समाकलन का स्थिरांक

कलन विधि में, समाकलन का स्थिरांक, जिसे प्रायः $C$ (या $c$) निरूपित किया जाता है, यह एक स्थिर शब्द है जो किसी फलन के व्युत्पन्न या एंटिडेरिवेटिव $f(x)$ में जोड़ा जाता है, इसे इंगित करने के लिए अनिश्चितकालीन अभिन्न $f(x)$ (अर्थात, $f(x)$ के सभी प्रतिपक्षी का सेट (गणित)), एक जुड़े हुए सेट पर, केवल एक योज्य स्थिरांक तक परिभाषित किया गया है। यह स्थिरांक एंटीडेरिवेटिव्स के निर्माण में निहित अस्पष्टता को व्यक्त करता है।

अधिक विशेष रूप से, यदि कोई फलन $f(x)$ एक अंतराल (गणित) पर परिभाषित किया गया है, और $F(x)$ का प्रतिपक्षी $f(x)$ है , फिर $f(x)$ के सभी प्रतिपक्षी का सेट $f(x)$ फलनों द्वारा $F(x)+C$ दिया जाता है, जहाँ $C$ एक इच्छानुसार स्थिरांक है (जिसका अर्थ है कि $C$ का कोई भी मान $F(x)+C$ करना होगा जो कि एक वैध प्रतिपक्षी होगा)। इसी कारण से, अनिश्चित समाकल को प्रायः ${\textstyle \int f(x)\,dx=F(x)+C}$ रूप में लिखा जाता है, हालांकि एकीकरण के स्थिरांक को कभी-कभी सरलता के लिए समाकलों की सूची में जोड़ा जा सकता है।

उत्पत्ति

किसी भी निरंतर फलन का व्युत्पन्न शून्य है। यदि एक बार किसी को एक प्रतिपक्षी $F(x)$ मिल जाता है तो एक फलन के लिए $f(x)$, किसी स्थिरांक को जोड़ना या घटाना हमें एक और प्रतिपक्षी $C$ देगा, क्योंकि ${\textstyle {\frac {d}{dx}}(F(x)+C)={\frac {d}{dx}}F(x)+{\frac {d}{dx}}C=F'(x)=f(x)}$ स्थिरांक यह व्यक्त करने का एक तरीका है कि कम से कम एक प्रतिपक्षी के साथ प्रत्येक फलन में उनकी अनंत संख्या होगी।

माना कि $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ और $G:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ दो हर जगह अलग-अलग फलन हो। ऐसी परिस्थिति में $F\,'(x)=G\,'(x)$ प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए वहाँ एक वास्तविक संख्या $C$ उपस्थित है, जिसका अर्थ है कि $F(x)-G(x)=C$ प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए प्रतिपक्षी $C$ देगा।

इसे सिद्ध करने के लिए, ध्यान दें $[F(x)-G(x)]'=0$, इसलिए $F-G$, $F$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है और $G$ निरंतर फलन द्वारा $0$ लक्ष्य को प्रमाणित करने के लिए कि एक हर जगह अलग-अलग फलन जिसका व्युत्पन्न सदैव शून्य होता है, वह स्थिर होना चाहिए।

एक वास्तविक संख्या $a$ चुनें, और $C=F(a)$ का मान ज्ञात करें, जो कि किसी भी X के लिए, कलन विधि का मौलिक प्रमेय, एक साथ इस धारणा के साथ कि व्युत्पन्न $F$ अदृश्य हो जाता है, जिसका अर्थ है

${\begin{aligned}&0=\int _{a}^{x}F'(t)\ dt\\&0=F(x)-F(a)\\&0=F(x)-C\\&F(x)=C\\\end{aligned}}$

जिससे यह प्रदर्शित हो रहा है कि $F$ एक निरंतर फलन है।

इस प्रमाण में दो तथ्य महत्वपूर्ण हैं। सबसे पहले, वास्तविक रेखा एक जुड़ा हुआ स्थान है। यदि वास्तविक रेखा जुड़ी नहीं होती, तो हम सदैव अपने निश्चित a से किसी दिए गए x में एकीकृत नहीं हो पाते। उदाहरण के लिए, यदि हम अंतराल [0,1] और [2,3] के मिलान बिंदु पर परिभाषित फलनों के लिए पूछें, और यदि वह 0 थे, तो 0 से 3 तक एकीकृत करना संभव नहीं होगा, क्योंकि फलन 1 और 2 के बीच अंतराल परिभाषित नहीं है। यहां दो स्थिरांक होंगे, एक फलन डोमेन के प्रत्येक संयुग्मित स्थान के लिए सामान्यतः, स्थिरांक को स्थानीय रूप से स्थिर फलनों के साथ बदलकर, हम इस प्रमेय को वियोजित किए गए डोमेन तक बढ़ा सकते हैं। उदाहरण के लिए, एकीकरण के दो स्थिरांक हैं ${\textstyle \int dx/x}$, और असीम रूप से कई के लिए ${\textstyle \int \tan x\,dx}$, उदाहरण के लिए, 1/x के समाकल का सामान्य रूप है:

$\int {\frac {dx}{x}}={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}$

दूसरा, $F$ और $G$ हर जगह अलग-अलग माना जाता हैं। अगर $F$ और $G$ एक बिंदु पर भी अवकलनीय नहीं हैं, तो प्रमेय विफल हो सकता है। एक उदाहरण के रूप में, $F(x)$ हैवीसाइड स्टेप फलन मान लिया जाता है, जो कि x के ऋणात्मक मानों के लिए शून्य है और x के गैर-ऋणात्मक मानों के लिए 1 है, और मान लिया जाता है $G(x)=0$ कि व्युत्पत्ति $F$ शून्य है जहाँ इसे परिभाषित किया गया है, और इसका व्युत्पन्न $G$ है जो कि सदैव शून्य होता है। फिर भी यह स्पष्ट है कि $F$ और $G$ एक स्थिरांक से भिन्न नहीं है, भले ही यह मान लिया जाए $F$ और $G$ हर जगह निरंतर हैं और लगभग हर जगह अलग-अलग प्रमेय अभी भी विफल रहता है। उदाहरण के तौर पर $G=0$ लें, जो कि $F$ कैंटर फलन होने के लिए $G=0$ मान लिया जाता है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि कोई इसका प्रतिपक्षी $\cos(x)$ खोजना चाहता है, ऐसा ही एक प्रतिपक्षी $\sin(x)$ है, और एक $\sin(x)+1$ है, एक तीसरा $\sin(x)-\pi$ है, इनमें से प्रत्येक का व्युत्पन्न $\cos(x)$ है, इसलिए वे सभी के विरोधी $\cos(x)$ हैं।

इससे यह पता चला है कि स्थिरांक जोड़ना और घटाना एकमात्र सुनम्यता है जो हमारे पास एक ही फलन के विभिन्न एंटीडेरिवेटिव खोजने में सहायक है। अर्थात्, सभी प्रतिपक्षी स्थिरांक तक समान होते हैं। इस तथ्य को व्यक्त करने के लिए हम $\cos(x)$ लिखते हैं:

$\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C.$

उपरोक्त फलन की जगह $C$ एक संख्या से एक प्रतिपक्षी उत्पादन होगा। लेखन से $C$ हालांकि, एक संख्या के बजाय सभी संभावित प्रतिपक्षी का एक संक्षिप्त विवरण $\cos(x)$ प्राप्त होना $C$ एकीकरण का स्थिरांक कहा जाता है। यह आसानी से निर्धारित किया जाता है कि ये सभी फलन वास्तव में इसके विरोधी $\cos(x)$ हैं :

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}[\sin(x)+C]&={\frac {d}{dx}}\sin(x)+{\frac {d}{dx}}C\\&=\cos(x)+0\\&=\cos(x)\end{aligned}}$

आवश्यकता

प्रथम परिप्रेक्ष्य में, ऐसा लग सकता है कि स्थिरांक $C$ अनावश्यक है, क्योंकि इसे शून्य पर सेट किया जा सकता है। इसके अलावा, कलन विधि के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हुए निश्चित समाकलों का मूल्यांकन करते समय, स्थिरांक सदैव स्वयं के साथ रद्द हो जाएगा।

हालाँकि, स्थिरांक को शून्य पर सेट करने का प्रयास करना सदैव समझ में नहीं आता है। उदाहरण के लिए, $2\sin(x)\cos(x)$ कम से कम तीन अलग-अलग तरीकों से एकीकृत किया जा सकता है:

${\begin{alignedat}{4}\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&\sin ^{2}(x)+C=&&-\cos ^{2}(x)+1+C=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+{\frac {1}{2}}+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&-\cos ^{2}(x)+C=&&\sin ^{2}(x)-1+C=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)-{\frac {1}{2}}+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C=&&\sin ^{2}(x)+C=&&-\cos ^{2}(x)+C\\\end{alignedat}}$

तो सेटिंग $C$ शून्य पर अभी भी एक स्थिरांक जोड़ सकते हैं। इसका मतलब यह है कि, किसी दिए गए फलन के लिए, कोई सरल प्रतिपक्षी नहीं है।

सेटिंग के साथ एक और समस्या शून्य के बराबर यह है कि कभी-कभी हम एक ऐसे प्रतिपक्षी को खोजना चाहते हैं जिसका एक दिए गए बिंदु पर दिया गया मान $C$ हो (जैसा कि प्रारंभिक मूल्य समस्या में है)। उदाहरण के लिए, $\cos(x)$ का प्रतिपक्षी प्राप्त करने के लिए, जिसका x = π पर मान 100 है, तो का केवल एक मान $C$ है, जो कार्य करेगा (इस मामले में $C=100$)। इसे सिद्ध करने के लिए, ध्यान दें $[F(x)-G(x)]'=0$, इसलिए $F-G$, $F$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

अंतर समीकरणों की भाषा में इस प्रतिबंध को फिर से परिभाषित किया जा सकता है। किसी फलन का अनिश्चितकालीन $f(x)$ अभिन्न ढूँढना अवकल समीकरण को हल करने के समान है, ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=f(x)}$ किसी भी अंतर समीकरण के कई समाधान होंगे, और प्रत्येक स्थिरांक एक अच्छी तरह से प्रस्तुत प्रारंभिक मूल्य समस्या के अद्वितीय समाधान का प्रतिनिधित्व करता है। यह शर्त लगाना कि हमारा प्रतिअवकलज x = π पर मान 100 लेता है, एक प्रारंभिक शर्त है। प्रत्येक प्रारंभिक स्थिति एक और केवल एक मान से $C$ समानता रखती है, तो बिना $C$ के समस्या का समाधान संभव नहीं होगा।

अमूर्त बीजगणित से आने वाला एक और औचित्य है जिसमे कि वास्तविक संख्याओं पर सभी (उपयुक्त) वास्तविक-मूल्यवान फलनों का स्थान एक सदिश स्थल और अंतर संचालक है, ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ एक रैखिक संकारक है। परिचालक ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ किसी फलन को शून्य पर मैप करता है यदि वह फलन स्थिर है। परिणामतः, गिरी (बीजगणित) ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ सभी स्थिर फलनों का स्थान है। किसी दिए गए फलन की पूर्व-छवि खोजने के लिए अनिश्चितकालीन एकीकरण की मात्रा किसी दिए गए फलन के लिए कोई कैनोनिकल प्री-इमेज नहीं है, लेकिन ऐसी सभी प्री-इमेज का सेट एक सह समुच्चय बनाता है। एक स्थिरांक चुनना सहसमुच्चय के एक अवयव को चुनने के समान है। इस संदर्भ में, एक प्रारंभिक मूल्य समस्या को हल करने की व्याख्या प्रारंभिक स्थितियों द्वारा दिए गए अधिसमतल में एक अवयव के रूप में की जाती है।