ट्विस्टर सिद्धांत: Difference between revisions

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{{Short description|Possible path to quantum gravity proposed by Roger Penrose}}
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[[सैद्धांतिक भौतिकी]] में, 1967 में [[रोजर पेनरोज़]] द्वारा ट्विस्टर सिद्धांत प्रस्तावित किया गया था<ref>{{cite journal|last1=Penrose|first1=R.|date=1967|title=ट्विस्टर बीजगणित|journal=[[Journal of Mathematical Physics]]|volume=8|issue=2|pages=345–366|bibcode=1967JMP.....8..345P|doi=10.1063/1.1705200}}</ref> एक संभावित मार्ग के रूप में<ref>{{Cite journal|last1=Penrose|first1=R.|last2=MacCallum|first2=M.A.H.|title=Twistor theory: An approach to the quantisation of fields and space-time|journal=Physics Reports|volume=6|issue=4|pages=241–315|doi=10.1016/0370-1573(73)90008-2|year=1973|bibcode=1973PhR.....6..241P}}</ref> क्वांटम गुरुत्व के लिए और सैद्धांतिक भौतिकी और [[गणितीय भौतिकी]] की व्यापक रूप से अध्ययन की जाने वाली शाखा में विकसित हुआ है। पेनरोज़ का विचार था कि [[ट्विस्टर स्पेस]] भौतिकी के लिए बुनियादी क्षेत्र होना चाहिए जिससे स्पेस-टाइम स्वयं प्रकट होना चाहिए। इसने शक्तिशाली गणितीय उपकरण का नेतृत्व किया है जिसमें [[ विभेदक ज्यामिति ]] और [[ अभिन्न ज्यामिति ]], [[ गैर रेखीय अंतर समीकरण ]] और [[ प्रतिनिधित्व सिद्धांत ]], और फिजिक्स में जनरल रिलेटिविटी, [[ क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत ]] और [[बिखरने का आयाम]] के थ्योरी के लिए एप्लिकेशन हैं। 1950 के दशक के अंत में और 1960 के दशक में आइंस्टीन के [[सामान्य सापेक्षता]] के सिद्धांत में तेजी से बढ़ते गणितीय विकास के संदर्भ में ट्विस्टर सिद्धांत उत्पन्न हुआ और उस अवधि से कई प्रभाव वहन करता है। विशेष रूप से, रोजर पेनरोज़ ने इवोर रॉबिन्सन (भौतिक विज्ञानी) को तथाकथित रॉबिन्सन सर्वांगसमताओं के अपने निर्माण के माध्यम से ट्विस्टर सिद्धांत के विकास में एक महत्वपूर्ण प्रारंभिक प्रभाव के रूप में श्रेय दिया है।<ref>[[Roger Penrose]], "On the Origins of Twistor Theory", in ''Gravitation and Geometry, a Volume in Honour of Ivor Robinson'', edited by [[Wolfgang Rindler]] and [[Andrzej Trautman]], Bibliopolis (1987).  
सैद्धांतिक भौतिकी में, 1967 में रोजर पेनरोज़ द्वारा ट्विस्टर सिद्धांत [1] परिमाण गुरुत्व के संभावित पथ [2] के रूप में प्रस्तावित किया गया था और सैद्धांतिक और गणितीय भौतिकी की व्यापक रूप से अध्ययन की गई शाखा में विकसित हुआ है। पेनरोज़ का विचार था कि [[ट्विस्टर स्पेस|ट्विस्टर दिक्]] भौतिकी के लिए बुनियादी क्षेत्र होना चाहिए जिससे दिक्-समय स्वयं प्रकट होना चाहिए। इसने शक्तिशाली गणितीय उपकरण का नेतृत्व किया है जिसमें [[ विभेदक ज्यामिति |विभेदक ज्यामिति]] और [[ अभिन्न ज्यामिति |अभिन्न ज्यामिति]], [[ गैर रेखीय अंतर समीकरण |गैर रेखीय अंतर समीकरण]] और [[ प्रतिनिधित्व सिद्धांत |प्रतिनिधित्व सिद्धांत]], और भौतिक विज्ञान में सामान्य सापेक्षता, [[ क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत |परिमाण क्षेत्र सिद्धांत]] और [[बिखरने का आयाम|प्रकीर्णन दैर्ध्य]] के सिद्धांत के लिए अनुप्रयोग हैं। 1950 के दशक के अंत में और 1960 के दशक में आइंस्टीन के [[सामान्य सापेक्षता]] के सिद्धांत में तीव्रता से बढ़ते गणितीय विकास के संदर्भ में ट्विस्टर सिद्धांत उत्पन्न हुआ और उस अवधि से कई प्रभाव वहन करता है। विशेष रूप से, रोजर पेनरोज़ ने इवोर रॉबिन्सन (भौतिक विज्ञानी) को तथाकथित रॉबिन्सन सर्वांगसमताओं के अपने निर्माण के माध्यम से ट्विस्टर सिद्धांत के विकास में एक महत्वपूर्ण प्रारंभिक प्रभाव के रूप में श्रेय दिया है।<ref>[[Roger Penrose]], "On the Origins of Twistor Theory", in ''Gravitation and Geometry, a Volume in Honour of Ivor Robinson'', edited by [[Wolfgang Rindler]] and [[Andrzej Trautman]], Bibliopolis (1987).  
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== सिंहावलोकन ==
== समीक्षा ==
गणितीय रूप से, [[प्रोजेक्टिव स्पेस]] ट्विस्टर स्पेस <math>\mathbb{PT}</math> एक 3-आयामी [[जटिल कई गुना]], जटिल प्रोजेक्टिव स्पेस | प्रोजेक्टिव 3-स्पेस है <math>\mathbb{CP}^3</math>. इसमें [[स्पिन (भौतिकी)]] के साथ [[द्रव्यमान रहित कण]]ों के स्थान की भौतिक व्याख्या है। यह एक 4-आयामी जटिल वेक्टर अंतरिक्ष, गैर-प्रोजेक्टिव ट्विस्टर स्पेस का [[प्रक्षेपण]] है <math>\mathbb{T}</math> [[ मीट्रिक हस्ताक्षर ]] (2,2) के [[हर्मिटियन रूप]] और [[होलोमार्फिक]] [[वॉल्यूम फॉर्म]] के साथ। यह सबसे स्वाभाविक रूप से [[अनुरूप समूह]] के लिए चिरलिटी (भौतिकी) ([[वेइल [[spinor]]]]) स्पिनरों के स्थान के रूप में समझा जा सकता है <math>SO(4,2)/\mathbb{Z}_2</math> [[मिन्कोवस्की अंतरिक्ष]] की; यह [[स्पिन समूह]] का [[मौलिक प्रतिनिधित्व]] है <math>SU(2,2)</math> अनुरूप समूह का। इस परिभाषा को मनमाना आयामों तक बढ़ाया जा सकता है, सिवाय इसके कि आयाम चार से परे, एक प्रोजेक्टिव ट्विस्टर स्पेस को अनुरूप समूह के लिए प्रोजेक्टिव [[शुद्ध स्पिनर]]ों की जगह के रूप में परिभाषित करता है।<ref>{{Cite book|title=स्पिनर और स्पेस-टाइम|last1=Penrose|first1=Roger|last2=Rindler|first2=Wolfgang|publisher=Cambridge University Press|year=1986|isbn=9780521252676|pages=Appendix|language=en|doi=10.1017/cbo9780511524486}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Hughston|first1=L. P.|last2=Mason|first2=L. J.|date=1988|title=एक सामान्यीकृत केर-रॉबिन्सन प्रमेय|journal=Classical and Quantum Gravity|language=en|volume=5|issue=2|pages=275|doi=10.1088/0264-9381/5/2/007|issn=0264-9381|bibcode=1988CQGra...5..275H|s2cid=250783071 }}</ref>
गणितीय रूप से, [[प्रोजेक्टिव स्पेस|प्रक्षेपीय दिक्]] ट्विस्टर <math>\mathbb{PT}</math> एक 3-आयामी [[जटिल कई गुना|जटिल बहुविध]], प्रक्षेपीय 3-दिक् <math>\mathbb{CP}^3</math> है। इसमें [[स्पिन (भौतिकी)|प्रचक्रण (भौतिकी)]] के साथ [[द्रव्यमान रहित कण]]ों के स्थान की भौतिक व्याख्या है। यह एक 4-आयामी जटिल सदिश स्थल, गैर-प्रक्षेपीय ट्विस्टर दिक् <math>\mathbb{T}</math> का [[प्रक्षेपण]] है। [[ मीट्रिक हस्ताक्षर |मापीय हस्ताक्षर]] (2,2) के [[हर्मिटियन रूप]] और [[होलोमार्फिक|पूर्णसममितिक]] [[वॉल्यूम फॉर्म|आयतन स्वरुप]] के साथ है। यह सबसे स्वाभाविक रूप से [[अनुरूप समूह]] के लिए चिरलिटी (भौतिकी) ([[वेइल [[spinor|स्पाइनर]]]]) के स्थान के रूप में समझा जा सकता है <math>SO(4,2)/\mathbb{Z}_2</math> [[मिन्कोवस्की अंतरिक्ष|मिन्कोवस्की स्थल]] की; यह [[स्पिन समूह|स्पाइन समूह]] का [[मौलिक प्रतिनिधित्व]] <math>SU(2,2)</math> है  अनुरूप समूह का। इस परिभाषा को मनमाना आयामों तक बढ़ाया जा सकता है, सिवाय इसके कि आयाम चार से परे, एक प्रक्षेपीय ट्विस्टर दिक् को अनुरूप समूह के लिए प्रक्षेपीय [[शुद्ध स्पिनर|शुद्ध स्पाइनर]]ों की जगह के रूप में परिभाषित करता है।<ref>{{Cite book|title=स्पिनर और स्पेस-टाइम|last1=Penrose|first1=Roger|last2=Rindler|first2=Wolfgang|publisher=Cambridge University Press|year=1986|isbn=9780521252676|pages=Appendix|language=en|doi=10.1017/cbo9780511524486}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Hughston|first1=L. P.|last2=Mason|first2=L. J.|date=1988|title=एक सामान्यीकृत केर-रॉबिन्सन प्रमेय|journal=Classical and Quantum Gravity|language=en|volume=5|issue=2|pages=275|doi=10.1088/0264-9381/5/2/007|issn=0264-9381|bibcode=1988CQGra...5..275H|s2cid=250783071 }}</ref>
अपने मूल रूप में, ट्विस्टर सिद्धांत मिन्कोस्की अंतरिक्ष पर [[भौतिक क्षेत्र]]ों को [[पेनरोज़ रूपांतरण]] के माध्यम से ट्विस्टर स्पेस पर [[जटिल विश्लेषणात्मक]] वस्तुओं में एन्कोड करता है। यह मनमाना स्पिन (भौतिकी) के मासलेस कण के लिए विशेष रूप से स्वाभाविक है। पहले उदाहरण में ये ट्विस्टर स्पेस में क्षेत्रों पर मुक्त होलोमोर्फिक कार्यों के संदर्भ में [[समोच्च अभिन्न]] सूत्रों के माध्यम से प्राप्त किए जाते हैं। द्रव्यमान रहित क्षेत्र समीकरणों के समाधान को जन्म देने वाले होलोमॉर्फिक ट्विस्टर फ़ंक्शंस को चेक [[कोहोलॉजी कक्षाएं]] रूप में अधिक गहराई से समझा जा सकता है। <math>\mathbb{PT}</math>. इन पत्राचारों को कुछ अरैखिक क्षेत्रों तक विस्तारित किया गया है, जिसमें पेनरोज़ के आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों में स्व-दोहरी गुरुत्व शामिल है#गैररैखिकता [[गुरुत्वाकर्षण]] निर्माण<ref name="Penrose1976">{{cite journal | last1 = Penrose | first1 = R | year = 1976 | title = गैर-रैखिक गुरुत्वाकर्षण और घुमावदार ट्विस्टर सिद्धांत| url = | journal = Gen. Rel. Grav. | volume = 7 | issue = 1| pages = 31–52 | doi = 10.1007/BF00762011 | bibcode = 1976GReGr...7...31P | s2cid = 123258136 }}</ref> और तथाकथित वार्ड निर्माण में स्व-दोहरी यांग-मिल्स क्षेत्र;<ref>{{Cite journal|last=Ward|first=R. S.|author-link=Richard S. Ward|title=स्व-दोहरी गेज क्षेत्रों पर|journal=Physics Letters A|volume=61|issue=2|pages=81–82|doi=10.1016/0375-9601(77)90842-8|year=1977|bibcode=1977PhLA...61...81W}}</ref> पूर्व में क्षेत्रों की अंतर्निहित जटिल संरचना के [[विरूपण (गणित)]] को जन्म देता है <math>\mathbb{PT}</math>, और बाद वाले क्षेत्रों में कुछ होलोमोर्फिक वेक्टर बंडलों के लिए <math>\mathbb{PT}</math>. इन निर्माणों में व्यापक अनुप्रयोग हैं, जिनमें अन्य बातों के साथ-साथ [[एकीकृत प्रणाली]] का सिद्धांत भी शामिल है।<ref>{{Cite book|title=ट्विस्टर ज्यामिति और क्षेत्र सिद्धांत|last=Ward|first=R. S.|date=1990|publisher=Cambridge University Press|others=Wells, R. O. (Raymond O'Neil), 1940-|isbn=978-0521422680|location=Cambridge [England]|oclc=17260289}}</ref><ref>{{Cite book|title=अखंडता, आत्म-द्वैत और ट्विस्टर सिद्धांत|last1=Mason|first1=Lionel J|last2=Woodhouse|first2=Nicholas M J|date=1996|publisher=Clarendon Press|isbn=9780198534983|location=Oxford|oclc=34545252}}</ref><ref>{{Cite book|title=सॉलिटॉन, इंस्टेंटन और ट्विस्टर्स|last=Dunajski|first=Maciej|date=2010|publisher=Oxford University Press|isbn=9780198570622|location=Oxford|oclc=507435856}}</ref>
स्व-द्वैत की स्थिति भौतिक सिद्धांतों की पूर्ण गैर-रैखिकताओं को शामिल करने के लिए एक प्रमुख सीमा है, हालांकि यह यांग-मिल्स-हिग्स समीकरणों के लिए पर्याप्त है। यांग-मिल्स-हिग्स [[चुंबकीय मोनोपोल]] और [[ एक पल ]]्स (एडीएचएम निर्माण देखें)।<ref>{{Cite journal|last1=Atiyah|first1=M.F.|last2=Hitchin|first2=N.J.|last3=Drinfeld|first3=V.G.|last4=Manin|first4=Yu.I.|title=इंस्टेंटन का निर्माण|journal=Physics Letters A|volume=65|issue=3|pages=185–187|doi=10.1016/0375-9601(78)90141-x|year=1978|bibcode=1978PhLA...65..185A}}</ref> इस प्रतिबंध को दूर करने का एक प्रारंभिक प्रयास [[एडवर्ड विटन]] द्वारा महत्वाकांक्षाओं का परिचय था<ref>{{Cite journal|last=Witten|first=Edward|title=An interpretation of classical Yang–Mills theory|journal=Physics Letters B|volume=77|issue=4–5|pages=394–398|doi=10.1016/0370-2693(78)90585-3|year=1978|bibcode=1978PhLB...77..394W}}</ref> और इसेनबर्ग, यास्किन और ग्रीन द्वारा।<ref>{{Cite journal|last1=Isenberg|first1=James|last2=Yasskin|first2=Philip B.|last3=Green|first3=Paul S.|title=गैर-स्व-दोहरी गेज फ़ील्ड|journal=Physics Letters B|volume=78|issue=4|pages=462–464|doi=10.1016/0370-2693(78)90486-0|year=1978|bibcode=1978PhLB...78..462I}}</ref> एम्बिटविस्टर स्पेस जटिल प्रकाश किरणों या द्रव्यमान रहित कणों का स्थान है और इसे मूल ट्विस्टर विवरण के एक जटिल या कोटेंगेंट बंडल के रूप में माना जा सकता है। ये सामान्य क्षेत्रों पर लागू होते हैं लेकिन क्षेत्र समीकरण अब इतनी आसानी से व्यक्त नहीं किए जाते हैं।


स्व-द्वैत क्षेत्र से परे मौलिक अंतःक्रिया के लिए ट्विस्टोरियल सूत्र सबसे पहले विटन के [[ट्विस्टर स्ट्रिंग सिद्धांत]] से उत्पन्न हुए।<ref name="Witten2004">{{cite journal|last1=Witten|first1=Edward|date=6 October 2004|title=ट्विस्टर स्पेस में स्ट्रिंग थ्योरी के रूप में पर्टुरबेटिव गेज थ्योरी|journal=Communications in Mathematical Physics|volume=252|issue=1–3|pages=189–258|arxiv=hep-th/0312171|bibcode=2004CMaPh.252..189W|doi=10.1007/s00220-004-1187-3|s2cid=14300396}}</ref> यह रिमेंन सतह के होलोमोर्फिक मानचित्रों का ट्विस्टर स्पेस में क्वांटम सिद्धांत है। इसने यांग-मिल्स सिद्धांतों के ट्री-लेवल [[एस-मैट्रिसेस]] के लिए उल्लेखनीय रूप से कॉम्पैक्ट आरएसवी (रोइबन, स्प्रेडलिन और वोलोविच) फॉर्मूले को जन्म दिया,<ref>{{Cite journal|last1=Roiban|first1=Radu|last2=Spradlin|first2=Marcus|last3=Volovich|first3=Anastasia|date=2004-07-30|title=Tree-level S matrix of Yang–Mills theory|journal=Physical Review D|volume=70|issue=2|pages=026009|doi=10.1103/PhysRevD.70.026009|bibcode=2004PhRvD..70b6009R|arxiv=hep-th/0403190|s2cid=10561912}}</ref> लेकिन इसकी गुरुत्वाकर्षण की स्वतंत्रता की डिग्री ने इसके प्रयोज्यता को सीमित करने वाले अनुरूप [[ अतिगुरुत्वाकर्षण ]] के एक संस्करण को जन्म दिया; अनुरूप गुरुत्व एक अभौतिक सिद्धांत है जिसमें [[भूत (भौतिकी)]] शामिल है, लेकिन इसकी बातचीत ट्विस्टर स्ट्रिंग सिद्धांत के माध्यम से गणना की गई लूप एम्पलीट्यूड में यांग-मिल्स सिद्धांत के साथ मिलती है।<ref>{{Cite journal|last1=Berkovits|first1=Nathan|last2=Witten|first2=Edward|date=2004|title=ट्विस्टर-स्ट्रिंग थ्योरी में अनुरूप सुपरग्रेविटी|journal=Journal of High Energy Physics|language=en|volume=2004|issue=8|pages=009|doi=10.1088/1126-6708/2004/08/009|issn=1126-6708|bibcode=2004JHEP...08..009B|arxiv=hep-th/0406051|s2cid=119073647}}</ref>
अपने मूल '''रूप में, ट्विस्टर सिद्धांत मि'''न्कोस्की स्थल पर [[भौतिक क्षेत्र]]ों को [[पेनरोज़ रूपांतरण]] के माध्यम से ट्विस्टर दिक् पर [[जटिल विश्लेषणात्मक]] वस्तुओं में कूटलेखन करता है। यह मनमाना स्पाइन (भौतिकी) के मासलेस कण के लिए विशेष रूप से स्वाभाविक है। पहले उदाहरण में ये ट्विस्टर दिक् में क्षेत्रों पर मुक्त होलोमोर्फिक कार्यों के संदर्भ में [[समोच्च अभिन्न]] सूत्रों के माध्यम से प्राप्त किए जाते हैं। द्रव्यमान रहित क्षेत्र समीकरणों के समाधान को जन्म देने वाले होलोमॉर्फिक ट्विस्टर फ़ंक्शंस को चेक [[कोहोलॉजी कक्षाएं]] रूप में अधिक गहराई से समझा जा सकता है। <math>\mathbb{PT}</math>. इन पत्राचारों को कुछ अरैखिक क्षेत्रों तक विस्तारित किया गया है, जिसमें पेनरोज़ के आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों में स्व-दोहरी गुरुत्व शामिल है#गैररैखिकता [[गुरुत्वाकर्षण]] निर्माण<ref name="Penrose1976">{{cite journal | last1 = Penrose | first1 = R | year = 1976 | title = गैर-रैखिक गुरुत्वाकर्षण और घुमावदार ट्विस्टर सिद्धांत| url = | journal = Gen. Rel. Grav. | volume = 7 | issue = 1| pages = 31–52 | doi = 10.1007/BF00762011 | bibcode = 1976GReGr...7...31P | s2cid = 123258136 }}</ref> और तथाकथित वार्ड निर्माण में स्व-दोहरी यांग-मिल्स क्षेत्र;<ref>{{Cite journal|last=Ward|first=R. S.|author-link=Richard S. Ward|title=स्व-दोहरी गेज क्षेत्रों पर|journal=Physics Letters A|volume=61|issue=2|pages=81–82|doi=10.1016/0375-9601(77)90842-8|year=1977|bibcode=1977PhLA...61...81W}}</ref> पूर्व में क्षेत्रों की अंतर्निहित जटिल संरचना के [[विरूपण (गणित)]] को जन्म देता है <math>\mathbb{PT}</math>, और बाद वाले क्षेत्रों में कुछ होलोमोर्फिक सदिश बंडलों के लिए <math>\mathbb{PT}</math>. इन निर्माणों में व्यापक अनुप्रयोग हैं, जिनमें अन्य बातों के साथ-साथ [[एकीकृत प्रणाली]] का सिद्धांत भी शामिल है।<ref>{{Cite book|title=ट्विस्टर ज्यामिति और क्षेत्र सिद्धांत|last=Ward|first=R. S.|date=1990|publisher=Cambridge University Press|others=Wells, R. O. (Raymond O'Neil), 1940-|isbn=978-0521422680|location=Cambridge [England]|oclc=17260289}}</ref><ref>{{Cite book|title=अखंडता, आत्म-द्वैत और ट्विस्टर सिद्धांत|last1=Mason|first1=Lionel J|last2=Woodhouse|first2=Nicholas M J|date=1996|publisher=Clarendon Press|isbn=9780198534983|location=Oxford|oclc=34545252}}</ref><ref>{{Cite book|title=सॉलिटॉन, इंस्टेंटन और ट्विस्टर्स|last=Dunajski|first=Maciej|date=2010|publisher=Oxford University Press|isbn=9780198570622|location=Oxford|oclc=507435856}}</ref>
इसकी कमियों के बावजूद, ट्विस्टर स्ट्रिंग थ्योरी ने बिखरने वाले आयामों के अध्ययन में तेजी से विकास किया। एक तथाकथित एमएचवी औपचारिकतावाद था<ref>{{Cite journal|last1=Cachazo|first1=Freddy|last2=Svrcek|first2=Peter|last3=Witten|first3=Edward|date=2004|title=गेज थ्योरी में एमएचवी वर्टिकल और ट्री एम्पलीट्यूड|journal=Journal of High Energy Physics|language=en|volume=2004|issue=9|pages=006|doi=10.1088/1126-6708/2004/09/006|issn=1126-6708|bibcode=2004JHEP...09..006C|arxiv=hep-th/0403047|s2cid=16328643}}</ref> शिथिल डिस्कनेक्टेड स्ट्रिंग्स पर आधारित है, लेकिन ट्विस्टर स्पेस में पूर्ण यांग-मिल्स सिद्धांत के लिए ट्विस्टर एक्शन के संदर्भ में अधिक बुनियादी आधार दिया गया था।<ref>{{Cite journal|last1=Adamo|first1=Tim|last2=Bullimore|first2=Mathew|last3=Mason|first3=Lionel|last4=Skinner|first4=David|title=तितर-बितर आयाम और विल्सन लूप ट्विस्टर स्पेस में|journal=Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical|volume=44|issue=45|pages=454008|doi=10.1088/1751-8113/44/45/454008|year=2011|bibcode=2011JPhA...44S4008A|arxiv=1104.2890|s2cid=59150535}}</ref> एक अन्य महत्वपूर्ण विकास बीसीएफडब्ल्यू रिकर्सन की शुरूआत थी।<ref>{{Cite journal|last1=Britto|first1=Ruth|author1-link= Ruth Britto |last2=Cachazo|first2=Freddy|last3=Feng|first3=Bo|last4=Witten|first4=Edward|date=2005-05-10|title=Direct Proof of the Tree-Level Scattering Amplitude Recursion Relation in Yang–Mills Theory|journal=Physical Review Letters|volume=94|issue=18|pages=181602|doi=10.1103/PhysRevLett.94.181602|pmid=15904356|bibcode=2005PhRvL..94r1602B|arxiv=hep-th/0501052|s2cid=10180346}}</ref> ट्विस्टर स्पेस में इसका प्राकृतिक फॉर्मूलेशन है<ref>{{Cite journal|last1=Mason|first1=Lionel|last2=Skinner|first2=David|date=2010-01-01|title=बिखरने वाले आयाम और ट्विस्टर स्पेस में बीसीएफडब्ल्यू रिकर्सन|journal=Journal of High Energy Physics|language=en|volume=2010|issue=1|pages=64|doi=10.1007/JHEP01(2010)064|issn=1029-8479|bibcode=2010JHEP...01..064M|arxiv=0903.2083|s2cid=8543696}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Arkani-Hamed|first1=N.|last2=Cachazo|first2=F.|last3=Cheung|first3=C.|last4=Kaplan|first4=J.|date=2010-03-01|title=ट्विस्टर स्पेस में एस-मैट्रिक्स|journal=Journal of High Energy Physics|language=en|volume=2010|issue=3|pages=110|doi=10.1007/JHEP03(2010)110|issn=1029-8479|bibcode=2010JHEP...03..110A|arxiv=0903.2110|s2cid=15898218}}</ref> बदले में [[ग्रासमैन इंटीग्रल]] फ़ार्मुलों के संदर्भ में बिखरने वाले आयामों के उल्लेखनीय योगों का नेतृत्व किया<ref>{{Cite journal|last1=Arkani-Hamed|first1=N.|last2=Cachazo|first2=F.|last3=Cheung|first3=C.|last4=Kaplan|first4=J.|date=2010-03-01|title=एस मैट्रिक्स के लिए एक द्वंद्व|journal=Journal of High Energy Physics|language=en|volume=2010|issue=3|pages=20|doi=10.1007/JHEP03(2010)020|issn=1029-8479|bibcode=2010JHEP...03..020A|arxiv=0907.5418|s2cid=5771375}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Mason|first1=Lionel|last2=Skinner|first2=David|date=2009|title=डुअल सुपरकॉन्फॉर्मल इनवेरियन, मोमेंटम ट्विस्टर्स और ग्रासमैनियन|journal=Journal of High Energy Physics|language=en|volume=2009|issue=11|pages=045|doi=10.1088/1126-6708/2009/11/045|issn=1126-6708|bibcode=2009JHEP...11..045M|arxiv=0909.0250|s2cid=8375814}}</ref> और [[ polytope ]]्स।<ref>{{Cite journal|last=Hodges|first=Andrew|date=2013-05-01|title=गेज-सैद्धांतिक आयामों से नकली ध्रुवों को खत्म करना|journal=Journal of High Energy Physics|language=en|volume=2013|issue=5|pages=135|doi=10.1007/JHEP05(2013)135|issn=1029-8479|bibcode=2013JHEP...05..135H|arxiv=0905.1473|s2cid=18360641}}</ref> ये विचार हाल ही में सकारात्मक [[ ग्रासमानियन ]] में विकसित हुए हैं<ref>{{cite arXiv|last1=Arkani-Hamed|first1=Nima|last2=Bourjaily|first2=Jacob L.|last3=Cachazo|first3=Freddy|last4=Goncharov|first4=Alexander B.|last5=Postnikov|first5=Alexander|last6=Trnka|first6=Jaroslav|date=2012-12-21|title=बिखरने वाले आयाम और सकारात्मक ग्रासमानियन|eprint=1212.5605|class=hep-th}}</ref> और [[आयाम]]।
 
स्व-द्वैत की स्थिति भौतिक सिद्धांतों की पूर्ण गैर-रैखिकताओं को शामिल करने के लिए एक प्रमुख सीमा है, हालांकि यह यांग-मिल्स-हिग्स समीकरणों के लिए पर्याप्त है। यांग-मिल्स-हिग्स [[चुंबकीय मोनोपोल]] और [[ एक पल | एक पल]] ्स (एडीएचएम निर्माण देखें)।<ref>{{Cite journal|last1=Atiyah|first1=M.F.|last2=Hitchin|first2=N.J.|last3=Drinfeld|first3=V.G.|last4=Manin|first4=Yu.I.|title=इंस्टेंटन का निर्माण|journal=Physics Letters A|volume=65|issue=3|pages=185–187|doi=10.1016/0375-9601(78)90141-x|year=1978|bibcode=1978PhLA...65..185A}}</ref> इस प्रतिबंध को दूर करने का एक प्रारंभिक प्रयास [[एडवर्ड विटन]] द्वारा महत्वाकांक्षाओं का परिचय था<ref>{{Cite journal|last=Witten|first=Edward|title=An interpretation of classical Yang–Mills theory|journal=Physics Letters B|volume=77|issue=4–5|pages=394–398|doi=10.1016/0370-2693(78)90585-3|year=1978|bibcode=1978PhLB...77..394W}}</ref> और इसेनबर्ग, यास्किन और ग्रीन द्वारा।<ref>{{Cite journal|last1=Isenberg|first1=James|last2=Yasskin|first2=Philip B.|last3=Green|first3=Paul S.|title=गैर-स्व-दोहरी गेज फ़ील्ड|journal=Physics Letters B|volume=78|issue=4|pages=462–464|doi=10.1016/0370-2693(78)90486-0|year=1978|bibcode=1978PhLB...78..462I}}</ref> एम्बिटविस्टर दिक् जटिल प्रकाश किरणों या द्रव्यमान रहित कणों का स्थान है और इसे मूल ट्विस्टर विवरण के एक जटिल या कोटेंगेंट बंडल के रूप में माना जा सकता है। ये सामान्य क्षेत्रों पर लागू होते हैं लेकिन क्षेत्र समीकरण अब इतनी आसानी से व्यक्त नहीं किए जाते हैं।
 
स्व-द्वैत क्षेत्र से परे मौलिक अंतःक्रिया के लिए ट्विस्टोरियल सूत्र सबसे पहले विटन के [[ट्विस्टर स्ट्रिंग सिद्धांत]] से उत्पन्न हुए।<ref name="Witten2004">{{cite journal|last1=Witten|first1=Edward|date=6 October 2004|title=ट्विस्टर स्पेस में स्ट्रिंग थ्योरी के रूप में पर्टुरबेटिव गेज थ्योरी|journal=Communications in Mathematical Physics|volume=252|issue=1–3|pages=189–258|arxiv=hep-th/0312171|bibcode=2004CMaPh.252..189W|doi=10.1007/s00220-004-1187-3|s2cid=14300396}}</ref> यह रिमेंन सतह के होलोमोर्फिक मानचित्रों का ट्विस्टर दिक् में परिमाण सिद्धांत है। इसने यांग-मिल्स सिद्धांतों के ट्री-लेवल [[एस-मैट्रिसेस]] के लिए उल्लेखनीय रूप से कॉम्पैक्ट आरएसवी (रोइबन, स्प्रेडलिन और वोलोविच) फॉर्मूले को जन्म दिया,<ref>{{Cite journal|last1=Roiban|first1=Radu|last2=Spradlin|first2=Marcus|last3=Volovich|first3=Anastasia|date=2004-07-30|title=Tree-level S matrix of Yang–Mills theory|journal=Physical Review D|volume=70|issue=2|pages=026009|doi=10.1103/PhysRevD.70.026009|bibcode=2004PhRvD..70b6009R|arxiv=hep-th/0403190|s2cid=10561912}}</ref> लेकिन इसकी गुरुत्वाकर्षण की स्वतंत्रता की डिग्री ने इसके प्रयोज्यता को सीमित करने वाले अनुरूप [[ अतिगुरुत्वाकर्षण | अतिगुरुत्वाकर्षण]] के एक संस्करण को जन्म दिया; अनुरूप गुरुत्व एक अभौतिक सिद्धांत है जिसमें [[भूत (भौतिकी)]] शामिल है, लेकिन इसकी बातचीत ट्विस्टर स्ट्रिंग सिद्धांत के माध्यम से गणना की गई लूप एम्पलीट्यूड में यांग-मिल्स सिद्धांत के साथ मिलती है।<ref>{{Cite journal|last1=Berkovits|first1=Nathan|last2=Witten|first2=Edward|date=2004|title=ट्विस्टर-स्ट्रिंग थ्योरी में अनुरूप सुपरग्रेविटी|journal=Journal of High Energy Physics|language=en|volume=2004|issue=8|pages=009|doi=10.1088/1126-6708/2004/08/009|issn=1126-6708|bibcode=2004JHEP...08..009B|arxiv=hep-th/0406051|s2cid=119073647}}</ref>
इसकी कमियों के बावजूद, ट्विस्टर स्ट्रिंग सिद्धांत ने बिखरने वाले आयामों के अध्ययन में तेजी से विकास किया। एक तथाकथित एमएचवी औपचारिकतावाद था<ref>{{Cite journal|last1=Cachazo|first1=Freddy|last2=Svrcek|first2=Peter|last3=Witten|first3=Edward|date=2004|title=गेज थ्योरी में एमएचवी वर्टिकल और ट्री एम्पलीट्यूड|journal=Journal of High Energy Physics|language=en|volume=2004|issue=9|pages=006|doi=10.1088/1126-6708/2004/09/006|issn=1126-6708|bibcode=2004JHEP...09..006C|arxiv=hep-th/0403047|s2cid=16328643}}</ref> शिथिल डिस्कनेक्टेड स्ट्रिंग्स पर आधारित है, लेकिन ट्विस्टर दिक् में पूर्ण यांग-मिल्स सिद्धांत के लिए ट्विस्टर एक्शन के संदर्भ में अधिक बुनियादी आधार दिया गया था।<ref>{{Cite journal|last1=Adamo|first1=Tim|last2=Bullimore|first2=Mathew|last3=Mason|first3=Lionel|last4=Skinner|first4=David|title=तितर-बितर आयाम और विल्सन लूप ट्विस्टर स्पेस में|journal=Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical|volume=44|issue=45|pages=454008|doi=10.1088/1751-8113/44/45/454008|year=2011|bibcode=2011JPhA...44S4008A|arxiv=1104.2890|s2cid=59150535}}</ref> एक अन्य महत्वपूर्ण विकास बीसीएफडब्ल्यू रिकर्सन की शुरूआत थी।<ref>{{Cite journal|last1=Britto|first1=Ruth|author1-link= Ruth Britto |last2=Cachazo|first2=Freddy|last3=Feng|first3=Bo|last4=Witten|first4=Edward|date=2005-05-10|title=Direct Proof of the Tree-Level Scattering Amplitude Recursion Relation in Yang–Mills Theory|journal=Physical Review Letters|volume=94|issue=18|pages=181602|doi=10.1103/PhysRevLett.94.181602|pmid=15904356|bibcode=2005PhRvL..94r1602B|arxiv=hep-th/0501052|s2cid=10180346}}</ref> ट्विस्टर दिक् में इसका प्राकृतिक फॉर्मूलेशन है<ref>{{Cite journal|last1=Mason|first1=Lionel|last2=Skinner|first2=David|date=2010-01-01|title=बिखरने वाले आयाम और ट्विस्टर स्पेस में बीसीएफडब्ल्यू रिकर्सन|journal=Journal of High Energy Physics|language=en|volume=2010|issue=1|pages=64|doi=10.1007/JHEP01(2010)064|issn=1029-8479|bibcode=2010JHEP...01..064M|arxiv=0903.2083|s2cid=8543696}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Arkani-Hamed|first1=N.|last2=Cachazo|first2=F.|last3=Cheung|first3=C.|last4=Kaplan|first4=J.|date=2010-03-01|title=ट्विस्टर स्पेस में एस-मैट्रिक्स|journal=Journal of High Energy Physics|language=en|volume=2010|issue=3|pages=110|doi=10.1007/JHEP03(2010)110|issn=1029-8479|bibcode=2010JHEP...03..110A|arxiv=0903.2110|s2cid=15898218}}</ref> बदले में [[ग्रासमैन इंटीग्रल]] फ़ार्मुलों के संदर्भ में बिखरने वाले आयामों के उल्लेखनीय योगों का नेतृत्व किया<ref>{{Cite journal|last1=Arkani-Hamed|first1=N.|last2=Cachazo|first2=F.|last3=Cheung|first3=C.|last4=Kaplan|first4=J.|date=2010-03-01|title=एस मैट्रिक्स के लिए एक द्वंद्व|journal=Journal of High Energy Physics|language=en|volume=2010|issue=3|pages=20|doi=10.1007/JHEP03(2010)020|issn=1029-8479|bibcode=2010JHEP...03..020A|arxiv=0907.5418|s2cid=5771375}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Mason|first1=Lionel|last2=Skinner|first2=David|date=2009|title=डुअल सुपरकॉन्फॉर्मल इनवेरियन, मोमेंटम ट्विस्टर्स और ग्रासमैनियन|journal=Journal of High Energy Physics|language=en|volume=2009|issue=11|pages=045|doi=10.1088/1126-6708/2009/11/045|issn=1126-6708|bibcode=2009JHEP...11..045M|arxiv=0909.0250|s2cid=8375814}}</ref> और [[ polytope | polytope]] ्स।<ref>{{Cite journal|last=Hodges|first=Andrew|date=2013-05-01|title=गेज-सैद्धांतिक आयामों से नकली ध्रुवों को खत्म करना|journal=Journal of High Energy Physics|language=en|volume=2013|issue=5|pages=135|doi=10.1007/JHEP05(2013)135|issn=1029-8479|bibcode=2013JHEP...05..135H|arxiv=0905.1473|s2cid=18360641}}</ref> ये विचार हाल ही में सकारात्मक [[ ग्रासमानियन | ग्रासमानियन]] में विकसित हुए हैं<ref>{{cite arXiv|last1=Arkani-Hamed|first1=Nima|last2=Bourjaily|first2=Jacob L.|last3=Cachazo|first3=Freddy|last4=Goncharov|first4=Alexander B.|last5=Postnikov|first5=Alexander|last6=Trnka|first6=Jaroslav|date=2012-12-21|title=बिखरने वाले आयाम और सकारात्मक ग्रासमानियन|eprint=1212.5605|class=hep-th}}</ref> और [[आयाम]]।
 
आरएसवी यांग-मिल्स आयाम सूत्र को सामान्य करके और फिर अंतर्निहित [[स्ट्रिंग सिद्धांत]] को खोजकर ट्विस्टर स्ट्रिंग सिद्धांत को पहले बढ़ाया गया था। गुरुत्वाकर्षण का विस्तार कचाज़ो और स्किनर द्वारा दिया गया था,<ref>{{Cite journal|last1=Cachazo|first1=Freddy|last2=Skinner|first2=David|date=2013-04-16|title=ट्विस्टर स्पेस में रैशनल कर्व्स से ग्रेविटी|journal=Physical Review Letters|volume=110|issue=16|pages=161301|doi=10.1103/PhysRevLett.110.161301|pmid=23679592|bibcode=2013PhRvL.110p1301C|arxiv=1207.0741|s2cid=7452729}}</ref> और डेविड स्किनर द्वारा [[ अधिकतम सुपरग्रेविटी | अधिकतम सुपरग्रेविटी]] के लिए ट्विस्टर स्ट्रिंग सिद्धांत के रूप में तैयार किया गया।<ref>{{cite arXiv|last=Skinner|first=David|date=2013-01-04|title=Twistor Strings for N=8 Supergravity|eprint=1301.0868|class=hep-th}}</ref> यांग-मिल्स सिद्धांत और गुरुत्वाकर्षण के लिए काचाज़ो, हे और युआन द्वारा सभी आयामों में अनुरूप सूत्र पाए गए।<ref>{{Cite journal|last1=Cachazo|first1=Freddy|last2=He|first2=Song|last3=Yuan|first3=Ellis Ye|date=2014-07-01|title=Scattering of massless particles: scalars, gluons and gravitons|journal=Journal of High Energy Physics|language=en|volume=2014|issue=7|pages=33|doi=10.1007/JHEP07(2014)033|issn=1029-8479|bibcode=2014JHEP...07..033C|arxiv=1309.0885|s2cid=53685436}}</ref> और बाद में कई अन्य सिद्धांतों के लिए।<ref>{{Cite journal|last1=Cachazo|first1=Freddy|last2=He|first2=Song|last3=Yuan|first3=Ellis Ye|date=2015-07-01|title=Scattering equations and matrices: from Einstein to Yang–Mills, DBI and NLSM|journal=Journal of High Energy Physics|language=en|volume=2015|issue=7|pages=149|doi=10.1007/JHEP07(2015)149|issn=1029-8479|bibcode=2015JHEP...07..149C|arxiv=1412.3479|s2cid=54062406}}</ref> तब उन्हें मेसन एंड स्किनर द्वारा एम्बिटविस्टर दिक् में स्ट्रिंग सिद्धांत के रूप में समझा गया<ref>{{Cite journal|last1=Mason|first1=Lionel|last2=Skinner|first2=David|date=2014-07-01|title=एम्बिटविस्टर स्ट्रिंग्स और स्कैटरिंग इक्वेशन|journal=Journal of High Energy Physics|language=en|volume=2014|issue=7|pages=48|doi=10.1007/JHEP07(2014)048|issn=1029-8479|bibcode=2014JHEP...07..048M|arxiv=1311.2564|s2cid=53666173}}</ref> एक सामान्य ढांचे में जिसमें मूल ट्विस्टर स्ट्रिंग शामिल है और कई नए मॉडल और सूत्र देने के लिए विस्तारित है।<ref>{{Cite journal|last=Berkovits|first=Nathan|date=2014-03-01|title=शुद्ध स्पिनर सुपरस्ट्रिंग की अनंत तनाव सीमा|journal=Journal of High Energy Physics|language=en|volume=2014|issue=3|pages=17|doi=10.1007/JHEP03(2014)017|issn=1029-8479|bibcode=2014JHEP...03..017B|arxiv=1311.4156|s2cid=28346354}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Geyer|first1=Yvonne|last2=Lipstein|first2=Arthur E.|last3=Mason|first3=Lionel|date=2014-08-19|title=एम्बिटविस्टर स्ट्रिंग्स इन फोर डायमेंशन्स|journal=Physical Review Letters|volume=113|issue=8|pages=081602|doi=10.1103/PhysRevLett.113.081602|pmid=25192087|bibcode=2014PhRvL.113h1602G|arxiv=1404.6219|s2cid=40855791}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Casali|first1=Eduardo|last2=Geyer|first2=Yvonne|last3=Mason|first3=Lionel|last4=Monteiro|first4=Ricardo|last5=Roehrig|first5=Kai A.|date=2015-11-01|title=नई महत्वाकांक्षी स्ट्रिंग सिद्धांत|journal=Journal of High Energy Physics|language=en|volume=2015|issue=11|pages=38|doi=10.1007/JHEP11(2015)038|issn=1029-8479|bibcode=2015JHEP...11..038C|arxiv=1506.08771|s2cid=118801547}}</ref> स्ट्रिंग सिद्धांतों के रूप में उनके पारंपरिक स्ट्रिंग सिद्धांत के समान [[महत्वपूर्ण आयाम]] हैं; उदाहरण के लिए [[टाइप II स्ट्रिंग थ्योरी|टाइप II स्ट्रिंग सिद्धांत]] सुपरसिमेट्रिक संस्करण दस आयामों में महत्वपूर्ण हैं और दस आयामों में टाइप II सुपरग्रेविटी के पूर्ण क्षेत्र सिद्धांत के बराबर हैं (यह पारंपरिक स्ट्रिंग सिद्धांतों से अलग है जिसमें बड़े पैमाने पर उच्च स्पाइन राज्यों का एक और अनंत पदानुक्रम है जो एक [[पराबैंगनी पूर्णता]] प्रदान करें)। वे लूप एम्पलीट्यूड के लिए सूत्र देने के लिए विस्तारित होते हैं<ref>{{Cite journal|last1=Adamo|first1=Tim|last2=Casali|first2=Eduardo|last3=Skinner|first3=David|date=2014-04-01|title=एम्बिटविस्टर स्ट्रिंग्स और स्कैटरिंग इक्वेशन एक लूप पर|journal=Journal of High Energy Physics|language=en|volume=2014|issue=4|pages=104|doi=10.1007/JHEP04(2014)104|issn=1029-8479|bibcode=2014JHEP...04..104A|arxiv=1312.3828|s2cid=119194796}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Geyer|first1=Yvonne|last2=Mason|first2=Lionel|last3=Monteiro|first3=Ricardo|last4=Tourkine|first4=Piotr|date=2015-09-16|title=रीमैन स्फीयर से स्कैटरिंग एम्प्लिट्यूड्स के लिए लूप इंटीग्रैंड्स|journal=Physical Review Letters|volume=115|issue=12|pages=121603|doi=10.1103/PhysRevLett.115.121603|pmid=26430983|bibcode=2015PhRvL.115l1603G|arxiv=1507.00321|s2cid=36625491}}</ref> और घुमावदार पृष्ठभूमि पर परिभाषित किया जा सकता है।<ref>{{Cite journal|last1=Adamo|first1=Tim|last2=Casali|first2=Eduardo|last3=Skinner|first3=David|date=2015-02-01|title=सुपरग्रेविटी के लिए एक वर्ल्डशीट सिद्धांत|journal=Journal of High Energy Physics|language=en|volume=2015|issue=2|pages=116|doi=10.1007/JHEP02(2015)116|issn=1029-8479|bibcode=2015JHEP...02..116A|arxiv=1409.5656|s2cid=119234027}}</ref>


आरएसवी यांग-मिल्स आयाम सूत्र को सामान्य करके और फिर अंतर्निहित [[स्ट्रिंग सिद्धांत]] को खोजकर ट्विस्टर स्ट्रिंग सिद्धांत को पहले बढ़ाया गया था। गुरुत्वाकर्षण का विस्तार कचाज़ो और स्किनर द्वारा दिया गया था,<ref>{{Cite journal|last1=Cachazo|first1=Freddy|last2=Skinner|first2=David|date=2013-04-16|title=ट्विस्टर स्पेस में रैशनल कर्व्स से ग्रेविटी|journal=Physical Review Letters|volume=110|issue=16|pages=161301|doi=10.1103/PhysRevLett.110.161301|pmid=23679592|bibcode=2013PhRvL.110p1301C|arxiv=1207.0741|s2cid=7452729}}</ref> और डेविड स्किनर द्वारा [[ अधिकतम सुपरग्रेविटी ]] के लिए ट्विस्टर स्ट्रिंग थ्योरी के रूप में तैयार किया गया।<ref>{{cite arXiv|last=Skinner|first=David|date=2013-01-04|title=Twistor Strings for N=8 Supergravity|eprint=1301.0868|class=hep-th}}</ref> यांग-मिल्स सिद्धांत और गुरुत्वाकर्षण के लिए काचाज़ो, हे और युआन द्वारा सभी आयामों में अनुरूप सूत्र पाए गए।<ref>{{Cite journal|last1=Cachazo|first1=Freddy|last2=He|first2=Song|last3=Yuan|first3=Ellis Ye|date=2014-07-01|title=Scattering of massless particles: scalars, gluons and gravitons|journal=Journal of High Energy Physics|language=en|volume=2014|issue=7|pages=33|doi=10.1007/JHEP07(2014)033|issn=1029-8479|bibcode=2014JHEP...07..033C|arxiv=1309.0885|s2cid=53685436}}</ref> और बाद में कई अन्य सिद्धांतों के लिए।<ref>{{Cite journal|last1=Cachazo|first1=Freddy|last2=He|first2=Song|last3=Yuan|first3=Ellis Ye|date=2015-07-01|title=Scattering equations and matrices: from Einstein to Yang–Mills, DBI and NLSM|journal=Journal of High Energy Physics|language=en|volume=2015|issue=7|pages=149|doi=10.1007/JHEP07(2015)149|issn=1029-8479|bibcode=2015JHEP...07..149C|arxiv=1412.3479|s2cid=54062406}}</ref> तब उन्हें मेसन एंड स्किनर द्वारा एम्बिटविस्टर स्पेस में स्ट्रिंग थ्योरी के रूप में समझा गया<ref>{{Cite journal|last1=Mason|first1=Lionel|last2=Skinner|first2=David|date=2014-07-01|title=एम्बिटविस्टर स्ट्रिंग्स और स्कैटरिंग इक्वेशन|journal=Journal of High Energy Physics|language=en|volume=2014|issue=7|pages=48|doi=10.1007/JHEP07(2014)048|issn=1029-8479|bibcode=2014JHEP...07..048M|arxiv=1311.2564|s2cid=53666173}}</ref> एक सामान्य ढांचे में जिसमें मूल ट्विस्टर स्ट्रिंग शामिल है और कई नए मॉडल और सूत्र देने के लिए विस्तारित है।<ref>{{Cite journal|last=Berkovits|first=Nathan|date=2014-03-01|title=शुद्ध स्पिनर सुपरस्ट्रिंग की अनंत तनाव सीमा|journal=Journal of High Energy Physics|language=en|volume=2014|issue=3|pages=17|doi=10.1007/JHEP03(2014)017|issn=1029-8479|bibcode=2014JHEP...03..017B|arxiv=1311.4156|s2cid=28346354}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Geyer|first1=Yvonne|last2=Lipstein|first2=Arthur E.|last3=Mason|first3=Lionel|date=2014-08-19|title=एम्बिटविस्टर स्ट्रिंग्स इन फोर डायमेंशन्स|journal=Physical Review Letters|volume=113|issue=8|pages=081602|doi=10.1103/PhysRevLett.113.081602|pmid=25192087|bibcode=2014PhRvL.113h1602G|arxiv=1404.6219|s2cid=40855791}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Casali|first1=Eduardo|last2=Geyer|first2=Yvonne|last3=Mason|first3=Lionel|last4=Monteiro|first4=Ricardo|last5=Roehrig|first5=Kai A.|date=2015-11-01|title=नई महत्वाकांक्षी स्ट्रिंग सिद्धांत|journal=Journal of High Energy Physics|language=en|volume=2015|issue=11|pages=38|doi=10.1007/JHEP11(2015)038|issn=1029-8479|bibcode=2015JHEP...11..038C|arxiv=1506.08771|s2cid=118801547}}</ref> स्ट्रिंग सिद्धांतों के रूप में उनके पारंपरिक स्ट्रिंग सिद्धांत के समान [[महत्वपूर्ण आयाम]] हैं; उदाहरण के लिए [[टाइप II स्ट्रिंग थ्योरी]] सुपरसिमेट्रिक संस्करण दस आयामों में महत्वपूर्ण हैं और दस आयामों में टाइप II सुपरग्रेविटी के पूर्ण क्षेत्र सिद्धांत के बराबर हैं (यह पारंपरिक स्ट्रिंग सिद्धांतों से अलग है जिसमें बड़े पैमाने पर उच्च स्पिन राज्यों का एक और अनंत पदानुक्रम है जो एक [[पराबैंगनी पूर्णता]] प्रदान करें)। वे लूप एम्पलीट्यूड के लिए सूत्र देने के लिए विस्तारित होते हैं<ref>{{Cite journal|last1=Adamo|first1=Tim|last2=Casali|first2=Eduardo|last3=Skinner|first3=David|date=2014-04-01|title=एम्बिटविस्टर स्ट्रिंग्स और स्कैटरिंग इक्वेशन एक लूप पर|journal=Journal of High Energy Physics|language=en|volume=2014|issue=4|pages=104|doi=10.1007/JHEP04(2014)104|issn=1029-8479|bibcode=2014JHEP...04..104A|arxiv=1312.3828|s2cid=119194796}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Geyer|first1=Yvonne|last2=Mason|first2=Lionel|last3=Monteiro|first3=Ricardo|last4=Tourkine|first4=Piotr|date=2015-09-16|title=रीमैन स्फीयर से स्कैटरिंग एम्प्लिट्यूड्स के लिए लूप इंटीग्रैंड्स|journal=Physical Review Letters|volume=115|issue=12|pages=121603|doi=10.1103/PhysRevLett.115.121603|pmid=26430983|bibcode=2015PhRvL.115l1603G|arxiv=1507.00321|s2cid=36625491}}</ref> और घुमावदार पृष्ठभूमि पर परिभाषित किया जा सकता है।<ref>{{Cite journal|last1=Adamo|first1=Tim|last2=Casali|first2=Eduardo|last3=Skinner|first3=David|date=2015-02-01|title=सुपरग्रेविटी के लिए एक वर्ल्डशीट सिद्धांत|journal=Journal of High Energy Physics|language=en|volume=2015|issue=2|pages=116|doi=10.1007/JHEP02(2015)116|issn=1029-8479|bibcode=2015JHEP...02..116A|arxiv=1409.5656|s2cid=119234027}}</ref>




== ट्विस्टर पत्राचार ==
== ट्विस्टर पत्राचार ==
द्वारा मिन्कोवस्की स्थान को निरूपित करें <math>M</math>, निर्देशांक के साथ <math>x^a = (t, x, y, z)</math> और लोरेंत्ज़ियन मीट्रिक <math>\eta_{ab}</math> हस्ताक्षर <math>(1, 3)</math>. 2-घटक स्पिनर सूचकांकों का परिचय दें <math>A = 0, 1;\; A' = 0', 1',</math> और सेट करें
द्वारा मिन्कोवस्की स्थान को निरूपित करें <math>M</math>, निर्देशांक के साथ <math>x^a = (t, x, y, z)</math> और लोरेंत्ज़ियन मीट्रिक <math>\eta_{ab}</math> हस्ताक्षर <math>(1, 3)</math>. 2-घटक स्पाइनर सूचकांकों का परिचय दें <math>A = 0, 1;\; A' = 0', 1',</math> और सेट करें


:<math>x^{AA'} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} t - z & x + iy \\ x - iy & t + z \end{pmatrix}.</math>
:<math>x^{AA'} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} t - z & x + iy \\ x - iy & t + z \end{pmatrix}.</math>
नॉन-प्रोजेक्टिव ट्विस्टर स्पेस <math>\mathbb{T}</math> द्वारा निरूपित निर्देशांक के साथ एक चार आयामी जटिल सदिश स्थान है <math>Z^{\alpha} = \left(\omega^{A},\, \pi_{A'}\right)</math> कहाँ <math>\omega^A</math> और <math>\pi_{A'}</math> दो स्थिर वेइल स्पिनर हैं। एक जटिल संयुग्मन को परिभाषित करके हर्मिटियन रूप को व्यक्त किया जा सकता है <math>\mathbb{T}</math> इसके दोहरे के लिए <math>\mathbb{T}^*</math> द्वारा <math>\bar Z_\alpha = \left(\bar\pi_A,\, \bar \omega^{A'}\right)</math> ताकि हर्मिटियन रूप को व्यक्त किया जा सके
नॉन-प्रक्षेपीय ट्विस्टर दिक् <math>\mathbb{T}</math> द्वारा निरूपित निर्देशांक के साथ एक चार आयामी जटिल सदिश स्थान है <math>Z^{\alpha} = \left(\omega^{A},\, \pi_{A'}\right)</math> कहाँ <math>\omega^A</math> और <math>\pi_{A'}</math> दो स्थिर वेइल स्पाइनर हैं। एक जटिल संयुग्मन को परिभाषित करके हर्मिटियन रूप को व्यक्त किया जा सकता है <math>\mathbb{T}</math> इसके दोहरे के लिए <math>\mathbb{T}^*</math> द्वारा <math>\bar Z_\alpha = \left(\bar\pi_A,\, \bar \omega^{A'}\right)</math> ताकि हर्मिटियन रूप को व्यक्त किया जा सके


:<math>Z^\alpha \bar Z_\alpha = \omega^{A}\bar\pi_{A} + \bar\omega^{A'}\pi_{A'}.</math>
:<math>Z^\alpha \bar Z_\alpha = \omega^{A}\bar\pi_{A} + \bar\omega^{A'}\pi_{A'}.</math>
यह एक साथ होलोमोर्फिक वॉल्यूम फॉर्म के साथ, <math>\varepsilon_{\alpha\beta\gamma\delta} Z^\alpha dZ^\beta \wedge dZ^\gamma \wedge dZ^\delta</math> समूह एसयू (2,2) के तहत अपरिवर्तनीय है, कॉम्पैक्ट मिंकोव्स्की स्पेसटाइम के अनुरूप समूह सी (1,3) का चौगुना कवर।
यह एक साथ होलोमोर्फिक वॉल्यूम फॉर्म के साथ, <math>\varepsilon_{\alpha\beta\gamma\delta} Z^\alpha dZ^\beta \wedge dZ^\gamma \wedge dZ^\delta</math> समूह एसयू (2,2) के तहत अपरिवर्तनीय है, कॉम्पैक्ट मिंकोव्स्की दिक्समय के अनुरूप समूह सी (1,3) का चौगुना कवर।


घटना संबंध के माध्यम से मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में अंक ट्विस्टर अंतरिक्ष के उप-स्थानों से संबंधित हैं
घटना संबंध के माध्यम से मिन्कोव्स्की स्थल में अंक ट्विस्टर स्थल के उप-स्थानों से संबंधित हैं


:<math>\omega^{A} = ix^{AA'}\pi_{A'}.</math>
:<math>\omega^{A} = ix^{AA'}\pi_{A'}.</math>
घटना संबंध को ट्विस्टर के समग्र पुन: स्केलिंग के तहत संरक्षित किया जाता है, इसलिए आमतौर पर प्रोजेक्टिव ट्विस्टर स्पेस में काम करता है <math>\mathbb{PT},</math> जो एक जटिल मैनिफोल्ड के रूप में आइसोमॉर्फिक है <math>\mathbb{CP}^3</math>. एक बिंदु <math>x\in M</math> इस प्रकार एक रेखा निर्धारित करता है <math>\mathbb{CP}^1</math> में <math>\mathbb{PT}</math> द्वारा पैरामीट्रिज्ड <math>\pi_{A'}.</math> और एक भांजनेवाला <math>Z^\alpha</math> निर्देशांक के जटिल मूल्यों के लिए अंतरिक्ष-समय में सबसे आसान समझा जाता है जहां यह पूरी तरह से शून्य दो-विमान को परिभाषित करता है जो स्व-द्वैत है। लेना <math>x</math> असली होना, तो अगर <math>Z^\alpha \bar Z_\alpha</math> गायब हो जाता है, फिर <math>x</math> एक प्रकाश किरण पर स्थित है, जबकि यदि <math>Z^\alpha \bar Z_\alpha</math> कभी न मिटने वाला है, कोई समाधान नहीं है, और वास्तव में तब <math>Z^{\alpha}</math> स्पिन के साथ द्रव्यमान रहित कण से मेल खाता है जो वास्तविक अंतरिक्ष-समय में स्थानीयकृत नहीं है।
घटना संबंध को ट्विस्टर के समग्र पुन: स्केलिंग के तहत संरक्षित किया जाता है, इसलिए आमतौर पर प्रक्षेपीय ट्विस्टर दिक् में काम करता है <math>\mathbb{PT},</math> जो एक जटिल मैनिफोल्ड के रूप में आइसोमॉर्फिक है <math>\mathbb{CP}^3</math>. एक बिंदु <math>x\in M</math> इस प्रकार एक रेखा निर्धारित करता है <math>\mathbb{CP}^1</math> में <math>\mathbb{PT}</math> द्वारा पैरामीट्रिज्ड <math>\pi_{A'}.</math> और एक भांजनेवाला <math>Z^\alpha</math> निर्देशांक के जटिल मूल्यों के लिए स्थल-समय में सबसे आसान समझा जाता है जहां यह पूरी तरह से शून्य दो-विमान को परिभाषित करता है जो स्व-द्वैत है। लेना <math>x</math> असली होना, तो अगर <math>Z^\alpha \bar Z_\alpha</math> गायब हो जाता है, फिर <math>x</math> एक प्रकाश किरण पर स्थित है, जबकि यदि <math>Z^\alpha \bar Z_\alpha</math> कभी न मिटने वाला है, कोई समाधान नहीं है, और वास्तव में तब <math>Z^{\alpha}</math> स्पाइन के साथ द्रव्यमान रहित कण से मेल खाता है जो वास्तविक स्थल-समय में स्थानीयकृत नहीं है।


== विविधताएं<!--'History of twistor theory' redirects here-->==
== विविधताएं<!--'History of twistor theory' redirects here-->==
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=== सुपरट्विस्टर्स ===
=== सुपरट्विस्टर्स ===


सुपरट्विस्टर्स 1978 में एलन फेरबर द्वारा पेश किए गए ट्विस्टर्स का [[सुपरसिमेट्री]] एक्सटेंशन हैं।<ref>{{Citation|bibcode=1978NuPhB.132...55F|doi = 10.1016/0550-3213(78)90257-2|title=Supertwistors and conformal supersymmetry|year=1978|last1=Ferber|first1=A.|journal=Nuclear Physics B|volume=132|issue = 1|pages=55–64|postscript=. }}</ref> नॉन-प्रोजेक्टिव ट्विस्टर स्पेस को [[फर्मियन]] कोऑर्डिनेट द्वारा बढ़ाया जाता है <math>\mathcal{N}</math> विस्तारित सुपरसममेट्री है जिससे अब एक ट्विस्टर दिया जाता है <math>\left(\omega^A,\, \pi_{A'},\, \eta^i\right), i = 1, \ldots, \mathcal{N}</math> साथ <math>\eta^i</math> एंटीकम्यूटिंग। सुपर कंफर्मल ग्रुप <math>SU(2,2|\mathcal{N})</math> स्वाभाविक रूप से इस स्थान पर कार्य करता है और पेनरोज़ ट्रांसफ़ॉर्म का एक सुपरसिमेट्रिक संस्करण सुपर मिंकॉस्की स्पेस पर बड़े पैमाने पर सुपरसिमेट्रिक मल्टीप्लेट्स के लिए सुपरटविस्टर स्पेस पर कोहोलॉजी कक्षाएं लेता है। <math>\mathcal{N} = 4</math> h> केस पेनरोज़ के मूल ट्विस्टर स्ट्रिंग के लिए लक्ष्य प्रदान करता है और <math>\mathcal{N} = 8</math> मामला यह है कि स्किनर के सुपरग्रेविटी सामान्यीकरण के लिए।
सुपरट्विस्टर्स 1978 में एलन फेरबर द्वारा पेश किए गए ट्विस्टर्स का [[सुपरसिमेट्री]] एक्सटेंशन हैं।<ref>{{Citation|bibcode=1978NuPhB.132...55F|doi = 10.1016/0550-3213(78)90257-2|title=Supertwistors and conformal supersymmetry|year=1978|last1=Ferber|first1=A.|journal=Nuclear Physics B|volume=132|issue = 1|pages=55–64|postscript=. }}</ref> नॉन-प्रक्षेपीय ट्विस्टर दिक् को [[फर्मियन]] कोऑर्डिनेट द्वारा बढ़ाया जाता है <math>\mathcal{N}</math> विस्तारित सुपरसममेट्री है जिससे अब एक ट्विस्टर दिया जाता है <math>\left(\omega^A,\, \pi_{A'},\, \eta^i\right), i = 1, \ldots, \mathcal{N}</math> साथ <math>\eta^i</math> एंटीकम्यूटिंग। सुपर कंफर्मल ग्रुप <math>SU(2,2|\mathcal{N})</math> स्वाभाविक रूप से इस स्थान पर कार्य करता है और पेनरोज़ ट्रांसफ़ॉर्म का एक सुपरसिमेट्रिक संस्करण सुपर मिंकॉस्की दिक् पर बड़े पैमाने पर सुपरसिमेट्रिक मल्टीप्लेट्स के लिए सुपरटविस्टर दिक् पर कोहोलॉजी कक्षाएं लेता है। <math>\mathcal{N} = 4</math> h> केस पेनरोज़ के मूल ट्विस्टर स्ट्रिंग के लिए लक्ष्य प्रदान करता है और <math>\mathcal{N} = 8</math> मामला यह है कि स्किनर के सुपरग्रेविटी सामान्यीकरण के लिए।


=== हाइपरकैहलर कई गुना ===
=== हाइपरकैहलर कई गुना ===
हाइपरकाहलर कई गुना आयाम <math>4k</math> जटिल आयाम के ट्विस्टर स्पेस के साथ ट्विस्टर पत्राचार भी स्वीकार करें <math>2k+1</math>.<ref>{{cite journal|last4=Roček | first4=M. | last3=Lindström | first3=U. | last2=Karlhede | first2=A. | last1=Hitchin | first1=N. J. | title=Hyper-Kähler metrics and supersymmetry | url=https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.cmp/1104116624 |mr=877637 | year=1987 | journal=Communications in Mathematical Physics | issn=0010-3616 | volume=108 | issue=4 | pages=535–589 | doi=10.1007/BF01214418| bibcode=1987CMaPh.108..535H | s2cid=120041594 }}</ref>
हाइपरकाहलर कई गुना आयाम <math>4k</math> जटिल आयाम के ट्विस्टर दिक् के साथ ट्विस्टर पत्राचार भी स्वीकार करें <math>2k+1</math>.<ref>{{cite journal|last4=Roček | first4=M. | last3=Lindström | first3=U. | last2=Karlhede | first2=A. | last1=Hitchin | first1=N. J. | title=Hyper-Kähler metrics and supersymmetry | url=https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.cmp/1104116624 |mr=877637 | year=1987 | journal=Communications in Mathematical Physics | issn=0010-3616 | volume=108 | issue=4 | pages=535–589 | doi=10.1007/BF01214418| bibcode=1987CMaPh.108..535H | s2cid=120041594 }}</ref>




=== महलनुमा ट्विस्टर सिद्धांत<!--'Googly problem' and 'Palatial twistor theory' redirect here-->===
=== महलनुमा ट्विस्टर सिद्धांत<!--'Googly problem' and 'Palatial twistor theory' redirect here-->===
नॉनलाइनियर ग्रेविटॉन कंस्ट्रक्शन केवल एंटी-सेल्फ-डुअल यानी बाएं हाथ के फील्ड को एनकोड करता है।<ref name="Penrose1976"/>एक सामान्य गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र को सांकेतिक शब्दों में बदलने के लिए ट्विस्टर स्पेस को संशोधित करने की समस्या की दिशा में पहला कदम चिरलिटी (भौतिकी) का एन्कोडिंग है। दाएं हाथ के क्षेत्र। असीम रूप से, ये सजातीय फ़ंक्शन -6 के ट्विस्टर फ़ंक्शंस या [[सह-समरूपता]] कक्षाओं में एन्कोड किए गए हैं। इस तरह के ट्विस्टर कार्यों का उपयोग पूरी तरह से गैर-रैखिक तरीके से करने का कार्य ताकि [[हेलिसिटी (कण भौतिकी)]] प्राप्त किया जा सके। [[क्रिकेट]] के खेल में दाएं हाथ से फेंकी गई गेंद के लिए प्रयोग किया जाता है, जिसमें स्पष्ट क्रिया का उपयोग किया जाता है जो आमतौर पर बाएं हाथ के हेलीकॉप्टर को जन्म देता है)।<ref name=Penrose1000>Penrose 2004, p. 1000.</ref> 2015 में पेनरोज़ द्वारा इस दिशा में सबसे हालिया प्रस्ताव ट्विस्टर स्पेस पर गैर-अनुवर्ती ज्यामिति पर आधारित था और इसे पैलेटियल ट्विस्टर सिद्धांत के रूप में संदर्भित किया गया था।<!--boldface per WP:R#PLA-->.<ref>{{Cite journal|doi=10.1098/rsta.2014.0237|title=महलनुमा ट्विस्टर सिद्धांत और ट्विस्टर गुगली समस्या|year=2015|last1=Penrose|first1=Roger|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences|volume=373|issue=2047|pmid=26124255|s2cid=13038470|page=20140237|bibcode=2015RSPTA.37340237P |doi-access=free}}</ref> सिद्धांत का नाम [[ बकिंघम महल ]] के नाम पर रखा गया है, जहां [[माइकल अतियाह]] ने पेनरोज़ को एक प्रकार के गैर-अनुवर्ती बीजगणित के उपयोग का सुझाव दिया था, जो सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण घटक है (पैलेटियल ट्विस्टर सिद्धांत में अंतर्निहित ट्विस्टर संरचना को ट्विस्टर स्पेस पर नहीं बल्कि गैर-पर आधारित मॉडल किया गया था। कम्यूटेटिव होलोमॉर्फिक ट्विस्टर [[ क्वांटम समूह ]])।<ref>[https://www.quantamagazine.org/20160303-michael-atiyahs-mathematical-dreams/ "Michael Atiyah's Imaginative State of Mind"] – ''[[Quanta Magazine]]''.</ref>
नॉनलाइनियर ग्रेविटॉन कंस्ट्रक्शन केवल एंटी-सेल्फ-डुअल यानी बाएं हाथ के फील्ड को एनकोड करता है।<ref name="Penrose1976"/>एक सामान्य गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र को सांकेतिक शब्दों में बदलने के लिए ट्विस्टर दिक् को संशोधित करने की समस्या की दिशा में पहला कदम चिरलिटी (भौतिकी) का एन्कोडिंग है। दाएं हाथ के क्षेत्र। असीम रूप से, ये सजातीय फ़ंक्शन -6 के ट्विस्टर फ़ंक्शंस या [[सह-समरूपता]] कक्षाओं में एन्कोड किए गए हैं। इस तरह के ट्विस्टर कार्यों का उपयोग पूरी तरह से गैर-रैखिक तरीके से करने का कार्य ताकि [[हेलिसिटी (कण भौतिकी)]] प्राप्त किया जा सके। [[क्रिकेट]] के खेल में दाएं हाथ से फेंकी गई गेंद के लिए प्रयोग किया जाता है, जिसमें स्पष्ट क्रिया का उपयोग किया जाता है जो आमतौर पर बाएं हाथ के हेलीकॉप्टर को जन्म देता है)।<ref name=Penrose1000>Penrose 2004, p. 1000.</ref> 2015 में पेनरोज़ द्वारा इस दिशा में सबसे हालिया प्रस्ताव ट्विस्टर दिक् पर गैर-अनुवर्ती ज्यामिति पर आधारित था और इसे पैलेटियल ट्विस्टर सिद्धांत के रूप में संदर्भित किया गया था।<!--boldface per WP:R#PLA-->.<ref>{{Cite journal|doi=10.1098/rsta.2014.0237|title=महलनुमा ट्विस्टर सिद्धांत और ट्विस्टर गुगली समस्या|year=2015|last1=Penrose|first1=Roger|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences|volume=373|issue=2047|pmid=26124255|s2cid=13038470|page=20140237|bibcode=2015RSPTA.37340237P |doi-access=free}}</ref> सिद्धांत का नाम [[ बकिंघम महल ]] के नाम पर रखा गया है, जहां [[माइकल अतियाह]] ने पेनरोज़ को एक प्रकार के गैर-अनुवर्ती बीजगणित के उपयोग का सुझाव दिया था, जो सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण घटक है (पैलेटियल ट्विस्टर सिद्धांत में अंतर्निहित ट्विस्टर संरचना को ट्विस्टर दिक् पर नहीं बल्कि गैर-पर आधारित मॉडल किया गया था। कम्यूटेटिव होलोमॉर्फिक ट्विस्टर [[ क्वांटम समूह | परिमाण समूह]] )।<ref>[https://www.quantamagazine.org/20160303-michael-atiyahs-mathematical-dreams/ "Michael Atiyah's Imaginative State of Mind"] – ''[[Quanta Magazine]]''.</ref>




== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* [[पृष्ठभूमि स्वतंत्रता]]
* [[पृष्ठभूमि स्वतंत्रता]]
* [[जटिल स्पेसटाइम]]
* [[जटिल स्पेसटाइम|जटिल दिक्समय]]
* [[लूप क्वांटम ग्रेविटी का इतिहास]]
* [[लूप क्वांटम ग्रेविटी का इतिहास|लूप परिमाण ग्रेविटी का इतिहास]]
* [[रॉबिन्सन समरूपता]]
* [[रॉबिन्सन समरूपता]]
* [[स्पिन नेटवर्क]]
* [[स्पिन नेटवर्क|स्पाइन नेटवर्क]]


==टिप्पणियाँ==
==टिप्पणियाँ==
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==संदर्भ==
==संदर्भ==
* [[Roger Penrose]] (2004), ''[[The Road to Reality]]'', Alfred A. Knopf, ch. 33, pp. 958–1009.
* [[Roger Penrose]] (2004), ''[[The Road to Reality]]'', Alfred A. Knopf, ch. 33, pp. 958–1009.
* Roger Penrose and [[Wolfgang Rindler]] (1984), ''Spinors and Space-Time; vol. 1, Two-Spinor Calculus and Relativitic Fields'', Cambridge University Press, Cambridge.
* Roger Penrose and [[Wolfgang Rindler]] (1984), ''स्पाइनरs and Space-Time; vol. 1, Two-स्पाइनर Calculus and Relativitic Fields'', Cambridge University Press, Cambridge.
* Roger Penrose and Wolfgang Rindler (1986), ''Spinors and Space-Time; vol. 2, Spinor and Twistor Methods in Space-Time Geometry'', Cambridge University Press, Cambridge.
* Roger Penrose and Wolfgang Rindler (1986), ''स्पाइनरs and Space-Time; vol. 2, स्पाइनर and Twistor Methods in Space-Time Geometry'', Cambridge University Press, Cambridge.




Revision as of 00:28, 23 April 2023

सैद्धांतिक भौतिकी में, 1967 में रोजर पेनरोज़ द्वारा ट्विस्टर सिद्धांत [1] परिमाण गुरुत्व के संभावित पथ [2] के रूप में प्रस्तावित किया गया था और सैद्धांतिक और गणितीय भौतिकी की व्यापक रूप से अध्ययन की गई शाखा में विकसित हुआ है। पेनरोज़ का विचार था कि ट्विस्टर दिक् भौतिकी के लिए बुनियादी क्षेत्र होना चाहिए जिससे दिक्-समय स्वयं प्रकट होना चाहिए। इसने शक्तिशाली गणितीय उपकरण का नेतृत्व किया है जिसमें विभेदक ज्यामिति और अभिन्न ज्यामिति, गैर रेखीय अंतर समीकरण और प्रतिनिधित्व सिद्धांत, और भौतिक विज्ञान में सामान्य सापेक्षता, परिमाण क्षेत्र सिद्धांत और प्रकीर्णन दैर्ध्य के सिद्धांत के लिए अनुप्रयोग हैं। 1950 के दशक के अंत में और 1960 के दशक में आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत में तीव्रता से बढ़ते गणितीय विकास के संदर्भ में ट्विस्टर सिद्धांत उत्पन्न हुआ और उस अवधि से कई प्रभाव वहन करता है। विशेष रूप से, रोजर पेनरोज़ ने इवोर रॉबिन्सन (भौतिक विज्ञानी) को तथाकथित रॉबिन्सन सर्वांगसमताओं के अपने निर्माण के माध्यम से ट्विस्टर सिद्धांत के विकास में एक महत्वपूर्ण प्रारंभिक प्रभाव के रूप में श्रेय दिया है।[1]


समीक्षा

गणितीय रूप से, प्रक्षेपीय दिक् ट्विस्टर एक 3-आयामी जटिल बहुविध, प्रक्षेपीय 3-दिक् है। इसमें प्रचक्रण (भौतिकी) के साथ द्रव्यमान रहित कणों के स्थान की भौतिक व्याख्या है। यह एक 4-आयामी जटिल सदिश स्थल, गैर-प्रक्षेपीय ट्विस्टर दिक् का प्रक्षेपण है। मापीय हस्ताक्षर (2,2) के हर्मिटियन रूप और पूर्णसममितिक आयतन स्वरुप के साथ है। यह सबसे स्वाभाविक रूप से अनुरूप समूह के लिए चिरलिटी (भौतिकी) ([[वेइल स्पाइनर]]) के स्थान के रूप में समझा जा सकता है मिन्कोवस्की स्थल की; यह स्पाइन समूह का मौलिक प्रतिनिधित्व है अनुरूप समूह का। इस परिभाषा को मनमाना आयामों तक बढ़ाया जा सकता है, सिवाय इसके कि आयाम चार से परे, एक प्रक्षेपीय ट्विस्टर दिक् को अनुरूप समूह के लिए प्रक्षेपीय शुद्ध स्पाइनरों की जगह के रूप में परिभाषित करता है।[2][3]

अपने मूल रूप में, ट्विस्टर सिद्धांत मिन्कोस्की स्थल पर भौतिक क्षेत्रों को पेनरोज़ रूपांतरण के माध्यम से ट्विस्टर दिक् पर जटिल विश्लेषणात्मक वस्तुओं में कूटलेखन करता है। यह मनमाना स्पाइन (भौतिकी) के मासलेस कण के लिए विशेष रूप से स्वाभाविक है। पहले उदाहरण में ये ट्विस्टर दिक् में क्षेत्रों पर मुक्त होलोमोर्फिक कार्यों के संदर्भ में समोच्च अभिन्न सूत्रों के माध्यम से प्राप्त किए जाते हैं। द्रव्यमान रहित क्षेत्र समीकरणों के समाधान को जन्म देने वाले होलोमॉर्फिक ट्विस्टर फ़ंक्शंस को चेक कोहोलॉजी कक्षाएं रूप में अधिक गहराई से समझा जा सकता है। . इन पत्राचारों को कुछ अरैखिक क्षेत्रों तक विस्तारित किया गया है, जिसमें पेनरोज़ के आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों में स्व-दोहरी गुरुत्व शामिल है#गैररैखिकता गुरुत्वाकर्षण निर्माण[4] और तथाकथित वार्ड निर्माण में स्व-दोहरी यांग-मिल्स क्षेत्र;[5] पूर्व में क्षेत्रों की अंतर्निहित जटिल संरचना के विरूपण (गणित) को जन्म देता है , और बाद वाले क्षेत्रों में कुछ होलोमोर्फिक सदिश बंडलों के लिए . इन निर्माणों में व्यापक अनुप्रयोग हैं, जिनमें अन्य बातों के साथ-साथ एकीकृत प्रणाली का सिद्धांत भी शामिल है।[6][7][8]

स्व-द्वैत की स्थिति भौतिक सिद्धांतों की पूर्ण गैर-रैखिकताओं को शामिल करने के लिए एक प्रमुख सीमा है, हालांकि यह यांग-मिल्स-हिग्स समीकरणों के लिए पर्याप्त है। यांग-मिल्स-हिग्स चुंबकीय मोनोपोल और एक पल ्स (एडीएचएम निर्माण देखें)।[9] इस प्रतिबंध को दूर करने का एक प्रारंभिक प्रयास एडवर्ड विटन द्वारा महत्वाकांक्षाओं का परिचय था[10] और इसेनबर्ग, यास्किन और ग्रीन द्वारा।[11] एम्बिटविस्टर दिक् जटिल प्रकाश किरणों या द्रव्यमान रहित कणों का स्थान है और इसे मूल ट्विस्टर विवरण के एक जटिल या कोटेंगेंट बंडल के रूप में माना जा सकता है। ये सामान्य क्षेत्रों पर लागू होते हैं लेकिन क्षेत्र समीकरण अब इतनी आसानी से व्यक्त नहीं किए जाते हैं।

स्व-द्वैत क्षेत्र से परे मौलिक अंतःक्रिया के लिए ट्विस्टोरियल सूत्र सबसे पहले विटन के ट्विस्टर स्ट्रिंग सिद्धांत से उत्पन्न हुए।[12] यह रिमेंन सतह के होलोमोर्फिक मानचित्रों का ट्विस्टर दिक् में परिमाण सिद्धांत है। इसने यांग-मिल्स सिद्धांतों के ट्री-लेवल एस-मैट्रिसेस के लिए उल्लेखनीय रूप से कॉम्पैक्ट आरएसवी (रोइबन, स्प्रेडलिन और वोलोविच) फॉर्मूले को जन्म दिया,[13] लेकिन इसकी गुरुत्वाकर्षण की स्वतंत्रता की डिग्री ने इसके प्रयोज्यता को सीमित करने वाले अनुरूप अतिगुरुत्वाकर्षण के एक संस्करण को जन्म दिया; अनुरूप गुरुत्व एक अभौतिक सिद्धांत है जिसमें भूत (भौतिकी) शामिल है, लेकिन इसकी बातचीत ट्विस्टर स्ट्रिंग सिद्धांत के माध्यम से गणना की गई लूप एम्पलीट्यूड में यांग-मिल्स सिद्धांत के साथ मिलती है।[14] इसकी कमियों के बावजूद, ट्विस्टर स्ट्रिंग सिद्धांत ने बिखरने वाले आयामों के अध्ययन में तेजी से विकास किया। एक तथाकथित एमएचवी औपचारिकतावाद था[15] शिथिल डिस्कनेक्टेड स्ट्रिंग्स पर आधारित है, लेकिन ट्विस्टर दिक् में पूर्ण यांग-मिल्स सिद्धांत के लिए ट्विस्टर एक्शन के संदर्भ में अधिक बुनियादी आधार दिया गया था।[16] एक अन्य महत्वपूर्ण विकास बीसीएफडब्ल्यू रिकर्सन की शुरूआत थी।[17] ट्विस्टर दिक् में इसका प्राकृतिक फॉर्मूलेशन है[18][19] बदले में ग्रासमैन इंटीग्रल फ़ार्मुलों के संदर्भ में बिखरने वाले आयामों के उल्लेखनीय योगों का नेतृत्व किया[20][21] और polytope ्स।[22] ये विचार हाल ही में सकारात्मक ग्रासमानियन में विकसित हुए हैं[23] और आयाम।

आरएसवी यांग-मिल्स आयाम सूत्र को सामान्य करके और फिर अंतर्निहित स्ट्रिंग सिद्धांत को खोजकर ट्विस्टर स्ट्रिंग सिद्धांत को पहले बढ़ाया गया था। गुरुत्वाकर्षण का विस्तार कचाज़ो और स्किनर द्वारा दिया गया था,[24] और डेविड स्किनर द्वारा अधिकतम सुपरग्रेविटी के लिए ट्विस्टर स्ट्रिंग सिद्धांत के रूप में तैयार किया गया।[25] यांग-मिल्स सिद्धांत और गुरुत्वाकर्षण के लिए काचाज़ो, हे और युआन द्वारा सभी आयामों में अनुरूप सूत्र पाए गए।[26] और बाद में कई अन्य सिद्धांतों के लिए।[27] तब उन्हें मेसन एंड स्किनर द्वारा एम्बिटविस्टर दिक् में स्ट्रिंग सिद्धांत के रूप में समझा गया[28] एक सामान्य ढांचे में जिसमें मूल ट्विस्टर स्ट्रिंग शामिल है और कई नए मॉडल और सूत्र देने के लिए विस्तारित है।[29][30][31] स्ट्रिंग सिद्धांतों के रूप में उनके पारंपरिक स्ट्रिंग सिद्धांत के समान महत्वपूर्ण आयाम हैं; उदाहरण के लिए टाइप II स्ट्रिंग सिद्धांत सुपरसिमेट्रिक संस्करण दस आयामों में महत्वपूर्ण हैं और दस आयामों में टाइप II सुपरग्रेविटी के पूर्ण क्षेत्र सिद्धांत के बराबर हैं (यह पारंपरिक स्ट्रिंग सिद्धांतों से अलग है जिसमें बड़े पैमाने पर उच्च स्पाइन राज्यों का एक और अनंत पदानुक्रम है जो एक पराबैंगनी पूर्णता प्रदान करें)। वे लूप एम्पलीट्यूड के लिए सूत्र देने के लिए विस्तारित होते हैं[32][33] और घुमावदार पृष्ठभूमि पर परिभाषित किया जा सकता है।[34]


ट्विस्टर पत्राचार

द्वारा मिन्कोवस्की स्थान को निरूपित करें , निर्देशांक के साथ और लोरेंत्ज़ियन मीट्रिक हस्ताक्षर . 2-घटक स्पाइनर सूचकांकों का परिचय दें और सेट करें

नॉन-प्रक्षेपीय ट्विस्टर दिक् द्वारा निरूपित निर्देशांक के साथ एक चार आयामी जटिल सदिश स्थान है कहाँ और दो स्थिर वेइल स्पाइनर हैं। एक जटिल संयुग्मन को परिभाषित करके हर्मिटियन रूप को व्यक्त किया जा सकता है इसके दोहरे के लिए द्वारा ताकि हर्मिटियन रूप को व्यक्त किया जा सके

यह एक साथ होलोमोर्फिक वॉल्यूम फॉर्म के साथ, समूह एसयू (2,2) के तहत अपरिवर्तनीय है, कॉम्पैक्ट मिंकोव्स्की दिक्समय के अनुरूप समूह सी (1,3) का चौगुना कवर।

घटना संबंध के माध्यम से मिन्कोव्स्की स्थल में अंक ट्विस्टर स्थल के उप-स्थानों से संबंधित हैं

घटना संबंध को ट्विस्टर के समग्र पुन: स्केलिंग के तहत संरक्षित किया जाता है, इसलिए आमतौर पर प्रक्षेपीय ट्विस्टर दिक् में काम करता है जो एक जटिल मैनिफोल्ड के रूप में आइसोमॉर्फिक है . एक बिंदु इस प्रकार एक रेखा निर्धारित करता है में द्वारा पैरामीट्रिज्ड और एक भांजनेवाला निर्देशांक के जटिल मूल्यों के लिए स्थल-समय में सबसे आसान समझा जाता है जहां यह पूरी तरह से शून्य दो-विमान को परिभाषित करता है जो स्व-द्वैत है। लेना असली होना, तो अगर गायब हो जाता है, फिर एक प्रकाश किरण पर स्थित है, जबकि यदि कभी न मिटने वाला है, कोई समाधान नहीं है, और वास्तव में तब स्पाइन के साथ द्रव्यमान रहित कण से मेल खाता है जो वास्तविक स्थल-समय में स्थानीयकृत नहीं है।

विविधताएं

सुपरट्विस्टर्स

सुपरट्विस्टर्स 1978 में एलन फेरबर द्वारा पेश किए गए ट्विस्टर्स का सुपरसिमेट्री एक्सटेंशन हैं।[35] नॉन-प्रक्षेपीय ट्विस्टर दिक् को फर्मियन कोऑर्डिनेट द्वारा बढ़ाया जाता है विस्तारित सुपरसममेट्री है जिससे अब एक ट्विस्टर दिया जाता है साथ एंटीकम्यूटिंग। सुपर कंफर्मल ग्रुप स्वाभाविक रूप से इस स्थान पर कार्य करता है और पेनरोज़ ट्रांसफ़ॉर्म का एक सुपरसिमेट्रिक संस्करण सुपर मिंकॉस्की दिक् पर बड़े पैमाने पर सुपरसिमेट्रिक मल्टीप्लेट्स के लिए सुपरटविस्टर दिक् पर कोहोलॉजी कक्षाएं लेता है। h> केस पेनरोज़ के मूल ट्विस्टर स्ट्रिंग के लिए लक्ष्य प्रदान करता है और मामला यह है कि स्किनर के सुपरग्रेविटी सामान्यीकरण के लिए।

हाइपरकैहलर कई गुना

हाइपरकाहलर कई गुना आयाम जटिल आयाम के ट्विस्टर दिक् के साथ ट्विस्टर पत्राचार भी स्वीकार करें .[36]


महलनुमा ट्विस्टर सिद्धांत

नॉनलाइनियर ग्रेविटॉन कंस्ट्रक्शन केवल एंटी-सेल्फ-डुअल यानी बाएं हाथ के फील्ड को एनकोड करता है।[4]एक सामान्य गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र को सांकेतिक शब्दों में बदलने के लिए ट्विस्टर दिक् को संशोधित करने की समस्या की दिशा में पहला कदम चिरलिटी (भौतिकी) का एन्कोडिंग है। दाएं हाथ के क्षेत्र। असीम रूप से, ये सजातीय फ़ंक्शन -6 के ट्विस्टर फ़ंक्शंस या सह-समरूपता कक्षाओं में एन्कोड किए गए हैं। इस तरह के ट्विस्टर कार्यों का उपयोग पूरी तरह से गैर-रैखिक तरीके से करने का कार्य ताकि हेलिसिटी (कण भौतिकी) प्राप्त किया जा सके। क्रिकेट के खेल में दाएं हाथ से फेंकी गई गेंद के लिए प्रयोग किया जाता है, जिसमें स्पष्ट क्रिया का उपयोग किया जाता है जो आमतौर पर बाएं हाथ के हेलीकॉप्टर को जन्म देता है)।[37] 2015 में पेनरोज़ द्वारा इस दिशा में सबसे हालिया प्रस्ताव ट्विस्टर दिक् पर गैर-अनुवर्ती ज्यामिति पर आधारित था और इसे पैलेटियल ट्विस्टर सिद्धांत के रूप में संदर्भित किया गया था।.[38] सिद्धांत का नाम बकिंघम महल के नाम पर रखा गया है, जहां माइकल अतियाह ने पेनरोज़ को एक प्रकार के गैर-अनुवर्ती बीजगणित के उपयोग का सुझाव दिया था, जो सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण घटक है (पैलेटियल ट्विस्टर सिद्धांत में अंतर्निहित ट्विस्टर संरचना को ट्विस्टर दिक् पर नहीं बल्कि गैर-पर आधारित मॉडल किया गया था। कम्यूटेटिव होलोमॉर्फिक ट्विस्टर परिमाण समूह )।[39]


यह भी देखें

टिप्पणियाँ

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संदर्भ

  • Roger Penrose (2004), The Road to Reality, Alfred A. Knopf, ch. 33, pp. 958–1009.
  • Roger Penrose and Wolfgang Rindler (1984), स्पाइनरs and Space-Time; vol. 1, Two-स्पाइनर Calculus and Relativitic Fields, Cambridge University Press, Cambridge.
  • Roger Penrose and Wolfgang Rindler (1986), स्पाइनरs and Space-Time; vol. 2, स्पाइनर and Twistor Methods in Space-Time Geometry, Cambridge University Press, Cambridge.


अग्रिम पठन


बाहरी संबंध

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