सम्मिश्रता: Difference between revisions

Revision as of 06:44, 24 April 2023

गणित में, सदिश स्थान की जटिलता $V$ वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में (वास्तविक सदिश स्थान) सदिश स्थान देता है $V C$ सम्मिश्र संख्या क्षेत्र (गणित) पर, औपचारिक रूप से जटिल संख्याओं द्वारा उनके स्केलिंग (गुणन) को शामिल करने के लिए वास्तविक संख्याओं द्वारा सदिशों के स्केलिंग का विस्तार करके प्राप्त किया जाता है। किसी भी आधार (रैखिक बीजगणित) के लिए $V$ (वास्तविक संख्याओं पर स्थान) भी आधार के रूप में काम कर सकता है $V C$ जटिल संख्याओं पर।

औपचारिक परिभाषा

होने देना $V$ वास्तविक सदिश स्थान बनें।complexification का $V$ का टेंसर उत्पाद लेकर परिभाषित किया गया है $V$ जटिल संख्याओं के साथ (वास्तविकता से अधिक 2-आयामी वेक्टर स्थान के रूप में माना जाता है):

V^{\mathbb {C} }=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \,.

सबस्क्रिप्ट, $\mathbb {R}$ , टेंसर उत्पाद पर इंगित करता है कि टेंसर उत्पाद को वास्तविक संख्याओं पर ले लिया गया है (चूंकि $V$ वास्तविक सदिश स्थान है वैसे भी यह एकमात्र समझदार विकल्प है, इसलिए सबस्क्रिप्ट को सुरक्षित रूप से छोड़ा जा सकता है)। जैसा यह प्रतीक होता है, $V^{\mathbb {C} }$ केवल वास्तविक सदिश स्थान है। हालाँकि, हम बना सकते हैं $V^{\mathbb {C} }$ जटिल गुणन को निम्नानुसार परिभाषित करके जटिल सदिश स्थान में:

\alpha (v\otimes \beta )=v\otimes (\alpha \beta )\qquad {\mbox{ for all }}v\in V{\mbox{ and }}\alpha ,\beta \in \mathbb {C} .

आम तौर पर, जटिलीकरण अदिशों के विस्तार का उदाहरण है - यहाँ अदिशों को वास्तविक संख्याओं से सम्मिश्र संख्याओं तक विस्तारित करना - जो किसी भी क्षेत्र विस्तार के लिए किया जा सकता है, या वास्तव में छल्ले के किसी भी आकारिकी के लिए किया जा सकता है।

औपचारिक रूप से, जटिलता मज़ेदार है $Vect R \to Vect C$ , वास्तविक वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी से जटिल वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी तक। यह आसन्न फ़ैक्टर है - विशेष रूप से बाएं आसन्न - भुलक्कड़ फ़ैक्टर के लिए $Vect C \to Vect R$ जटिल संरचना को भूल जाना।

यह जटिल सदिश स्थान की जटिल संरचना को भूल जाता है $V$ कहा जाता हैdecomplexification (या कभी-कभीrealification ). जटिल सदिश स्थान का अपघटन $V$ आधार के साथ $e_{\mu }$ स्केलर्स के जटिल गुणन की संभावना को हटा देता है, इस प्रकार वास्तविक सदिश स्थान प्रदान करता है $W_{\mathbb {R} }$ आधार के साथ दो गुना आयाम $\{e_{\mu },ie_{\mu }\}.$ ^[1]

मूल गुण

टेंसर उत्पाद की प्रकृति से, प्रत्येक वेक्टर $v$ में $V C$ के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है

v=v_{1}\otimes 1+v_{2}\otimes i

कहाँ $v 1$ और $v 2$ में सदिश हैं $V$ . टेंसर उत्पाद प्रतीक को छोड़ना और लिखना आम बात है

v=v_{1}+iv_{2}.\,

जटिल संख्या से गुणा $a + i b$ तब सामान्य नियम द्वारा दिया जाता है

(a+ib)(v_{1}+iv_{2})=(av_{1}-bv_{2})+i(bv_{1}+av_{2}).\,

हम तब सम्मान कर सकते हैं $V C$ की दो प्रतियों के सदिश स्थानों के प्रत्यक्ष योग के रूप में $V$ :

V^{\mathbb {C} }\cong V\oplus iV

सम्मिश्र संख्याओं से गुणन के लिए उपरोक्त नियम के साथ।

का स्वाभाविक बन्धन है $V$ में $V C$ द्वारा दिए गए

v\mapsto v\otimes 1.

वेक्टर स्थान $V$ को तब की वास्तविक रैखिक उपसमष्टि के रूप में माना जा सकता है $V C$ . अगर $V$ का आधार है (रैखिक बीजगणित) ${e i}$ (मैदान के ऊपर $R$ ) तो के लिए इसी आधार $V C$ द्वारा दिया गया है ${e i \otimes 1 }$ मैदान के ऊपर $C$ . का जटिल आयाम (रैखिक बीजगणित)। $V C$ इसलिए के वास्तविक आयाम के बराबर है $V$ :

\dim _{\mathbb {C} }V^{\mathbb {C} }=\dim _{\mathbb {R} }V.

वैकल्पिक रूप से, टेंसर उत्पादों का उपयोग करने के बजाय, इस प्रत्यक्ष योग का उपयोग जटिलता की परिभाषा के रूप में किया जा सकता है:

V^{\mathbb {C} }:=V\oplus V,

कहाँ $V^{\mathbb {C} }$ ऑपरेटर द्वारा रैखिक जटिल संरचना दी जाती है $J$ के रूप में परिभाषित $J(v,w):=(-w,v),$ कहाँ $J$ "द्वारा गुणन" के संचालन को कूटबद्ध करता है $i$ ”। मैट्रिक्स रूप में, $J$ द्वारा दिया गया है:

J={\begin{bmatrix}0&-I_{V}\\I_{V}&0\end{bmatrix}}.

यह समान स्थान उत्पन्न करता है - रैखिक जटिल संरचना वाला वास्तविक वेक्टर स्थान जटिल वेक्टर स्थान के समान डेटा है - हालांकि यह अंतरिक्ष को अलग तरीके से बनाता है। इसलिए, $V^{\mathbb {C} }$ रूप में लिखा जा सकता है $V\oplus JV$ या $V\oplus iV,$ की पहचान $V$ पहले सीधे योग के साथ। यह दृष्टिकोण अधिक ठोस है, और इसमें तकनीकी रूप से शामिल टेंसर उत्पाद के उपयोग से बचने का लाभ है, लेकिन यह तदर्थ है।

उदाहरण

वास्तविक समन्वय स्थान की जटिलता $R n$ जटिल समन्वय स्थान है $C n$ .
इसी प्रकार यदि $V$ के होते हैं $m \times n$ मैट्रिक्स (गणित) वास्तविक प्रविष्टियों के साथ, $V C$ से मिलकर बनेगा $m \times n$ जटिल प्रविष्टियों के साथ matrices।

डिकसन दोहरीकरण

से हटकर जटिलता की प्रक्रिया $R$ को $C$ लियोनार्ड डिक्सन सहित बीसवीं सदी के गणितज्ञों द्वारा अमूर्त किया गया था। पहचान मानचित्रण के उपयोग से शुरू होता है $x * = x$ तुच्छ समावेशन (गणित) के रूप में $R$ . R की अगली दो प्रतियाँ बनाने के लिए उपयोग की जाती हैं $z = (a , b)$ इनवोल्यूशन के रूप में पेश किए गए जटिल संयुग्मन के साथ $z * = (a, - b)$ . दो तत्व $w$ और $z$ दोगुने सेट में से गुणा करें

wz=(a,b)\times (c,d)=(ac\ -\ d^{*}b,\ da\ +\ bc^{*}).

अंत में, दोगुने सेट को मानदंड दिया जाता है $N (z) = z* z$ . से शुरू करते समय $R$ पहचान शामिल होने के साथ, दोगुना सेट है $C$ मानदंड के साथ $a 2 + b 2$ . अगर कोई दोगुना हो जाता है $C$ , और संयुग्मन (ए, बी) * = (ए *, -बी) का उपयोग करता है, निर्माण उपज चतुष्कोणीय है। दोहरीकरण फिर से ऑक्टोनियन पैदा करता है, जिसे केली नंबर भी कहा जाता है। यह इस बिंदु पर था कि 1919 में डिक्सन ने बीजगणितीय संरचना को उजागर करने में योगदान दिया।

प्रक्रिया भी शुरू की जा सकती है $C$ और तुच्छ समावेशन $z * = z$ . उत्पादित मानदंड बस है $z 2$ , की पीढ़ी के विपरीत $C$ दोगुना करके $R$ . जब यह $C$ को दुगुना करने पर यह द्विजटिल संख्या उत्पन्न करता है, और दुगना करने से द्विचतुर्भुज संख्याएँ उत्पन्न होती हैं, और दुगनी करने पर फिर से द्विकणात्मक संख्याएँ उत्पन्न होती हैं। जब आधार बीजगणित साहचर्य होता है, तो इस केली-डिक्सन निर्माण द्वारा निर्मित बीजगणित को रचना बीजगणित कहा जाता है क्योंकि यह दिखाया जा सकता है कि इसमें संपत्ति है

N(p\,q)=N(p)\,N(q)\,.

जटिल संयुग्मन

जटिल वेक्टर स्थान $V C$ में सामान्य जटिल सदिश स्थान की तुलना में अधिक संरचना होती है। यह विहित रूप जटिल संयुग्मन मानचित्र के साथ आता है:

\chi :V^{\mathbb {C} }\to {\overline {V^{\mathbb {C} }}}

द्वारा परिभाषित

\chi (v\otimes z)=v\otimes {\bar {z}}.

वो नक्शा

χ

को या तो संयुग्म-रैखिक मानचित्र के रूप में माना जा सकता है

V C

खुद से या जटिल रेखीय समरूपता के रूप में

V C

इसके जटिल संयुग्मित सदिश स्थान के लिए

{\overline {V^{\mathbb {C} }}}

.

इसके विपरीत, जटिल सदिश स्थान दिया गया है $W$ जटिल संयुग्मन के साथ $χ$ , $W$ जटिलता के लिए जटिल सदिश स्थान के रूप में आइसोमॉर्फिक है $V C$ वास्तविक उप-स्थान का

V=\{w\in W:\chi (w)=w\}.

दूसरे शब्दों में, जटिल संयुग्मन के साथ सभी जटिल सदिश स्थान वास्तविक सदिश स्थान की जटिलता हैं।

उदाहरण के लिए, कब $W = C n$ मानक जटिल संयुग्मन के साथ

\chi (z_{1},\ldots ,z_{n})=({\bar {z}}_{1},\ldots ,{\bar {z}}_{n})

अपरिवर्तनीय उप-स्थान $V$ केवल वास्तविक उपस्थान है $R n$ .

रैखिक परिवर्तन

वास्तविक रैखिक परिवर्तन को देखते हुए $f : V \to W$ दो वास्तविक वेक्टर रिक्त स्थान के बीच प्राकृतिक जटिल रैखिक परिवर्तन होता है

f^{\mathbb {C} }:V^{\mathbb {C} }\to W^{\mathbb {C} }

द्वारा दिए गए

f^{\mathbb {C} }(v\otimes z)=f(v)\otimes z.

वो नक्शा $f^{\mathbb {C} }$ 'एफ' की जटिलता कहलाती है। रैखिक परिवर्तनों की जटिलता निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करती है

$(\mathrm {id} _{V})^{\mathbb {C} }=\mathrm {id} _{V^{\mathbb {C} }}$
$(f\circ g)^{\mathbb {C} }=f^{\mathbb {C} }\circ g^{\mathbb {C} }$
$(f+g)^{\mathbb {C} }=f^{\mathbb {C} }+g^{\mathbb {C} }$
$(af)^{\mathbb {C} }=af^{\mathbb {C} }\quad \forall a\in \mathbb {R}$

श्रेणी सिद्धांत की भाषा में कोई कहता है कि जटिल वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी से जटिल वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी में (योगात्मक कारक) फ़ंक्टर को परिभाषित करता है।

वो नक्शा $f C$ संयुग्मन के साथ संचार करता है और इसलिए V के वास्तविक उप-क्षेत्र को मैप करता है^C के वास्तविक उप-स्थान पर $W C$ (नक्शे के माध्यम से $f$ ). इसके अलावा, जटिल रैखिक नक्शा $g : V C \to W C$ वास्तविक रेखीय मानचित्र की जटिलता है अगर और केवल अगर यह संयुग्मन के साथ शुरू होता है।

उदाहरण के रूप से रैखिक परिवर्तन पर विचार करें $R n$ को $R m$ के रूप में सोचा $m \times n$ मैट्रिक्स (गणित)। उस परिवर्तन की जटिलता बिल्कुल ही मैट्रिक्स है, लेकिन अब इसे रेखीय मानचित्र के रूप में माना जाता है $C n$ को $C m$ .

दोहरे स्थान और टेंसर उत्पाद

वास्तविक सदिश स्थान का दोहरा स्थान $V$ स्थान है $V *$ सभी वास्तविक रेखीय मानचित्रों से $V$ को $R$ . की जटिलता $V *$ स्वाभाविक रूप से सभी वास्तविक रैखिक मानचित्रों के स्थान के रूप में सोचा जा सकता है $V$ को $C$ (निरूपित $Hom R (V, C)$ ). वह है,

(V^{*})^{\mathbb {C} }=V^{*}\otimes \mathbb {C} \cong \mathrm {Hom} _{\mathbb {R} }(V,\mathbb {C} ).

समरूपता किसके द्वारा दी जाती है

(\varphi _{1}\otimes 1+\varphi _{2}\otimes i)\leftrightarrow \varphi _{1}+i\varphi _{2}

कहाँ

φ 1

और

φ 2

के तत्व हैं

V *

. जटिल संयुग्मन तब सामान्य ऑपरेशन द्वारा दिया जाता है

{\overline {\varphi _{1}+i\varphi _{2}}}=\varphi _{1}-i\varphi _{2}.

वास्तविक रेखीय नक्शा दिया

φ : V \to C

हम जटिल रेखीय मानचित्र प्राप्त करने के लिए रैखिकता द्वारा विस्तार कर सकते हैं

φ : V C \to C

. वह है,

\varphi (v\otimes z)=z\varphi (v).

यह विस्तार से समरूपता देता है

Hom R (V, C)

को

Hom C (V C, C)

. उत्तरार्द्ध सिर्फ जटिल दोहरी जगह है

V C

, इसलिए हमारे पास प्राकृतिक समरूपता है:

(V^{*})^{\mathbb {C} }\cong (V^{\mathbb {C} })^{*}.

अधिक आम तौर पर, वास्तविक वेक्टर रिक्त स्थान दिए गए हैं

V

और

W

प्राकृतिक समरूपता है

\mathrm {Hom} _{\mathbb {R} }(V,W)^{\mathbb {C} }\cong \mathrm {Hom} _{\mathbb {C} }(V^{\mathbb {C} },W^{\mathbb {C} }).

टेंसर उत्पादों, बाहरी शक्तियों और सममित शक्तियों को लेने के संचालन के साथ जटिलता भी शुरू होती है। उदाहरण के लिए, यदि

V

और

W

वास्तविक सदिश स्थान हैं, प्राकृतिक समरूपता है

(V\otimes _{\mathbb {R} }W)^{\mathbb {C} }\cong V^{\mathbb {C} }\otimes _{\mathbb {C} }W^{\mathbb {C} }\,.

ध्यान दें कि बाएं हाथ के टेंसर उत्पाद को वास्तविक पर ले लिया जाता है जबकि दाएं हाथ वाले को परिसरों पर ले लिया जाता है। सामान्य तौर पर यही पैटर्न सही है। उदाहरण के लिए, किसी के पास है

(\Lambda _{\mathbb {R} }^{k}V)^{\mathbb {C} }\cong \Lambda _{\mathbb {C} }^{k}(V^{\mathbb {C} }).

सभी मामलों में, समरूपताएं "स्पष्ट" होती हैं।

यह भी देखें

अदिशों का विस्तार - सामान्य प्रक्रिया
रैखिक जटिल संरचना
बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र

संदर्भ

↑ Kostrikin, Alexei I.; Manin, Yu I. (July 14, 1989). रेखीय बीजगणित और ज्यामिति. CRC Press. p. 75. ISBN 978-2881246838.

Halmos, Paul (1974) [1958]. Finite-Dimensional Vector Spaces. Springer. p 41 and §77 Complexification, pp 150–153. ISBN 0-387-90093-4.
Shaw, Ronald (1982). Linear Algebra and Group Representations. Vol. I: Linear Algebra and Introduction to Group Representations. Academic Press. p. 196. ISBN 0-12-639201-3.
Roman, Steven (2005). Advanced Linear Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 135 (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 0-387-24766-1.

[1] Kostrikin, Alexei I.; Manin, Yu I. (July 14, 1989). रेखीय बीजगणित और ज्यामिति. CRC Press. p. 75. ISBN 978-2881246838.

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 {{Short description|Topic in mathematics}}
 {{for|एक वास्तविक लाइ समूह की जटिलता|जटिलता (लाइ समूह)}}
-गणित में, सदिश स्थान की जटिलता {{math|''V''}} वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में (एक वास्तविक सदिश स्थान) एक सदिश स्थान देता है {{math|''V''{{i sup|'''C'''}}}} सम्मिश्र संख्या [[क्षेत्र (गणित)]] पर, औपचारिक रूप से [[जटिल संख्या]]ओं द्वारा उनके स्केलिंग (गुणन) को शामिल करने के लिए वास्तविक संख्याओं द्वारा सदिशों के स्केलिंग का विस्तार करके प्राप्त किया जाता है। किसी भी [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] के लिए {{math|''V''}} (वास्तविक संख्याओं पर एक स्थान) भी आधार के रूप में काम कर सकता है {{math|''V''{{i sup|'''C'''}}}} जटिल संख्याओं पर।
+गणित में, सदिश स्थान की जटिलता {{math|''V''}} वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में (वास्तविक सदिश स्थान) सदिश स्थान देता है {{math|''V''{{i sup|'''C'''}}}} सम्मिश्र संख्या [[क्षेत्र (गणित)]] पर, औपचारिक रूप से [[जटिल संख्या]]ओं द्वारा उनके स्केलिंग (गुणन) को शामिल करने के लिए वास्तविक संख्याओं द्वारा सदिशों के स्केलिंग का विस्तार करके प्राप्त किया जाता है। किसी भी [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] के लिए {{math|''V''}} (वास्तविक संख्याओं पर स्थान) भी आधार के रूप में काम कर सकता है {{math|''V''{{i sup|'''C'''}}}} जटिल संख्याओं पर।
 == औपचारिक परिभाषा ==
-होने देना <math>V</math> एक वास्तविक सदिश स्थान बनें।{{em|{{visible anchor|complexification}}}} का {{math|''V''}} का [[टेंसर उत्पाद]] लेकर परिभाषित किया गया है <math>V</math> जटिल संख्याओं के साथ (वास्तविकता से अधिक 2-आयामी वेक्टर स्थान के रूप में माना जाता है):
+होने देना <math>V</math> वास्तविक सदिश स्थान बनें।{{em|{{visible anchor|complexification}}}} का {{math|''V''}} का [[टेंसर उत्पाद]] लेकर परिभाषित किया गया है <math>V</math> जटिल संख्याओं के साथ (वास्तविकता से अधिक 2-आयामी वेक्टर स्थान के रूप में माना जाता है):
 :<math>V^{\Complex} = V\otimes_{\R} \Complex\,.</math>
-सबस्क्रिप्ट, <math>\R</math>, टेंसर उत्पाद पर इंगित करता है कि टेंसर उत्पाद को वास्तविक संख्याओं पर ले लिया गया है (चूंकि <math>V</math> एक वास्तविक सदिश स्थान है वैसे भी यह एकमात्र समझदार विकल्प है, इसलिए सबस्क्रिप्ट को सुरक्षित रूप से छोड़ा जा सकता है)। जैसा यह प्रतीक होता है, <math>V^{\Complex}</math> केवल एक वास्तविक सदिश स्थान है। हालाँकि, हम बना सकते हैं <math>V^{\Complex}</math> जटिल गुणन को निम्नानुसार परिभाषित करके एक जटिल सदिश स्थान में:
+सबस्क्रिप्ट, <math>\R</math>, टेंसर उत्पाद पर इंगित करता है कि टेंसर उत्पाद को वास्तविक संख्याओं पर ले लिया गया है (चूंकि <math>V</math> वास्तविक सदिश स्थान है वैसे भी यह एकमात्र समझदार विकल्प है, इसलिए सबस्क्रिप्ट को सुरक्षित रूप से छोड़ा जा सकता है)। जैसा यह प्रतीक होता है, <math>V^{\Complex}</math> केवल वास्तविक सदिश स्थान है। हालाँकि, हम बना सकते हैं <math>V^{\Complex}</math> जटिल गुणन को निम्नानुसार परिभाषित करके जटिल सदिश स्थान में:
 :<math>\alpha(v \otimes \beta) = v\otimes(\alpha\beta)\qquad\mbox{ for all } v\in V \mbox{ and }\alpha,\beta \in \Complex.</math>
-आम तौर पर, जटिलीकरण अदिशों के विस्तार का एक उदाहरण है - यहाँ अदिशों को वास्तविक संख्याओं से सम्मिश्र संख्याओं तक विस्तारित करना - जो किसी भी क्षेत्र विस्तार के लिए किया जा सकता है, या वास्तव में छल्ले के किसी भी आकारिकी के लिए किया जा सकता है।
+आम तौर पर, जटिलीकरण अदिशों के विस्तार का उदाहरण है - यहाँ अदिशों को वास्तविक संख्याओं से सम्मिश्र संख्याओं तक विस्तारित करना - जो किसी भी क्षेत्र विस्तार के लिए किया जा सकता है, या वास्तव में छल्ले के किसी भी आकारिकी के लिए किया जा सकता है।
-औपचारिक रूप से, जटिलता एक मज़ेदार है {{math|Vect<sub>'''R'''</sub> → Vect<sub>'''C'''</sub>}}, वास्तविक वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी से जटिल वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी तक। यह आसन्न फ़ैक्टर है - विशेष रूप से बाएं आसन्न - भुलक्कड़ फ़ैक्टर के लिए {{math|Vect<sub>'''C'''</sub> → Vect<sub>'''R'''</sub>}} जटिल संरचना को भूल जाना।
+औपचारिक रूप से, जटिलता मज़ेदार है {{math|Vect<sub>'''R'''</sub> → Vect<sub>'''C'''</sub>}}, वास्तविक वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी से जटिल वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी तक। यह आसन्न फ़ैक्टर है - विशेष रूप से बाएं आसन्न - भुलक्कड़ फ़ैक्टर के लिए {{math|Vect<sub>'''C'''</sub> → Vect<sub>'''R'''</sub>}} जटिल संरचना को भूल जाना।
-यह एक जटिल सदिश स्थान की जटिल संरचना को भूल जाता है <math>V</math> कहा जाता है{{em|{{visible anchor|decomplexification}}}} (या कभी-कभी{{em|{{visible anchor|realification}}}} ). एक जटिल सदिश स्थान का अपघटन <math>V</math> आधार के साथ <math>e_{\mu}</math> स्केलर्स के जटिल गुणन की संभावना को हटा देता है, इस प्रकार एक वास्तविक सदिश स्थान प्रदान करता है <math>W_{\R}</math> आधार के साथ दो गुना आयाम <math>\{e_{\mu}, ie_{\mu}\}.</math><ref>{{cite book|last1=Kostrikin|first1=Alexei I.|last2=Manin|first2=Yu I.|title=रेखीय बीजगणित और ज्यामिति|date=July 14, 1989|publisher=CRC Press|isbn=978-2881246838|page=75}}</ref>
+यह जटिल सदिश स्थान की जटिल संरचना को भूल जाता है <math>V</math> कहा जाता है{{em|{{visible anchor|decomplexification}}}} (या कभी-कभी{{em|{{visible anchor|realification}}}} ). जटिल सदिश स्थान का अपघटन <math>V</math> आधार के साथ <math>e_{\mu}</math> स्केलर्स के जटिल गुणन की संभावना को हटा देता है, इस प्रकार वास्तविक सदिश स्थान प्रदान करता है <math>W_{\R}</math> आधार के साथ दो गुना आयाम <math>\{e_{\mu}, ie_{\mu}\}.</math><ref>{{cite book|last1=Kostrikin|first1=Alexei I.|last2=Manin|first2=Yu I.|title=रेखीय बीजगणित और ज्यामिति|date=July 14, 1989|publisher=CRC Press|isbn=978-2881246838|page=75}}</ref>
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 टेंसर उत्पाद की प्रकृति से, प्रत्येक वेक्टर {{math|''v''}} में {{math|''V''{{i sup|'''C'''}}}} के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है
 :<math>v = v_1\otimes 1 + v_2\otimes i</math>
-कहाँ {{math|''v''<sub>1</sub>}} और {{math|''v''<sub>2</sub>}} में सदिश हैं {{math|''V''}}. टेंसर उत्पाद प्रतीक को छोड़ना और लिखना एक आम बात है
+कहाँ {{math|''v''<sub>1</sub>}} और {{math|''v''<sub>2</sub>}} में सदिश हैं {{math|''V''}}. टेंसर उत्पाद प्रतीक को छोड़ना और लिखना आम बात है
 :<math>v = v_1 + iv_2.\,</math>
 जटिल संख्या से गुणा {{math|''a'' + ''i b''}} तब सामान्य नियम द्वारा दिया जाता है
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 का स्वाभाविक बन्धन है {{math|''V''}} में {{math|''V''{{i sup|'''C'''}}}} द्वारा दिए गए
 :<math>v\mapsto v\otimes 1.</math>
-वेक्टर स्थान {{math|''V''}} को तब की एक वास्तविक रैखिक उपसमष्टि के रूप में माना जा सकता है {{math|''V''{{i sup|'''C'''}}}}. अगर {{math|''V''}} का एक आधार है (रैखिक बीजगणित) {{math|{{mset| ''e''<sub>''i''</sub> }}}} (मैदान के ऊपर {{math|'''R'''}}) तो के लिए एक इसी आधार {{math|''V''{{i sup|'''C'''}}}} द्वारा दिया गया है {{math|{ ''e''<sub>''i''</sub> ⊗ 1 } }} मैदान के ऊपर {{math|'''C'''}}. का जटिल [[आयाम (रैखिक बीजगणित)]]। {{math|''V''{{i sup|'''C'''}}}} इसलिए के वास्तविक आयाम के बराबर है {{math|''V''}}:
+वेक्टर स्थान {{math|''V''}} को तब की वास्तविक रैखिक उपसमष्टि के रूप में माना जा सकता है {{math|''V''{{i sup|'''C'''}}}}. अगर {{math|''V''}} का आधार है (रैखिक बीजगणित) {{math|{{mset| ''e''<sub>''i''</sub> }}}} (मैदान के ऊपर {{math|'''R'''}}) तो के लिए इसी आधार {{math|''V''{{i sup|'''C'''}}}} द्वारा दिया गया है {{math|{ ''e''<sub>''i''</sub> ⊗ 1 } }} मैदान के ऊपर {{math|'''C'''}}. का जटिल [[आयाम (रैखिक बीजगणित)]]। {{math|''V''{{i sup|'''C'''}}}} इसलिए के वास्तविक आयाम के बराबर है {{math|''V''}}:
 :<math>\dim_{\Complex} V^{\Complex} = \dim_{\R} V.</math>
 वैकल्पिक रूप से, टेंसर उत्पादों का उपयोग करने के बजाय, इस प्रत्यक्ष योग का उपयोग जटिलता की परिभाषा के रूप में किया जा सकता है:
 :<math>V^{\Complex} := V \oplus V,</math>
-कहाँ <math>V^{\Complex}</math> ऑपरेटर द्वारा एक [[रैखिक जटिल संरचना]] दी जाती है {{math|''J''}} के रूप में परिभाषित <math>J(v,w) := (-w,v),</math> कहाँ {{math|''J''}} "द्वारा गुणन" के संचालन को कूटबद्ध करता है {{mvar|i}}”। मैट्रिक्स रूप में, {{math|''J''}} द्वारा दिया गया है:
+कहाँ <math>V^{\Complex}</math> ऑपरेटर द्वारा [[रैखिक जटिल संरचना]] दी जाती है {{math|''J''}} के रूप में परिभाषित <math>J(v,w) := (-w,v),</math> कहाँ {{math|''J''}} "द्वारा गुणन" के संचालन को कूटबद्ध करता है {{mvar|i}}”। मैट्रिक्स रूप में, {{math|''J''}} द्वारा दिया गया है:
 :<math>J = \begin{bmatrix}0 & -I_V \\ I_V & 0\end{bmatrix}.</math>
-यह समान स्थान उत्पन्न करता है - रैखिक जटिल संरचना वाला एक वास्तविक वेक्टर स्थान एक जटिल वेक्टर स्थान के समान डेटा है - हालांकि यह अंतरिक्ष को अलग तरीके से बनाता है। इसलिए, <math>V^{\Complex}</math> रूप में लिखा जा सकता है <math>V \oplus JV</math> या <math>V \oplus i V,</math> की पहचान {{math|''V''}} पहले सीधे योग के साथ। यह दृष्टिकोण अधिक ठोस है, और इसमें तकनीकी रूप से शामिल टेंसर उत्पाद के उपयोग से बचने का लाभ है, लेकिन यह तदर्थ है।
+यह समान स्थान उत्पन्न करता है - रैखिक जटिल संरचना वाला वास्तविक वेक्टर स्थान जटिल वेक्टर स्थान के समान डेटा है - हालांकि यह अंतरिक्ष को अलग तरीके से बनाता है। इसलिए, <math>V^{\Complex}</math> रूप में लिखा जा सकता है <math>V \oplus JV</math> या <math>V \oplus i V,</math> की पहचान {{math|''V''}} पहले सीधे योग के साथ। यह दृष्टिकोण अधिक ठोस है, और इसमें तकनीकी रूप से शामिल टेंसर उत्पाद के उपयोग से बचने का लाभ है, लेकिन यह तदर्थ है।
 == उदाहरण ==
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 == डिकसन दोहरीकरण ==
 {{Main|केली-डिक्सन निर्माण}}
-से हटकर जटिलता की प्रक्रिया {{math|'''R'''}} को {{math|'''C'''}} [[लियोनार्ड डिक्सन]] सहित बीसवीं सदी के गणितज्ञों द्वारा अमूर्त किया गया था। एक [[ पहचान मानचित्रण ]] के उपयोग से शुरू होता है {{math|1=''x''* = ''x''}} एक तुच्छ समावेशन (गणित) के रूप में {{math|'''R'''}}. R की अगली दो प्रतियाँ बनाने के लिए उपयोग की जाती हैं {{math|1=''z'' = (''a , b'')}} इनवोल्यूशन के रूप में पेश किए गए [[जटिल संयुग्मन]] के साथ {{math|1=''z''* = (''a'', −''b'')}}. दो तत्व {{mvar|w}} और {{mvar|z}} दोगुने सेट में से गुणा करें
+से हटकर जटिलता की प्रक्रिया {{math|'''R'''}} को {{math|'''C'''}} [[लियोनार्ड डिक्सन]] सहित बीसवीं सदी के गणितज्ञों द्वारा अमूर्त किया गया था। [[ पहचान मानचित्रण ]] के उपयोग से शुरू होता है {{math|1=''x''* = ''x''}} तुच्छ समावेशन (गणित) के रूप में {{math|'''R'''}}. R की अगली दो प्रतियाँ बनाने के लिए उपयोग की जाती हैं {{math|1=''z'' = (''a , b'')}} इनवोल्यूशन के रूप में पेश किए गए [[जटिल संयुग्मन]] के साथ {{math|1=''z''* = (''a'', −''b'')}}. दो तत्व {{mvar|w}} और {{mvar|z}} दोगुने सेट में से गुणा करें
 :<math>w z = (a,b) \times (c,d) = (ac\ - \ d^*b,\ da \ + \ b c^*).</math>
-अंत में, दोगुने सेट को एक मानदंड दिया जाता है {{math|1=''N''(''z'') = ''z* z''}}. से शुरू करते समय {{math|'''R'''}} पहचान शामिल होने के साथ, दोगुना सेट है {{math|'''C'''}} मानदंड के साथ {{math|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup>}}.
+अंत में, दोगुने सेट को मानदंड दिया जाता है {{math|1=''N''(''z'') = ''z* z''}}. से शुरू करते समय {{math|'''R'''}} पहचान शामिल होने के साथ, दोगुना सेट है {{math|'''C'''}} मानदंड के साथ {{math|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup>}}.
 अगर कोई दोगुना हो जाता है {{math|'''C'''}}, और संयुग्मन (ए, बी) * = (ए *, -बी) का उपयोग करता है, निर्माण उपज चतुष्कोणीय है। दोहरीकरण फिर से [[ऑक्टोनियन]] पैदा करता है, जिसे केली नंबर भी कहा जाता है। यह इस बिंदु पर था कि 1919 में डिक्सन ने बीजगणितीय संरचना को उजागर करने में योगदान दिया।
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 == जटिल संयुग्मन ==
-जटिल वेक्टर स्थान {{math|''V''{{i sup|'''C'''}}}} में सामान्य जटिल सदिश स्थान की तुलना में अधिक संरचना होती है। यह एक विहित रूप जटिल संयुग्मन मानचित्र के साथ आता है:
+जटिल वेक्टर स्थान {{math|''V''{{i sup|'''C'''}}}} में सामान्य जटिल सदिश स्थान की तुलना में अधिक संरचना होती है। यह विहित रूप जटिल संयुग्मन मानचित्र के साथ आता है:
 :<math>\chi : V^{\Complex} \to \overline{V^{\Complex}}</math>
 द्वारा परिभाषित
-:<math>\chi(v\otimes z) = v\otimes \bar z.</math> वो नक्शा {{mvar|χ}} को या तो संयुग्म-रैखिक मानचित्र के रूप में माना जा सकता है {{math|''V''{{i sup|'''C'''}}}} खुद से या एक जटिल रेखीय समरूपता के रूप में {{math|''V''{{i sup|'''C'''}}}} इसके जटिल संयुग्मित सदिश स्थान के लिए <math>\overline {V^{\Complex}}</math>.
+:<math>\chi(v\otimes z) = v\otimes \bar z.</math> वो नक्शा {{mvar|χ}} को या तो संयुग्म-रैखिक मानचित्र के रूप में माना जा सकता है {{math|''V''{{i sup|'''C'''}}}} खुद से या जटिल रेखीय समरूपता के रूप में {{math|''V''{{i sup|'''C'''}}}} इसके जटिल संयुग्मित सदिश स्थान के लिए <math>\overline {V^{\Complex}}</math>.
-इसके विपरीत, एक जटिल सदिश स्थान दिया गया है {{math|''W''}} एक जटिल संयुग्मन के साथ {{mvar|χ}}, {{math|''W''}} जटिलता के लिए एक जटिल सदिश स्थान के रूप में आइसोमॉर्फिक है {{math|''V''{{i sup|'''C'''}}}} वास्तविक उप-स्थान का
+इसके विपरीत, जटिल सदिश स्थान दिया गया है {{math|''W''}} जटिल संयुग्मन के साथ {{mvar|χ}}, {{math|''W''}} जटिलता के लिए जटिल सदिश स्थान के रूप में आइसोमॉर्फिक है {{math|''V''{{i sup|'''C'''}}}} वास्तविक उप-स्थान का
 :<math>V = \{ w \in W : \chi(w) = w \}.</math>
-दूसरे शब्दों में, जटिल संयुग्मन के साथ सभी जटिल सदिश स्थान एक वास्तविक सदिश स्थान की जटिलता हैं।
+दूसरे शब्दों में, जटिल संयुग्मन के साथ सभी जटिल सदिश स्थान वास्तविक सदिश स्थान की जटिलता हैं।
 उदाहरण के लिए, कब {{math|1=''W'' = '''C'''<sup>''n''</sup>}} मानक जटिल संयुग्मन के साथ
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 == [[रैखिक परिवर्तन]] ==
-एक वास्तविक रैखिक परिवर्तन को देखते हुए {{math|''f'' : ''V'' → ''W''}} दो वास्तविक वेक्टर रिक्त स्थान के बीच एक प्राकृतिक जटिल रैखिक परिवर्तन होता है
+वास्तविक रैखिक परिवर्तन को देखते हुए {{math|''f'' : ''V'' → ''W''}} दो वास्तविक वेक्टर रिक्त स्थान के बीच प्राकृतिक जटिल रैखिक परिवर्तन होता है
 :<math>f^{\Complex} : V^{\Complex} \to W^{\Complex}</math>
 द्वारा दिए गए
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 *<math>(f+g)^{\Complex} = f^{\Complex} + g^{\Complex}</math>
 *<math>(a f)^{\Complex} = a f^{\Complex} \quad \forall a \in \R</math>
-[[श्रेणी सिद्धांत]] की भाषा में कोई कहता है कि जटिल [[वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी]] से जटिल वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी में एक ([[योगात्मक कारक]]) फ़ंक्टर को परिभाषित करता है।
+[[श्रेणी सिद्धांत]] की भाषा में कोई कहता है कि जटिल [[वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी]] से जटिल वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी में ([[योगात्मक कारक]]) फ़ंक्टर को परिभाषित करता है।
-वो नक्शा {{math|''f''{{i sup|'''C'''}}}} संयुग्मन के साथ संचार करता है और इसलिए V के वास्तविक उप-क्षेत्र को मैप करता है{{i sup|'''C'''}} के वास्तविक उप-स्थान पर {{math|''W''{{i sup|'''C'''}}}} (नक्शे के माध्यम से {{math|''f''}}). इसके अलावा, एक जटिल रैखिक नक्शा {{math|''g'' : ''V''{{i sup|'''C'''}} → ''W''{{i sup|'''C'''}}}} एक वास्तविक रेखीय मानचित्र की जटिलता है अगर और केवल अगर यह संयुग्मन के साथ शुरू होता है।
+वो नक्शा {{math|''f''{{i sup|'''C'''}}}} संयुग्मन के साथ संचार करता है और इसलिए V के वास्तविक उप-क्षेत्र को मैप करता है{{i sup|'''C'''}} के वास्तविक उप-स्थान पर {{math|''W''{{i sup|'''C'''}}}} (नक्शे के माध्यम से {{math|''f''}}). इसके अलावा, जटिल रैखिक नक्शा {{math|''g'' : ''V''{{i sup|'''C'''}} → ''W''{{i sup|'''C'''}}}} वास्तविक रेखीय मानचित्र की जटिलता है अगर और केवल अगर यह संयुग्मन के साथ शुरू होता है।
-एक उदाहरण के रूप से एक रैखिक परिवर्तन पर विचार करें {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} को {{math|'''R'''<sup>''m''</sup>}} के रूप में सोचा {{math|''m''×''n''}} मैट्रिक्स (गणित)। उस परिवर्तन की जटिलता बिल्कुल एक ही मैट्रिक्स है, लेकिन अब इसे एक रेखीय मानचित्र के रूप में माना जाता है {{math|'''C'''<sup>''n''</sup>}} को {{math|'''C'''<sup>''m''</sup>}}.
+उदाहरण के रूप से रैखिक परिवर्तन पर विचार करें {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} को {{math|'''R'''<sup>''m''</sup>}} के रूप में सोचा {{math|''m''×''n''}} मैट्रिक्स (गणित)। उस परिवर्तन की जटिलता बिल्कुल ही मैट्रिक्स है, लेकिन अब इसे रेखीय मानचित्र के रूप में माना जाता है {{math|'''C'''<sup>''n''</sup>}} को {{math|'''C'''<sup>''m''</sup>}}.
 == दोहरे स्थान और टेंसर उत्पाद ==
-एक वास्तविक सदिश स्थान का दोहरा स्थान {{math|''V''}} स्थान है {{math|''V''*}} सभी वास्तविक रेखीय मानचित्रों से {{math|''V''}} को {{math|'''R'''}}. की जटिलता {{math|''V''*}} स्वाभाविक रूप से सभी वास्तविक रैखिक मानचित्रों के स्थान के रूप में सोचा जा सकता है {{math|''V''}} को {{math|'''C'''}} (निरूपित {{math|Hom<sub>'''R'''</sub>(''V'','''C''')}}). वह है,
+वास्तविक सदिश स्थान का दोहरा स्थान {{math|''V''}} स्थान है {{math|''V''*}} सभी वास्तविक रेखीय मानचित्रों से {{math|''V''}} को {{math|'''R'''}}. की जटिलता {{math|''V''*}} स्वाभाविक रूप से सभी वास्तविक रैखिक मानचित्रों के स्थान के रूप में सोचा जा सकता है {{math|''V''}} को {{math|'''C'''}} (निरूपित {{math|Hom<sub>'''R'''</sub>(''V'','''C''')}}). वह है,
 <math display=block>(V^*)^{\Complex} = V^*\otimes \Complex \cong \mathrm{Hom}_{\Reals}(V,\Complex).</math>
 समरूपता किसके द्वारा दी जाती है
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 कहाँ {{math|''φ''<sub>1</sub>}} और {{math|''φ''<sub>2</sub>}} के तत्व हैं {{math|''V''*}}. जटिल संयुग्मन तब सामान्य ऑपरेशन द्वारा दिया जाता है
 <math display=block>\overline{\varphi_1 + i\varphi_2} = \varphi_1 - i \varphi_2.</math>
-एक वास्तविक रेखीय नक्शा दिया {{math|''φ'' : ''V'' → '''C'''}} हम एक जटिल रेखीय मानचित्र प्राप्त करने के लिए रैखिकता द्वारा विस्तार कर सकते हैं {{math|''φ'' : ''V''{{i sup|'''C'''}} → '''C'''}}. वह है,
+वास्तविक रेखीय नक्शा दिया {{math|''φ'' : ''V'' → '''C'''}} हम जटिल रेखीय मानचित्र प्राप्त करने के लिए रैखिकता द्वारा विस्तार कर सकते हैं {{math|''φ'' : ''V''{{i sup|'''C'''}} → '''C'''}}. वह है,
 <math display=block>\varphi(v\otimes z) = z\varphi(v).</math>
-यह विस्तार से एक समरूपता देता है {{math|Hom<sub>'''R'''</sub>(''V'','''C''')}} को {{math|Hom<sub>'''C'''</sub>(''V''{{i sup|'''C'''}},'''C''')}}. उत्तरार्द्ध सिर्फ जटिल दोहरी जगह है {{math|''V''{{i sup|'''C'''}}}}, इसलिए हमारे पास एक [[प्राकृतिक समरूपता]] है:
+यह विस्तार से समरूपता देता है {{math|Hom<sub>'''R'''</sub>(''V'','''C''')}} को {{math|Hom<sub>'''C'''</sub>(''V''{{i sup|'''C'''}},'''C''')}}. उत्तरार्द्ध सिर्फ जटिल दोहरी जगह है {{math|''V''{{i sup|'''C'''}}}}, इसलिए हमारे पास [[प्राकृतिक समरूपता]] है:
 <math display=block>(V^*)^{\Complex} \cong (V^{\Complex})^*.</math>
-अधिक आम तौर पर, वास्तविक वेक्टर रिक्त स्थान दिए गए हैं {{math|''V''}} और {{math|''W''}} एक प्राकृतिक समरूपता है
+अधिक आम तौर पर, वास्तविक वेक्टर रिक्त स्थान दिए गए हैं {{math|''V''}} और {{math|''W''}} प्राकृतिक समरूपता है
 <math display=block>\mathrm{Hom}_{\Reals}(V,W)^{\Complex} \cong \mathrm{Hom}_{\Complex}(V^{\Complex},W^{\Complex}).</math>
-टेंसर उत्पादों, [[बाहरी शक्ति]]यों और [[सममित शक्ति]]यों को लेने के संचालन के साथ जटिलता भी शुरू होती है। उदाहरण के लिए, यदि {{math|''V''}} और {{math|''W''}} वास्तविक सदिश स्थान हैं, एक प्राकृतिक समरूपता है
+टेंसर उत्पादों, [[बाहरी शक्ति]]यों और [[सममित शक्ति]]यों को लेने के संचालन के साथ जटिलता भी शुरू होती है। उदाहरण के लिए, यदि {{math|''V''}} और {{math|''W''}} वास्तविक सदिश स्थान हैं, प्राकृतिक समरूपता है
 <math display=block>(V \otimes_{\Reals} W)^{\Complex} \cong V^{\Complex} \otimes_{\Complex} W^{\Complex}\,.</math>
 ध्यान दें कि बाएं हाथ के टेंसर उत्पाद को वास्तविक पर ले लिया जाता है जबकि दाएं हाथ वाले को परिसरों पर ले लिया जाता है। सामान्य तौर पर यही पैटर्न सही है। उदाहरण के लिए, किसी के पास है

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