अनुवाद (ज्यामिति)

यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक अनुवाद एक ज्यामितीय परिवर्तन है जो किसी आकृति, आकार या स्थान के प्रत्येक बिंदु को एक निश्चित दिशा में समान दूरी से स्थानांतरित करता है। एक अनुवाद को प्रत्येक बिंदु पर एक स्थिर सदिश स्थान के अतिरिक्त, या समन्वय प्रणाली के मूल को स्थानांतरित करने के रूप में भी व्याख्या किया जा सकता है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, प्रत्येक अनुवाद एक समरूप है।

एक फलन के रूप में

See also: विस्थापन (ज्यामिति)

यदि $\mathbf {v}$ एक निश्चित सदिश है,जिसे अनुवाद सदिश के रूप में जाना जाता है, और $\mathbf {p}$ किसी वस्तु की प्रारंभिक स्थिति है, फिर अनुवाद फलन $T_{\mathbf {v} }$ रूप में काम करेगा $T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {v}$.

यदि $T$ एक अनुवाद है,तब फलन T के अंतर्गत एक उपसमुच्चय A की छवि T द्वारा A का अनुवाद है. $T_{\mathbf {v} }$ द्वारा $A$ का अनुवाद अधिकांशतः $A+\mathbf {v}$ लिखा जाता है .

क्षैतिज और लंबवत अनुवाद

ज्यामिति में, लंबवत अनुवाद (जिसे वर्टिकल शिफ्ट के रूप में भी जाना जाता है) कार्तीय समन्वय प्रणाली के वर्टिकल एक्सिस के समानांतर दिशा में एक ज्यामितीय वस्तु का अनुवाद है।

फलन f(x) = 3x² − 2 के विभिन्न प्रतिअवकलजों के आलेख. सभी एक दूसरे के लंबवत अनुवाद हैं।

अधिकांशतः, फलन के ग्राफ़ के लिए लंबवत अनुवादों पर विचार किया जाता है। अगर f, x का कोई फलन है, तो फलन f(x) + c का ग्राफ़ (जिसके मान f के मानों में नियतांक c जोड़कर दिए गए हैं) दूरी c द्वारा ग्राफ़ f(x) के लंबवत अनुवाद से प्राप्त किया जा सकता है । इस कारण फलन f(x) + c को कभी-कभी f(x) का 'ऊर्ध्वाधर अनुवाद' कहा जाता है। उदाहरण के लिए, एक फलन के सभी प्रतिव्युत्पन्न एक दूसरे से एकीकरण की निरंतरता से भिन्न होते हैं और इसलिए एक दूसरे के लंबवत अनुवाद होते हैं।

फलन रेखांकन में, एक क्षैतिज अनुवाद एक परिवर्तन (फलन) होता है जिसके परिणामस्वरूप एक ग्राफ़ जो आधार ग्राफ़ को x-अक्ष की दिशा में बाएँ या दाएँ स्थानांतरित करने के बराबर होता है। ग्राफ k इकाइयों को क्षैतिज रूप से ग्राफ पर प्रत्येक बिंदु को स्थानांतरित करके क्षैतिज रूप से 'k' इकाइयों का अनुवाद किया जाता है।

आधार फलन f(x) और स्थिरांक k के लिए, दिया गया फलन g(x) = f (x − k), को f(x) k इकाइयों को क्षैतिज रूप से स्थानांतरित करके रेखाचित्रत किया जा सकता है।

यदि ज्यामितीय परिवर्तनों के संदर्भ आधार फलन परिवर्तन के बारे में बात की गई थी, तो यह स्पष्ट हो सकता है कि फलन क्षैतिज रूप से जिस तरह से अनुवाद करते हैं, उसका अनुवाद क्यों करते हैं। कार्तीय तल पर अनुवादों को संबोधित करते समय इस प्रकार के संकेतन में अनुवाद प्रस्तुत करना स्वाभाविक है:

$(x,y)\rightarrow (x+a,y+b)$

या

$T(x,y)=(x+a,y+b)$

जहां पे $a$ तथा $b$ क्रमशः क्षैतिज और लंबवत परिवर्तन हैं।

उदाहरण

परवलय y = x² में, दाईं ओर 5 इकाइयों का एक क्षैतिज अनुवाद T(x, y) = (x + 5, y) द्वारा दर्शाया जाएगा। अब हमें इस परिवर्तन संकेतन को बीजगणितीय संकेतन से जोड़ना चाहिए। मूल परवलय पर बिंदु (ए, बी) पर विचार करें जो अनुवादित पैराबोला पर बिंदु (सी, डी) पर जाता है। हमारे अनुवाद के अनुसार, c = a + 5 और d = b मूल परवलय पर बिंदु b = a^{2 था । हमारे नए बिंदु को उसी समीकरण में d और c के संबंध में वर्णित किया जा सकता है। b = d और a= c- 5 तो d = b = a2 = (c − 5)2. चूंकि यह हमारे नए परवलय के सभी बिंदुओं के लिए सही है, इसलिए नया समीकरण y = (x − 5)2}

शास्त्रीय भौतिकी में अनुप्रयोग

शास्त्रीय भौतिकी में,अनुवाद संबंधी गति वह गति है जो घूर्णन के विपरीत किसी वस्तु की स्थिति को परिवर्तित करती है। उदाहरण के लिए, व्हिटेकर के अनुसार:

यदि किसी पिंड को एक स्थान से दूसरे स्थान पर ले जाया जाता है, और यदि पिंड के प्रत्येक बिंदु के प्रारंभिक और अंतिम बिंदुओं को मिलाने वाली रेखाएँ ℓ लंबाई की समानांतर सीधी रेखाओं का एक समूह हैं, जिससे कि अभिविन्यास अंतरिक्ष में पिंड अपरिवर्तित है, विस्थापन को दूरी ℓ के माध्यम से रेखाओं की दिशा के समानांतर अनुवाद कहा जाता है

— इ। टी. व्हिटेकर: कणों और कठोर निकायों की विश्लेषणात्मक गतिशीलता पर एक ग्रंथ, पी। 1

एक अनुवाद सूत्र के अनुसार किसी वस्तु के सभी बिंदुओं (x,y,z)की स्थिति परिवर्तित करने वाला ऑपरेशन है ।

$(x,y,z)\to (x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)$

यहाँ पे $(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$ वस्तु के प्रत्येक बिंदु के लिए समान यूक्लिडियन सदिश है। अनुवाद सदिश $(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$ वस्तु के सभी बिंदुओं के लिए सामान्य वस्तु के एक विशेष प्रकार के विस्थापन का वर्णन करता है, जिसे सामान्यतः पर एक रैखिक विस्थापन कहा जाता है ताकि इसे रोटेशन से जुड़े विस्थापन से अलग किया जा सके, जिसे कोणीय विस्थापन कहा जाता है।

अंतरिक्ष समय पर विचार करते समय ,समय निर्देशांक में परिवर्तन को अनुवाद माना जाता है।

एक प्रचालक के रूप में

Main article: शिफ्ट ऑपरेटर

शिफ्ट प्रचालक मूल स्थिति के एक फलन $f(\mathbf {v} )$ को,, अंतिम स्थिति के एक फलन $f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } )$ में, परिवर्तित कर देता है. दूसरे शब्दों में, $T_{\mathbf {\delta } }$ परिभाषित किया गया है कि $T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } ).$ यह प्रचालक एक फलन से अधिक अमूर्त है, क्योंकि $T_{\mathbf {\delta } }$ अंतर्निहित वैक्टर के अतिरिक्त दो फलन के बीच संबंध को परिभाषित करता है। अनुवाद प्रचालक कई प्रकार के फलन पर कार्य कर सकता है, जैसे जब अनुवाद प्रचालक एक वेवफंक्शन पर कार्य करता है, जिसका अध्ययन क्वांटम यांत्रिकी के क्षेत्र में किया जाता है ।

एक समूह के रूप में

See also: अनुवाद ऑपरेटर (क्वांटम यांत्रिकी) § अनुवाद समूह

सभी अनुवादों का समूह अनुवाद समूह $\mathbb {T}$ बनाता है, जो अंतरिक्ष के लिए ही समरूपी है, और यूक्लिडियन समूह $E(n)$ का एक सामान्य उपसमूह है . $E(n)$ का भागफल समूह द्वारा ऑर्थोगोनल समूह $\mathbb {T}$ के लिए $O(n)$ आइसोमोर्फिक है:

$E(n)/\mathbb {T} \cong O(n)$

क्योंकि अनुवाद क्रम विनिमेय है, अनुवाद समूह एबेलियन समूह है। असीमित संख्या में संभावित अनुवाद हैं, इसलिए अनुवाद समूह एक अनंत समूह है।

सापेक्षता के सिद्धांत में, अंतरिक्ष और समय को एक ही स्थान-समय के रूप में मानने के कारण,अनुवाद समन्वय समय में परिवर्तन का भी उल्लेख कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, गैलीलियन समूह और पोंकारे समूह में समय के संबंध में अनुवाद सम्मलित हैं।

जाली समूह

Main article: लैटिस (समूह)

त्रि-आयामी अनुवाद समूह एक प्रकार का उपसमूह जाली समूह हैं,जो अनंत समूह हैं, लेकिन अनुवाद समूहों के विपरीत, अंतिम रूप से उत्पन्न समूह हैं। अर्थात्, एक परिमित जनक समुच्चय पूरे समूह को उत्पन्न करता है।

आव्यूह प्रतिनिधित्व

अनुवाद एक निश्चित परिवर्तन है जिसमें कोई निश्चित बिंदु नहीं है। आव्यूह गुणन हमेशा एक निश्चित बिंदु के रूप में मूल होता है। फिर भी, आव्यूह गुणन के साथ सदिश स्थान के अनुवाद का प्रतिनिधित्व करने के लिए सजातीय निर्देशांक का उपयोग करना एक सामान्य समाधान है: चार सजातीय निर्देशांक $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z},1)$के रूप में उपयोग कर के, त्रिआयामी सदिश $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})$ लिखें.किसी ऑब्जेक्ट का सदिश $\mathbf {v}$ द्वारा अनुवाद करने के लिए, प्रत्येक सजातीय सदिश $\mathbf {p}$ (सजातीय निर्देशांक में लिखित ) का अनुवाद आव्यूह से गुणा किया जा सकता है:

$T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$

जैसा कि नीचे दिखाया गया है, गुणा अपेक्षित परिणाम देगा:

$T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v}$

सदिश की दिशा को उलट कर एक अनुवाद आव्यूह का व्युत्क्रम प्राप्त किया जा सकता है:

$T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }.\!$

इसी तरह, अनुवाद आव्यूह का उत्पाद सदिश जोड़कर दिया जाता है:

$T_{\mathbf {v} }T_{\mathbf {w} }=T_{\mathbf {v} +\mathbf {w} }.\!$

क्योंकि सदिशों का योग क्रमविनिमेय है, इसलिए अनुवाद आव्यूहों का गुणन भी क्रमविनिमेय है विवेकाधीन आव्यूहों के गुणन के विपरीत)।

अक्षों का अनुवाद

Main article: कुल्हाड़ियों का अनुवाद

जबकि ज्यामितीय अनुवाद को अधिकांशतः एक सक्रिय प्रक्रिया के रूप में देखा जाता है जो एक ज्यामितीय वस्तु की स्थिति को परिवर्तित करता है, एक समान परिणाम एक निष्क्रिय परिवर्तन द्वारा प्राप्त किया जा सकता है जो समन्वय प्रणाली को स्वयं स्थानांतरित करता है लेकिन वस्तु को स्थिर छोड़ देता है । सक्रिय ज्यामितीय अनुवाद के निष्क्रिय संस्करण को अक्षों के अनुवाद के रूप में जाना जाता है।

अनुवाद संबंधी समरूपता

Main article: अनुवादिक समरूपता

एक वस्तु जो अनुवाद से पहले और बाद में एक जैसी दिखती है, उसे अनुवाद संबंधी समरूपता कहा जाता है। एक सामान्य उदाहरण एक आवधिक कार्य है, जो एक अनुवाद प्रचालक का एक अतिलक्षणिकफलन है।

अनुप्रयोग

वाहन की गतिशीलता

वाहन की गतिशीलता (या किसी कठोर शरीर की गति) का वर्णन करने के लिए, जहाज की गति और विमान के प्रमुख अक्षों सहित, एक यांत्रिक मॉडल का उपयोग करना साधारण है जिसमें छह डिग्री की स्वतंत्रता सम्मलित है, जिसमें तीन संदर्भ अक्षों के साथ-साथ उन तीन अक्षों के बारे में घुमाव सम्मलित हैं

इन अनुवादों को अधिकांशतः कहा जाता है:

• सर्ज, फ्लाइट अनुदैर्ध्य अक्ष के साथ अनुवाद (आगे या पीछे)
• स्वे, अनुप्रस्थ अक्ष के साथ अनुवाद (पक्ष की ओर से)
• हीव,ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ अनुवाद (ऊपर या नीचे जाने के लिए)

इसी घुमाव को अधिकांशतः कहा जाता है:

• रोल कोण , अनुदैर्ध्य अक्ष के बारे में
• पिच कोण (कीनेमेटीक्स) , अनुप्रस्थ अक्ष के बारे में
• यव कोण, ऊर्ध्वाधर अक्ष के बारे में।

यह भी देखें

• अभिवहन
• समानांतर परिवहन
• घूर्णन आव्यूह
• स्केलिंग (ज्यामिति)
• परिवर्तन आव्यूह
• अनुवादिक समरूपता

बाहरी संबंध

• Translation Transform at cut-the-knot
• Geometric Translation (Interactive Animation) at Math Is Fun
• Understanding 2D Translation and Understanding 3D Translation by Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project.

संदर्भ

• Zazkis, R., Liljedahl, P., & Gadowsky, K. Conceptions of function translation: obstacles, intuitions, and rerouting. Journal of Mathematical Behavior, 22, 437-450. Retrieved April 29, 2014, from www.elsevier.com/locate/jmathb
• Transformations of Graphs: Horizontal Translations. (2006, January 1). BioMath: Transformation of Graphs. Retrieved April 29, 2014