डिजिटल ज्यामिति

डिजिटल रेखागणित अनिरंतर समुच्चय से संबंधित होती है, जिसे 2डी या 3डी यूक्लिडियन स्थान की वस्तुओं के डिजिटल प्रतिरूप या छवियों को डिजिटलीकरण करना माना जाता है।

सामान्य भाषा में, डिजिटलीकरण का अर्थ किसी वस्तु को उसके बिंदुओं के अनिरंतर समुच्चय से बदलना होता है। टीवी स्क्रीन, कंप्यूटर के रेखापुंज ग्राफिक्स प्रदर्शन या समाचार पत्रों में हम जो छवियां देखते हैं, वे वास्तव में डिजिटल छवियां हैं।

इसके मुख्य अनुप्रयोग क्षेत्र कंप्यूटर चित्रलेख और छवि विश्लेषण हैं।

अध्ययन के मुख्य पहलू हैं:

• कृत्रिम रचना, डिजिटल डिस्क या डिजिटलीकरण और डिजिटल छवियों के बाद के प्रसंस्करण के माध्यम से वस्तुओं के डिजिटलीकरण प्रतिनिधित्व का सटीक और दक्षतापूर्वक निर्माण करना हैं, उदाहरण के लिए, ब्रेसेनहैम की लाइन एल्गोरिथम देखें।
• डिजिटल समुच्चय के गुणों का अध्ययन; उदाहरण के लिए, पिक का सिद्धांत, डिजिटल अनुमान, डिजिटल सरलता या डिजिटल समतलता देखें।
• वस्तुओं के डिजीटल प्रतिनिधित्व को बदलना, उदाहरण के लिए (A) सरलीकृत आकृतियों में बदलना जैसे (i) किसी ढांचे के साधारण बिंदुओं को बार-बार इस तरह हटाना जिससे उसकी छवि का डिजिटल टोपोलॉजी में परिवर्तन न हो, या (ii) दिए गए डिजीटल प्रतिनिधित्व वस्तुओं के दूरी रूपांतरण में मध्य धुरी की अधिकतम स्थानीय गणना करना, या (B) संशोधित आकृतियों में गणितीय आकृति विज्ञान का उपयोग करना।
• डिजिटल छवियों से वास्तविक वस्तुओं या उनके गुणों जैसे; क्षेत्र, लंबाई, वक्रता, आयतन, सतह क्षेत्र, इत्यादि का पुनर्निर्माण करना।
• डिजिटल वक्र, डिजिटल सतह और डिजिटल बहुखण्ड का अध्ययन।
• डिजिटल वस्तुओं के लिए ट्रैकिंग एल्गोरिदम डिजाइन करना।
• डिजिटल सतह पर कार्य करना।
• वक्र रेखांकन, पिक्सेल द्वारा वक्र पिक्सेल खींचने की एक विधि।

त्रिकोणीय जाल पर एक वक्र का पता लगाना

डिजिटल रेखागणित अनिरंतर रेखागणित के साथ बहुत अधिक ओवरलैप करती है और इसे उसका एक हिस्सा माना जा सकता है।

डिजिटल स्पेस

एक 2D ग्रिड स्थान जिसमें केवल 2D यूक्लिडियन स्थान में पूर्णांक बिंदु होते हैं उसे 2D डिजिटल स्थान कहा जाता है। डिजिटल छवि प्रसंस्करण के अनुसार 2D छवि 2D डिजिटल स्थान पर एक क्रिया है।

रोसेनफेल्ड और काक की पुस्तक में, डिजिटल संयोजकता को डिजिटल स्थान में तत्वों के बीच 2डी में 4-संयोजकता और 8-संयोजकता के संबंध के रूप में परिभाषित किया गया है। डिजिटल स्थान और इसकी डिजिटल संयोजकता एक डिजिटल टोपोलॉजी निर्धारित करती है।

ए. रोसेनफेल्ड द्वारा 1986 में डिजिटल निरंतर क्रिया और एल.चेन द्वारा 1989 में क्रमशः विभिन्न सतह के रूप में डिजिटल स्थान को स्वतंत्र रूप से प्रस्तावित किया गया था।

एक डिजिटल निरंतर क्रिया का मतलब एक ऐसा कार्य होता है जिसमें डिजिटल बिंदु पर एक पूर्णांक का मान या तो समान होता है या अपने समीप के डिजिटल बिंदु से अधिकतम 1 से कम होता है। दूसरे शब्दों में, अगर डिजिटल स्थान में x और y दो समीप बिंदु हैं तो |f(x) − f(y)| ≤ 1।

क्रमशः विभिन्न सतह कार्य एक डिजिटल स्थान से एक कार्य है; $\Sigma$ से $\{A_{1},\dots ,A_{m}\}$जहां $A_{1}<\cdots <A_{m}$ और $A_{i}$ वास्तविक संख्याएँ हैं। इस क्रिया में निम्नलिखित गुण हैं: यदि $\Sigma$ में x और y दो सन्निकट बिंदु हैं तो मान लीजिए $f(x)=A_{i}$, तब $f(y)=A_{i}$, $f(x)=A_{i+1}$, या $A_{i-1}$. तो हम देख सकते हैं कि क्रमशः विभिन्न सतह कार्य को डिजिटल रूप से निरंतर क्रिया से अधिक सामान्य रूप से परिभाषित किया गया है।

उपरोक्त कार्यों से संबंधित एक विस्तार सिद्धांत का उल्लेख A. रोसेनफेल्ड (1986) द्वारा प्रारम्भ किया गया था और एल. चेन (1989) द्वारा संपन्न किया गया था। विस्तार सिद्धांत के अनुसार:माना की $D\subset \Sigma$ और $f:D\rightarrow \{A_{1},\dots ,A_{m}\}$. क्रमशः विभिन्न विस्तार के अस्तित्व के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति $F$ का $f$ है : अंक की प्रत्येक जोड़ी के लिए $x$ और $y$ में $D$, मान लीजिए $f(x)=A_{i}$ और $f(y)=A_{j}$, अपने पास $|i-j|\leq d(x,y)$,जहां $d(x,y)$ डिजिटल दूरी के बीच $x$ और $y$ है।

यह भी देखें

• कम्प्यूटेशनल रेखागणित
• डिजिटल टोपोलॉजी
• अनिरंतर रेखागणित
• संयुक्त रेखागणित
• टोमोग्राफी
• पॉइंट क्लाउड

संदर्भ

• A. Rosenfeld, `Continuous' functions on digital pictures, Pattern Recognition Letters, v.4 n.3, p. 177–184, 1986.
• L. Chen, The necessary and sufficient condition and the efficient algorithms for gradually varied fill, Chinese Sci. Bull. 35 (10), pp 870–873, 1990.

अग्रिम पठन

• Rosenfeld, Azriel (1969). Picture Processing by Computer. Academic Press.
• Rosenfeld, Azriel (1976). Digital picture analysis. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-07579-8.
• Rosenfeld, Azriel; Kak, Avinash C. (1982). Digital picture processing. Boston: Academic Press. ISBN 0-12-597301-2.
• Rosenfeld, Azriel (1979). Picture Languages. Academic Press. ISBN 0-12-597340-3.
• Chassery, J.; A. Montanvert. (1991). Geometrie discrete en analyze d’images. Hermes. ISBN 2-86601-271-2.
• Kong, T. Y.; Rosenfeld, A., eds. (1996). Topological Algorithms for Digital Image Processing. Elsevier. ISBN 0-444-89754-2.
• Voss, K. (1993). Discrete Images, Objects, and Functions in Zn. Springer. ISBN 0-387-55943-4.
• Herman, G. T. (1998). Geometry of Digital Spaces. Birkhauser. ISBN 0-8176-3897-0.
• Marchand-Maillet, S.; Y. M. Sharaiha (2000). Binary Digital Image Processing. Academic Press. ISBN 0-12-470505-7.
• Soille, P. (2003). Morphological Image Analysis: Principles and Applications. Springer. ISBN 3-540-42988-3.
• Chen, L. (2004). Discrete Surfaces and Manifolds: A Theory of Digital-Discrete Geometry and Topology. SP Computing. ISBN 0-9755122-1-8.
• Rosenfeld, Azriel; Klette, Reinhard (2004). Digital Geometry: Geometric Methods for Digital Image Analysis (The Morgan Kaufmann Series in Computer Graphics). San Diego: Morgan Kaufmann. ISBN 1-55860-861-3.
• Chen, L. (2014). Digital and discrete geometry: Theory and Algorithms. Springer. ISBN 978-3-319-12099-7.
• Kovalevsky, Vladimir A. (2008). Geometry of locally finite spaces computer agreeble topology and algorithms for computer imagery. Berlin. ISBN 978-3-9812252-0-4.

बाहरी संबंध

• IAPR Technical Committee on Discrete Geometry
• Website on digital geometry and topology
• Course on digital geometry and mathematical morphology (Ch. Kiselman)
• DGtal: Open Source Digital Geometry Toolbox and Algorithms library