मंद विलयन

गणित में, एक साधारण अवकल समीकरण या आंशिक अवकल समीकरण के लिए एक मंद विलयन (जिसे सामान्यीकृत उपाय भी कहा जाता है) एक फलन (गणित) है जिसके लिए व्युत्पन्न सभी स्थित नहीं हो सकते हैं, परन्तु फिर भी कुछ यथार्थ परिभाषित अर्थों में समीकरण को संतुष्ट करने के लिए माना जाता है। मंद विलयन की कई अलग-अलग परिभाषाएं हैं, जो विभिन्न वर्गों के समीकरणों के लिए उपयुक्त हैं। सबसे महत्वपूर्ण में से वितरण (गणित) की धारणा पर आधारित है।

वितरण की भाषा से बचने के लिए, अवकल समीकरण के साथ प्रारंभ होते है और इसे इस प्रकार से फिर से लिखते है कि समीकरण के उपाय के कोई व्युत्पन्न दिखाई नहीं देते (नवीन रूप को कमजोर सूत्रीकरण कहा जाता है, और इसके उपाय को मंद विलयन कहा जाता है)। कुछ आश्चर्यजनक रूप से, अवकल समीकरण के ऐसे उपाय हो सकते हैं जो अवकलनीय फलन नहीं हैं; और कमजोर सूत्रीकरण किसी को ऐसे उपाय खोजने की अनुमति देते है।

मंद विलयन महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वास्तविक संसार की घटनाओं के मॉडलिंग में आने वाले कई विभेदक समीकरण पर्याप्त रूप से सुचारू उपायों को स्वीकार नहीं करते हैं, और ऐसे समीकरणों को उपाय करने का एकमात्र विधि कमजोर सूत्रीकरण का उपयोग करना है। यहां तक ​​कि उन स्थितियों में भी जहां एक समीकरण के अलग-अलग उपाय होते हैं, यह प्रायः पूर्व मंद विलयनों के अस्तित्व को सिद्ध करने के लिए सुविधाजनक होते है और बाद में मात्र यह दिखाता है कि वे उपाय वस्तुतः अत्यधिक सुचारू हैं।

एक ठोस उदाहरण

अवधारणा के उदाहरण के रूप में, प्रथम-क्रम तरंग समीकरण पर विचार करें:

${\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial u}{\partial x}}=0$

(1)

जहाँ u = u (t, x) दो वास्तविक संख्या चरों का फलन है। अप्रत्यक्ष रूप से संभावित उपाय u के गुणों की जांच करने के लिए, इसे सघन समर्थन के यादृच्छिक रूप से सुचारू फलन $\varphi \,\!$ के विरुद्ध एकीकृत किया जाता है, जिसे

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x)\,\varphi (t,x)\,dx\,dt$

लेते हुए परीक्षण फलन के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि $\varphi$ बिंदु $(t,x)=(t_{\circ },x_{\circ })$ के पास केंद्रित सुचारू संभाव्यता वितरण है, तो अभिन्न लगभग $u(t_{\circ },x_{\circ })$ है। ध्यान दें कि जबकि पूर्णांकी $-\infty$ को $\infty$ से जाते हैं, वे अनिवार्य रूप से परिमित कक्ष पर होते हैं जहां $\varphi$ शून्य नहीं होता है।

इस प्रकार, मान लें कि उपाय u यूक्लिडियन स्थान 'R²' पर निरंतर अलग-अलग है, समीकरण (1) को परीक्षण फलन द्वारा $\varphi$ (सघन समर्थन के सुचारु) से गुणा करें, और एकीकृत करें:

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u(t,x)}{\partial t}}\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x+\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u(t,x)}{\partial x}}\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x=0.$

फ़ुबिनी के प्रमेय का उपयोग करना जो एक को एकीकरण के क्रम को बदलने की अनुमति देते है, साथ ही समाकलन द्वारा एकीकरण (पहली अवधि के लिए t में और दूसरी अवधि के लिए x में) यह समीकरण बन जाता है:

$-\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x){\frac {\partial \varphi (t,x)}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x-\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x){\frac {\partial \varphi (t,x)}{\partial x}}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x=0.$

(2)

(सीमा प्रतिबंधों लुप्त हो जाती हैं क्योंकि $\varphi$ परिमित कक्ष के बाहर शून्य है।) हमने दिखाया है कि समीकरण (1) का तात्पर्य समीकरण (2) से है, जब तक कि u निरंतर अवकलनीय है।

मंद विलयन की अवधारणा की कुंजी यह है कि ऐसे फलन स्थित हैं जो किसी भी $\varphi$ के लिए समीकरण (2) को संतुष्ट करते हैं, परन्तु ऐसे u अलग-अलग नहीं हो सकते हैं और इसलिए समीकरण (1) को संतुष्ट नहीं कर सकते हैं। एक उदाहरण u (t, x) = |t − x| है, जैसा कि क्षेत्रों x ≥ t और x ≤ t पर समाकलों को विभाजित करके जाँचा जा सकता है जहाँ u सुचारू है, और समाकलन द्वारा एकीकरण का उपयोग करके उपरोक्त गणना को व्युत्क्रम कर सकते है। समीकरण (1) का मंद विलयन का अर्थ है समीकरण (2) का कोई उपाय u सभी परीक्षण फलनों $\varphi$ पर।

सामान्य स्थिति

इस उदाहरण से जो सामान्य विचार आता है, वह यह है कि u में अवकल समीकरण को हल करते समय, कोई परीक्षण फलन $\varphi$ का उपयोग करके इसे फिर से लिखा जा सकता है, जैसे कि u में जो भी व्युत्पन्न समीकरण में दिखाई देते हैं, वे समाकलन द्वारा $\varphi$ में एकीकरण के माध्यम से "स्थानांतरित" होते हैं, जिसके परिणामस्वरूप u के व्युत्पन्न के बिना समीकरण एक होता है। यह नवीन समीकरण उन उपायों को सम्मिलित करने के लिए मूल समीकरण का सामान्यीकरण करता है जो आवश्यक रूप से अवकलनीय नहीं हैं।

ऊपर वर्णित दृष्टिकोण प्रमुख सामान्यता में काम करता है। वस्तुतः, विवृत समूह W में "Rⁿ":

$P(x,\partial )u(x)=\sum a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\,\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}u(x)$ रैखिक अवकलन संक्रियक पर विचार करें।

जहां बहु सूचकांक (α₁, α₂, ..., α_n) Nⁿ में कुछ परिमित समूह पर भिन्न होता है और गुणांक $a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}$ Rⁿ में x के पर्याप्त सुचारू फलन हैं।

विभेदक समीकरण P (x, ∂) u (x) = 0, W में सघन समर्थन के साथ \सुचारू परीक्षण फलन $\varphi$ द्वारा गुणा किए जाने और समाकलन द्वारा एकीकृत होने के बाद,

$\int _{W}u(x)Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0$

के रूप में लिखा जा सकता है जहां अवकल संकारक Q (x, ∂) सूत्र

$Q(x,\partial )\varphi (x)=\sum (-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}\left[a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\varphi (x)\right]$ द्वारा दिया गया है।

संख्या

$(-1)^{|\alpha |}=(-1)^{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$

दिखाई देती है क्योंकि अवकल समीकरण के प्रत्येक पद में u से $\varphi$ तक सभी आंशिक व्युत्पन्न को स्थानांतरित करने के लिए समाकलन द्वारा α₁ + α₂ + ⋯ + α_n एकीकरण की आवश्यकता होती है, और समाकलन द्वारा प्रत्येक एकीकरण में -1 से गुणन होता है।

अवकल संकारक Q (x, ∂) P (x, ∂) (संचालक का cf संलग्न) का 'औपचारिक संलग्न' है।

संक्षेप में, यदि मूल (प्रबल) समस्या एक |α|-समय अलग-अलग फलन को खोजने के लिए थी जिसे विवृत समूह W पर परिभाषित किया गया था जैसे कि

$P(x,\partial )u(x)=0{\text{ for all }}x\in W$

(एक तथाकथित प्रबल उपाय), तो पूर्णांक फलन 'u' कहा जाएगा, यदि W में सघन समर्थन के साथ प्रत्येक सुचारू फलन $\varphi$ के लिए

$\int _{W}u(x)\,Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0$

अन्य प्रकार के मंद विलयन

वितरण पर आधारित मंद विलयन की धारणा कभी-कभी अपर्याप्त होती है। अतिपरवलयिक प्रणालियों की स्थिति में, वितरण के आधार पर मंद विलयन की धारणा अद्वितीयता की गारंटी नहीं देती है, और एन्ट्रापी स्थितियों या कुछ अन्य चयन मानदंड के साथ इसे पूरक करना आवश्यक है। हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण जैसे पूर्ण रूप से अरैखिक पीडीई में, मंद विलयन की एक बहुत अलग परिभाषा है जिसे श्यानता उपाय कहा जाता है।

संदर्भ

• Evans, L. C. (1998). Partial Differential Equations. Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0772-2.