कुराटोव्स्की एम्बेडिंग

गणित में, Kuratowski एम्बेडिंग किसी भी मीट्रिक स्थान को कुछ Banach स्थान के सबसेट के रूप में देखने की अनुमति देता है। इसका नाम काज़िमिर्ज़ कुराटोव्स्की के नाम पर है।

बयान स्पष्ट रूप से खाली जगह के लिए है। यदि (X,d) मीट्रिक स्थान है, x₀ X और C में बिंदु है_b(एक्स) समान मानदंड के साथ एक्स पर सभी बंधे हुए निरंतर कार्य वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के बानाच स्थान को दर्शाता है, फिर नक्शा

$\Phi :X\rightarrow C_{b}(X)$

द्वारा परिभाषित

$\Phi (x)(y)=d(x,y)-d(x_{0},y)\quad {\mbox{for all}}\quad x,y\in X$

आइसोमेट्री है। उपरोक्त निर्माण को नुकीले स्थान को बनच स्थान में एम्बेड करने के रूप में देखा जा सकता है।

Kuratowski-Wojdyslawski प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक घिरा हुआ मीट्रिक स्थान X कुछ Banach स्थान के उत्तल सेट उपसमुच्चय के बंद सेट के लिए सममितीय है। (एनबी इस एम्बेडिंग की छवि उत्तल उपसमुच्चय में बंद है, जरूरी नहीं कि बनच अंतरिक्ष में।) यहां हम आइसोमेट्री का उपयोग करते हैं

$\Psi :X\rightarrow C_{b}(X)$

द्वारा परिभाषित

$\Psi (x)(y)=d(x,y)\quad {\mbox{for all}}\quad x,y\in X$

ऊपर उल्लिखित उत्तल सेट Ψ(X) का उत्तल हल है।

इन दोनों एम्बेडिंग प्रमेयों में, हम C को प्रतिस्थापित कर सकते हैं_b(एक्स) बानाच अंतरिक्ष ℓ द्वारा^∞(X) सभी बंधे हुए कार्यों का X → 'R', फिर से सर्वोच्च मानदंड के साथ, C के बाद से_b(X) ℓ की बंद रैखिक उपसमष्टि है^∞(एक्स).

ये एम्बेडिंग परिणाम उपयोगी होते हैं क्योंकि बैनच रिक्त स्थान में कई उपयोगी गुण होते हैं जो सभी मीट्रिक रिक्त स्थान द्वारा साझा नहीं किए जाते हैं: वे वेक्टर रिक्त स्थान हैं जो किसी को बिंदुओं को जोड़ने और प्रारंभिक ज्यामिति को लाइनों और विमानों आदि से जोड़ने की अनुमति देते हैं; और वे पूर्ण स्थान हैं। कोडोमेन एक्स के साथ फ़ंक्शन को देखते हुए, इस फ़ंक्शन को बड़े डोमेन में विस्तारित करने के लिए अक्सर वांछनीय होता है, और इसके लिए अक्सर कोडोमेन को एक्स युक्त बानाच स्पेस में साथ विस्तारित करने की आवश्यकता होती है।

इतिहास

औपचारिक रूप से, इस एम्बेडिंग को सबसे पहले काज़िमिर्ज़ कुराटोव्स्की द्वारा पेश किया गया था, लेकिन मौरिस फ्रेचेट|फ्रेचेट के पेपर में इस एम्बेडिंग का बहुत करीबी बदलाव पहले से ही दिखाई देता है जहां उन्होंने सबसे पहले मेट्रिक स्पेस की धारणा का परिचय दिया।

यह भी देखें

• तंग अवधि , किसी भी मीट्रिक स्पेस को इंजेक्शन मीट्रिक स्थान में एम्बेड करना, कुराटोव्स्की एम्बेडिंग के समान परिभाषित किया गया है