असतत ज्यामिति

"संयुक्त ज्यामिति" redirects here. संयोजी ज्यामिति शब्द का प्रयोग मैट्रॉइड के सिद्धांत में सरल मैट्रॉइड के संदर्भ में विशेष रूप से पुराने पाठ्य पुस्तकों में भी किया जाता है।.

वृत्त का संग्रह और संबंधित इकाई चक्र आरेख

असतत ज्यामिति और संयुक्त ज्यामिति की शाखाएँ हैं जो मिश्रित गुणों और असतत गणित ज्यामितीय ऑब्जेक्ट के रचनात्मक विधियों का अध्ययन करती हैं। असतत ज्यामिति के अधिकांश प्रश्नों में मूल ज्यामितीय ऑब्जेक्ट जैसे बिंदु (ज्यामिति), रेखाएँ (ज्यामिति), समतलीय (ज्यामिति), वृत्त, गोले, बहुभुज आदि के परिमित समुच्चय या असतत समुच्चय (गणित) सम्मिलित होते हैं। विषय इन वस्तुओं के संयोजक गुणों पर ध्यान केंद्रित करता है, जैसे कि वे एक दूसरे को कैसे प्रतिच्छेद करते हैं (सेट सिद्धांत), या किसी बड़े ऑब्जेक्ट का आच्छादन करने के लिए उन्हें कैसे व्यवस्थित किया जा सकता है।

असतत ज्यामिति में उत्तल ज्यामिति और अभिकलनात्मक ज्यामिति के साथ एक बड़ा अधिव्यापन होता है और यह परिमित ज्यामिति, संयुक्त इष्टतमीकरण, डिजिटल ज्यामिति, असतत अवकल ज्यामिति, ज्यामितीय आलेख सिद्धांत, टोरिक ज्यामिति और संयुक्त सांस्थितिकी जैसे विषयों से निकटता से संबंधित है।

इतिहास

यद्यपि जोहान्स केप्लर और ऑगस्टिन-लुई कॉची जैसे व्यक्तियों द्वारा अनेक वर्षों तक बहुकोणीय आकृति और चौखानों की रचना का अध्ययन किया गया था, किन्तु आधुनिक असतत ज्यामिति की उत्पत्ति 19वीं सदी के अंत में हुई थी। अध्ययन किए गए प्रारंभिक विषय एक्सल थ्यू द्वारा सर्कल पैकिंग का घनत्व, रेये और अर्नेस्ट स्टीनिट्ज़ द्वारा प्रक्षेपी विन्यास, मिंकोव्स्की द्वारा संख्याओं की ज्यामिति और टैट, हेवुड और हैडविगर द्वारा मानचित्र रंग थे।

लेज़्लो फेजेस टोथ, एच.एस.एम. कॉक्सेटर और पॉल एर्डोस ने असतत ज्यामिति की नींव रखी।

विषय

बहुकोणीय आकृति और बहुतलीय

Main articles: बहुफलक and बहुतलीय

एक बहुतलीय एक ज्यामितीय ऑब्जेक्ट है जिसमें सपाट पक्ष होते हैं तथा किसी भी सामान्य आयाम में उपस्थित होते हैं। एक बहुभुज दो आयामों में एक बहुतलीय तथा तीन आयामों में एक बहुफलक है, और उच्च आयामों में भी इसी प्रकार है (जैसे चार आयामों में 4-पॉलीटॉप)। कुछ सिद्धांत आगे इस तरह के ऑब्जेक्ट को अपरिबद्ध बहुतलीय (एपिरोटोप्स और चौखानों की रचना) और अमूर्त बहुतलीय सम्मिलित करने के विचार को सामान्यीकृत करते है।

असतत ज्यामिति में अध्ययन किए गए बहुतलीय के कुछ दृष्टिकोण निम्नलिखित हैं:

• बहुफलकीय साहचर्य
• जालक बहुतलीय
• एहरहार्ट बहुपदीय
• पिक के प्रमेय
• हिर्श अनुमान

संपुटन, आच्छादन और टाइलिंग

Main articles: सर्कल पैकिंग and चौखानों की रचना

संपुटन, आच्छादन और टाइलिंग एक सतह या बहुमुख पर नियमित रूप से समान ऑब्जेक्ट(सामान्यतः वृत्त, गोले या टाइल) को व्यवस्थित करने के सभी तरीके हैं।

स्फेयर पैकिंग एक स्थान के भीतर गैर-अतिव्यापी क्षेत्रों की व्यवस्था है। सभी सुविवेचित गोले सामान्यतः समान आकार के होते हैं और स्थान सामान्यतः त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्थान होता है। हालांकि क्षेत्र पैकिंग समस्याओं n-आयामी यूक्लिडियन स्पेस (जहां समस्या दो आयामों में सर्कल पैकिंग या उच्च आयामों में अति क्षेत्र पैकिंग बन जाती है) या गैर-यूक्लिडियन रिक्त स्थान जैसे अतिपरवलीय स्थान पर विचार करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

एक सपाट सतह का टेसलेशन एक या एक से अधिक ज्यामितीय आकृतियों का उपयोग करके एक समतल की टाइलिंग है, जिसे टाइल कहा जाता है जिसमें कोई अधिव्यापन और अंतराल नहीं होता है। गणित में टेसलेशन को उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

इस क्षेत्र में विशिष्ट विषयों में शामिल हैं:

• सर्किल पैकिंग
• स्फेयर-पैकिंग
• केप्लर अनुमान
• अर्ध क्रिस्टल
• अनावर्ती टाइलिंग
• आवर्ती ग्राफ (ज्यामिति)
• परिमित उपविभाग नियम

संरचनात्मक कठोरता और लचीलापन

Main article: संरचनात्मक कठोरता

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घूर्णन कब्जे द्वारा संयोजित छड़ के रूप में आरेख खींचे जाते हैं। चक्र ग्राफ C₄ एक वर्ग के रूप में खींचा गया ब्लू फोर्स द्वारा समानांतर चतुर्भुज में आनत किया जा सकता है, इसलिए यह नम्य आरेख है। एक त्रिभुज के रूप में खींचा गया K₃, उस पर प्रयुक्त किसी भी बल द्वारा परिवर्तित नहीं किया जा सकता है, इसलिए यह एक अनम्य आरेख है।

संरचनात्मक कठोरता साव्यय संयोजन या अनुबंधन से संबद्ध कठोर निकायों द्वारा निर्मित समुच्चय की नम्यता की भविष्यवाणी करने के लिए एक संयोजी सिद्धांत है।

इस क्षेत्र के विषयों में सम्मिलित हैं:

• कॉची की प्रमेय (ज्यामिति)
• नमन्शील बहुकोणीय आकृति

आघटन संरचनाएं

Main article: आघटन संरचनाएं

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सात बिंदु फ़ानो सतह में सात रेखाओं के तत्व हैं जो एक आघटन संरचना का एक उदाहरण है।

आघटन संरचनाएं समतलों को सामान्यीकृत करती हैं (जैसे कि एफाइन, प्रक्षेपीय और मोबियस प्लेन) जैसा कि उनकी स्वयंसिद्ध परिभाषाओं से देखा जा सकता है। आघटन संरचनाएं उच्च-विमीय सादृश्यता को भी सामान्यीकृत करती हैं और परिमित संरचनाओं को कभी-कभी परिमित ज्यामिति कहा जाता है।

औपचारिक रूप से, एक आघटन संरचना एक तिगुना है

$C=(P,L,I).\,$

जहाँ P बिंदुओं का एक समूह तथा L रेखाओं का एक समूह है और $I\subseteq P\times L$ आघटन (ज्यामिति) संबंध है। $I$ तत्वों को चिह्नक कहा जाता है। यदि

$(p,l)\in I,$

हम कहते हैं कि बिंदु p रेखा $l$ पर स्थित है।

इस क्षेत्र के विषयों में सम्मिलित हैं:

• विन्यास (ज्यामिति)
• रेखा व्यवस्था
• अधिसमतल व्यवस्था
• भवन (गणित)

अभिविन्यस्त मैट्रोइड्स

Main article: अभिविन्यस्त मैट्रॉइड

एक अभिविन्यस्त मैट्रोइड एक गणितीय संरचना है जो दिष्‍टआलेख के गुणों और एक क्रमित क्षेत्र (विशेष रूप से अंशतः क्रमित सदिश समष्टि के लिए) पर सदिश समष्टि में सदिशों के विन्यास का सार करता है। तुलनात्मक रूप से एक साधारण (अर्थात गैर-उन्मुख) मैट्रोइड उन निर्भरता गुणों को अमूर्त करता है जो उन आरेख के लिए सामान्य तथा आवश्यक रूप से निर्देशित नहीं हैं और उन क्षेत्रों (गणित) पर सदिशों के विन्यास के लिए जो आवश्यक रूप से आदेशित नहीं हैं।

ज्यामितीय ग्राफ सिद्धांत

Main article: ज्यामितीय ग्राफ सिद्धांत

एक ज्यामितीय आरेख एक ऐसा आरेख (असतत गणित) है जिसमें कोने (ग्राफ सिद्धांत) या किनारे (ग्राफ सिद्धांत) ज्यामिति ऑब्जेक्ट से जुड़े होते हैं। उदाहरणों में यूक्लिडियन ग्राफ़, बहुफलक या बहुतलीय का 1- सारांश (टोपोलॉजी), इकाई चक्र आरेख और दृश्यता आरेख सम्मिलित हैं।

इस क्षेत्र के विषयों में सम्मिलित हैं:

• आरेख चित्रांकन
• बहुफलकीय आरेख
• यादृच्छिक ज्यामितीय आरेख
• वोरोनोई आरेख और डेलाउने त्रिभुजीकरण

प्रतिसमुच्‍चीय संकुल

Main article: प्रतिसमुच्‍चीय संकुल

एक प्रतिसमुच्‍चीय संकुल एक निश्चित प्रकार की सांस्थितिक समष्टि है, जो "ग्लूइंग टुगेदर" बिंदुओं (ज्यामिति), रेखा खंडों, त्रिकोणों और उनके एन-आयामी समकक्षों (चित्रण देखें) द्वारा निर्मित होता है। प्रतिसमुच्‍चीय संकुल को आधुनिक प्रतिसमुच्‍चीय समस्थेयता सिद्धांत में प्रकट होने वाले प्रतिसमुच्‍चीय समुच्चय की अधिक सारगर्भित धारणा के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। एक साधारण जटिल के लिए विशुद्ध रूप से संयोजी समकक्ष एक प्रतिसमुच्‍चीय संकुल है। यादृच्छिक ज्यामितीय परिसरों को भी देखें।

सांस्थितिक साहचर्य

Main article: सांस्थितिक साहचर्य

संयोजी सांस्थितिकी के अनुशासन ने सांस्थितिकी में संयोजी अवधारणाओं का प्रयोग किया और 20 वीं शताब्दी के आरम्भ में यह बीजगणितीय सांस्थितिकी के क्षेत्र में परिवर्तित हो गया।

वर्ष 1978 में स्थिति उत्क्रमित हो गई थी - बीजगणितीय सांस्थितिकी विधियों का उपयोग साहचर्य में एक समस्या को हल करने के लिए किया गया था - जब लेज़्लो लोवाज़ ने केनेसर ग्राफ को सिद्ध किया और इस प्रकार सांस्थितिक साहचर्य के नए अध्ययन का आरम्भ हुआ। लोवाज़ की जाँच ने बोरसुक-उलम प्रमेय का उपयोग किया और यह प्रमेय इस नए क्षेत्र में एक महत्वपूर्ण भूमिका रखता है। इस प्रमेय के अनेक समकक्ष संस्करण और अनुरूप हैं और इसका उपयोग उचित विभाजन समस्याओं के अध्ययन में किया गया है।

इस क्षेत्र के विषयों में सम्मिलित हैं:

• स्पर्नर का स्वीकृत सिद्धांत
• सतत मानचित्र (ग्राफ सिद्धांत)

जालक और असतत समूह

Main articles: जालक (समूह) and असतत समूह

एक असतत समूह (गणित), असतत सांस्थिति से सुसज्जित समूह G है। इस सांस्थिति के साथ G एक सांस्थितिक समूह बन जाता है। सांस्थितिक समूह G के एक असतत उपसमूह का एक उपसमूह H होता है जिसका आपेक्षिक संस्थिति असतत होती है। उदाहरण के लिए, पूर्णांक Z, वास्तविक संख्या R (मानक मीट्रिक सांस्थिति के साथ) का एक असतत उपसमूह बनाते हैं, किन्तु परिमेय संख्या Q, कोई असतत उपसमूह नहीं बनाते हैं।

स्थानीय रूप से सघन सांस्थितिक समूह में एक जालक गुणधर्म के साथ एक असंतत उपसमूह है जो कि भागफल समष्टि (टोपोलॉजी) में परिमित निश्चर माप है। Rⁿ के उपसमूहों के विशिष्ट स्थिति में, यह एक जालक (समूह) सामान्य ज्यामितीय धारणा के परिणाम है, और जालक की बीजगणितीय संरचना और सभी जालकों की समग्रता की ज्यामिति अपेक्षाकृत सन्तोषजनक समझी जाती है। आर्मंड बोरेली, हरीश-चंद्र, जॉर्ज मोस्टो, सुनाओ तमागावा, एम.एस. रघुनाथन, ग्रिगोरी मार्गुलिस, रॉबर्ट ज़िमर (गणितज्ञ) के गहन परिणाम 1950 से 1970 के दशक तक प्राप्त हुए जो कई उदाहरण प्रदान किए और नीलपोटेंट लाई समूहों और एक स्थानीय क्षेत्र पर अर्ध-सरल बीजीय समूह की स्थापना के लिए  अधिकांश सिद्धांत को सामान्यीकृत किया। 1990 के दशक में, हाइमन बास और एलेक्ज़ेंडर लुबोट्ज़की ने जालक वृक्ष का अध्ययन प्रारंभ किया, जो एक सक्रिय अनुसंधान क्षेत्र बना हुआ है।

इस क्षेत्र के विषयों में सम्मिलित हैं:

• प्रतिबिंब समूह
• त्रिकोण समूह

डिजिटल ज्यामिति

Main article: डिजिटल ज्यामिति

डिजिटल ज्यामिति असंतत समुच्चय (सामान्यतः असंतत बिंदु समुच्चय) पर चर्चा करते है जो 2डी या 3डी यूक्लिडियन समष्टि की वस्तुओं के अंकीकृत मॉडल या छवियों को विवेचित करता है।

सरल शब्दों में, अंकीयकरण किसी वस्तु को उसके बिंदुओं के असंतत समुच्च्य द्वारा प्रतिस्थापित करता है। टीवी स्क्रीन, कंप्यूटर के रेखापुंज प्रदर्शन (डिस्प्ले) या समाचार पत्रों में हम जो छवियां देखते हैं, वस्तुत:वे डिजिटल छवियां हैं।

इसके मुख्य अनुप्रयोग क्षेत्र कंप्यूटर ग्राफिक्स और छवि विश्लेषण हैं।

असतत अवकल ज्यामिति

Main article: असतत अवकल ज्यामिति

असतत अवकल ज्यामिति की अवकल ज्यामिति में धारणाओं के असतत समकक्षों का अध्ययन है। निष्कोण वक्रों और सतहों के स्थान पर, बहुभुज, पाश और प्रतिसमुच्‍चीय संकुल हैं। इसका उपयोग कंप्यूटर ग्राफिक्स और सांस्थितिक साहचर्य के अध्ययन में किया जाता है।

इस क्षेत्र में विषयों में शामिल हैं:

• असतत लाप्लास परिचालक
• असतत बाह्य कलन
• असतत कलन
• असतत मोर्स सिद्धांत
• सांस्थितिक साहचर्य
• वर्णक्रमीय आकार विश्लेषण
• [[ सार अवकल ज्यामिति ]]
• आंशिक विश्लेषण

यह भी देखें

• असतत और अभिकलनात्मक ज्यामिति (पत्रिका)
• असतत गणित
• पॉल एर्डोस

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

• घेरा
• यूनिट डिस्क ग्राफ
• गणित पृथक करें
• मिश्रित टोपोलॉजी
• चौराहा (सेट सिद्धांत)
• संयोजन अनुकूलन
• साहचर्य
• समतल ज्यामिति)
• उत्तल जाली पॉलीटॉप
• अनंतता
• quasicrystal
• विविध
• अंक शास्त्र
• विमान (गणित)
• लिंकेज (यांत्रिक)
• काज
• affine विमान (घटना ज्यामिति)
• लाइनों की व्यवस्था
• सदिश स्थल
• वेक्टर स्थान का आदेश दिया
• आदेशित क्षेत्र
• ग्राफ (असतत गणित)
• पॉलीहेड्रल ग्राफ
• Delaunay त्रिभुज
• किनारा (ग्राफ सिद्धांत)
• यादृच्छिक ज्यामितीय ग्राफ
• टोपोलॉजिकल स्पेस
• बीजीय टोपोलॉजी
• निष्पक्ष विभाजन
• अपरिवर्तनीय उपाय
• त्रिभुज समूह
• निलपोटेंट समूह
• झूठ समूह
• अर्धसरल बीजगणितीय समूह
• डिजिटल डाटा
• पैमाना मॉडल
• सरल परिसरों

संदर्भ

• Bezdek, András (2003). Discrete geometry: in honor of W. Kuperberg's 60th birthday. New York, N.Y: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-0968-3.
• Bezdek, Károly (2010). Classical Topics in Discrete Geometry. New York, N.Y: Springer. ISBN 978-1-4419-0599-4.
• Bezdek, Károly (2013). Lectures on Sphere Arrangements - the Discrete Geometric Side. New York, N.Y: Springer. ISBN 978-1-4614-8117-1.
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• Brass, Peter; Moser, William; Pach, János (2005). Research problems in discrete geometry. Berlin: Springer. ISBN 0-387-23815-8.
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