मंद विलयन

गणित में, एक साधारण अंतर समीकरण या आंशिक अंतर समीकरण के लिए एक कमजोर उपाय (जिसे सामान्यीकृत उपाय भी कहा जाता है) एक फलन (गणित) है जिसके लिए व्युत्पन्न सभी स्थित नहीं हो सकते हैं, परन्तु फिर भी कुछ यथार्थ परिभाषित अर्थों में समीकरण को संतुष्ट करने के लिए माना जाता है। कमजोर उपाय की कई अलग-अलग परिभाषाएं हैं, जो विभिन्न वर्गों के समीकरणों के लिए उपयुक्त हैं। सबसे महत्वपूर्ण में से एक वितरण (गणित) की धारणा पर आधारित है।

वितरण की भाषा से बचने के लिए, एक अंतर समीकरण के साथ प्रारंभ होता है और इसे इस प्रकार से फिर से लिखता है कि समीकरण के उपाय का कोई व्युत्पन्न दिखाई नहीं देता (नवीन रूप को कमजोर सूत्रीकरण कहा जाता है, और इसके उपाय को कमजोर उपाय कहा जाता है)। कुछ आश्चर्यजनक रूप से, एक अवकल समीकरण के ऐसे हल हो सकते हैं जो अवकलनीय फलन नहीं हैं; और कमजोर सूत्रीकरण किसी को ऐसे उपाय खोजने की अनुमति देता है।

कमजोर उपाय महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वास्तविक संसार की घटनाओं के मॉडलिंग में आने वाले कई विभेदक समीकरण पर्याप्त रूप से सहज उपायों को स्वीकार नहीं करते हैं, और ऐसे समीकरणों को हल करने का एकमात्र विधि कमजोर सूत्रीकरण का उपयोग करना है। यहां तक ​​कि उन स्थितियों में भी जहां एक समीकरण के अलग-अलग उपाय होते हैं, यह प्रायः पूर्व कमजोर उपायों के अस्तित्व को सिद्ध करने के लिए सुविधाजनक होता है और बाद में मात्र यह दिखाता है कि वे उपाय वस्तुतः अत्यधिक सहज हैं।

एक ठोस उदाहरण

अवधारणा के उदाहरण के रूप में, प्रथम-क्रम तरंग समीकरण पर विचार करें:

${\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial u}{\partial x}}=0$

(1)

जहाँ u = u(t, x) दो वास्तविक संख्या चरों का फलन है। अप्रत्यक्ष रूप से एक संभावित उपाय u के गुणों की जांच करने के लिए, इसे सघन समर्थन के यादृच्छिक रूप से सुचारू फलन $\varphi \,\!$ के विरुद्ध एकीकृत किया जाता है, जिसे

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x)\,\varphi (t,x)\,dx\,dt$

लेते हुए परीक्षण फलन के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि $\varphi$ एक बिंदु $(t,x)=(t_{\circ },x_{\circ })$ के पास केंद्रित एक सहज संभाव्यता वितरण है, तो अभिन्न लगभग $u(t_{\circ },x_{\circ })$ है। ध्यान दें कि जबकि पूर्णांकी $-\infty$ को $\infty$ से जाते हैं, वे अनिवार्य रूप से एक परिमित कक्ष पर होते हैं जहां $\varphi$ शून्य नहीं होता है।

इस प्रकार, मान लें कि एक उपाय u यूक्लिडियन स्थान 'R²' पर निरंतर अलग-अलग है, समीकरण (1) को परीक्षण फलन द्वारा $\varphi$ (सघन समर्थन के सुचारु) से गुणा करें, और एकीकृत करें:

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u(t,x)}{\partial t}}\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x+\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u(t,x)}{\partial x}}\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x=0.$

फ़ुबिनी के प्रमेय का उपयोग करना जो एक को एकीकरण के क्रम को बदलने की अनुमति देता है, साथ ही भागों द्वारा एकीकरण (पहली अवधि के लिए t में और दूसरी अवधि के लिए x में) यह समीकरण बन जाता है:

$-\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x){\frac {\partial \varphi (t,x)}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x-\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x){\frac {\partial \varphi (t,x)}{\partial x}}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x=0.$

(2)

(सीमा प्रतिबंधों लुप्त हो जाती हैं क्योंकि $\varphi$ एक परिमित कक्ष के बाहर शून्य है।) हमने दिखाया है कि समीकरण (1) का तात्पर्य समीकरण (2) से है, जब तक कि यू निरंतर अवकलनीय है।

कमजोर उपाय की अवधारणा की कुंजी यह है कि ऐसे फलन स्थित हैं जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं (2) किसी के लिए $\varphi$, परन्तु इस प्रकार आप अवकलनीय नहीं हो सकते हैं और इसलिए समीकरण को संतुष्ट नहीं कर सकते हैं (1)। एक उदाहरण u(t, x) = |t − x| है, जैसा कि क्षेत्रों x ≥ t और x ≤ t पर समाकलों को विभाजित करके जाँचा जा सकता है जहाँ u सुचारू है, और भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके उपरोक्त गणना को उल्टा कर सकता है। समीकरण का एक कमजोर उपाय (1) का अर्थ है समीकरण का कोई हल u (2) सभी परीक्षण फलनों पर $\varphi$।

सामान्य मामला

इस उदाहरण से जो सामान्य विचार आता है, वह यह है कि u में अवकल समीकरण को हल करते समय, एक परीक्षण फलन का उपयोग करके इसे फिर से लिखा जा सकता है। $\varphi$, जैसे कि यू में जो भी व्युत्पन्न समीकरण में दिखाई देते हैं, उन्हें एकीकरण के माध्यम से भागों में स्थानांतरित कर दिया जाता है $\varphi$, जिसके परिणामस्वरूप यू के व्युत्पन्न के बिना समीकरण होता है। यह नया समीकरण उन उपायों को शामिल करने के लिए मूल समीकरण का सामान्यीकरण करता है जो आवश्यक रूप से अवकलनीय नहीं हैं।

ऊपर वर्णित दृष्टिकोण महान सामान्यता में काम करता है। दरअसल, 'आर' में खुले सेट डब्ल्यू में एक रैखिक अंतर ऑपरेटर पर विचार करें^एन:

$P(x,\partial )u(x)=\sum a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\,\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}u(x),$

जहां बहु सूचकांक (α₁, ए₂, ..., ए_n) एन में कुछ परिमित सेट पर भिन्न होता हैⁿ और गुणांक $a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}$ 'आर' में एक्स के पर्याप्त चिकनी फलन हैं^एन।

विभेदक समीकरण P(x, ∂)u(x) = 0, एक सहज परीक्षण फलन द्वारा गुणा किए जाने के बाद $\varphi$ डब्ल्यू में सघन समर्थन के साथ और भागों द्वारा एकीकृत, के रूप में लिखा जाए

$\int _{W}u(x)Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0$

जहां अवकल संकारक Q(x, ∂) सूत्र द्वारा दिया गया है

$Q(x,\partial )\varphi (x)=\sum (-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}\left[a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\varphi (x)\right].$

जो नंबर

$(-1)^{|\alpha |}=(-1)^{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$

दिखाता है क्योंकि किसी को α की आवश्यकता होती है₁ + ए₂ + ⋯ + ए_n सभी आंशिक व्युत्पन्न को यू से स्थानांतरित करने के लिए भागों द्वारा एकीकरण $\varphi$ अंतर समीकरण के प्रत्येक पद में, और भागों द्वारा प्रत्येक एकीकरण में -1 से गुणन होता है।

अवकल संकारक Q(x, ∂) P(x, ∂) का 'औपचारिक संलग्न' है (संचालक का cf संलग्न)।

संक्षेप में, यदि मूल (मजबूत) समस्या एक |α|-समय अलग-अलग फलन को खोजने के लिए थी जिसे खुले सेट डब्ल्यू पर परिभाषित किया गया था जैसे कि

$P(x,\partial )u(x)=0{\text{ for all }}x\in W$

(एक तथाकथित मजबूत उपाय), तो एक पूर्णांक फलन 'यू' को एक कमजोर उपाय कहा जाएगा यदि

$\int _{W}u(x)\,Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0$

हर सुचारू फलन के लिए $\varphi$ डब्ल्यू में सघन समर्थन के साथ।

अन्य प्रकार के कमजोर उपाय

बंटन पर आधारित कमजोर उपाय की धारणा कभी-कभी अपर्याप्त होती है। अतिशयोक्तिपूर्ण प्रणालियों के मामले में, वितरण के आधार पर कमजोर उपाय की धारणा अद्वितीयता की गारंटी नहीं देती है, और एन्ट्रापी स्थितियों या कुछ अन्य चयन मानदंड के साथ इसे पूरक करना आवश्यक है। हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण जैसे पूर्ण रूप से अरैखिक पीडीई में, कमजोर उपाय की एक बहुत अलग परिभाषा है जिसे विस्कोसिटी उपाय कहा जाता है।

संदर्भ

• Evans, L. C. (1998). Partial Differential Equations. Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0772-2.