अनुक्रम सिद्धांत(ऑर्डर थ्योरी)

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आदेश सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो द्विआधारी संबंधों का उपयोग करके आदेश की सहज धारणा की जांच करती है। यह "यह उससे कम है" या "यह उससे पहले है" जैसे बयानों का वर्णन करने के लिए एक औपचारिक ढांचा प्रदान करता है। यह लेख क्षेत्र का परिचय देता है और बुनियादी परिभाषाएँ प्रदान करता है। ऑर्डर थ्योरी शब्दावली में ऑर्डर-सैद्धांतिक शब्दों की एक सूची पाई जा सकती है।

पृष्ठभूमि और प्रेरणा

आदेश गणित और कंप्यूटर विज्ञान जैसे संबंधित क्षेत्रों में हर जगह हैं। प्राथमिक विद्यालय में अक्सर चर्चा की जाने वाली पहली व्यवस्था प्राकृतिक संख्याओं पर मानक क्रम है उदा। "2, 3 से कम है", "10, 5 से बड़ा है", या "क्या टॉम के पास सैली से कम कुकीज हैं?"। इस सहज अवधारणा को संख्याओं के अन्य सेटों, जैसे कि पूर्णांक और वास्तविक पर ऑर्डर करने के लिए बढ़ाया जा सकता है। किसी अन्य संख्या से अधिक या कम होने का विचार सामान्य रूप से संख्या प्रणालियों (अंक प्रणालियों के साथ तुलना) के मूल अंतर्ज्ञान में से एक है (हालांकि आमतौर पर दो संख्याओं के वास्तविक अंतर में भी रुचि होती है, जो आदेश द्वारा नहीं दी जाती है ) आदेश के अन्य परिचित उदाहरण एक शब्दकोश में शब्दों के वर्णानुक्रमिक क्रम और लोगों के समूह के भीतर वंश वंश की वंशावली संपत्ति हैं।

आदेश की धारणा बहुत सामान्य है, जो उन संदर्भों से परे फैली हुई है जिनमें अनुक्रम या सापेक्ष मात्रा का तत्काल, सहज ज्ञान होता है। अन्य संदर्भों में आदेश नियंत्रण या विशेषज्ञता की धारणाओं को पकड़ सकते हैं। संक्षेप में, इस प्रकार का आदेश उपसमुच्चय संबंध के बराबर है, उदाहरण के लिए, "बाल रोग विशेषज्ञ चिकित्सक हैं," और "मंडलियां केवल विशेष-मामले वाले दीर्घवृत्त हैं।"

कुछ आदेश, जैसे प्राकृतिक संख्याओं पर "से कम-से" और शब्दों पर वर्णानुक्रमिक क्रम में, एक विशेष गुण होता है: प्रत्येक तत्व की तुलना किसी अन्य तत्व से की जा सकती है, यानी यह उससे छोटा (पहले) है, उससे बड़ा (बाद में), या के समान। हालांकि, कई अन्य आदेश नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए समुच्चय के संग्रह पर उपसमुच्चय ऑर्डर पर विचार करें: हालांकि पक्षियों का समुच्चय और कुत्तों का समुच्चय दोनों जानवरों के समुच्चय के उपसमुच्चय हैं, न तो पक्षी और न ही कुत्ते दूसरे के उपसमुच्चय का गठन करते हैं। वे आदेश जैसे "उपसमुच्चय-ऑफ" संबंध जिसके लिए अतुलनीय तत्व मौजूद हैं, आंशिक आदेश कहलाते हैं; जिन आदेशों के लिए तत्वों की प्रत्येक जोड़ी तुलनीय है, कुल आदेश हैं।

आदेश सिद्धांत एक सामान्य सेटिंग में ऐसे उदाहरणों से उत्पन्न होने वाले आदेशों के अंतर्ज्ञान को पकड़ लेता है। यह गुणों को निर्दिष्ट करके प्राप्त किया जाता है कि एक संबंध ≤ को गणितीय क्रम होना चाहिए। यह अधिक सारगर्भित दृष्टिकोण बहुत मायने रखता है, क्योंकि किसी विशेष क्रम के विवरण पर ध्यान केंद्रित किए बिना, सामान्य सेटिंग में कई प्रमेय प्राप्त किए जा सकते हैं। इन अंतर्दृष्टि को तब आसानी से कई कम सार अनुप्रयोगों में स्थानांतरित किया जा सकता है।

आदेशों के व्यापक व्यावहारिक उपयोग से प्रेरित, कई विशेष प्रकार के आदेशित समुच्चय को परिभाषित किया गया है, जिनमें से कुछ अपने स्वयं के गणितीय क्षेत्रों में विकसित हो गए हैं। इसके अलावा, आदेश सिद्धांत खुद को आदेश देने वाले संबंधों के विभिन्न वर्गों तक सीमित नहीं रखता है, बल्कि उनके बीच उपयुक्त कार्यों पर भी विचार करता है। फ़ंक्शंस के लिए ऑर्डर थ्योरेटिक प्रॉपर्टी का एक सरल उदाहरण विश्लेषण से आता है जहां मोनोटोन फ़ंक्शन अक्सर पाए जाते हैं।

मूल परिभाषाएँ

यह खंड समुच्चय सिद्धांत, अंकगणित और द्विआधारी संबंधों की अवधारणाओं पर निर्माण करके क्रमबद्ध समुच्चय का परिचय देता है।

आंशिक रूप से आदेशित सेट

आदेश विशेष द्विआधारी संबंध हैं। मान लीजिए कि P एक समुच्चय है और ≤ P पर एक संबंध है ('समुच्चय पर संबंध' का अर्थ 'इसके निवासियों के बीच संबंध' से लिया जाता है)। तब ≤ एक आंशिक क्रम है यदि यह प्रतिवर्ती, प्रतिसममितीय और सकर्मक है, अर्थात, यदि P में सभी a, b और c के लिए, हमारे पास वह है:

a ≤ a (रेफ्लेक्सिविटी)

यदि a b और b ≤ a तो a = b (एंटीसिमेट्री)

यदि a ≤ b और b ≤ c तो a ≤ c (c (सकर्मक)।

आंशिक क्रम के साथ एक सेट को आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट, पॉसेट, या केवल ऑर्डर किया गया सेट कहा जाता है यदि इच्छित अर्थ स्पष्ट है। इन गुणों की जाँच करके, कोई तुरंत देखता है कि प्राकृतिक संख्याओं, पूर्णांकों, परिमेय संख्याओं और वास्तविक पर प्रसिद्ध आदेश उपरोक्त अर्थों में सभी आदेश हैं। हालाँकि, इन उदाहरणों में अतिरिक्त गुण हैं कि कोई भी दो तत्व तुलनीय हैं, अर्थात, P में सभी a और b के लिए, हमारे पास वह है:

a ≤ b या b ≤ a

इस संपत्ति के साथ एक आंशिक आदेश को कुल आदेश कहा जाता है। इन आदेशों को रैखिक आदेश या श्रृंखला भी कहा जा सकता है। जबकि कई परिचित ऑर्डर रैखिक होते हैं, सेट पर उपसमुच्चय ऑर्डर एक उदाहरण प्रदान करता है जहां यह मामला नहीं है। एक अन्य उदाहरण विभाज्यता (या "is-a-factor-of") संबंध द्वारा दिया गया है | दो प्राकृत संख्याओं n और m के लिए, हम n|m लिखते हैं यदि n शेषफल के बिना m को विभाजित करता है। कोई आसानी से देख सकता है कि इससे आंशिक ऑर्डर मिलता है। पहचान संबंध = किसी भी सेट पर भी एक आंशिक क्रम है जिसमें प्रत्येक दो अलग-अलग तत्व अतुलनीय होते हैं। यह एकमात्र ऐसा संबंध भी है जो आंशिक क्रम और तुल्यता संबंध दोनों है। पॉसेट के कई उन्नत गुण मुख्य रूप से गैर-रैखिक आदेशों के लिए रुचिकर हैं।

स्थिति की कल्पना

60 के सभी विभाजकों के सेट का आंशिक आंशिक, आंशिक रूप से विभाजन द्वारा आदेश दिया गया

हास आरेख आंशिक क्रम के तत्वों और संबंधों का नेत्रहीन प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। ये ग्राफ़ ड्रॉइंग हैं जहां शिखर पोसेट के तत्व हैं और ऑर्डरिंग संबंध दोनों किनारों और शिखर की सापेक्ष स्थिति द्वारा इंगित किया जाता है। आदेश नीचे से ऊपर खींचे जाते हैं: यदि कोई तत्व x (पहले) y से छोटा है तो x से y तक एक पथ मौजूद है जो ऊपर की ओर निर्देशित है। तत्वों को जोड़ने वाले किनारों के लिए एक दूसरे को पार करना अक्सर आवश्यक होता है, लेकिन तत्वों को कभी भी किनारे के भीतर स्थित नहीं होना चाहिए। प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के लिए हैस आरेख बनाना एक शिक्षाप्रद अभ्यास है जो 13 से छोटा या उसके बराबर है, जिसके द्वारा आदेश दिया गया है | (विभाजन संबंध)।

यहां तक ​​​​कि कुछ अनंत सेटों को एक परिमित उप-क्रम पर एक दीर्घवृत्त (...) को अध्यारोपण करके आरेखित किया जा सकता है। यह प्राकृतिक संख्याओं के लिए अच्छी तरह से काम करता है, लेकिन यह वास्तविक के लिए विफल रहता है, जहां 0 से ऊपर कोई तत्काल उत्तराधिकारी नहीं है, हालांकि, अक्सर एक समान प्रकार के आरेखों से संबंधित अंतर्ज्ञान प्राप्त कर सकते हैं।

आदेश के भीतर विशेष तत्व

आंशिक रूप से व्यवस्थित सेट में कुछ तत्व हो सकते हैं जो एक विशेष भूमिका निभाते हैं। सबसे बुनियादी उदाहरण पॉसेट के कम से कम तत्व द्वारा दिया गया है। उदाहरण के लिए, 1 धनात्मक पूर्णांकों का सबसे छोटा अवयव है और उपसमुच्चय क्रम के अंतर्गत रिक्त समुच्चय सबसे छोटा समुच्चय है। औपचारिक रूप से, तत्व m सबसे छोटा तत्व है यदि:

m ≤ a, क्रम के सभी तत्वों के लिए

अंकन 0 अक्सर कम से कम तत्व के लिए पाया जाता है, भले ही कोई संख्या संबंधित न हो। हालाँकि, संख्याओं के सेट के क्रम में, यह संकेतन अनुपयुक्त या अस्पष्ट हो सकता है, क्योंकि संख्या 0 हमेशा कम से कम नहीं होती है। उपरोक्त विभाज्यता क्रम | द्वारा एक उदाहरण दिया गया है, जहाँ 1 सबसे छोटा तत्व है क्योंकि यह अन्य सभी संख्याओं को विभाजित करता है। इसके विपरीत, 0 वह संख्या है जो अन्य सभी संख्याओं से विभाजित होती है। इसलिए यह आदेश का सबसे बड़ा तत्व है। कम से कम और सबसे बड़े तत्वों के लिए अन्य लगातार शब्द नीचे और ऊपर या शून्य और इकाई हैं।

वास्तविक संख्याओं के उदाहरण से पता चलता है कि कम से कम और सबसे बड़े तत्व मौजूद नहीं हो सकते हैं। लेकिन अगर वे मौजूद हैं, तो वे हमेशा अद्वितीय होते हैं। इसके विपरीत, विभाज्यता संबंध पर विचार करें | सेट पर {2,3,4,5,6}। हालांकि इस सेट में न तो ऊपर है और न ही नीचे, तत्वों 2, 3, और 5 के नीचे कोई तत्व नहीं है, जबकि 4, 5 और 6 में कोई भी ऊपर नहीं है। ऐसे तत्वों को क्रमशः न्यूनतम और अधिकतम कहा जाता है। औपचारिक रूप से, एक तत्व m न्यूनतम होता है यदि:

a ≤ m का अर्थ है a = m, कोटि के सभी अवयव a के लिए।

And का आदान -प्रदान and के साथ अधिकतमता की परिभाषा को पैदावार करता है। जैसा कि उदाहरण से पता चलता है, कई अधिकतम तत्व हो सकते हैं और कुछ तत्व अधिकतम और न्यूनतम (जैसे 5 ऊपर) दोनों हो सकते हैं। हालांकि, यदि कोई कम से कम तत्व है, तो यह आदेश का एकमात्र न्यूनतम तत्व है। फिर से, अनंत पॉज़िट में अधिकतम तत्व हमेशा मौजूद नहीं होते हैं - किसी दिए गए अनंत सेट के सभी परिमित उपसमुच्चय का सेट, जो कि उपसमुच्चय समावेश द्वारा आदेश दिया गया है, कई काउंटरएक्सैम्पल्स में से एक प्रदान करता है। कुछ शर्तों के तहत अधिकतम तत्वों के अस्तित्व को सुनिश्चित करने के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण ज़ोर्न का लेम्मा है।

आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के उपसमुच्चय ऑर्डर को विरासत में मिलते हैं। हमने पहले से ही प्रेरित विभाजन के आदेश के साथ प्राकृतिक संख्याओं के उपसमुच्चय {2,3,4,5,6} पर विचार करके इसे लागू किया। अब एक पोज़िट के तत्व भी हैं जो आदेश के कुछ उपसमुच्चय के संबंध में विशेष हैं। यह ऊपरी सीमा की परिभाषा की ओर जाता है। कुछ पोज़ेट b '। औपचारिक रूप से, इसका मतलब है कि

'।

कम सीमा को फिर से आदेश को inverting द्वारा परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, -5 पूर्णांक के उपसमुच्चय के रूप में प्राकृतिक संख्याओं की एक निचली सीमा है। सेट के एक सेट को देखते हुए, उपसमुच्चय ऑर्डरिंग के तहत इन सेटों के लिए एक ऊपरी सीमा उनके संघ द्वारा दी गई है। वास्तव में, यह ऊपरी बाउंड काफी विशेष है: यह सबसे छोटा सेट है जिसमें सभी सेट होते हैं। इसलिए, हमें सेट के एक सेट के सबसे कम ऊपरी बाउंड मिले हैं। इस अवधारणा को सुप्रीमम या जॉइन भी कहा जाता है, और एक सेट के लिए एक लिखता है। $\bigvee S$ इसकी कम से कम ऊपरी बाउंड के लिए।इसके विपरीत, सबसे बड़ी निचली बाउंड को अनैतिक रूप से जाना जाता है या मीट और डोंटेड इन्फ ( s ) या $\bigwedge S$।ये अवधारणाएं ऑर्डर थ्योरी के कई अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं।दो तत्वों के लिए x और y, एक भी लिखता है $x\vee y$ तथा $x\wedge y$ sup ({x, y}) और inf ({x, y}) के लिए क्रमशः।

उदाहरण के लिए, 1 पूर्णांक के उपसमुच्चय के रूप में सकारात्मक पूर्णांक का अनंत है।

एक अन्य उदाहरण के लिए, फिर से संबंध पर विचार करें |प्राकृतिक संख्याओं पर।दो संख्याओं में से सबसे कम ऊपरी सीमा सबसे छोटी संख्या है जो उन दोनों द्वारा विभाजित है, अर्थात् संख्याओं में से सबसे कम सामान्य कई।बदले में सबसे बड़ी निचली सीमा सबसे बड़ी आम भाजक द्वारा दी गई है।

द्वंद्व

पिछली परिभाषाओं में, हमने अक्सर नोट किया कि एक अवधारणा को केवल एक पूर्व परिभाषा में आदेश को इनवर्ट करके परिभाषित किया जा सकता है। यह कम से कम और सबसे महान के लिए मामला है, न्यूनतम और अधिकतम के लिए, ऊपरी सीमा और निचले बाउंड के लिए, और इसी तरह। यह सिद्धांत में एक सामान्य स्थिति है: एक दिए गए आदेश को केवल अपनी दिशा का आदान-प्रदान करके उल्टा किया जा सकता है, चित्रात्मक रूप से हस आरेख शीर्ष-डाउन को फ़्लिप किया जा सकता है। यह तथाकथित दोहरे, व्युत्क्रम या विपरीत क्रम को प्राप्त करता है।

प्रत्येक ऑर्डर थियोरेटिक परिभाषा में इसकी दोहरी है: यह धारणा है कि परिभाषा को उलटा क्रम में लागू करके प्राप्त होता है। चूंकि सभी अवधारणाएं सममित हैं, यह ऑपरेशन आंशिक आदेशों के प्रमेयों को संरक्षित करता है। किसी दिए गए गणितीय परिणाम के लिए, कोई केवल आदेश को उलट सकता है और सभी परिभाषाओं को उनके दोहरे द्वारा बदल सकता है और एक अन्य मान्य प्रमेय प्राप्त करता है। यह महत्वपूर्ण और उपयोगी है, क्योंकि एक की कीमत के लिए दो प्रमेय प्राप्त करते हैं। ऑर्डर थ्योरी में कुछ और विवरण और उदाहरण द्वंद्व पर लेख में पाए जा सकते हैं।

नए आदेशों का निर्माण

दिए गए आदेशों से आदेशों का निर्माण करने के कई तरीके हैं।दोहरी आदेश एक उदाहरण है।एक अन्य महत्वपूर्ण निर्माण दो आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों का कार्टेशियन उत्पाद है, जो तत्वों के जोड़े पर उत्पाद आदेश के साथ लिया गया है।ऑर्डरिंग को (a, x) y (b, y) द्वारा परिभाषित किया गया है यदि (और केवल अगर) a ≤ b और x y y।(ध्यान से नोटिस करें कि इस परिभाषा में संबंध प्रतीक के लिए तीन अलग -अलग अर्थ हैं।) दो पोज़िट का असंतुष्ट संघ आदेश निर्माण का एक और विशिष्ट उदाहरण है, जहां आदेश मूल आदेशों का सिर्फ (असंतुष्ट) संघ है।

प्रत्येक आंशिक आदेश are एक तथाकथित सख्त आदेश को जन्म देता है <, एक <b को परिभाषित करके यदि ≤ b और b ≤ a नहीं।इस परिवर्तन को at b या a = b यदि a सेट करके उल्टा किया जा सकता है।दो अवधारणाएं समतुल्य हैं, हालांकि कुछ परिस्थितियों में एक दूसरे की तुलना में काम करने के लिए अधिक सुविधाजनक हो सकता है।

आदेशों के बीच कार्य

आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों के बीच कार्यों पर विचार करना उचित है, जिसमें कुछ अतिरिक्त गुण हैं जो दो सेटों के ऑर्डरिंग संबंधों से संबंधित हैं। इस संदर्भ में होने वाली सबसे मौलिक स्थिति एकरसता है। एक POSET P से एक POSET Q तक एक फ़ंक्शन F 'मोनोटोन' है, या 'ऑर्डर-प्रेशरिंग' है, यदि P में ≤ B का अर्थ है Q में f (a) ≤ f (b) (यह देखते हुए कि, सख्ती से, दो संबंध, दो संबंध यहाँ अलग हैं क्योंकि वे अलग -अलग सेटों पर आवेदन करते हैं।)। इस निहितार्थ का संकेत उन कार्यों की ओर जाता है जो 'ऑर्डर-रिफ्लेक्टिंग' होते हैं, अर्थात् फ़ंक्शंस f के रूप में ऊपर के रूप में f (a) ≤ f (b) का अर्थ एक ≤ b का अर्थ है। दूसरी ओर, एक फ़ंक्शन भी 'ऑर्डर-रिवरिंग' या 'एंटीटोन' भी हो सकता है, यदि ≤ b का अर्थ f (a) (f (b) होता है।

एक 'ऑर्डर-एम्बेडिंग' आदेशों के बीच एक फ़ंक्शन f है जो ऑर्डर-प्रेशरिंग और ऑर्डर-रिफ्लेक्टिंग दोनों है। इन परिभाषाओं के लिए उदाहरण आसानी से पाए जाते हैं। उदाहरण के लिए, जो फ़ंक्शन अपने उत्तराधिकारी को एक प्राकृतिक संख्या को मैप करता है, वह प्राकृतिक क्रम के संबंध में स्पष्ट रूप से एकरस है। असतत आदेश से कोई भी कार्य, अर्थात् पहचान के आदेश = द्वारा आदेशित एक सेट से, मोनोटोन भी है। प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को संबंधित वास्तविक संख्या में मैप करना एक आदेश एम्बेडिंग के लिए एक उदाहरण देता है। एक पॉवरसेट पर सेट पूरक एक एंटीटोन फ़ंक्शन का एक उदाहरण है।

एक महत्वपूर्ण सवाल यह है कि जब दो आदेश अनिवार्य रूप से समान होते हैं, अर्थात जब वे तत्वों के नामकरण के समान होते हैं। 'ऑर्डर आइसोमोर्फिज्म' ऐसे कार्य हैं जो इस तरह के नामकरण को परिभाषित करते हैं। एक आदेश-आइसोमोर्फिज्म एक मोनोटोन द्विध्ररा कार्य है जिसमें एक मोनोटोन उलटा होता है। यह एक सर्जिकल ऑर्डर-एम्बेडिंग होने के बराबर है। इसलिए, एक ऑर्डर-एम्बेडिंग की छवि एफ (पी) हमेशा पी के लिए आइसोमोर्फिक होती है, जो एम्बेडिंग शब्द को सही ठहराता है।

तथाकथित 'गैलोइस कनेक्शन' द्वारा एक अधिक विस्तृत प्रकार के कार्य दिए गए हैं। मोनोटोन गैलोइस कनेक्शन को ऑर्डर-आइसोमोर्फिज्म के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, क्योंकि वे कॉनवर्स दिशाओं में दो कार्यों की एक जोड़ी का गठन करते हैं, जो एक दूसरे के लिए काफी उलटा नहीं हैं, लेकिन अभी भी करीबी रिश्ते हैं।

एक पोज़ेट पर एक अन्य विशेष प्रकार के स्व-मानचित्र 'क्लोजर ऑपरेटर' हैं, जो न केवल मोनोटोनिक हैं, बल्कि idempotent भी हैं, अर्थात् F (x) = f (X)), और 'व्यापक' (या मुद्रास्फीति), यानी, यानी। x ≤ f (x)। इनमें सभी प्रकार के क्लोजर में कई एप्लिकेशन हैं जो गणित में दिखाई देते हैं।

मात्र आदेश संबंधों के साथ संगत होने के अलावा, POSET के बीच कार्य विशेष तत्वों और निर्माणों के संबंध में भी अच्छा व्यवहार कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, जब कम से कम तत्व के साथ पोज़िट के बारे में बात करते हैं, तो यह केवल मोनोटोनिक कार्यों पर विचार करना उचित लग सकता है जो इस तत्व को संरक्षित करते हैं, यानी जो कम से कम तत्वों को कम से कम तत्वों के लिए मानते हैं। यदि बाइनरी इन्फिमा ∧ मौजूद है, तो सभी x और y के लिए एक उचित संपत्ति की आवश्यकता हो सकती है कि f (x y y) = f (x) y f (y) की आवश्यकता होती है। ये सभी गुण, और वास्तव में कई और अधिक, सीमा-संरक्षण फ़ंक्शन (ऑर्डर थ्योरी) के लेबल के तहत संकलित किए जा सकते हैं। सीमा-संरक्षण कार्यों।

अंत में, कोई दृश्य को उल्टा कर सकता है, आदेशों के कार्यों से कार्यों के आदेशों तक स्विच कर सकता है। दरअसल, दो पॉज़िट पी और क्यू के बीच के कार्यों को पॉइंटवाइज ऑर्डर के माध्यम से ऑर्डर किया जा सकता है। दो कार्यों के लिए f और g, हमारे पास f (g (X) if g (x) के सभी तत्वों के लिए X के लिए f (g (x) है। यह डोमेन सिद्धांत में उदाहरण के लिए होता है, जहां फ़ंक्शन स्पेस एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

विशेष प्रकार के आदेश

क्रम सिद्धांत में अध्ययन की जाने वाली कई संरचनाएं आगे के गुणों के साथ आदेश संबंधों को नियोजित करती हैं। वास्तव में, यहां तक कि कुछ संबंध जो आंशिक आदेश नहीं हैं, विशेष रुचि के हैं। मुख्य रूप से प्रीऑर्डर की अवधारणा का उल्लेख किया जाना है। एक प्रीऑर्डर एक ऐसा संबंध है जो रिफ्लेक्सिव और ट्रांजिटिव है, लेकिन जरूरी नहीं कि एंटीसिमेट्रिक हो। प्रत्येक पूर्व-आदेश तत्वों के बीच एक तुल्यता संबंध उत्पन्न करता है, जहां a, b के बराबर है, यदिa ≤ b और b ≤ a है। इस संबंध के संबंध में समतुल्य सभी तत्वों की पहचान करके पूर्व-आदेशों को आदेशों में बदला जा सकता है।

ऑर्डर की वस्तुओं पर संख्यात्मक डेटा से कई प्रकार के ऑर्डर परिभाषित किए जा सकते हैं: कुल ऑर्डर का परिणाम प्रत्येक आइटम में अलग-अलग वास्तविक संख्याओं को जोड़ने और आइटम को ऑर्डर करने के लिए संख्यात्मक तुलनाओं का उपयोग करने से होता है; इसके बजाय, यदि अलग-अलग मदों को समान संख्यात्मक अंकों की अनुमति दी जाती है, तो एक सख्त कमजोर क्रम प्राप्त करता है। तुलना करने से पहले दो अंकों को एक निश्चित थ्रेशोल्ड से अलग करने की आवश्यकता होती है, एक अर्ध-आदेश की अवधारणा की ओर जाता है, जबकि थ्रेशोल्ड को प्रति-आइटम के आधार पर भिन्न होने की अनुमति देने से एक अंतराल क्रम उत्पन्न होता है।

अतिरिक्त सरल लेकिन उपयोगी संपत्ति तथाकथित अच्छी तरह से स्थापित होती है, जिसके लिए सभी गैर-रिक्त उपसमुच्चय में न्यूनतम तत्व होता है। रैखिक से आंशिक आदेशों के लिए अच्छी तरह से आदेशों को सामान्य करना, एक सेट को आंशिक रूप से आदेश दिया जाता है यदि इसके सभी गैर-रिक्त उपसमुच्चय में न्यूनतम तत्वों की एक सीमित संख्या होती है।

कई अन्य प्रकार के आदेश तब उत्पन्न होते हैं जब कुछ सेटों के इंफिमा और सुप्रीम के अस्तित्व की गारंटी होती है। इस पहलू पर ध्यान केंद्रित करते हुए, जिसे आमतौर पर आदेशों की पूर्णता के रूप में संदर्भित किया जाता है, कोई प्राप्त करता है:

• बाउंडेड पॉज़ेट, अर्थात् कम से कम और सबसे बड़े तत्व के साथ पोज़िट (जो कि खाली उपसमुच्चय के सर्वोच्च और अनंत हैं),
• लैटिस, जिसमें प्रत्येक गैर-खाली परिमित सेट में एक सुप्रीम और अनैतिक होता है,
• पूर्ण लैटिस, जहां हर सेट में एक सुप्रीम और अनैतिक होता है, और
• निर्देशित पूर्ण आंशिक आदेश (DCPOS), जो सभी निर्देशित उपसमुच्चय के सुप्रेमा के अस्तित्व की गारंटी देते हैं और जो डोमेन सिद्धांत में अध्ययन किए जाते हैं।
• पूरक, या पीओसी सेट के साथ आंशिक आदेश, एक अद्वितीय निचला तत्व 0 के साथ पोज़ेट हैं, साथ ही एक आदेश-पुनर्मूल्यांकन इनवोल्यूशन $*$ ऐसा है कि $a\leq a^{*}\implies a=0.$

हालांकि, कोई और भी आगे जा सकता है: यदि सभी परिमित गैर-रिक्त इंफिमा मौजूद हैं, तो को सार्वभौमिक बीजगणित के अर्थ में कुल बाइनरी ऑपरेशन के रूप में देखा जा सकता है। इसलिए, लैटिस में, दो ऑपरेशन ∧ और उपलब्ध हैं, और कोई भी पहचान देकर नए गुणों को परिभाषित कर सकता है, जैसे कि

x ∧ (y ∨ z)  =  (x ∧ y) ∨ (x ∧ z), सभी x, y, और z के लिए।

इस स्थिति को 'वितरण' कहा जाता है और वितरण को जन्म देता है। कुछ अन्य महत्वपूर्ण वितरण कानून हैं जिन पर आदेश सिद्धांत में वितरण पर लेख में चर्चा की जाती है। कुछ अतिरिक्त ऑर्डर संरचनाएं जो अक्सर बीजगणितीय संचालन और परिभाषित पहचान के माध्यम से निर्दिष्ट की जाती हैं

• हेयिंग अल्जेब्रा और
• बूलियन बीजगणित,

जो दोनों एक नया ऑपरेशन पेश करते हैं ~ जिसे नकारात्मक कहा जाता है। दोनों संरचनाएं गणितीय तर्क में एक भूमिका निभाती हैं और विशेष रूप से बूलियन बीजगणित के कंप्यूटर विज्ञान में प्रमुख अनुप्रयोग हैं। अंत में, गणित में विभिन्न संरचनाएं ऑर्डर को और भी अधिक बीजीय संक्रियाओं के साथ जोड़ती हैं, जैसा कि क्वांटल के मामले में होता है, जो एक अतिरिक्त ऑपरेशन की परिभाषा के लिए अनुमति देता है।

पॉसेट के कई अन्य महत्वपूर्ण गुण मौजूद हैं। उदाहरण के लिए, एक पॉसेट स्थानीय रूप से परिमित होता है यदि इसमें प्रत्येक बंद अंतराल [a, b] परिमित हो। स्थानीय रूप से परिमित पॉसेट घटना बीजगणित को जन्म देते हैं जो बदले में परिमित बाध्य पॉसेट्स की यूलर विशेषता को परिभाषित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।

आदेशित सेटों के उपसमुच्चय

आदेशित सेट में, दिए गए क्रम के आधार पर कई प्रकार के विशेष उपसमुच्चय को परिभाषित किया जा सकता है। साधारण उदाहरण ऊपरी सेट हैं, यानी सेट जिसमें वे सभी तत्व होते हैं जो क्रम में उनके ऊपर होते हैं। औपचारिक रूप से, पॉसेट P में सेट S का ऊपरी बंद सेट {x में P | द्वारा दिया जाता है S के साथ y ≤ x में कुछ y}है। वह समुच्चय जो उसके ऊपरी बंद के बराबर होता है, ऊपरी समुच्चय कहलाता है। निचले सेट को दोहरी रूप से परिभाषित किया गया है।

अधिक जटिल निचले उपसमुच्चय आदर्श होते हैं, जिनकी अतिरिक्त संपत्ति होती है कि उनके प्रत्येक दो तत्वों में आदर्श के भीतर ऊपरी सीमा होती है। इनके ड्यूल फिल्टर्स द्वारा दिए गए हैं। एक संबंधित अवधारणा एक निर्देशित उपसमुच्चय की है, जिसमें एक आदर्श की तरह परिमित उपसमुच्चय की ऊपरी सीमाएं होती हैं, लेकिन कम सेट नहीं होना चाहिए। इसके अलावा, इसे अक्सर पूर्व-आदेशित सेटों के लिए सामान्यीकृत किया जाता है।

एक उपसमुच्चय जो एक उप -पोसेट के रूप में है - रैखिक रूप से आदेश दिया गया है, को एक श्रृंखला कहा जाता है। विपरीत धारणा, एंटीचैन, एक उपसमुच्चय है जिसमें कोई दो तुलनीय तत्व नहीं हैं; यानी यह एक असतत आदेश है।

संबंधित गणितीय क्षेत्र

हालाँकि अधिकांश गणितीय क्षेत्र किसी न किसी तरह से आदेशों का उपयोग करते हैं, लेकिन कुछ सिद्धांत ऐसे भी हैं जिनके संबंध केवल अनुप्रयोग से कहीं अधिक हैं। आदेश सिद्धांत के साथ उनके संपर्क के प्रमुख बिंदुओं के साथ, इनमें से कुछ को नीचे प्रस्तुत किया जाना है।

सार्वभौमिक बीजगणित

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, सार्वभौमिक बीजगणित के तरीके और औपचारिकताएं कई आदेश सैद्धांतिक विचारों के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण हैं। बीजगणितीय संरचनाओं के संदर्भ में औपचारिक आदेश देने के अलावा, जो कुछ निश्चित पहचानों को पूरा करते हैं, कोई भी बीजगणित के साथ अन्य कनेक्शन भी स्थापित कर सकता है। एक उदाहरण बूलियन बीजगणित और बूलियन रिंगों के बीच पत्राचार द्वारा दिया गया है। अन्य मुद्दे मुक्त निर्माण के अस्तित्व से संबंधित हैं, जैसे कि जनरेटर के दिए गए सेट के आधार पर मुफ्त लैटिस। इसके अलावा, सार्वभौमिक बीजगणित के अध्ययन में क्लोजर ऑपरेटर महत्वपूर्ण हैं।

टोपोलॉजी

टोपोलॉजी में, ऑर्डर बहुत प्रमुख भूमिका निभाते हैं। वास्तव में, खुले सेटों का संग्रह पूर्ण लैटिस का एक शास्त्रीय उदाहरण प्रदान करता है, अधिक सटीक रूप से एक पूर्ण हेटिंग बीजगणित (या "फ्रेम" या "लोकेल")। फिल्टर और नेट, ऑर्डर थ्योरी से निकटता से संबंधित धारणाएं हैं और सेट के क्लोजर ऑपरेटर का उपयोग टोपोलॉजी को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। इन संबंधों से परे, टोपोलॉजी को केवल खुले सेट लैटिस के संदर्भ में देखा जा सकता है, जो व्यर्थ टोपोलॉजी के अध्ययन की ओर जाता है। इसके अलावा, एक टोपोलॉजी के अंतर्निहित सेट के तत्वों का एक प्राकृतिक प्रीऑर्डर तथाकथित विशेषज्ञता आदेश द्वारा दिया जाता है, जो वास्तव में एक आंशिक क्रम है यदि टोपोलॉजी T0 है।

इसके विपरीत, क्रम सिद्धांत में, अक्सर टोपोलॉजिकल परिणामों का उपयोग किया जाता है। एक आदेश के उपसमुच्चय को परिभाषित करने के कई तरीके हैं जिन्हें एक टोपोलॉजी के खुले सेट के रूप में माना जा सकता है। पॉसेट (X,≤) पर टोपोलॉजी को ध्यान में रखते हुए, जो बदले में ≤ को उनके विशेषज्ञता क्रम के रूप में प्रेरित करता है, बेहतरीन ऐसी टोपोलॉजी अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी है, जो सभी ऊपरी सेटों को ओपन के रूप में लेती है।इसके विपरीत, सबसे मोटे टोपोलॉजी जो विशेषज्ञता क्रम को प्रेरित करती है, ऊपरी टोपोलॉजी है, जिसमें एक सबबेस के रूप में प्रमुख आदर्शों (यानी फॉर्म { X में y | y ≤ x} के लिए कुछ x) के पूरक होते हैं। इसके अतिरिक्त, विशेषज्ञता आदेश ≤ के साथ एक टोपोलॉजी क्रम संगत हो सकती है, जिसका अर्थ है कि उनके खुले सेट "निर्देशित सुप्रीम द्वारा पहुंच योग्य नहीं हैं" (≤ के संबंध में)। बेहतरीन क्रम संगत टोपोलॉजी स्कॉट टोपोलॉजी है, जो अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी की तुलना में मोटे है। इस भावना में तीसरा महत्वपूर्ण टोपोलॉजी लॉसन टोपोलॉजी है। इन टोपोलॉजी और ऑर्डर थ्योरी की अवधारणाओं के बीच घनिष्ठ संबंध हैं। उदाहरण के लिए, एक फ़ंक्शन निर्देशित सर्वोच्चता को संरक्षित करता है यदि और केवल अगर यह स्कॉट टोपोलॉजी के संबंध में निरंतर है (इस कारण से इस आदेश सैद्धांतिक संपत्ति को स्कॉट-निरंतरता भी कहा जाता है)।

श्रेणी सिद्धांत

हस्से आरेखों के साथ आदेशों के विज़ुअलाइज़ेशन का एक सीधा सामान्यीकरण है: बड़े तत्वों के नीचे कम तत्वों को प्रदर्शित करने के बजाय, ग्राफ़ के किनारों को दिशा देकर आदेश की दिशा को भी चित्रित किया जा सकता है। इस तरह, प्रत्येक आदेश को एक निर्देशित चक्रीय ग्राफ के बराबर देखा जाता है, जहां नोड्स पॉसेट के तत्व होते हैं और a से b तक एक निर्देशित पथ होता है और केवल अगर a ≤ b होता है। विश्वकोश होने की आवश्यकता को छोड़कर, कोई भी सभी पूर्व-आदेश प्राप्त कर सकता है।

जब सभी संक्रमणीय किनारों से सुसज्जित होते हैं, तो बदले में ये ग्राफ़ केवल विशेष श्रेणियां होते हैं, जहां तत्व वस्तुएं होती हैं और दो तत्वों के बीच आकारिता का प्रत्येक सेट अधिकतम सिंगलटन होता है। आदेशों के बीच कार्य श्रेणियों के बीच फ़ैक्टर बन जाते हैं। आदेश सिद्धांत के कई विचार छोटे में श्रेणी सिद्धांत की अवधारणाएं हैं। उदाहरण के लिए, एक न्यूनतम केवल एक श्रेणीबद्ध उत्पाद है। अधिक आम तौर पर, कोई व्यक्ति एक स्पष्ट सीमा (या क्रमशः कॉलिमिट) की अमूर्त धारणा के तहत इंफिमा और सुप्रीम को पकड़ सकता है। एक और जगह जहां स्पष्ट विचार होते हैं, एक (मोनोटोन) गैलोइस कनेक्शन की अवधारणा है, जो कि निकटवर्ती फ़ैक्टर की एक जोड़ी के समान है।

लेकिन श्रेणी सिद्धांत का भी बड़े पैमाने पर आदेश सिद्धांत पर प्रभाव पड़ता है। जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, उपयुक्त कार्यों के साथ पॉसेट की कक्षाएं दिलचस्प श्रेणियां बनाती हैं। अक्सर कोई भी श्रेणियों के संदर्भ में, उत्पाद ऑर्डर की तरह, ऑर्डर के निर्माण को भी बता सकता है। आगे की अंतर्दृष्टि का परिणाम तब होता है जब ऑर्डर की श्रेणियां स्पष्ट रूप से अन्य श्रेणियों के बराबर पाई जाती हैं, उदाहरण के लिए टोपोलॉजिकल स्पेस है। अनुसंधान की यह पंक्ति विभिन्न प्रतिनिधित्व प्रमेयों की ओर ले जाती है, जिन्हें अक्सर पाषाण द्वैत के लेबल के तहत एकत्र किया जाता है।

इतिहास

जैसा कि पहले बताया गया है, गणित में आदेश सर्वव्यापी हैं। हालांकि, आंशिक आदेशों का जल्द से जल्द स्पष्ट उल्लेख 19वीं शताब्दी से पहले नहीं पाया जा सकता है। इस सन्दर्भ में जार्ज बूले की कृतियों का अत्यधिक महत्व है। इसके अलावा, चार्ल्स सैंडर्स पीयर्स, रिचर्ड डेडेकिंड और अर्न्स्ट श्रोडर के काम भी आदेश सिद्धांत की अवधारणाओं पर विचार करते हैं।

आदेशित ज्यामिति के लिए योगदानकर्ताओं को 1961 की पाठ्यपुस्तक में सूचीबद्ध किया गया था:

यह 1882 में पास था, जिसने पहली बार बताया कि माप के संदर्भ के बिना क्रम की ज्यामिति विकसित की जा सकती है। पीनो (1889), हिल्बर्ट (1899), और वेब्लेन (1904) द्वारा उनकी स्वयंसिद्ध प्रणाली में धीरे-धीरे सुधार किया गया था।

— H. S. M. Coxeter, ज्यामिति का परिचय

1901 में बर्ट्रेंड रसेल ने "आर्डर की धारणा पर" श्रृंखला की पीढ़ी के माध्यम से विचार की नींव की खोज की। वह गणित के सिद्धांतों (1903) के भाग IV में विषय पर लौट आए। रसेल ने नोट किया कि द्विआधारी संबंध aRb में एक अर्थ है जो a से b तक जाता है, जिसमें विपरीत संबंध विपरीत अर्थ वाला होता है, और अर्थ "आदेश और श्रृंखला का स्रोत है"। (p 95) वह स्वीकार करते हैं कि इम्मानुएल कांट "तार्किक विरोध और सकारात्मक और नकारात्मक के विरोध के बीच के अंतर से अवगत थे"। उन्होंने लिखा कि कांट श्रेय के पात्र हैं क्योंकि उन्होंने "पहले असममित संबंधों के तार्किक महत्व पर ध्यान दिया था।

पोसेट शब्द को आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के संक्षिप्त नाम के रूप में गैरेट बिरखोफ ने अपनी प्रभावशाली पुस्तक लैटिस थ्योरी के दूसरे संस्करण में गढ़ा था।

यह भी देखें

• चक्रीय क्रम
• पदानुक्रम
• घटना बीजगणित
• कारण सेट करता है

संदर्भ

• Birkhoff, Garrett (1940). Lattice Theory. Vol. 25 (3rd Revised ed.). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1025-5.
• Burris, S. N.; Sankappanavar, H. P. (1981). A Course in Universal Algebra. Springer. ISBN 978-0-387-90578-5.
• Davey, B. A.; Priestley, H. A. (2002). Introduction to Lattices and Order (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-78451-4.
• Gierz, G.; Hofmann, K. H.; Keimel, K.; Mislove, M.; Scott, D. S. (2003). Continuous Lattices and Domains. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 93. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-80338-0.

बाहरी संबंध

• Orders at ProvenMath partial order, linear order, well order, initial segment; formal definitions and proofs within the axioms of set theory.
• Nagel, Felix (2013). Set Theory and Topology. An Introduction to the Foundations of Analysis

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