सेटों को उल्टा कर देते हैं (q, p) नए विहित निर्देशांकों के कार्यों के रूप में (Q, P). अंतिम समीकरण में उल्टे सूत्रों का प्रतिस्थापन

$$K=H+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}$$

के लिए सूत्र देता है K नए विहित निर्देशांकों के कार्य के रूप में (Q, P).

व्यवहार में, यह प्रक्रिया सुनने में जितनी आसान लगती है, उससे कहीं अधिक आसान है, क्योंकि जनरेटिंग फ़ंक्शन आमतौर पर सरल होता है। उदाहरण के लिए, चलो

$$G_{2}\equiv \mathbf {g} (\mathbf {q} ;t)\cdot \mathbf {P}$$

कहाँ g का समुच्चय है N कार्य करता है। इसका परिणाम सामान्यीकृत निर्देशांक के बिंदु परिवर्तन में होता है

$$\mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}=\mathbf {g} (\mathbf {q} ;t)$$

टाइप 3 जनरेटिंग फंक्शन

टाइप 3 जनरेटिंग फ़ंक्शन G₃ केवल पुराने सामान्यीकृत संवेग और नए सामान्यीकृत निर्देशांकों पर निर्भर करता है

$$G\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} +G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)$$

जहां $\mathbf {q} \cdot \mathbf {p}$ शर्तें नीचे दिए गए समीकरण के बाईं ओर बदलने के लिए लीजेंड्रे परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करती हैं। निहित परिवर्तन प्राप्त करने के लिए, हम ऊपर परिभाषित समीकरण का विस्तार करते हैं

$$-\mathbf {q} \cdot {\dot {\mathbf {p} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}$$

चूंकि नए और पुराने निर्देशांक प्रत्येक स्वतंत्र हैं, निम्नलिखित 2N + 1 समीकरण धारण करना चाहिए

$${\begin{aligned}\mathbf {q} &=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}\end{aligned}}$$

ये समीकरण परिवर्तन को परिभाषित करते हैं (q, p) → (Q, P) निम्नलिखित नुसार। का पहला सेट N समीकरण

$$\mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}$$

नए सामान्यीकृत निर्देशांकों के बीच संबंधों को परिभाषित करें Q और पुराने विहित निर्देशांक (q, p). आदर्श रूप से, प्रत्येक के लिए सूत्र प्राप्त करने के लिए इन संबंधों का आविष्कार किया जा सकता है Q_k पुराने विहित निर्देशांकों के कार्य के रूप में। के लिए इन सूत्रों का प्रतिस्थापन Q के दूसरे सेट में समन्वय करता है N समीकरण

$$\mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}$$

नए सामान्यीकृत संवेग के लिए अनुरूप सूत्र देता है P पुराने विहित निर्देशांकों के संदर्भ में (q, p). फिर हम पुराने विहित निर्देशांक प्राप्त करने के लिए सूत्रों के दोनों सेटों को उल्टा कर देते हैं (q, p) नए विहित निर्देशांकों के कार्यों के रूप में (Q, P). अंतिम समीकरण में उल्टे सूत्रों का प्रतिस्थापन

$$K=H+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}$$

के लिए सूत्र देता है K नए विहित निर्देशांकों के कार्य के रूप में (Q, P).

व्यवहार में, यह प्रक्रिया सुनने में जितनी आसान लगती है, उससे कहीं अधिक आसान है, क्योंकि जनरेटिंग फ़ंक्शन आमतौर पर सरल होता है।

टाइप 4 जनरेटिंग फंक्शन

टाइप 4 जनरेटिंग फ़ंक्शन $G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)$ केवल पुराने और नए सामान्यीकृत संवेगों पर निर्भर करता है

$$G\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)$$

जहां $\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P}$ शर्तें नीचे दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों को बदलने के लिए लीजेंड्रे परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करती हैं। निहित परिवर्तन प्राप्त करने के लिए, हम ऊपर परिभाषित समीकरण का विस्तार करते हैं

$$-\mathbf {q} \cdot {\dot {\mathbf {p} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}$$

चूंकि नए और पुराने निर्देशांक प्रत्येक स्वतंत्र हैं, निम्नलिखित 2N + 1 समीकरण धारण करना चाहिए

$${\begin{aligned}\mathbf {q} &=-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\\\mathbf {Q} &={\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}\end{aligned}}$$

ये समीकरण परिवर्तन को परिभाषित करते हैं (q, p) → (Q, P) निम्नलिखित नुसार। का पहला सेट N समीकरण

$$\mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}$$

नए सामान्यीकृत संवेगों के बीच संबंधों को परिभाषित करें P और पुराने विहित निर्देशांक (q, p). आदर्श रूप से, प्रत्येक के लिए सूत्र प्राप्त करने के लिए इन संबंधों का आविष्कार किया जा सकता है P_k पुराने विहित निर्देशांकों के कार्य के रूप में। के लिए इन सूत्रों का प्रतिस्थापन P के दूसरे सेट में समन्वय करता है N समीकरण

$$\mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}$$

नए सामान्यीकृत निर्देशांकों के लिए समरूप सूत्र उत्पन्न करता है Q पुराने विहित निर्देशांकों के संदर्भ में (q, p). फिर हम पुराने विहित निर्देशांक प्राप्त करने के लिए सूत्रों के दोनों सेटों को उल्टा कर देते हैं (q, p) नए विहित निर्देशांकों के कार्यों के रूप में (Q, P). अंतिम समीकरण में उल्टे सूत्रों का प्रतिस्थापन

$$K=H+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}$$

के लिए सूत्र देता है K नए विहित निर्देशांकों के कार्य के रूप में (Q, P).

एक विहित परिवर्तन के रूप में गति

स्वयं गति (या, समतुल्य रूप से, समय की उत्पत्ति में बदलाव) विहित परिवर्तन है। अगर $\mathbf {Q} (t)\equiv \mathbf {q} (t+\tau )$ और $\mathbf {P} (t)\equiv \mathbf {p} (t+\tau )$, तब क्रिया (भौतिकी) | हैमिल्टन का सिद्धांत स्वतः संतुष्ट हो जाता है

$$\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt=\delta \int _{t_{1}+\tau }^{t_{2}+\tau }\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t+\tau )\right]dt=0$$

एक वैध प्रक्षेपवक्र के बाद से $(\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t))$ समापन बिंदुओं की परवाह किए बिना हमेशा कार्रवाई (भौतिकी) को संतुष्ट करना चाहिए | हैमिल्टन का सिद्धांत।

उदाहरण

• अनुवाद $\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\mathbf {q} +\mathbf {a} ,\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {b}$ कहाँ $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ दो स्थिर सदिश हैं विहित परिवर्तन है। दरअसल, जेकोबियन मैट्रिक्स पहचान है, जो सहानुभूतिपूर्ण है: $I^{\text{T}}JI=J$.
• तय करना $\mathbf {x} =(q,p)$ और $\mathbf {X} =(Q,P)$, रूपान्तरण $\mathbf {X} (\mathbf {x} )=R\mathbf {x}$ कहाँ $R\in SO(2)$ ऑर्डर 2 का रोटेशन मैट्रिक्स विहित है। यह ध्यान में रखते हुए कि विशेष ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस पालन करते हैं $R^{\text{T}}R=I$ यह देखना आसान है कि जैकोबियन सहानुभूतिपूर्ण है। सावधान रहें कि यह उदाहरण केवल आयाम 2 में कार्य करता है: $SO(2)$ एकमात्र विशेष ऑर्थोगोनल समूह है जिसमें प्रत्येक मैट्रिक्स सहानुभूतिपूर्ण है।
• रूपान्तरण $(Q(q,p),P(q,p))=(q+f(p),p)$, कहाँ $f(p)$ का मनमाना कार्य है $p$, विहित है। जैकोबियन मैट्रिक्स वास्तव में किसके द्वारा दिया जाता है
  $${\frac {\partial X}{\partial x}}={\begin{bmatrix}1&f'(p)\\0&1\end{bmatrix}}$$
  जो कि सहानुभूतिपूर्ण है।

आधुनिक गणितीय विवरण

गणितीय शब्दों में, कैनोनिकल निर्देशांक सिस्टम के चरण स्थान (कोटेंजेंट बंडल) पर कोई निर्देशांक होते हैं जो विहित रूप को लिखने की अनुमति देते हैं

$$\sum _{i}p_{i}\,dq^{i}$$

कुल अंतर तक (सटीक रूप)। विहित निर्देशांक के सेट और दूसरे के बीच चर का परिवर्तन विहित परिवर्तन है। सामान्यीकृत निर्देशांक का सूचकांक q यहाँ सुपरस्क्रिप्ट के रूप में लिखा गया है ($q^{i}$), सबस्क्रिप्ट के रूप में नहीं जैसा कि ऊपर किया गया है ($q_{i}$). सुपरस्क्रिप्ट सामान्यीकृत निर्देशांकों के सदिशों के सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण को व्यक्त करता है, और इसका मतलब यह नहीं है कि निर्देशांक को शक्ति तक बढ़ाया जा रहा है। अधिक जानकारी सिम्पेक्टोमोर्फिज्म लेख में पाई जा सकती है।

इतिहास

पृथ्वी-चंद्रमा-सूर्य प्रणाली के अध्ययन में, चार्ल्स-यूजीन डेलाउने द्वारा 1846 में विहित परिवर्तन का पहला प्रमुख अनुप्रयोग था। इस काम के परिणामस्वरूप 1860 और 1867 में फ्रेंच एकेडमी ऑफ साइंसेज द्वारा संस्मरण के रूप में बड़े संस्करणों की जोड़ी का प्रकाशन हुआ।

यह भी देखें

• सिम्पेक्टोमोर्फिज्म
• हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण
• लिउविल का प्रमेय (हैमिल्टनियन)
• मैथ्यू परिवर्तन
• रैखिक विहित परिवर्तन

संदर्भ

• Goldstein, Herbert (1980). Classical mechanics (2d ed.). Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. p. 380. ISBN 0-201-02918-9.
• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1975) [1939]. Mechanics. Translated by Bell, S. J.; Sykes, J. B. (3rd ed.). Amsterdam: Elsevier. ISBN 978-0-7506-28969.