वास्तविक समन्वय स्थान

कार्तीय निर्देशांक वास्तविक संख्याओं के युग्मों के साथ यूक्लिडियन विमान के बिंदुओं की पहचान करते हैं।

गणित में, आयाम $n$ का वास्तविक समन्वय स्थान, $R n$ या $\mathbb {R} ^{n}$ , द्वारा निरूपित किया जाता है, वास्तविक संख्याओं के $n$ -टुपल्स का समुच्चय, जो कि $n$ वास्तविक संख्याओं के सभी अनुक्रमों का समुच्चय है। विशेष स्थितियों को वास्तविक रेखा R¹ और वास्तविक समन्वय तल R² कहा जाता है। घटक-वार जोड़ और अदिश गुणन के साथ, यह वास्तविक सदिश स्थान है, और इसके तत्वों को समन्वय सदिश कहा जाता है।

वास्तविक सदिश स्थान के तत्वों के किसी भी आधार पर निर्देशांक सदिश स्थान के समान आयाम के वास्तविक समन्वय स्थान का निर्माण करते हैं। इसी प्रकार, आयाम $n$ के यूक्लिडियन स्थान के बिंदुओं के कार्टेशियन निर्देशांक आयाम $n$ के वास्तविक समन्वय स्थान का निर्माण करते हैं।

सदिशों, बिंदुओं और निर्देशांक के मध्य पत्राचार निर्देशांक स्थान और सदिश के नामों की व्याख्या करते हैं। यह वास्तविक निर्देशांक रिक्त स्थान का अध्ययन करने के लिए ज्यामितीय नियमों और विधियों का उपयोग करने की अनुमति देता है, और इसके विपरीत, ज्यामिति में पथरी की विधियों का उपयोग करने के लिए होता है। ज्यामिति का यह दृष्टिकोण 17वें दशक में रेने डेसकार्टेस द्वारा प्रस्तुत किया गया था। यह व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, क्योंकि यह यूक्लिडियन रिक्त स्थान में बिंदुओं को ज्ञात करने और उनके साथ कंप्यूटिंग करने की अनुमति देता है।

परिभाषा और संरचना

किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए, समुच्चय $R n$ में वास्तविक संख्याओं ( $R$ ) के सभी $n$ -टुपल्स होते हैं। इसे $n$ -आयामी वास्तविक स्थान या $n$ -स्थान कहा जाता है।

$R n$ का तत्व इस प्रकार $n$ -ट्यूपल है, जो इस प्रकार लिखा जाता है:

(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

जहां प्रत्येक

x i

वास्तविक संख्या है। इसलिए, बहुभिन्नरूपी कलन में, विभिन्न वास्तविक चरों के फलन का प्रांत और वास्तविक सदिश मान वाले फलन का कोडोमेन

n

के लिए

R n

के उपसमुच्चय होते हैं।

वास्तविक $n$ -स्थान में और भी विभिन्न गुण हैं, जो विशेष रूप से इस प्रकार हैं:

घटकवार संचालन जोड़ और अदिश गुणन के साथ, यह वास्तविक सदिश स्थान है। प्रत्येक $n$ -विमीय वास्तविक सदिश समष्टि इसके लिए तुल्याकारी है।
डॉट उत्पाद के साथ (घटकों के शब्द उत्पाद द्वारा शब्द का योग), यह आंतरिक उत्पाद स्थान है। प्रत्येक $n$ -आयामी वास्तविक आंतरिक उत्पाद स्थान इसके लिए समरूप है।
प्रत्येक आंतरिक उत्पाद स्थान के रूप में, यह टोपोलॉजिकल स्थान और टोपोलॉजिकल सदिश स्थान है।
यह यूक्लिडियन और वास्तविक एफाइन स्थान है, और प्रत्येक यूक्लिडियन या एफाइन स्थान इसके लिए आइसोमोर्फिक है।
यह विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड है, और इसे सभी मैनिफोल्ड के प्रोटोटाइप के रूप में माना जा सकता है, जैसा कि, परिभाषा के अनुसार, मैनिफोल्ड, प्रत्येक बिंदु के निकट, $R n$ के खुले उपसमुच्चय के लिए आइसोमॉर्फिक है।
यह बीजगणितीय विविधता है, और प्रत्येक वास्तविक बीजगणितीय विविधता $R n$ का उपसमुच्चय है।

$R n$ के ये गुण और संरचनाएं इसे गणित के लगभग सभी क्षेत्रों और उनके अनुप्रयोग डोमेन, जैसे सांख्यिकी, संभाव्यता सिद्धांत और भौतिकी के विभिन्न भागों में मौलिक बनाती हैं।

विभिन्न चर के फलन का डोमेन

$n$ वास्तविक चरों के किसी भी फलन $f (x 1, x 2, ..., x n)$ को $R n$ पर फलन माना जा सकता है (अर्थात, $R n$ इसके प्रांत के रूप में होता है)। भिन्न-भिन्न माने जाने वाले विभिन्न चरों के अतिरिक्त वास्तविक $n$ -स्थान का उपयोग, संकेतन को सरल बना सकता है और उचित परिभाषाओं की अनुशंसा कर सकता है। $n = 2$ के लिए, निम्नलिखित रूप की फलन रचना पर विचार किया जा सकता है:

F(t)=f(g_{1}(t),g_{2}(t)),

जहां फलन

g 1

तथा

g 2

सतत हैं। यदि,

$\forall x 1 \in R : f (x 1, \cdot)$ निरंतर है (द्वारा $x 2$ )
$\forall x 2 \in R : f (\cdot, x 2)$ निरंतर है (द्वारा $x 1$ )

तो $F$ अनिवार्य रूप से निरंतर नहीं है। निरंतरता स्थिर स्थिति है: प्राकृतिक में $R 2$ टोपोलॉजी (नीचे दिया गया है) में $f$ की निरंतरता, जिसे बहुभिन्नरूपी निरंतरता भी कहा जाता है, जो संरचना $F$ की निरंतरता के लिए पर्याप्त है।

सदिश स्थान

निर्देशांक स्थान $R n$ रैखिकता की संरचना के योग के साथ वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र (गणित) में पर $n$ -आयामी सदिश स्थान बनाता है, और प्रायः इसे अभी भी $R n$ के रूप निरूपित किया जाता है। सदिश स्थान के रूप में $R n$ पर संचालन सामान्यतः इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

\mathbf {x} +\mathbf {y} =(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n})

\alpha \mathbf {x} =(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\ldots ,\alpha x_{n}).

शून्य सदिश के द्वारा दिया गया है:

\mathbf {0} =(0,0,\ldots ,0)

और सदिश

x

का योज्य व्युत्क्रम द्वारा दिया गया है:

-\mathbf {x} =(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n}).

यह संरचना महत्वपूर्ण है क्योंकि कोई भी

n

-आयामी वास्तविक सदिश समष्टि

R n

के लिए तुल्याकारी है।

आव्यूह संकेतन

मानक आव्यूह संकेतन में, $R n$ का प्रत्येक तत्व सामान्यतः स्तंभ सदिश के रूप में लिखा जाता है:

\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}

और कभी-कभी पंक्ति सदिश के रूप में लिखा जाता है:

\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}.

तब निर्देशांक स्थान

R n

की व्याख्या सभी

n \times 1

स्तंभ सदिशों के स्थान के रूप में की जा सकती है, या सभी

1 \times n

पंक्ति सदिशों के अतिरिक्त और अदिश गुणन के सामान्य आव्यूह संचालन के साथ की जा सकती है।

$R n$ से $R m$ तक रैखिक परिवर्तन तब $m \times n$ आव्यूह के रूप में लिखे जा सकते हैं, जो पर कार्य करते हैं $R n$ के तत्वों पर बाएँ गुणन के माध्यम से कार्य करते हैं (जब $R n$ के तत्व स्तंभ सदिश होते हैं) और $R m$ के तत्वों पर उचित गुणन के माध्यम से (जब वे पंक्ति सदिश हैं) होते हैं। बाएं गुणन का सूत्र, आव्यूह गुणन की विशेष स्थिति है:

(A{\mathbf {x} })_{k}=\sum _{l=1}^{n}A_{kl}x_{l}

कोई भी रैखिक परिवर्तन सतत कार्य है (नीचे देखें)। साथ ही, आव्यूह $R n$ प्रति $R m$ खुले मानचित्र को परिभाषित करता है, यदि केवल आव्यूह की श्रेणी $m$ के समान है।

मानक आधार

समन्वय स्थान $R n$ मानक आधार के साथ आता है:

{\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&=(1,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=(0,1,\ldots ,0)\\&{}\;\;\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=(0,0,\ldots ,1)\end{aligned}}

यह देखने के लिए कि यह आधार है, ध्यान दें कि

R n

में स्वेच्छ सदिश के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है:

\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}.

ज्यामितीय गुण और उपयोग

अभिविन्यास

तथ्य यह है कि वास्तविक संख्याएं, विभिन्न अन्य क्षेत्रों के विपरीत, आदेशित क्षेत्र का गठन करती हैं, और $R n$ पर अभिविन्यास संरचना उत्पन्न करती हैं। $R n$ की कोई भी पूर्ण-श्रेणी का रैखिक मानचित्र या तो अपने आव्यूह के निर्धारक के संकेत के आधार पर स्थान के अभिविन्यास को संरक्षित या विपरीत कर देता है। यदि कोई समन्वय करता है (या, दूसरे शब्दों में, आधार के तत्व), परिणामी अभिविन्यास क्रमचय की समानता पर निर्भर करता है।

शून्य जैकोबियन से बचने के लिए उनके गुण द्वारा $R n$ या डोमेन के डिफियोमोर्फिज्म को भी अभिविन्यास-संरक्षण और अभिविन्यास-विपरीत के लिए भी वर्गीकृत किया जाता है। विभेदक रूपों के सिद्धांत के लिए इसके महत्वपूर्ण परिणाम हैं, जिनके अनुप्रयोगों में विद्युतगतिकी सम्मिलित हैं।

इस संरचना की अभिव्यक्ति यह है कि $R n$ में बिंदु प्रतिबिंब में $n$ की समता के आधार पर भिन्न-भिन्न गुण होते हैं। सम $n$ के लिए यह ओरिएंटेशन को संरक्षित करता है, जबकि विषम $n$ के लिए यह विपरीत होता है (अनुचित घूर्णन भी देखें)।

एफ़िन स्थान

$R n$ को एफ़िन स्थान के रूप में समझा जाता है वही स्थान है, जहां $R n$ सदिश स्थान के रूप में अनुवाद द्वारा कार्य करता है। इसके विपरीत, सदिश को दो बिंदुओं के मध्य अंतर के रूप में समझा जाना चाहिए, सामान्यतः दो बिंदुओं को जोड़ने वाली निर्देशित रेखा खंड द्वारा चित्रित किया जाता है। अन्तर कहता है कि कोई विहित रूप नहीं है जहां मूल (गणित) $n$ -स्थान को संबंध में जाना चाहिए, क्योंकि इसका कहीं भी अनुवाद किया जा सकता है।

उत्तलता

n-सिम्प्लेक्स (नीचे देखें) मानक उत्तल समुच्चय है, जो प्रत्येक पॉलीटॉप के लिए मानचित्रित करता है, और मानक का

(n + 1)

एफ़िन हाइपरप्लेन (मानक एफ़िन स्थान) और मानक

(n + 1)

ऑर्थोंट (मानक शंकु) का प्रतिच्छेदन है।

वास्तविक सदिश स्थान में, जैसे कि $R n$ , उत्तल शंकु को परिभाषित कर सकता है, जिसमें इसके सदिशों के सभी गैर-ऋणात्मक रैखिक संयोजन होते हैं। एफ़िन स्थान में संगत अवधारणा उत्तल समुच्चय है, जो केवल उत्तल संयोजनों (गैर-ऋणात्मक रैखिक संयोजनों का योग 1 होता है) की अनुमति देता है।

सार्वभौम बीजगणित की भाषा में, सदिश स्थान गुणांकों के परिमित अनुक्रमों के सार्वभौम सदिश स्थान $R \infty$ पर बीजगणित है, जो सदिशों के परिमित योग के अनुरूप होता है, जबकि संबधित स्थान इस स्थान (परिमित अनुक्रमों का योग 1), शंकु सार्वभौमिक ऑर्थेंट (गैर-नकारात्मक संख्याओं के परिमित अनुक्रमों) पर बीजगणित है, और उत्तल समुच्चय सार्वभौमिक सिंप्लेक्स (गैर-नकारात्मक संख्याओं के परिमित अनुक्रमों का योग 1) पर बीजगणित है। यह निर्देशांक पर (संभव) प्रतिबंधों के साथ राशियों के संदर्भ में स्वयंसिद्धों को ज्यामितीय करता है।

उत्तल विश्लेषण से अन्य अवधारणा $R n$ से वास्तविक संख्याओं तक उत्तल कार्य है, जिसे बिंदुओं के उत्तल संयोजन पर इसके मूल्य के मध्य असमानता के माध्यम से परिभाषित किया गया है, और समान गुणांक वाले उन बिंदुओं में मानों के योग है।

यूक्लिडियन स्थान

डॉट उत्पाद

\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}

आदर्श

| x | = \sqrt x \cdot x

को सदिश स्थान पर

R n

परिभाषित करता है, यदि प्रत्येक सदिश का अपना यूक्लिडियन मानदंड है, तो बिंदुओं के किसी भी जोड़े के लिए दूरी,

d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}

परिभाषित किया गया है, जो कि इसकी सजातीय संरचना के अतिरिक्त

R n

पर मीट्रिक स्थान संरचना प्रदान करता है।

सदिश स्थान संरचना के लिए, विशेष स्पष्टीकरण के बिना डॉट उत्पाद और यूक्लिडियन दूरी को सामान्यतः $R n$ में उपस्थित माना जाता है। चूँकि, वास्तविक $n$ -स्थान और यूक्लिडियन $n$ -स्थान विशिष्ट वस्तुएं हैं, किसी भी यूक्लिडियन $n$ -स्थान में समन्वय प्रणाली होती है, जहां डॉट उत्पाद और यूक्लिडियन दूरी के ऊपर दिखाया गया रूप है, जिसे कार्टेशियन कहा जाता है। किंतु यूक्लिडियन स्थान पर विभिन्न कार्टेशियन समन्वय प्रणाली हैं।

इसके विपरीत, यूक्लिडियन मीट्रिक के लिए उपरोक्त सूत्र मानक यूक्लिडियन संरचना को $R n$ पर परिभाषित करता है, किंतु यह एकमात्र संभव नहीं है। वस्तुतः, कोई सकारात्मक-निश्चित द्विघात रूप $q$ अपनी दूरी $\sqrt q (x - y)$ को परिभाषित करता है, किंतु यह इस अर्थ में यूक्लिडियन से अधिक भिन्न नहीं है कि,

\exists C_{1}>0,\ \exists C_{2}>0,\ \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}:C_{1}d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\leq {\sqrt {q(\mathbf {x} -\mathbf {y} )}}\leq C_{2}d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ).

मीट्रिक का ऐसा परिवर्तन इसके कुछ गुणों को संरक्षित करता है, उदाहरण के लिए पूर्ण मीट्रिक स्थान होने का गुण होता है। इसका तात्पर्य यह भी है कि

R n

का कोई भी पूर्ण-श्रेणी रैखिक परिवर्तन, या इसका संबधित रूपांतरण, कुछ निश्चित

C 2

से अधिक दूरियों को नहीं बढ़ाता है, और दूरियों को

1 / C 1

गुना से छोटा नहीं बनाता है, निश्चित परिमित संख्या छोटी है।^{[clarification needed]}

मीट्रिक कार्यों की उपरोक्त समानता मान्य रहती है यदि $\sqrt q (x - y)$ को $M (x - y)$ से परिवर्तित किया जाता है, जहां $M$ डिग्री 1 का कोई उत्तल सकारात्मक सजातीय कार्य है, अर्थात आदर्श मानदंड है (उपयोगी उदाहरणों के लिए मिंकोव्स्की दूरी देखें)। इस तथ्य के कारण कि $R n$ पर कोई भी प्राकृतिक मीट्रिक यूक्लिडियन मीट्रिक से विशेष रूप से भिन्न नहीं है, व्यसायिक गणितीय कार्यों में भी $R n$ सदैव यूक्लिडियन $n$ -स्थान से भिन्न नहीं होता है।

बीजगणितीय और ज्यामिति में अंतर

चूँकि मैनिफोल्ड की परिभाषा की आवश्यकता नहीं है, कि इसका प्रारूप स्थान $R n$ होना चाहिए, यह विकल्प सबसे सामान्य है, और अंतर ज्यामिति में लगभग अनन्य है।

दूसरी ओर, व्हिटनी एम्बेडिंग प्रमेयों का कहना है कि किसी भी वास्तविक भिन्न $m$ -आयामी मैनिफोल्ड को $R 2 m$ में एम्बेडिंग किया जा सकता है।

अन्य प्रदर्शन

$R n$ पर विचार की जाने वाली अन्य संरचनाओं में छद्म-यूक्लिडियन स्थान, सहानुभूतिपूर्ण संरचना (यहां तक कि $n$ ), और संपर्क संरचना (विषम $n$ ) में सम्मिलित है। इन सभी संरचनाओं, चूँकि समन्वय-मुक्त विधि से परिभाषित किया जा सकता है, निर्देशांक में मानक (और यथोचित सरल) रूपों को स्वीकार करते हैं।

$R n$ भी $C n$ का वास्तविक सदिश उपस्थान है, जो जटिल संयुग्मन के लिए अपरिवर्तनीय है; जटिलता भी देखें।

R^{n में पॉलीटोप्स}

पॉलीटोप्स के तीन परिवार हैं जिनके पास किसी भी $n$ के लिए $R n$ रिक्त स्थान सरल प्रतिनिधित्व है, और वास्तविक $n$ -स्थान में किसी भी एफ़िन समन्वय प्रणाली को देखने के लिए उपयोग किया जा सकता है। हाइपरक्यूब के वर्टिकल में निर्देशांक $(x 1, x 2, ..., x n)$ होते हैं, जहां प्रत्येक $x k$ केवल दो मानों में से लेता है, सामान्यतः 0 या 1 है, चूँकि, उदाहरण के लिए, 0 और 1 के अतिरिक्त कोई भी दो संख्याओंका चयन किया जा सकता है, उदाहरण के लिए −1 और 1है। $n$ -हाइपरक्यूब को वास्तविक रेखा पर $n$ समान अंतराल (जैसे इकाई अंतराल $[0,1]$ ) के कार्टेशियन उत्पाद के रूप में माना जा सकता है। के रूप में $n$ आयामी उपसमुच्चय को असमानताओं की प्रणाली | की प्रणाली के साथ वर्णित किया जा सकता है $2 n$ असमानताएँ:

{\begin{matrix}0\leq x_{1}\leq 1\\\vdots \\0\leq x_{n}\leq 1\end{matrix}}

[0,1]

के लिये, तथा

{\begin{matrix}|x_{1}|\leq 1\\\vdots \\|x_{n}|\leq 1\end{matrix}}

[-1,1]

के लिये क्रॉस-पॉलीटॉप के प्रत्येक शीर्ष में कुछ

k

के लिए,

x k

निर्देशांक ±1 के समान है, और अन्य सभी निर्देशांक 0 के समान हैं (जैसे कि यह

k

वें मानक आधार सदिश है जो हस्ताक्षर करने के लिए है)। यह हाइपरक्यूब का डुअल पॉलीटॉप है।

n

-आयामी उपसमुच्चय के रूप में इसे असमानता के साथ वर्णित किया जा सकता है जो पूर्ण मूल्य संचालन का उपयोग करता है:

\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|\leq 1\,,

किंतु इसे

2 n

रैखिक असमानताओं की प्रणाली के साथ व्यक्त किया जा सकता है।

साधारण रूप से गणना करने योग्य निर्देशांक वाला तीसरा पॉलीटॉप मानक सिंप्लेक्स है, जिसके कोने $n$ मानक आधार सदिश और मूल $(0, 0, ..., 0)$ हैं। $n$ -आयामी उपसमुच्चय के रूप में इसे $n + 1$ रैखिक असमानताओं की प्रणाली के साथ वर्णित किया गया है:

{\begin{matrix}0\leq x_{1}\\\vdots \\0\leq x_{n}\\\sum \limits _{k=1}^{n}x_{k}\leq 1\end{matrix}}

सभी ≤ को < के साथ प्रतिस्थापन इन पॉलीटोप्स के अंदरूनी भाग देता है।

सामयिक गुण

$R n$ की टोपोलॉजी संरचना (जिसे मानक टोपोलॉजी, यूक्लिडियन टोपोलॉजी, या सामान्य टोपोलॉजी कहा जाता है) न केवल कार्टेशियन उत्पाद से प्राप्त की जा सकती है। यह यूक्लिडियन मेट्रिक द्वारा प्रेरित प्राकृतिक टोपोलॉजी के समान है: यूक्लिडियन टोपोलॉजी में समुच्चय मुक्त समुच्चय है यदि केवल इसके प्रत्येक बिंदु के चारों ओर मुक्त गेंद होती है। इसके अतिरिक्त, $R n$ रैखिक सामयिक स्थान है (ऊपर रैखिक मानचित्रों की निरंतरता देखें), और इसकी रैखिक संरचना के साथ संगत केवल संभव (गैर-अल्प) टोपोलॉजी है। चूंकि $R n$ से लेकर स्वयं तक अनेक मुक्त रैखिक मानचित्र हैं जो आइसोमेट्री नहीं हैं, $R n$ पर अनेक यूक्लिडियन संरचनाएं हो सकती हैं जो टोपोलॉजी के अनुरूप हैं। वास्तव में, यह रैखिक संरचना पर भी अत्यधिक निर्भर नहीं करता है: स्वयं पर $R n$ के अनेक गैर-रैखिक भिन्नताएं (और अन्य होमोमोर्फिज्म) हैं, या उसके भाग जैसे यूक्लिडियन ओपन बॉल या हाइपरक्यूब का आंतरिक भाग) हैं।

$R n$ सांस्थितिक आयाम $n$ है। $R n$ की टोपोलॉजी पर महत्वपूर्ण परिणाम, जो सतही से अधिक दूर है, ब्रोवर का डोमेन का आविष्कार है। $R n$ का कोई भी उपसमुच्चय (इसके उप-स्थान टोपोलॉजी के साथ) जो कि $R n$ के दूसरे मुक्त उपसमुच्चय के लिए होमियोमॉर्फिक है, स्वयं मुक्त है। इसका तात्कालिक परिणाम यह है कि $R m$ , $R n$ के लिए होमियोमोर्फिज्म नहीं है, यदि $m \neq n$ – सहज ज्ञान युक्त स्पष्ट परिणाम है जिसको पुनः प्रमाणित करना कठिन है।

सामयिक आयाम में अंतर के अतिरिक्त, धारणा के विपरीत, अल्प -आयामी^{[clarification needed]} वास्तविक स्थान को निरंतर और विशेष रूप से $R n$ पर मानचित्रित करना संभव है। निरंतर (चूँकि चिकना नहीं) स्थान भरने वाला वक्र ( $R 1$ की छवि) संभव है।^{[clarification needed]}

उदाहरण

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R 0

R 1

n ≤ 1

$0 \leq n \leq 1$ की स्थिति कुछ भी नया नहीं देते हैं: $R 1$ वास्तविक रेखा है, जबकि $R 0$ (रिक्त स्तंभ सदिश वाला स्थान) सिंगलटन है, जिसे शून्य सदिश स्थान के रूप में अध्ययन किया जाता है। चूँकि, इन्हें भिन्न-भिन्न $n$ का वर्णन करने वाले सिद्धांतों की अल्प स्थितियों के रूप में सम्मिलित करना उपयोगी है।

n = 2

R 2

में हाइपरक्यूब और क्रॉस-पॉलीटॉप दोनों ही वर्ग हैं, किंतु शीर्षों के निर्देशांक भिन्न प्रकार से व्यवस्थित हैं।

n = 3

R 3

का घनक्षेत्र (हाइपरक्यूब) और अष्टफलक (क्रॉस-पॉलीटॉप) निर्देशांक नहीं दिखाए गए हैं।

n = 4

$R 4$ को इस तथ्य का उपयोग करके कल्पना की जा सकती है कि 16 अंक $(x 1, x 2, x 3, x 4)$ है, जहां प्रत्येक $x k$ या तो 0 या 1 है, टेसेरैक्ट (चित्रित) 4-हाइपरक्यूब (ऊपर देखें) के शिखर हैं।

$R 4$ का प्रथम प्रमुख प्रयोग स्पेसटाइम प्रारूप है: तीन स्थानिक निर्देशांक और लौकिक हैं। यह सामान्यतः सापेक्षता के सिद्धांत से जुड़ा हुआ है, चूँकि गैलिलियो गैलिली के पश्चात से ऐसे प्रारूपों के लिए चार आयामों का उपयोग किया गया था। सिद्धांत की रूचि भिन्न संरचना की ओर ले जाती है, चूँकि: गैलीलियन सापेक्षता में $t$ निर्देशांक विशेषाधिकार प्राप्त है, किंतु आइंस्टीनियन सापेक्षता में ऐसा नहीं है। मिन्कोव्स्की स्थान में विशेष सापेक्षता निर्धारित की गई है। सामान्य सापेक्षता घूर्णन स्थानों का उपयोग करती है, जिसे अधिकांश व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए घूर्णन मीट्रिक के साथ $R 4$ के रूप में माना जा सकता है। इनमें से कोई भी संरचना $R 4$ पर (सकारात्मक-निश्चित) मीट्रिक प्रदान नहीं करती है।

यूक्लिडियन $R 4$ भी गणितज्ञों का ध्यान आकर्षित करता है, उदाहरण के लिए चतुष्कोणों से इसके संबंध के कारण, स्वयं 4-आयामी वास्तविक बीजगणित है। कुछ सूचना के लिए 4-आयामी यूक्लिडियन स्थान में घूर्णन देखें।

विभेदक ज्यामिति में, $n = 4$ एकमात्र स्थिति है जहां $R n$ गैर-मानक विभेदक संरचना को स्वीकार करता है: विदेशी R^{4 देखें।}

$R n$ पर मानदंड

सदिश स्थान $R n$ पर विभिन्न मानदंडों को परिभाषित किया जा सकता है। कुछ सामान्य उदाहरण हैं:

पी-मानदंड, द्वारा परिभाषित ${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{p}:={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}}}$ सभी के लिए $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ जहाँ $p$ सकारात्मक पूर्णांक है। स्थिति $p=2$ अधिक महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह वास्तव में यूक्लिडियन मानदंड है।
$\infty$ -नॉर्म या अधिकतम मानदंड, द्वारा परिभाषित $\|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ सभी के लिए $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ है। यह सभी पी-मानदंडों की सीमा है: ${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}}}$

वास्तव में आश्चर्यजनक और उपयोगी परिणाम यह है कि $R n$ पर परिभाषित प्रत्येक मानक समतुल्य है। इसका तात्पर्य दो इच्छानुसार मानदंडों के लिए है $\|\cdot \|$ और $\|\cdot \|'$ $R n$ पर सदैव सकारात्मक वास्तविक संख्याएं पा सकते हैं $\alpha ,\beta >0$ , ऐसा है कि

\alpha \cdot \|\mathbf {x} \|\leq \|\mathbf {x} \|'\leq \beta \cdot \|\mathbf {x} \|

सभी के लिए

\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}

है।

यह $R n$ पर सभी मानदंडों के समुच्चय पर तुल्यता संबंध को परिभाषित करता है। इस परिणाम से परिक्षण कर सकते हैं कि $R n$ में सदिशों का क्रम अभिसरित होता है, यदि केवल यह $\|\cdot \|$ और $\|\cdot \|'$ अभिसरण करता है।

इस परिणाम का प्रमाण कैसा दिख सकता है इसका स्केच यहां दिया गया है:

तुल्यता संबंध के कारण यह दर्शाने के लिए पर्याप्त है कि $R n$ पर प्रत्येक मान यूक्लिडियन मानदंड के तुल्य है $\|\cdot \|_{2}$ और $\|\cdot \|$ $R n$ पर इच्छानुसार मानदंड है, प्रमाण दो चरणों में बांटा गया है:

हम दिखाते हैं कि $\beta >0$ उपस्थित है, ऐसा है कि $\|\mathbf {x} \|\leq \beta \cdot \|\mathbf {x} \|_{2}$ सभी के लिए $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ होता है, इस चरण में आप इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि प्रत्येक $\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ मानक आधार (रैखिक बीजगणित) के रैखिक संयोजन के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है: ${\textstyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}e_{i}\cdot x_{i}}$ . फिर कॉची-श्वार्ज़ असमानता के साथ, $\|\mathbf {x} \|=\left\|\sum _{i=1}^{n}e_{i}\cdot x_{i}\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|\cdot |x_{i}|\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|^{2}}}\cdot {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}=\beta \cdot \|\mathbf {x} \|_{2},$ जहाँ ${\textstyle \beta :={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|^{2}}}}$
अब हमें शोध करना है $\alpha >0$ , ऐसा है कि $\alpha \cdot \|\mathbf {x} \|_{2}\leq \|\mathbf {x} \|$ सभी के लिए $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ होता है, मान लीजिए कि ऐसा कोई $\alpha$ नहीं है, फिर वहाँ प्रत्येक के लिए $k\in \mathbb {N}$ a $\mathbf {x} _{k}\in \mathbb {R} ^{n}$ उपस्थित है, ऐसा है कि $\|\mathbf {x} _{k}\|_{2}>k\cdot \|\mathbf {x} _{k}\|$ होता है, दूसरा क्रम $({\tilde {\mathbf {x} }}_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ द्वारा ${\textstyle {\tilde {\mathbf {x} }}_{k}:={\frac {\mathbf {x} _{k}}{\|\mathbf {x} _{k}\|_{2}}}}$ परिभाषित करें यह क्रम परिबद्ध है क्योंकि $\|{\tilde {\mathbf {x} }}_{k}\|_{2}=1$ है, तो बोलजानो-वीयरस्ट्रास प्रमेय के कारण अभिसारी अनुवर्तीता $({\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}})_{j\in \mathbb {N} }$ उपस्थित है, सीमा के साथ $\mathbf {a} \in$ $R n$ होता है, अब हम दिखाते हैं $\|\mathbf {a} \|_{2}=1$ किंतु $\mathbf {a} =\mathbf {0}$ है, जो विरोधाभास है। यह है, $\|\mathbf {a} \|\leq \left\|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|+\left\|{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|\leq \beta \cdot \left\|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|_{2}+{\frac {\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}\ {\overset {j\to \infty }{\longrightarrow }}\ 0,$ इसलिये $\|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\|\to 0$ तथा $0\leq {\frac {\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}<{\frac {1}{k_{j}}}$ , इसलिए ${\frac {\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}\to 0$ यह संकेत करता है $\|\mathbf {a} \|=0$ , इसलिए $\mathbf {a} =\mathbf {0}$ दूसरी ओर $\|\mathbf {a} \|_{2}=1$ , इसलिये $\|\mathbf {a} \|_{2}=\left\|\lim _{j\to \infty }{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|_{2}=\lim _{j\to \infty }\left\|{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|_{2}=1$ . यह कभी सत्य नहीं हो सकता, इसलिए धारणा असत्य थी और ऐसा $\alpha >0$ उपस्थित है।