मीट्रिक रिक्त स्थान की श्रेणी

श्रेणी सिद्धांत में मेट एक श्रेणी है। मेट एक ऐसी श्रेणी है, जिसमें मीट्रिक रिक्त स्थान इसकी वस्तुओं और मीट्रिक मानचित्र (मीट्रिक रिक्त स्थान के बीच निरंतर कार्य जो किसी भी युग्म के अनुसार दूरी को नहीं बढ़ाते हैं) के रूप में इसके आकारिकी के रूप में हैं। यह एक श्रेणी है क्योंकि दो मीट्रिक मानचित्रों की कार्य संरचना फिर से एक मीट्रिक मानचित्र है। इसबेल (1964)। द्वारा सर्वप्रथम विचार किया गया।

तीर

मेट में मोनोमोर्फिज्म इंजेक्टिव मेट्रिक हैं। एपिमोर्फिज्म वे मीट्रिक मानचित्र होते हैं, जिनके लिए मानचित्र के किसी के डोमेन में किसी की श्रेणी में सघन सेट छवि (गणित) होती है। समाकृतिकता आइसोमेट्री हैं, यानी मीट्रिक मैप्स जो इंजेक्शन, विशेषण और दूरी-संरक्षण वाले हैं।

एक उदाहरण के रूप में, परिमेय संख्याओं को वास्तविक संख्याओं में शामिल करना एक एकरूपता और एक अधिरूपता है, लेकिन यह स्पष्ट रूप से एक तुल्याकारिता नहीं है; यह उदाहरण दिखाता है कि Met एक संतुलित श्रेणी नहीं है।

ऑब्जेक्ट्स

खाली सेट मीट्रिक स्थान मेट की प्रारंभिक वस्तु है; कोई भी सिंगलटन (गणित) मीट्रिक स्पेस एक टर्मिनल ऑब्जेक्ट है। क्योंकि प्रारंभिक वस्तु और टर्मिनल वस्तुएँ भिन्न होती हैं, Met में कोई शून्य वस्तु नहीं होती है।

मेट में इंजेक्शन वस्तु ्स को इंजेक्शन मीट्रिक स्थान कहा जाता है। इंजेक्शन मेट्रिक रिक्त स्थान पेश किए गए और पहले अध्ययन किए गए Aronszajn & Panitchpakdi (1956), एक श्रेणी के रूप में मेट के अध्ययन से पहले; उन्हें अपनी मीट्रिक गेंदों के एक हेली परिवार के संदर्भ में आंतरिक रूप से परिभाषित किया जा सकता है, और इस वैकल्पिक परिभाषा के कारण अरोन्ज़जन और पैनिचपाकडी ने इन स्थानों को हाइपरकोनवेक्स स्पेस नाम दिया है। किसी भी मेट्रिक स्पेस में सबसे छोटा इंजेक्टिव मेट्रिक स्पेस होता है जिसमें इसे आइसोमेट्रिक रूप से एम्बेडिंग किया जा सकता है, जिसे इसका मेट्रिक लिफाफा या तंग अवधि कहा जाता है।

उत्पाद वफादार कारक

मेट में मीट्रिक रिक्त स्थान के एक परिमित सेट (गणित) का उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) एक मीट्रिक स्थान है जिसमें रिक्त स्थान के कार्टेशियन उत्पाद को इसके बिंदुओं के रूप में रखा गया है; उत्पाद स्थान में दूरी को आधार स्थान में दूरियों के सर्वोच्च द्वारा दिया जाता है। यानी यह समर्थन मानदंड वाला उत्पाद मीट्रिक है। हालांकि, मीट्रिक रिक्त स्थान के एक अनंत सेट का उत्पाद मौजूद नहीं हो सकता है, क्योंकि आधार रिक्त स्थान में दूरियों में सर्वोच्चता नहीं हो सकती है। अर्थात्, Met पूर्ण श्रेणी नहीं है, लेकिन यह पूर्ण रूप से पूर्ण है। मेट में कोई प्रतिउत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) नहीं है।

भुलक्कड़ फ़ंक्टर Met → सेट की श्रेणी प्रत्येक मीट्रिक स्थान को उसके बिंदुओं के अंतर्निहित सेट (गणित) को असाइन करती है, और प्रत्येक मीट्रिक मानचित्र को अंतर्निहित सेट-सैद्धांतिक फ़ंक्शन असाइन करती है। यह फ़ैक्टर भुलक्कड़ कारक है, और इसलिए मेट एक ठोस श्रेणी है।

संबंधित श्रेणियां

Met एकमात्र ऐसी श्रेणी नहीं है जिसके ऑब्जेक्ट मेट्रिक स्पेस हैं; अन्य में एकसमान निरंतरता की श्रेणी, लिप्सचिट्ज़ निरंतरता की श्रेणी और क्वैसी-लिपशिट्ज मैपिंग की श्रेणी शामिल है। मीट्रिक मानचित्र समान रूप से निरंतर और लिप्सचिट्ज़ दोनों हैं, जिसमें लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक सबसे अधिक है।

यह भी देखें

• Category of groups
• Category of sets
• Category of topological spaces
• Category of topological spaces with base point
• Category of topological vector spaces

संदर्भ

• Aronszajn, N.; Panitchpakdi, P. (1956), "Extensions of uniformly continuous transformations and hyperconvex metric spaces", Pacific Journal of Mathematics, 6 (3): 405–439, doi:10.2140/pjm.1956.6.405.
• Deza, Michel Marie; Deza, Elena (2009), "Category of metric spaces", Encyclopedia of Distances, Springer-Verlag, p. 38, ISBN 9783642002342.
• Isbell, J. R. (1964), "Six theorems about injective metric spaces", Comment. Math. Helv., 39 (1): 65–76, doi:10.1007/BF02566944, S2CID 121857986.